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Espacios Vectoriales


Veronica Briceno V.

noviembre 2013

Veronica Briceno V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47

En esta Presentacion...

En esta Presentacion veremos:


Sub Espacios VectorialesCombinacion LinealDependencia e Independencia LinealEspacio GeneradoBases y Bases CanonicasDimension.




Espacios VectorialesSub Espacios Vectoriales

Combinacion LinealDependencia e Independencia LinealEspacio GeneradoBases y Bases CanonicasDimension.




Espacios VectorialesSub Espacios VectorialesCombinacion Lineal

Dependencia e Independencia LinealEspacio GeneradoBases y Bases CanonicasDimension.




Espacios VectorialesSub Espacios VectorialesCombinacion LinealDependencia e Independencia Lineal

Espacio GeneradoBases y Bases CanonicasDimension.




Espacios VectorialesSub Espacios VectorialesCombinacion LinealDependencia e Independencia LinealEspacio Generado

Bases y Bases CanonicasDimension.




Espacios VectorialesSub Espacios VectorialesCombinacion LinealDependencia e Independencia LinealEspacio GeneradoBases y Bases Canonicas

Dimension.




Espacios VectorialesSub Espacios VectorialesCombinacion LinealDependencia e Independencia LinealEspacio GeneradoBases y Bases CanonicasDimension.


Consideramos...

Definicion:Sea V un conjunto no vacıo y sea K un cuerpo (los cuerpos queconsideraremos en este curso seran el cuerpo de los numeros realesR o el cuerpo de los numeros complejos C o inclusive el cuerpo de losnumeros racionales Q

Obs:Supongamos que en V se han definido dos operaciones, que verifican:ADICION +u, v ∈ V entonces w = u + v ∈ VPRODUCTO POR ESCALAR ·u ∈ V , α ∈ K entonces w = α · v ∈ VEsto es, V es cerrado para la adicion y producto por escalar.



(V ,+, ·) es un Espacio Vectorial sobre K, si ∀u, v ,w ∈ V ,∀α, β ∈ K.Se verifica:

u + v = v + u

u + (v + w) = (u + v) + w∃0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0V

α(u + v) = αu + αv(α+ β)u = αu + βu(α · β) · u = α(β · u)1 · u = u

Los elementos de V se llaman vectores.Los elementos de K se llaman escalares.




u + v = v + uu + (v + w) = (u + v) + w

∃0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0V






u + v = v + uu + (v + w) = (u + v) + w∃0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V

∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0V






u + v = v + uu + (v + w) = (u + v) + w∃0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0V







α(u + v) = αu + αv

(α+ β)u = αu + βu(α · β) · u = α(β · u)1 · u = u






α(u + v) = αu + αv(α+ β)u = αu + βu

(α · β) · u = α(β · u)1 · u = u






α(u + v) = αu + αv(α+ β)u = αu + βu(α · β) · u = α(β · u)

1 · u = u



Ejemplos:

Con las operaciones usuales, se tiene que:

(Rn,+, ·) es un espacio vectorial sobre R.

(Cn,+, ·) es un espacio vectorial sobre C.(Qn,+, ·) es un espacio vectorial sobre Q.(Rn[x ],+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Mn×m(R),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(C([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Cn([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.


Ejemplos:


(Rn,+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Cn,+, ·) es un espacio vectorial sobre C.

(Qn,+, ·) es un espacio vectorial sobre Q.(Rn[x ],+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Mn×m(R),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(C([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Cn([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.


Ejemplos:


(Rn,+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Cn,+, ·) es un espacio vectorial sobre C.(Qn,+, ·) es un espacio vectorial sobre Q.

(Rn[x ],+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Mn×m(R),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(C([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Cn([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.


Ejemplos:


(Rn,+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Cn,+, ·) es un espacio vectorial sobre C.(Qn,+, ·) es un espacio vectorial sobre Q.(Rn[x ],+, ·) es un espacio vectorial sobre R.

(Mn×m(R),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(C([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Cn([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.


Ejemplos:


(Rn,+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Cn,+, ·) es un espacio vectorial sobre C.(Qn,+, ·) es un espacio vectorial sobre Q.(Rn[x ],+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Mn×m(R),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.

(C([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Cn([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.


Ejemplos:


(Rn,+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Cn,+, ·) es un espacio vectorial sobre C.(Qn,+, ·) es un espacio vectorial sobre Q.(Rn[x ],+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Mn×m(R),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(C([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.

(Cn([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.


Ejemplos:


(Rn,+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Cn,+, ·) es un espacio vectorial sobre C.(Qn,+, ·) es un espacio vectorial sobre Q.(Rn[x ],+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Mn×m(R),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(C([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.(Cn([a,b]),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.


Ejemplos:

V = {1} no es un espacio vectorial.

pues 1 + 1 = 2 /∈ V .ademas, 0V no pertenece a V .

(R,+, ·) no es un espacio vectorial sobre C.porque R debe ser cerrado para el producto por escalar.Sea λ = i , entonces λx = ix /∈ R.(C,+, ·) es un espacio vectorial sobre R.


Ejemplos:

V = {1} no es un espacio vectorial.pues 1 + 1 = 2 /∈ V .

ademas, 0V no pertenece a V .

(R,+, ·) no es un espacio vectorial sobre C.porque R debe ser cerrado para el producto por escalar.Sea λ = i , entonces λx = ix /∈ R.(C,+, ·) es un espacio vectorial sobre R.


Ejemplos:

V = {1} no es un espacio vectorial.pues 1 + 1 = 2 /∈ V .ademas, 0V no pertenece a V .(R,+, ·) no es un espacio vectorial sobre C.

porque R debe ser cerrado para el producto por escalar.Sea λ = i , entonces λx = ix /∈ R.

