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Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua

UNAN-ManaguaCurso de Investigación de Operaciones

Unidad IV

Dualidad y Análisis de SensibilidadEstudiantes:

FAREM-Carazo

Profesor:MSc. Julio Rito

Vargas Avilés.

II Semestre 2010

Año

Académico:

Metodologías para Problemas de Redes.

V Unidad

http://www.tusgifsanimados.com/aviones/f9/gif-animado_7718.html

http://www.tusgifsanimados.com/vehiculos-terrestres/autobuses/gif-animado_6561.html

2

Problema de Transporte

Es un caso especial de problemade programación lineal (PPL), parael cual se ha desarrollado unaversión distinta del métodoSimplex.

3

Principales características

Suponga que se dispone de n fábricas y de m centros deconsumo, ambos localizados en distintos puntos. Cadafábrica i posee una capacidad de producción Oi, y cadacentro de consumo j posee una demanda Dj. El costo deproducir una unidad en la fábrica i es de CPi, y el costo detransportar cada unidad desde la fábrica i al centro deconsumo j es de CTij.

El problema es determinar la cantidad a producir en cadafábrica y las cantidades a transportar, al mínimo costo.Luego xij es la cantidad a producir en la fábrica i para serllevado al centro de consumo j.

Red de distribución

4

Centro de

consumo

RAAN

RAAS

Fábrica

5

RED DE TRANSPORTE

6

Modelo

de Programación Lineal

MIN costo = s.a.

xij 0 con i:1.. n y j:1..m

Se utilizará el siguiente modelo de programación lineal (PPL)

n

1i

m

1j

ijijiji ) xCT x(CP

n

1i

jij D x

m

1j

iij O x

Se satisface toda la Demanda

No se puede producir más allá de la capacidad de la fábrica.

7

Modelo


MIN costo = s.a.

xij 0 con i:1.. n y j:1..m

Suponiendo que:

n

1i

m

1j

ijij xC

n

1i

jij D x

m

1j

iij O x

y reemplazando Cij=CPi+CTij queda el siguiente modelo:

n

1i

i

m

1j

j O D Cap. de Producción igual a la Demanda.

8

Modelo


Si

n

1i

m

1j

jiF DOD

entonces se genera un nuevo centro de consumo ficticio.Lo que consuma ese centro no es real, por tanto quedacomo capacidad de producción ociosa.

n

1i

i

m

1j

j O DCap. de Prod.

mayor a la Dda.

9

Modelo


Si

n

1i

i

m

1j

jF ODO

entonces se genera una nueva fábrica ficticia. Lo queproduzca esa fábrica no es real. Por tanto queda comodemanda insatisfecha.

n

1i

i

m

1j

j O DCap. de Prod.

menor a la Dda.

10

Modelo


Ejemplo:

Suponga que se dispone de 3 bodegas con capacidadesde 15,000, 25,000 y 5,000 unidades. Por otra parte, setienen 4 centros de consumo con demandas de 5000,15,000, 15,000, y 10,000 unidades respectivamente.Encuentre las cantidades óptimas a producir ytransportar, tal de minimizar los costos que se muestrana continuación:

1 2 3 4

1 10 0 20 11

2 12 7 9 20

3 0 4 16 18

11

Procedimiento

Para trabajar se utiliza la siguiente tabla:

1 2 ... m Oi ui

1h11 c11 h12 c12

...h1m c1m

O1 u1x11 x12 x1m

2h21 c21 h22 c22

...h2m c2m

O2 u2x21 x22 x2m

... ... ... ... ... ...

nhn1 cn1 hn2 cn2

...hnm cnm

On unxn1 xn2 xnm

Dj D1 D2 ... Dm

vj v1 v2 ... vm

12

Solución factible inicial

Al igual que en el método Simplex tradicional, el problemade transporte requiere partir de una solución inicialfactible. Para ello se necesita asignar las cantidades xij demanera de cumplir con las restricciones. Para ello existenal menos 3 posibilidades:

• Solución por “tanteo”.

• Método de la esquina Noroeste.

• Método de Vogel.

•

13

Método de la esquina NoroesteEste método no considera los costos, por eso puede que susolución quede alejada del óptimo. Consiste en asignar lamáxima cantidad factible al casillero superior izquierdo que noposea ninguna asignación o marca. La cantidad a asignar es elmínimo entre la oferta disponible y la demanda en dichomomento.

Hecha la asignación, se descuenta la cantidad tanto a la ofertacomo a la demanda. Con esto, una de las dos quedará en cero(fila o columna). Por tanto se marcan todos los casilleros vacíosde ella.

14

Método de la esquina Noroeste

Ejemplo 1:

1 2 3 4 O

110 0 20 11

150005000 10000 - -

212 7 9 20

25000- 5000 15000 5000

30 4 16 18

5000- - - 5000

D 5000 15000 15000 10000 C=410

15


En caso de que al realizar una asignación simultáneamenteambas se hagan cero (fila y columna), entonces se asigna unanueva variable con valor cero en el casillero de la fila o columnaque tenga un menor costo. Se producen entonces 2asignaciones: Una con el valor mínimo y la otra con cero. Estose debe a que el sistema debe tener n+m-1 variables básicasdefinidas.

