tema 3 Álgebra lineal: espacios vectoriales

Conjuntos libres y ligadosEspacios vectoriales de dimension finita

Cambio de baseSubespacios vectoriales

Bases ortogonales y ortonormales

Espacios vectorialesEstudios de Ingenierıa

Juan Gabriel Gomila

Frogames

[email protected]

10 de febrero de 2016

Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales




Indice1 Conjuntos libres y ligados

Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores

2 Espacios vectoriales de dimension finitaEspacios vectorialesSistema generadorBase de un espacio vectorialDimension y coordenadas de una base

3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base

4 Subespacios vectorialesConcepto de subespacio vectorial

5 Bases ortogonales y ortonormalesMetodo de diagonalizacion de Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio






1 Conjuntos libres y ligadosCombinaciones linealesDependencia eindependencia linealRango de un conjunto devectores

2 Espacios vectoriales dedimension finita

Espacios vectorialesSistema generadorBase de un espaciovectorial

Dimension y coordenadasde una base


4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial

5 Bases ortogonales yortonormales

Metodo de diagonalizacionde Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de unvector sobre un subespacio






Combinaciones lineales

Combinacion lineal

Recuerdese que dados p vectores ~u1, ~u2, · · · , ~up ∈ Kn y losescalares α1, α1, · · · , αp ∈ K una combinacion lineal de esos pvectores es un vector dado por una expresion de la forma:

α1~u1 + α2~u2 + · · ·+ αp~up ∈ Kn

Ejercicios

Expresese el vector (2,−4) como una combinacion lineal de losvectores (1, 1) y (−2, 0).

Sol:(2,−4) = −4(1, 1)− 3(−2, 0).







Ejercicios

Expresese el vector (4,−11) como una combinacion de los vectores(2,−3) y (4,−6).

Sol: no tiene solucion.

Ejercicios

Expresese el vector (4,−11) como una combinacion de los vectores(2,−1) y (1, 4).

Sol:(4,−11) = 3(2,−1)− 2(1, 4).

Ejercicios

Pruebese que el vector (1, 0) no se puede expresar como unacombinacion lineal de (2,−3) y (4,−6)







Ejercicios

Expresese el vector (4,−5, 6) como una combinacin lineal de losvectores (2,−3, 5) y (−1, 3, 2).

Sol: no tiene solucion

Ejercicios

Expresese el vector (4,−5, 7) como una combinacion lineal de losvectores (0,−3, 5), (1, 0,−3) y (−1, 3, 4).

Sol:(4,−5, 7) = 319 (0,−3, 5) 52

9 (1, 0,−3) + 169 (−1, 3, 4).

Ejercicios

Expresese, si es posible, el vector (0, 0, 0) como una combinacionlineal de (−1, 3, 1), (1, 0,−3) y (−1, 3, 4), distinta de (0, 0, 0).






Dependencia e independencia lineal

Dependencia lineal

Dados el conjunto ed vectores ~u1, ~u2, · · · , ~up ∈ Kn dıcese que sonlinealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar comouna combinacion lineal del resto. Son LD si:

∃1 ≤ i ≤ p :∑k 6=i

αk~uk = ~ui







Ejercicios

Dıgase si el conjunto de vectores (2,−4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 0) eslinealmente dependiente.

Ejercicios

Dıgase si el conjunto de vectores (−1, 6, 5), (1, 0,−3) y (−1, 3, 4)es linealmente dependiente.







Independencia lineal (II)

Dado el conjunto de vectores ~u1, ~u2, · · · , ~up ∈ Kn dıcese que sonlinealmente dependientes si la ecuacion vectorial

p∑i=1

αi ~ui = ~0

tiene infinitas soluciones, y por tanto los escalares αi ∈ K puedentener valores no nulos.

Ejercicios

Dıgase si el conjunto de vectores (2,−4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 0) eslinealmente dependiente.







Independencia lineal

Dado el conjunto de vectores ~u1, ~u2, · · · , ~up ∈ Kn dıcese que sonlinealmente independientes si no es posible expresarlos como unacombinacion lineal del resto. Son LI si:

6 ∃1 ≤ i ≤ p :∑k 6=i

αk~uk = ~ui

Ejercicios

Dıgase si el conjunto de vectores (2,−4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 1) eslinealmente independiente.







