03 tensor de esfuerzo y deformaci n 2013 1

8/16/2019 03 Tensor de Esfuerzo y Deformaci n 2013 1

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Javier Vallejos, Ph.D. – U. de Chile / Ing. de Minas MI4060 (Otoño, 2013) 1

TENSOR DE ESFUERZO

Y DEFORMACIÓN

MECÁNICA DE ROCAS (MI4060)


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Libros de referencia (opcional)

“ Stresses in Rock”Herget, G. (1988)

A. A. Balkema

“ Rock Mechanics for Underground Mining”

Brady, B.H.G. and Brown, E.T. (2006)

Springer: Dordecht


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Terminología

En la mecánica de rocas es necesario estimar para uncampo de esfuerzos dado:

• Esfuerzos principales y sus direcciones

• Esfuerzos de corte máximo y sus direcciones• Esfuerzos normales y de corte actuando en un plano

Compresión es considerada como positiva, esto se debe aque la mayoría de los esfuerzos en problemas de laMecánica de Rocas son compresivos.

La Mecánica de Suelos y Geología Estructural tambiénutilizan siguen esta convención


4/63Javier Vallejos, Ph.D. – U. de Chile / Ing. de Minas MI4060 (Otoño, 2013) 4

Concepto de esfuerzo

En 3D es un concepto no familiar: es una cantidadtensorial que no se encuentra cotidianamente

Escalar: cantidad con solo magnitud independiente de unarotación(ej: temperatura, tiempo, masa, energía)

Vector: cantidad con magnitud y dirección(ej: fuerza, velocidad)

Tensor: cantidad con magnitud y dirección, dependiente del

plano de referencia utilizado(ej: esfuerzo, deformación)


5/63Javier Vallejos, Ph.D. – U. de Chile / Ing. de Minas MI4060 (Otoño, 2013) 5

Concepto de esfuerzo

En su forma más sencilla puede ser calculadoen una dimensión, como la carga divido por elárea sobre la cual actúa

Los esfuerzos actuando en un plano pueden tener

dos componentes:• Normal (): perpendicular a la superficie – compresión

• Corte (): paralelo a la superficie – distorsión angular

Normal Corte

En un volumen producen:• Normal (): compresión

• Corte (): distorsión angular


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Fuerza vs Esfuerzo

• Consideremos un apilamiento de bloques de concreto de distintostamaños que soportan un gran peso W

• Como podemos ver cuando el cuerpo del sólido considerado

cambia, también lo hacen las fuerzas• Si se utiliza el esfuerzo (Fuerza/Área) vemos que cada bloque esta

sometido al mismo esfuerzo, independiente del tamaño del bloque

• Por lo tanto, si el cuerpo sólido se divide en elementos, el tamaño delos elementos individuales no afecta a los valores de esfuerzos

Este bloque soporta W El área es 4ab

Estos bloques soportan W /2 cada unoEl área de cada bloque es 2ab

Estos bloques presentan W /4 cada unoEl área de cada bloque es ab

ab

W

4

ab

W

ab

W

42

2

ab

W

ab

W

4

4

peso W

a a a ab


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Fuerza vs Esfuerzo

A

F

cosF F n

sinF F n

A

F

cos A An

cosF F n

22

coscos A

F

A

F

n

nn

?n F

A

Cuando la componente de fuerza Fn es determinada en una dirección conrespecto a F el valor es: Fcos

Cuando la componente de esfuerzo normal es determinada en la mismadirección el valor es: cos2

La razón de esto es que en el primer caso solo la fuerza debe ser proyectada,

mientras que, en el segundo caso se proyectan la fuerza y el área


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Esfuerzos como propiedad puntual

Un cuerpo en equilibrio estático (velocidad nula) está sometido a trescondiciones de equilibrio:


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Esfuerzos como propiedad puntual

• En cualquier área A de la superficie, creada alcortar el cuerpo, el equilibrio interno es mantenidopor la fuerza normal (N) y de corte (S)

