tema 1 Álgebra linea: cálculo matricial

MatricesOperaciones elementales

Ecuaciones y sistemas linealesDeterminantes

Calculo matricialEstudios de Ingenierıa

Juan Gabriel Gomila

Frogames

[email protected]

22 de enero de 2016

Juan Gabriel Gomila Tema 1 - Matrices, sistemas y determinantes



Definiciones generalesTipos de matricesOperaciones con matricesPropiedades

1 MatricesDefiniciones generalesTipos de matricesOperaciones con matricesPropiedades

2 Operaciones elementalesMatrices escalonadasRango de una matrizCalculo de la matrizinversa

3 Ecuaciones y sistemaslineales

Ecuaciones matriciales

Sistemas de ecuacioneslinealesEl metodo de Gauss

4 DeterminantesEl concepto dedeterminantePropiedadesMatriz adjuntaCalculo de undeterminanteAplicaciones de losdeterminantes





¿Que es una matriz?

Definicion de matriz

Sea (K,+, .) un cuerpo conmutativo y m, n ≥ 1 enteros. Unamatriz m × n sobre K (o de orden m × n sobre K) es una tablaformada por elementos de K dispuestos en m filas y n columnas dela forma:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

amb aij ∈ K; i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., n





¿Que es una matriz?

Coeficientes de la matriz

Cada aij se denomina termino, coeficiente o entrada de la matrizA. El primer subındice, i , indica el numero de la fila y el segundo,j , el de la columna que ocupa el termino en la matriz.





¿Donde estan las matrices?

Conjunto de matrices

Se denotara por Mm×n(K) el conjunto de todas las matrices deorden m × n sobre K. Una matriz cualquiera de Mm×n(K) sedenotara indistintamente por A, por (aij)m×n o simplemente por(aij).

Matrices cuadradas

Cuando m = n, el conjunto de todas las matrices de orden Mn×nse denota simplemente por Mn(K) (las matrices que se clasificancomo cuadradas se dicen que son de orden n en vez de n× n comoveremos mas adelante).





¿Cuando son dos matrices iguales?

Igualdad de matrices

Dadas dos matrices del mismo orden m × n, A = (aij)m×n yB = (bij)m×n son iguales si:

aij = bij∀ i = 1, ...,m, ∀ j = 1, ..., n.





Tipos de matrices

Matriz fila

Se denomina matriz fila a toda matriz que consta de una unica fila:

A = (a11, a12, · · · , a1n) ∈ M1×n(K)





Tipos de matrices

Matriz columna

Se denomina matriz columna a toda matriz que consta de unaunica columna:

A =

a11

a21...

am1

∈ Mm×1(K)





Tiposs de matrices

Matriu cuadrada

Se denomina matriz cuadrada de orden n a toda matriz que constade n filas y n columnas

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

∈ Mn(K)





Matrices cuadradas

Dentro del ambito de las matrices cuadradas caben las siguientesdefiniciones y tipos particulares de matrices:

Diagonal principal

Se denomina diagonal (principal) de una matriz cuadrada A a loselementos aii con i = 1, · · · , n.

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

∈ Mn(K)





Matrices cuadradas

Matriz diagonal

Una matriz diagonal es aquella en la cual aij = 0 siempre que i 6= j

A =

a11 0 · · · 00 a22 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · ann

∈ Mn(K)





Matrices cuadradas

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la cual aii = λ,∀i = 1, · · · , n

A =

λ 0 · · · 00 λ · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λ

∈ Mn(K)





Matrices cuadradas

Matriz identidad

Se denomina matriz unidad o matriz identidad de orden n, y sedenota como In a la matriz escalar en la cual todos los elementosde la diagonal son unos.

In =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

∈ Mn(K)





Matrices cuadradas

Matriz triangular superior

Se denomina matriz triangular superior a toda matriz en la cualaij = 0, ∀i > j . Es decir, todos los elementos situados por debajode la diagonal principal son nulos.

A =

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n...

.... . .

...0 0 · · · ann

∈ Mn(K)





Matrices cuadradas

Matriz triangular inferior

Se denomina matriz triangular inferior a toda matriz en la cualaij = 0, ∀i < j . Es decir, todos los elementos situados por encimade la diagonal principal son nulos.

A =

a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

∈ Mn(K)





Cas general

Para matrices en general (no necesariamente cuadradas) semantendra la denominacion de matriz triangular superior cuandoaij = 0 ∀ i > j . Mas adelante se estudiaan en profundidad unostipos especiales de estas matrices (las matrices escalonadas) quetendran una importancia determinante en nuestros estudios.





Caso general

Las matrices triangulares superiores, si no son cuadradas, secorresponden con los siguientes casos dependiendo de si m < n on < m respectivamente:

a11 a12 · · · a1m · · · a1n

0 a22 · · · a2m · · · a2n...

.... . .

......

0 0 · · · amm · · · amn

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n...

.... . .

...0 0 · · · amn

0 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 0





Matrices cuadradas

Matriz nula

Se denota como O a la matriu nula, matriz con todos suscoeficientes nulos.

A =

0 0 · · · 00 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 0

∈ Mn(K)





Operaciones con matrices

Suma de matrices

La suma de dos matrices A y B solo es posible si ambas son delmismo orden m × n, entonces se suman termino a termino. Esdecir, dadas A = (aij)m×n y B = (bij)m×n ∈ Mm×n(K), se define lasuma de A y B como la matriz:

C = (cij)m×n on cij = aij + bij ,

∀ i = 1, · · · ,m, ∀ j = 1, · · · , n






Producto por un escalar

Sea a ∈ K y A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K), se define el producto aAcomo una nueva matriz de orden m × n dada por:

aA = (a · aij)m×n






Producto de matrices

Para poder realizar el producto de una matriz A por una matriz B,el numero de columnas de A ha de coincidir con el numero de filasde B, entonces cada entrada ij de la matriz producto se obtienemultiplicando la fila i de A por la columna j de B.






Concretamente, si A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K), el producto ABes una matriz C ∈ Mm×p(K) definida como:

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n...

......

...ai1 ai2 ai3 · · · ain...

......

...am1 am2 am3 · · · amn

b11 b12 · · · b1j · · · b1p

b21 b22 · · · b2j · · · b2p

b31 b32 · · · b3j · · · b3p...

......

...bn1 bn2 · · · bnj · · · bnp

= (cij)

con cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + · · ·+ ainbnj =∑n

k=1 aikbkj .Notese que Am×n · Bn×p = Cm×p.





