tema 1: Álgebra matricial

de 19

Profesora: Almudena Casares Fernández

TEMA 1: ÁLGEBRA MATRICIAL

Una matriz es una ordenación numérica en filas y columnas, donde cada

elemento queda perfectamente determinado nombrando su fila y su columna.

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

n n nm n m

a a a

a a a

a a a

Los números ija se llaman elementos o términos de la matriz. Los números

naturales i y j representan respectivamente la fila y la columna a las que

pertenece el elemento ija .

Todos los elementos de la misma fila tienen en común el primer subíndice y

todos los elementos de la misma columna tienen en común el segundo

subíndice.

Para expresar una matriz se hará con A, (A), ó (ija ).

Se llama orden o dimensión de una matriz al número de filas y de columnas

que tiene dicha matriz, y se escribe n m (n filas y m columnas)

En una matriz n×n (con mismo número de filas que columnas):

Se llama diagonal principal la que va del extremo superior izquierdo al

extremo inferior derecho. Sus elementos son iia .

Se llamará diagonal secundaria a la que va del extremo superior derecho al

extremo inferior izquierdo. Sus elementos cumplen que 1i j n .

1. TIPOS DE MATRICES

a) Matriz cuadrada: n m

b) Matriz rectangular: n m

c) Matriz fila o vector fila: 1 m

de 19


11 12 1ma a a

d) Matriz columna o vector columna: 1n

11

21

1n

a

a

a

e) Matriz nula: 0 i,jija .

f) Matriz opuesta: Es la que se obtiene cambiando el signo de todos los

elementos de A. Se representa por -A. Si A ij ija A a .

Para matrices cuadradas tenemos:

g) Matriz diagonal: Matriz cuadrada que tiene todos los elementos 0, menos

los de la diagonal principal que pueden o no serlo.

0 i jija

11

22

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 nn

a

a

a

h) Matriz escalar: Cuando siendo diagonal, los elementos de la diagonal son

siempre iguales.

i) Matriz unidad: Matriz escalar siendo los elementos de la diagonal la

unidad.

nI = Identidad o unitaria

En general:

i j

i j

i j

j) Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada donde los elementos situados

por encima de la diagonal principal son nulos.

Tema1: Álgebra matricial 2º Bach CCSS

Página 3 de 19


0;ija i j

11

21 22

31 32 33

1 2 3

0 0 0

0 0

0

0

n n n nn

a

a a

a a a

a a a a

k) Matriz triangular superior: Matriz cuadrada donde los elementos situados

por debajo de la diagonal principal son nulos.

0;ija i j

11 12 13 1

22 23 2

33 3

0

0 0

0 0 0

m

m

m

nn

a a a a

a a a

a a

a

Al conjunto de las matrices de orden n×m se nota n m . Cuando las matrices

son cuadradas n .

2. MATRICES IGUALES

Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los términos que ocupan el

mismo lugar (homólogos) son iguales.

,ij ijA B a b i j

3. OPERACIONES CON MATRICES 3.1 SUMA DE MATRICES

Para que dos matrices puedan sumarse es necesario que tengan el mismo orden.

de 19


:

( , )

n m n m n m

A B A B C

(Ley de composición interna1)

Dadas , n mA B M la matriz suma es otra matriz n mC M tal que i,jij ij ijc a b .

Es decir, para sumar dos matrices, sólo tenemos que sumar los elementos

homólogos.

Ejemplo:

2 1 0 6 5 4 8 6 4

7 3 1 1 2 2 6 5 3

La diferencia de dos matrices se define como: A B A B .

Ejemplo:

2 1 0 6 5 4 4 4 4

7 3 1 1 2 2 8 1 1

P R O P I E D A D E S D E L A S U M A

Sumar matrices es sumar números reales, por lo tanto tiene todas las

propiedades de los números reales.

a) Asociativa: A B C A B C

b) Conmutativa: A B B A

c) Elemento neutro: 0A A , la matriz nula.

d) Elemento simétrico: -A; la matriz opuesta. 0A A

3.2 PRODUCTO DE ESCALAR POR MATRIZ

Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica cada término de la

matriz por ese número.

:

( , ) ·

n m n m

A A

(Ley de composición externa2)

1 Una ley de composición interna sobre un conjunto no vacío A, es cualquier aplicación de AxA

en A, que a cualquier par de elementos de A le hace corresponder un único elemento de A.