• Debido a que estas fuerzas varían de acuerdo a laubicación de A en la superficie, resulta mas útilconsiderar el esfuerzo normal (N/ A) y el esfuerzode corte (S/ A) considerando un área pequeña queeventualmente se aproxima a cero

A

N

An

0lim normal,esfuerzo

A

S

A

0lim corte,deesfuerzo

Si bien hay limitaciones prácticas en reducir el área hasta cero, esimportante entender que las componentes de esfuerzos se definenmatemáticamente de esta manera, con el resultado de que los

esfuerzos son una propiedad puntual

Se desea estimar los esfuerzos al interior del cuerpo:

N

S


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11/63


Convención del tensor de esfuerzos

Se tienen 9 componentes de esfuerzos (3 normales y 6 de corte)

xx : actúa en un plano normal al eje x

xy : actúa en un plano normal al eje xactúa en la dirección y

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

• Cara negativa: normal a la cara apuntaen dirección negativa al eje

• Esfuerzos normales: compresión espositiva (contrario a la normal)

• Esfuerzos de corte: dirección positiva

en caras negativas

Sistema coordenadosegún mano derecha

z (dedo medio)

y (índice)

x (pulgar)


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Simetría del tensor de esfuerzos

Si se asume que el cuerpo esta en equilibrio:

yx xy

yx xyO ll

ll

M

022

0 22

• Se obtiene que el tensor es simétrico con 6 componentes deesfuerzos (3 normales y 3 de corte)

zx xz zy yz

O

→ Cualquiera sea el método utilizado para determinar el estado de

esfuerzos, se requieren 6 fuentes de información independiente


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Ecuaciones diferenciales de equilibrio

xx xx d xx

x

y

z

x

y

z

0 xF

zx

xy xy d zx zx d

xy

0 z y x B y xd y x z xd z x z yd z y x zx zx zx xy xy xy xx xx xx

0 z y x B y xd z xd z yd x zx xy xx

x B

Se presentan dos tipos de fuerzas sobre el cuerpo:• Fuerzas actuando en la superficie: esfuerzos• Fuerzas actuando en todos los puntos del cuerpo, Bx, By, Bz (ej: gravedad)

Positivas en la dirección contraria al eje.


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0 z y x B y xd z xd z yd x zx xy xx

Como los esfuerzos son una propiedad puntual que dependen solo de lascoordenada x, y, z

z z

y y

x x

d xx xx xx xx

z z

y y

x x

d xy xy xy

xy

z z

y y

x x

d zx zx zx zx

Reemplazando (2), (3), (4) en (1):

022

2222

z y x B z y x

z

y x

y

z x

x

z x z

z y x y

y x x

z y z

z y y

z y x x

x zx zx zx

xy xy xy xx xx xx

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)


15/63



Despreciando términos de segundo orden: 0222 z y x

0

z y x B z y x

z z y x

y z y x

x x

zx xy xx

Se obtiene:

0

x

zx xy xx B z y x

De manera análoga:

00

y zy yy xy

y B z y x

F

00

z

zz yz xz

z

B z y x

F


16/63


Análisis de esfuerzos 2DRotación de esfuerzos

x

y

Estas ecuaciones se pueden utilizar paraestimar los esfuerzos normales y de corte enuna discontinuidad de manera de examinar supotencial a deslizamiento causado por una

cambio en los esfuerzos debido a excavaciones

n

2cos2sin2

1

sincos2sincos 22

xy yy xx

xy yy xx

n

yy xy

xy xx


17/63


El procedimiento anterior puede verse como una rotación de un eje x-y a x’-y’.