Propiedades caracterısticas

Siempre que tengan sentido les operacions indicadas (es decir, lasmatrices son de los ordenes adecuados para poder realizarlas) sesatisfacen las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa

A + B = B + A

Propiedad asociativa de la suma

(A + B) + C = A + (B + C )






Elemento neutro de la suma o elemento nulo

A + O = O + A = A

Matriz opuesta

∀ A = (aij)m×n existe −A = (−aij)m×n tal que

A + (−A) = (−A) + A = O






Propiedad asociativa del producto

(AB)C = A(BC )

Propiedad distributiva del producto repecto de la suma

A(B + C ) = AB + AC






Elemento neutro del producto o elemento unidad

AIn = A

InB = B

Propiedad distributiva del producto por escalares respecto de lasuma

a(B + C ) = aB + aC , a ∈ K






Elemento neutro del producto por escalar

1A = A

Propiedad distributiva del producto por matrices respecto de lasuma de escalares

(a + b)C = aC + bC , a, b ∈ K






Propiedad asociativa del producto de escalares por una matriz

(ab)C = a(bC ), a, b ∈ K

Propiedad asociativa del producto de un escalar por dos matrices

a(BC ) = (aB)C , a ∈ K





Ejemplos

Ejemplo

(AB)C = A(BC )

Sea A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) y C ∈ Mp×q(K).

Se puede realizar el producto AB , el resultado sera unamatriz m × p que se podra multiplicar por C y el producto(AB)C sera una matriz m × q.

Analogamente, se puede realizar el producto BC que dara unamatriz n × q y se puede realizar tambien el producto A(BC )que dara una matriz m × q.

Entonces la propiedad se puede expresar como:

(AB)C = A(BC )





Ejemplos

Ejercicios

Se consideran las matrices con coeficientes en R:

A =

(1 23 4

);B =

(1 0 10 1 0

);C =

1 −10 1−1 0

Probar que:

(AB)C = A(BC )





Ejemplos

Solucion

(AB)C =

(1 2 13 4 3

) 1 −10 1−1 0

=

(0 10 1

)

A(BC ) =

(1 23 4

)(0 −10 −1

)=

(0 10 1

)





Ejemplos

Ejemplo

AIn = A

InB = B

Sea A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K).

Se puede realizar el producto AIn y el resultado sera unamatriz m × n.

Analogamente, se puede realizar el producto InB y elresultado sera una matriz n × p.

Ademas se puede comprobar que se verifica que:

AIn = A i InB = B





Ejemplos

Ejercicios

Considerense las matrices con coeficientes en R:

A =

(1 0 10 1 0

);B =

1 −10 1−1 0

Probar que:

AI3 = A

I3B = B





Ejemplos

Solucion

AI3 =

(1 0 10 1 0

) 1 0 00 1 00 0 1

= A

I3B =

1 0 00 1 00 0 1

1 −10 1−1 0

= B





Ejemplos

Nota importante

Notese que, en particular, para matrices cuadradas A ∈ Mn(K), Ines un elemento neutro del producto, es decir:

AIn = InA = A

para toda matriz cuadrada A de orden n.





Excepciones

En general, no se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa

La multiplicacion de matrices no es conmutativa.

A =

(0 10 0

),B =

(0 01 0

)∈ M2(R)

AB =

(1 00 0

)6=(

0 00 1

)= BA





Excepciones


Ley de simplificacion

No se cumple la ley de simplificacion en un producto.

A =

(0 10 2

),B =

(1 13 4

),C =

(2 53 4

)∈ M2(R)

satisfacen:AB = AC

pero en cambio B 6= C .





Excepciones


Divisores de cero

Existen divisores de cero, es decir:

AB = 0 6=⇒ A = 0 o B = 0.

Por ejemplo:

A =

(0 30 0

)6= 0,B =

(0 20 0

),A,B ∈ M2(R)

pero en cambio:

AB =

(0 00 0

)Juan Gabriel Gomila Tema 1 - Matrices, sistemas y determinantes




Matrices diagonales

Proposicion

Sean A,B dos matrices cuadradas de orden n.

Si A y B son matrices diagonales con diagonalesa11, a22, · · · , ann i b11, b22, · · · , bnn respectivamente, entoncesA y B conmutan y la matriz producto AB = BA tambien esdiagonal con diagonal a11b11, a22b22, · · · , annbnn.

Si A y B son matrices triangulares superiores (inferiores)entonces el producto AB es tambien una matriz triangularsuperior (inferior).





Matrices transpuestas

Transpuesta de una matriz

Sea A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K). Se denomina transpuesta de lamatriz A y se denota como At a la matrizAt = (aji )n×m ∈ Mn×n(K).Es decir, la matrix obtenida a partir de A intercambiando filas porcolumnas.

Por ejemplo, la transpuesta de la matriz A =

(1 0 32 1 −1

)es

At =

1 20 13 −1






Entre las propiedades de las matrices transpuestas destacan lassiguientes:

Idempotencia

Para toda matriz A:(At)t = A







Transpuesta de una suma

Si A y B son matrices del mismo orden m × n, entonces(A + B)t = At + Bt . Es decir, la transpuesta de una suma dematrices es la matriz obtenida por la suma de sus respectivastranspuestas. Ademas, el resultado se puede generalizar a rsumandos y se tiene que si Ai son todas del mismo orden, entonces:

(r∑

i=1

Ai )t =

r∑i=1

Ati







Transpuesta de una suma

Si A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K), entonces la transpuesta delproducto de A por B es el producto de las transpuestas pero con elorden cambiado, es decir:

(AB)t = BtAt ∈ Mp×m(K)





Matrices cuadradas

Para acabar esta seccion volvemos a las matrices cuadradas conunas cuantas definiciones adicionales. Primero notese que latransposicion, en el caso de matrices cuadradas, es una operacioninterna, es decir:

Transposicion como operacion interna

La transpuesta de una matriz cuadrada A ∈ Mn(K) es otra matrizcuadrada At ∈ M(K).

Entonces tienen sentido las siguientes definiciones:





Matrices cuadradas

Sea A = (aij) ∈ Mn(K) una matriz cuadrada. Dıcese que:

Matriz simetrica

A es simetrica si coincide con su transpuesta, esto causa lasimetrıa de la matriz respecto a su diagonal.

A simetrica⇐⇒ A = At ⇐⇒ aij = aji ∀ i , j





Matrices cuadradas


Matriz antisimetrica

A es antisimetrica si su transpuesta coincide con su opuesta, locual exige que la diagonal este compuesta unicamente por ceros yque los elementos simetricos sean opuestos entre sı.

A antisimetrica⇐⇒ At = −A⇐⇒ aij = −aji ∀ i , j





Matrices cuadradas


Matriz regular

A es invertible o regular si existe otra matriz cuadradaA−1 ∈ Mn(K) tal que AA−1 = A−1A = In. Cuando existe estamatriz A−1 es siempre unica, con la propiedad mencionada y sellama matriz inversa de A.

Notese que no basta con cumplir solo AA−1 = In (o soloA−1A = In) ya que el producto no es en general conmutativo. Portanto, la matriz inversa ha de verificar que los resultados de los dosproductos son la matriz identidad.