(C,+, ·) es un espacio vectorial sobre R.


Ejemplos:

V = {1} no es un espacio vectorial.pues 1 + 1 = 2 /∈ V .ademas, 0V no pertenece a V .(R,+, ·) no es un espacio vectorial sobre C.porque R debe ser cerrado para el producto por escalar.Sea λ = i , entonces λx = ix /∈ R.(C,+, ·) es un espacio vectorial sobre R.


Ejercicios Propuestos:

Demostrar que:(R2,+, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto porescalar se define:α(x , y) = (αx ,0).

(R2,+, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto porescalar se define:α(x , y) = (α2x , α2y).(N,+, ·) no es un espacio vectorial sobre R.(N,+, ·) no es un espacio vectorial sobre N.



Demostrar que:(R2,+, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto porescalar se define:α(x , y) = (αx ,0).(R2,+, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto porescalar se define:α(x , y) = (α2x , α2y).

(N,+, ·) no es un espacio vectorial sobre R.(N,+, ·) no es un espacio vectorial sobre N.



Demostrar que:(R2,+, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto porescalar se define:α(x , y) = (αx ,0).(R2,+, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto porescalar se define:α(x , y) = (α2x , α2y).(N,+, ·) no es un espacio vectorial sobre R.

(N,+, ·) no es un espacio vectorial sobre N.



Demostrar que:(R2,+, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto porescalar se define:α(x , y) = (αx ,0).(R2,+, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto porescalar se define:α(x , y) = (α2x , α2y).(N,+, ·) no es un espacio vectorial sobre R.(N,+, ·) no es un espacio vectorial sobre N.


Proposicion

Sea V un K- espacio vectorial:

El neutro aditivo 0V es unico.

Para cada v ∈ V el inverso aditivo −v es unico.Es valida la ley de cancelacion para la adicion de vectores.∀u ∈ V : 0 · u = 0V

∀α ∈ K,∀u ∈ V : (−α)v = −(αv).


Proposicion


El neutro aditivo 0V es unico.Para cada v ∈ V el inverso aditivo −v es unico.

Es valida la ley de cancelacion para la adicion de vectores.∀u ∈ V : 0 · u = 0V

∀α ∈ K,∀u ∈ V : (−α)v = −(αv).


Proposicion


El neutro aditivo 0V es unico.Para cada v ∈ V el inverso aditivo −v es unico.Es valida la ley de cancelacion para la adicion de vectores.

∀u ∈ V : 0 · u = 0V

∀α ∈ K,∀u ∈ V : (−α)v = −(αv).


Proposicion


El neutro aditivo 0V es unico.Para cada v ∈ V el inverso aditivo −v es unico.Es valida la ley de cancelacion para la adicion de vectores.∀u ∈ V : 0 · u = 0V

∀α ∈ K,∀u ∈ V : (−α)v = −(αv).


Sub Espacio Vectorial

Sea (V ,+, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea S unsubconjunto de V , S 6= ∅.Se dice que S es un subespacio vectorial de V si (S,+, ·) es unespacio vectorial sobre K.

Si las operaciones + y · estan claramente definidas, entoncesescribiremos V en lugar de (V ,+, ·)Notacion: S ≤ V



Sea (V ,+, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea S unsubconjunto de V , S 6= ∅.Se dice que S es un subespacio vectorial de V si (S,+, ·) es unespacio vectorial sobre K.Si las operaciones + y · estan claramente definidas, entoncesescribiremos V en lugar de (V ,+, ·)

Notacion: S ≤ V



Sea (V ,+, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea S unsubconjunto de V , S 6= ∅.Se dice que S es un subespacio vectorial de V si (S,+, ·) es unespacio vectorial sobre K.Si las operaciones + y · estan claramente definidas, entoncesescribiremos V en lugar de (V ,+, ·)Notacion: S ≤ V


Teorema

Sea (V ,+, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S ⊆ V y S 6= ∅.

S es un subespacio vectorial de V si y solo si se satisfacen lassiguientes dos condiciones:

1 u, v ∈ S entonces u + v ∈ S2 u ∈ S, α ∈ K entonces α · v ∈ S


Teorema

Sea (V ,+, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S ⊆ V y S 6= ∅.S es un subespacio vectorial de V si y solo si se satisfacen lassiguientes dos condiciones:



Teorema


1 u, v ∈ S entonces u + v ∈ S

2 u ∈ S, α ∈ K entonces α · v ∈ S


Teorema




Observacion

Todo espacio vectorial tiene en forma trivial dos sub espaciosvectoriales: {0V} y V .


Ejemplos:


W = {(x , y) ∈ R2 : y = 0},W ≤ R2

W = {(x1, x2, ..., xn) ∈ Rn : xn = 0},W ≤ Rn

W = {(x , y) ∈ R2 : (x , y) = α(1,2), α ∈ R},W ≤ R2

W = {(x , y , z) ∈ R3 : 2x + y = 1} no es un s.e.v. de R3



Verificar que:a) S ≤M2×2(R) para:

S =

{[a bc d

]∈M2×2(R) : a = b, c = −d

}b)T �M2×2(R) donde: T =

{[a bc d

]∈M2×2(R) : a = 1

}

Sea el subespacio vectorialT = {(x + y + 2z,3x + y ,2x + y + z) : x , y , z ∈ R ,¿ T ≤ S ?



Verificar que:a) S ≤M2×2(R) para:

S =

{[a bc d

]∈M2×2(R) : a = b, c = −d

}b)T �M2×2(R) donde: T =

{[a bc d

]∈M2×2(R) : a = 1

}Sea el subespacio vectorialT = {(x + y + 2z,3x + y ,2x + y + z) : x , y , z ∈ R ,¿ T ≤ S ?



