tema ii espacios vectoriales algebra lineal uts
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PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 78 LGEBRA LINEAL
TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO
MODELO FX-570ES PLUS)
ANTECEDENTES HISTRICOS
El lgebra lineal hace su aparicin en la Matemtica especficamente en el siglo XVII, con
trabajos de dos matemticos franceses como lo son Pierre Fermat (1601-1665) y Ren Descartes,
pero debemos tener en cuenta que su estudio estuvo limitado hasta el final del siglo XVIII, al
plano y al espacio ya que la extensin a espacios vectoriales de dimensin 3n tiene lugar en la primera mitad del siglo XIX. Giuseppe Piano (lgico y matemtico italiano, 1858-1932) define
en 1888 de manera axiomtica los espacios vectoriales de cualquier dimensin y Otto Teoplitz
(matemtico alemn, 01/08/1881-15/02/1940), extiende a los espacios vectoriales ms generales
sobre cuerpos cualesquiera, los principales teoremas del lgebra lineal.
El lgebra lineal ocupa un lugar importante en la matemtica debido a sus aplicaciones a
diferentes ramas de la matemtica y de la fsica, teniendo en cuenta que se adapta
particularmente al clculo automtico, de ah la importancia que ocupa fundamentalmente en el
anlisis numrico y en la investigacin de operaciones. Por esto es de vital importancia que todo
estudiante a nivel universitario, debe adquirir el conocimiento bsico del algebra lineal.
VECTORES Y EL ESPACIO n-DIMENSIONAL
Antes que todo llamaremos espacio n -dimensional nR al conjunto de ternas ordenadas
a ),,,( naaa 21 donde naaa ,,, 21 son nmeros reales.
DEFINICIN: Un vector es cualquier punto de nR y, en general se designa con una letra
negrita ,, , , , , yxcba o tambin en maysculas por , , , RQP (Los fsicos los designan con
flechas arriba como por ejemplo a
).
El opuesto de un vector a es el vector ,a que viene definido por a ),,,( naaa 21 . El
vector cero es el vector 0 dado por el punto ).0,,0,0(
Se llama longitud, magnitud o mdulo de un vector a ),,,( naaa 21 al nmero real
a .22
2
2
1 naaa Es evidente que a 0 y a 0 si y slo si .0a
OPERACIONES CON VECTORES
ADICIN DE VECTORES
Dados dos vectores a ),,,( naaa 21 y b ),,,( 21 nbbb de ,nR la suma de ba es el vector
definido por ba ).,,,( 2211 nn bababa
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DIFERENCIA DE VECTORES
Sean los vectores a y ,b le diferencia es el vector ),( baba donde b es el vector
opuesto de b el cual ya fue definido.
PRODUCTO POR UN ESCALAR
Si k es un nmero real y a ),,,( naaa 21 es un vector, el producto de un vector por un escalar
k a se define como el vector k a ).,,,( 21 nkakaka
EJEMPLOS: Sean los vectores 2,0)1,( a y ).0,1,1(b Entonces
).1,1(1,1)1,020,(1(0,1,1)2,0)1,( ba
).1,2,0(0)2),(1,(2,0)1,( a
).1,3,(0)2,111(01,2,0)(0,1,1)( 1 ab
.5041(0)2)((1) 222 a
La calculadora CASIO FX 570-ES permite trabajar con vectores de hasta dimensin
3. Para trabajar con vectores debemos seleccionar primero el MODE 8:VECTOR
Nos aparece la pantalla siguiente donde podemos trabajar hasta con 3 vectores
denominados VctA, VctB y VctC.
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Al seleccionar uno de los vectores, normalmente 1: VctA, nos aparece otra pantalla
para elegir la dimensin que podr ser 2 3
Una vez elegida la dimensin, vamos introduciendo ordenadamente las componentes
del vector pulsando la tecla despus de cada nuevo ingreso. De esta forma
queda almacenado en memoria el vector A. Podemos repetir la operacin con el B y
el C.