Matrices cuadradas


Matriz singular

A es singular si no tiene inversa, es decir, cuando no es regular.

Matriz ortogonal

A es ortogonal si es regular y ademas su inversa coincide con sutranspuesta. Dicho de otra manera:

A ortogonal⇐⇒ AAt = AtA = In





Matrices cuadradas

Se verifica el siguiente resultado respecto a las matrices inversas:

Proposicion

Sea A,B ∈ Mn(K). Entonces si A y B son invertibles, tambien loes su producto:

(AB)−1 = B−1A−1





En resumen

Las operaciones anteriores conforman el llamado algebra matricial.Este nombre es adecuado ya que gracias a ellas es posible realizarla manipulacion habitual de ecuaciones con matrices igual que sehace con numeros reales siempre y cuando se tenga precaucion conaquellas propiedades que no se verifican, vistas ellas anteriormente.Por ejemplo, en una ecuacion con matrices todo lo que estesumando pasa al otro termino restando y viceversa.De esta manera se pueden resolver ecuaciones del tipo: encuentreuna matriz X tal que A + 2X = 3B donde A y B son matricesconocidas. La solucion sera X = 1/2(3B − A).





En resumen

Notese sin embargo que las ecuaciones de la forma AX = B no sepueden manipular de la forma habitual a no ser que la matriz A seacuadrada e invertible. Entonces se tendra X = A−1B. Notese quevaldrıa multiplicar a la izquierda por A−1 pero no valdrıa hacerlo ala derecha. Si la ecuacion que se tiene es de la forma XA = Bentonces, si A es invertible, sera X = BA−1, multiplicando a laderecha por A−1.





En resumen

Se puede calcular tambien las potencias n-esimas de las matricesde la forma habitual An = A · A · · · · · A (n veces). Notese que elbinomio de Newton para calcular (A + B)n solo se verifica en loscasos en que A y B conmuten. Por ejemplo:

(A + B)2 = A2 + AB + BA + B2

Si A y B conmutan, entonces (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.Pasa exactamente lo mismo con las potencias sucesivas.




Matrices escalonadasRango de una matrizCalculo de la matriz inversa











Matrices escalonadas

Vamos a introducir ahora un tipo especial de matrices triangularessuperiores (inferiores), las llamadas matrices escalonadas por filas(por columnas).

Matriz escalonada

Una matriz A ∈ Mm×n(K) es escalonada por filas cuando secumplen simultaneamente las dos condiciones siguientes:

El primer elemento no nulo de cada fila, denominado pivote,esta a la derecha del pivote de la fila superior.

Las filas nulas estan en la parte inferior de la matriz.






Ejemplo

Estas matrices son escalonadas por filas:2 1 0 20 1 0 10 0 0 20 0 0 0

3 4 2 1 5

0 2 1 0 10 0 3 1 −1






Matriz escalonada reducida

Una matriz A ∈ Mm×n(K) es escalonada reducida por filas si esescalonada y ademas cumple los siguientes requisitos:

Los pivotes son todos unos.

Todos los elementos que estan en la misma columna delpivote son nulos.






Ejemplo

Estas matrices son escalonadas reducidas por filas: 1 0 −1 00 1 0 00 0 0 0

1 0 0 40 1 0 00 0 1 1






Ejercicio

De definiciones equivalentes para las matrices escalonadas porcolumnas y matrices escalonadas reducidas por columnas.Ponga dos ejemplos de cada tipo de matriz.





Operaciones elementales de una matriz

Operaciones elementales por filas

Sea A ∈ Mm×n(K). Las siguientes operaciones se llamanoperaciones elementales por filas de la matriz A:

Multiplicar una fila por un a ∈ K, a 6= 0.

Intercambiar dos filas.

Sumar un multiplo de una fila a otra.

De manera analoga se pueden definir las operaciones elementalespor columnas.





Matrices equivalentes

Matrices equivalentes por filas

Dos matrices A,B ∈ Mm×n(K) son equivalentes por filas (porcolumnas) si una de ellas se puede obtener a partir de la otramediante un numero finito de operaciones elementales por filas(columnas).

Teorema

Toda matriz es equivalente por filas (columnas) a una matrizescalonada por filas (columnas).

Toda matriz es equivalente por filas (columnas) a una unicamatriz escalonada reducida por filas (columnas).






Lo demostraremos de manera constructiva. Es decir, hallaremos unalgoritmo (metodo de Gauss) para encontrar la matriz escalonadaen cada caso.

Demostracion

Sea A = (aij) ∈ Mm×n(K), entonces procederemos de la siguientemanera:

1 Si a11 6= 0, se divide la primera fila por a11 y se obtiene unamatriz equivalente en la que a11 = 1. Entonces este nuevoa11 = 1 sera el primer pivote. Ahora, se resta a cada fila i laprimera multiplicada por ai1, la resta de elementos de laprimera columna sera 0 y se pasa al punto cuarto.






Demostracion

2 Si a11 = 0, se busca el primer i tal que ai1 6= 0. Entonces seintercambian la primera fila y la i obteniendo una matrizequivalente con un nuevo a11 6= 0, volvemos al punto uno yrepetimos el proceso.

3 Si ai1 = 0, para todo i = 1, · · · ,m, entonces dejamos estaprimera columna de ceros y aplicamos el algoritmo del pasouno a la matriz resultante de eliminira la primera columna.

4 Se repite el proceso a la matriz obtenida de eliminar laprimera fila y la primera columna de nuestra matriz.






Notese que con este metodo se obtiene la unica matriz escalonadaequivalente por filas cuyos pivotes son todos unos. Para obtener lamatriz escalonada reducida, se aplica el primer algoritmo anteriorcon el fin de obtener la matriz escalonada por filas equivalente a lamatriz dada. Enconces, si hay algun elemento aij distinto de ceroen la columna de determinado pivote se resta a la fila de esteelemento (la fila i) la fila del pivote multiplicada por aij y con estemetodo se hacen cero todos los elementos situados por debajo delos pivotes.





Ejercicios

Ejercicio 1

Considerese la matriz A ∈ M3×4(R) dada por:

A =

1 −1 −3 84 −2 −6 193 −6 −17 41

Calculese su matriz escalona y su escalonada reducida por filas.





Ejercicios

En este caso, a11 = 1 6= 0 y por lo tanto podemos poner cerosmediante la resta con la primera columna:

A ∼ f2 = f2 − 4f1

A ∼ f3 = f3 − 3f1





Ejercicios

1 −1 −3 80 −2 6 −130 −3 −8 17

Pasamos ahora al punto cuarto del algortimo; es decir, se aplica elmismo razonamiento a la matriz 2× 3 obtenida por eliminacion dela primera fila y de la primera columna.