Sea F el e.v. de todas las funciones reales. Estudiar si:W1 = {f ∈ F : f (3) = 0}W2 = {f ∈ F : f (−x) = −f (x)}W3 = {f ∈ F : f (2) = 1 + f (−2)}son sub espacio vectorial de F .

Demostrar que el conjunto de las matrices diagonales de orden nes un s.e.v. de las matrices de orden n.n ≥ m =⇒ Cn[a,b] ≤ Cm[a,b]



Sea F el e.v. de todas las funciones reales. Estudiar si:W1 = {f ∈ F : f (3) = 0}W2 = {f ∈ F : f (−x) = −f (x)}W3 = {f ∈ F : f (2) = 1 + f (−2)}son sub espacio vectorial de F .Demostrar que el conjunto de las matrices diagonales de orden nes un s.e.v. de las matrices de orden n.

n ≥ m =⇒ Cn[a,b] ≤ Cm[a,b]



Sea F el e.v. de todas las funciones reales. Estudiar si:W1 = {f ∈ F : f (3) = 0}W2 = {f ∈ F : f (−x) = −f (x)}W3 = {f ∈ F : f (2) = 1 + f (−2)}son sub espacio vectorial de F .Demostrar que el conjunto de las matrices diagonales de orden nes un s.e.v. de las matrices de orden n.n ≥ m =⇒ Cn[a,b] ≤ Cm[a,b]


Proposicion

Sea (V ,+, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W1,W2 ≤ V .Luego:

W1 ∩W2 ≤ V

W1 + W2 ≤ V

donde: W1 + W2 = {u + v : u ∈W1, v ∈W2}Obs: Si ademas, W1 ∩W2 = {0V} entonces este conjunto se llamasuma directa y se denota: W1 ⊕W2.


Proposicion


W1 ∩W2 ≤ VW1 + W2 ≤ V



Proposicion


W1 ∩W2 ≤ VW1 + W2 ≤ V

donde: W1 + W2 = {u + v : u ∈W1, v ∈W2}

Obs: Si ademas, W1 ∩W2 = {0V} entonces este conjunto se llamasuma directa y se denota: W1 ⊕W2.


Proposicion


W1 ∩W2 ≤ VW1 + W2 ≤ V



Ejercicios Propuestos

En R2, sea:W1 = {(x , y) ∈ R2 : x + y = 0}W2 = {(x , y) ∈ R2 : x − y = 0}Mostrar que W1 ∪W2 no es un s.e.v. en R2.

Demostrar que: W1 ∪W2 ≤ V ssi W1 ⊂W2

SeaS = {A ∈Mn×m(R) : A = At};T = {A ∈Mn×m(R) : A = −At}Probar que:a) S,T ≤Mn×m(R)b) S ⊕ T =Mn×m(R)



En R2, sea:W1 = {(x , y) ∈ R2 : x + y = 0}W2 = {(x , y) ∈ R2 : x − y = 0}Mostrar que W1 ∪W2 no es un s.e.v. en R2.Demostrar que: W1 ∪W2 ≤ V ssi W1 ⊂W2

SeaS = {A ∈Mn×m(R) : A = At};T = {A ∈Mn×m(R) : A = −At}Probar que:a) S,T ≤Mn×m(R)b) S ⊕ T =Mn×m(R)



Considere los subespacios vectoriales de R3:E = {(x , y ,0) : x , y ∈ R}F = {(0,0, z) : z ∈ R}G = {(0, y , z) : y , z ∈ R}Determine: E − F , E −G, G − F , E + F , E + G , G + F .Haga una descripcion geometrica y dibuje cada uno de estossubespacios.


Combinacion Lineal

Definicion:

Sean αi ∈ K y ui ∈ V , i = 1, ...,n donde V es un espacio vectorial.Entonces, la expresion:

n∑i=1

αiui

se llama Combinacion Lineal de los vectores u1,u2, ...,un.

Observacion:0V es combinacion lineal de cualquier conjunto de vectores.


Combinacion Lineal

Definicion:Sean αi ∈ K y ui ∈ V , i = 1, ...,n donde V es un espacio vectorial.

Entonces, la expresion:n∑

i=1

αiui




Combinacion Lineal

Definicion:Sean αi ∈ K y ui ∈ V , i = 1, ...,n donde V es un espacio vectorial.Entonces, la expresion:

n∑i=1

αiui




Ejemplos:

El vector (1,2,3) ∈ R3, es una combinacion lineal de los vectores(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).En efecto:(1,2,3) = α(1,0,0) + β(0,1,0) + γ(0,0,1)⇒ α = 1, β = 2, γ = 3.

El vector (1,2,3) ∈ R3, es combinacion lineal de los vectores(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1).En efecto:(1,2,3) = α(1,0,0) + β(1,1,0) + γ(1,1,1)Debemos encontrar α, β, γ ∈ R tal que:1 = α+ β + γ2 = β + γ3 = γPor tanto, γ = 3 , β = −1 y α = −1.


Ejemplos:

El vector (1,2,3) ∈ R3, es una combinacion lineal de los vectores(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).En efecto:(1,2,3) = α(1,0,0) + β(0,1,0) + γ(0,0,1)⇒ α = 1, β = 2, γ = 3.El vector (1,2,3) ∈ R3, es combinacion lineal de los vectores(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1).En efecto:(1,2,3) = α(1,0,0) + β(1,1,0) + γ(1,1,1)Debemos encontrar α, β, γ ∈ R tal que:1 = α+ β + γ2 = β + γ3 = γPor tanto, γ = 3 , β = −1 y α = −1.