Para operar con los vectores, debemos entrar en el submen de operaciones
pulsando . Nos aparece el siguiente men:
1. Dim nos permite dimensionar el vector
2: Data introducimos las componentes del vector
3: VctA hace referencia a ese vector, nos permite "llamar" al vector A
4: VctB hace referencia a ese vector, nos permite "llamar" al vector B
5: VctC hace referencia a ese vector, nos permite "llamar" al vector C
6: VctAns es la memoria de respuesta de los clculos matriciales
7: Dot es el operador para el producto escalar
El producto vectorial (para vectores de orden 3) lo haremos con la tecla
En el ejemplo: Sean los vectores:
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La suma es:
El opuesto del vector a es:
La doferencia de b-a:
Y la norma del vector a es:
Notando que:
EJERCICIO: Dados los tres vectores ),,,( 625a ),,,( 782b ),,( 479c y el escalar 5k
calcular: cbacbacbababba kkk ,,,,,),(,,,
PROPIEDADES DE LOS VECTORES
La adicin de vectores cumple con las siguientes leyes: Dados tres vectores ba , y c tenemos
que:
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1A abba (Ley conmutativa) 2A )()( cbacba (Ley asociativa) 3A Para todo vector a existe un vector nulo 0 tal que aaa 00 (Elemento neutro o nulo de la adicin)
4A Existe un vector a para todo vector a tal que 0 )( aa (Elemento opuesto)
La multiplicacin de un escalar por un vector cumple las siguientes leyes: Dados dos
vectores ba , y dos escalares 21 kk , en R tal que se cumple:
1M akkakkakk 212121 )()( 2M akakakk 2121 )( (Ley distributiva) 3M bkakbak 111 )( (Ley distributiva) 4M aa 1 (Elemento neutro del producto)
EJERCICIOS:
1. Demostrar las propiedades de la suma vectorial, desde 1A hasta la 4A .
Por ejemplo: Demostremos que se cumple la propiedad 1A : Sean los vectores ),,,,( naaaa 21 ),,( 21 nbbbb donde nn bbbaaa ,,,,,,, 2121 son nmeros reales de
acuerdo con la definicin de vector. Luego,
ab
aaabbb
ababab
bababa
bbbaaaba
nn
nn
nn
nn
vectores.de suma de Definicin ),,,(),,,(
reales. nmeros de
adicin la de aconmutativ Propiedad ),,,(
vectores.de suma de Definicin ),,,(
),,,(),,,(
2121
2211
2211
2121
NOTA: Obsrvese que la demostracin se basa en las propiedades de los nmeros reales las
cuales son como las enunciadas en 1A , 2A , 3A , 4A , 1M , 2M , 3M y 4M pero para un campo de nmeros.
2. Utilizando las propiedades desde 1A hasta la 4A , se puede demostrar que la ecuacin vectorial bxa tiene la nica solucin .)( ababx Usando este resultado,
demuestre que:
a. El vector 0 es nico, es decir, si ,0 aa entonces .00
b. El vector a es nico, es decir, si ,0 aa entonces .aa
c. aa )( para todo vector .a
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3. Demostrar las propiedades del producto de un escalar por un vector, desde 1M hasta la 4M .
Por ejemplo: Sean el vector ),,,,( naaaa 21 y los escalares 21 kk , en .R Luego,
akkakk
aaakkakk
akkakkakkakk
akkakkakkakk
akakakkakk
aaakkakk
n
n
n
n
n
)()(
un vector.por escalar un de producto
del definicin lacon acuerdo De ),,,)(( )(
reales. nmeros los
de asociativa Propiedad )(,,)(,)( )(
un vector.por escalar un de producto del
definicin lacon acuerdo De ),,,( )(
un vector.por escalar un de producto del
definicin lacon acuerdo De ),,,()(
),,,()(
2121
212121
2122112121
2122112121
22212121
212121
El espacio nR cumpliendo las propiedades 1A , 2A , 3A , 4A , 1M , 2M , 3M y 4M se dice que es un espacio vectorial sobre .R Se nombra la terna ),,( nR es un espacio vectorial
sobre .R En general un espacio que cumpla estas ocho condiciones se dice que es un espacio
vectorial sobre el conjunto o cuerpo donde opera. Veamos los siguientes ejercicios de abajo.
