C u r s o : Matemtica

Material N 06

GUA TERICO PRCTICA N 6

UNIDAD: LGEBRA

LGEBRA I

EVALUACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Evaluar una expresin algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numricos

dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitucin va siempre entre

parntesis.

TRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos que tienen idntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los

mismos exponentes, slo pueden diferir en el coeficiente numrico.

REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES

Para reducir trminos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numricos y

mantener su factor literal.

USO DE PARNTESIS

En lgebra los parntesis se usan para agrupar trminos y separar operaciones. Los

parntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:

Si un parntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los

signos de los trminos que estn dentro del parntesis.

Si un parntesis es precedido por un signo , este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los trminos que estn al interior del parntesis.

Si una expresin algebraica tiene trminos agrupados entre parntesis y ellos a su vez se

encuentran dentro de otros parntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a

los parntesis desde adentro hacia fuera.

EJEMPLOS

1. Si p = 3, q = -2 y r = 2, entonces -q2 + pr2 : q =

A) -14

B) -10

C) -3

D) -2

E) 2

2

2. x 4y 2z + 4 2x + 3y z 3 =

A) -x + y 3z 1 B) -x y + 3z 1 C) -x y 3z + 1 D) x y + 3z + 1 E) x y 3z + 1

3. a2b 1

3ab2

1

4a2b +

2

3ab2 1 =

A) 3

4ab2 +

1

3a2b 1

B) 3

4a4b2 +

1

3a4b 1

C) 3

4 ab2

1

3a2b 1

D) 3

4a2b +

1

3ab2 1

E) -3

4ab2 +

1

3a2b 1

4. 3x 2y {x [2x + (y 3x) + 2x] y} =

A) 5x 2y B) 5x

C) 3x + 4y

D) 3x 4y E) 3x

5. -0,3a (1,4b + 2,25a) + b + a =

A) 0,95a 0,4b B) 2,95a + 0,4b

C) -1,28a + 0,4b

D) -1,55a 0,4b E) -2,55a 0,4b

3

OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIN Y SUSTRACCIN DE POLINOMIOS

Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reduccin de trminos

semejantes y uso de parntesis.

MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS

MONOMIO POR MONOMIO:

Se multiplican los coeficientes numricos entre s y los factores literales entre s, usando

propiedades de potencias. Al multiplicar tres o ms monomios, se agrupan todos los

coeficientes numricos y se multiplican entre s; y los factores literales tambin se

agrupan y se multiplican entre s.

MONOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica el monomio por cada trmino del polinomio.

Es decir: a(b + c + d) = ab + ac + ad

POLINOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica cada trmino del primer polinomio por cada trmino del segundo polinomio

y se reducen los trminos semejantes, si los hay.

EJEMPLOS

1. Si A = 3m2 m + 4 y B = -m2 + 3m 5, entonces -2(A B) =

A) 2m2 + 2m 1 B) -4m2 4m + 2 C) 4m2 4m + 9 D) -8m2 + 8m 18 E) 8m2 8m + 18

2. Al aumentar el nmero -(1 a) en -(-a) + 2 unidades, se obtiene

A) 2a + 1

B) 2a 1 C) 2a 3 D) 3

E) 1

4

3. Jos tiene 5a b estampillas, le regala a su hermano Miguel 3a b y a su hermana Cristina a + b. Con cuntas estampillas qued Jos?

A) 9a b B) 7a 3b C) a 3b D) a b E) 3a 3b

4. 22

xy z5

225x y4

(-2yz-3) =

A) -5x-3y4z-2

B) -5x3y-4z-2

C) 5x-3y4z-2

D) -5x3y4z-2

E) 5x3y4z-2

5. (a + 1) (an an + 1 + an + 2) =

A) an + a3n

B) an 2a2n C) an + an + 3

D) an an + 3 E) -an + an + 3

6. (m n) (m2 + mn + n2)

A) m3 + 2m2n 2mn2 n3 B) m3 + 2m2n + 2mn2 n3 C) m3 2mn2 n3 D) m3 + 2m2n n3 E) m3 n3

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PRODUCTOS NOTABLES

CUADRADO DE BINOMIO

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer trmino, ms o menos el

doble producto del primero por el segundo trmino, ms el cuadrado del segundo

trmino.