' x

x

y' y

'' x x '' y y

2cos2sin2

1

sincos2cossin

sincos2sincos

''

22''

22''

xy yy xx y x

xy yy xx y y

xy yy xx x x

'' y x

Estas ecuaciones se pueden utilizar paradeterminar los esfuerzos de borde quedeben ser aplicados en modelos numéricos

invariante'''' yy xx y y x x Notar:



18/63


19/63


Análisis de esfuerzos 2DEsfuerzos principales

Consideremos las ecuaciones del esfuerzo normal (n) y de corte () en unasuperficie con normal orientada en un ángulo con respecto al eje x

La Ec. (1) tiene dos soluciones, 1 = , 2 = 90+ . Estas dos direcciones son

denominadas ejes de esfuerzos principales

Mediante una elección apropiada del ángulo es posible obtener = 0. Estosucede cuando:

yy xx

xy

22tan * (1)

Los esfuerzos principales mayor (1) y menor (2) se encuentranreemplazando las soluciones de en la ecuación de n:

222

221

4

1

2

1

4

1

2

1

xy yy xx yy xx

xy yy xx yy xx

xy

y

y

xy

12

11

tan

tan


20/63


xn ,

y,

1 2 C

Análisis de esfuerzos 2DCirculo de Mohr

Es posible demostrar que las ecuaciones de esfuerzo de corte () y normal(n) forman el siguiente círculo:

222 RC n

2

21 C

2

21 R

Para graficar en el círculo se utiliza la siguiente convención de signos que essolo válida para la representación gráfica

• Esfuerzos de corte positivos si rotanal elemento en sentido anti horario

• Esfuerzos de corte negativos si rotanal elemento en sentido horario

xy yy ,

xy xx ,


21/63


1 2 C

Análisis de esfuerzos 2DCirculo de Mohr

• Notar que los ángulos en el circulo de Mohr ( ) son el doble de la vida real( =2 ). Considerar que


22/63



A

A

Oa

ON x

a

b

c

Consideremos un tetraedro Oabc generado a partir del cubo infinitesimalutilizado para definir las componentes del tensor de esfuerzos

A

z A

y A

x A

n̂

N

altura basalÁrea3

1

tetra

V

ON AV Oabc 3

1Oa A x 3

1

A

A

Ob

ON y

A

A

Oc

ON z


23/63



a

b

c

x

z

y

A

z A

y A

x A

n̂

N

aO

N

n̂

x

A

A

Oa

ON x x x cos

A

A

Ob

ON y

y y

cos

A

A

Oc

ON z z z cos

1222 z y x

n z y x z y x ˆ unitarianormallay,,,ejeslosentreángulos: , ,

A áli i d f 3D


24/63



Consideremos los esfuerzos en la cara trasera y una fuerza resultante P porunidad de área que reemplaza al material removido por el corte abc

A

z A

y A

x A

yy

zy

xy

xx zx

yx

zz

yz

xz

P

Se quiere conocer: z y x PPP ,,

z xz y xy x xx x x A A A APF :0

z yz y yy x yx y y PF

:0 z zz y zy x zx z z PF :0

z

y

x

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

z

y

x

P

P

P

P

xP

yP

zP

c

b

a

n̂

N

z xz y xy x xx xP

A áli i d f 3D


25/63


• Las ecuaciones anteriores para Px, Py, Pz, corresponden a las componentescartesianas de esfuerzos x, y, z en el plano abc

• Para obtener los esfuerzos normales y de corte en el plano inclinado seprocede de la misma manera para otro set de coordenadas l, m, n

manteniendo la misma orientación de la superficie del tetraedro

*** P

n

m

l

nnnmnl

mnmmml

llmll

n

m

l

PP

P

n

P, P*, *: son vectores expresados en los sistemas de

coordenadas x, y, z; y l, m, n, respectivamente


'n̂

' N

),,( z y x llll

),,( z y x mmmm

),,( z y x nnnn

lPmP

nP

A áli i d f 3D


26/63


Del análisis vectorial, un vector [v] es transformado de un set de ejesortogonales de referencia x, y, z, a otro set l, m, n, mediante:

z

y

x

z y x

z y x

z y x

n

m

l

v

vv

nnn

mmmlll

v

vv

Donde:[R] : es la matriz de rotación que cumple la propiedad

v Rv *


t R R 1

lx : es el coseno director del ángulo entre el eje x y el l.Físicamente, es la proyección de un vector unitario paraleloa l en el eje x.