Página 5 de 19


entonces ·ij n m ijA a M A a

Se puede hacer el proceso contrario. Si observamos que una matriz está

multiplicada por un número, puedo sacar ese número de la matriz.

Ejemplo:

2 1 0 4 2 02·

7 3 1 14 6 2

P R O P I E D A D E S D E L P R O D U C T O P O R E S C A L A R

a) Distributiva respecto de la suma de matrices: · · ·A B A B

b) Distributiva respecto a la suma de escalares: · · ·A A A

c) Asociativa mixta: · · ·A A

d) Elemento neutro, unitario o unidad:1 A A

, ,·n m donde hemos definido una ley de composición interna llamada suma,

y una ley de composición externa llamada producto por escalar, se dice que

tiene estructura de espacio vectorial por cumplir estas ocho propiedades.

3.3 PRODUCTO DE MATRICES

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la

primera coincida con el número de filas de la segunda.

En tal caso, el producto es otra matriz cuyos elementos se obtienen

multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la

segunda, del siguiente modo:

1

, ·

·

n p p m n m

p

ij ik kj

k

A B C A B

c a b

Ejemplo:

2 1 1 2 3 2 5 4·

0 3 4 1 2 12 3 6

2 Una ley de composición externa en A con dominio de operadores K es cualquier aplicación de

KxA en A que atribuye a todo par (k,a) un elemento de A.

de 19


P R O P I E D A D E S D E L P R O D U C T O

a) Asociativa: ( ) ( )A B C A B C

b) ¡No es conmutativa! 2×3, 3×5 si se invierte el orden no se pueden

multiplicar. No es conmutativa aunque podamos encontrar alguna

matriz que lo cumpla.

c) Elemento neutro: A A I A y I A An m m n

d) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de matrices:

( ) y A B C A B A C B C A B A B C

3.4 TRASPOSICIÓN DE MATRICES

La matriz traspuesta se obtiene permutando entre sí filas por columnas.

t

m n n mA A

Ejemplo:

2 3

3 2

2 72 1 0

1 37 3 1

0 1

tA A

P R O P I E D A D E S D E L A T R A S P O S I C I Ó N

a) ( )t tA A

b) ( )t t tA B A B

c) ( )t tA aA

d) ¡La traspuesta del producto no es el producto de las traspuestas!

2×3 3×5

3×2 5×3 no se pueden multiplicar

e) ) ·( · t t tA B B A

Como consecuencia de la trasposición tenemos los siguientes tipos de matrices:

a) Matriz simétrica: ; t

nA M A A

Ejemplo: Primera fila igual a primera columna, segunda fila igual a segunda

columna,…


Página 7 de 19


1 2 3

2 4 8

3 8 2

b) Matriz antisimétrica: ; t

nA M A A o equivalentemente 0tA A .

Ejemplo:

0 2 4

2 0 3

4 3 0

4. UTILIZACIÓN DE LAS MATRICES EN

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Problema 1: Para viajar de A a C, no hay vuelo directo. Necesariamente hay que

hacer escala a alguno de los aeropuertos intermedios.

a) ¿Cómo representar matricialmente esta situación?

b) ¿Cuántas combinaciones hay de A a C?

Solución:

a)

1

21 2 3 4

3

4

C

3

0;

(1 2 0 3) 2

2

B

BB B B B

BA

B

de 19


b)

3

01 2 0 3 · 9

2

2

Problema 2: El número de estudiantes en cierta academia es: 100 en 1º, 90 en 2º

y 80 en 3º. Al finalizar el curso pasan a 3º: el 20% de los que había en 3º

(repiten), el 70% de los de 2º, y el 5% de los de 1º que han tenido un

aprovechamiento extraordinario. ¿Cuántos alumnos habrá en 3º?

Solución:

0,051º 2º 3º

; 0,70(100 90 80)

0,20

0,05

100 90 80 · 0,70 84

0,20

Problema 3: En una ciudad A hay tres aeropuertos internacionales, A₁, A₂, A₃;

en una ciudad B hay cuatro B₁, B₂, B₃, B₄, y en una ciudad C hay dos, C₁, C₂. Las

combinaciones para ir de A a C vienen dadas en el gráfico siguiente:

Aplicar el producto de matrices para obtener las combinaciones para ir de cada

aeropuerto de A a cada aeropuerto de C pasando por alguno de B.

