I.E.P. Leonardo de Vinci Sistema Preuniversitario

ECUACIN

Es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica o satisface solo para determinados valores de sus incgnitas.

Ejemplos:

1) 2x + 3 = 7;

se satisface slo para x = 2

2) x + 10 = 13;

se satisface slo para x = 3

3) 3x 1 = 17;

se satisface slo para x = 6

Observaciones

El signo igual separa a una ecuacin en primer miembro (el de la izquierda) y segundo miembro (el de la derecha).

Resolver; una ecuacin significa, hallar los valores de x que la satisfacen.

Los valores de x que satisfacen a una ecuacin reciben el nombre de soluciones o races.

Ejemplos:

8x + 1 = 5 + 9x 2x

Primer

Segundo

miembro miembro

Signo igual

Importante

Una ecuacin es de grado n, si n es el MAYOR exponente de la incgnita en toda la ecuacin.

As:

3x + 1 = 6;

Grado 1

2x2 x = 5;

Grado 2

x2 = 3x 1; Grado 3

CLASES DE ECUACIONES 1) POR SU ESTRUCTURA

Depende del tipo de expresin o expresiones matemticas que definen a las ecuaciones.

a) Ecuaciones Algebraicas

Si las expresiones que definen a la ecuacin son algebraicas, pueden ser:

Polinomiales: 3x 5x + 7 = 0

Fraccionarias:

Irracionales:

b) Ecuaciones no algebraicas o transcendentes

Pueden ser:

Exponenciales :3x 1 = 3x + 2

Trigonomtricas:

Logartmicas:

2) POR SU CONJUNTO SOLUCIN

a) Ecuacin Compatible

Si el nmero de soluciones es finito se llama ECUACIN COMPATIBLE DETERMINADA.

Si el nmero de soluciones es finito se llama COMPATIBLE INDETERMINADA.

b) Ecuacin Incompatible

Es aquella ecuacin que no tiene solucin, es decir, su conjunto solucin no tiene elementos.

Se llama tambin ecuacin absurda o inconsistente.

c) Ecuaciones equivalentes

Dos o ms ecuaciones son equivalentes si estn en una misma incgnita y tienen el mismo conjunto solucin.

ECUACIONES LINEALES Llamadas tambin ecuaciones polinomiales de primer grado, cuya forma general es:

ax + b = 0; A ( 0Ejemplo:

Resolver: Ax + B = 0

Aplicando (-B) miembro a miembro

Ax + B + (-B) = 0 + (-B)

0

Ax = - B

Aplicando por A-1 m.a.m.

A-1 . Ax = A-1 (-b)

( x =

1) Resolver la siguiente ecuacin:

7x (2x 6) = (x + 1) (3x + 2)

Rpta: ...............................

2) Resolver:

x2 + 5x 3 = x (x + 1) 2

Rpta: ...............................

3) Resolver:

x2 + 8 + 3x = x (x2 + 3) + 2

Rpta: ...............................

4) Resolver:

7x [(x + 5) (3x 1)] = 12

Rpta: ...............................

5) Resolver la ecuacin:

3x (x + 1) = 2 + x (5 + 3x)

Rpta: ...............................

6) Resolver:

4x + 2 x = x 3 + 2x

Rpta: ...............................

7) Resolver de ecuaciones:

4x (2x 1) + x = 2x - (2x + x) x

Rpta: ...............................

1) Resolver:

3( x 2) + 5 = x 3

Rpta: ...............................

2) Resolver:

2 + x - (3x + 7) = - 11

Rpta: ...............................

3) Resolver:

3(x 1) 4= 2(x 1)

Rpta: ...............................

4) Resolver:

16 4x + 6x = 12x + 8

Rpta: ...............................

5) Resolver:

3(5x + 1) 2(6x + 3) = 2(x 1)

Rpta: ...............................

6) Resolver:

10 (x 9) 9(5 6x) = 2(4x 1) + 5 + 10x

Rpta: ...............................

7) Resolver:

6x (7 x) = 36 2x (3x 15)

Rpta: ...............................

Representar con el lenguaje matemtico el enunciado de un problema, es lo que llamaremos en adelante PLANTEAR UNA ECUACIN.

Antes de resolver problemas, veamos algunos ejemplos de ENUNCIADOS que se pueden representar en el lenguaje matemtico:

1) Un nmero disminuido en 5 es igual a 70

El nmero

: x

disminuido en 5

:x 5

es igual a 70

:x 5 = 70

ECUACIN!

2) El doble de un nmero, aumentado en 7

Sea el nmero

:x

........ su doble

:2x

aumentado en 7

:2x + 7

3) La mitad del rea del cuadrado, aumentado en 8

rea del cuadrado:x

......... su mitad

:x/2

..........aumentado en 8:x/2 + 7

4) La suma de tres nmeros enteros consecutivos

Sea el nmero menor :x

El siguiente ser

:x + 1

El subsiguiente ser:x + 2

La suma de todos :x + x + 1 + x + 2

5) El triple de un nmero, disminuido en su cuarta parte

Sea el nmero

:x

...... su triple ser

:3x

...... disminuido en su cuarta parte:

1) Cul es el nmero que disminuido en 17 nos da 56?

Rpta: ...............................

2) Katy tiene 6 aos menos que Luisa. Si ambas edades suman 18 aos, Cul es la edad de Luisa?

Rpta: ...............................