EJEMPLOS

1. (1 + 3x)2 =

A) 1 + 9x2

B) 6x + 1 + 3x2

C) 6x + 1 + 9x2

D) 1 + 3x + 9x2

E) 1 + 3x + 3x2

2. 2

12

2w

=

A) 4 2

w +

2

1

4w

B) 4 4

w +

2

1

4w

C) 4 + 4

w +

2

1

4w

D) 4 + 2

w +

2

1

4w

E) 4 2

1

4w

3. (3 2i)2 =

A) 13 12i B) 5 12i C) 9 8i D) 9 4i E) 5 6i

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a b)2 = a2 2ab + b2

6

4. Cul(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) con (2 5x)2?

I) (5x 2)2 II) (5x + 2)2 40x

III) 4 25x2

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

5. (a2n a-2n)2 =

A) 2a4n

B) a4n + a-4n

C) 2 2

4n -4na + a 2

D) a4n + a-4n 2 E) a4n a-4n 2

6. Para obtener un trinomio cuadrado perfecto a partir de la expresin -4

5x + x2 se debe

sumar

A) 5

2

B) 25

2

C) 25

4

D) -5

4

E) -25

16

7

SUMA POR DIFERENCIA

El producto de la suma por la diferencia entre dos trminos es igual al cuadrado del

primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino.

BINOMIOS CON TRMINO COMN

El producto de dos binomios con un trmino comn es igual al cuadrado del trmino

comn, ms el producto del trmino comn con la suma algebraica de los otros dos

trminos, ms el producto de los trminos no comunes.

EJEMPLOS

1. (m 3 ) (m + 3 ) =

A) m2 + 2 3 3

B) m2 2 3 3

C) m2 2 3

D) 3 m2 E) m2 3

2. (x 6)(x + 3) =

A) x2 + 3x 18 B) x2 3x + 18 C) x2 3x 18 D) x2 18 E) x2 3x

3. (5a2 b)(5a2 + b) =

A) 25a4 b B) 25a4 b2 C) 25a2 b2 D) 5a4 b2 E) 25a4 10a2b b2

(x + y)(x y) = x2 y2

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

8

4. (2z + 1)1

2z 2

=

A) 4z2 + z 1

2

B) 2z2 + z 1

2

C) 4z2 + 2

1z

1

2

D) 4z2 z 1

2

E) 4z2 1

2

5. (5m 2n)(5m + 2n) =

A) 52m 42n B) 252m 42n C) 52m 2n D) 252m 22n E) 25m 22n

6. Si P = 2

3x + 1

2

y Q =2

3- x + 12

, entonces P Q =

A) - 2x2

9

B) -6x

C) 6x

D) 0

E) 2

9

CUADRADO DE TRINOMIO

CUBO DE BINOMIO

EJEMPLOS

1. (x + y 2)2 =

A) x2 + y2 4 B) x2 + y2 + 4

C) x2 + y2 + 4 + 2xy + 4x + 4y

D) x2 + y2 + 4 + 2xy + 4x 4y E) x2 + y2 + 4 + 2xy 4x 4y

2. (2a b + 3)2 =

A) 4a2 + b2 + 9

B) 4a2 4ab + 9 C) 4a2 + b2 + 9 4ab + 12a 6b D) 4a2 + b2 + 9 4ab 12a 6b E) 4a2 + b2 9 4ab + 12a 6b

3. (x + 1)3 =

A) x3 + 1

B) x3 + x2 + 1

C) x3 + x2 + x + 1

D) x3 + 3x2 + 3x + 1

E) x3 + 3x2 + x + 1

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

10

4. (a 3)3 =

A) a3 + 27

B) a3 6a + 9 C) a3 + 9a2 9a 27 D) a3 9a2 + 27a 27 E) a3 9a2 27a 27

5. (x2 y2)3 =

A) x6 y6 B) x6 x4y2 + x2y4 y6 C) x6 3x4y2 + 3x2y4 y6 D) x5 3x4y2 + 3x2y4 y5 E) x6 3x2y + 3xy2 y6