Observacion

Notar que...

No todos los vectores son combinacion lineal.

Ejemplo:(1,2,3) no es combinacion lineal de (1,1,0) y (1,1,1).



Escribir el polinomio x , como combinacion lineal de 1− x , 1 + x2

y x − x2.

Escribir el polinomio 1− 2x + 3x2, como combinacion lineal de 1,1 + x y 1 + x + x2.Considere los vectores u = (2,1,−2), v = (1,−1,1) ∈ R3.Escriba, si es posible, los vectores a = (−4,−5,8) yb = (4,1,−5) como combinacion lineal de u y v . Determine losvalores de x para los cuales el vector (x ,4,−7) es unacombinacion lineal de u y v.Dados u1 = (1,2, α, 1),u2 = (α,1,2,3),u3 = (0,1, β, 0) ∈ R4,determine los valores de α y β para que uno de los vectores seacombinacion lineal de los otros dos.




y x − x2.Escribir el polinomio 1− 2x + 3x2, como combinacion lineal de 1,1 + x y 1 + x + x2.

Considere los vectores u = (2,1,−2), v = (1,−1,1) ∈ R3.Escriba, si es posible, los vectores a = (−4,−5,8) yb = (4,1,−5) como combinacion lineal de u y v . Determine losvalores de x para los cuales el vector (x ,4,−7) es unacombinacion lineal de u y v.Dados u1 = (1,2, α, 1),u2 = (α,1,2,3),u3 = (0,1, β, 0) ∈ R4,determine los valores de α y β para que uno de los vectores seacombinacion lineal de los otros dos.




y x − x2.Escribir el polinomio 1− 2x + 3x2, como combinacion lineal de 1,1 + x y 1 + x + x2.Considere los vectores u = (2,1,−2), v = (1,−1,1) ∈ R3.Escriba, si es posible, los vectores a = (−4,−5,8) yb = (4,1,−5) como combinacion lineal de u y v . Determine losvalores de x para los cuales el vector (x ,4,−7) es unacombinacion lineal de u y v.

Dados u1 = (1,2, α, 1),u2 = (α,1,2,3),u3 = (0,1, β, 0) ∈ R4,determine los valores de α y β para que uno de los vectores seacombinacion lineal de los otros dos.




y x − x2.Escribir el polinomio 1− 2x + 3x2, como combinacion lineal de 1,1 + x y 1 + x + x2.Considere los vectores u = (2,1,−2), v = (1,−1,1) ∈ R3.Escriba, si es posible, los vectores a = (−4,−5,8) yb = (4,1,−5) como combinacion lineal de u y v . Determine losvalores de x para los cuales el vector (x ,4,−7) es unacombinacion lineal de u y v.Dados u1 = (1,2, α, 1),u2 = (α,1,2,3),u3 = (0,1, β, 0) ∈ R4,determine los valores de α y β para que uno de los vectores seacombinacion lineal de los otros dos.



Decidir si p(t) = t2 − t + 1 es combinacion lineal dep1(t) = (t − 1)2 y p2(t) = t

Decidir si[

1 2−1 0

]es combinacion lineal de

[1 10 1

]y[1 −11 0

]


Dependencia e Independencia Lineal

DefinicionSea u1,u2, ...un ∈ V . Se dice que: {u1,u2, ...un} es un conjunto:

linealmente independiente (l.i.) ssi

n∑i=1

αiui = 0V ⇒ αi = 0,∀i = 1, ...,n

linealmente dependiente (l.d.) ssi∃α1, α2, ..., αn ∈ K no todos nulos, tal que:

∑ni=1 αiui = 0


Dependencia e Independencia Lineal

DefinicionSea u1,u2, ...un ∈ V . Se dice que: {u1,u2, ...un} es un conjunto:linealmente independiente (l.i.) ssi

n∑i=1

αiui = 0V ⇒ αi = 0,∀i = 1, ...,n

linealmente dependiente (l.d.) ssi∃α1, α2, ..., αn ∈ K no todos nulos, tal que:

∑ni=1 αiui = 0


Ejemplos:

{(1,0), (0,1)} es l.i.

{(1,2), (3,−1), (5,1)} es l.d.{cos, sen} es l.i.{eαx ,eβx} es l.i.Determine el valor de t ∈ R de manera que el conjuntoB = {(1,−1,2), (3,1,0), (−t2,0,2)} sea un conjunto l.i.


Ejemplos:

{(1,0), (0,1)} es l.i.{(1,2), (3,−1), (5,1)} es l.d.

{cos, sen} es l.i.{eαx ,eβx} es l.i.Determine el valor de t ∈ R de manera que el conjuntoB = {(1,−1,2), (3,1,0), (−t2,0,2)} sea un conjunto l.i.


Ejemplos:

{(1,0), (0,1)} es l.i.{(1,2), (3,−1), (5,1)} es l.d.{cos, sen} es l.i.

{eαx ,eβx} es l.i.Determine el valor de t ∈ R de manera que el conjuntoB = {(1,−1,2), (3,1,0), (−t2,0,2)} sea un conjunto l.i.


Ejemplos:

{(1,0), (0,1)} es l.i.{(1,2), (3,−1), (5,1)} es l.d.{cos, sen} es l.i.{eαx ,eβx} es l.i.

Determine el valor de t ∈ R de manera que el conjuntoB = {(1,−1,2), (3,1,0), (−t2,0,2)} sea un conjunto l.i.


Ejemplos:

{(1,0), (0,1)} es l.i.{(1,2), (3,−1), (5,1)} es l.d.{cos, sen} es l.i.{eαx ,eβx} es l.i.Determine el valor de t ∈ R de manera que el conjuntoB = {(1,−1,2), (3,1,0), (−t2,0,2)} sea un conjunto l.i.