Ejercicios

(−2 6 −13−3 −8 17

)En este caso a11 = 2, comenzamos por dividir la primera fila por 2,haciendo ceros con la resta de la primera columna:

A ∼ f1 = f1/2

A ∼ f2 = f2 + 3f1





Ejercicios

De esta manera, una matriz escalonada por filas equivalente a Aserıa:

A ∼

1 −1 −3 80 1 3 −13/20 0 1 −5/2





Ejercicios

Para calcular la unica matriz escalonada reducida equivalente a Asolo hace falta hacer ceros por debajo de cada pivote:

A ∼ f2 = f2 − 3f3

A ∼ f1 = f1 + 3f3

A ∼ f1 = f1 + f2

A ∼

1 0 0 3/20 1 0 10 0 1 −5/2





Ejercicios

Ejercicio 2

Considerese la matriz A ∈ M3×5(R) dada por:

A =

0 0 −1 −3 81 0 −2 −6 13 0 −6 −15 4

Calculese su matriz escalonada y su escalonada reducida por filas.





Ejercicios

En este caso a11 = 0 pero en cambio a21 6= 0, por tanto secomenzara por intercambiar las filas 1 y 2, despues se hacen cerospor debajo del primer pivote:

A ∼ f2 → f1

A ∼ f3 = f3 − 3f1





Ejercicios

A =

1 0 −2 −6 10 0 −1 −3 80 0 0 3 1

Se llega al punto cuarto del algoritmo con la matriz siguiente:

A =

(0 −1 −3 80 0 3 1

)En esta matriz la primera columna esta formada completamentepor ceros.





Ejercicios

Segun el algoritmo, lo que se ha de hacer es continuar con lamatriz que se hace constar a continuacion:

A =

(−1 −3 80 3 1

)En esta se divide la primera fila por −1:

A ∼ f1/(−1)

A ∼ f2/3





Ejercicios

Por tanto una matriz escalonada por filas equivalente a A serıa:

A ∼

1 0 −2 −6 10 0 1 3 −80 0 0 1 1/3





Ejercicios

Finalmente, para encontrar la matriz escalonada reducida por filasequivalente a A se hara:

A ∼ f2 = f2 − 3f3

A ∼ f1 = f1 + 6f3

A ∼ f1 = f1 + 2f2

A ∼

1 0 0 0 −150 0 1 0 −90 0 0 1 1/3





Rango de una matriz

Dada la unicidad de la matriz escalonada reducida, se puede definirsobre una matriz A mediante su matriz escalonada reducida porfilas (por columnas) equivalente:

Rango

Sea A ∈ Mm×n(K). Se denomina rango de A y se denota comorg(A), al nAomero de filas no nulas que tiene su unica matrizescalonada reducida por filas equivalente.





Rango de una matriz

Teorema

Sea A ∈ Mm×n(K). El rango de A coincidira con el numero decolumnas no nulas de su unica matriz escalonada reducida porcolumnas equivalente.

En realidad, el numero de filas no nulas es siempre el mismo encualquier matriz equivalente por filas (por columnas) a la dada. Portanto, para calcular el rango de una matriz A bastara con encontraruna matriz B escalonada por filas (columnas) equivalente a A ycontar el numero de filas (columnas) no nulas de B.





Ejercicio

Ejericicio

Calculese el rango de la matriz A del ejercicio 1 anterior:

A =

1 −1 −3 84 −2 −6 193 −6 −17 41





Ejercicio

Se ha visto en el ejercicio 1 que:

A ∼

1 0 0 3/20 1 0 10 0 1 −5/2

Y por lo tanto, rg(A) es simplemente el numero de filas no nulas,rg(A) = 3





Ejercicios

Ejercicio 4

Calculese el rango de la matriz B

B =

1 2 10 2 31 4 4





Ejercicios

Se hacen las siguientes operaciones:

B ∼ f3 = f3 − f1

B ∼ f2 = f2/2

B ∼ f3 = f3 − 2f2

B ∼

1 2 10 1 3/20 0 0

Por tanto la matriz escalonada obtenida tiene dos filas no nulas yconsecuentemente rg(B) = 2.





Caracterizacion de las matrices invertibles

Con las matrices escalonadas y las operaciones elementales no solose puede calcular el rango de una matriz sino que tambien resultanutiles en el calculo de matrices inversas como veremos acontinuacion. El primer aporte que pueden hacer es lacaracterizacion de las matrices invertibles a traves de su rango y desu matriz escalonada reducida.





Teorema de caracterizacion

Teorema

Sea A una matriz cuadrada A ∈ Mn(K). Entonces sonequivalentes:

A es invertible

rg(A) = n

La matriz escalonada reducida por filas (por columnas)equivalente a A es la matriz identidad In





Teorema de caracterizacion

Ademas, la tercera equivalencia aporta un metodo para calcular lamatriz inversa de una matriz invertible A ∈ Mn(K). Este consisteen escribir la matriz identidad In a la derecha de la matriz (escritode forma abreviada (A|In)) y, a traves de transformacioneselementales por filas (o por columnas), calcular la matrizescalonada reducida que sera de la forma(In|B). La matriz Bresultante es precisamente la matriz inversa de A, es decirA−1 = B.





Calculo de la matriz inversa

Ejercicio 5

Sea A la matriz cuadrada A ∈ Mn(K) dada por: 1 2 10 2 31 −1 2

Razonese si A es invertible y, si lo es, calculese su inversa.






Se comenzara por calcular su rango mediante las operacioneselementales siguientes:

A ∼ f3 = f3 − f1

A ∼ f2 = f2/2

A ∼ f3 = f3 + 3f2

A ∼ f3 = 2f3/11

A ∼

1 2 10 1 3/20 0 1

Se obtiene una matriz escalonada con tres filas no nulas. Por lotanto rg(A) = 3 y la matriz A es invertible.






Para calcular la matriz inversa se hara: 1 2 1 | 1 0 00 2 3 | 0 1 01 −1 2 | 0 0 1

A ∼ f3 = f3 − f1

A ∼ f2 = f2/2

A ∼ f3 = f3 + 3f2

A ∼ f3 = 2f3/11 1 2 1 | 1 0 00 1 3/2 | 0 1/2 00 0 1 | −2/11 3/11 2/11






A ∼ f2 = f2 − 3f3/2

A ∼ f1 = f1 − f3

A ∼ f1 = f1 − 2f2 1 0 0 | 7/11 −5/11 4/110 1 0 | 3/11 1/11 −3/110 0 1 | −2/11 3/11 2/11






Por tanto:

A−1 =

7/11 −5/11 4/113/11 1/11 −3/11−2/11 3/11 2/11

=1

11

7 −5 43 1 −3−2 3 2




Ecuaciones matricialesSistemas de ecuaciones linealesEl metodo de Gauss











¿Que es una ecuacion matricial?

Una equacion matricial es una ecuacion donde la incognita es unamatriz. Se resuelven transformando la ecuacion inicial en otraequivalente utilizando las propiedades y definiciones vistas. Parahallar la incognita es necesaria la matriz inversa.






