Álgebra parte 1 (mar-jul)

7/23/2019 lgebra Parte 1 (Mar-jul)

1/52

LOGICO MATEMATICO 5 PRIM

SACO OLIVEROS Pgina 1


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3/52


Resea Histrica de las

Operaciones Bsicasen la Antigedad

Matemticas, estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes ypropiedades, y de las operaciones lgicas utilizadas para deducircantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado las

matemticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida alas magnitudes (como en la geometra), a los nmeros (como en laaritmtica), o a la generalizacin de ambos (como en el lgebra).

os primeros libros egipcios, escritos !acia el a"o #$%% a.&. muestran unsistema de numeracin decimal con distintos smbolos para las sucesi'as

potencias de #% (#, #%, #%% ...), similar al sistema utilizado por losromanos.os nmeros se representaban escribiendo el smbolo del # tantas 'ecescomo !aba en el nmero dado, el smbolo del #% tantas 'eces comodecenas !aba en el nmero, y as sucesi'amente. ara sumar nmeros,se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas.... decada nmero. a multiplicacin estaba basada en duplicaciones sucesi'as

y la di'isin era el proceso in'erso.



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L G E B R A

LA ADICIN

Ordena en forma ertical ! "alla la s#ma$

a% $*+ #- %$* *+ %*- &% -+ #- %/ *% $ /*+*0 0-

c% #*-$+ /* -*/% *+/ d% $ * #-% -% /#$ *--* /-

LA '(')RACCIN

Ordena en forma ertical ! "alla la diferencia$

a% /- %/* 1 #-$ /* &% /%% *-# 1 *- /*

c% $% /+ 1 -+ 0- d% /%% *-# 1 *- /*



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e% #%/- /+ 1 *- %/ f% %+* %%% 1 $ /+$

LA *(L)I+LICACIN

Halla el prod#cto$

a% &%

c% d%

LA DI,I'IN

Halla el cociente$

a% 635153 45 &% 803 657 97

c% 154 892 356 d% 342 563 1520


6 342 605

36

863 296

95

752 098

249

693 978

2859


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-. 2esuel'e en tu cuaderno y luego relaciona3

/. 2esuel'e en tu cuaderno las di'isiones y luego escribe 4 si es'erdadero o 5 si es falso segn corresponda3


V a m o s ! !T " # $ # s %% %


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O+0RACION0' CO*BINADA'

ara resol'er las operaciones combinadas debemos tener en cuenta elsiguiente orden3#6 2esol'er operaciones encerradas entre parntesis.6 2esol'er multiplicaciones y di'isiones.*6 2esol'er adiciones y sustracciones de iz7uierda a derec!a.

01emplo$2 & 5 9 4 5 ' 2 0 4 3 ( ) & 2 4 3 2 ) 6 3 4 8 (

2 3 9 0 2 ) & 2 4 3 2 ) 3 0 2 4 (

7 8 0 4 ) 5 4 5 6

1 3 2 6 0

-. 2esuel'e en tu cuaderno3a) #%% 1 * -+ $/

b) (/*- - %) + 1 *#

c) (-/- $ +%) - /$+

d) #$%%% % +- *%

e) // #- // $-

f) #0 %%% $%%% -+%% 0%

g) #- %%% - $ (/%% 1 +*)



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!) $% ( +) #%% *

i) $+%%% #%%% -(+-%%% /%%)

-. &oloca adecuadamente los parntesis para 7ue cada igualdad sea'erdadera3

a) #- $ 8 #$

b) 0% 1 % * 8 #-%

c) # + * 1 % 8 +%

d) #-% $ 8 #-

/. Escribe el signo de las operaciones para 7ue se cumpla la igualdad3

a) $# * * 8 #-

b) -% + - #/ 8 #

c) +- + #% 8 #%%

d) #- * 8 %

2. 2esuel'e3

21 000 &25 24( 900000 1500 452 +



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3lge&ra

El 9:E;2< tiene los inicios de su desarrollo entre los rabes.