Observaciones

{~v} es l.i. solo si ~v 6= 0V

Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0V es unconjunto l.d. En particular, el conjunto {0V} es l.d.Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de Mtambien es l.i.Si un conjunto de vectores N es l.d., todo conjunto que contengaa N sera l.d.


Observaciones


Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0V es unconjunto l.d. En particular, el conjunto {0V} es l.d.

Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de Mtambien es l.i.Si un conjunto de vectores N es l.d., todo conjunto que contengaa N sera l.d.


Observaciones


Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0V es unconjunto l.d. En particular, el conjunto {0V} es l.d.Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de Mtambien es l.i.

Si un conjunto de vectores N es l.d., todo conjunto que contengaa N sera l.d.


Observaciones


Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0V es unconjunto l.d. En particular, el conjunto {0V} es l.d.Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de Mtambien es l.i.Si un conjunto de vectores N es l.d., todo conjunto que contengaa N sera l.d.


Teoremas

1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplodel otro.

2 Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos sepuede expresar como combinacion lineal de los demas.

3 Un conjunto de n vectores en Rm es siempre l.d. si n > m.4 Un conjunto l.i. de Rn contiene a lo sumo n vectores.

NOTA: Si se tienen n vectores l.i. no es posible agregar masvectores sin hacer que el conjunto obtenido sea l.d.


Teoremas



3 Un conjunto de n vectores en Rm es siempre l.d. si n > m.

4 Un conjunto l.i. de Rn contiene a lo sumo n vectores.



Teoremas



3 Un conjunto de n vectores en Rm es siempre l.d. si n > m.4 Un conjunto l.i. de Rn contiene a lo sumo n vectores.




Determinar si los siguientes vectores son l.i.{(1,−2,1), (2,1,−1), (7,−4,1)}

{(1,−3,7), (2,0,6), (3,−1,−1), (2,4,−5)}{(1,2,3), (1,3,2), (0,−1,1)}{et ; cosh(t); sinh(t)}



Determinar si los siguientes vectores son l.i.{(1,−2,1), (2,1,−1), (7,−4,1)}{(1,−3,7), (2,0,6), (3,−1,−1), (2,4,−5)}

{(1,2,3), (1,3,2), (0,−1,1)}{et ; cosh(t); sinh(t)}



Determinar si los siguientes vectores son l.i.{(1,−2,1), (2,1,−1), (7,−4,1)}{(1,−3,7), (2,0,6), (3,−1,−1), (2,4,−5)}{(1,2,3), (1,3,2), (0,−1,1)}

{et ; cosh(t); sinh(t)}



Determinar si los siguientes vectores son l.i.{(1,−2,1), (2,1,−1), (7,−4,1)}{(1,−3,7), (2,0,6), (3,−1,−1), (2,4,−5)}{(1,2,3), (1,3,2), (0,−1,1)}{et ; cosh(t); sinh(t)}


Espacio Generado

DefinicionSea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V , X 6= ∅ yfinito.

El espacio generado por X , denotado < X > o G(X ) corresponde a lainterseccion de todos los subespacios de V que contienen al conjuntoX .

Observacion:G(X ) ≤ V .Demostrar!!!


Espacio Generado

DefinicionSea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V , X 6= ∅ yfinito.El espacio generado por X , denotado < X > o G(X ) corresponde a lainterseccion de todos los subespacios de V que contienen al conjuntoX .

Observacion:G(X ) ≤ V .Demostrar!!!


Espacio Generado

TeoremaSea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V , X 6= ∅ yfinito.

Los elementos de G(X ) son los elementos del espacio vectorialformado por todas las combinaciones lineales posibles de loselementos de X .Como X es finito, podemos asumir X = {x1, x2, ...xk} entonces

G(X ) =

{k∑

i=1

αixi : αi ∈ K

}

Demostracion:En la pizarra...


Espacio Generado

TeoremaSea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V , X 6= ∅ yfinito.Los elementos de G(X ) son los elementos del espacio vectorialformado por todas las combinaciones lineales posibles de loselementos de X .

Como X es finito, podemos asumir X = {x1, x2, ...xk} entonces

G(X ) =

{k∑

i=1

αixi : αi ∈ K

}



Espacio Generado

TeoremaSea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V , X 6= ∅ yfinito.Los elementos de G(X ) son los elementos del espacio vectorialformado por todas las combinaciones lineales posibles de loselementos de X .Como X es finito, podemos asumir X = {x1, x2, ...xk} entonces

G(X ) =

{k∑

i=1

αixi : αi ∈ K

}



Teorema

TeoremaSea X ⊂ V , X 6= ∅, X 6= {0V}, X finito.Entonces, existe Y ⊂ X tal que Y es l.i. y G(X ) = G(Y )

OBSERVACIONEste teorema afirma que cualquier subconjunto finito de vectores,salvo el que contiene solo a 0V , tiene un subconjunto l.i. de vectores.

OBSERVACIONSi X no es finito tambien es aplicable el teorema.En todo caso, en este curso en general trabajaremos con conjuntosfinitos X de vectores.


Ejemplos:

W = {(x , y) ∈ R2 : (x , y) = α(1,2), α ∈ R}

W = {v ∈ V : v = αu0, α ∈ R}G((1,0), (0,1)) = G((1,0), (−1,2), (5,3)) = R2

G(−1,2) 6= R2


Ejemplos:

W = {(x , y) ∈ R2 : (x , y) = α(1,2), α ∈ R}W = {v ∈ V : v = αu0, α ∈ R}

G((1,0), (0,1)) = G((1,0), (−1,2), (5,3)) = R2

G(−1,2) 6= R2


Ejemplos:

W = {(x , y) ∈ R2 : (x , y) = α(1,2), α ∈ R}W = {v ∈ V : v = αu0, α ∈ R}G((1,0), (0,1)) = G((1,0), (−1,2), (5,3)) = R2

G(−1,2) 6= R2



Para que valor de α el vector ~w = (2, α, 2) pertenece al s.e.v. deR3 generado por: ~v1 = (1,2,1) y ~v2 = (0,−1,2).