EJERCICIOS:
1. Sea X un conjunto no vaci, K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nmeros
reales R o complejos C ) y
funcin o aplicacin una es ,:),( fKXfKXAV
Definamos:
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((:,
)()())((:,
Demostrar que la terna ),,( V es un espacio vectorial sobre .K
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2. Sea K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nmeros reales R o complejos C ) y
nm, nmeros naturales. Adems, ;,,2,1 mEm nEn ,,2,1 y definamos el conjunto:
funcin o aplicacin una ,:)( fKEEfKM nmnm
Un elemento de )(KM nm se llama matriz de orden nm con coeficientes en K y se denota
.)( nmijaA Defina una suma entre dos matrices y un producto de una matriz por un escalar.
Demuestre que )(KM nm es un espacio vectorial sobre .K
OBSERVACIN: Basta observar que ),,()( KXAKM nm donde .nm EEx
Ahora bien, se llama vector unitario a un vector u cuya longitud es igual a la unidad. En
general, el smbolo au servir para denotar un vector unitario de la misma direccin y el mismo
sentido que el vector ,a diferente de cero. Es claro que tal vector unitario se obtiene al
multiplicar a por ,a
1 es decir, .
a
aua Este proceso se llama normalizacin, como veremos
ms adelante.
EJERCICIO: Verificar que en realidad el vector au es un vector unitario.
Recordemos que se dice que un vector a tiene igual direccin y sentido que otro vector ,b
diferente de cero, si para cualquier ,0k es .kba En caso que se cumpla que ,kba 0b y
,0k entonces se dice que a tiene igual direccin que b pero sentido opuesto. En el primer
caso los fsicos dicen que los vectores son paralelos y en el segundo que son antiparalelos.
Adems, para que un vector quede unvocamente determinado es necesario tener su direccin,
sentido y longitud.
OBSERVACIN: Un espacio n -dimensional o tambin llamado euclidiano se clasifican as:
1R = espacio unidimensional, lnea recta real. 2R = espacio bidimensional, pares ordenados.
R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas. .......
nR = espacio n-dimensional, n-adas ordenadas o n -uplas.
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacin por un escalar definidas en V.
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Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma
y la multiplicacin por un escalar tambin debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma,
el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacin por un escalar.
COMBINACIN LINEAL
Dados el vector a no nulo, un conjunto de n vectores ,,,, nvvv 21 y los n escalares
,,,, n 21 se dice que a es combinacin lineal de los n vectores si se cumple:
.nnvvva 2211
EJEMPLO: Dados los vectores ),,,( 321a ),,,,( 111b ),,( 501c y ).,,( 311d Expresa, si
es posible, el vector d como combinacin lineal de ,a b y .c
Solucin: Debemos encontrar tres nmeros, x, y, z, tales que: .zcybxad
Es decir: 501111321311 , , z , , y , , x , ,-
z y x y, x z, y x , , - 532311
:Cramer de regla la aplicando resolvemos Lo
353
12
1
zyx
yx
zyx
Sea,
Tenemos que:
6
513
012
111
A
06
0
6
313
112
111
;36
18
6
533
012
111
;26
12
6
513
011
111
zyx
Por tanto: 0 z -3,y 2, x Y as, .cbad 032
EJERCICIOS:
1) Determina la expresin general de los vectores de 3R que son combinacin lineal de los
vectores ),,( 121 y ).,,( 114 Solucin: ),,( 24
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PROFESOR: JULIO C BARRETO G 9 LGEBRA LINEAL
2) Dados los vectores ,48 ),,(au ),,( 021v y ).,,( 210w Halla los valores de a para que u
se pueda expresar como combinacin lineal de v y de .w Solucin: .3a
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solucin no trivial esto quiere
decir que la combinacin lineal denotada as: ,02211 nnvvv o sea que tiene una
solucin nica.
