ndice general

1 Nikoli Vasliev 11.1 Primeros aos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Aportes a la Lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 ltimos aos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Geometra no euclidiana 32.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Geometras de curvatura constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Geometra hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Geometra elptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.3 Geometra eucldea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.4 Aspectos matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Geometras de curvatura no constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.1 Geometra riemanniana general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.2 Geometra del espacio-tiempo y teora de la relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5.1 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Ernst Schrder 73.1 Aportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Inuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.6 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Lgica paraconsistente 104.1 Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Las lgicas paraconsistentes son ms dbiles que las lgicas clsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 Personalidades destacadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.4 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

i

ii NDICE GENERAL

4.5 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.6 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.7 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Lgica plurivalente 125.1 Origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2 Variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.1 La lgica dialctica de Hegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2.2 Lgica polivalente de Gdel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2.3 Lgica producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2.4 Lgica polivalente y doble negacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.4 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.5 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.6 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.7 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Yuri Matiyasvich 146.1 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Aleksandr Zinviev 157.1 Bibliografa en espaol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.3 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8 Vladmir Arnold 178.1 Obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.4 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.5 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

9 Mijal Grmov 199.1 Premios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.3 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

10 Maksim Kontsvich 20

11 Olga Ladzhenskaya 2111.1 Biografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2111.2 Obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

NDICE GENERAL iii

12 Yuri Manin 2212.1 Obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212.2 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2312.3 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2312.4 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

13 Grigori Margulis 2413.1 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

14 Gleb Nosovski 25

15 Andri Okunkov 2615.1 Obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2615.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2615.3 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

16 Grigori Perelmn 2716.1 Biografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.2 Conjeturas de geometrizacin y de Poincar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

16.2.1 El problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.2.2 La demostracin de Perelmn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2816.2.3 Vericacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

16.3 La Medalla Fields y el Premio del Milenio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2916.4 Retiro de las matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.5 Personaje literario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.6 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.7 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.8 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116.9 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116.10Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

17 Stanislav Smirnov 3317.1 Carrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3317.2 Investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3317.3 Premios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3317.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3317.5 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

18 Vladmir Voyevodski 3518.1 Biografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3518.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

19 Victor Zalgaller 3619.1 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

iv NDICE GENERAL

19.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

20 Yem Zelmnov 37

21 Jan ukasiewicz 3821.1 Biografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3821.2 Axiomatizacin de la lgica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3921.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3921.4 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3921.5 Bibliografa adicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

22 Valor de verdad 40

23 Principio del tercero excluido 4123.1 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4123.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

23.2.1 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

24 Notacin polaca 4224.1 Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4224.2 Programacin de computadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4324.3 Orden de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4324.4 Notacin polaca en lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4324.5 Autmata de pila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4324.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4424.7 Lecturas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4424.8 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

25 Escuela de Lepolis-Varsovia 4525.1 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

26 Alfred Tarski 4626.1 Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4626.2 Lgica y teora de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

26.2.1 Consecuencia lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4726.3 Teora semntica de la verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

26.3.1 Requisitos de una denicin de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4826.3.2 Esbozo de la denicin de verdad de Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4926.3.3 Inuencia en losofa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

26.4 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5026.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5026.6 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5026.7 Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

26.7.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

NDICE GENERAL v

26.7.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5226.7.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Captulo 1

Nikoli Vasliev

Nikoli Aleksndrovich Vasliev en ruso: tambin transcrito Va-sil'ev, Vassilie o Wassilie (Kazn, 11 de julio de 1880 31 de diciembre de 1940) fue un lgico, lsofo,siclogo y poeta ruso simbolista, precursor de la lgicaparaconsistente y la lgica polivalente.

1.1 Primeros aosSu padre fue era un profesor de matemticas muy co-nocido, Aleksandr Vasliev; su abuelo fue el destacadosinlogo Vasili Vasliev; y su bisabuelo fue el prominenteastrnomo Ivn Simnov, quien trabaj ercanamente conNikoli Lobachevski.Deseando ser siclogo, Vasliev ingres en 1906 en lasfacultades de Medicina y de lologa histrica de laUniversidad de Kazn, donde le ofrecieron un cargo co-mo docente privado.Siendo estudiante, Vasliev se entusiasm con la poesa yel simbolismo; escribi y public algunos libros de versos,como por ejemplo, El anhelo por la eternidad. Tradujo lospoemas de mile Verhaeren y Algernon Swinburne.

1.2 Aportes a la LgicaAunque Vasliev rese la Lgica de Relativos de CharlesPeirce en 1897, fue solo en 1908 que se dedic por com-pleto a la lgica.El 18 de mayo de 1910 Vasliev dict una conferencia(publicada en octubre del mismo ao) Sobre los JuiciosParciales, sobre el Tringulo de opuestos y sobre la Leydel Cuarto Excluido, en la cual por primera vez expuso laidea de una lgica no-aristotlica, libre del principio deltercero excluido y del principio de no contradiccin. Ra-zonando por analoga con el de la geometra de geometraimaginaria de Lobachevski, Vasliev llam a su nueva l-gica imaginaria, para armar que era vlida en aquellosmundos donde las leyes antedichas no se sostenan, por-que los seres tenan otros tipos de sensaciones. Distinguiniveles de razonamiento lgico e introdujo la nocin demetalgica.

Vasliev viaj entre 1912 y 1913 por Europa, principal-mente por Alemania y public sus obras sobresalientesLgica yMetalgica y Lgica imaginaria (no-aristotlica).Vasliev construy la lgica no-aristotlica usando losconceptos y los mtodos de razonamiento de la lgica deAristteles, de los logros de la lgica matemtica y siem-pre estudi concienzudamente las obras de Ernst Schr-der, pero no intent formalizar la lgica imaginaria.Su nico trabajo escrito en un idioma extranjero -eningls- un resumen conciso de su lgica imaginaria, fuepublicado en Npoles en 1924.

1.3 ltimos aosEn 1914, al estallar la I Guerra Mundial, Vasliev fue re-clutado por el ejrcito del Zar, por lo que fue afectadoseriamente por una enfermedad mental. Sin embargo, lo-gr volver a ensear en la Universidad de Kazn, pero en1922 fue jubilado forzadamente, cuando apenas tena 42aos, lo cual hizo agravar su trastorno bipolar, de maneraque pas los siguientes 20 aos, hasta su muerte, en unhospital psiquitrico. No se sabe en qu lugar fue ente-rrado.Las ideas pioneras de Vasliev fueron redescubiertas en1960 y conformaron la base de la lgica paraconsisten-te. Varios expertos consideran que su obra fue tambinun aporte a la lgica polivalente. El estilo informal y lariqueza conceptual de la obra de Vasliev la hacen espe-cialmente valiosa.

1.4 Referencias Vasiliev, N.A. Imaginary Logic. Mosc, Naka,1989 (en ruso). ISBN 5-02-007946-4

Arruda, A.I. The Survey of Paraconsistent Logic.En:Mathematical logic in Latin America/ Eds. Arru-da A.I., Chuaqui R., Da Costa N.C.A., msterdam:Nueva York: Oxford. North-Holland, 1980, pp.1-41. (en ingls)

. . . Kazn, 1904.

1

2 CAPTULO 1. NIKOLI VASLIEV

Bazhanov, V.A. N.A. Vasiliev (1880 1940). Mos-c, Naka, 1988 (en ruso). ISBN 5-02-005953-6

Bazhanov, V.A. The Fate of One Forgotten Idea:N.A.Vasiliev and His Imaginary Logic. En: Studiesin Soviet Thought, 1990, vol.39, N3-4, pp.333-334(en ingls)

Bazhanov, V.A. Charles Peirces Inuence on Lo-gical Ideas of N.A. Vasiliev. En: Modern Logic,1992, vol. 3. N 1, pp. 48-56 (en ingls)

Bazhanov, V.A. The Origins and Emergence ofNon-Classical Logic in Russia (Nineteenth Centuryuntil the Turn of the Twentieth Century)". En: Zwis-chen traditioneller und moderner Logik. Nichtklassi-che Ansatze. Mentis-Verlag, Paderborn, 2001, S.205 217.ISBN 3-89785-203-9

Captulo 2

Geometra no euclidiana

Hyperbolic Euclidean Elliptic

Los tres tipos de geometras homogneas posibles, adems de lageometra euclidea de curvatura nula, existen la geometra elpti-ca de curvatura positiva, y la geometra hiperblica de curvaturanegativa. Si se consideran geometras no-eucldeas homogneasentonces existe una innidad de posibles geometras, descritaspor las variedades riemannianas generales.

Se denomina geometra no euclidiana o no eucldea,a cualquier forma de geometra cuyos postulados y pro-piedades dieren en algn punto de los establecidos porEuclides en su tratado Elementos. No existe un solo ti-po de geometra no eucldea, sino muchos, aunque si serestringe la discusin a espacios homogneos, en los quela curvatura del espacio es la misma en cada punto, enlos que los puntos del espacio son indistinguibles puedendistinguirse tres tipos de geometras:

La geometra euclidiana satisface los cinco postu-lados de Euclides y tiene curvatura cero.

La geometra hiperblica satisface slo los cuatroprimeros postulados de Euclides y tiene curvaturanegativa.

La geometra elptica satisface slo los cuatro pri-meros postulados de Euclides y tiene curvatura po-sitiva.

Todos estos son casos particulares de geometras rieman-nianas, en los que la curvatura es constante, si se admitela posibilidad de que la curvatura intrnseca de la geome-tra vare de un punto a otro se tiene un caso de geometrariemanniana general, como sucede en la teora de la rela-tividad general donde la gravedad causa una curvatura nohomognea en el espacio-tiempo, siendo mayor la cur-vatura cerca de las concentraciones de masa, lo cual espercibido como un campo gravitatorio atractivo.

2.1 HistoriaEl primer ejemplo de geometra no euclidiana fuela hiperblica, teorizada inicialmente por ImmanuelKant[cita requerida], formalizada posterior e independiente-mente por varios autores a principios del siglo XIX talescomo Carl Friedrich Gauss, Nikoli Lobachevski, JnosBolyai y Ferdinand Schweickard.Los desarrollos de geometras no eucldeas se gestaronen sus comienzos con el objetivo de construir modelosexplcitos en los que no se cumpliera el quinto postuladode Euclides.La geometra Euclideana haba sido desarrollada por losgriegos y expuesta por Euclides en la obra Los elemen-tos. En su primera obra publicada, "Pensamientos sobre laverdadera estimacin de las fuerzas vivas" (Gedanken vonder wahren Schtzung der lebendigen Krfte und Beurtei-lung der Beweise derer sich Herr von Leibniz und andererMechaniker in dieser Streitsache bedient haben) (1746),Immanuel Kant considera espacios de ms de tres dimen-siones y arma:

Una ciencia de todas estas posibles clasesde espacio sera sin duda la empresa ms ele-vada que un entendimiento nito podra aco-meter en el campo de la Geometra... Si es po-sible que existan extensiones con otras dimen-siones, tambin es muy probable que Dios lashaya trado a la existencia, porque sus obras tie-nen toda la magnitud y variedad de que son ca-paces.