Dependencia lineal (II)

Dado el conjunto de vectores ~u1, ~u2, · · · , ~up ∈ Kn dıcese que sonlinealmente independientes si la ecuacion vectorial

p∑i=1

αi ~ui = ~0

tiene como unica solucion la solucion trivial, es decirαi = 0∀1 ≤ i ≤ p.

Ejercicios

Dıgase si el conjunto de vectores (2,−4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 1) eslinealmente independiente.







Ejercicios

Demuestrese que el conjunto (1, 1) y (1, 0) es LI.

Ejercicios

Demuestrese que el conjunto (1, 1) y (0, 1) es LI.

Ejercicios

Demuestrese que el conjunto (1, 1), (1, 0) y (0, 1) es LD.






Rango de un conjunto de vectores

Definicion

Dado el conjunto de vectores ~u1, ~u2, · · · , ~up ∈ Kn, dıcese quetienen rango r ≤ p si existe como mınimo un subconjunto de rvectores linealmente independientes entre ellos y no existe ningunode r + 1 vectores que sea linealmente independiente. Es decir, es elnumero maximo de vectores linealmente independientes quepueden extraerse del conjunto.






Rango de un conjunto de vectores

Un metodo para calcular el rango de un conjunto de vectoresconsiste en construir una matriz utilizando los vectores comocolumnas (o filas) y definir el rango de la matriz como el rango desus vectores columna (o fila). Ya se ha aprendido como calcular elrango de una matriz en el Tema 1. Ahora se pondra en practicapara calcular el rango de vectores.

Definicion

El rango de una matriz A coincide con el numero de vectores fila ocolumna linealmente independientes.





Espacios vectorialesSistema generadorBase de un espacio vectorialDimension y coordenadas de una base














Espacios vectoriales

Hasta ahora se han visto ejemplos de espacios de R2 y R3, pero lagran mayorıa de definiciones que se han presentado se han dadopara espacios Kn arbitrarios. Veremos que la estructura de estosespacios es una de las mas importantes en el mundo del algebra: elespacio vectorial.







Definicion

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K es un conjunto E no vacıoy cerrado con las siguientes operaciones definidas:

1 Ley de composicion interna

∀~x , ~y ∈ E ⇒ ~x + ~y ∈ E

2 Ley de composicion externa

∀~x ∈ E , α ∈ K ⇒ α~x ∈ E

que cumplen las siguientes condiciones:







Definicion

La ley de composicion interna ha de cumplir:

Propiedad conmutativa: ~x + ~y = ~y + ~x∀~x , ~y ∈ E

Propiedad asociativa:

~x + (~y + ~z) = (~x + ~y) + ~z∀~x , ~y , ~z ∈ E

Elemento neutro de la suma: ∃~0 ∈ E : ~x +~0 = ~x∀~x ∈ E

Existencia del opuesto: ∀~x ∈ E∃ − ~x ∈ E : ~x + (−~x) = ~0







Definicion

La ley de composicion externa ha de cumplir:

Propiedad asociativa: α(β~x) = (αβ)~x∀~x ∈ E , α, β ∈ KElemento neutro del producto: ∃1 ∈ K : 1~x = ~x∀~x ∈ E

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma devectores:

α(~x + ~y) = α~x + α~y∀~x , ~y ∈ E , α ∈ K

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma deescalares:

(α + β)~x = α~x + β~x∀~x ,∈ E , α, β ∈ K







Ejemplos de espacios vectoriales

El espacio Rn formado por los vectores de n componentes(x1, x2, · · · , xn)

El conjunto Pn(K) = {anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 : ai ∈K ∀0 ≤ i ≤ n}.El espacio M2×2(K) de las matrices 2× 2 con coeficientessobre K.

El conjunto de las matrices continuas definidas sobre uncuerpo K







No son espacios vectoriales

El conjunto de matrices 3× 2 con coeficientes enteros(M3×2(Z))

El conjunto de polinomios de grado exactamente igual a 3 concoeficientes reales.