PARA COMPROBAR LA INDEPENDENCIA LINEAL
Sea nvvvS ,,, 21 un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de la ecuacin vectorial ,02211 nnvvv (que es la misma que combinacin lineal
donde ,,,, n 21 son escalares) se escribe un sistema homogneo de ecuaciones lineales en
variable .,,, n 21 Despus se hace Gauss-Jordn a la matriz aumentada para diagonalizarla
si la solucin de la diagonalizacin tiene solamente solucin trivial
n ,021 entonces S es linealmente independiente. O tambin se halla el
determinante de la matriz y si es distinto de cero son linealmente independientes los vectores.
Si un conjunto nvvvS ,,, 21 , 2n es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno de los vectores jv puede expresarse como una combinacin lineal de los dems vectores .S
EJEMPLO: Comprueba si los vectores 1) 1, (1,y 1) 1,- (1, 1),- 1, (1, de 3R son linealmente
independientes.
Solucin: Primero formemos una matriz A con los vectores, es decir
111
111
111
A
Luego, hallemos el determinante de esa matriz, es decir, :det A
0431)111()111(
111
111
111
detdet
A
Y como el determinante no es nulo, los vectores son linealmente independientes.
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PROFESOR: JULIO C BARRETO G 10 LGEBRA LINEAL
EJEMPLO: El mtodo del ejemplo anterior no es la nica manera de saber si unos vectores son
linealmente independientes, veamos los vectores )0,1,2( y )1,2,3( los cuales son linealmente
independientes. En efecto, si escribimos:
.000123012 -y, - x
Es decir, formamos el siguiente sistema de ecuaciones:
0
02
032
y
yx
yx
El cual slo tiene la solucin trivial: . yx
EJERCICIOS:
1) Los vectores ),3,0,2( )0,2,1( y )6,2,3( son linealmente dependientes.
En efecto, haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo.
2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1 t,(0, t),1, (1, y
t)2,- (1, sean linealmente dependientes.
Solucin: Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podr expresar como combinacin
lineal de los otros restantes, por tanto,
(1, 1, t) = (0, t, 1-t) + (1, -2, t)
Y de aqu se obtiene:
ttt)-(1
12-t
1
Y de aqu resulta
0)t1(
3t
Si 1t0t-1 00)t1( . Y si t = 1, = 3
La relacin de dependencia es )1,2,1.(1)0.1.0.(3)1,1,1( , es decir,
)0,0,0()1,2,1.(1)0,1,0.(3)1,1,1(
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PROFESOR: JULIO C BARRETO G 11 LGEBRA LINEAL
Otro mtodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores. Observando
estos dos vectores )2,3(1 v y )4,6(2 v geomtricamente como en la siguiente de abajo,
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes.
Tambin podemos graficar estos dos vectores )2,1(1 v y )2,3(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal.
EJERCICIOS:
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa
frmula de determinantes.
2) Verificar que los vectores )3,2,1( y )1,1,1( son linealmente independientes.
3) Demuestre que los vectores ),2,3,( k )2,3,(k y )0,1,1( son linealmente
independientes, cualquiera que sea el valor de .k
4) Halle los valores de m para que los vectores ),1,1,0( )1,0,2( y )1,1,( mm sean
linealmente independientes.
5) Dados los vectores ),,,( 321 ),,( 111 y );,,( 51 hallar el valor de para que los
vectores sean linealmente dependientes.