A áli i d f 3D


27/63


Ejemplo matriz de rotación

z

y

x

z y x

z y x

z y x

n

m

l

v

v

v

nnn

mmm

lll

v

v

v


x y

z

x y

30

l

m30

n,

30cos xl 60cos yl 90cos zl

120cos xm 30cos ym 90cos zm

90cos xn 90cos yn 0cos zn

Análisis de esfuerzos 3D


28/63


Se tiene entonces:

v Rv *


*** P P (1b)

P RP *

*

P RP

t

* R

*

t R

*

RP

Aplicando (1c) a los vectores, P, P*, , *:

(2a)

(2b)

(3a)

(3b)

Reemplazando (1a) en (2a):

(1a) (1c)

(4)

Reemplazando (3b) en (4):

**

t

R RP (5)

Reemplazando (1b) en (5):

t

R R *



29/63


z z z

y y y

x x x

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

z y x

z y x

z y x

nnmn

nmmmlm

nlmlll

nml

nml

nml

nnn

mmm

lll

ln

Entonces, la matriz de rotación de esfuerzos queda dada por:

Donde las componentes de esfuerzos son conocidas en el sistema x-y-z, y esrequerido conocerlas en otro sistema l-m-n con respecto al primero




30/63



x xP y yP

z zP

z

y

x

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

z

y

x

P

P

P

0

0

0

z

y

x

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

Componentes normales de esfuerzos que actúan en planos concomponente de corte igual a cero (esfuerzos normales máximos)

El sistema de ecuaciones linealeshomogéneas tiene una solución notrivial si, y solo si, el determinante de loscoeficientes es igual a cero

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

3

2

1

00

00 00



31/63



0

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

0322

13 I I I

Solución no trivial:

Resolviendo:

2223

2222

1

2 xy zz zx yy yz xx zx yz xy zz yy xx

zx yz xy xx zz zz yy yy xx

zz yy xx

I

I

I

Donde:: Invariantes de esfuerzos321 ,, I I I

321 ,,



32/63


Cada valor de esfuerzo principal esta relacionado con un eje de esfuerzoprincipal, cuya dirección puede ser obtenida del sistema de ecuaciones yla condición de vector unitario de los cosenos directores

Análisis de esfuerzos 3DDirecciones principales

1:

0

0

0

1

1

1

1

1

1

z

y

x

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

Cosenos directoresrequeridos para el eje deesfuerzo principal mayor

K

C B A

z y x 111

1

1

zz zy

yz yy A

1

zz zx

yz yx B

zy zx

yy yxC

1

1212

12

1 z y x 2221

C B A

A x

2221

C B A

B y

2221

C B A

C z



33/63


De manera análoga:

Análisis de esfuerzos 3DDirecciones principales

2: K F E D

z y x 222

2

zz yz

zx xy D

2

2

zz zx

zx xx E

yz zx

xy xxF

2

3:K

I H G

z y x 333

yz yy

zx xyG

3

yz xy

zx xx H

3

3

3

yy xy

xy xx I

0

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx



34/63


El procedimiento anterior para calcular los esfuerzos principales y suorientación es simplemente la determinación de los valores propios(eigenvalues) de la matriz de esfuerzos, y el vector propio (eigenvector)para cada valor propio.

Es posible realizar algunos chequeos simples para evaluar la correctitudde la solución:


zz yy xx 321

0212121 z z y y x x

Primer invariante:

Ortogonalidad:

0323232 z z y y x x 0131313 z z y y x x



35/63


Es posible descomponer el tensor de esfuerzos en un tensor hidrostático[m] y uno deviatórico [d]:

Análisis de esfuerzos 3DEsfuerzos hidrostático y deviatórico

m zz zy zx

yzm yy yx

xz xym xx

m

m

m

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

00

00

00

13

1

3

1 I zz yy xxm

Deviatórico

[

d]