Esas posibles geometras queKant entrev son las que hoyse llaman geometras euclidianas de dimensinmayor que3.Por otra parte, ya desde la antigedad se consider queel quinto postulado del libro de Euclides no era tan evi-dente como los otros cuatro pues, al armar que ciertasrectas (las paralelas) no se cortarn al prolongarlas inde-nidamente, habla de una construccin mental un tantoabstracta. Por eso durante muchos siglos se intent sinxito demostrarlo a partir de los otros cuatro. A princi-pios del siglo XIX, se intent demostrarlo por reduccin

3

4 CAPTULO 2. GEOMETRA NO EUCLIDIANA

al absurdo, suponiendo que es falso y tratando de obte-ner una contradiccin. Sin embargo, lejos de llegar a unabsurdo se encontr que existan geometras coherentesdiferentes de la eucldea. Se haba descubierto as la pri-mera geometra no eucldea (en concreto el primer ejem-plo que se logr era una geometra llamada hiperblica).

2.2 Geometras de curvatura cons-tante

2.2.1 Geometra hiperblica

Modelo del disco Poincar para la geometra hiperblica conuna teselacin {3,7} de rombos truncados.

A principios del siglo XIX, y de modo independien-te, Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1792-1856), JnosBolyai y Ferdinand Schweickard lograron construir lageometra hiperblica, a partir del intento de negar elquinto postulado de Euclides y tratar de obtener una con-tradiccin. En lugar de obtener una contradiccin lo queobtuvieron fue una curiosa geometra en la que los tresngulos de un tringulo sumaban menos de 180 sexage-simales (en la geometra eucldea los ngulos de cualquiertringulo suman siempre exactamente 180).La naturalidad de esta geometra qued conrmada a -nales del siglo, cuando Beltrami demostr que la geome-tra hiperblica coincide con la geometra intrnseca decierta supercie y Klein dio la interpretacin proyectivade la geometra hiperblica. Ambos resultados pruebanque es tan consistente como la Geometra eucldea (esdecir, si la geometra hiperblica lleva a alguna contra-diccin, entonces la geometra eucldea tambin).Algunos arman que Gauss fue el primero en considerarla posibilidad de que la geometra del Universo no fuerala eucldea. Sabiendo que en la geometra hiperblicala suma de los ngulos de cualquier tringulo es me-

nor que dos rectos, se dice que subi a la cima de tresmontaas con un teodolito, aunque la precisin de sus ins-trumentos no fue suciente para decidir la cuestin contal experimento. Sin embargo, otros arman que cuandoescribi que trataba de corregir los efectos de posiblescurvaturas se refera a corregir el efecto de la curvaturaterrestre en los estudios cartogrcos que estaba realizan-do.

2.2.2 Geometra elptica

La esfera es un modelo de geometra elptica bidimensional,los meridianos resultan ser lneas geodsicas mientras que losparalelos son lneas de curvatura no mnima.

La geometra elptica es el segundo tipo de geometra no-eucldea homognea, es decir, donde cualquier punto delespacio resulta indistinguible de cualquier otro. Una va-riedad de Riemann de curvatura positiva constante es unejemplo de geometra elptica. Un modelo clsico de geo-metra elptica n-dimensional es la n-esfera.En la geometra elptica las lneas geodsicas tienen unpapel similar a las lneas rectas de la geometra eucl-dea, con algunas importanes diferencias. Si bien la m-nima distancia posible entre dos puntos viene dada poruna lnea geodsica, que adems son lneas de curvaturamnima, el quinto postulado de Eucldes no es vlido pa-ra la geometra elptica, ya que dada una recta de estageometra (es decir, una lnea geodsica) y un punto nocontenido en la misma no se puede trazar ninguna geo-dsica que no corte a la primera.

2.2.3 Geometra eucldea

La geometra eucldea es claramente un caso lmite inter-medio entre la geometra elptica y la geometra hiperb-lica. De hecho la geometra eucldea es una geometra de

2.4. VASE TAMBIN 5

curvatura nula. Puede demostrarse que cualquier espaciogeomtrico o variedad de Riemann cuya curvatura es nulaes localmente isomtrico al espacio eucldeo y por tantoes un espacio eucldeo o idntico a una porcin del mis-mo.

2.2.4 Aspectos matemticosLos espacios de curvatura constante el tensor de curvaturade Riemann viene dado en componentes por la siguienteexpresin:

Rijkl = C(gilgjk gikgjl)

donde gij es el tensor mtrico expresado en coordenadascurvilneas cualesquiera. En tensor de Ricci Rij y lacurvatura escalar S son proporcionales respectivamenteal tensor mtrico y a la curvatura:

Rij = (n 1)Cgij ; S = n(n 1)C

y donde n es la dimensin del espacio.Otro aspecto interesante es que tanto en la geometra hi-perblica, como en la geometra elptica homogneas elgrupo de isometra del espacio completo es un grupo deLie de dimensin n(n+1)/2 , que coincide con la dimen-sin del grupo de isometra de un espacio Euclideo dedimensin n (aunque los tres grupos son diferentes).

2.3 Geometras de curvatura noconstante

2.3.1 Geometra riemanniana generalA propuesta de Gauss, la disertacin de Riemann verssobre la hiptesis de la Geometra. En su tesis, Riemannconsidera las posibles geometras que innitesimalmente(i.e. en regiones muy pequeas) sean eucldeas, cuyo estu-dio se conoce hoy en da como geometras riemannianas.Estas geometras resultan en general no-homogneas: al-gunas de las propiedades del espacio pueden diferir de unpunto a otro, en particular el valor de la curvatura.Para el estudio de estas geometras Riemann introdujoel formalismo del tensor de curvatura y demostr que lageometra eucldea, la geometra hiperblica y la geome-tra elptica son casos particulares de geometras rieman-ninanas, caracterizadas por valores constantes del tensorde curvatura. En una geometra riemanninana general, eltensor de curvatura tendr valores variables a lo largo dediferentes puntos de dicha geometra.Eso hace que la geometra no sea homognea, y permi-te distinguir unos puntos de otros. Esto es relevante enla teora de la relatividad general, ya que en principio es

posible hacer experimentos de medicin de distancias yngulos que permitan distinguir unos puntos del espaciode otros, tal como especican numerosos experimentosmentales imaginados por Einstein y otros en los que unexperimentador encerrado en una caja puede realizar ex-perimentos para decidir la naturaleza del espacio-tiempoque le rodea.Finalmente un aspecto interesante de la geometra rie-manniana es que si la curvatura no es constante enton-ces el grupo de isometra del espacio tiene dimensin es-trictamente menor que n(n+1)/2 siendo n la dimensindel espacio. En concreto segn la relatividad general unespacio-tiempo con una distribucin muy irregular de lamateria podra tener un grupo de isometra trivial de di-mensin 0.

2.3.2 Geometra del espacio-tiempo y teo-ra de la relatividad

Basndose en la ideas y resultados de Riemann, hacia1920 Einstein aborda en su Teora de la Relatividad gene-ral la cuestin de la estructura geomtrica del Universo.En ella muestra cmo la geometra del espacio-tiempotiene curvatura, que es precisamente lo que se observacomo campo gravitatorio, y cmo, bajo la accin de lagravedad, los cuerpos siguen las lneas ms rectas posi-bles dentro de dicha geometra, lneas que se denominangeodsicas.Adems, la Ecuacin de Einstein arma que para cadaobservador, la curvatura media del espacio coincide, sal-vo un factor constante, con la densidad observada, dan-do cumplimiento as a la fantstica visin de Gauss: lageometra desentraada por los griegos es la estructurainnitesimal del espacio; al generalizar dicha estructurageomtrica, tiene curvatura.

2.4 Vase tambin

Geometra euclidiana

Geometra hiperblica

Geometra de Riemann

Geometra elptica

2.5 Referencias

2.5.1 Bibliografa

N. A'Campoy A. Papadopoulos (2012) Notes on hy-perbolic geometry, in: Strasbourg Master class on

6 CAPTULO 2. GEOMETRA NO EUCLIDIANA

Geometry, pp. 1-182, IRMA Lectures in Mathema-tics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zrich: Euro-pean Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBNISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.

Anderson, James W. Hyperbolic Geometry, secondedition, Springer, 2005

Blumenthal, Leonard M. (1980), A Modern View ofGeometry, New York: Dover, ISBN 0-486-63962-2

H. S. M. Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry,University of Toronto Press, reissued 1998 byMathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4 .

JeremyGray (1989) Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic, 2nd edition, ClarendonPress.

Manning, Henry Parker (1963), Introductory Non-Euclidean Geometry, New York: Dover

Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: Therst 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volu-me 6, Number 1, pp. 924.

John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geo-metry, American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0 .

Captulo 3

Ernst Schrder

Ernst Schrder.

Ernst Schrder ( Mannheim, 25 de noviembre de 1841 Karlsruhe, 16 de junio de 1902) fue un matemticoalemn, conocido especialmente por sus trabajos sobrelgica algebraica.

3.1 AportesFue una gura principal e la historia de la lgica matem-tica (trmino que l generaliz), debido a que sintetiz ydifundi las obras de George Boole, Augustus De Mor-gan, Hugh MacColl y especialmente la de Charles Peir-ce. Se hizo famoso con su monumental Vorlesungen berdie Algebra der Logik (Lecciones sobre el lgebra de laLgica), en 3 volmenes, que prepar el camino para elsurgimiento de la lgica matemtica como una disciplinaseparada, durante el siglo XX y para la construccin de

los diversos sistemas actuales de lgica formal.

3.2 VidaSchrder estudiMatemticas en Heidelberg, Knigsbergy Zrich, bajo la tutoria de Otto Hesse, Gustav Kirch-ho, y Franz Neumann. Despus fue profesor por algu-nos aos, ense en la Universidad Tcnica de Darmstadten 1874; dos aos despus fue profesor en la Escuela Po-litcnica de Karlsruhe, cargo en el que permaneci hastael nal de su vida. No se cas.