6. 3

1 1

a

=

A) 3 2

1 3 3 + 1

aa a

B) 3 2

1 3 3 + 1

aa a

C) 3 2

1 1 1 + 1

aa a

D) 3 2

1 3 3 + 1

aa a

E) 3

1

a 1

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FACTORIZACIN FACTORIZAR

Es el proceso de escribir un polinomio como producto de sus factores.

FACTOR COMN

MONOMIO: BINOMIO:

EJEMPLOS

1. 72 18x =

A) 18(4x 1) B) 6(12x 4) C) 3(24 + 6x)

D) 9(8 9x) E) 18(4 x)

2. Al factorizar -5x4y2 + 15x2y2 10xy4 se obtiene

A) x(5x3y2 + 15xy2 10xy3) B) 5x(x3y2 + 3xy2 2xy3) C) -5xy2(x3 3x + 2y2) D) -5xy(x2y 3xy + 2y2) E) 5xy2(-x3 3x + 2y2)

3. m(a + 2) + n(a + 2) =

A) mn(a + 2)

B) 2mn(a + 2)

C) 2a(m + n)

D) (m + a)(n + 2)

E) (m + n)(a + 2)

4. Si en la expresin x2n + xn uno de sus factores es xn, entonces el otro factor es

A) x2 + x

B) x-n + 1

C) 1 xn D) xn + 1

E) x

ac + ad = a(c + d)

(a + b)c + (a + b)d = (a + b)(c + d)

12

5. a 2 x(a 2) =

A) -x

B) -x(a 2) C) -2x(a 2) D) (1 x)(a 2) E) (1 + x)(a 2)

6. c(1 x) + c2x(1 x) =

A) c(c + x)(1 x) B) c(1 x)(1 + cx) C) 2c3x(1 x) D) c3x(1 x) E) c2x(1 x)

7. Al factorizar la expresin 4a ab 8a2 + 2a2b se obtiene

A) 2a(2 b 2a + ab) B) a(4 b)(8a + 2b) C) a(4 b 8a 2ab) D) a(4 b)(1 2a) E) a(4 b)(1 + 2a)

13

DIFERENCIA DE CUADRADOS:

DIFERENCIA DE CUBOS:

SUMA DE CUBOS:

EJEMPLOS

1. a2 289 =

A) (17 a)(17 a) B) (a 17)(17 a) C) (a + 17)(a + 17)

D) (a + 17)(a 17) E) (a 17)2

2. Al factorizar 16x2 9y2 su resultado es

A) (4x 3y)(4x 3y) B) (8x + 3y)(8x 3y) C) xy(16x 9y) D) (3y + 4x)(3y 4x) E) (4x + 3y)(4x 3y)

3. a3 + 1 =

A) (1 a)(1 a + a2) B) (1 + a)(1 + a + a2)

C) (1 + a)(a2 a + 1) D) (1 a)(1 + a + a2) E) (a +1)(a2 2a + 1)

a2 b2 = (a + b) (a b)

a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2)

14

4. Uno de los factores de 8z3 27 es

A) 2z + 3

B) 2z 3 C) 4z2 + 2z 3 D) 4z2 + 12z + 9

E) 4z2 12z + 9

5. x2 2

1

w =

A) 2

1x

w

B) 1 1

x + xw w

C) 1 1

x + x + w w

D) 1 1

x xw w

E) 1 1

x x + w w

6. a6 y12 =

A) (a3 y6)2 B) (a4 y10)(a2 y2) C) (a y2)6 D) (a3 y6)(a3 + y6) E) (a2 y4)(a2 + y4)(a2 + y4)

7. Si a b = 2a b y a b = 2a + b, entonces (p q)2 (p q) (p q) =

A) 2q2 2pq B) 2q2 4pq C) -4pq

D) -2pq

E) 0

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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