Esto se muestra en el siguiente ejemplo:

16


Ejemplo 2:

1 2 3 4 5 O

17 20 13 5 2

1515 - - - 0

210 15 12 7 10

20- 20 - 0 -

38 11 8 3 9

20- - 20 - -

412 10 12 8 10 10

- - 10 0 -

515 15 12 11 10 25

- - - 15 10

D 15 20 30 15 10 C=950

17

Método de VogelEste método si considera los costos, por tanto entrega unamejor solución factible inicial que la esquina noroeste. Consisteen: para cada fila y columna se calcula la diferencia entre elmayor y el menor costo de los casilleros sin marcar. Calculada ladiferencia, se selecciona la fila o columna de mayor valor, endonde se le asigna la máxima cantidad factible a su casillero demenor costo que no posea ninguna asignación o marca. Luego,se actualizan las cantidades disponibles.

Hecha la asignación, se descuenta la cantidad de forma similaral método de la esquina noroeste. En caso que la fila y columnase hagan cero, se hace lo mismo que en el método anterior.

18

Método de Vogel

Ejemplo:

1 2 3 4 O

110 0 20 11

15- 15 - -

212 7 9 20

250 - 15 10

30 4 16 18

55 0 - -

D 5 15 15 10

C=335

19

Simplex de TransportePaso 1

1 2 3 4 O

110 0 20 11

155 10 - -

212 7 9 20

25- 5 15 5

30 4 16 18

5- - - 5

D 5 15 15 10

C=410

Se encuentra una solución factible inicial.

20


1 2 3 4 O ui

110 0 20 11

15 u15 10 - -

212 7 9 20

25 u2- 5 15 5

30 4 16 18

5 u3- - - 5

D 5 15 15 10

vj v1 v2 v3 v4 C=410

Se determinan los valores de los ui y de los vj . Se plantean n+m-1

ecuaciones con n+m incógnitas, por lo que a una de ellas se le hacevaler cero arbitrariamente, y se resuelve el sistema.

u1+v1=10

u1+v2=0

u2+v2=7

u2+v3=9

u2+v4=20

u3+v4=18

21


1 2 3 4 O ui

10 10 0 0 + 20 -2 11

15 -75 10 - -

2-5 12 0 7 0 9 0 20

25 0- 5 15 5

3-15 0 -1 4 + 16 0 18

5 -2- - - 5

D 5 15 15 10

vj 17 7 9 20 C=410

Se determinan los hij para ver la variable que entra. Para todos los

xij se tiene que hij=cij-(ui +vj). Si xij es variable básica, entonces hij = 0 ycij=ui+vj .

u1+v1=10

u1+v2=0

u2+v2=7

u2+v3=9

u2+v4=20

u3+v4=18

Solución del Sistema de Ecuaciones

22

Hacemos a u2=0, entonces v2=7, v3=9, v4=20

En u1+v2=0 y v2=7, entonces u1=-7, v1=17, u3=-2

u1+v1=10 —> -7+v1=10 —> v1=17u1+v2=0 —> u1+7=0 —> u1=-7u2+v2=7 —> 0+v2=7 —>v2=7u2+v3=9 —> 0 +v3=9 —> v3=9u2+v4=20 —> 0+v4=20 —> v4=20u3+v4=18 —> u3+20=18 —> u3=-2

23


1 2 3 4 O ui

10 10 0 0 + 20 -2 11

15 -75 - 10 + - -

2-5 12 0 7 0 9 0 20

25 0- 5 - 15 5 +

3-15 0 -1 4 + 16 0 18

5 -2- + - - 5 -

D 5 15 15 10

vj 17 7 9 20 C=410

Entra la variable con el hij más negativo. Si no existe ningún negativo, sellegó al óptimo. Con la variable entrante se forma un circuito.

Entra

24


1 2 3 4 O ui

10 10 0 0 + 20 -2 11

15 -75 - 10 + - -

2-5 12 0 7 0 9 0 20

25 0- 5 - 15 5 +

3-15 0 -1 4 + 16 0 18

5 -2- + - - 5 -

D 5 15 15 10

vj 17 7 9 20

C=410

Se determina la variable que sale de entre los xij que presentan un - .Se escoge el de menor valor, y en caso de empate se elige el de mayorcosto. toma el valor del xij que sale.

Sale

=5

25


1 2 3 4 O ui

10 10 0 0 + 20 -2 11

15 -70 15

2-5 12 0 7 0 9 0 20

25 00 15 10

30 0 + 4 + 16 + 18

5 -175

D 5 15 15 10

vj 17 7 9 20

C=335

Se actualizan los valores de los xij sumando o restando en los casosque corresponda y se recalcula el costo. Se vuelve al paso 2.

u1+v1=10

u1+v2=0

u2+v2=7

u2+v3=9

u2+v4=20

u3+v1=0

26


1 2 3 4 O ui

10 10 0 0 + 20 0 11

15 00 5 10

2-5 12 0 7 0 9 + 20

25 710 15

30 0 + 4 + 16 + 18

5 -105

D 5 15 15 10

vj 10 0 2 11

C=315

Se actualizan los valores de los xij sumando o restando en los casosque corresponda y se recalcula el costo. Se vuelve al paso 2.

u1+v1=10

u1+v2=0

u1+v4=11

u2+v2=7

u2+v3=9

u3+v1=0

27


1 2 3 4 O ui

10 10 0 0 + 20 0 11

15 00 5 10

2-5 12 0 7 0 9 + 20

25 710 15

30 0 + 4 + 16 + 18

5 -105

D 5 15 15 10

vj 10 0 2 11

C=315

Recalculamos.

u1+v1=10

u1+v2=0

u1+v4=11

u2+v2=7

u2+v3=9

u3+v1=0

Método Vogel

28

Este método es heurístico y suele producir una mejor solución inicial que los

métodos anteriores. De hecho, suele producir una solución inicial óptima, o

próxima al nivel óptimo.