Metodo de resolucion

XP = Q − R

Se multiplica por la derecha en ambos terminos por P−1

XPP−1 = (Q − R)P−1

Por definicion de matriz inversa AA−1 = A−1A = In

XIn = (Q − R)P−1

Por propiedad de la matriz identidad AIn = InA = A

X = (Q − R)P−1






Ejercicios

Resuelvase la ecuacion matricial P + QX = RS − TX . ¿Quecondicion ha de cumplirse para que se pueda hallar X?






P + QX = RS − TX

(P − P) + QX + TX = RS − P + (−TX + TX )

QX + TX = RS − P

(Q + T )X = RS − P

(Q + T )−1(Q + T )X = (Q + T )−1(RS − P)

InX = (Q + T )−1(RS − P)

X = (Q + T )−1(RS − P)

Para poder hallar X es necesario que la matriz (Q + T ) tengainversa.





Sistemas de ecuaciones lineales

Definicion

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognites de la forma:a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

· · · · · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

Con aij , bi ∈ K por i = 1, 2, · · · ,m i j = 1, 2, · · · , n es conocidocon el nombre de sistema de ecuacions lineales. Una solucion deeste sistema es un conjunto de n valores αi ∈ K, i = 1, 2, · · · , ntales que al hacer las sustituciones xi = αi en cada una de las mecuaciones las convierten en identidades.






Forma matricial

Un sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricialcomo AX = B donde:

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

X =

x1

x2...xm

B =

b1

b2...bm

La matriz A se denomina matriz de coeficientes, la matriz B determinos independientes y la matriz X de incognitas.






Matriz ampliada

Dado el sistema matricial AX = B, se define la matriz ampliadadel sistema como:

(A|B)

como ya se ha visto en la seccion anterior.





Sistema de ecuaciones lineales

Nota

Si resulta que m = n, entonces el sistema de ecuaciones lineales sepuede resolver facilmente:

AX = B

A−1AX = A−1B

X = A−1B

Basta encontrar la matriz inversa, si existe, y multiplicar las dosmatrices A−1 y B.






Sistemas compatibles e incompatibles

Un sistema de m ecuaciones lineales y n incognitas AX = B es:

Compatible: si tiene al menos una solucion.

Determinado: si la solucion es unica.Indeterminat: si tiene infinitas soluciones.

Incompatible: si no tiene solucion.

Dos sistemes lineales del mismo tamano (es decir, los dos tienen elmismo numero de ecuaciones y el mismo numero de incognitas)son equivalentes si tienen las mismas soluciones.






Ejercicios

Resuelvase el sitema lineal siguiente:x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 − 3x3 = 13x1 + 6x2 − 5x3 = 0






Se obtendran una serie de sistemas lineales equivalentes massencillos.

La primera ecuacion queda igual y se eliminara x1 de las otrasdos ecuaciones.

A la segunda ecuacion se le suma la primera multiplicada por−2.

A la tercera ecuacion se le suma la primera multiplicada por−3.

x1 + x2 + 2x3 = 92x2 − 7x3 = −173x2 − 11x3 = −27






De forma analoga se eliminara la variable x2 de la tercera ecuacion,sumandole la segunda multiplicada por −3/2

x1 + x2 + 2x3 = 92x2 − 7x3 = −17

− 12x3 = −3

2






El sistema se puede resolver comodamente por la sustitucionregresiva:

Se obtiene x3 de forma directa de la tercera equacion.

x3 = 3

Se sustituye x3 en la segunda ecuacion y se halla x2.

x2 =−17 + 7 · 3

2= 2

Se sustituye x3 y x2 en la primera ecuacion y se encuentra x1.

x1 = 9− 2− 2 · 3 = 1





El metodo de de Gauss

Ya se han visto las matrices escalonadas en una seccion anterior.

Definicion

Un sistema HX = C es escalonado si la matriz ampliada (H|C ) esuna matriz escalonada.Las variables que se corresponen con los pivotes se llamanvariables dependientes y el resto variables independientes.

Ya se ha visto el metodo de Gauss para obtener matricesescalonadas y para calcular el rango de una matriz A. Ahora seaplicara para encontrara las coluciones de los sistemas deecuaciones lineales.





El metodo de Gauss

Metodo de Gauss

1 Entre todas las filas se seleccionara la que tenga el pivote losmas a la izquierda posible y se colocara como primera fila.

2 Con el pivote de la primera fila se reduciran a cero todos loselementos que se encuentren por debajo de el.

3 Se repiten los pasos uno y dos con la submatriz formada portodas las filas excepto la primera. La nueva matriz que seobtiene tendra ceros por debajo del pivote de la fila 2.

4 Se repite el proceso con el fin de obtener una matrizescalonada.





El metodo de Gauss

Ejercicios

Resuelvase el siguiente sistema:x1 + x2 = 3

x2 + x3 = 5x1 + x3 = 4

5x1 − x2 + x3 = 6





El metodo de Gauss

Se realizan las siguientes operaciones:

f3 ∼ f3 − f1; f4 ∼ f4 − 5f1

f3 ∼ f3 + f2; f4 ∼ f4 + 6f1

f4 ∼ f4 −7

2f3

Se obtiene ası una matriz escalonada con tres variablesdependientes x1, x2 y x3 ya que tiene tres pivotes.

1 1 0 | 30 1 1 | 50 0 2 | 60 0 0 | 0





El metodo de Gauss

Aplicando sustitucion regresiva se obtiene esto:

x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3





El metodo de Gauss

Ejercicios

Resuelvase el siguiente sistema:x1 − 2x2 + x3 − x4 = 3

2x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = −13x1 − 5x2 + 3x3 − 4x4 = 3−x1 + x2 − x3 + 2x4 = 5





El metodo de Gauss

Se hace lo siguiente:

f2 ∼ f2 − 2f1; f3 ∼ f3 − 3f1; f4 ∼ f4 + f1

f3 ∼ f3 − f2; f4 ∼ f4 + f2

Se obtiene una matriz escalonada con dos variables dependientesx1 y x2 y dos variables independientes x3 y x4.

1 −2 1 −1 | 40 1 0 −1 | −90 0 0 0 | 00 0 0 0 | 0





El metodo de Gauss

Aplicando sustitucion regresiva se obtienen las variablesdependientes en funcion de las independientes.

x1 = −14− x3 + 3x4

x2 = −9 + x4

x3 = x3

x4 = x4




El concepto de determinantePropiedadesMatriz adjuntaCalculo de un determinanteAplicaciones de los determinantes











Concepto de determinante

Definicion

Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn(K) con aij ∈ K se denominadeterminante de la matriz A y se denota como |A| o como det(A)a un elemento del cuerpo K que se define por induccion de laforma siguiente:

Si n = 1, A = (a11) entonces |A| = a11.