TRINOMIO DE LA FORMA:

TRINOMIO DE LA FORMA:

EJEMPLOS

1. a2 + 2a + 1 =

A) (a + 1)(a 1) B) (a + 1)(a + 1)

C) (a + 1)(1 a) D) (1 a)(1 a) E) (1 a)(a 1)

2. Al factorizar x2 x 12 se obtiene

A) (x + 6) (x 2) B) (x 4) (x 3) C) (x 6) (x + 2) D) (x + 4) (x 3) E) (x + 3) (x 4)

3. 2x2 + 5x + 2 =

A) (2x + 1)(2x + 4)

B) (2x + 1)(x + 4)

C) (x + 1)(2x + 4)

D) (2x + 1)(x + 2)

E) (x + 1)(2x + 2)

4. Si a = x2 xy y b = y2 xy, entonces a + b es igual a

A) (x + y)2

B) (x y)2 C) (x + y)(x y) D) (x y)(y x) E) 2x + 2y

a2 2ab + b2 = (a b)2

x2 + px + q = (x + a) (x + b) con p = a + b, q = ab

ax2 + bx + c = (ax +p)(ax + q)

a con b = p + q, ac = pq

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5. Cul(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de la expresin algebraica

x2 7x + 12?

I) x 4 II) x 1

III) x 3

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) Solo I y III

6. Cul(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a 6x2 5x 6?

I) (3 2x)(-2 + 3x) II) (2x 3)(3x + 2)

III) (3 2x)(-3x 2)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) I, II y III

7. 9 + 4x2 12x =

A) (3 2x)(3 + 2x) B) (2x 3)(2x + 3) C) (3 2x)(2x 3) D) (3 x)(3 4x) E) (3 2x)(3 2x)

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FACTORIZACIN POR AGRUPACIN DE TRMINOS

Para factorizar polinomios de cuatro o ms trminos, stos se deben agrupar

convenientemente de manera de hacer factorizaciones parciales y llegar a una factorizacin

final.

OBSERVACIN: Los casos anteriores de factorizacin nos conducen a la siguiente estrategia

general para factorizar un polinomio.

1. Intente factor comn.

2. Cuente los trminos del polinomio.

2.1. Si tiene 2 trminos, intente: suma por diferencia, suma de cubos o restas de cubos.

2.2. Si tiene 3 trminos, intente cuadrado de binomio inicialmente, si no, aplique trinomios

que no son cuadrados.

2.3. Si tiene ms de 3 trminos agrupe convenientemente.

EJEMPLOS

1. ax + ay + bx + by =

A) ab(x + y)

B) xy(a + b)

C) (2a + 2b)(x + y)

D) (2x + 2y)(a + b)

E) (a + b)(x + y)

2. pr + qr ps qs =

A) (p + q)(r + s)

B) (p + q)(r s) C) (p q)(r + s) D) (p q)(r s) E) (p r)(q s)

3. a2 + 3a + ac + 3c =

A) (3 + a)(c + a)

B) (a 3)(a c) C) (a + 3)(a c) D) (c a)(c 3) E) (c 3)(c + a)

18

4. mx 4 + m 4x =

A) x(m 4) B) (x 1)(m + 4) C) (x 1)(m 4) D) (x + 1)(m 4) E) (x + 1)(m 1)

5. ax bx + by + cy cx ay =

A) (a b)(c x)(x y) B) (a b c)(x + y) C) (a b + c)(x y) D) (a b c)(x y) E) (a + b + c)(x + y)

6. a2 b2 c2 + 2bc =

A) b(a + 1) + a(b + c)

B) a(b + c) b(a c) C) (a + b c)(a b + c) D) (a + b + c)(a b c) E) (a b c)(a b + c)

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RESPUESTAS

DMQMA06

Ejemplos Pgs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 B C D E D

3 y 4 D A D D C E

5 y 6 C A B C D C

7 y 8 E C B A E C

9 y 10 E C D D C A

11 y 12 E C E D D B D

13 y 14 D E C B E D B

15 y 16 B E D B E D E

17 y 18 E B A D D C

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