Hidrostático[

m

]

¿Por qué hacer esta distinción?• Esfuerzos hidrostático producen cambios volumétricos• Esfuerzos deviatóricos producen distorsión



36/63


Análisis de esfuerzos 3DPromedio de tensores

a

a

a

3

2

1

00

00

00

b

b

b

3

2

1

00

00

00

• Se tienen dos mediciones de esfuerzos

• En general estos dos tensores tendrán orientaciones diferentes. Antes depromediarlos es necesario transfórmalos a un sistema coordenado dereferencia común

a

zz

a

yz

a

xz

a

yz

a

yy

a

xy

a

xz

a

xy

a

xx

b

zz

b

yz

b

xz

b

yz

b

yy

b

xy

b

xz

b

xy

b

xx

222

222

222

b

zz

a

zz

b

yz

a

yz

b

xz

a

xz

b

yz

a

yz

b

yy

a

yy

b

xy

a

xy

b

xz

a

xz

b

xy

a

xy

b

xx

a

xx

3

2

1

00

00

00

• Del tensor promedio anterior se calculan los esfuerzos y direcciones principales

Deformación


37/63


La deformación es un cambio en la

configuración de puntos dentro de unsólido.Dos teorías:

• Deformación finita

• Deformación infinitesimal

Deformación

Ambas son relevantes para el estudio dedeformaciones en rocas sometidas a

esfuerzosCuando los desplazamientos sonpequeños se puede utilizar el conceptode deformación infinitesimal y desarrollar

un tensor de deformación análogo altensor de esfuerzos

Deformación


38/63


e o ac ó

• La deformación puede ser vista como un desplazamiento normalizado

• Una estructura sujeta a un estado de esfuerzos se deforma

• La magnitud de la deformación depende del tamaño de la estructura y dela magnitud de los esfuerzos aplicados

• De manera de trabajar con una parámetro independiente de la escala, elconcepto de deformación es utilizado

En su versión más sencilla,la deformación es la razónentre el desplazamiento y

la longitud no deformada

l

ll '

Contracción positiva

Deformación


39/63


El desplazamiento normal

y la deformación asociadaocurre a lo largo de un eje

La deformación de corte

envuelve la interacción de dosejes. Cambio de ángulo entredos líneas originalmenteperpendiculares.

• Positivo: ángulo > 90°

l

ll '

Contracción positiva

tan

Deformación de corte negativa: PQQP ''

Deformación


40/63


El concepto de deformación homogénea es una simplificación que se da

cuando el estado de deformación es el mismo dentro del sólido (líneasrectas siguen siendo líneas rectas)

Ejemplos:En cada caso se presentanecuaciones que relacionan la nuevaposición (ej: x’) en términos de laposición original (ej: x).

k indica la magnitud de ladeformaciones normales

indica la magnitud de lasdeformaciones de corte

El caso de corte puro es unresultado de deformacionesnormales de extensión y compresión

Deformación infinitesimal


41/63


Análisis de desplazamiento

Q cercano a P

z

x

y

dz z

dy y

dx x

Q

*Q

*

*

*

z

y

x

udz z

udy y

udx x

P

z

y

x

*P

z

y

x

u z

u y

u x

rígidocuerpodemovimiento

, , Si ***

z z y y x x uuuuuu

z z z

y y y

x x x

duuu

duuuduuu

*

*

*



42/63


dz

z

udy

y

udx

x

udu x x x x

dz z

udy

y

udx

x

udu

y y y

y

dz z

u

dy y

u

dx x

u

du

z z z

z

Las componentes de movimiento u, u* pueden variar dentro del cuerpo, por lo queson expresadas en función de las coordenadas (x, y, z)