Bases

Definicion

Sea B ⊂ V , B finito (y ordenado)B es una base (ordenada) de V , si:

G(B) = VB es l.i.

Teorema:Todo espacio vectorial tiene una base.


Bases

DefinicionSea B ⊂ V , B finito (y ordenado)B es una base (ordenada) de V , si:

G(B) = VB es l.i.



Bases


G(B) = V

B es l.i.



Bases


G(B) = VB es l.i.



Ejemplos

B = {(1,0), (0,1)} es una base de R2

B = {(1,2), (3,−1)} es una base de R2

B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base de R3

B = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)} es una base de R3

B = {1, x , x2, x3, ...xn} es una base de Rn[x ]B = {3, x − 1, x2 + x} es una base de R2[x ]

B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}es una base

deM2×2(R){eαx ,eβx} no es una base del espacio vectorial de todas lasfunciones continuas.


Ejemplos

B = {(1,0), (0,1)} es una base de R2

B = {(1,2), (3,−1)} es una base de R2

B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base de R3

B = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)} es una base de R3

B = {1, x , x2, x3, ...xn} es una base de Rn[x ]

B = {3, x − 1, x2 + x} es una base de R2[x ]

B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}es una base



Ejemplos

B = {(1,0), (0,1)} es una base de R2

B = {(1,2), (3,−1)} es una base de R2

B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base de R3

B = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)} es una base de R3


B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}es una base



Ejemplos

B = {(1,0), (0,1)} es una base de R2

B = {(1,2), (3,−1)} es una base de R2

B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base de R3

B = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)} es una base de R3


B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}es una base

deM2×2(R)

{eαx ,eβx} no es una base del espacio vectorial de todas lasfunciones continuas.


Ejemplos

B = {(1,0), (0,1)} es una base de R2

B = {(1,2), (3,−1)} es una base de R2

B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base de R3

B = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)} es una base de R3


B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}es una base



Definiciones

Base Canonica

Una base canonica es la base mas sencilla posible, no hay definiciongeneral.Se caracteriza por estar formada por vectores de norma 1. Sesimbolizan ei .

DimensionSea V un espacio vectorial sobre K, B = {u1,u2, ...,un}, una base deV .Se dice que n es la dimension de V sobre el cuerpo K.Se escribe: dimKV = n, o simplemente dimV = n.


Definiciones

Base CanonicaUna base canonica es la base mas sencilla posible, no hay definiciongeneral.Se caracteriza por estar formada por vectores de norma 1. Sesimbolizan ei .

Dimension

Sea V un espacio vectorial sobre K, B = {u1,u2, ...,un}, una base deV .Se dice que n es la dimension de V sobre el cuerpo K.Se escribe: dimKV = n, o simplemente dimV = n.


Definiciones

Base CanonicaUna base canonica es la base mas sencilla posible, no hay definiciongeneral.Se caracteriza por estar formada por vectores de norma 1. Sesimbolizan ei .

DimensionSea V un espacio vectorial sobre K, B = {u1,u2, ...,un}, una base deV .Se dice que n es la dimension de V sobre el cuerpo K.Se escribe: dimKV = n, o simplemente dimV = n.


Ejemplos

En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se definesobre el cuerpo R.

B = {(1,0), (0,1)} es una base canonica de R2, entoncesdim(R2) = 2B = {(1,0,0, ...,0), (0,1,0, ...,0), (0,0, ...,1)} es una basecanonica de Rn, entonces dim(Rn) = nNotar que: ei = (0, ..,1,0, ...,0), donde 1 se ubica en la posicion i .B = {1, x , x2, x3, ...xn} es una base canonica de Rn[x ], entoncesdim(Rn[x ]) = n + 1

B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}es una base canonica deM2×2(R), entonces dim(M2×2(R)) = 4.En general, dim(Mn×m(R)) = n ×m.


Ejemplos


B = {(1,0), (0,1)} es una base canonica de R2, entoncesdim(R2) = 2

B = {(1,0,0, ...,0), (0,1,0, ...,0), (0,0, ...,1)} es una basecanonica de Rn, entonces dim(Rn) = nNotar que: ei = (0, ..,1,0, ...,0), donde 1 se ubica en la posicion i .B = {1, x , x2, x3, ...xn} es una base canonica de Rn[x ], entoncesdim(Rn[x ]) = n + 1

B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1



Ejemplos


B = {(1,0), (0,1)} es una base canonica de R2, entoncesdim(R2) = 2B = {(1,0,0, ...,0), (0,1,0, ...,0), (0,0, ...,1)} es una basecanonica de Rn, entonces dim(Rn) = nNotar que: ei = (0, ..,1,0, ...,0), donde 1 se ubica en la posicion i .

B = {1, x , x2, x3, ...xn} es una base canonica de Rn[x ], entoncesdim(Rn[x ]) = n + 1

B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1



Ejemplos



B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1



Ejemplos



B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}es una base canonica deM2×2(R), entonces dim(M2×2(R)) = 4.

En general, dim(Mn×m(R)) = n ×m.


Ejemplos



B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1



Mas Ejemplos

Sea C2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR(C2) = 4.

B = {(1,0), (i ,0), (0,1), (0, i)} forma una base de C2.