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L G E B R A

01emplos$


+

+

+

L & u n t o s c u b o s ! a y M

+ + + 8 + 8 +

@ e l e e 3 & u a t r o a l c u b o

*

a p o t e n c i a c i n e s u n a o p e r a c i n 7 u ec o n s i s t e e n m u l t i p l i c a r u n f a c t o r l a s ' e c e s7 u e i n d i 7 u e e l e A p o n e n t e .

a n * +e A p o n e n t e

b a s e p o t e n c i a


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a)- *= = b)

* #= =

-. &ompleta la tabla3

+ O ) 0 N C I A ' 0 L 0 0 ' I 4 N I 5 I C A 0 ' I 4 ( A L A

# /

*

$ -

- % %

0 0 0 0

# * # * # *

# # # # # #

+ a l a 7 u i n t a

a l c u b o

/. Nalla la potencia3



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LA RADICACIN

En toda radicacin se cumple 7ue3

n

a 8 b b 8 an

2 a d i c a n d o

2 a z e n s i m aO n d i c e d el a 2 a z

@ m b o l or a d i c a l

01emplos$

a) # += por7ue . + #=

b) * $ = por7ue * $=

c) + $# *= por7ue

+* $#=

-. Nalla la raz eAacta3


V a m o s ! !T " # $ # s %% %


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/. 2esuel'e3



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C3LC(LO *0N)AL D0 RADICACIN

060*+LO $

-.*

#*+ / % #+ /1 - #+ + + + =P2esul'elo pero mentalmenteQ @igue este orden 3

*.- -R / 1 - + . #+ #) + )% )+ + /) #%% #% #*+ #++ #.= = = + = = + = = + = = + = =

Este proceso !azlo MEHS


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Res#ele los sig#ientes e1ercicios mentalmente ! coloca laresp#esta en el rec#adro$

-.*

/0, .., *$1 #-/, /*, +/ 8

/.-

..* , .) , -)1 */-, /, .-) 8

2.+ *#-$, #.+ 1 0$ , #/ , -0 , +/ 8


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2esuel'e los siguientes eIerecicios mentalmente y coloca la respuesta enel recuadro3

-.$ -*-, *1 /1 $, 0/ , #%%%%% 8

/.*/# 0 # #* 0 $ 8

2.* *-0 +* * ## # 0 8

4.

* -, //* , +#, #, 0 , * 8



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Resea Histrica de 4eorge Boole

El matemtico britnico :eorge ;oole describi en ?n'estigacin sobre

las leyes del pensamiento (#$-+) un sistema alge&raico7ue se conocims tarde como lge&rade ;oole. Este sistema tiene numerosasaplicaciones prcticas en informtica, por eIemplo, resulta til en el usode motores de bs7ueda de ?nternet.



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L G E B R A

2ecuerda 7ue3

< n 8 E A p o n e n t e

; a s e o t e n c i a

0>ponente Nat#ral$ BEs igual a multiplicar la base las 'eces 7ueindi7ue el eAponente

+

= n

n 'ecesa a a a . . . a R n U V#W

01emplos$

a)* $= =

b)- - - -= =

0>ponente Cero$ BSodo nmero con eAponente cero e igual a #

ara todo a diferente de cero.

01emplos$

a) -6 8 #

b)*

#+

=

c) -(m ) # =


a # si a % =


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0>ponente (no$ BSodo nmero con eAponente uno d como resultado el

mismo nmero

01emplos$

a)#+ += b)

# =

0>ponente Negatio$ B>na potencia de eAponente negati'o es igual a

la in'ersa de la misma en eAponente positi'o.

mm#

aa

=

EIemplos3 EIemplos3

a)

# #0

+/0

= =a)

+ + *

*

=

b) # # *

= =b)

+ -- +

=

+otencia de Base (no$BSoda potenciacin de base # es igual a #

01emplos$

a)+# #=

b)#%# #=

c)A# #=


#a a=

m ma bb a

=

n# #=


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+otencia de Base -?$BEs igual a la unidad seguido de tantos ceros

como indi7ue el eAponente

# % 8 # % % % . . . %n

n

01emplos$

a) # % 8 # % . # % 8 # % %

b) # % 8 # % . # % . # % 8 # % % %*

c) # % 8 # % % % % % % % %$

+RO+I0DAD0'

-. *#ltiplicacin de &ases Ig#ales.X B@e escribe la misma base y sesuman eAponentes

m n m na a a + =

01emplos$

a)* * - *+ = = =

b) # # ** * * * 0+ = = =

c)+ * + * 0A A A A+ = =

/. Diisin de Bases Ig#ales.X B@e escribe la misma base y se restanlos eAponentes

mm n

n

aa

a

=

a)

$$ - *

-

$

= = =



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b)