Si n > 1, |A| = a11α11 − a12α12 + · · ·+ (−1)n+1a1nα1n

Donde α1i es el determinante de la matriz de orden n-1 que seobtiene al suprimir las primera fila y la columna i-esima de lamatriz A.






Ejercicio 1

Calculese el determinante de una matriz cuadrada de orden 2generica:

A =

(a11 a12

a21 a22

)Se tiene que:

α11 = |a22| = a22

α12 = |a21| = a21

Y por lo tanto el determinante es:

|A| = a11α11 − a12α12 = a11a22 − a12a22






Ejercicio 2

Calculese el determinante de la matriz cuadrada de orden 3generica:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Se tiene que:

α11 =

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ , α12 =

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣ , α13 =

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣Y por tanto el determinante es:

|A| = a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a31a23)+a13(a21a32−a31a22)

Este es el mismo resultado que se obtiene con la regla de Sarrus.Juan Gabriel Gomila Tema 1 - Matrices, sistemas y determinantes





Ejercicio 3

Calculese el determinante de la transpuesta de la matriz cuadradade orden 2 generica:

At =

(a11 a21

a12 a22

)Se tiene que:

α11 = |a22|, α12 = |a12|Y por tanto el determinante es:

|At | = a11α11 − a21α12 = a11a22 − a21a12

Por tanto se concluye que |At | = |A|.Este resultado es cierto ∀n ≥ 1: si A ∈ Mn(K), |At | = |A|





Propiedades de los determinantes

Debido a que A ∈ Mn(K), |At | = |A|, se puede deducir toda unaserie de propiedades tanto por filas como por columnas.Se denota como det(u1, · · · , ui , · · · , un) al determinante de lamatriz A ∈ Mn(K) que tiene como filas (o columnas) las matricesfila (o columna) ui , i = 1, · · · , n.






Propiedad 1

det(u1, · · · , λui , · · · , un) = λdet(u1, · · · , ui , · · · , un)

En particular si λ = 0, entonces det(u1, · · · , 0, · · · , un) = 0.

∣∣∣∣∣∣5 2 1

10 4 41 2 1

∣∣∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣∣∣5 1 1

10 2 41 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 4

∣∣∣∣∣∣5 1 15 1 21 1 1

∣∣∣∣∣∣






Propiedad 2

det(u1, · · · , ui + u′i , · · · , un) =

det(u1, · · · , ui , · · · , un) + det(u1, · · · , u′i , · · · , un)

∣∣∣∣∣∣2 1 + 2 13 3 + 2 11 1 + 2 2

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣2 1 13 3 11 1 2

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣2 2 13 2 11 2 2

∣∣∣∣∣∣






Propiedad 3

Si se intercambian dos filas o columnas de un determinante, eldeterminante cambia de signo.

det(u1, · · · , ui , · · · , uj , · · · , un) = −det(u1, · · · , uj , · · · , ui , · · · , un)

∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 12 3 0

∣∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣∣1 2 12 3 00 1 1

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 2 10 3 21 1 0

∣∣∣∣∣∣






Propiedad 4

Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales, su determinantees nulo.

det(u1, · · · , ui , · · · , ui , · · · , un) = 0

Propiedad 5

Si una matriz tiene dos filas o columnas proporcionales, sudeterminante es nulo.

det(u1, · · · , ui , · · · , λui , · · · , un) = 0






Propiedad 6

Si una fila o columna es combinacion lineal de las otras, eldeterminante es nulo. Es decir, si ui =

∑k 6=i akuk entonces:

det(u1, · · · , ui , · · · , un) = 0

∣∣∣∣∣∣1 0 12 1 33 4 7

∣∣∣∣∣∣ = 0

En este caso la tercera columna es la suma de las dos anteriores.






Propiedad 7

El determinante no cambia si a una fila o columna se le suma unacombinacion lineal de las otras.

det(u1, · · · , ui , · · · , un) = det(u1, · · · , ui +∑k 6=i

akuk , · · · , un)

∣∣∣∣∣∣3 1 −15 0 21 −1 1

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣3 1 −15 0 29 0 2

∣∣∣∣∣∣Dado que hemos obtenido el segundo determinante a partir delprimero sumando a la tercera fila una suma de la primera y lasegunda.





Adjuntos de una matriz

Definicion

Sea A = (aij)n×n, n ≥ 2. Sea aii el elemento que ocupa la fila i y lacolumna j de la matriz A. Si se suprime la fila i y la columna j deA se obtiene una matriz cuadrada de orden n − 1.

El determinante de esta matriz, que se denotara como αij y sellama menor complementario de aij .

El elemento Aij = (−1)i+jαij se denomina adjunto de aij .

La matriz adjunta de A = (aij)n×n, n ≥ 2, es la matriz quetiene como coeficientes a los adjuntos Aij de los elementos aijde la matriz A. Se denota por adj(A).






Ejercicio 4

Calculese la matriz adjunta de A

A =

1 0 32 1 13 −1 2






Solucion

adj(A) =

3 −1 −5−3 −7 1−3 5 1





Calculo de un determinante

El determinante de una matriz cuadrada A = (aij) de tipo n × ncon n ≥ 2 se puede calcular desarrollando por los adjuntos de loselementos de cualquiera de sus filas o columnas.






Desarrollar un determinante por adjuntos

Sea A = (aij) una matriz cuadrada de orden n × n. Entonces severifica:

det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin

(desarrollo de un determinante por los adjuntos de los elementosde una fila) y tambien:

det(A) = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj

(desarrollo por los adjuntos de los elementos de una columna).






Ejercicio 5

Calculese el determinante siguiente:

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 0 32 1 13 −1 2

∣∣∣∣∣∣Desarrollese por los elementos de la primera fila.






|A| = 1

∣∣∣∣ 1 1−1 2

∣∣∣∣− 0

∣∣∣∣ 2 13 2

∣∣∣∣+ 3

∣∣∣∣ 2 13 −1

∣∣∣∣ = 3− 0− 15 = −12






Ejercicio 6

Calculese el determinate siguiente:

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 0 32 1 13 −1 2

∣∣∣∣∣∣Desarrollese por los elementos de la segunda columna.






|A| = −0

∣∣∣∣ 2 13 2

∣∣∣∣+ 1

∣∣∣∣ 1 33 2

∣∣∣∣− (−1)

∣∣∣∣ 1 32 1

∣∣∣∣ = 0− 7− 5 = −12






Ejemplo

Si se aplican estos desarrollos a las matrices triangulares se tieneque el determinante de una matriz triangular es igual al productode los elementos de la diagonal principal.

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣4 3 1 00 −1 2 50 0 −3 30 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1

∣∣∣∣∣∣4 3 10 −1 20 0 −3

∣∣∣∣∣∣= −3

∣∣∣∣ 4 30 −1

∣∣∣∣ = −3(−4) = 12

En cada paso se ha hecho el desarrollo del determinante por losadjuntos de la ultima fila.