¿Por que?






Sistema generador

Definicion

Dado un conjunto de vectores ~u1, ~u2, · · · , ~un ∈ E dıcese queforman un sistema generador del espacio vectorial E si cualquiervector ~u ∈ E se puede expresar como una combinacion lineal deellos, es decir:

∀~u ∈ E , ∃α1, α2, · · · , αn : ~u =n∑

i=1

αi ~ui






Sistema generador

Ejercicio 1

a Expresese el vector (−5, 15) como una combinacion lineal de(1,−3) y (2,−6).

b Expresese el vector (a, b) como una combinacion lineal de(1,−3) y (2,−6).

c ¿Se puede formar con los vectores (1,−3) y (2,−6) unsistema generador de R2? ¿Por que?






Sistema generador

Ejercicio 2

a Expresese el vector (4,−11) como una combinacion lineal de(2,−1) y (1, 4).

b Expresese el vector (a, b) como una combinacion lineal de(2,−1) y (1, 4).

c ¿Se puede formar con los vectores (1,−3) y (2,−6) unsistema generador de R2? ¿Por que?

d Obtengase el vector (−7, 3) como una combinacion lineal de(2,−1) y (1, 4).






Sistema generador

Ejercicio 3

a Razonese si los vectores (1, 1), (−2, 3) y (0,−1) forman unsistema generador de R2.

b Obtengase el vector (−7, 3) como una combinacion lineal de(1, 1), (−2, 3) y (0,−1).






Sistema generador

Ejercicio 4

a Compruebese si los vectores del ejercicio 2, (2,−1) y (1, 4)son LI.

b Compruebese si los vectores del ejercicio 3, (1, 1), (−2, 3) y(0,−1) son LI.






Base de un espacio vectorial

Cuando se tiene un conjunto de vectores que son sistemagenerador de un espacio vectorial E y sean ademas LI, dıcese queestos vectores constituyen una base del espacio.

Definicion

Dıcese que un conjunto de vectores ~u1, ~u2, · · · , ~un ∈ E son unabase de E si:

~u1, ~u2, · · · , ~un es un sistema generador de E .

~u1, ~u2, · · · , ~un son linealmente independientes.

Por ejemplo, los vectores del ejercicio 2 son una base de R2, peroen cambio los del ejercicio 3 no son una base de R2.







Teorema

Si ~u1, ~u2, · · · , ~un ∈ E es una base del espacio vectorial E , entoncescualquier vector ~u ∈ E se puede expresar como una combinacionlineal de ~u1, ~u2, · · · , ~un de manera unica.

∀~u ∈ E , ∃! α1, α2, · · · , αn ∈ K : ~u =n∑

i=1

αi ~ui

Corolario

Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismonumero de vectores.

Por ejemplo, las bases de K2 tienen 2 elementos, las de K3 tienen3...







Ejercicios

Determınese si los vectores (2,−4, 0), (1, 1, 1) y (-1,2,0) formanuna base de R3.

Sol: no, ya que son LD.

Ejercicios

Determınese si los vectores (2, 1, 0), (1,−1, 1) y (0,2,-3) formanuna base de R3.

Sol: sı, ya que son 3 vectores LI de R3.







Un espacio vectorial tiene infinitas bases. En cada espacio vectorialhay una que tiene unas caracterısticas especiales. La denominadabase canonica.

La base canonica

En R2, la base canonica es {~e1, ~e2} con

~e1 = (1, 0), ~e2 = (0, 1)

En R3, la base canonica es {~e1, ~e2, ~e3} con

~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1)

Notese que los vectores de la base canonica son unitarios yortogonales entre sı.






Dimension de una base

Como el numero de elementos de una base de un espacio vectorialdado E es unico, tiene sentido definir la dimension de E .

Dimension de un espacio vectorial

Dado un espacio vectorial E , se define su dimension dim(E ) comoel numero de vectores que conforman cualquiera de sus bases.

Por ejemplo, R2 tiene dimension 2 ya que las bases tienen 2elementos, R3 tiene dimension 3, etc...