Sea C2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dimC(C2) = 2.B = {(1,0), (0,1)} forma una base de C2.En general, Cn espacio vectorial sobre R. Se tiene quedimR(Cn) = 2n.


Mas Ejemplos

Sea C2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR(C2) = 4.B = {(1,0), (i ,0), (0,1), (0, i)} forma una base de C2.

Sea C2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dimC(C2) = 2.B = {(1,0), (0,1)} forma una base de C2.En general, Cn espacio vectorial sobre R. Se tiene quedimR(Cn) = 2n.


Mas Ejemplos

Sea C2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR(C2) = 4.B = {(1,0), (i ,0), (0,1), (0, i)} forma una base de C2.Sea C2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dimC(C2) = 2.

B = {(1,0), (0,1)} forma una base de C2.

En general, Cn espacio vectorial sobre R. Se tiene quedimR(Cn) = 2n.


Mas Ejemplos

Sea C2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR(C2) = 4.B = {(1,0), (i ,0), (0,1), (0, i)} forma una base de C2.Sea C2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dimC(C2) = 2.B = {(1,0), (0,1)} forma una base de C2.

En general, Cn espacio vectorial sobre R. Se tiene quedimR(Cn) = 2n.


Mas Ejemplos

Sea C2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR(C2) = 4.B = {(1,0), (i ,0), (0,1), (0, i)} forma una base de C2.Sea C2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dimC(C2) = 2.B = {(1,0), (0,1)} forma una base de C2.En general, Cn espacio vectorial sobre R. Se tiene quedimR(Cn) = 2n.


Teoremas

1 Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores,es decir, la cardinalidad de B es n.Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, esl.d.

2 Si el espacio vectorial V sobre el cuerpo K tiene una baseconstituida por n vectores, entonces toda base de V tienecardinalidad n.

3 W ≤ V ⇒ dimW ≤ dimV4 Completacion de una base.

Consideramos V un espacio vectorial sobre K, con dimKV = n, yW ≤ V , con dimKW = m.Sea B = {u1,u2, ...,um} una base del subespacio W .Entonces, existen vectores um+1,um+2, ...,un ∈ V , de modo queB ∪ {um+1,um+2, ...,un} es una base de V .


Teoremas



3 W ≤ V ⇒ dimW ≤ dimV

4 Completacion de una base.Consideramos V un espacio vectorial sobre K, con dimKV = n, yW ≤ V , con dimKW = m.Sea B = {u1,u2, ...,um} una base del subespacio W .Entonces, existen vectores um+1,um+2, ...,un ∈ V , de modo queB ∪ {um+1,um+2, ...,un} es una base de V .


Teoremas



3 W ≤ V ⇒ dimW ≤ dimV4 Completacion de una base.

Consideramos V un espacio vectorial sobre K, con dimKV = n, yW ≤ V , con dimKW = m.Sea B = {u1,u2, ...,um} una base del subespacio W .Entonces, existen vectores um+1,um+2, ...,un ∈ V , de modo queB ∪ {um+1,um+2, ...,un} es una base de V .


Ejercicios

Sea A = {(1,2,3), (2,1,−1)}. Verifique que A es l.i. y completeeste conjunto para obtener una base de R3.

Sea A = {1,1 + x , x2 + x3}. Verifique que A es l.i. y complete esteconjunto para obtener una base de R3[x ].

Sea A =

{(1 −12 0

),

(0 −13 4

),

(1 01 1

)}Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener unabase deM(2× 2,R).


Ejercicios

Sea A = {(1,2,3), (2,1,−1)}. Verifique que A es l.i. y completeeste conjunto para obtener una base de R3.Sea A = {1,1 + x , x2 + x3}. Verifique que A es l.i. y complete esteconjunto para obtener una base de R3[x ].

Sea A =

{(1 −12 0

),

(0 −13 4

),

(1 01 1

)}Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener unabase deM(2× 2,R).



Sea el subespacio vectorial:

S = {(x , y , z) ∈ R3/(x , y , z) · (1,1,−2) = 0}

1 Dar 2 vectores de S.2 Para que valores de a el vector (1,a,2) ∈ S ?3 Calcular una base y la dimension de S.

Indicar (justificadamente) si los siguientes sistemas de vectoresson o no una base de S. ¿Es una base ortonormal de S?{(1,1,−2)} ;{(0,2,1), (1,1,−2)} ;{(−1,1,0), (1,−1,1)} ;{( 1√

3, 1√

3, 1√

3),0, 2√

5, 1√

5)} ;

{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.




S = {(x , y , z) ∈ R3/(x , y , z) · (1,1,−2) = 0}

1 Dar 2 vectores de S.

2 Para que valores de a el vector (1,a,2) ∈ S ?3 Calcular una base y la dimension de S.


3, 1√

3, 1√

3),0, 2√

5, 1√

5)} ;

{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.




S = {(x , y , z) ∈ R3/(x , y , z) · (1,1,−2) = 0}

1 Dar 2 vectores de S.2 Para que valores de a el vector (1,a,2) ∈ S ?

3 Calcular una base y la dimension de S.


3, 1√

3, 1√

3),0, 2√

5, 1√

5)} ;

{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.




S = {(x , y , z) ∈ R3/(x , y , z) · (1,1,−2) = 0}

1 Dar 2 vectores de S.2 Para que valores de a el vector (1,a,2) ∈ S ?3 Calcular una base y la dimension de S.


3, 1√

3, 1√

3),0, 2√

5, 1√

5)} ;

{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.



Sea S = {(x , y , x ,u) ∈ R4 : x = u, y − u = z} Se pide:a) Demostrar que S ≤ R4

b) Obtener dos bases distintas B1 y B2 de S y hallar la dimensionde S.c) Hallar un conjunto generador G de S que no sea base de S.d) Hallar un conjunto generador G de S que no sea linealmenteindependiente.