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el ngulo entre dos vectores distintos de cero usamos la frmula:
vu
vuv(u Cos 2211
DEFINICIN: Donde los vectores son , uu u 21 y , vv v 21 y donde 2211 v u vu se denota como producto punto o producto interno de dos vectores.
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PROFESOR: JULIO C BARRETO G 12 LGEBRA LINEAL
EJEMPLOS:
1) Halla el ngulo que forman los vectores )6,2,3(u y )1,5,4(v
Solucin: Calculemos lo siguiente:
461012. vu
7493649|||| u ; 4212516|||| v
Luego,
427
4
||||.||||
.cos
vu
vu.
Buscando con la calculadora el ngulo cuyo coseno es 427
4, se obtiene el siguiente ngulo:
94,84
Usando la calculadora:
Sean los vectores:
El producto interno es:
Guardandolo en memoria:
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PROFESOR: JULIO C BARRETO G 13 LGEBRA LINEAL
Las normas de los vectores son:
Multiplicando lo anterior:
Guardandolo en memoria:
Luego calculando el coseno inverso:
En grados sexagesimales:
2) Halla el valor de a para que los vectores )5,1,2(u y )6,2,(av , sean perpendiculares.
Solucin: Para que sean perpendiculares, el producto escalar ha de ser nulo, por tanto,
0)6,2,).(5,1,2( a 03022 a
Y de aqu se obtiene . a 16
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TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 14 LGEBRA LINEAL
Verifiquemos con la calculadora:
Sean los vectores:
Luego el producto escalar o interno es:
El producto punto para nR se denota nn v u ... v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son: Donde c es un escalar y que wvu ,, son vectores cualesquiera en .nR
1) u vvu (Ley de simetra)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc 4) 0vv y 0vv si slo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicin de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
ngulo entre dos vectores en nR as:
vu
v u Cos
Esta frmula nos define ngulos entre dos vectores, si vu 0 se dice que los ngulos son ortogonales.
LA DESIGUALDAD DEL TRINGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v ||. || u || v || || u
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TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 15 LGEBRA LINEAL
EL TEOREMA DE PITGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales. Ser cierto que: || v || || u || v |||| u 222 ? Dar una interpretacin
geomtrica.
EJERCICIOS:
1. Demostrar las propiedades del producto interno de vectores.
Por ejemplo demostremos la simetra: Sean dos vectores ),,,( nuuuu 21 y
),,,,( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno. producto de Definicin ),,,(),,,(
reales. nmeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno. producto de Definicin
),,,(),,,(
2121
2211
2211
2121
2. Dados los vectores ),,( 312 u y ),,,( 224 v hallar vu , y el ngulo que forman los
vectores u y .v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee ,, una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextrgira y los vectores
332211 eueueuu y .332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y ,v se representa por ,vu al vector
.cofactores los de Metodos
matriz. una de tedeterminan de Definicin
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son: Sean los vectores ,u ,v w y un escalar c en los
nmeros reales:
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TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 16 LGEBRA LINEAL
1. uvvu (Ley anticonmutativa). 2. wuvuwvu (Ley distributiva). 3. cuvucvvuc 4. 0uu
EJEMPLOS:
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )3,7,1( u y ).4,0,5(v
Solucin: Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo:
405
371
, , - v
, -, u
Luego,
35) 11, 28,(0 5-
7 1 ,
5- 4
1 3- ,
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora:
Sean los vectores:
Luego, el producto vectorial es:
2) Dados los vectores 6), 1, (4, y v 5) 2, (3, u halla un vector perpendicular a ambos y el
rea del paralelogramo que determinan.