Coordenadas de un vector en una base

Coordenadas

Dado un espacio vectorial E con una base B = {~u1, ~u2, · · · , ~un} yun vector ~u ∈ E , se sabe que existen unos unicos escalaresα1, α2, · · · , αn tales que:

~u = α1~u1 + α2~u2 + · · ·+ αn~un

estos escalares se denominan coordenadas del vector ~u en la baseB.

~u = (α1, α2, · · · , αn)B

Cada vector tiene coordenadas unicas en cada base del espacio alque pertenece, pero como hay infinitas bases, tendra infinitosconjuntos de coordenadas asociadas.







Ejercicios

Dadas las dos bases B1 = {(2, 4, 0), (1, 0, 1), (−1, 2, 0)} yB2 = {(2, 1, 0), (1,−1, 1), (0, 2,−3)} calculense las coordenadasdel vector ~u = (3,−5, 1) en ambas bases.

Sol

~u =

(−1

8, 1,−9

4

)B1

= (−2, 7, 2)B2







Si se nos facilitan las coordenadas de un vector sin especificar labase, se sobreentiende que se trata de la base canonica. Tambienreciben el nombre de coordenadas cartesianas y son las que en elTema 2 hemos definido como las componentes de un vector.





El cambio de baseMatriz de cambio de base














Cambio de base

Se sabe que todo vector de un espacio vectorial tiene asociado unconjunto de escalares que dependen de la base y que se denominancoordenadas o componentes del vector en esa base. Tambienhemos visto que estas coordenadas son unicas en cada base perodistintas cuando cambian de base.Partiendo de este punto el problema que se nos plantea es el decalcular las coordenadas de un vector en cierta base B dadas lascoordenadas del mismo en otra base B.Si una de las dos bases es la canonica ya hemos visto que elproblema es relativamente sencillo, vease el ultimo ejercicio de laseccion anterior. Si las dos bases son arbitrarias, se necesitaraconocer la relacion entre ambas bases y la resolucion sera un pocomas elaborada.






Cambio de base

Ejercicios

Dado el vector ~u de coordenadas (−2, 3, 5)B en la base:

B = {(2, 4, 0), (1, 0, 1), (−1, 2, 0)}

Calculense sus coordenadas en la base canonica C .






Cambio de base

Solucion

(−2, 3, 5)B = −2 · (2, 4, 0)C + 3 · (1, 0, 1)C + 5 · (−1, 2, 0)C

= (−6, 2, 3)C = −6 · (1, 0, 0) + 2 · (0, 1, 0) + 3 · (0, 0, 1)

Sol~u = (−6, 2, 3)C

Donde C es la base canonica del espacio.






Cambio de base

Ejercicio

Dadas las bases Bu = {~u1, ~u2, ~u3} y Bv = {~uv , ~uv , ~uv} de unespacio vectorial de dimension 3 sabemos que:

~v1 = 2~u1 − ~u2 + ~u3

~v2 = − ~u2 + 2~u3

~v3 = −~u1 + ~u2 − 3~u3

¿Cuales son las coordenadas de los vectores ~vi en a base Bu?¿Y las de ~ui en la base Bv? (Pista: empleese Gauss).Calculense las coordenadas del vector ~x en la base Bu sabiendo queen la base Bv tiene coordeadas (1,−1, 0).






Cambio de base

Solucion

Segun la definicion, las coordenadas de ~vi en Bu, son los escalaresque acompanan a los vectores ~u1, ~u2, ~u3 que genera vi :

~v1 = 2~u1 + (−1)~u2 + 1~u3 = (2,−1, 1)Bu

~v2 = 0~u1 + (−1)~u2 + 2~u3 = (0,−1, 2)Bu

~v3 = (−1)~u1 + 1~u2 + (−3)~u3 = (−1, 1,−3)Bu






Cambio de base

Solucion

Para calcular las coordenadas de los vectores de Bu en la base Bv ,se han de expresar los vectores ~ui como una combinacion lineal delos vectores ~vi . Notese que la relacion del enunciado se provee conel orden cambiado. Queda hallar los ~ui en funcion de los ~vi , cosaque se puede hacer empleando Gauss con ~ui como incognita y ~vicomo terminos independientes. La solucion se obtiene al operarsistema:

~u1 =

(1

3,−2

3,−1

3

), ~u2 =

(−2

3,−5

3,−4

3

), ~u3 =

(−1

3,−1

3,−2

3

)






Cambio de base

Solucion

Se sabe que ~x = (1,−1, 0)Bv = 1~v1 + (−1)~v2 + 0~v3,

~x = 1(2~u1 − ~u2 + ~u3) + (−1)(−~u2 + 2~u3) + 0(−~u1 + ~u2 − 3~u3)

= 2~u1 − ~u3 = (2, 0,−1)Bu






Cambio de base

Solucion

Notese pues que:

2~u1 − ~u3 = ~v1 + (−1)~v2

Ası se puede decir que si se conocen explıcitamente lascoordenadas de ~vi i de ~ui en la base canonica, y las sustituimos enla expresion anterior, se obtendra una igualdad: las coordenadas delvector ~x en la base canonica.






Cambio de base

Ejercicios

Dadas las bases Bu = {~u1, ~u2, ~u3} y Bv = {~uv , ~uv , ~uv} de unespacio vectorial de dimension 3 y sabiendose que:

~v1 = 2~u1 − ~u2 + ~u3

~v2 = − ~u2 + 2~u3

~v3 = −~u1 + ~u2 − 3~u3

Considerese el vector ~x = (2, 0,−1)Bu y calculense sus coordenadasen la base Bv .






Cambio de base

Solucion

~x = a~v1 + b~v2 + c~v3 =

a(2~u1 − ~u2 + ~u3) + b(−~u2 + 2~u3) + c(−~u1 + ~u2 − 3~u3) =

(2a− c)~u1 + (−a− b − c)~u2 + (a + 2b − 3c)~u3

Deberıa ser:~x = 2~u1 + 0~u2 + (−1)~u3

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales resultante de igularambas expresiones (ya que las coordenadas de un vector en unabase son unicas) se obtiene:

~x = (1,−1, 0)Bv = (2, 0,−1)Bu






Cambio de base

En los ejercicios anteriores se ha visto que la notacion paraexpresar las coordenadas de un vector se puede hacer en forma dematriz fila o columna. Si se conocen las coordenadas de un vectoren una base se pueden emplear las operaciones matriciales yaconocidas para pasar de una base a otra sin mayor complicacion.






Cambio de base

Tenganse los vectores de la base Bv en la base Bu dados por:~v1 = 2~u1 − ~u2 + ~u3

~v2 = − ~u2 + 2~u3

~v3 = −~u1 + ~u2 − 3~u3






Cambio de base

Expresion que en forma matricial tiene la forma (I): 2 −1 10 −1 2−1 1 −3

· ~u1

~u2

~u3

=

~v1

~v2

~v3

(~u1 ~u2 ~u3

)·

2 0 −1−1 −1 11 2 −3

=(~v1 ~v2 ~v3

)En la matriz superior, las filas son las coordenadas de los vectores~v1, ~v2 i ~v3 en la base Bu. En la matriz inferior, las columnas son lascoordenadas de los vectores ~v1, ~v2 i ~v3 en la base Bu.






Cambio de base

Por otro lado, se puede expresar el vector ~x en ambas bases de lasiguiente manera:

~x = 1~v1+(−1)~v2+0~v3 = (~v1, ~v2, ~v3)

1−10

Bv

= (1,−1, 0)

~v1

~v2

~v3

~x = 2~u1+0~u2+(−1)~u3 = (~u1, ~u2, ~u3)

20−1

Bu

= (2, 0,−1)

~u1

~u2

~u3






Cambio de base

Como ya se sabe, el resultado de operar en ambas expresionesserıan las coordenadas del vector en la base canonica (porunicidad), por lo tanto se pueden igualar las expresiones:

~x = (~v1, ~v2, ~v3)

1−10

Bv

= (~u1, ~u2, ~u3)

20−1

Bu

o

~x = (2, 0,−1)

~u1

~u2

~u3

= (1,−1, 0)

~v1

~v2

~v3

2~u1 − ~u3 = 1~v1 + (1)~v2 + 0~v3 (eq 2)