3.3 ObraLos primeros trabajos de Schrder sobre lgica y lgebrafueron escritos cuando an no conoca las obras de loslgicos britnicos George Boole y Augustus De Morgan,sus fuentes eran en cambio los textos de Ohm, Hankel,Robert y Hermann Grassmann, todos de la tradicin ale-mana del lgebra combinatoria y el anlisis algebraico(Peckhaus 1997: 233-296). En 1873, Schrder estudilas obras de Boole y De Morgan y posteriormente aportimportantes conceptos debido al estudio de Charles Peir-ce, incluyendo la subsumpcin y la cuanticacin.Schrder hizo destacadas contribuciones originales sobrelgebra, teora de conjuntos, retculos, teora del ordeny nmeros ordinales. Junto con Georg Cantor, fue co-descubridor en 1898 del Teorema de Cantor-Bernstein-Schrder, cuya demostracin fue corregida por FelixBernstein (1878-1956).Schrder hizo en 1877 una concisa exposicin de las ideasde Boole sobre lgebra y lgica, la cual sirvi para in-troducir la obra de Boole para los lectores continentales.La inuencia de los Grassmann, especialmente de Ro-bert y su poco conocida morfologa, es clara. A diferen-cia de Boole, Schrder apreci la dualidad. John Venny Christine Ladd-Franklin ambos citaron con gusto estelibro corto de Schrder, en tanto que Charles Peirce loutiliz como texto de enseanza en la Universidad JohnsHopkins.La obra maestra de Schrder, sus Lecciones sobre el lge-

7

8 CAPTULO 3. ERNST SCHRDER

Primera edicin del libro "ber die formalen Elemente der ab-soluten Algebra.

bra de la Lgica, fue publicada en tres volmenres, entre1890 y 1905, a expensas del autor. El segundo volumentiene dos partes, la segunda de las cuales fue editada ps-tumamente y editada por Eugen Mller. Las Leccionesson un tratado comprehensivo y erudito de la lgica al-gebraica (actualmente se dira lgica simblica) desarro-llada a nales del siglo XIX, que tuvo inuencia decisivapara el surgimiento del la lgica matemtica durante elsiglo siguiente. Las Lecciones son una produccin pr-lija, muy extensa y solamente una parte ha sido traducida.Schrder dijo que su objetivo era:

...disear la lgica como una disciplina declculo, especialmente to give acceso a la di-reccin exacta de los conceptos relativos y apartir de all, emanciparse de las demandas ru-tinarias del lenguaje natural, para apartar cual-quier suelo frtil del clich", tambin en elcampo de la losofa. Esto deber preparar elterreno para lenguaje universal cientco quesea ms un lenguaje de signos que un lenguajede sonidos.

3.4 InuenciaLa inuencia de Schrder se sinti primeramente enclculo de predicados, debido principalmente a la muypopular obra de Peirce sobre la cuanticacin y es al me-nos tan gande como la de Frege o Peano. La inuencia deSchrder en los lgicos de habla inglesa del siglo XX, estexpuesta en la obra de Clarence Irving Lewis (1918). Losconceptos relacionales que impregnan el Principia mathe-matica se deben en gran parte a las Lecciones, citadasexpresamente en el prefacio y en el libro de Bertrand Rus-sell.Frege (1960) admirador del papel de Frege para el sur-gimiento de la lgica matemtica, subestima el aportede Schrder como pionero. En contraste Hilary Putnam(1982) destaca el papel de Schrder y Charles Peirce, sinlos cuales nunca se habra sabido de la obra de Frege ycuyos aportes permitieron establecer la lgica matemti-ca.

3.5 Referencias Fuentes primarias

Schrder, E., 1877. Der Operationskreis desLogikkalkls. Leipzig: B.G. Teubner.

Schrder, E., 1890-1905.Vorlesungen ber dieAlgebra der Logik, 3 vols. Leipzig: B.G. Teub-ner. Reprints: 1966, Chelsea; 2000, Thoem-mes Press.

Schrder, E., 1898. "ber zwei Denitionender Endlichkeit und G. Cantorsche Stze ",Abh. Kaiserl. Leop.-Car. Akad. Naturf 71:301-362.

Otras fuentes Brady, Geraldine, 2000. From Pierce to Sko-lem. North Holland. Includes an English trans-lation of parts of the Vorlesungen.

Anellis, I. H., 1990-91, Schrder Materials atthe Russell Archives, Modern Logic 1: 237-247.

Dipert, R. R., 1990/91. The life and work ofErnst Schrder, Modern Logic 1: 117-139.

Frege, G., 1960, A critical elucidation of so-me points in E. Schrders Vorlesungen berdie Algebra der Logik", translated by Geach,in Geach&Black, Translations from the philo-sophical writings of Gottlob Frege. Blackwell:86-106. Original: 1895, Archiv fur systematis-che Philosophie 1: 433-456.

Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Searchfor Mathematical Roots 1870-1940. PrincetonUniversity Press.

3.6. ENLACES EXTERNOS 9

Clarence Irving Lewis, 1960 (1918). A Surveyof Symbolic Logic. Dover.

Peckhaus, V., 1997. Logik, Mathesis universa-lis und allgemeine Wissenschaft. Leibniz unddie Wiederentdeckung der formalen Logik im19. Jahrhundert. Akademie-Verlag.

Peckhaus, V., 1999, 19th Century Logic bet-ween Philosophy and Mathematics, Bulletinof Symbolic Logic 5: 433-450. Reprinted inGlen van Brummelen and Michael Kinyon,eds., 2005. Mathematics and the HistoriansCraft. The Kenneth O. May Lectures. Springer:203-220. Online here or here.

Peckhaus, V., 2004. Schrders Logic inGabbay, Dov M., and John Woods, eds.,Handbook of the History of Logic. Vol. 3: TheRise of Modern Logic: From Leibniz to Frege.North Holland: 557-609.

Hilary Putnam, 1982, "Peirce the Logician,Historia Mathematica 9: 290-301. Reprintedin his 1990 Realism with a Human Face. Har-vard University Press: 252-260. Online frag-ment.

Thiel, C., 1981. A portrait, or, how to tell Fre-ge from Schrder, History and Philosophy ofLogic 2: 21-23.

Wiener, N., 1912. A comparision between thetreatment of the Algebra of relatives by Schr-der and that by Whitehead and Russell. Ph.D.diss. Harvard University.

3.6 Enlaces externos http://intranet.woodvillehs.sa.edu.au/pages/resources/maths/History/Schrdr.htm

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.,Biografa de Ernst Schrder (en ingls),MacTutor History of Mathematics archive,Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Schroder.html.

Captulo 4

Lgica paraconsistente

Una lgica paraconsistente es un sistema lgico que in-tenta tratar las contradicciones en forma atenuada. Alter-nativamente, la lgica paraconsistente es un campo dela lgica que se ocupa del estudio y desarrollo de sistemaslgicos paraconsistentes (o tolerantes a la inconsisten-cia). (En este artculo el trmino es utilizado en ambasacepciones.)Las lgicas tolerantes a la inconsistencia existen por lomenos desde 1910 (y es posible argumentar que much-simo antes, por ejemplo en los escritos de Aristteles);sin embargo, la palabra paraconsistente (ms all de laconsistencia) recin fue acuada en 1976, por el lsofoperuano Francisco Mir Quesada.[1]

4.1 DenicinEn lgica clsica (como tambin en lgica intuitiva y mu-chos otros tipos de lgicas), las contradicciones lo impli-can todo. Esta curiosa caracterstica, conocida como elprincipio de explosin o ex contradictione sequitur quodli-bet (a partir de una contradiccin, se puede deducir cual-quier cosa), se puede expresar formalmente como

A;:A ` B

donde ` representa una consecuencia lgica. Por lo tan-to si una teora contiene una nica inconsistencia, resultatrivial esto es que toda expresin se entiende como unteorema. La caracterstica distintiva de una lgica para-consistente es que rechaza el principio de explosin. Porlo tanto a diferencia de la lgica clsica y otros tipos de l-gicas, las lgicas paraconsistentes pueden ser usadas paraformalizar teoras inconsistentes no triviales.

4.2 Las lgicas paraconsistentesson ms dbiles que las lgicasclsicas

Debe destacarse que las lgicas paraconsistentes en ge-neral son ms dbiles que las lgicas clsicas; o sea es

posible realizar a partir de ellas una menor cantidad deinferencias. (Hablando estrictamente, una lgica para-consistente puede validar inferencias que no son vlidassegn formatos clsicos, aunque esto solo ocurre espo-rdicamente. El punto importante es que una lgica pa-raconsistente nunca puede ser la extensin de una lgicaclsica, es decir, validar todo aquello que es posible vali-dar mediante una lgica clsica.) En ese sentido, la lgicaparaconsistente es ms conservativa o cautelosa queuna lgica clsica.

4.3 Personalidades destacadasPersonalidaes destacadas en la historia y /o el desarrollode la lgica paraconsistente son:

Alan Ross Anderson (EE. UU., 19251973). Unode los fundadores de la lgica de relevancia, un tipode lgica paraconsistente.

F. G. Asenjo (Argentina) Diderik Batens (Blgica) Nuel Belnap (EE. UU., b. 1930). Trabaj con An-derson en lgica de relevancia.

Jean-Yves Bziau (Francia/Suiza, b. 1965). Ha es-crito en forma extensa sobre las caractersticas es-tructurales generales y bases loscas de las lgi-cas paraconsistentes.

Guillermo Pramo Rocha (Colombia) Antroplogoque ha propuesto el anlisis de las mitologas comoformas de lgica paraconsistente.

Ross Brady (Australia) Bryson Brown (Canad) Walter Carnielli (Brasil) Newton da Costa (Brasil, b. 1929). Uno de los pri-meros en desarrollar sistemas formales de lgica pa-raconsistente.

Itala M. L. D'Ottaviano (Brasil)

10

4.7. ENLACES EXTERNOS 11

J. Michael Dunn (EE. UU.). Destacado en lgica derelevancia.

Stanisaw Jakowski (Polonia). Uno de los primerosen desarrollar sistemas formales de lgica paracon-sistente.

R. E. Jennings (Canad) David Kellogg Lewis (USA, 19412001). Crtico dela lgica paraconsistente.

Jan ukasiewicz (Polonia, 18781956) Robert K. Meyer (EE. UU./Australia) Chris Mortensen (Australia). Ha escrito numerosostrabajos sobre matemticas paraconsistente.

Val Plumwood [formerly Routley] (Australia, b.1939). Colaborador asiduo de Sylvan.

Graham Priest (Australia). Probablemente el msrme defensor actual de la lgica paraconsistente.

Francisco Mir Quesada (Per). Acu la expresinlgica paraconsistente.

Peter Schotch (Canad) B. H. Slater (Australia). Otro crtico de la lgica pa-raconsistente.