Solucin: Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial:
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TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 17 LGEBRA LINEAL
6) 1, (4, v
5) 2, (3, u
Luego,
5)- 2, 7,(1 4
2 3 ,
4 6
3 5 ,
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambin desarrollando el siguiente determinante:
)5,2,7(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El rea del paralelogramo que determinan es el mdulo del producto vectorial:
rea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien, rea = 2u 78
Usando la calculadora:
Sean los vectores:
Luego, el producto vectorial es:
Y su norma (rea) es:
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TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 18 LGEBRA LINEAL
Ya que:
3) Halla un vector w cuyo mdulo sea 4 y adems perpendicular a )1,0,2(u y ).2,1,3( v
Solucin: Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos, por tanto, )2,1,1(1- 3
0 2,
3 2
2 1 ,
2 1-
1 0 vu
. Lo dividimos por su mdulo
para obtener un vector de mdulo unidad: )2,1,1(vu . Es perpendicular a u y a v.
6)2()1(1||vu|| 222 ;
62,
61,
61)2,1,1(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado:
3
64,
3
62,
3
62
6
2,
6
1,
6
14w
Usando la calculadora:
Sean los vectores:
Luego, el producto vectorial es:
La norma es:
-
TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 19 LGEBRA LINEAL
Guardando en la memoria:
Ahora buscando un vector unitario:
Por ltimo multiplicndolo por 4:
Notando que:
VERSOR
Representacin grfica del versor asociado a un vector:
u
u u u
u
1u u
u
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TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 20 LGEBRA LINEAL
VECTOR PROYECCIN
Se necesita obtener la proyeccin del vector
a en la direccin del vector
b . Ello se
simboliza: b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea ,Proy axb
entonces verificar geomtrica y algebraicamente se cumple que:
i. bx
ii. bxa
iii. xxaa
EJERCICIOS:
1. Demostrar las propiedades de vector proyeccin.
2. Demostrar las propiedades del producto cruz.
3. Los vectores ,2kia kjib 2 y kjic 22 estn expresados en una base
ortonormal. Calcula: ;ba )( aca y )..( baa
Solucin: kjiba 52 ; kjiaca 4108)( ; 0).( baa
4. Demuestre que s u y v son vectores cualesquiera, se tiene que
).()()( vuvuvu 2
Sugerencia: Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu ).
5. Es cierto que )()( wvuwvu ? Para cualesquiera tro de vectores ,,, vu y .w
Falso: Sugerencia, use los vectores ),,(),,( 001 001 vu y ).,,( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
-
TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 21 LGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacin por
un escalar definidas en V. Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicacin por un escalar tambin debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacin por
un escalar.
EJEMPLOS:
1. Sea 3RV y VS definido por 0:),,( xVzyxS Entonces, S es un subespacio
vectorial de ,V ya que ;)0,0,0( S y si ,),,( 321 Sxxx tenemos que:
).,,(),,(),,( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a ,S pues .00011 yx De manera anloga tomamos Syyy ),,( 321 y
,R entonces ,),,(),,( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que .01 x
As, S es un subespacio vectorial de .V
2. Sea funcin una o aplicacin una es ,:),( fRRfRRAV y
.en continuafuncin una es , RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de ,V ya que la funcin idnticamente nula es una
funcin continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por:
. todopara ),()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcin continua f definida por
. todopara ,)())(( Rxxfxf
Son funciones continuas. As, S es un subespacio vectorial de .V
EJERCICIOS:
1) Sea funcin una o aplicacin una es ,:),( fRRfRRAV y
.en derivablefuncin una es , RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de .V
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TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 22 LGEBRA LINEAL
2) Sea funcin una o aplicacin una es ,:),( fRRfRRAV y
.en ordenes los todosde derivadas admite quefuncin una es , RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de .V
3) Sea funcin una o aplicacin una es ,:),( fRRfRRAV y
.en creciente nteestrictamefuncin una es , RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de .V
NOTA: Sabemos que una funcin es estrictamente creciente en R si para todo par de valores ,, Rxx se cumple que:
).()( xfxfxx
Sugerencia: Basta probar que la funcin idnticamente nula no pertenece a .S
4) Sea funcin una o aplicacin una es ,:),( fRRfRRAV y
.)()( R, x todopara , xfxfVfS
.)()( R, x todopara , xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de .V
NOTA: Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente.