3) Si sumamos tres nmeros consecutivos, obtenemos 48. Cul es el nmero intermedio aumentado en 7?

Rpta: ...............................

4) La edad de Fernando es el triple de la edad de Carmen, aumentado en 1. Si la suma de ambas edades es 53 aos, Cul es la edad de Fernando?

Rpta: ...............................

5) Carolina compra un libro de lenguaje, uno de Historia y otro de Matemtica. El primero cuesta 1/3, ms que el segundo y S/.2 menos que el tercero. Si todo el gasto fue S/. 38, Cunto costo el libro de Historia?

Rpta: ...............................

6) Descomponer 300 en dos sumandos tales que al dividir uno entre el otro, el cociente resulta 5. Cul es el mayor sumando?

Rpta: ...............................

7) Un nmero dividido entre el otro, da como cociente 9. Si la suma de ambos es 180, Cul es el nmero menos?

Rpta: ...............................

1) Cul es el nmero que aumentado en 72 nos da 128?

Rpta: ...............................

2) Calcular el nmero cuyo triple disminuido en siete unidades resulta 326.

Rpta: ...............................

3) Hallar el nmero que disminuido en 19 da como resultado 313.

Rpta: ...............................

4) Alberto tiene 6 aos menos que Vctor. Si la suma de ambas edades es 16 aos, Cul es la edad de Vctor dentro de 2 aos?

Rpta: ...............................

5) La edad de Maritza y Gladis suman 20 aos. Si Martiza es mayor que Gladis por 4 aos, qu edad tena Maritza hace 3 aos?

Rpta: ...............................

6) La suma de 3 nmeros consecutivos es 63. Hallar el nmero mayor.

Rpta: ...............................

7) Deseo dividir 27 en dos partes tales que una de ellas sea tres unidades mayor que la otra. Hallar la mayor de dichas partes.

Rpta: ...............................

Dos ecuaciones con dos incgnitas x e y es de la forma:

a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2Constituyen un sistema de ecuaciones lineales; donde todo par de valores de x e y que satisfagan ambas ecuaciones. Simultneamente recibe el nombre de conjunto solucin del sistema; (x0; y0)

MTODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES

Existen tres mtodos parar resolver un sistema de ecuaciones lineales

a) Mtodo de Igualacin

b) Mtodo de sustitucin

c) Mtodo de eliminacin

Ejemplo:

Resolver el sistema:

2x + y = 7

.............(I)

x y = 2

.............(II)

a) POR IGUALACIN

De I despejando x queda:

De II despejando x queda:x = y + 2

entonces igualamos 2do miembros ya que los primeros son iguales.

(

reemplazando el valor de y en la ecuacin II

( x = (1) + 2 ( x = 3

( CS = {3; 1}

b) POR SUSTITUCIN

De la ecuacin II despejo x queda: x = y + 2

luego el valor de x despejado, sustituyo en la ecuacin I es decir:

2(y + 2) + y = 7 ( 2y + 4 + y = 7 ( 3 y = 3

y = 1

el valor de y reemplaza en II ( x = (1) + 2 (

x = 3

( C.S. {3; 1}

c) POR ELIMINACIN

Consiste en eliminar una de las incgnitas de la ecuacin para poder calcular la otra incgnita, as:

(I)........

2x + y = 7

(II)........

x y = 2

3x 9 ( x = 3

El valor de la incgnita reemplazo en cualquiera de las ecuaciones para hallar la 2 incgnita.

Reemplazando en I

2(3) + y = 7 ( 8 + y = T(y = 1

( C.S. = {3; 1}

Resolver los siguientes sistemas ecuaciones lineales sealando conjunto solucin C.S. ={[x0; y0]} solucin nica

1) 3x y = 1

x + 2y = 5

a) (1; 1)

b) (-2; 5)

c) (1; 2)

d) (3; 7)

e) (-1; 4)

2) 9x 7y = -52

5x + 3y = -22

a) (-1; 4)

b) (-2; 7)

c) (-1; 4)

d) (5; 1)

e) (0; 9)

3) x + oy = - 2

2x 3y = -4

a) (-4; 5)

b) (-1; -1)

c) (-2; 5)

d) (4; 5)

e) (-2; 0)

4) 8x 3y = -25

x 5y = -17

a) (-2; 3)

b) (-3; 4)

c) (4; -1)

d) (6; 1)

e) (-1; 4)

5) Resolver:

5x + 2y = 3

2x + 3y = -1

Rpta: ...............................

6) Resolver:

2x + y = 3

6x 6y = 1

Rpta: ...............................

7) Resolver:

5y = 3 2x

3x = 2y + 1

Hallar: x + y

Rpta: ...............................

Resolver los siguientes sistemas ecuaciones lineales sealando conjunto solucin C.S. ={[x0; y0]} solucin nica

1) x + y = 25

x - y = 13

C.S. = {[..................]}

2) x + y = -7

x y = -31

C.S. = {[..................]}

3) x + y = 5

x y = -19

C.S. = {[..................]}

4) x+ y = -4

x y = -19

C.S. = {[..................]}

5) x + y = 2

x y = 10

C.S. = {[..................]}

6) x + y = -7

x y = 10

C.S. = {[..................]}

7) Resolver:

2x y = 4.................. (()

x + y = 5

.................. (()

Hallar: xy

Rpta: ...............................

ECUACIONES DE 1 GRADO EN Z

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PLANTEO DE ECUACIONES

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

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Sub rea: lgebra101 Secundaria

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