Cambio de base

Empleando las relaciones establecidas por (I):

(~u1 ~u2 ~u3

)·

2 0 −1−1 −1 11 2 −3

=(~v1 ~v2 ~v3

)Y sustituyendo en la ecuacion (II):

~x = (~v1, ~v2, ~v3)

1−10

Bv

= (~u1, ~u2, ~u3)

20−1

Bu

Se obtiene:






Cambio de base

Se obtiene:

~x =(~u1 ~u2 ~u3

)·

2 0 −1−1 −1 11 2 −3

1−10

Bv

=

(~u1 ~u2 ~u3

)·

20−1

Bu

Si se comparan ambos miembros se halla que por unicidad decoordenadas de un vector en la misma base (en este caso Bu):






Cambio de base

2 0 −1−1 −1 11 2 −3

1−10

Bv

=

20−1

Bu






Cambio de base

En general

Dado un vector ~x de coordenades Xv (vector columna) en la baseBv (vector fila) y las coordenadas Xu (vector columna) en la baseBu (vector fila) entonces se puede escribir:

~x = Bv · Xv = Bu · Xu

Si la relacion entre las bases dadas por Bu · P = Bv se sustituyenen la expresion del vector ~x :

~x = (Bu · P) · Xv = Bu · Xu






Cambio de base

En general

Empleando la propiedad asociativa:

~x = Bu · (P · Xv ) = Bu · Xu

Se obtiene que Xu = P · Xv

La matriz P se denomina la matriz de cambio de base Bv a la baseBu.






Cambio de base






Matriz de cambio de base


Dado un espacio vectorial de dimension n y dos bases diferentes Bu

y Bv . Se denomina matriz de cambio de base de Bv a Bu a lamatriz P las columnas de la cual son las coordenadas de la baseBv en la base Bu.







Ejercicios

Dadas las bases Bu = {~u1, ~u2, ~u3} y Bv = {~v1, ~v2, ~v3}, y el vector ~xde coordenadas (2, 1, 0) en la base Bv , calculense sus coordenadasen la base Bu sabiendo que:

~v1 = 2~u1 − ~u2 + ~u3

~v2 = − ~u2 + 2~u3

~v3 = −~u1 + ~u2 − 3~u3







Sol

P =

2 0 −1−1 −1 11 2 −3

Donde Bv = Bu · P

~x = (4,−3, 4)Bu







Ejercicios

Expresese el vector (−1, 0, 4) de la base canonica en la baseB = {(1, 3,−1), (−1, 1, 0), (0, 2, 0)} de R3 calculando previamentela matriz de cambio de base necesaria.

Pista: P es la matriz que porta la base canonica a B, la cual tienecomo columnas los vectores de la base canonica expresados en labase B. este problema es mas sencillo si se busca la matriz Q queporta B a la base canonica (sus columnas seran los vectores de Ben la base canonica que son ellos mismos) y que resulta ser lainversa de P.







Sol

P = Q−1 =

0 0 −1−1 0 −11/2 1/2 2

Donde XB = P · Xe

~x =

(−4,−3,

15

2

)B





Concepto de subespacio vectorial














Subespacio vectorial

Definicion

Sea F ⊆ E un subconjunto no vacıo del espacio vectorial E sobreun cuerpo K. Dıcese que F es un subespacio vectorial de E si ysolo si se verifica:

La suma de dos elementos de F es otro elemento F

∀~x , ~y ∈ F ⇒ ~x + ~y ∈ F

El producto de un escalar por un elemento F es otro elementode F

∀~x ∈ F , α ∈ K⇒ α~x ∈ F







Subespacios triviales

Si E es un K-espacio vectorial, se verifica siempre que E y {0} sonsubespacios vectoriales de E . Se denominan subespacios vectorialestriviales o impropios.

Corolario

Si S es un subespacio vectorial de E , entonces ~0 ∈ S .

Este corolario solo se puede emplear recıprocamente ya que si secomprueba que por alguna razon ~0 /∈ S , entonces este conjunto nopuede ser nunca un subespacio vectorial.