Solución:

1 2 3 4

1

2

3

B B B B

1 0 2 0

0 1 1 1 ;

0 0 0 1

A

A

A

1 2

1

2

3

4

C C

3 2

1 0

1 0

0 2

B

B

B

B


Página 9 de 19


Al multiplicarlas nos da la matriz:

1 2

1

2

3

C C

5 2

2 2

0 2

A

A

A

.

Problema 4: En la academia del ejercicio 2 se han dado los resultados

siguientes:

Primer curso: 25% repiten, 60% pasan a 2º, 5% pasan a 3º (el resto

abandona)

Segundo curso: 30% repiten, 70% pasan a 3º.

Tercer curso: 20% repiten.

Utiliza el producto de matrices para obtener el número de alumnos que habrá el

próximo año en cada nivel (salvo los nuevos).

Solución:

Están en 1º 2º 3º

Pasan a 1º 0,25 0 0

2º 0,60 0,30 0

3º 0,05 0,70 0,20

;

1º 100

2º 90

3º 80

Al multiplicarlas nos da la matriz:

Pasan a 1º 25

2º 87

3º 84

5. N-UPLAS DE NÚMEROS REALES

A una colección de n números ordenados, se llama n-upla.

Una combinación lineal (C.L.) de varias n-uplas es el resultado de multiplicar

cada una de ellas por un número y sumarlas.

Varias n-uplas se dicen que son linealmente dependientes (L.D.) cuando

alguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás; en caso

contrario se dicen linealmente independientes (L.I.).

de 19


Ejemplos:

a) {(1,3), (2,0)} son L.I.

b) {(1,1), (2,2)} son L.D.

Un conjunto de n-uplas donde esté la n-upla cero 0,0,0, ,0 es siempre

linealmente dependiente.

6. RANGO DE UNA MATRIZ

Llamamos rango de una matriz al número de filas que son linealmente

independientes.

Teorema: El número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I. Según

esto, el rango de una matriz es el número de filas o de columnas L.I.

Las transformaciones a las que se somete una matriz cuando aplicamos el

método de Gauss no modifica el rango, es decir, se conservan las relaciones de

dependencia o independencia lineal de la fila transformada con las restantes.

Por tanto, para hallar el rango de una matriz, podemos proceder a "hacer ceros".

M É T O D O D E G A U S S

El objetivo del método de Gauss es pasar de una matriz, mediante

transformaciones elementales, a otra equivalente (con el mismo rango) pero

siendo esta escalonada.

El rango de una matriz escalonada final es, el número de filas distintas de

0,0,0, ,0 .

Transformaciones elementales:

1) Si se cambian el orden de las filas la matriz obtenida es equivalente.

2) Si multiplico una fila por un número distinto de cero, la matriz obtenida

es equivalente.

3) Si en la matriz quito una fila que sea C.L. de otras obtengo una matriz

equivalente.

4) Si en una matriz sustituyo una fila por una C.L. de otras donde ella esté,

obtengo una matriz equivalente.


Página 11 de 19


Ejemplo:

a)

2 1

3 1 3 2

25 4

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1

2 3 4 4 0 1 8 6 0 1 8 6 3

5 1 3 16 0 4 13 21 0 0 45 45

F FF F F F

A Rg A

b)

2 1

3 1 3 21 2

23·

2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2

1 2 2 2 2 1 0 6 3 0 6 3 2

1 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 0

F FF F F FF F

B Rg B

7. MATRIZ INVERSA

Una matriz se dice inversible o que tiene inversa, si existe una matriz A⁻¹

llamada inversa de A tal que:

1 1A A A A I

Por lo tanto, es claro que A y A⁻¹ deben ser cuadradas y del mismo orden.

Si una matriz tiene inversa se llama regular. En caso contrario se llama

singular.

La condición necesaria y suficiente para que una matriz A tenga inversa es

que su rango coincida con su orden.

Para calcular la matriz inversa se puede utilizar el método de Gauss-Jordan por

filas.

1A I I A

Ejemplo:

1 1 0

1 0 0

0 1 1

A

;

de 19


3 22 1

1 2 21·

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0

0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

F FF F

F F F

Por lo tanto, la inversa de A es: 1

0 1 0

1 1 0

1 1 1

A

.

P R O P I E D A D E S

a) La matriz inversa si existe es única.

b )

11A A

c )

1 1 1· ·A B B A

d )

11

ttA A

A P L I C A C I Ó N

El cálculo de la inversa sirve para resolver ecuaciones matriciales.