Los pasos del procedimiento son los siguientes

1. Evalúese una penalización para cada renglón (columna) restando el menor

elemento de costo del renglón (columna) del elemento de costo menor siguiente

en el mismo renglón (columna).

2. Identifíquese el renglón o columna con mayor penalización, rompiendo

empates en forma arbitraria. Asigne el mayor valor posible a las variables con el

costo más bajo del renglón o columna seleccionado. Ajústese la oferta y la

demanda y táchese el renglón o columna satisfecho. Si un renglón y una

columna se satisfacen al mismo tiempo, sólo uno de ellos se tacha y al renglón

(columna) restante se le asigna una oferta (demanda) cero. Cualquier renglón o

columna con oferta o demanda cero no debe utilizarse para calcular

penalizaciones futuras (en el paso 3).

Método de Vogel.

29

3.

a) si sólo hay un renglón o columna sin tachar, deténgase.

b) si sólo hay un renglón (columna) con oferta (demanda) positiva sin

tachar, determínese las variables básicas del renglón ( columna) a través

del método de costo mínimo.

c) si todos los renglones o columnas sin tachar tiene oferta y demanda

cero asignadas, determínese las variables básicas cero a través del

método de costo mínimo.. Deténgase.

d) de lo contrario, calcúlese las penalizaciones de los renglones y columnas

no tachados y después diríjase al paso 2. (Obsérvese que los renglones

y columnas con oferta y demanda cero asignadas no deben

utilizarse para determinar estas penalizaciones).

Ejemplo: Problema de Transporte

Uno de los productos más de la P & T Company es

chícharo enlatado. Los chícharos se preparan en tres

enlatadoras cercanas a Bellingham en Washington; a

Eugene en Oregon; y Albert Lea en Minnesota y

después se envián por camión a cuatro almacenes de

distribución. Sacramento – California; Salt Lake City –

Utah; Rapid City – South Dakota; y Albuquerque –

Nuevo México en el oeste de los Estados Unidos, como

se muestra en el mapa.

Almacenes

Enlatadores

Ejemplo: Problema de Transporte

Debido a que los costos de embarque constituyen un

gasto importante, la administración ha iniciado un

estudio para reducirlos a su mínima expresión. Se ha

estimado la producción de cada enlatadora durante la

próxima temporada y se asignado a cada almacén

cierta cantidad de la producción total de chícharos. En la

tabla siguiente se muestra la información en unidades

de carga de camión, junto con el costo de transporte de

camión por camión cargado de cada combinación

enlatadora-almacén.

.

Datos de transporte de P & T Co.

Coste de Embarque $ por carga Producción

Almacén

1 2 3 4

Enlatadora 1 464 513 654 867 75

Enlatadora 2 352 416 690 791 125

Enlatadora 3 995 682 388 685 100

Asignación 80 65 70 85

Representación de Red del

problema

E3

E2

E1A1

A2

A3

A4

464

654

513

867

352

416

690

791685

682

995

388

75

100

125

80

65

70

85

Optimizando

Min

s. a:

m

i

n

j

ijij xcZ1 1

85

70

65

80

100

125

75

342414

332313

322212

312111

34333231

24232221

14131211

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

3433

3231242322

2114131211

685388

682995791690416

352867654513464

xx

xxxxx

xxxxxZ

Matriz

Solución

Solución Gráfica

2. Constructora. ¿Qué cantidad de grava enviarde cada distribuidor a cada proyectocon el objeto de minimizar los costos totales?

Sujeto a:• No enviar más de; 150 tons. del distribuidor 1,

175 tons. del distribuidor 2 y 275 tons. deldistribuidor 3.

• Enviar 200 tons. al proyecto 1, 100 tons. alproyecto 2 y 300 tons. al proyecto 3.

Distribución de grava a Proyectos

• Los costos de envío del distribuidor i al proyecto j son los siguientes:• Costo del distribuidor 1 al proyecto 1, C11=$6

• Costo del distribuidor 1 al proyecto 2, C12=$8• Costo del distribuidor 1 al proyecto 3, C13=$10

• Costo del distribuidor 2 al proyecto 1, C21 =$7• Costo del distribuidor 2 al proyecto 2, C22=$11• Costo del distribuidor 2 al proyecto 3, C23=$11• Costo del distribuidor 3 al proyecto 1, C31 =$4• Costo del distribuidor 3 al proyecto 2, C32=$5• Costo del distribuidor 3 al proyecto 3, C33=$12


Variables de decisión

XIJ = Número de toneladas a enviar deldistribuidor “I” al proyecto “J”.donde i=1..3(distribuidor) y j=1..3(proyecto)

Función objetivo

Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22

+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33


Restricciones de disponibilidad

X11 + X12 + X13 150

X21 + X22 + X23 175

X31 + X32 + X33 275

Restricciones de requerimientos

X11 + X21 + X31 = 200

X12 + X22 + X32 = 100

X13 + X23 + X33 = 300


Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22

+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33

X11 + X12 + X13 150

X21 + X22 + X23 175

X31 + X32 + X33 275

X11 + X21 + X31 = 200

X12 + X22 + X32 = 100

X13 + X23 + X33 = 300

X11, X12, X13 .... X33 0

Sujeto a:


Solución

Red de Distribución

Ejemplo de Transporte

Suponga que una empresa posee dos plantas que elaboran

un determinado producto en cantidades de 250 y 450

unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben

ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas

diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los

costos de transporte (en $/unidad) son:

C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3 Suplen

Planta 1 $21 $25 $15 250

Planta 2 $28 $13 $19 450

Demanda 200 200 250


Diagrama:

Planta 1

Planta 2

C.D.2

C.D.1

C.D.3

X11

X12

X21 X22

X13

X23

Orígenes Destinos


Variables de decisión:

xij = Unidades transportadas desde la planta i(i=1,2), hasta el centro de distribución j (j=1,2,3)

Función Objetivo:

Minimizar el costo total de transporte dado por lafunción:

21x11+25x12+15x13+28x21+13x22+19x23


Restricciones del problema:

1) No Negatividad: xij 0

2) Demanda:

CD1 : x11 +x21 = 200

CD2 : x12 +x22 = 200

CD3 : x13 + x23 = 250


3) Oferta :

P1 : x11 + x12 + x13 250

P2 : x21 + x22 + x23 450

Las variables de decisión deben aceptar

soluciones como números reales para tener un

modelo de P.L.

Solución

Resolver el problema de Transporte

D1 D2 D3 D4 Fuente

F1 2 2 5 4 9

F2 6 3 4 4 16

F3 6 2 7 3 30

F4 2 6 4 3 4

D 10 17 18 14 59

Solución

Ejemplo: Destino Ficticio La Northern Airplane Company construye aviones

comerciales para varias líneas áreas de todo el mundo.

La última etapa del proceso de producción consiste en

fabricar los motores de turbina e instalarlos.-una

operación muy rápida- en la estructura del avión

terminado. La compañía tiene varios contratos de

trabajo que la obligan a entregar un número

considerable de aviones en un futuro cercano y en este

momento debe programar la producción de motores de

turbina para los próximos cuatro meses.

Ejemplo: Destino Ficticio

En la segunda columna de la tabla siguiente se indica la

cantidad de motores que deben estar listos para su

instalación a fin de cumplir con las fechas de entrega

contratadas. De ella se desprende que el número

acumulado de motores que deben producirse al final de

los meses 1,2,3 y 4 deben ser por lo menos de 10, 25,

50 y 70 unidades, respectivamente.

Las instalaciones disponibles para producir los motores

varían de acuerdo con otros programas de producción,

mantenimiento y renovación durante el período.

Ejemplo: Destino FicticioLas diferencias

mensuales debidas al

número máximo que

se puede producir y el

costo unitario de

producción (en

millones $) se

presentan en la

tercera y cuarta

columna.

Mes Instalaciones

programadas

Producción

máxima

Costo

unitario de

producción

Costo

unitario

de

almacenaj

e

1 10 25 1.08 0.015

2 15 35 1.11 0.015

3 25 30 1.10 0.015

4 20 10 1.13 0.015


Dadas las variaciones de los costos de producción,

podría valer la pena fabricar algunos motores un mes o

más antes de su fecha de instalación; en la actualidad

se estudia esta posibilidad. El inconveniente es que

esos motores deberán almacenarse hasta que sean

instalados – la estructura de los aviones no estará lista

antes .- El costo de almacenamiento de cada motor es

de 15 mil dólares por mes.- incluye el interés sobre el

capital invertido.


El gerente de producción quiere desarrollar la

programación del número de motores que se

deben fabricar en cada uno de los cuatro

meses, de manera que se minimicen los

costos totales de producción y

almacenamiento.

Pasos para la solución

ijX

• Origen i = producción de motores de turbina en el mes i

(i=1,2,3,4)

• Destino j = instalación del motor de turbina en el mes j

(j=1,2,3,4)

• número de motores producidos en el mes i para

instalarlos en el mes j. (i ≤ j)

• Si = número de motores producidos en el mes i

• Dj = número de instalaciones programadas en el mes j.

• Cij = Costo asociado con cada unidadijX

Tabla de costos

Mes Costo por unidad distribuida

Destino

Recursos

1 2 3 4 5

1

2

3

4

1.080 1.095 1.110 1.125 0 25

M 1.110 1.125 1.140 0 35

M M 1.100 1.115 0 30

M M M 1.130 0 10

Demanda 10 15 25 20 30

Ori

gen

Ingresar los datos siguientes

Solución

RED del Modelo

Ejemplo de Transporte (Origen

Ficticio)

El Metro Water District es una dependencia que

administra la distribución de agua en cierta región

geográfica grande. La región es bastante árida, por lo

que debe comprar y traer agua del exterior. Las fuentes

de esta agua importada son los ríos Colombo, Sacron y

Calorie. El distrito revende el agua a los usuarios de la

región. Sus clientes principales son los departamentos

de aguas de las ciudades de Berdoo, Los Devils, San

Go y Hollyglass.

Datos de recursos de agua del Metro

Water District

Costo en (en decenas de millones de dólares ) por

unidad distribuida

Recursos

Berdoo Los Devils San Go Hollyglass

Río Colombo 16 13 22 17 50

Río Sacron 14 13 19 15 60

Río Calorie 19 20 23 -- 50

Mínimo

necesario

30 70 0 10 (en millones

de acres-

pie)Solicitado 50 70 30

Es posible hacer llegar a cualquiera de estas ciudades desdecualquiera de los tres ríos, con excepción de que no hayforma de abastecer a Hollyglass con agua del río Calorie.Sin embargo, dada la distribución geográfica de losacueductos y las ciudades en la región, el costo delabastecimiento del distrito depende tanto de la fuente comode la ciudad a la que abastece.