Ejercicios

Compruebese que el siguiente conjunto es un subespacio vectorialde R3:

F = {(x , y , z) ∈ R3 : x + y + z = 0}

Nota: compruebese primero si F contiene el vector cero y, si ası es,compruebense las dos condiciones de la definicion de subespacio.







Ecuaciones de un subespacio vectorial

Un subespacio vectorial F de un espacio vectorial E quedaidentificado si:

Se conoce una base de F

Se conoce un sistema generador de F

A partir de sus ecuaciones parametricas

A partir de las equacions cartesianas o implıcitas (un sistemahomogeneo las incognitas del cual son las coordenadas delvector generico).







Ejercicios

Identifıquese el subespacio F del ejercicio anterior de todas lasformas posibles:

F = {(x , y , z) ∈ R3 : x + y + z = 0}







Obtener una base de un subespacio vectorial

Se parte de las ecuaciones parametricas del subespacio.

Se expresa el vector generico como combinacion lineal devectores.

En primer lugar se consiguen tantos sumandos comoparametros tenga el subespacio y se separan en vectoresdiferentesSe extrae un escalar de cada uno de los vectores y se dejaexpresado como combinacion lineal

Los vectores que aparecen en la combinacion lineal son unsistema generador del subespacio.

Se extrae del conjunto de vectores un subconjunto linealmenteindependiente con tantos vectores como indique el rango. Setiene ası una base del subespacio.







Ejercicios

Obtengase la dimension, las ecuaciones parametricas y una basedel subespacio F1 dado por:

F1 = {(x , y , z) ∈ R3 : 2x−y + 3z = 0,−x +y−z = 0, x−2y = 0}

Pista: Comiencese por hacer Gauss al sistema de ecuacioneslineales.







Ejercicios

Obtengase la dimension, las ecuaciones parametricas y una basedel subespacio F2 dado por:

F2 = {(α + β, α + β, α + β + γ, 0) : α, β, γ ∈ R}

Pista: Comiencese por hacer Gauss al sistema de ecuacioneslineales.





Metodo de diagonalizacion de Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio















Base ortogonal

Dada una base B = {~u1, ~u2, · · · , ~un} de un espacio vectorial E ,dıcese ortogonal si sus elementos son ortogonales dos a dos:

~ui · ~uj = 0∀i 6= j

Base ortonormal

Dada una base B = {~u1, ~u2, · · · , ~un} de un espacio vectorial E ,dıcese ortonormal si sus elementos son ortogonales dos a dos yademas son unitarios:

~ui · ~uj = 0 ∀i 6= j

~ui · ~ui = 1 ∀iJuan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales





Metodo de diagonalizacion de Gram-Schmidt

Este metodo permite contruir una base ortogonal a partir de unabase cualquiera del espacio vectorial. Primero se realizara lacontruccion para un espacio vectorial de dos dimensiones:







Caso 2D

Sea B = {~v1, ~v2} una base de un espacio vectorial de dosdimensiones. A partir de los vectores de esta base se construira unanueva B = {~w1, ~w2} que sera ortogonal y del mismo espacio.

1 Se toma ~w1 = ~v1 como primer vector de la nueva base.

2 El segundo vector sera una combinacion lineal ~v1 y ~v2 paraasegurarse de que la nueva base genera el mismo subespaciovectorial. Ası, se descompone:

~v2 = ~u1 + ~u2 : ~u1||~v1 ~u2 ⊥ ~v1

En particular ~u2 = ~v2 − t~v1 = ~v2 − t ~w1 y sera el siguientevector de nuestra nueva base: ~w2. Solo resta encontrar t.







Caso 2D

Se tiene que ~w1 ⊥ ~w2. Se impone la condicion de que~w2 = ~v2 − t ~w1 y el producto escalar con ~w1 = ~v1 ha de ser cero:

~w1 · ~w2 = ~w1 · (~v2 − t ~w1) = ~w1 · ~v2 − ~w1~w1 = 0

Por lo tanto:

t =~w1 · ~v2

~w1 · ~w1

~w2 = ~v2 −~w1 · ~v2

~w1 · ~w1~w1

Entonces Br = {~w1, ~w2} es una base ortogonal que genera elmismo subespacio que B = {~v1, ~v2}.