1 . AX B X A B

8. APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA

MATRICIAL A LA TEORÍA DE GRAFOS

8.1 INTRODUCCIÓN: Algo de historia La teoría de grafos tiene un claro origen y comienzo en un trabajo publicado en

1736 por el matemático suizo Leonhard Euler relacionado con el popular

problema conocido como “los siete puentes de Königsberg”. La antigua ciudad

de Königsberg pertenecía a Prusia y hoy es denominada Kaliningrado. Ésta se

encuentra a orillas del Mar Báltico, en territorio ruso, a unos 50 kilómetros de la

frontera con Polonia. Uno de sus habitantes más ilustres fue el filósofo Kant.

“En la antigua ciudad de Königsberg, sobre el río Pregel, se construyeron siete


Página 13 de 19


puentes que unían las dos partes de la ciudad asentada sobre ambas orillas y en

dos islas situadas sobre el río (tal como se ve en el dibujo). En estas

circunstancias geográficas, el problema a resolver era: ¿Sería posible circular a

lo largo de la ciudad iniciando y finalizando en el mismo lugar del paseo de tal

forma que los puentes se crucen una sola vez?” (La respuesta fue “No”).

Ciudad; Puente

Hoy en día, los grafos se están convirtiendo en una herramienta muy poderosa

de múltiples disciplinas. Ingeniería eléctrica, redes de comunicación,

computación, economía, sociología, etc. Tanto por su simplicidad como modelo

de muy variadas situaciones, como por su sencillez en dar solución a los

problemas, en muchos casos, en forma de algoritmos computables en

ordenador. Aparecen en diferentes campos bajo denominaciones distintas:

“redes” en ingeniería eléctrica, “estructuras moleculares” en química, “mapas

de carreteras”, “sociogramas”, “redes de telecomunicaciones” etc. El modelado

es simple pues se tomarán los objetos (lugares, aparatos, personas, …) como

vértices y las conexiones (cables, relaciones, tratos, …) como aristas.

de 19


8.2 Tipos de grafos. Elementos de un grafo 3.

Definición: Un grafo es un par de conjuntos finitos, G=(V, A), donde V es el

conjunto de vértices y A es el conjunto de aristas. Una arista es un par no

ordenados de vértices, esto es, cada arista conecta dos vértices que llamaremos

extremos de la arista {vi,vj}.

En un grafo nos podemos encontrar:

Lazos o bucles: aristas cuyos extremos coinciden.

Aristas múltiples o paralelas: cuando dos vértices están conectados por

más de una arista. En este caso se habla de multígrafo.

Vértices aislados: vértices que no están conectados a ningún otro vértice.

Ejemplo:

En este grafo tenemos 7 vértices (representados con puntos) y 9 aristas

(representadas con líneas)

3 3,v v es un lazo o bucle.

1 6,v ves una arista múltiple.

7v es un vértice aislado.

Cuando un grafo no posee ni aristas múltiples ni bucles, se dice que se trata de

un grafo simple.

3 Hay que advertir que la terminología utilizada en la teoría de grafos no está estandarizada,

pudiendo variar de unos textos a otros.


Página 15 de 19


La figura 1 es un grafo que no es simple ya que tiene un bucle, la figura 2 es un

multigrafo y la figura 3 es un grafo simple.

También podemos hablar de grafos dirigidos donde cada arista tiene una

dirección de recorrido. Estos grafos se utilizan, por ejemplo, como modelo para

una distribución de agua por la red de tuberías de una ciudad, la red viaria con

calles de sentido único, etc.

Definición: Un grafo dirigido o dígrafo está formado por un par de conjuntos

finitos, D=(V,A), donde V es el conjunto de vértices, y A es el conjunto de

aristas dirigidas o arcos; En este caso los arcos son pares ordenados de

elementos de V. Cada arco conecta dos vértices que llamaremos

respectivamente extremo inicial y extremo final del arco, ,i jv v

. (Nótese que

ahora utilizamos los paréntesis en vez de llaves {}).

Si los grafos se representan con puntos y líneas que los unen, los dígrafos se

representan con puntos y flechas entre ellos.

Definición: Un grafo o un digrafo es conexo es conexo si cada par de vértices

está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b),

existe al menos un camino posible desde a hacia b. En caso contrario se dice no

conexo o disjunto.