El desarrollo de un determinante por los adjuntos de los elementosde una fila o de una columna, junto con las propiedadesmencionadas arriba, permiten simplificar de manera considerable elcalculo de un determinante.






Ejercicio 7

Calculese el determinante:

|A| =

∣∣∣∣∣∣3 1 −15 0 21 −1 1

∣∣∣∣∣∣Usense las propiedades de los determinantes para ello.






|A| =

∣∣∣∣∣∣3 1 −15 0 21 −1 1

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣3 1 −15 0 24 0 0

∣∣∣∣∣∣ = −1

∣∣∣∣ 5 24 0

∣∣∣∣ = 8

Primero se suma la primera fila a la tercera y despues se hadesarrollado por los adjuntos de los elementos de la segundacolumna.






Ejercicio 8

Calculese el determinante que figura a continuacion:

|A| =

∣∣∣∣∣∣a + b + c b + c + a c + b + a

a b c1 1 1

∣∣∣∣∣∣Usense las propiedades de los determinantes para ello.






|A| =

∣∣∣∣∣∣a + b + c b + c + a c + b + a

a b c1 1 1

∣∣∣∣∣∣ =

(a + b + c)

∣∣∣∣∣∣1 1 1a b c1 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

Se ha extraıdo factor comun a + b + c y el determinante resultantees nulo porque tiene dos filas iguales.






Ejercicio 9

Calculese el determinante

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 1 1 1 10 3 0 0 0 0−1 1 0 1 0 −11 0 0 0 0 10 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Usense las propiedades de los determinantes para ello.






|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 1 1 1 10 3 0 0 0 0−1 1 0 1 0 −11 0 0 0 0 10 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1 1 10 3 0 0 0−1 1 0 1 01 0 0 0 00 0 1 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

1

∣∣∣∣∣∣∣∣0 3 0 0−1 1 0 11 0 0 00 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1

∣∣∣∣∣∣3 0 01 0 10 1 0

∣∣∣∣∣∣ = 3

∣∣∣∣ 0 11 0

∣∣∣∣ = −3

Se ha desarrollado por la sexta fila, por la quinta columna, por latercera fila y por la primera fila respectivamente.






Exercici 10

Calculese el determinante de Vandermonde de orden 4. En elprimer paso a cada fila se le resta la anterior multiplicada por a.

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣






|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 10 b − a c − a d − a0 b2 − ba c2 − ca d2 − da0 b3 − b2a c3 − c2a d3 − d2a

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

1

∣∣∣∣∣∣b − a c − a d − ab2 − ba c2 − ca d2 − dab3 − b2a c3 − c2a d3 − d2a

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣b − a c − a d − a

b(b − a) c(c − a) d(d − a)b2(b − a) c2(c − a) d2(d − a)

∣∣∣∣∣∣ =






(b − a)(c − a)(d − a)

∣∣∣∣∣∣1 1 1b c db2 c2 d2

∣∣∣∣∣∣ =

(b − a)(c − a)(d − a)

∣∣∣∣∣∣1 1 10 c − b d − b0 c2 − cb d2 − db

∣∣∣∣∣∣ =

(b − a)(c − a)(d − a)

∣∣∣∣ (c − b) (d − b)c(c − b) d(d − b)

∣∣∣∣ =

(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)

∣∣∣∣ 1 1c d

∣∣∣∣ =

(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c)





Aplicaciones en el calculo de matrices

Los determinantes son utiles para encontrar la inversa de unamatriz, el rango de una matriz y, como veremos mas adelante, parala resolucion de sistemas lineales.






Teorema

Sean A y B matrices cuadradas de orden n, A,B ∈ Mn(K).Entonces:

A es invertible si y solo si |A| 6= 0

|AB| = |A| · |B|Si |A| 6= 0, entonces |A−1| = 1

|A|

Si |A| 6= 0, entonces |A−1| = (adjA)t

|A|

Notese que la ultima propiedad supone una nueva manera decalcular la matriz inversa de una matriz dada A. Para calcular lamatriz inversa se ha de calcular la matriz adjunta, transponerla ydividirla por el determinante de la matriz dada.






Ejercicio 10

Calculese la matriz inversa de la matriz A con esta nueva tecnica:

A =

1 0 2−5 1 −12 −1 2






La matriz es invertible ya que |A| = 7 6= 0.

(adjA)t =

1 −2 −28 −2 −93 1 1

A−1 =1

7

1 −2 −28 −2 −93 1 1

Ademas se puede afirmar que det(A−1) = 7.






Otra aplicacion de los determinantes se halla en el calculo delrango de una matriz.

Menores de orden k

Sea A una matriz de orden m × n, A = (aij) ∈ Mm×n(K) y seak < n

Se denomina menor de orden k de la matriz A al determinantede cualquier matriz cuadrada de orden k obtenida al suprimirm − k filas y n − k columnas de A.

Dado un menor de orden k de la matriz A, orlar este menorconsiste en completarlo hasta lograr un menor de orden k + 1de A con otra fila y otra columna de la matriz dada A.






Se pueden utilizar estos menores para calcular el rango de unamatriz A cualquiera.

Teorema

Sea A una matriz de orden m × n, A = (aij) ∈ Mm×n(K) y seak < n Entonces se puede encontrar un menor de orden k no nulo ytodos los de orden k + 1 seran nulos, entonces el rang(A) = k . Esdecir, el rango de la matriz A coincide con el orden del mayormenor no nulo obtenido de A.






El teorema anterior se puede mejorar con el siguiente segmento:

Teorema

Sea A una matriz de orden m × n, A = (aij) ∈ Mm×n(K) y seak < n Entonces, se puede encontrar un menor de orden k no nuloy todas las maneras posibles de orlar este menor daran menoresnulos, entonces el rang(A) = k .






Ejercicio 12

Calculese el rango de la siguiente matriz:

A =

2 −2 −24 −2 −6−1 1 10 1 −1






El primer menor de orden 2 es no nulo:∣∣∣∣ 2 −24 −2

∣∣∣∣ = −2 + 8 = 6 6= 0

Se sigue el primer teorema, hay que comprobar que todos losmenosres de orden 3, si todos son 0 el rango sera 2, y sino seratres (el maximo ya que solo hay tres columnas).Gracias al segundo teorema bastara comprobar los menores deorden 3 que se obtienen orlando el menor no nulo hallado.






De esta manera solo hay que probar los menores:∣∣∣∣∣∣2 −2 −24 −2 −6−1 1 1

∣∣∣∣∣∣ = · · · = 0

∣∣∣∣∣∣2 −2 −24 −2 −60 1 −1

∣∣∣∣∣∣ = · · · = 0

De esta forma se puede afirmar que rang(A) = 2.