La administración del distrito tiene que resolver el problemade cómo asignar el agua disponible durante el próximoverano. En la columna del lado derecho de la tabla anteriorproporciona las cantidades disponibles en los tres ríos, enunidades de un millón de acres-pie. El distrito se comprometea proporcionar una cantidad mínima para cumplir con lasnecesidades esenciales de cada ciudad.

Con la excepción de San Go, que tiene una fuente

independiente de agua; estas necesidades mínimas se

muestran en el renglón correspondiente de la tabla. El

renglón de solicitado indica que Los Devils no quiere más

agua que la que cubre sus necesidades mínimas, pero

Berdoo compraría hasta 20 más, San Go hasta 30 más y

Hollyglass compraría toda la que pudiera obtener.

La administración desea asignar toda el agua disponible de

los tres ríos de manera que por lo menos se cumpla con las

necesidades mínimas de cada ciudad y al mismo tiempo se

minimice el costo total para el distrito.

Cantidad mínima= (50+60+50) - (30+70+0)=60

Demanda (50+70+30+60) – (50+60+50) = 50

Tabla de parámetros sin las necesidades

mínimas del Metro Water District

Costo en (en decenas de millones de dólares ) por

unidad distribuida

Recursos

Berdoo Los Devils San Go Hollyglass

Río Colombo 160 130 220 17 50

Río Sacron 140 130 190 15 60

Río Calorie 190 200 230 M 50

Ficticio 0 0 0 0 50

Demanda 50 70 30 60

Usando WindQsb (Redes)

Solución

Solución en RED

Características

La oferta o suministro en cada origen es limitada.

En cada destino la demanda está definida oespecificada.

El objetivo en el problema de transbordo es determinarcuantas unidades deberán embarcarse por cada uno delos arcos de la red, de manera que todas las demandas-destinos se satisfagan al costo de transporte mínimoposible.

Ejemplo 1: Una fábrica posee dos plantas de manufactura,

una en Memphis y otra en Denver.

La planta de Memphis puede producir hasta 150unidades al día, la de Denver hasta 200 unidadesal día. Los productos son enviados por avión aLos Angeles y Boston. En ambas ciudades, serequieren 130 unidades diarias. Existe unaposibilidad de reducir costos enviando algunosproductos en primer lugar a New York o aChicago y luego a sus destinos finales. Loscostos unitarios de cada tramo factible se ilustranen la siguiente tabla:

Tabla de Costos de transporte

Memphis Denver N.Y. Chicago L.A. Boston

Memphis 0 - 8 13 25 28

Denver - 0 15 12 26 25

N.Y. - - 0 6 16 17

Chicago - - 6 0 14 16

L.A. - - - - 0 -

Boston - - - - - 0

Hacía

Desd

e

La fábrica desea satisfacer la demanda, minimizando el costo total de

envío. En este problemas, Memphis y Denver son puntos de oferta de

150 y 200 unidades respectivamente. New York y Chicago son puntos

de transbordo. Los Ángeles y Boston son puntos de demanda de 130

unidades cada uno.

150

130

130

200

Solución: A continuación construiremos un problema de

transporte balanceado a partir del problema detransbordo. Para ello podemos seguir los siguientespasos (suponiendo que la oferta excede a lademanda):

Paso 1. Si es necesario, se debe agregar un puntode demanda ficticio (con oferta 0 y demanda igual alexcedente) para balancear el problema. Los costosde envío al punto ficticio deben ser cero. Sea S laoferta total disponible.

Paso 2. Construir una tabla de transporte siguiendolas siguientes reglas:

Solución: Incluir una fila por cada punto de oferta y de transbordo.

Incluir una columna por cada punto de demanda y detransbordo.

Cada punto i de oferta debe poseer una oferta igual a su ofertaoriginal si. Cada punto de demanda j debe poseer unademanda igual a su demanda original dj .

Cada punto de transbordo debe tener una oferta igual a suoferta original + S y una demanda igual a su demanda original+ S. Como de antemano no se conoce la cantidad quetransitaría por cada punto de transbordo, la idea es asegurarque no se exceda su capacidad. Se agrega S a la oferta y a lademanda del punto de transbordo para no desbalancear latabla.

Solución:

En el ejemplo, S = 150+200 = 350. La demanda total es130+130 = 260. Luego, el punto ficticio debe tener unademanda =90.

Como en el ejemplo los puntos de transbordo no tienen nidemanda ni oferta por sí mismos, la oferta y demanda enla tabla deber ser igual a s.

Una vez planteado la tabla, se pueden emplear losmétodos vistos anteriormente para obtener una solucióninicial factible y obtener la solución óptima.

Modelo deTransbordo

N.Y. Chicago L.A. Boston Ficticio Oferta

Memphis 8 13 25 28 0 150

Denver 15 12 26 25 0 200

N.Y. 0 6 16 17 0 350

Chicago 6 0 14 16 0 350

Demanda 350 350 130 130 90

Solución del problema de transbordo

Análisis de Sensibilidad: Para interpretar la solución, es preciso revisar cuidadosamente las

combinaciones asignadas. De la primera fila, vemos que deMemphis sólo se despacharon 130 unidades a New York del totalde 150 disponibles, el excedente de 20 unidades está asignadoal punto artificial. De la segunda fila se desprende que deDenver se enviaron 130 unidades a Boston del total de 200disponibles, quedando 70 asignadas al punto ficticio. En latercera fila vemos que se enviaron desde el punto de transbordoen New York 130 unidades a Los Angeles. La asignación de 220de N.Y. a N.Y. significa que del total de unidades en tránsito, 220no pasaron por dicho nodo de transbordo, o bien, que no seemplearon 220 unidades de la capacidad del punto. Finalmente,en la cuarta fila, la asignación de 350 del punto de transbordode Chicago a Chicago representa simplemente que no seempleó el punto de transbordo.