OBSERVACIN: Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacin por un escalar.
BASE Y DIMENSIN
En un conjunto nvvvS ,,, 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple que si el espacio vectorial tiene una base con un nmero finito de vectores, entonces V es de dimensin finita y en caso contrario es de dimensin infinita.
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS ,,, 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto que contiene ms de n vectores de V es linealmente dependiente.
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TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 23 LGEBRA LINEAL
EJEMPLOS:
1. Estudia si los vectores 1) (0,1, 0), 1, (1, y )1 1, (2, forman una base de .3R
Solucin: Hemos de saber que:
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de 2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de 3R .
Etc.
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formarn una base, haga
los clculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y, por tanto, no
forman una base de .3R
2. El vector ),,( 231 v est dado en la base cannica. Halla sus componentes respecto de la
base .)3,2,0(),1,0,1(),1,1,1(B
Solucin: Hagamos, )3,2,0()1,0,1()1,1,1()2,3,1(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:
23
32
1
Sumando la 1 ecuacin, cambiada de signo a las otras dos, se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente:
33
22
1
Y entonces 4 , Si el valor de lo llevamos a la 1 ecuacin del sistema inicial,
514 . El vector v queda expresado en funcin de los elementos que forman la base en la forma siguiente: ).3,2,0(1)1,0,1(4)1,1,1(5)2,3,1(
EJERCICIOS:
1. Prueba que los vectores (1,1,1)y (1,-1,1) ,111 cba ),,( son una base de .3R Halla
las componentes del vector ),,( 1597x en esta base. Solucin: Como son tres vectores,
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) .cbax 12811
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TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 24 LGEBRA LINEAL
2. Dados los vectores ),,,,( 321a ),,,( 111b ),,( 501c y ).,,( 311d Forman una base
de 3R ? Exprese, si es posible, el vector d como combinacin lineal de los vectores ,a
b y .c
3. Dados los vectores ),,( 012 u y ).,,( 123 v Son linealmente independientes?
Forman una base de 3R ? Halla un vector, w tal que .2
32v
wu
NMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces, toda base V tiene n vectores.
DIMENSIN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces, esa n es la dimensin de esa base y se denota .)dim( nV . Tericamente la dimensin se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio, este conjunto es una base del
subespacio y la dimensin del mismo es el nmero de vectores que hay en la base.
Para ver que una base en un espacio n-dimensional: Siendo V su espacio vectorial y nn entonces nvvvS ,,, 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en ,V entonces S es una base de .V
EJEMPLO: Si nvvvS ,,, 21 genera a ,V entonces S es una base de .V
OBSERVACIONES:
1. Si W es un subespacio vectorial de ,V .dimdim VW Si ,0
W 0dim W
2. Si 21,WW son subespacios vectoriales de V se tiene
.dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2. dimW1 W2) dim(W1 .
Donde recordemos lo siguiente:
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 W,vW,vvvV : vv W W
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TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 25 LGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V . Si .0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota .WW 21 Si V , WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios.
NOTA: Recordar que 0
es otra notacin del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo.
EJEMPLO: Se consideran los siguientes subespacios de :R3
.0,0:,, 3 z y x Rz) y(x U
.02:2,, 3 z y; x x jR z) y(x V
Hallar una base de U, otra de V ,la dimensin de U, V y los subespacios V U y V .U
Solucin: Las ecuaciones paramtricas de U son: . , y z , y x .0 Por tanto,
R)( U :,,0
Luego una base de U es: .110 ),,( BU Y . U 1dim
Las ecuaciones paramtricas de V son: .y 22 z -, y -x Por tanto,
R) :, ,-( V 22
Luego una base de V es: .1,2,2 ) ( BV Y . V 1dim
El subespacio interseccin es
(0,0,0)
0
0200
3
3
z y :x R(x, y, z)
z y; x ; x ; y -z :x R(x,y, z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 1,2,2,1,1,0 . Esto es, VU (x,y, z) si existen R, tales que ), ,-(- ) , , ( (x, y, z) 122110 . Esto es,
z
xy
x
z
y
x2
2
2
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TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 26 LGEBRA LINEAL
Por tanto, el sistema anterior tiene solucin si y slo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y -: z R(x, y, z) V U 2
33
Y . V ) (U 2dim Como ,), , ( V U 000 as la suma es directa.