dz

dy

dx

z

u

y

u

x

u

z

u

y

u

x

u z

u

y

u

x

u

du

du

du

z z z

y y y

x x x

z

y

x

dr Dd

Largo original

del segmento PQ

Desplazamiento

relativo

Análisis de desplazamiento

Rotación rígida

dr d

Deformación

dr d



43/63


Rotación rígidadxdu

dydu

z y

z x

Ωsin

Ωsin

x

y xdu

ydu

z

dxdu

dydu

z y

z x

Ω

Ω

ΩΩsin

dydu

dzdu

x z

x y

Ω

Ω

dzdu

dxdu

y x

y z

Ω

Ω

De manera análoga:

dydxdu

dzdxdu

dzdydu

x y z

x z y

y z x

ΩΩ

ΩΩ

ΩΩ

Superposición de rotaciones:

dz

dy

dx

du

du

du

x y

x z

y z

z

y

x

0

0

0

Deformaciones en términos de desplazamiento



44/63


*Q

xdudxdu

dxdu

xx x x

xx

De manera análoga:

dz

dy

dx

du

du

du

zz

yy

xx

z

y

x

00

0000

Q

*, PP

x

y

dx

Deformación normal




45/63


2

2

xy

dxdudydu

y

x

dxdu

dydu

xy y

xy x

2

1

21

xdu

ydu

Deformación de corte

De manera análoga:

dz

dy

dx

du

du

du

yz xz

yz xy

xz xy

z

y

x

022

202

220




46/63


Combinando rotación rígida y deformaciones:

dz

dy

dx

dz

dy

dx

du

du

du

zz yz xz

yz yy xy

xz xy xx

x y

x z

y z

z

y

x

22

22

22

0

0

0

Pero del análisis de desplazamiento:

dzdy

dx

z

u

y

u

x

u

z

u

y

u

x

u

z

u

y

u

x

u

dudu

du

z z z

y y y

x x x

z

y

x


Deformación infinitesimalf


47/63


El estado de deformación en un punto de un cuerpo queda completamente

definido por 6 componentes independientes, relacionadas con los gradientes dedesplazamiento

ijij 2Notación en

ingeniería

Notación

tensorial


z

u

y

u

x

u z zz

y

yy x

xx

, ,

z

u

x

u

z

u

y

u

y

u

x

u x z

xz

y z yz

x y

xy , ,

y

u

x

u

x

u

z

u

z

u

y

u x y

z

z x

y

y z

x 2

1 ,

2

1 ,

2

1

Deformación infinitesimalR t ió d d f i


48/63


2cos2sin21

sincos2cossin

sincos2sincos

''

22''

22''

xy yy xx y x

xy yy xx y y

xy yy xx x x

2D:

3D:

z z z

y y y

x x x

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

z y x

z y x

z y x

nnmn

nmmmlm

nlmlll

nml

nml

nml

nnn

mmm

lll

ln

Rotación de deformaciones

t R R *


49/63


50/63


51/63

Deformación infinitesimalEcuaciones de compatibil idad


52/63


Ecuaciones de compatibil idad

z x z x

z y y z

y x x y

zx xx zz

xy zz yy

xy yy xx

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Se puede demostrar que esto requiere que las componentes de deformaciónestén relacionadas mediante seis ecuaciones denominadas ecuaciones decompatibilidad.

z y x z y x

y z x y z x

x z y x z y

xy xz yz zz

xz xy yz yy

yz xy xz xx

2

2

2

2

2

2

Relaciones esfuerzo-deformaciónFormulación del problema


53/63


Formulación del problema

zx

yz

xy

zz

yy

xx

Incógnitas:

zx

yz

xy

zz

yy

xx

z

y

x

u

u

u

15

Ecuaciones:

0

0

0

z zz yz xz

y

zy yy xy

x zx xy xx

B z y x

B z y x

B

z y x

z

u y

u

x

u

z zz

y

yy

x xx

z

u

x

u

z

u

y

u

y

u

x

u

x z xz

y z yz

x y

xy

9

Es necesario proveer 6 ecuaciones adicionales para resolver el problema

→ Relaciones esfuerzo-deformación o ley constitutiva

Relaciones esfuerzo-deformación


54/63


xx

y

z

x

xx

xx

zz yy ,

xx xx xx E

yy

xx

xx xx

E

xx

xx

xy

yy

E

Elasticidad lineal-Ecuación generalizada de Hooke

Elasticidad: el material vuelve a su posición original una vez retiradas lascargas

xx

zz yy

xx xy yy

zz xx xz zz

xx

xx

xz zz

E

xx E

1

Relación esfuerzo-deformación

El i id d li l E ió li d d H k


55/63


xy

y

z

x

xy xy xy xy xy GG 2

xy

xy

xy

xyG

1


Elasticidad: el material vuelve a su posición original una vez retiradas lascargas


El ti id d li l E ió li d d H k


56/63



La ecuación generalizada de Hooke asume que las componentes dedeformación son una función lineal de las componentes de esfuerzo

zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

S

[S] es la matriz de módulos elásticos de 36 elementos independientesMatriz simétrica→ 21 elementos


El ti id d li l E ió li d d H k


57/63



zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S S S S S S S

S S S S S S

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

Es necesario saber hasta donde podemos reducir el número de elementos nonulos de la matriz [S]

Acople entrecomponentesnormal y de corte

Acople entrecomponentes de

corte en direccionesdiferentes

Acople directo entre componentes de corte

Acople entrecomponentesnormales en

direcciones diferentes

Acople directo entrecomponentes normales


Elasticidad lineal Ecuación generalizada de Hooke


58/63


zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S S S S S S S

S S S S S S

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211


zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

S

S

S

S S S S S S

S S S

66

55

44

333231

232221

131211

0000000000

00000

000 000

000

Si se asume que no hay acople entre componentes normales y de corte, yque no hay acople de las componentes de corte en direcciones diferentes

Acople entrecomponentesnormal y de corte

Acople entrecomponentes de

corte en direccionesdiferentes

Acople directo entre componentes de corte

Acople entrecomponentesnormales en

direcciones diferentes

Acople directo entrecomponentes normales

9 constantes

Material ortotrópico




59/63



zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz yy yz xx xz

zz zy yy xx xy

zz zx yy yx xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

G

G

G E E E

E E E

E E E

2100000

0210000

00210000001

0001

0001

Material ortotrópico

Este tipo de material puede originarse a partir de la microestructura de la rocaintacta, o en el caso de un macizo rocoso cuando existen tres sets dediscontinuidades ortogonales con diferentes propiedades y/o frecuencias.

zz

zy

yy

yz

xx

xz

zz

zx

yy

yx

xx

xy

E E E E E E

Notar que por simetría:




60/63



zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

G

G

G E E E

E E E

E E E

2100000

0210000

0021000 0001

0001

0001

Material isotropía transversal

Esto se manifiesta en un macizo rocoso con una fábrica laminada o un set dediscontinuidades paralelo

GGGG

E GG

E E E E E

zx yz yz xy

yz xz yx xy

zz yy xx

12

5 constantes

z

x

y




61/63



zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

E

)1(00000

0)1(000000)1(000

0001

00010001

1

Material isótropo: material cuya respuesta no depende de la dirección de lacarga aplicada.

12

E GGGG

E E E E

zx yz xy

zx yx xy

zz yy xx

2 constantes, E,




62/63



zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

E

21000000210000

0021000

00010001

0001

211

Material isótropo: material cuya respuesta no depende de la dirección de lacarga aplicada.

2 constantes, E,




63/63



Anisotropía General 21 constantes elásticas

Ortotrópico

Tres ejes de simetría. Similar a unmacizo rocoso con tres sets dediscontinuidades

9 constantes elásticas

3 módulos de deformación

3 razones de Poisson

3 módulos de corte

Isotropía transversal

Un eje de simetría. Similar a unmacizo rocoso con laminación o unset de discontinuidades

5 constantes elásticas

2 módulos de deformación

2 razones de Poisson

1 módulo de corte

Isotropía 2 constantes elásticas

1 módulo de deformación

1 razón de Poisson

03 tensor de esfuerzo y deformaci n 2013 1

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