Gráficamente, la solución óptima resulta:

EJEMPLO 2

Dos fábricas de automóviles, P1 y P2, están conectadas a

tres distribuidores, D1, D2 y D3, por medio de dos centros

de tránsito, T1 y T2, de acuerdo con la red que se muestra

en la siguiente diapositiva

Las cantidades de la oferta en las fábricas P1 y P2, son de

1000 y 1200 automóviles, y las cantidades de la demanda

en las distribuidoras D1, D2 y D3, son de 800, 900 y 500

automóviles. El costo de envío por automóvil (en decenas

de dólares) entre los pares de nodos, se muestra en los

eslabones (arcos) de conexión de la red

800

900

500

1200

1000

D3

D2

D1

T1

T2

P1

P2

3

4

425

8

65

39

RED - MODELO DE ASIGNACION

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

Cada vez que se plantea un problema de

programación lineal, se procede cumpliendo las

siguientes etapas:

1.- Comprensión del problema (lectura en detalle)

2.- Definición de las variables de decisión

3.- Descripción de la función objetivo

4.- Identificación de las restricciones del problema


Se plantea identificando como variables de decisión a todas

las posibilidades de flujos de asignación, a transferir entre

los nodos de la red de transbordo

Se define como función objetivo la minimización

de los costos de transporte asociados al

transbordo

Las restricciones corresponden a un balance de

transferencia de unidades para cada nodo de la red de

asignación, sin olvidar la condición de no negatividad

800

900

500

1200

1000 T1

T2

P1

P2

XP1T1

XP2T2

XD

1D

2X

D2D

3

D2

D1

D3


Red para plantear el PPL:

F.O. Mín Z = 3XP1T1 + 4XP1T2 + 2XP2T1 + 5XP2T2 + 8XT1D1 +

6XT1D2 + 4XT2D2 + 9XT2D3 + 5XD1D2 + 3XD2D3

s.a. : 1000 = XP1T1 + XP1T2

1200 = XP2T1 + XP2T2

XP1T1 + XP2T1 = XT1D1 + XT1D2

XP1T2 + XP2T2 = XT2D2 + XT2D3

XT1D1 = XD1D2 + 800

XT1D2 + XT2D2 + XD1D2 = XD2D3 + 900

XT2D3 + XD2D3 = 500

Xij > 0


EJEMPLO DE TRANSBORDO

El transbordo ocurre ya que la cantidad de la oferta de 2200

(1000 + 1200) automóviles en los nodos P1 y P2, requiere

pasar a través de los nodos de transbordo de la red (T1 y T2)

,antes de llegar a sus puntos de destino en los nodos D1, D2

y D3

• Nodos puros de Oferta

• Nodos de Transbordo

• Nodos puros de Demanda

El modelo de transbordo se convierte a un modelo de

transporte con seis puntos de origen (P1, P2, T1, T2, D1 y D2)

y cinco de destino (T1, T2, D1, D2 y D3)

P1, P2

D3

T1, T2, D1, D2

NODOS PUROS DE OFERTA

Y NODOS PUROS DE DEMANDA

Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos

puros de oferta y puros de demanda, queda:

Oferta en un Nodo puro de Oferta

Demanda en un Nodo puro de Demanda

Oferta Original

Demanda Original

Un nodo puro de oferta no posee amortiguador

Un nodo puro de demanda no posee amortiguador

NODOS DE TRANSBORDO

Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos de

transbordo, se establece de acuerdo a:

Oferta en un Nodo de Transbordo

Demanda en un Nodo de Transbordo

Oferta Original

Amorti-guador

Demanda Original

Amorti-guador

+

+

La oferta necesariamente posee un amortiguador,

mientras que a veces se encuentra oferta original

La demanda necesariamente posee amortiguador,

mientras que en ocasiones hay demanda original

Matriz de transbordo

Resuelto como un PPL

SOLUCION

Solución gráfica del modelo

U$ 207,000.00

4

2

8

6

4 3

F1

F2

T1

T2

T3

7

8

9

6

5

4

3

65

1

2

7

1

4

1

5

6

78

9

200

300

100

200

50

Para resolver

1

2

53

64

1

4

2

3

100

200

150

150

1 3

6

5

8

1

La red de la figura, muestra las rutas de transporte de los nodos 1 y 2 a los

nodos 5 y 6, pasando por los nodos 3 y 4. Se ven, en los arcos respectivos, los

costos unitarios de transporte.

a. Formule el modelo correspondiente de transbordo

b. Resuelva el modelo e indique cual es la solución ópt

Los Problemas de Asignación

Introducción

El problema de asignación es un tipoespecial de problema de programación linealen el que los asignados son recursosdestinados a la realización de tareas

Ejemploo:

Empleados a trabajo

Máquinas a tareas

Períodos a tareas

Supocisiones de un problema de asignación

1. El número de asignados es igual al número detareas (se denota por n). (esto puede variar)

2. Cada asignado se asigna exactamente a unatarea.

3. Cada tarea debe realizarla exactamente unasignado.

4. Existe un costo cij asociado con el asignado i(i=1,2,…,n).

5. El objetivo es determinar cómo deben hacerselas asignaciones para minimizar los costostotales.

Caso Fowle Marketing Research

1 2 3

1. Terry 10 15 9

2. Carla 9 18 5

3. Roberto 6 14 3

Jefe de

Proyecto

Cliente

Tiempos estimados de terminación del

proyecto ( en días)