Richard Sylvan [formerly Routley] (Nueva Zelan-da/Australia, 19351996). Destacado en lgica derelevancia y colaborador frecuente con Plumwoody Priest.

Nicolai A. Vasiliev (Rusia, 18801940). Primeroen construir una lgica tolerante a la contradiccin(1910).

4.4 Vase tambin Lgica difusa Lgica relevante

4.5 Notas y referencias[1] Priest (2002), p. 288 and 3.3.

4.6 Bibliografa Aoyama, Hiroshi (2004). LK, LJ, Dual Intuitionis-tic Logic, and Quantum Logic. Notre Dame Jour-nal of Formal Logic 45 (4): pp. 193213.

Bertossi, Leopoldo et al., eds. (2004). InconsistencyTolerance. Berlin: Springer. ISBN 3-540-24260-0.

Bziau, Jean-Yves (2000). What is ParaconsistentLogic?. En In D. Batens et al. (eds.). Frontiersof Paraconsistent Logic. Baldock: Research StudiesPress. pp. 95111. ISBN 0-86380-253-2.

Bremer, Manuel (2005). An Introduction to Para-consistent Logics. Frankfurt: Peter Lang. ISBN 3-631-53413-2.

Brown, Bryson (2002). On Paraconsistency.. EnIn Dale Jacquette (ed.). A Companion to Philosop-hical Logic. Malden, Massachusetts: Blackwell Pu-blishers. pp. 628650. ISBN 0-631-21671-5.

Lewis, David (1998) [1982]. Logic for Equivo-cators. Papers in Philosophical Logic. Cambridge:Cambridge University Press. pp. 97110. ISBN 0-521-58788-3.

Priest, Graham (2002). Paraconsistent Logic.. EnIn D. Gabbay and F. Guenthner (eds.). Handbookof Philosophical Logic, Volume 6 (2nd ed. edicin).The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. pp.287393. ISBN 1-4020-0583-0.

Priest, Graham and Tanaka, Koji (2001).Paraconsistent Logic. Stanford Encyclopediaof Philosophy (Winter 2004 edition). Consultado elFebruary 24 de 2006.

Slater, B. H. (1995). Paraconsistent Logics?.Journal of Philosophical Logic 24: pp. 233254.

Woods, John (2003). Paradox and Paraconsistency:Conict Resolution in the Abstract Sciences. Cam-bridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-00934-0.

Hewitt, Carl (2007). Large-scale OrganizationalComputing requires Unstratied Paraconsistencyand Reection. COIN@AAMAS'07. Consultado elApril 23 de 2007.

4.7 Enlaces externos Stanford Encyclopedia of Philosophy InconsistentMathematics

Lgica Paraconsistente y lgicas difusas - Eikasia

Captulo 5

Lgica plurivalente

Una lgica plurivalente o lgica polivalente es unsistema lgico que rechaza el principio del tercero exclui-do de las lgicas bivalentes y admite ms valores de ver-dad que los tradicionales verdadero y falso.[1] Distintaslgicas plurivalentes pueden admitir distintas cantidadesde valores de verdad: desde tres, hasta innito.

5.1 OrigenLas lgicas polivalentes se difundieron especialmente apartir de los trabajos de los lsofos polacos Jan uka-siewicz y Emil Post y sus relaciones con la fsica cun-tica, pero fueron expuestas anteriormente, con diferen-tes enfoques, por Hegel, Hugh MacColl, Charles SandersPeirce y Nicolai A. Vasiliev. Stephen Kleene elabor lastablas de verdad para un sistema de lgica trivalente. Unejemplo para ilustrar la trivalenecia en fsica ha sido laparadoja del gato de Schrdinger.

5.2 VariantesPueden considerarse como polivalentes:

la lgica dialctica de Hegel la lgica trivalente para valores innitos de ukasie-wicz

la lgica modal, especialmente los modelos deKripke, que denen tres modelos de verdad: lo ver-dadero, lo falso y lo problemtico

la lgica difusa de Zadeh, que enfatiza en la incerti-dumbre y es una lgica de la posibilidad

la lgica polivalente de Gdel, a partir de su teoremade la incompletitud

la lgica intuicionista desarrollada por Brouwer, querestringe la validez de la lgica clsica a lo demos-trable

la logica producto, tetravalente

La lgica trivalente como la del universo de los modelosde Kripke que contienen tres mundos posibles. Otraslgicas se proponen como polivalentes o n-valentes, de nmundos o un nmero innito de mundos posibles.

5.2.1 La lgica dialctica de HegelEl acto mismo del conocimiento es la introduccin de lacontradiccin. El principio del tercero excluido, algo oes A o no es A, es la proposicin que quiere rechazar lacontradiccin y al hacerlo incurre precisamente en con-tradiccin: A debe ser +A -A, con lo cual ya queda in-troducido el tercer trmino, A que no es ni + ni - y por lomismo es +A y -A. Algo es ello mismo y es otro, porqueen realidad todo cambia continuamente y la misma cosase transforma en otra cosa. Es una lgica del movimiento,la transicin y la transformacin.

5.2.2 Lgica polivalente de GdelFormula lo siguiente::

x AND z = min(v(x); v(z))x OR z = max(v(x); v(z))NOT x = 1siv(x) = 0 y 0 de otro modo.

5.2.3 Lgica productoFormula lo siguiente::

x AND z = v(x)v(z)x OR z = v(x) + v(z) v(x)v(z)NOT x = 1 si v(x) = 0 y 0 de otro modo.

5.2.4 Lgica polivalente y doble negacinEs interesante observar como en las lgicas de Gdel yproducto, al igual que en la lgica intuicionista, se niegael principio de la doble negacin con el n de mantenerla validez del principio de no contradiccin.

12

5.6. ENLACES EXTERNOS 13

En particular, a causa de la particular denicin del ope-rador NOT se verica que:

A! ::A es un teorema::A! A no es un teorema.:A! :::A es un teorema.:::A! :A es un teorema.

5.3 Vase tambin Lgica difusa Lgica bivalente Principio de incertidumbre

5.4 Notas y referencias[1] Siegfried, Gottwald, Many-Valued Logics, en Edward

N. Zalta (en ingls), Stanford Encyclopedia of Philosophy(Spring 2009 Edition edicin), http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/logic-manyvalued/, consultadoel 11 de octubre de 2009

5.5 Bibliografa Gdel, K. (1932): Zum intuitionistischen Aussa-genkalkl, Anzeiger Akademie der WissenschaftenWien, Math.-naturwiss. Klasse 69, 65-66.

Gottwald, S. (2001) A Treatise on Many-ValuedLogics"; Studies in Logic and Computation, vol. 9,Research Studies Press Ltd., Baldock.

Hegel, G. (1812- 1816) La Ciencia de la Lgica";Filosofa de la Lgica y la naturaleza, traduccin deE. Ovejero y Maury. Buenos Aires: Editorial Clari-dad, 1969, p.p. 110-114.

Kleene, S.C. (1938) On notation for ordinal num-bers"; Journal Symbolic Logic 3: 150-155.

Kripke, S.A. (1975) Outline of a theory of truth";Journal of Philosophy 72: 690-716.

ukasiewicz, J. (1920) O logice trojwartosciowej";Ruch Filozocny 5: 170-171.

Post, E. L. (1920) Determination of all closed sys-tems of truth tables"; Bulletin American Mathemati-cal Society 26: 437.

Introduction to a general theory of elementarypropositions"; American Journal Mathematics43: 163-185.

Velarde Lombraa, Julin (1989) Historia de la l-gica. Universidad de Oviedo, p.p. 409-417. ISBN84-7468-186-3

5.6 Enlaces externos Lgica polivalente (Recop.) Justo Fernndez Lpez. Stanford Encyclopedia of Philosophy:Many-ValuedLogic, por Siegfried Gottwald. (en ingls)

Stanford Encyclopedia of Philosophy: Fuzzy logic(en ingls)

5.7 Vase tambin Sistema formal Lgica Lgica matemtica Lgica bivalente Lgica trivalente Lgica difusa

Captulo 6

Yuri Matiyasvich

Yuri Matiyasvich

Yuri Vladmirovich Matiyasvich, ( , Leningrado, 2 demarzo de 1947) es un matemtico ruso. En 1964 obtuvoel primer premio de la 6 Olimpiada Internacional deMatemtica que tuvo lugar en Mosc.Matiyasvich se gradu en el Departamento deMatemticas y Mecnica de la Universidad Estatalde Leningrado en 1969. Es muy conocido por susolucin negativa del dcimo problema de Hilbert, pre-sentada en su tesis doctoral, en LOMI, el Departamentode Leningrado del Instituto de Matemticas Steklov.En 1997 fue seleccionando para la Academia rusa de lasCiencias. Actualmente dirige el Laboratorio de LgicaMatemtica en LOMI, el cual se conoce como el De-partamento de Petersburgo del Instituto de Matemticas deSteklov de la Academia Rusa de las Ciencias, o el PDMIRAS.

6.1 Enlaces externos Home page at the PDMI Hilberts Tenth Problem: a History of MathematicalDiscovery

6.2 Referencias Yuri Matiyasvich Hilberts 10th Problem ForewordbyMartin Davis andHilary Putnam, TheMIT Press.ISBN-10: 0-262-13295-8

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Captulo 7

Aleksandr Zinviev

Aleksandr Aleksndrovich Zinviev, (29 de septiembre de 1922- 10 de mayo de 2006), fue un lsofo, socilogo ynovelista ruso. Completamente crtico con la URSS ensu momento, tras su disolucin cambi radicalmente depostura, convirtindose en defensor del comunismo, ytambin de Lenin y Stalin.Aleksandr Zinviev naci en un pequeo pueblo, y setraslad posteriormente con sus padres a Mosc. Durantesu infancia vivi en la pobreza.Zinviev comenz a estudiar losofa en el Instituto deFilosofa, Literatura e Historia en 1939, pero pronto fueexpulsado por su oposicin a la colectivizacin forzosa.Ingres en el ejrcito sovitico y particip en la II Gue-rra Mundial como piloto y conduciendo un tanque. Trasla guerra, comenz a escribir novelas que no public, ynaliz sus estudios universitarios. Durante las siguien-tes dcadas, fue uno de los ms brillantes lgicos de laURSS.Aleksandr Zinviev public varios artculos y libros sobrelgica (especialmente lgica polivalente) y metodologade la ciencia.Su novela Cumbres abismales fue publicada en Suiza en1976. Fue expulsado de la URSS tras la publicacin de susiguiente novela, Radiante Porvenir, en la que criticaba aBrezhnev, y que fue publicada en 1978. Se estableci enMnich.A comienzos de los aos 90 hizo una gran transforma-cin, y apareci como el crtico ms radical de las re-formas de Bors Yeltsin, hasta el punto de considerarque ste y Gorbachov eran agentes occidentales. En 1996apoy pblicamente a Guennadi Ziugnov, candidato delPartido Comunista de la Federacin Rusa que posterior-mente perdera frente a Bors Yeltsin.Asimismo, apoy al poltico serbio Slobodan Miloevi,al cual visit en los 90, y al que consideraba un lucha-dor contra los occidentalizadores. Lider el Comit In-ternacional para la Defensa de Slobodan Miloevi; trasla muerte de Zinviev en marzo de 2006, se desconoce elfuturo de la organizacin.