+

+

00 0 +/

0

= = =

c)

$$ # 0m m m

m

= =

2. +otencia de #na *#ltiplicacin.X BEl eAponente afecta a cada

trmino de la multiplicacinm m m(a b) a b =

01emplos$

a)* * *( *) * $ 0 # = = =

b) (- ) - - + #%% = = =

c)

- - -(a b) a b =


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=. +otencia de +otencia.@ B@e escribe la base y se multiplican los

eAponentes

{ }yAm n m n A y (a ) a =

01emplos$

a)( )

+*

* + + = =

b) { }-* + * + - #%(- ) - - = =

c){ }

-0* * 0 - #%(A ) A A = =

)0ORA D0 RADICAL0'

2ecuerda 7ue3 n A2 a d i c a n d o

8 r2 a z

O n d i c e

n V#W+

0>ponente 5raccionario

( )m

mn m nna a a= =

01emplos$

a)( )

--* - ** = =

b) ( )*

*+ * ++0 0 0= =



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+RO+I0DAD0'

-. Ra de #na *#ltiplicacin

n nn a b a b =

01emplos$

a) * +/ * +/ 0 + = = =

b)** *$ 0 $ 0 * = = =

/. Ra de #na Diisin

nn

n

a ab b

=

01emplos$

a)

**

*

#- #- -

# #= =

b)

++

+

# # #

# #= =

2. Ra de Ra

mn ppm n a a =

01emplos$

a)* +* ++ # # # # = = =



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b)+ $+ - - - = = =

c)

+ A A A A = = =

#

++

#+A=

-. 2educir3

1 1 * 1 %## # # #M8 #

* + #%

/.


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d%

** * - 0 80- #

e% *A Y A 8

f%+ - *a b Y a b 8

g%

%0

- 8

"% + - $ Y

i%( ) ( ) ( )

$

* %* Y * * 8



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1%

* #% #%+ + 8

% a b abA A Y A 8

l%( )

$ * +A y Ay 8

m%- 0 * #%+m n A *mn Ay Y m n

n% ( )

$ + * A y Ay

o%- * * a b c Y a b c

p%

1 # 1 # %# # # 1% #0 #-

8#$



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2. &alcular el 'alor de 3

12 2 2

1 1M4 3

= +


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e%

*+# 8

f%

#1-* 8

+*

g%

- + * 8

"%

* %

$% #%- - 8- -

i%

+ -

$ * - - 8

- -

1%

- *

* +

#* #% #*8

#% #% #*



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-. 2educir 3( )

1 - #Z %#

1 1# # # + 0% * + -

/.


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Resea Histrica de 5ranEois ,ieteSACO OLIVEROS Pgina 33


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5ue poltico y militar francs 7ue tena como pasatiempo fa'orito lamatemticas. uede considerrsele como el 5>HJ


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L G E B R A

D05INICIN$Es un conIunto de constantes y 'ariables con eAponentes racionalesrelacionados a tra's de las operaciones de suma, resta, multiplicacin,di'isin, potenciacin y radicacin, en un nmero Fnito de 'eces.

01emplos$+A A #+

)Frmino Alge&raico1 + A *@ i g n o E A p o n e n t e

4 a r i a b l e& o e F c i e n t e

( c o n t i e n e a l s i g n o )

ClasiGcacin de 0>presiones Alge&raicas

*onomio$Es una eApresin algebraica 7ue tiene un solo trmino.01emplos$a) -A c)

b)A y d)


A Ay Ay +

Ay A y # + +

Ayz

*

+Ay

*


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+OLINO*IO'

+OLINO*IO$Es una eApresin algebraica 7ue consta de dos o ms trminos(M[H[M?[@) en una cantidad Fnita de estos.

< los polinomios de dos trminos se les denomina ;?H[M?[@, a los detres trminos S2?H[M?[@R a los de cuatro trminos &>


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II.4RADO' D0 (N +OLINO*IO

-. 4RADO AB'OL()O D0 (N +OLINO*IO 4.A.%

Est dado por el M


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Halla$-. El grado relati'o de cada polinomio con respecto a cada 'ariable./. El grado absoluto de cada polinomio.