Problema de la Fowle

Representación en Red

J1[1]

J2[1]

J3[1]

C1 [1]

[1]

[1]

C2

C3

18

3

Jefes de Proyecto

Nodos de Origen

Clientes

Nodos de DestinoAsignaciones Posibles

Arcos

Variables de decisión

así es no si

cliente al proyecto de jefe el asigna se si

0

1 jixij

Planteamiento matemáticoSea Z tiempo total de terminación

)4,3,2,1;3,2,1(0

1

1

1

1

1

1

nesrestriccio las a Sujeta

3146518991510Min

332313

322212

312111

333231

232221

131211

333231232221131211

jix

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxxZ

ij

Solución

1 2 3

1. Terry 0 1 0 1 = 1

2. Carla 0 0 1 1 = 1

3. Roberto 1 0 0 1 = 1

1 1 1

= = = Costo 26

1 1 1

Asignaciones

Jefe de

Proyecto

Cliente

Representación de red para el problema general

S1[1]

S2[1]

Sm[1]

D1 [1]

D2

[1]

Dm [1]

c11

c12

c1n

c21c22

c2n

cm1 cm2

cmn

Planteamiento matemático modelo general

).y todapara binarias, (y para,0

,,...,2,1 para1

,,...,2,1 para1

a sujeta

min

1

1

1 1

jixjix

njx

mix

xcZ

ijij

m

j

ij

n

j

ij

ij

m

i

n

j

ij

El entrenador de un equipo de natación debe asignar

competidores para la prueba de 200 metros de relevo

combinado que irán a las Olimpiadas Juveniles. Como

muchos de sus mejores nadadores son rápidos en más de

un estilo, no es fácil decidir qué nadador asignar a cada

uno de los cuatro estilos. Los cinco mejores nadadores y

sus mejores tiempos (en segundos) en cada estilo son los

siguientes.

Problema Natación Asignación)

Carlos Cristy David Antony José

Dorso 37.7 32.9 33.8 37 35.4

Pecho 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8

Mariposa 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6

Libre 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1

Tiempo de Nado

Solución

Problema Natación

(Asignación) Solución

Carlos Cristy David Antony José

Dorso 0 0 1 0 0 1 = 1

Pecho 0 0 0 1 0 1 = 1

Mariposa 0 1 0 0 0 1 = 1

Libre 1 0 0 0 0 1 = 1

1 1 1 1 0

<= <= <= <= <=

1 1 1 1 1

TIEMPO Min.

Tiempo de Nado

126.2

Problema de Asignación

El gerente de la línea de producción de una empresaelectrónica debe asignar personal a cinco tareas.Existen cinco operadores disponibles para asignarlos.El gerente de línea tiene a su disposición datos deprueba que reflejan una calificación numérica deproductividad para cada uno de los cinco trabajos. Estosdatos se obtuvieron a través de un examen de operacióny prueba administrado por el departamento de ingenieríaindustrial (véase la tabla siguiente). Suponiendo que unoperador puede ejecutar un solo trabajo, plantee unmodelo que conduzca a la asignación óptima de tareas.

Número de

operador

Número de trabajo

1 2 3 4 5

Op1

Op2

Op3

Op4

Op5

12

6

10

2

7

16

8

6

4

10

24

20

26

2

6

8

14

18

24

6

2

6

12

20

18

1.Formular el modelo como uno de PL

2.Desarrollar el modelo Matemático

Método Húngaro1) A todos los elementos de cada columna restar el menor

elemento de la columna. En la matriz resultante, restar a todos

los elementos de cada fila el menor elemento de la fila. Así se

garantiza la obtención de por lo menos un cero en cada fila y

columna.

2) Con la matriz resultante, verificar la existencia de una solución

óptima. Para encontrarla se debe asignar un cero a cada fila(

comenzando por las que tengan menor Nº de ceros), y

cancelar los demás ceros de esa fila y los ceros de la columna

en la que se encuentra ese cero. Repetir esta operación hasta

que no queden ceros sin asignar o cancelar.

Si no existe solución óptima ir al paso 3.

Método Húngaro3) Realizar lo siguiente:

a) Marcar con un * todas la filas que no contengan

ceros asignados.

b) Marcar todas las columnas que contengan uno o

más ceros cancelados en alguna fila marcada.

c) Marcar toda fila que tenga un cero asignado en una

columna marcada.

d) Repetir b) y c) hasta que no sea posible marcar más

filas o columnas.

e) Poner un trazo (línea) sobre toda fila no marcada y

sobre toda columna marcada.

Método Húngaro

4) Tomar el menor número no atravesado por un

trazo(línea) y:

• Restarlo a todos los elementos de las filas no

atravesadas.

• Sumarlo a todos los elementos de columnas

atravesadas.

Volver al paso 2.

Ejemplo de Asignación

Se desea asignar 4 máquinas a 4 lugares posibles. A

continuación se presentan los costos asociados.

Maquina\Lugar 1 2 3 4

1 3 5 3 3

2 5 14 10 10

3 12 6 19 17

4 2 17 10 12

Ejemplo (cont.)

Paso 1.