7.1 Bibliografa en espaol Cumbres abismales (1979) Radiante porvenir (1980) Homo Sovieticus (1982) La cada del imperio del mal (1999)

7.2 Referencias Alexander Zinoviev As Writer and Thinker: AnAssessment by Michael Kirkwood (Editor), Phi-lip Hanson (Editor). Publisher: Palgrave Macmi-llan, 1988. 207 p. ISBN 0312015429 ISBN 978-0312015428

Alexandr Zinoviev, Cumbres Abismales 1. ISBN8474900204, ISBN 978-8474900200.

Alexandr Zinoviev, Cumbres Abismales 2. ISBN8474900344, ISBN 978-8474900347.

7.3 Enlaces externos Pgina dedicada a Aleksandr Zinviev (principal-mente en ruso, con informacin en ingls y francs)

Obras de Zinviev en lnea (Ruso) Entrevista a Zinviev (1) (realizada por Xavier Che-neseau)

Entrevista a Zinviev (2) (para la publicacin Prav-da)

Entrevista (realizada por Antonio Ortiz) En francs : Fabrice Fassio, Il y a 20 ans : le dbatZinoviev-Eltsine , voltairenet.org, juin 2010 http://www.voltairenet.org/article166584.html En espa-ol: En el 20 aniversario del debate entre Zinoviev yYeltsin por Fabrice Fassio, Rebelin Cultura 30-08-2010

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16 CAPTULO 7. ALEKSANDR ZINVIEV

en portugus : Fabrice Fassio, A Rus-sia no mau lado da historia http://aviagemdosargonautas.net/2014/04/09/de-novo-a-ucrania-da-economia-a-geopolitica-a-russia-no-mau-lado-da-historia-por-fabrice-fassio/. En francs: la Russie du mauvais ct de l'Histoire

http://www.comite-valmy.org/spip.php?article4397

Captulo 8

Vladmir Arnold

Vladmir gorevich Arnold (ruso: , 12 de junio de 1937 en Odesa,Ucrania 3 de junio de 2010 en Pars) fue uno de losmatemticos ms prolcos del mundo.Entr a estudiar en la Facultad de matemticas y mec-nica de la Universidad de Mosc en 1954, donde per-maneci hasta 1986, ao en que ingres en el InstitutoMatemtico Steklov de Mosc. En marzo de 1968 rm,junto con otros 98 colegas, la Carta de los 99 ( ), una carta de protesta por el encar-celamiento en un manicomio de un matemtico soviti-co perfectamente cuerdo, Aleksandr Esenin-Volpin, hi-jo de Sergui Yesenin y vctima de la psiquiatra represi-va en la Unin Sovitica. Esto trajo como consecuenciala denegacin de permiso para viajar al extranjero hastala perestroika1.Aunque es ms conocido por el teorema de Kolmogrov-Arnold-Moser respecto a la estabilidad de los sistemashamiltonianos integrables, ha hecho importantes contri-buciones en varias reas que incluyen teora de sistemasdinmicos, teora de las catstrofes, topologa, geometraalgebraica, mecnica clsica y teora de la singularidad enuna carrera que abarca ms de 45 aos despus de su pri-mer resultado principal - la solucin del problema trecede Hilbert en 1957.

8.1 Obra Collected Works, Bd.1 (Representations of fun-ctions, celestial mechanics, KAM-Theory 1957-1965), Springer 2009

Yesterday and long ago, Springer 2007 (memorias)

Vorlesungen ber partielle Dierentialgleichungen,Springer 2004, ISBN 3-540-43578-6

Gewhnliche Dierentialgleichungen, 1980, 2.Au.,Berlin, Springer 2001, ISBN 3-540-66890-X (1973,MIT press)

Mathematische Methoden der klassischen Mechanik,Birkhuser 1988, ISBN 3-7643-1878-3 (ingl. 2e.1989, Springer, Graduate texts in mathematics)

con Avez Ergodic problems of classical mechanics,New York, Benjamin 1968

Topological methods in hydrodynamics, Springer1998

GeometrischeMethoden in der Theorie der gewhnli-chen Dierentialgleichungen, ISBN 3-7643-1879-1

Arnolds problems, 2 ed. Springer 2004 (con lista deproblemas a partir de 2002 se encuentra en su pginade inicio)

Mathematics - frontiers and perspectives, Am. Mat-hematical Soc. 2000

Catastrophe theory, 3 ed. Springer 1993

Bifurcation theory and catastrophe theory, 2 ed.Springer 1999

Singularities of caustics and wave fronts, Kluwer1990

mit Varchenko, Gusein-Zade: Singularities of Die-rentiable Maps, 2 vols. Birkhuser 1985, 1988

Topological invariants of plane curves and caustics,Am. Mathematical Soc. 1994

Huygens und Barrow, Newton und Hooke, Birkhu-ser 1990

From Hilberts Superposition problem to Dynami-cal systems, American Mathematical Monthly, Au-gust/September 2006 (berblick ber seinen mat-hematischen Werdegang, Vorlesung Toronto 1997,online hier:, auch in Bolibruch, Osipov, Sinai (He-rausgeber)

Mathematical Events of the Twentieth Century, Springer2006, pp. 19)

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18 CAPTULO 8. VLADMIR ARNOLD

Arnold es editor y coautor de la serie Encyclopediaof mathematical sciences en Springer Verlag (u.a.in der Reihe Dynamische Systeme)

Dynamical systems, in Jean-Paul Pier (ed.) Develop-ment of mathematics 1950-2000, Birkhuser 2000

Singularity theory, in Jean-Paul Pier (ed.) Develop-ment of mathematics 1950-2000, Birkhuser 2000

8.2 Referencias1. Rodrguez Suanzes, Pablo (17 de junio de 2010).

Obituarios. El Pas., pg. 24.

8.3 Vase tambin Teora de las catstrofes

8.4 Literatura Bierstone (ed.) The Arnoldfest, American Mat-hematical Society 1999 (conferencia de Arnolds60.Geburtstag in Toronto 1997)

Smilka Zdravkovska. Conversation with VladimirIgorevich Arnold, Mathematical Intelligencer, vol. 9,1987, N 4, pp.28 (entrevista)

8.5 Enlaces externos Necrolgica de Manuel de Len

Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Vladmir Arnold. Commons

Captulo 9

Mijal Grmov

Mijal Leondovich Grmov (translitera al ruso cirlico (n. 23 de diciembre de1943, tambin conocido comoMikhael Gromov, MichaelGrmov, o Misha Grmov) es un matemtico ruso cono-cido por sus importantes contribuciones en diversas reasde las matemticas. Se considera un gemetra en un sen-tido muy amplio de la palabra.En la teora geomtrica de grupos, cre el concepto degrupo hiperblico; topologa simplctica, donde presen-t curvas pseudoholomrcas, y en geometra rieman-niana. Su obra, sin embargo, se ha desarrollado en elanlisis y el lgebra, cuando los problemas consienten unaformulacin geomtrica. Por ejemplo, su principio h enrelaciones diferenciales es la base de una teora geom-trica de ecuaciones diferenciales parciales.Mijal Grmov estudi para un doctorado (1973) enLeningrado, donde fue un estudiante de Vladimir Abra-movich Rokhlin. En la actualidad, es miembro perma-nente del IHS, y profesor Jay Gould de Matemticas enla Universidad de Nueva York.

9.1 Premios Premio de la Sociedad Matemtica de Mosc en1971.

Premio Oswald Veblen en Geometra de la (AMS)en 1981.

Premio Elie Cartan de l'Academie des Sciences deParis en 1984.

Premio de l'Union des Assurances de Paris en 1989. Premio Leroy Steele (AMS) en 1997. Premio Wolf en Matemticas en 1993. Medalla Lobachevsky en 1997. Premio Balzan en matemtica en 1999. Premio Kyoto en ciencias matemticas en 2002. Premio Nemmers en Matemticas en 2004.

Premio Bolyai en 2005. Premio Abel en 2009.

9.2 Referencias Gromov Receives Nemmers Prize AMS Notices,vol. 51, number 7

Marcel Berger, Encounter with a Geometer, Part I,AMS Notices, Volume 47, Number 2

Marcel Berger, Encounter with a Geometer, Part II,AMS Notices, Volume 47, Number 3

9.3 Enlaces externos Esta obra deriva de la traduccin de Mikhail Gro-mov de la Wikipedia en ingls, publicada por suseditores bajo la Licencia de documentacin libre deGNU y la Licencia Creative Commons Atribucin-CompartirIgual 3.0 Unported.

Mijal Grmov en elMathematics Genealogy Project.

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Captulo 10

Maksim Kontsvich

Maksim Kontsvich.

Maksim Lvvich Kontsvich,en ruso (Chimki, 25 de agosto de 1964),es un matemtico ruso. Recibi la Medalla Fields en1998, el 23 Congreso Internacional de Matemticosde Berln. Es PhD por la Universidad de Bonn. Su tesisprueba una conjetura de Edward Witten: dos modelosgravitacionales quantum son equivalentes. Actualmentees profesor en el Institut des hautes tudes scientiquesen Bures-sur-Yvette al sur de Pars. Gan la medallaFields por su contribucin a los cuatro problemas de lageometra.El matemtico ruso Maxim Kontsevich ha sido galardo-nado con el prestigioso Premio Shaw en 2012, por el estu-dio de la simetra especular, una nueva interaccin entreel lgebra y la geometra.

Este premio fue establecido en 2002 por el magnate ylntropo de Hong Kong, Shao Yifu. Se otorga a cient-cos que han hecho importantes contribuciones a la astro-noma, matemticas y ciencias naturales.

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Captulo 11

Olga Ladzhenskaya

Olga Aleksndrovna Ladshenskaya ( ) Kologrive, 7 demarzo de 1922 - San Petersburgo, 24 de enero del 2004.Matemtica rusa.