- *

* +

* + *

+ * * -

* - 0

+ - *

+ * #% * +

0

*A 1 +A 1 A #a)

-A 1 A *A 1 #%b)

A y 1 +A y -A y 1 ##c)

A yz 1 *A y z -d)

# #aA y a A 1 aAy e) * -

$ayA 1 -A yz A y f)

* + -Ay 1 A y0A yz g)

0A y zA y 1 Ay z!) #%

* #Ay aA 1 Ay zi) * -

I)

)

l)

+olinomio 4.R. 4.R.H>% H!%

* +

a* b a- b$ a# b

0A y$Ay /Ayz

-aAbaAy0a Ay

/A y 1 %,-A y A y

4.R. 4.A.HC%


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Halla$-. El grado relati'o de cada polinomio con respecto a la 'ariable Ba./. El grado absoluto de cada polinomio.


+ * . /

* . *

+ . * . +

$ #- ##1

. 0 -

. * +

- . 1

- 0 / * #%

+ . + -

+ . . +1

. . .

0a b ,a A,aba)

+a ,a ,abb)

aA ,+a a 1 A y c)

aA y1 y md)

/a y ,a y,+aye)

*a b,a b ,+bf)

+a b,ab ##g)

a b , *a b 1 -a!)

am n 1mn ,aA y i)

a ,a A a A y I)

a b,a b 1 ab)

l)

+olinomio 4.R. 4.A.Ha%

* +

. . - 0 1

,b

+a y ,a y .A y


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)R*INO' '0*06AN)0'

R0D(CCIN D0 )R*INO' '0*06AN)0' $Es un proceso 7ue consiste en transformar dos o ms trminossemeIantes en uno solo, sumando o restando los coeFcientes y

escribiendo a continuacin del resultado la misma +AR)0 ,ARIABL07ueaparece en los trminos.

01emplos$

2educir3

-.. . . . .1$A ,A *A 8 ($,1 *)A 8 ##A

/.

1 3 m ) 6 n ' 7 m ' 4 n * & 1 3 ' 7 ( m ) & 6 ' 4 ( n * 6 m ) 2 n

2.


7 , - ) 1 0 , - ) 2 , - ' 4 , - * & 7 ' 4 ( , - ) & 1 0 ) 2 ( , - * 3 , - ) 1 2 , -2 7 7 7 2 7 2 7 7 2 7 7


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Red#ce los sig#ientes tFrminos seme1antes $

-. /A 0A 8

/. $y /y

8

2. #+b

1 /b

8


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--. #/m 1 #%m m 1 n 8

-/. A #/A 1 #$A *A 8

-2. -a $a 1 a 1 a 8

-


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L G E B R A



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-. ADICIN D0 +OLINO*IO'a suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro del

parntesisR as3

EIemplo3 Jados los polinomios.

= + + < *A *Ay -y

= ; A Ay y

+ = + + + . . . .

< ; (*A *Ay -y ) (A .Ay .y )

< , ; 8 * A , * A y , - y , A 1 A y 1 y

< , ; 8 + A , A y , * y

>n signo de agrupacin precedido del signo () se elimina, sincambiar de signo a todos los trminos escritos dentro del signo deagrupacin.

_ En la prctica, suelen colocarse los polinomios unos debaIo deotros de modo 7ue los trminos semeIantes 7ueden en columna,

luego se efecta la reduccin de dic!os trminos.= + +

=

+ = + +

< *A *Ay -y

; A Ay y

< ; +A Ay *y

/. '(')RACCIN D0 +OLINO*IO'



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EIemplo3 Jados los polinomios3

= + ++ A +A +

= + ++ ` +A A *

_ a sustraccin se indica incluyendo el sustraendo en unparntesis precedido del signo 1 asi3

= + + + ++ + ` A +A y ( +A A *)

1 ` 8 A , + A , + , + A 1 A 1 *+ +

B>n signo de agrupacin precedido del signo (1) se elimina,

cambiando de signo a todos los trminos escritos dentro del signo deagrupacin.

En la prctica suele escribirse el sustraendo con sus signoscambiados debaIo del minuendo, de modo 7ue los trminossemeIantes 7ueden en columna, luego se efecta la reduccin dedic!os trminos.


