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7/21/2019 Wikipedia Axiomas Peano

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Axiomas de Peano

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Los axiomas de Peano o postulados de Peanoson un conjunto de axiomas aritmticosideados por el matemtico

Giuseppe Peanoen el siglo XIX, para definirlos nmeros naturales. Estos axiomas se han utilizado prcticamente sin

cambios en diversas investigaciones matemticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistenciay completitudde la

aritmtica y la teora de nmeros.

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

1. El 1 es un nmero natural.1 est en N, el conjunto de los nmeros naturales.

2. Todo nmero natural ntiene un sucesor n*(este axioma es usado para definir posteriormente la suma).

3. El 1 no es el sucesor de algn nmero natural.

4. Si hay dos nmeros naturales ny mcon el mismo sucesor, entonces ny mson el mismo nmero natural.

5. Si el 1 pertenece a un conjunto K de nmeros naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* tambin

pertenece al conjunto K, entonces todos los nmeros naturales pertenecen a ese conjunto K. Este ltimo axioma es elprincipio de induccin matemtica.

Hay un debate sobre si considerar al 0 como nmero natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de

si se necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:

1. El 0 es un nmero natural.

2. Si nes un nmero natural, entonces el sucesor de ntambin es un nmero natural.

3. El 0 no es el sucesor de algn nmero natural.

4. Si hay dos nmeros naturales ny mcon el mismo sucesor, entonces ny mson el mismo nmero natural.

5. Si el 0 pertenece a unconjunto, y dado un nmero natural cualquiera, el sucesor de ese nmero tambin pertenece a

ese conjunto, entonces todos los nmeros naturales pertenecen a ese conjunto.

ndice [ ocultar]1 Presentacin formal

1.1 Cuando se excluye al 01.2 Cuando se incluye al 0

2 Modelos inintencionales

3 Bibliografa4 Vase tambin5 Enlaces externos

Presentacin formal [editar]

Como se dijo antes existe un debate sobre si incluir al 0 entre los nmeros naturales o no. A continuacin se presentan los

axiomas de Peano de manera formal, contemplando ambas posibilidades:

Cuando se excluye al 0 [editar]

Los smbolos que designan los conceptos primitivosson .

El smbolo Ndesigna un predicado mondico que se lee ser un nmero natural. El smbolo 1, por su parte, designa una

constante que pretende representar al nmero uno. Y el smbolox', finalmente, designa una funcinsobre xque devuelve al

sucesorde x. A esta funcin muchas veces se la escribe S(x). Finalmente, la metavariable representa una frmula

cualquiera de la aritmtica, y representa una frmula cualquiera que tenga axcomo variable libre.

Los cinco axiomas de Peano son:

Del quinto axioma existen dos variantes. El primero est formulado en lgica de primer orden, y es en realidad un esquema

de axioma. El segundo s es un axioma, pero est formulado en lgica de segundo orden.

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Adems de los cinco axiomas, la aritmtica de Peano recurre a dos definiciones (de la suma y de la multiplicacin), que a

veces se presentan como axiomas. A continuacin se incluyen todas las variantes:

Definiciones de suma y multiplicacin:

Axiomas de la suma y de la multiplicacin:

Cuando se incluye al 0 [editar]Los smbolos que designan los conceptos primitivos son .

Axiomas:

Cambiar los axiomas para que incluyan al 0 es slo una cuestin de cambiar toda aparicin del 1 por el 0. Sin embargo, en

las definiciones (o los axiomas) de suma y de multiplicacin hay que hacer algunos leves ajustes ms:

Definiciones de suma y multiplicacin:

Axiomas de la suma y de la multiplicacin:

Modelos inintencionales [editar]

Un modeloes una interpretacinde los smbolos primitivos que hace verdaderos a todos los axiomas. Por ejemplo,

interpretando al smbolo 0 como el nmero cero, y al predicado Ncomo los nmeros naturales, el primer axioma resulta

verdadero, porque es verdad que el cero es un nmero natural. Lo mismo ocurre con todos los otros axiomas: bajo las

interpretaciones naturales de 0, Ny x', cada uno de los axiomas resulta verdadero. Luego, las interpretaciones naturales de

los smbolos primitivos son un modelo de la aritmtica de Peano.

Originalmente, Peano propuso los axiomas para caracterizar a los nmeros naturales, y los smbolos primitivos se deban

interpretar de esta manera natural. Sin embargo, los smbolos que designan a los conceptos primitivos admiten otras

interpretaciones, algunas de las cuales sern adems modelos. Por ejemplo, se podra interpretar al smbolo 0 como el

nmero dos, a Ncomo el predicado ser un nmero par, y ax'como el sucesor del sucesor, en vez del sucesor inmediato.

http://www.web2pdfconvert.com/?ref=PDFhttp://www.web2pdfconvert.com/?ref=PDFhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/wiki/N%C3%BAmeros_pares_e_impareshttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/wiki/Doshttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/wiki/Cerohttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/wiki/Interpretaci%C3%B3n_(l%C3%B3gica)http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/wiki/Teor%C3%ADa_de_modeloshttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/w/index.php?title=Axiomas_de_Peano&action=edit&section=4http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/w/index.php?title=Axiomas_de_Peano&action=edit&section=3


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En tal caso, los axiomas se tendran que entender as:

1. El dos es un nmero par

2. Si nes un nmero par, entonces el sucesor del sucesor de ntambin es un nmero par

3. El dos no es el sucesor del sucesor de ningn nmero par.

4. Si hay dos nmeros pares ny mcon el mismo sucesor de sucesor, entonces ny mson el mismo nmero par.

5. Si el dos pertenece a un conjunto, y dado un nmero par cualquiera, el sucesor del sucesor de ese nmero tambin

pertenece a ese conjunto, entonces todos los nmeros pares pertenecen a ese conjunto.

Bajo esta interpretacin, todos los axiomas resultan verdaderos, y los axiomas ya no definen a los nmeros naturales, sino a

los nmeros pares. Tambin es posible encontrar modelos (es decir, interpretaciones que hagan verdaderos a todos los

axiomas) por fuera de la matemtica. Por ejemplo, se podra interpretar a 0 como el primer da de la creacin, a Ncomo el

predicado ser un da, y ax'como el da despus de x. Bajo esta interpretacin, los axiomas tambin resultan verdaderos.

A aquellos modelos que no fueron originalmente planeados se los llama modelos inintencionales( non-intended models), y

existen infinitos modelos inintencionales de la aritmtica de Peano. Estrictamente hablando, la aritmtica de Peano no define

el conjuntode los nmeros naturales, sino a la nocin ms amplia de sucesin matemticao progresin aritmticade los

naturales.

Bibliografa [editar]

Peano, Giuseppe(marzo de 1979). Julin Velarde Lombraa, ed. Los principios de la ar itmtica: expuestos segn un

nuevo mtodo. Traducido por Julin Velarde Lombraa (1 edicin). Pentalfa Ediciones. ISBN 978-84-85422-02-9.

ase tambin [editar]

Concepto pr imitivo

Conjunto bien ordenado

Enlaces externos [editar]

MaTeTaM: Postulados de Peano

El Arte de las Matemticas: Postulados de Peano

Categoras: Aritmtica Lgica Axiomas matemticos Epnimos relacionados con las matemticas

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