Ejercicio 13

Determınese para que valores del parametro α la siguiente matrizes invertible y, en los caoss en los que lo es, hallar la inversa

A =

α 4 5−α 1 2−α −α 0






Para ser invertible el determinante ha de ser distinto de cero:

det(A) = α(7α− 3)

Ası la matriz es invertible si α 6= 0, 3/7, en este caso la inversa es:

A−1 =1

7α + 3

2 −5 3/α−2 5 −7α + 1 α− 4 5






Ejercicio 14

Determınese el rango de la siguiente matriz segun los valores delparametro α

A =

α 1 α + 1 10 2α α− 1 01 0 2α 1






Se ve de manera inmediata que el menor de orden 2 formado porlas dos primeras columnas y las filas primera y tercera no sonnulas, cualquiera que sea el valor de α∣∣∣∣ α 1

1 0

∣∣∣∣ = −1 6= 0






Completandolo con la cuarta columna, que es la mas sencilla porno tener parametros, se obtiene:∣∣∣∣∣∣

α 1 10 2α 01 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 2α(α− 1)

De esta manera el rango de la matriz sera 3 (no puede ser superiorporque la matriz solo tiene 3 filas) siempre que α sea distinto de0, 1.






En el caso de que α = 0, la matriz queda:

A =

0 1 1 10 0 −1 01 0 0 1

Con menor no nulo: ∣∣∣∣∣∣

0 1 10 0 −11 0 0

∣∣∣∣∣∣ = 1

Por lo tanto en este caso, el rango de A es tambien 3.






En el caso de que α = 1, la matriz queda ası:

A =

1 1 2 10 2 0 01 0 2 1

En este caso los dos menores de orden 3 que comprenden nuestrosmenor de orden dos no nulo son 0. ya se sabe con la cuartacolumna y con la tercera se tiene:∣∣∣∣∣∣

1 1 20 2 01 0 2

∣∣∣∣∣∣ = 0

Por tanto, en este caso, el rango de A es 2.





Aplicaciones a la resolucion de sistemas de ecuacioneslineales

Ya hemos visto como resolver sistemas de ecuaciones lineales conel metodo de Gauss. En esta seccion veremos como emplear losconocimientos que tenemos sobre determinantes para hacer estatarea de otra manera. En particular nos seran muy utiles para:

Discutir un sistema; es decir, decidir si un sistema es o nocompatible en funcion de los valores que tenga un parametrodado.

Resolver el sistema en el caso de compatibilidad.

Para ello se introduce el Teorema de Rouche-Frobenius.






Rango de un sistema de ecuaciones lineal

Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales. Se denotara porrang(A) el rango del sistema y por rang(A∗) el rango de la matrizampliada (A|B)

Se satisface que:rang(A) ≤ mın(n,m)

Donde n es el numero de ecuaciones y m el numero de incognitas.






Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones yn incognitas.

Teorema de Rouche-Frobenius

La condicion necesaria y suficiente para que el sistema seacompatible es que rang(A) = rang(A∗).Ademas, si coincide que rang(A) = n, el sistema es compatibledeterminado. En caso contrario, si rang(A) < n, el sistema escompatible indeterminado.

rang(A) = rang(A∗): Sistema compatiblerang(A) = rang(A∗) = n: Sistema compatible determinadorang(A) = rang(A∗) < n: Sistema compatible indeterminado

rang(A) < rang(A∗): Sistema incompatibleJuan Gabriel Gomila Tema 1 - Matrices, sistemas y determinantes





Ejercicios

Discutase el rango del sistema siguiente:6x − y + 3z = 6−6x + 8y = −102x − 5y − z = 4

Sol: rang(A) = 2 < 3 = rang(A∗): sistema incompatible.






Ejercicios

Dado el sistema:a11x + a12y + a13z = b1

a21x + a22y + a23z = b2

a31x + a32y + a33z = b3

con ∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ 6= 0

y rang(A∗) = 2, ¿que se puede decir del sistema?

Sol: Sistema compatible indeterminado.






Un sistema homogeneo es aquel donde B = 0. Al aplicar elteorema de Rouche-Frobenius se observa que siempre tienensolucion, ya que al estudiar la matriz ampliada no se anadeinformacion adicional a la matriz de coeficientes.

Ejercicios

Discutase el rango del sistema siguiente:2x + y − z = 0x + 2y + z = 0

3x + y − 2z = 0

Sol: rang(A) = 2 = rang(A∗) < n = 3: sistema compatibleindeterminado.






Ejercicios

Discutase el rango del sistema en funcion del parametro a.ax + y + z = 1x + 2y + az = 1

2x + y + z = a

Sol: a 6= 1, 2: sistema compatible determinado. a = 1: sistemacompatible indeterminado. a = 2: sistema incompatible.





Regla de Cramer

Sistemas de Cramer

Un sistema AX = B con m ecuaciones y n incognitas se denominaregular o de Cramer si rang(A) = n = m.

Dado que el numero de ecuaciones e incognitas coinciden se tratade matrices cuadradas de tamano igual al rango de la matriz.De forma trivial, cualquier sistema de Cramer es compatible ydeterminado. En este caso la regla de Cramer permite calcular lasolucion el sistema de forma bastante sencilla.





Regla de Cramer

Regla de Cramer

Un sistema regular AX = B donde Ai denota la columna i-esimade la matriz A, admite una solucion unica dada por:

xi =Di

D, i = 1, 2, · · · , n

Donde:D = det(A1,A2, · · · ,An)

Di = det(A1,A2, · · · ,Ai−1,B,Ai+1, · · · ,An)





Regla de Cramer

Ejercicios

Discutase y resuelvase el siguiente sistema:2x + 3y − z = 6x − 5y + 2z = −4

3x + 2y − 3z = −6

Sol: SCD conx = 1, y = 3, z = 5





Regla de Cramer

Ejercicios

Discutase y resuelvase el siguiente sistema:x + 2y − z = 10

2x − 4y − 2z = 5x + y + z = 6

Sol: SCD con

x =83

16, y =

15

8, z =

−17

16





Regla de Cramer

Ejercicios

Discutase y resuelvase el siguiente sistema:x + 2y + 2z = 2

3x − 2y − z = 52x − 5y + 3z = −4x + 4y + 6z = 0

Sol: SCD conx = 2, y = 1, z = 1





Regla de Cramer

Ejercicios

Discutase y resuelvase el siguiente sistema:2x + y − z = 0x + 2y + z = 0

3x + y − 2z = 0

Sol: SCI conx = z , y = −z , z = z





Regla de Cramer

Ejercicios

Discutase y resuelvase el siguiente sistema:3x − 4y + 3z − s + 2t = 03x − 6y + 5z − 2s + 4t = 05x − 10y + 7z − 3s + t = 0

Sol: SCI con

x = x , y =x − 5t

2, z = −5t, t = t, s = −3t


tema 1 Álgebra linea: cálculo matricial

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