11.1 Biografa

Naci el 7 de marzo de 1922 en Kologrive, donde su pa-dre, Aleksandr Ivnovich Ladzhenski, era profesor dematemticas; su padre supo transmitirle, sin duda el amora las matemticas. Pertenecientes a una familia de la ba-ja nobleza rural, Aleksandr Ladzhenski fue depurado yarrestado por el rgimen de Stalin en 1937; en juicio su-marsimo fue declarado enemigo del pueblo de Rusiay condenado a muerte. Las dos hermanas de Olga fue-ron expulsadas de la escuela, pero a Olga se le permititerminar sus estudios.A pesar de ello Olga tuvo problemas para continuar consu formacin ya que era la hija de un enemigo del pue-blo. En 1939 haba obtenido unos excelentes resultadosen los exmenes de ingreso en la Universidad de Lenin-grado, sin embargo no fue admitida. Tras un breve perio-do en la Escuela Normal de Leningrado (1939-1941), Ol-ga volvi a su ciudad natal donde ense matemticas enla misma escuela que haba enseado su padre. Admitidanalmente en 1943 en la Universidad deMosc, gracias ala intervencin personal de lamadre de una alumna, inicisus estudios de matemticas. En 1951 haba completadosu tesis, sin embargo, no pudo defenderla hasta pasada lamuerte de Stalin, en 1953. Finalmente en 1954 fue nom-brada profesora titular de la Universidad de Leningrado yen 1961 directora del Laboratorio de Matemticas y F-sica del Instituto Steklov. Fue asimismo presidenta de laSociedad Matemtica de San Petersburgo y miembro denmero de la Academia de Ciencias de Rusia.Mantuvo una estrecha amistad con Aleksandr Solzhe-nitsyn y con la poetisa Anna Ajmtova lo que le acarreenemistades con las autoridades soviticas.

11.2 ObraOlga Ladzhenskaya escribi ms de 250 trabajos so-bre matemticas. Su obra cubre un amplio espectro des-de las ecuaciones diferenciales parciales, pasando por lasecuaciones hiperblicas hasta las ecuaciones diferencia-les generadas por funciones simtricas de los valores pro-pios (eigenvalues) de Hessian. Tambin se interes por launicidad en la convergencia de las series de Fourier o so-luciones mediante la aproximacin por diferencias nitas.Desarroll el tratamiento funcional analtico de proble-mas no lineales estacionarios mediante la teora de gradosde Leray-Schauder.Sus estudios sobre ecuaciones diferenciales, ecuacionesde Navier-Stokes, han contribuido enormemente al desa-rrollo de las investigaciones en otros campos cient-cos entre los que cabra destacar el de los pronsticosmeteorolgicos, la aerodinmica, la oceanografa y lamedicina cardiovascular.Adems de los trabajos mencionados public:

The mathematical theory of viscous incompressible,Gordon and Breach, New York-London, 1963 (so-bre hidrodinmica)

Attractors for semigroups and evolution equations,Cambridge University Press, 1991.

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Captulo 12

Yuri Manin

Yuri Ivanovitch Manin (en ruso: ) (Simferopol Unin Sovitica 1937) es unmatemtico ruso-alemn,[1] conocido por trabajar en lageometra algebraica y la geometra diofntica, y en mu-chas obras que van desde la lgica matemtica a la fsicaterica.Manin obtuvo su doctorado en 1960 en el Instituto deMatemticas Steklov como un estudiante de Igor Shafa-revich. En la actualidad, es profesor y Director del Max-Planck-Institut fr Mathematik en Bonn, y profesor en laUniversidad de Northwestern.Su trabajo se ha desenvuelto en varios campos de la ma-temtica y geometra. Tambin ha escrito sobre la teoraYang-Mills, la informacin cuntica, y la simetra espe-cular.Manin ha tenido ms de 40 estudiantes de doctora-do, incluyendo Alexander Beilinson, Vladimir Drinfeld,Vyacheslav Shokurov y Victor Kolyvagin. Fue galardo-nado con el Premio Schock en 1999 y la Medalla Cantoren 2002. En 1994, fue galardonado con el Premio Nem-mers en Matemticas.

12.1 Obra Selected works with commentary, World Scientic1996

Mathematics as metaphor - selected essays, Ameri-can Mathematical Society 2009

Rational points of algebraic curves over functionelds. AMS translations 1966 (Mordell conjecturefor function elds)

Algebraic topology of algebraic varieties. RussianMathematical Surveys 1965

Modular forms and Number Theory. InternationalCongress of Mathematicians, Helsinki 1978

Frobenius manifolds, quantum cohomology, and mo-duli spaces, AmericanMathematical Society 1999[2]

Quantum groups and non commutative geometry,Montreal, Centre de Recherches Mathmatiques,1988

Topics in non-commutative geometry, Princeton Uni-versity Press 1991[3]

Gauge eld theory and complex geometry. Sprin-ger 1988 (Grundlehren der mathematischenWissenschaften)[4]

Cubic forms - algebra, geometry, arithmetics, NorthHolland 1986

A course in mathematical logic, Springer 1977[5]

The provable and the unprovable (en ruso), Mosc1979

The decidable and the undecidable (en ruso), Mosc1980

Mathematics and physics, Birkhuser 1981 New dimensions in geometry. in Arbeitstagung Bonn1984, Lectures Notes in Mathematics Vol. 1111,Springer Verlag

------, Alexei Ivanovich Kostrikin. Linear algebraand geometry, Gordon and Breach 1989

------, Sergei Gelfand. Homological algebra, Sprin-ger 1994 (Encyclopedia of mathematical sciences).

------, Sergei Gelfand. Methods of Homological al-gebra, Springer 1996

------, Igor Kobzarev. Elementary Particles: mathe-matics, physics and philosophy, Dordrecht, Kluwer,1989 (texto introductorio)

------, Alexei A. Panchishkin. Introduction to Num-ber theory, Springer Verlag 1995, 2 ed. 2005

Manin Moduli, Motives, Mirrors, 3. European Con-gress Math. Barcelona 2000, Plenary talk

Manin Classical computing, quantum computing andShors factoring algorithm, Bourbaki Seminar 1999

Manin Von Zahlen und Figuren 2002 Manin, Mathilde MarcolliHolography principle andarithmetic of algebraic curves, 2002

Manin 3-dimensional hyperbolic geometry asinnite-adic Arakelov geometry, InventionesMathematicae 1991

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12.4. ENLACES EXTERNOS 23

12.2 Vase tambin Conjetura Manin-Mumford Obstruccin de Manin

12.3 Referencias[1] CURRICULUMVITAE atMax-Planck-Institut frMat-

hematik website

[2] Getzler, Ezra (2001). Review: Frobenius manifolds,quantum cohomology, and moduli spaces by Yuri I. Ma-nin. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 38 (1): pp. 101108.doi:10.1090/S0273-0979-00-00888-0.

[3] Penkov, Ivan (1993). Review: Topics in non-commutativegeometry by Yuri I. Manin. Bull. Amer. Math. Soc.(N.S.) 29 (1): pp. 106111. doi:10.1090/S0273-0979-1993-00391-4.

[4] LeBrun, Claude (1989). Review: Gauge eld theory andcomplex geometry by Yuri I. Manin; trans. by N. Koblitzand J. R. King. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 21 (1): pp.192196. doi:10.1090/S0273-0979-1989-15816-3.

[5] Shoeneld, J. R. (1979). Review: A course in mat-hematical logic by Yu. I Manin. Bull. Amer. Math.Soc. (N.S.) 1 (3): pp. 539541. doi:10.1090/s0273-0979-1979-14613-5. http://www.ams.org/journals/bull/1979-01-03/S0273-0979-1979-14613-5/S0273-0979-1979-14613-5.pdf.

12.4 Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Yuri Manin. Commons

Yuri Manin en el Mathematics Genealogy Project. Manins page at Max-Planck-Institut fr Mathema-tik website

Good Proofs are Proofs that Make us Wiser, inter-view by Martin Aigner and Vasco A. Schmidt

The Pontical Academy of Sciences. Yuri IvanovichManin

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.,Biografa de Yuri Manin (en ingls), MacTutorHistory of Mathematics archive, Universidadde Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Manin.html.

Captulo 13

Grigori Margulis

Grigori Margulis

Grigori Aleksndrovich Margulis (el nombre a menu-do escrito Gregory o Grigory) (nacido el 24 de febre-ro de 1946) es un matemtico conocido por su traba-jo de gran alcance sobre retculos en los grupos de Lie,y la introduccin de mtodos de la teora ergdica pa-ra aproximaciones diofantinas. Se le otorg una MedallaFields en 1978 y un PremioWolf en matemtica en 2005,convirtindose en el sptimo matemtico en recibir am-bos premios.Naci en una familia juda en Mosc, URSS. Estudi enla Universidad Estatal de Mosc, comenzando una inves-tigacin sobre la teora ergdica bajo la supervisin deYkov Sini. Los primeros trabajos con David Kazhdanprodujeron el teorema de Kazhdan-Margulis, un resulta-do bsico en los grupos discretos. Su teorema de la su-perigidez de 1975 aclar una rea completa de conjetu-ras clsicas sobre la caracterizacin de grupos aritmticosentre retculos en grupos de Lie.Se le concedi la Medalla Fields en 1978, pero no se lepermiti viajar a Helsinki para aceptarla en persona. Suposicin mejor, y en 1979 visit Bonn, y ms tarde pudoviajar libremente, aunque segua trabajando en un institu-to tcnico en vez de un departamento de matemtica. En1991 obtuvo una posicin de profesor en la Universidadde Yale.En 1986, Margulis complet la demostracin de la con-jetura de Oppenheim con formas cuadrticas y aproxi-maciones diofantinas. Esta era una cuestin que haba es-tado abierta durante medio siglo, donde se hizo un pro-

greso considerable con el mtodo del crculo de Hardy-Littlewood; pero para reducir el nmero de variables has-ta el punto de obtener los mejores resultados posibles, losmtodos ms estructurales de la teora de grupos resulta-ron ser decisivos.Ha formulado otro programa de investigacin en lamismadireccin, que incluye la conjetura de Littlewood. Esto hatenido una extensa inuencia.En 2005, Margulis recibi el Premio Wolf por sus con-tribuciones a la teora de retculos, las aplicaciones a lateora ergdica, la teora de representacin, la teora denmeros, la combinatoria y la teora de la medida.

13.1 Enlaces externos O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.,Biografa de Grigori Margulis (en ingls),MacTutor History of Mathematics archive,Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Margulis.html.