Importante

Corolario

Sea V un espacio vectorial, dimKV = n. Si B ⊂ V y B = {u1, ...,un} esun conjunto l.i., entonces B es una base de V .

Observacion:El resultado anterior es muy importante, porque si se conocemos ladimension de un espacio vectorial V , y queremos probar que unconjunto es base de V , basta probar que el conjunto es l.i.


Importante

CorolarioSea V un espacio vectorial, dimKV = n. Si B ⊂ V y B = {u1, ...,un} esun conjunto l.i., entonces B es una base de V .



Importante


Observacion:

El resultado anterior es muy importante, porque si se conocemos ladimension de un espacio vectorial V , y queremos probar que unconjunto es base de V , basta probar que el conjunto es l.i.


Importante




Coordenadas de ~v

Teorema

Sea B = {u1, ...,un} ⊂ V . Entonces, B es una base de V si todo vectorde V puede ser escrito de manera unica como una combinacin linealde los vectores u1, ...,un.

Observacion:Este teorema dice que dado un vector cualquiera en un espaciovectorial V con una base dada B, los coeficientes del vector conrespecto a esa base B son unicos, vale decir, si:

~v ∈ V ,∃!αi , i = 1, ...,n : ~v = α1u1 + α2u2 + ...+ αnun

Esto permite definir las coordenadas de ~v con respecto a la baseordenada B, usando los coeficientes αi que acompanan a los vectoresui .


Coordenadas de ~v

TeoremaSea B = {u1, ...,un} ⊂ V . Entonces, B es una base de V si todo vectorde V puede ser escrito de manera unica como una combinacin linealde los vectores u1, ...,un.





Coordenadas de ~v


Observacion:

Este teorema dice que dado un vector cualquiera en un espaciovectorial V con una base dada B, los coeficientes del vector conrespecto a esa base B son unicos, vale decir, si:




Coordenadas de ~v






Coordenadas de ~v

La matriz columna:

α1α2...αn

se llama matriz de coordenadas de ~v con respecto a la base B.Usaremos la notacion [v ]B.


Ejemplos:

En R3, considere la base B = {(1,2,3), (1,0,−1), (0,−2,0)} y labase canonica de R3, es decir,C = {e1 = (1,0,0),e2 = (0,1,0),e3 = (0,0,1)}.Determine la matriz de coordenadas del vector (2,8,−6) conrespecto a ambas bases, es decir, encuentre [(2,8,−6)]B y[(2,8,−6)]C .

En R2[x ], considere la base B = {−1, x + 1,−x2 + 1} y la basecanonica ordenada de R2[x ], es decir C = {1, x , x2}.Determine la matriz de coordenadas del polinomiop(x) = 2− x + 3x2 con respecto a ambas bases.


Ejemplos:

En R3, considere la base B = {(1,2,3), (1,0,−1), (0,−2,0)} y labase canonica de R3, es decir,C = {e1 = (1,0,0),e2 = (0,1,0),e3 = (0,0,1)}.Determine la matriz de coordenadas del vector (2,8,−6) conrespecto a ambas bases, es decir, encuentre [(2,8,−6)]B y[(2,8,−6)]C .En R2[x ], considere la base B = {−1, x + 1,−x2 + 1} y la basecanonica ordenada de R2[x ], es decir C = {1, x , x2}.Determine la matriz de coordenadas del polinomiop(x) = 2− x + 3x2 con respecto a ambas bases.



Sea S = {(x , y , z) ∈ R3 := x = 1 + t , y = 1− t , z = 3 + t , t ∈ R}a) ¿S ≤ R3?b) Sea W el subespacio vectorial generado por S.Encuentre la dimension del espacio vectorial W .

Sean V = {f ∈ C[0,1] :∫ 1

0 f (x)dx = 0} yW = {C[0,1] : f (x) = f 2(x)}, dos subespacios vectoriales.Determine la dimension de V ∩W



Sea S = {(x , y , z) ∈ R3 := x = 1 + t , y = 1− t , z = 3 + t , t ∈ R}a) ¿S ≤ R3?b) Sea W el subespacio vectorial generado por S.Encuentre la dimension del espacio vectorial W .Sean V = {f ∈ C[0,1] :

∫ 10 f (x)dx = 0} y

W = {C[0,1] : f (x) = f 2(x)}, dos subespacios vectoriales.Determine la dimension de V ∩W



Sea H el subespacio de R4 dado por:

H = {(x , y , z,w) ∈ R4 : x + 2y + z − w = 0 ∧ 2y − 3z + w = 0}

se define:

H⊥ = {~u ∈ R4 : ~u · ~v ,∀~v ∈ H}

a) Determine una base para H y calcule su dimension.b) Probar que H⊥ es un subespacio vectorial de R4 .c) Hallar una base H⊥.

Sea

V =

{[a bc d

]∈M2×2(R) : a + b + c = 0

}a) Pruebe que V es un subespacio vectorial deM2(R).b) Determine dim(V ).



Sea H el subespacio de R4 dado por:

H = {(x , y , z,w) ∈ R4 : x + 2y + z − w = 0 ∧ 2y − 3z + w = 0}

se define:

H⊥ = {~u ∈ R4 : ~u · ~v ,∀~v ∈ H}

a) Determine una base para H y calcule su dimension.b) Probar que H⊥ es un subespacio vectorial de R4 .c) Hallar una base H⊥.Sea

V =

{[a bc d

]∈M2×2(R) : a + b + c = 0

}a) Pruebe que V es un subespacio vectorial deM2(R).b) Determine dim(V ).


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