Caso general

Sea B = {~v1, ~v2, · · · , ~vn} una base de un espacio vectorial de ndimensiones E . A partir de los vectores de esta base se construirauna nueva Br = {~w1, ~w2, · · · , ~wn} que sera ortogonal y del mismoespacio.

1 Se toma ~w1 = ~v1 como primer vector de la nueva base.

2 El segundo vector sera una combinacion lineal ~v1 y ~v2 de laforma ~w2 = ~v2 − t ~w1, al cual se impondra la condicion de que~w1 ⊥ ~w2. Operando se obtiene:







Caso general

t =~w1 · ~v2

~w1 · ~w1

~w2 = ~v2 −~w1 · ~v2

~w1 · ~w1~w1







Caso general

Sea B = {~v1, ~v2, · · · , ~vn} una base de un espacio vectorial de ndimensiones E . A partir de los vectores de esta base se construirauna nueva Br = {~w1, ~w2, · · · , ~wn} que sera ortogonal de E .

3 Para calcular el tercer vector, se procede de la misma forma:el tercer vector ~w3 sera una combinacion lineal de ~v1, ~v2 y ~v3

de la forma ~w2 = ~v3 − t1~w1 − t2~w2, a la cual se impondran lascondiciones ~w1 ⊥ ~w3 i ~w2 ⊥ ~w3 . Operando se obtiene:







Caso general

t1 =~w1 · ~v3

~w1 · ~w1t2 =

~w2 · ~v2

~w2 · ~w2

~w3 = ~v3 −~w1 · ~v3

~w1 · ~w1~w1 −

~w2 · ~v3

~w2 · ~w2~w2







Caso general

4 Analogamente:

~w4 = ~v4 −~w1 · ~v4

~w1 · ~w1~w1 −

~w2 · ~v4

~w2 · ~w2~w2 −

~w3 · ~v4

~w3 · ~w3~w3

n Y con el fin de hallar el ultimo:

~wn = ~vn −n−1∑i=1

~wi · ~vn~wi · ~wi

~wi

n+1 Finalmente, si se designa una base ortonormal, basta dividircada vector por su norma.







Ejercicios

Calculese una base ortogonal del subespacio vectorial generado porlos vectores

~u1 = (1, 1, 0, 1), ~u2 = (0, 0, 1, 1), ~u3 = (2, 0,−1, 0)

Sol:(1, 1, 0, 1), (1, 1,−3,−2), (1,−1, 0, 0)






Vector ortogonal a un subespacio

Vector ortogonal a un subespacio

Un vector ~u ∈ E es ortogonal a un subespacio vectorial S ⊆ E si ysolo si:

~u · ~x = 0 ∀ ~x ∈ S

Teorema

Un vector ~u ∈ E es ortogonal a un subespacio vectorial S ⊆ E si ysolo si es ortogonal a todos los vectores de una base de S .






Proyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio







Teorema

Dos subespacios V y W de E son ortogonales si:

∀~x ∈ V ∀~y ∈W ⇒ ~x · ~y = 0

Teorema

Para que dos subespacios V y W sean ortogonales, es suficientecon que los vectores de una base de V sean ortogonales a losvectores de una base de W .







Projeccion ortogonal

Como se recordara, el vector proyeccion ortogonal de un vector ~usobre otro ~v , se expresa como:

P~u(~v) =~u · ~v~v · ~v

~v =~u · ~v||~v ||2

~v








Dado S un subespacio vectorial de un espacio vectorial E , todovector ~u ∈ E se descompone de manera unica en:

~u = ~uS + ~u0

Con ~uS ∈ S y ~u0 ∈ S⊥. En particular, el vector ~uS ∈ S sedenomina vector proyeccion ortogonal de ~u sobre S .








Si se toma en S una base ortogonal {~s1, ~s2, · · · , ~sr}, la proyeccionde ~u sobre S viene dada por:

P~u(~v) = ~uS =r∑

i=1

~u · ~si||~si ||2

~si


tema 3 Álgebra lineal: espacios vectoriales

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