Grigori Margulis en el Mathematics Genealogy Pro-ject

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Captulo 14

Gleb Nosovski

Gleb Vladmirovich Nosovski ( ). Matemtico ruso. Naci en 1958. Obtuvoel grado de Candidato a doctor en ciencias fsicas y ma-temticas por la Universidad Estatal de Mosc Lomon-sov en 1988. Es especialista en teora de las probabili-dades, estadstica matemtica, teora de procesoso alea-torios, teora de la optimizacin, ecuaciones diferencialesestocsticas, simulacin computacional de procesos esto-csticos. Trabaj en el Instituto de Investigaciones Cs-micas (Mosc) y en el Instituto de Herramientas e Instru-mentos de Mosc. Form parte del equipo que trabaj enJapn en el marco del proyecto de colaboracin cient-ca entre la Universidad Lomonsov y la Universidad deAizu en el rea de geometra computacinal.En la actualidad trabaja con el grado de cientco prin-cipal en el laboratorio de mtodos computacionales deldepartamento de geometra diferencial y sus aplicacio-nes de la Facultad de Mecnica Terica y Matemtica dela Universidad Lomonsov. Asimismo, forma parte delequipo que est desarrollando la ruidosa Nueva Cronolo-ga dirigido por Anatoli Fomenko.

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Captulo 15

Andri Okunkov

Andri Okunkov

Andri Yrievich Okunkov (en ruso: ) (nacido en 1969) es un matemticoruso que trabaja en representaciones de grupo y en susaplicaciones a la geometra algebraica, fsica matemtica,teora de probabilidad y funciones especiales.Se doctor en la Universidad Estatal de Mosc en 1995,siendo alumno de Aleksandr Kirlov. Ha sido profesor dela Universidad de Princeton desde 2002, y fue anterior-mente profesor asistente de la Universidad de Berkeley.En el ao 2006, durante el XXV Congreso Internacionalde Matemticos, celebrado en Madrid, Espaa, recibi laMedalla Fields por sus contribuciones a la unin entre laprobabilidad, la teora de la representacin y la geometraalgebraica.[1]

15.1 ObraOkunkov ha trabajado en campos tales como la teora degrupos simtricos innitos, las estadsticas de particionesde planos y la cohomologa cuntica del esquema de Hil-bert de los puntos en un plano complejo. La mayor partede sus trabajos sobre esquemas de Hilbert fueron realiza-dos en colaboracin con Rahul Pandharipande.Ambos, junto con Nikita Nekrsov y DaveshMaulik, for-mularon las famosas conjeturas acerca de las invariantesde Grmov-Witten y las invariantes de Donaldson-

Thomas sobre las tablas.Okunkov tiene, al menos, un nmero de Erds de tres,conseguidos a travs de las sucesivas colaboraciones dePaul Erds con Anatoli Vershik, este con Gregori Frei-man y nalmente, Freiman con Okunkov.

15.2 Referencias[1] Information about Andrei Okounkov, Fields Medal win-

ner, ICM Press Release

15.3 Enlaces externos Antigua pgina de Andri Okunkov en Berkeley Cita del EMS Prize 2004 Cita de la Medalla Fields Artculos de Andrei Okounkov en Arxiv Historia del Daily Princetonian BBC Historia

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Captulo 16

Grigori Perelmn

Grigori Grisha Ykovlevich Perelmn (en ruso: ), nacido el 13 de ju-nio de 1966 en Leningrado, URSS (actualmente San Pe-tersburgo, Rusia), es un matemtico ruso que ha hechocontribuciones histricas a la geometra riemanniana y ala topologa geomtrica. En particular, ha demostrado laconjetura de geometrizacin de Thurston, con lo que seha logrado resolver la famosa conjetura de Poincar, pro-puesta en 1904 y considerada una de las hiptesis mate-mticas ms importantes y difciles de demostrar.En agosto de 2006 se le otorg a Perelmn la MedallaFields[1] por sus contribuciones a la geometra y sus ideasrevolucionarias en la estructura analtica y geomtrica delujo de Ricci. La Medalla Fields es considerada el ma-yor honor que puede recibir un matemtico. Sin embar-go, l declin tanto el premio como asistir al CongresoInternacional de Matemticos.El 18 de marzo de 2010, el Instituto de Matemticas Clayanunci que Perelmn cumpli con los criterios para re-cibir el primer premio de los problemas del milenio de unmilln de dlares,[2] por la resolucin de la conjetura dePoincar.[3] Tras rechazar dicho premio, declar:

No quiero estar expuesto como un animalen el zoolgico. No soy un hroe de las mate-mticas. Ni siquiera soy tan exitoso. Por eso noquiero que todo el mundo me est mirando.

16.1 BiografaGrigori Perelmn naci en Leningrado (ahora San Peters-burgo) el 13 de junio de 1966 en el seno de una fami-lia juda. Recibi su primera educacin matemtica en elLiceo 239 de Leningrado, una escuela especializada conprogramas de matemticas y fsica avanzadas. En 1982,compitiendo como miembro del equipo de la URSS enla Olimpiada Internacional de Matemtica una com-petencia internacional para estudiantes de bachillerato, gan una medalla de oro, tras alcanzar la puntuacinmxima.[4] A principios de los 1980 consigui la puntua-cin ms alta en la prestigiosa organizacin para personascon elevado cociente intelectual Mensa. Al nal de losaos 1980, Perelmn obtuvo el grado de Candidato de la

Ciencia (el equivalente ruso del doctorado) en la Facul-tad de Mecnica y Matemtica de la Universidad Estatalde Leningrado, una de las universidades lderes de la exUnin Sovitica. Su tesis se intitul Supercies en silla enespacios eucldeos (ver citas ms abajo). Era tambin unvirtuoso violinista y jugaba al tenis de mesa.[5]

Despus de la graduacin, Perelmn comenz a trabajaren Leningrado en el renombrado Instituto Steklov de Ma-temticas de la Academia Rusa de las Ciencias. Sus ase-sores en ese instituto fueron Aleksandr Danlovich Alek-sndrov y Yuri Dmitrievich Burago. Al nal de los ochen-ta y principios de los noventa, Perelmn trabaj en variasuniversidades de los Estados Unidos. En 1992, fue invi-tado a pasar sendos semestres en la Universidad de Nue-va York y en la Universidad de Stony Brook. En 1993acept una beca de dos aos en la Universidad de Cali-fornia, Berkeley. Volvi al Instituto Steklov en el veranode 1995.

16.2 Conjeturas de geometrizaciny de Poincar

Hasta 2002, Perelmn era ms conocido por su trabajoen teoremas de comparacin en geometra riemanniana.Entre sus notables logros estaba la demostracin de laconjetura de Soul.

16.2.1 El problemaLa conjetura de Poincar, propuesta por el matemticofrancs Henri Poincar en 1904, era el problema abiertoms famoso de la topologa. En trminos relativamentesencillos, la conjetura indica que si una variedad tridi-mensional cerrada es sucientemente similar a una es-fera en el sentido de que cada bucle en la variedad sepuede transformar en un punto, entonces se considerarque es realmente slo una esfera tridimensional. Por al-gn tiempo se ha sabido que el resultado anlogo es ciertoen dimensiones mayores; sin embargo, el caso de varie-dades tridimensionales ha resultado ser el ms difcil detodos porque, hablando coloquialmente, cuando se ma-nipula topolgicamente una variedad tridimensional, hay

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28 CAPTULO 16. GRIGORI PERELMN

muy pocas dimensiones para mover regiones problem-ticas fuera del camino sin interferir con algo ms.En 1999, el Instituto Clay anunci los Problemas Premia-dos del Milenio: un premio de un milln de dlares por lademostracin de alguna de las conjeturas, incluida la dePoincar. Era aceptado por todos que una demostracinexitosa de la conjetura de Poincar constituira un hito enla historia de las matemticas, comparable a la demostra-cin de Andrew Wiles del ltimo Teorema de Fermat oincluso de mayor alcance.

16.2.2 La demostracin de Perelmn

En una 2-esfera, cualquier lazo puede transformarse hasta con-vertirse en un punto de su supercie. Caracteriza esta condicinla 2-esfera? La respuesta es s, y ha sido conocida por muchotiempo. La conjetura de Poincar hace la misma pregunta, peroms difcil de visualizar: en la 3-esfera. Grigori Perelmn com-prob que la respuesta es armativa.

En noviembre de 2002, Perelmn escribi en el arXivel primero de una serie de artculos de libre acceso enlos cuales arm haber descrito una demostracin de laconjetura de geometrizacin, un resultado que incluye laconjetura de Poincar como un caso particular.Perelmn modic el programa de Richard Hamilton pa-ra la demostracin de la conjetura, en el cual la ideacentral era la nocin del ujo de Ricci. La idea bsi-ca de Hamilton es formular un proceso dinmico enel que una variedad tridimensional dada se transformegeomtricamente, de manera que este proceso de distor-sin sea gobernado por una ecuacin diferencial anlo-ga a la ecuacin del calor. La ecuacin del calor descri-be el comportamiento de cantidades escalares como latemperatura; ella arma que las concentraciones de tem-peratura elevada se dispersarn hasta que se alcance unatemperatura uniforme a lo largo del objeto. Similarmen-te, el ujo de Ricci describe el comportamiento de unacantidad tensorial, el tensor de curvatura de Ricci. La es-peranza de Hamilton era que, bajo el ujo de Ricci, lasconcentraciones de gran curvatura se dispersaran hastaalcanzar una curvatura uniforme sobre toda la variedadtridimensional. Si esto es as, comenzando con cualquiervariedad tridimensional y si se usa la magia del ujo deRicci, nalmente se obtendra cierta forma normal. Deacuerdo con William Thurston, esta forma normal de-be ser una entre un pequeo nmero de posibilidades,cada una con un diferente sabor de geometra llamadogeometras de modelos de Thurston.Esto es similar a formular un proceso dinmico que per-turba gradualmente una matriz cuadrada dada y que, contoda certeza, resultar luego de un tiempo nito en su

forma cannica racional.La idea de Hamilton haba atrado mucha atencin pe-ro nadie haba logrado demostrar que el proceso no secolgara desarrollando singularidades... hasta que losartculos de Perelmn bosquejaron un programa para su-perar estos obstculos. De acuerdo con Perelmn, unamodicacin del ujo de Ricci estndar, llamado ujode Ricci con ciruga, puede remover sistemticamente re-giones singulares a medida que se desarrollan, de maneracontrolada.Se sabe que las singularidades (incluyendo las que se pro-ducen, hablando vagamente, luego de que el ujo se hayadado durante una cantidad innita de tiempo) deben ocu-rrir en muchos casos. Sin embargo, los matemticos es-peran que, asumiendo que la conjetura de geometrizacinsea cierta, cualquier singularidad que se desarrolle en untiempo nito esencialmente se est apretando a lo largode ciertas esferas que corresponden a la descomposicinen primos de la 3-variedad. Si esto es as, cualesquierasingularidades de tiempo innito deben resultar de cier-tas piezas colapsantes de la descomposicin JSJ. El traba-jo de Perelmn demuestra aparentemente esta armaciny as demuestra la conjetura de geometrizacin.