= + ++ ` #%A A #

+

+

+

A +A +

` +A 1 A *

` #%A A #

= + +

= +

= + +


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-. Jados los polinomios 3

< 8A *A

* A -

; 8 +A1 A

*1 -A 1 *

& 8 -A

*

+A *A

#%Nallar < ; &

/. Jados los polinomios 3

< 8 +*A+

/A *A

* A #%

; 8 -A1 A

* / A

+

& 8 #%A+

1 $A

#A 1 #+&alcular < ; &

2. Nallar M 1 H sabiendo 7ue 3

M 8 -A3 A

2 +A /

H 8 +A2 A



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4. Nallar < 1 ; sabiendo 7ue 3

< 8 0A1 -A

* +A *

; 8 -A

1 A

=. Jados los polinomios 3

M 8 +A- *A

+ -A #-

H 8 0A+

A*

1 +A 8 A

-1 /A

+ A

* #

&alcular 3 M H 1

J. Elimina los signos de agrupacin y !alla el resultado 3

a) #%A+1 (A

+1 *A +) 8



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b) -A *1 (1A 1 *A

*) 8

c) A

1 (+A 1 1 +A

) 8

d) ($a -b c) ($a 1 +b 1 c)

e) +A *1 (*A

*1 ) (A

+ *) 8

f) -A +1 1A

+ +A

*A 1 (+A

+ ) 8

g) 0A A

1(A

1 +A #) 8



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-. Jados los polinomios 3M 8 A- +A+ $A /A #%H 8 +A+ 0A*1 +A1 A 8 A-1 A1 $

Nallar3a) M H b) M c) M H d) M 1

/. Jados los polinomios 3M 8 +A+ *A 0A* /H 8 A $A #% 8 1A +A*` 8 A1 *A+ #

Nallar 3

a) M H b) H c) H

d) H 1 e) M H f) M 1

2. Elimina los signos de agrupacin y !alla el resultado 3

a) (*m $n +) 1 (n m 1 ) 8

b) (a 1 b d) (*b 1 d a) 8

c) (*A y 1 z) (A 1 y z) 8

d) ($a -b c) (1 $a +b X c) 8

e) (a *b) (-c ) ($a 1 #) 8



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f) (a 1 b) (b 1 c) (c d) 8

g) (-ab *bc +cd) (bc cd 1 *de)8

!) (A +Ay y) (A1 *Ay y) 8

i) m +mn 1 mn n 8

I) A* Ay y* -Ay A*1 y* 8

/. *(L)I+LICACIN D0 *ONO*IO +OR +OLINO*IO'ara efectuar esta multiplicacin recordemos la propiedaddistributi'a de la multiplicacin respecto a la adicin o sustraccin.

@i a, b y c son monomios tendremos entonces la multiplicacin de unmonomio por un polinomio.

01emplo$


= a (b c) ab ac

A ( * A , y 1 ) 8 A , A y 1 + A* + * *

< l m u l t i p l i c a r m o n o m i o s s e m u l t i p l i c a l o s c o e F c i e n t e s y l u e g ol a s p a r t e s l i t e r a l e s , c o n s i d e r a n d o 7 u e 3

a a 8 am n m n.


51/52


Efecta las multiplicaciones 3

a) -m ( /m+ *m1 A) 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

b) m-

( $m

1 -m+

*) 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

c) ab (a+ 0ab*1 +a-) 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

d) +A -(Ay 0ab 1 -) 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

e) A*y(+Ay* 0A-y 1 +A) 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

f ) ($ab *a*1 +b+) *ab- 8TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

g) (-mn 0m-1 + $mn+) m-n*8TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

!) (A *y-1 0Ay+z- #%A-) A+ 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

i ) $abc (#-a#*bc$1 %a#%b+) 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

I ) a

b (-a0

1 #a-

b+

0a#-

) 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT



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Efecta3

a) a($a+ -b- 0a*) 8TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

b) $A *(*Ay+ 0A-1 #*A$y/) 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

c) a+

b-

(#-a/

b0

1 #a-

0b/

) 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

d) #A -(#ab +A#%1 A$y##) 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

e) (a+b1 ##a/b$ #*b0) +ab 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

f ) (#%Ayz 1 A-1 #A+y-) $A#*y- 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

g) (/ $abc 1 #*a-b) b$ c+ 8 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

Álgebra parte 1 (mar-jul)

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