NOTA: Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacin lineal de S.
EJERCICIOS DE VECTORES
1. Dados los tres vectores ),,,( 625a ),,,( 782b ),,( 479c y el escalar 5k calcular:
. ,k ),( , , aacbababa
2. Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial: 2M acabcba )( (Ley distributiva)
3. Demuestre que los vectores ),2,3,( k )2,3,(k y )0,1,1( son linealmente independientes,
cualquiera que sea el valor de .k
4. Dados los vectores ),,,( 321 ),,( 111 y );,,( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes.
5. Dados los vectores )3,1,2(u y ),2,9,4( v hallar vu , y el ngulo que forman los
vectores u y .v 6. Dados los vectores 6), 9,- (4, y v 5) 4, (-6, u halla un vector perpendicular a ambos y
el rea del paralelogramo que determinan.
7. Sea funcin una o aplicacin una es ,:),( fRRfRRAV y
.en derivablefuncin una es , RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de .V
8. Sea funcin una o aplicacin una es ,:),( fRRfRRAV y
.)()( R, x todopara , xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de .V (Es el subconjunto de las funciones pares.
9. Prueba que los vectores (1,1,1)y (1,-1,1) ,111 cba ),,( son una base de .3R Halla
las componentes del vector ),,( 1597x en esta base.
10. Dados los vectores ),,,,( 321a ),,,( 111b ),,( 501c y ).,,( 311d Forman una base
de 3R ? Exprese, si es posible, el vector d como combinacin lineal de los vectores ,a b y
.c
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TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 27 LGEBRA LINEAL
11. Dados los vectores ),,( 012 u y ).,,( 123 v Son linealmente independientes?
Forman una base de 3R ? Halla un vector, w tal que .2
32v
wu
12. Se consideran los siguientes subespacios de :R3
.0,0:,, 3 z y x Rz) y(x U .02:2,, 3 z y; x x jR z) y(x V
Hallar una base de U, otra de V ,la dimensin de U, V y los subespacios V U y V .U
13. Sea X un conjunto no vaci, K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nmeros reales R o complejos C ) y
funcin o aplicacin una es ,:),( fKXfKXAV Definamos:
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((:,
)()())((:,
Demostrar que la terna ),,( V es un espacio vectorial sobre .K
14. Sea funcin una o aplicacin una es ,:),( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS , todopara :
Es S es un subespacio vectoriales de .V (Es el subconjunto de las funciones impares. 15. Demuestre la desigualdad de Cauchy Schwarz. De una idea geomtrica. 16. Demuestre la desigualdad tringulo. De una idea geomtrica. 17. Demuestre el teorema de Pitgoras. De una idea geomtrica.
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
Anton, H. (1994). Introduccin al lgebra Lineal. Tercera Edicin. Editorial Limusa, S. A de C. V. Noriega Editores. Mxico.
Barreto, J. (2015). Introduccin al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos elctricos, al balanceo de ecuaciones qumicas, a la investigacin de operaciones y la
programacin lineal. Coleccin de Universitaria. Volume 1. Spanish Edition. ISBN-
10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Ao 2015.
https://www.createspace.com/5230822
Lus, Gonzlez. (1981). lgebra II. Universidad Nacional Abierta. Dcima primera reimpresin 2007. Caracas, Venezuela.
Tom Apstol. (2005). Calculus. Clculo con funciones de varias variables y lgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial
Revert.
Serge Lang. (1976). lgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. Mxico D. F