16.2.3 Vericacin

Desde 2003, el programa de Perelmn ha atrado cada vezms atencin de la comunidad matemtica. En abril de2003, acept una invitacin para visitar el Instituto Tec-nolgico de Massachussetts, la Universidad de Princeton,la Universidad de Stony Brook, la Universidad Columbiay la Universidad Harvard, donde dio una serie de char-las sobre su trabajo.[4] Sin embargo, luego de su regresoa Rusia, se ha dicho que ha dejado gradualmente de res-ponder a los correos electrnicos de sus colegas.El 25 demayo de 2006, Bruce Kleiner y John Lott, ambosde la Universidad deMchigan, colocaron un artculo en elarXiv que arma agregar los detalles de la demostracinde Perelmn de la conjetura de geometrizacin.[6]

En junio de 2006, la Revista Asitica de Matemticas(Asian Journal of Mathematics) public un artculo delprofesor Xi-Ping Zhu, de la Universidad de Sun Yat-sen, en China, y de Huai-Dong Cao, de la Universidadde Lehigh en Pensilvania, EE. UU., que arma dar unademostracin completa de las conjeturas de Poincar ygeometrizacin.[7] De acuerdo al medallista Fields Shing-Tung Yau, este artculo tena como objetivo dar los l-timos toques a la demostracin completa de la conjeturade Poincar".[8]

La verdadera magnitud de la contribucin de Zhu y Cao,as como la tica de la intervencin de Yau, han sidocontrovertidas. Yau es tanto editor en jefe de la RevistaAsitica de Matemticas como asesor doctoral de Cao.[9]Sylvia Nasar y David Gruber, en un escrito para el TheNew Yorker, han sugerido que Yau intentaba ser asociado,

16.3. LA MEDALLA FIELDS Y EL PREMIO DEL MILENIO 29

directa o indirectamente, con la demostracin de la con-jetura y presion a los editores de la revista para aceptar elartculo de Zhu y Cao de manera inusualmente rpida.[4]Otros se han preguntado si el poco tiempo entre la fechade presentacin... y la fecha de aceptacin para publica-cin para la revista fue suciente para permitir que elartculo fuera revisado de manera seria. Sin embargo,en relacin con la conjetura de Poincar, los autores tam-bin revelaron una acusacin aparentemente no reportadaen la prensa antes de la aparicin (en lnea) de su artculo[3]. Ellos escribieron:

El 13 de abril de este ao, los treinta y unmatemticos del consejo editorial de la Revis-ta Asitica de Matemticas recibieron un brevecorreo electrnico de Yau y del coeditor de larevista en el que se les informaba que tenantres das para comentar un artculo de Xi-PingZhu y Huai-Dong Cao titulado The Hamilton-Perelmn Theory of Ricci Flow: The Poincarand Geometrization Conjectures (La teoraHamilton-Perelmn del ujo de Ricci: Las con-jeturas de Poincar y de geometrizacin), queYau planeaba publicar en la revista. El correono inclua una copia del artculo, reportes de r-bitros ni un resumen. Por lo menos unmiembrodel consejo pidi ver el artculo, pero se le dijoque no estaba disponible.

A la fecha, ningn miembro del consejo editorial de laRAM ha objetado este hecho ni tampoco ha habido ex-plicacin al cambio de ttulo por el de A Complete Proofof the Poincar and Geometrization Conjectures: Ap-plication of the Hamilton-Perelmn Theory of the Ric-ci Flow (Una demostracin completa de las conjeturasde Poincar y de geometrizacin: Aplicacin de la teoraHamilton-Perelmn del ujo de Ricci). Yau respondidiciendo que el artculo haba sido arbitrado de la mane-ra usual, y que la revista tiene estndares muy altos.[10]Cao ha dicho: Hamilton y Perelmn han hecho los traba-jos ms fundamentales. Ellos son los gigantes y nuestroshroes. En mi mente no hay ninguna duda de que Perel-mn merece la medalla Fields. Nosotros slo seguimoslas huellas de Hamilton y Perelmn y explicamos los de-talles. Espero que todo el que lea nuestro artculo est deacuerdo en que hemos dado justa cuenta. Cao defenditambin a Yau diciendo que Yau haba anotado que Perel-mn mereca la medalla Fields, aadieron los reporterosdel The New Yorker.[11]

En julio de 2006, John Morgan, de la Universidad de Co-lumbia, y Gang Tian, del Instituto Tecnolgico de Massa-chussetts, colocaron un artculo en el arXiv titulado, Ric-ci Flow and the Poincar Conjecture (El ujo de Ric-ci y la conjetura de Poincar"). En l, arman que pro-porcionan una demostracin detallada de la conjeturade Poincar".[12] El 24 de agosto de 2006, Morgan diouna charla en el ICM de Madrid sobre la conjetura dePoincar.[13]

El trabajo anterior parece mostrar que el bosquejo de Pe-relmn puede expandirse de hecho a una demostracincompleta de la conjetura de geometrizacin.Dennis Overbye, del New York Times, ha dicho quehay una creciente sensacin, un optimismo cauto deque los matemticos hayan alcanzado nalmente un hi-to no slo para las matemticas, sino para el pensamientohumano.[14] Nigel Hitchin, profesor de matemticas dela Universidad de Oxford, ha dicho que pienso que pormuchos meses o incluso aos la gente ha estado diciendoque se convencieron por el argumento. Pienso que es untrato hecho.[15]

16.3 La Medalla Fields y el Premiodel Milenio

En mayo de 2006, un comit de nueve matemticos vo-taron para premiar a Perelmn con una Medalla Fieldspor su trabajo en la conjetura de Poincar.[4] La MedallaFields es el mayor premio en matemticas; dos a cuatromedallas se conceden cada cuatro aos.Sir John Ball, presidente de la UninMatemtica Interna-cional, se dirigi a Perelmn en San Petersburgo en juniode 2006 para persuadirlo de que aceptara el premio. Des-pus de 10 horas de persuasin durante dos das, se rindi.Dos semanas ms tarde, Perelmn resumi la conversa-cin as: "l me propuso tres alternativas: acepta y ven;acepta y no vengas, y te enviaremos la medalla luego; ter-cero, no aceptes ni vengas. Desde el principio le dije quehaba escogido la tercera. Sigui diciendo que el premioera completamente irrelevante para m. Todo el mundoentiende que, si la demostracin es correcta, entonces nose necesita ningn otro reconocimiento.[4]

El 22 de agosto de 2006 se le ofreci pblicamente a Pe-relmn la medalla en el Congreso Internacional de Mate-mticos en Madrid, por sus contribuciones a la geome-tra y sus ideas revolucionarias en la estructura analticay geomtrica del ujo de Ricci.[16] No asisti a la cere-monia y declin la medalla.[17][18]

l haba rechazado previamente un prestigioso premio dela SociedadMatemtica Europea,[18] y al parecer dijo quesenta que el comit del premio no estaba cualicado paraevaluar su trabajo, incluso positivamente.[15]

Perelmn tambin debe recibir una parte del premio delmilenio (probablemente compartido con Richard Hamil-ton). Aunque no ha buscado una publicacin formal de sudemostracin en una revista de matemticas con revisinpor pares, como requieren las reglas del premio, muchosmatemticos piensan que el escrutinio al que se ha vistosujeto su bosquejo excede la revisin implcita en una re-visin por pares normal.[cita requerida] El Clay MathematicsInstitute ha dicho explcitamente que el consejo que con-cede el premio puede cambiar los requisitos formales, encuyo caso Perelmn sera elegible para recibir parte del

30 CAPTULO 16. GRIGORI PERELMN

premio.[cita requerida]

El 18 de marzo de 2010, Perelman gan el premio delmilenio por resolver el problema.[3] Rechazando tam-bin este premio. Anteriormente, Perelman haba dichoque no voy a decidir si acepto el premio hasta que seaofrecido.[4]

16.4 Retiro de las matemticasDesde la primavera de 2003, Perelmn no trabaja en elInstituto Steklov.[5] Se dice que sus amigos han armadoque actualmente encuentra las matemticas un tema do-loroso de discusin; algunos dicen incluso que ha abando-nado las matemticas por completo.[19] Segn una entre-vista reciente, Perelmn est actualmente desempleado,vive con su madre, Lubov, en un pobre apartamento deSan Petersburgo.[3][5] Se dice tambin que en realidad noest decepcionado de las matemticas, sino ms bien in-merso en la idea galileana de que El humilde razonamien-to de uno vale ms que la autoridad de miles ; as pues,ha preferido aislarse, seguir estudiando y no someterse aautoridades arbitrarias no matemticas.[cita requerida]

Aunque Perelmn dice en un artculo en The New Yorkerque est decepcionado de los estndares ticos del campode las matemticas, el artculo implica que Perelmn sereere particularmente a los esfuerzos de Yau por ami-norar su papel en la demostracin y exaltar el trabajo deCao y Zhu. Perelmn ha dicho que "no puedo decir queestoy indignado. Otras personas hacen cosas peores. Porsupuesto, hay muchos matemticos que son ms o menoshonestos. Pero de ellos, casi todos son conformistas. Sonms o menos honestos, pero toleran a quienes no son ho-nestos".[4] Tambin ha dicho que "no es la gente que rom-pe los estndares ticos quienes se consideran extraos. Esgente como yo quienes son aislados".[4]

Esto, combinado con la posibilidad de ser premiado conuna medalla Fields, hizo que renunciara a la matemti-ca profesional. Ha dicho que "mientras no era conspicuo,tena eleccin. Incluso de hacer algo feo" (un escndalosobre la falta de integridad de la comunidad matemtica)"o, si no hiciera esta clase de cosas, de ser tratado comouna mascota. Ahora, cuando me he vuelto una personamuy conspicua, no puedo ser una mascota y decir nada.Por esto tuve que renunciar".[4]

El profesor Marcus du Sautoy de la Universidad de Ox-ford ha dicho que "se ha aislado de cierta manera de lacomunidad matemtica. Se ha desilusionado de las mate-mticas, lo cual es muy lamentable. No est interesado enel dinero. El gran premio para l es demostrar su teore-ma."[15]

Actualmente est retirado de las matemticas. Las l-timas noticias que se tenan de l era una foto suyatomada el 20 de junio de 2007 en el metro de SanPetersburgo.[20] Sin embargo, en abril de 2011 concediuna entrevista.[21][22]

16.5 Personaje literarioLa gura de Perelmn ha inspirado distintas obras litera-rias, como la novela La conjetura de Perelmn (2011) deJuan Soto Ivars.[23]

16.6 Vase tambin Clay Mathematics Institute Con