Ejemplo:

de 19


Los grafos (a) y (b) son conexos. El (c) no es conexo.

Definición: Un grafo (no dígrafo) o multigrafo, es un árbol si es conexo y no

contiene ciclos (es decir, un camino que no posee aristas ni vértices repetidos y

en el que coinciden los vértices inicial y final).

Ejemplo:

G1, es un grafo conexo que no posee ciclos, por lo tanto, es un árbol.

G2, es un grafo conexo que posee el ciclo abc, por lo tanto, no es un árbol.

G3, no es conexo, por lo tanto, no es un árbol.

8.3 Representación de grafos. Matriz de adyacencia. Matriz de incidencia.

Definición:

a) En un grafo no dirigido, el número de aristas incidentes en un vértice se

denomina grado del vértice, gr(v).

b) En un digrafo, se denomina ingrado de un vértice al número de arcos

incidentes en un vértice, ing(v), y exgrado al número de arcos salientes

del vértice, exg(v).


Página 17 de 19


Definición: Dado un grafo G = (V, E) con n vértices 1{ , , }nv v su matriz de

adyacencia es la matriz de orden n×n, ( )ijA G a donde ija es el número de

aristas que unen los vértices iv y

jv .

Ejemplo:

Nota: La matriz de adyacencia de un grafo (no dirigido) es simétrica. Si un

vértice es aislado entonces la correspondiente fila (columna) está compuesta

sólo por ceros. Si el grafo es simple entonces la matriz de adyacencia contiene

sólo ceros y unos (matriz binaria) y la diagonal está compuesta sólo por ceros.

Definición: Dado un grafo dirigido o dígrafo D = (V, E) con n vértices 1{ , , }nv v

su matriz de adyacencia es la matriz de orden n×n, ( )ijA D a donde ija es el

número de arcos que tienen a iv como extremo inicial y a jv como extremo

final.

Ejemplo:

Nota: La matriz de adyacencia de un dígrafo no es simétrica. Suponiendo el

grafo simple entonces es una matriz binaria. El número de unos que aparecen

en una fila es igual al grado de salida del correspondiente vértice (exgrado) y el

número de unos que aparecen en una determinada columna es igual al grado

de entrada del correspondiente vértice (ingrado).

de 19


Definición: Dado un grafo simple G = (V, E) con n vértices 1{ , , }nv v y m aristas

1,..., ,me e su matriz de incidencia es la matriz de orden nxm, ijB G b ,

donde 1ijb si iv es incidente con

je y 0ijb en caso contrario.

Ejemplo:

La matriz de incidencia será:

1 2 3 4

1

2

3

4

1 1 1 0

0 1 0 1

1 0 0 1

0 0 0 1

e e e e

v

B G v

v

v

8.4 Para saber +

A la hora de dibujar un mapa de cartografía, se representan los respectivos

países con colores distintos con el fin de distinguir aquellos fácilmente. Esto no

supone problema alguno si se dispone de un gran número de colores. Pero la

cuestión es encontrar el número mínimo de estos con los que completar un

determinado mapa y tratando que dos zonas adyacentes no sean del mismo

color.

Por ejemplo, para colorear el mapa M1, que posee cinco zonas, en las

condiciones que acaban de enunciarse, serían necesarios, como mínimo tres

colores.


Página 19 de 19


Este problema se puede representar mediante un grafo si cada país se le hace

corresponder con un vértice del grafo y de forma que los lados conecten dos

vértices siempre y cuando los países tengan frontera común. El problema es

asignar colores a vértices de manera que no existan vértices adyacentes con el

mismo color.

Este problema descrito sería análogo a este otro:

En un laboratorio farmacéutico es conveniente por seguridad, que

determinados compuestos químicos para la fabricación de medicamentos no

estén almacenados unos próximos a otros. Por ello, habrá que prever que los

agentes químicos incompatibles se almacenen en áreas separadas. El problema

será determinar el total de compartimentos a disponer.

Otro problema sería cómo planificar los exámenes en un centro formativo para

que no le coincidan a un alumno dos exámenes al mismo tiempo.

Todos estos problemas se traducen en problemas de grafos.

Como diría el matemático ruso del siglo XIX Lobachevski:

“No hay ninguna rama de la matemática, por abstracta que sea que no pueda

aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real”.

tema 1: Álgebra matricial

Documents