1 2 3 4

1 0 2 0 0

2 0 9 5 5

3 6 0 13 11

4 0 15 8 10

1 2 3 4

1 0 2 0 0

2 0 9 5 5

3 6 0 13 11

4 0 15 8 10

Paso 2.

No hay óptimo pues

hay 3 asignaciones

que es <4

Ejemplo (cont.)

Paso 3.a) *

* *

b)

00201

1509

2

8135

3

10115

4

046302

100201

1509

2

8135

3

10115

4

046302

1

*

*

c)

00201

1509

2

8135

3

10115

4

046302

1

*

d) No es posible marcar

más filas ni columnas

00251

1004

2

3130

3

5110

4

0411302

1

Ejemplo (cont.)

Paso 3.e)

*

00201

1509

2

8135

3

10115

4

046302

100251

1004

2

3130

3

5110

4

0411302

1*

*

Paso 4. El menor número es 5

Paso 2. Óptimo pues hay 4 asignaciones:• Máq. 1 a lugar 3• Máq. 2 a lugar 4• Máq. 3 a lugar 2• Máq. 4 a lugar 1

Costo total=21

Problema de Asignación

Se deben utilizar cuatro barcos cargueros para

transportar bienes de un puerto a otros cuatro puertos

(numerados 1,2,3, y 4). Se puede usar cualquier barco

para hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo,

dadas algunas diferencias entre los barcos y las cargas,

el costo total de carga, transporte y descarga de bienes

de las distintas combinaciones de barcos y puertos varía

de manera considerable. Estos costos se muestran en la

tabla siguiente.

Tabla de datos

Puerto

1 2 3 4

Barcos

1 $500 $400 $600 $700

2 $600 $600 $700 $500

3 $700 $500 $700 $600

4 $500 $400 $600 $600

El objetivo es asignar los barcos a los puerto en

una correspondencia uno a uno de manera que se

minimice el costo total de los cuatro envíos.

Formule el modelo como un PPL

Obtenga una solución óptima

Muestre la solución en gráfico de red

Obtenga la solución como un problema

de asignación.

Aplique en forma manual el algoritmo

húngaro. Al problema de costos

(Asignación)

Tarea

Personas

1 2 3

A 4 6 5

B 7 4 5

C 4 7 6

D 5 3 4

4

5

6

4

7

Mas Problemas de Asignación

Definición del Problema

* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.

* Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i que

realizara el trabajo j.

* Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la

asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le

corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la

óptima posible.

Electrónica Ballston

Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas

de producción que necesitan ser inspeccionadas.

El tiempo para realizar una buena inspección de un

área de pende de la línea de producción y del área de

inspección.

La gerencia desea asignar diferentes áreas de

inspección a inspectores de productos tal que el tiempo

total utilizado sea mínimo.

Datos

* Tiempo de inspección en minutos para la línea de

ensamble de cada área de inspección.

Area de InspecciónA B C D E

1 10 4 6 10 12 Linea 2 11 7 7 9 14Ensamble 3 13 8 12 14 15

4 14 16 13 17 175 19 17 11 20 19

RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA

1

2

3

4

5

Línea de ensamble Área de Inspección

A

B

C

D

E

S1=1

S2=1

S3=1

S4=1

S5=1

D1=1

D2=1

D3=1

D4=1

D5=1

Supuestos restricciones

* El número de trabajadores es igual al número de empleos.

* Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es

asignado sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo

trabajador.

* Para un problema desbalanceado se debe agregar un

trabajador “ficticio” (en el caso de que existan más trabajos que

trabajadores) o un empleo “ficticio” (en el caso de que existan

más trabajadores que trabajos), quedando así el problema

balanceado.

Solución mediante el método Húngaro

Problema:

El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta

pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4

secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo

asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que

realiza el trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas

y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la

siguiente tabla:

Capítulos

Secretaría 13 14 15 16

Juana 96 99 105 108

María 116 109 107 96

Jackeline 120 102 113 111

Edith 114 105 118 115

Restricciones del Método

* Solo problemas de minimización.

* Número de personas a asignar m es igual al número de

lugares m.

* Todas las asignaciones son posibles

* Una asignación por persona y una persona por asignación

Matriz de CostosCapítulos


Juana 96 99 105 108

María 116 109 107 96

Jackelin 120 102 113 111

Edith 114 105 118 115

Restar el Menor valor de cada filaCapítulos


Juana 0 3 9 12

María 20 13 11 0

Jackeline 18 0 11 9

Edith 9 0 13 10

Restar el menor valor de cada columna en la matriz

anteriorCapítulos


Juana 0 3 0 12

María 20 13 2 0

Jackeline 18 0 2 9

Edith 9 0 4 10

Trazar el mínimo número de líneas que cubran los

ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.Capítulos


Juana 0 3 0 12

María 20 13 2 0

Jackelin 18 0 2 9

Edith 9 0 4 10

Si el número de líneas es igual al número de filas se esta

en la solución óptima, sino identificar el menor valor no

rayado restárselo a los demás números no rayados y

sumarlo en las intersecciones.

Pare este caso corresponde al valor 2

Capítulos


Juana 0 5 0 14

María 18 13 0 0

Jackeline 16 0 0 9

Edith 7 0 2 10

Las asignaciones corresponde a los valores donde

existen 0

Juana Cap. 13

María Cap. 16

Jackeline Cap. 15

Edith Cap. 14

*Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410

Casos especiales

* Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en

particular

* Cuando un trabajador puede ser asignado a más de un

trabajo.

* Un problema de maximización.

universidad nacional autónoma de nicaragua unan … · metodologías para problemas de redes. v...

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