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Aplicaciones de Programación Lineal

3

El objetivo general es encontrar el mejor plan de distribución, esdecir, la cantidad que se debe enviar por cada una de las rutas desdelos puntos de suministro hasta los puntos de demanda.

El “mejor plan” es aquel que minimiza los costos totales de envío,produzca la mayor ganancia u optimice algún objetivo corporativo.

Se debe contar con:

i) Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demandaen cada destino.

ii) Costo de transporte unitario de mercadería desde cadafuente a cada destino.

2.1 Modelo de Transporte

4

También es necesario satisfacer ciertas restricciones:

1. No enviar más de la capacidad especificada desde cada punto desuministro (oferta).

2. Enviar bienes solamente por las rutas válidas.

3. Cumplir (o exceder) los requerimientos de bienes en los puntosde demanda.


5


Esquemáticamente se podría ver como se muestra en la siguientefigura

DestinosFuentes

1 1

22

nm

s2

sm

d2

s1d1

dn

......

Xij: cantidad transportada desde la fuente i al destino j

C11, X11

Cmn, Xmn

Cij: Costo del transporte unitario desde la fuente i al destino jdonde

Gráficamente: Para m fuentes y n destinos

Modelo general de PL que representa al modelo de Transporte

6

ox

dx

sx

xcZ

ij

j

m

iij

i

n

jij

m

i

n

jijij

1

1

1 1

j=1,2,...,n

i=1,2,...,m

El modelo implica que al menos la oferta debe ser igual a la demanda

para toda i y j

minimizar

s a


Modelo general de PL que representa al modelo de Transporte

7

Modelo de transporte equilibrado: Oferta = Demanda

i

n

jij Sx

1

j=1, 2, 3,....,nj

m

iij Dx

1

i=1, 2, 3,....,m

0ijx para toda i y j


Aplicaciones del modelo de Transporte

8

El Modelo de Transporte no sólo es aplicable al movimiento deproductos, sino que también, como modelo se puede aplicar a otrasáreas tales como:

• Planificación de la Producción

• Control de Inventarios

• Control de Proveedores

• Otras


Ejemplo:

RPG tiene cuatro plantas ensambladoras en Europa. Estánubicadas en Leipzig, Alemania (1);Nancy, Francia (2); Lieja,Bélgica (3), y Tilburgo, Holanda (4). Las máquinasensambladoras usadas en estas plantas se producen en EstadosUnidos y se embarcan a Europa. Llegaron a los puertos deAmsterdan (1), Amberes (2) y El Havre (3).

Los planes de producción del tercer trimestre (julio aseptiembre) ya han sido formulados. Los requerimientos (lademanda en destinos) de motores diesel E-4 son lossiguientes:


Planta Cantidad de Motores(1) Leipzig 400(2) Nancy 900(3) Lieja 200(4) Tilburgo 500

Total 2000

Puerto Cantidad de Motores(1) Amsterdan 500(2) Amberes 700(3) El Hevre 800

Total 2000

La cantidad disponible de máquinas E-4 en los puertos(oferta en orígenes) son:


11

Los costos ($) de transporte de un motor desde un origen a un destino son:

Desde el origen 1 2 3 4

1 12 13 4 6

2 6 4 10 11

3 10 9 12 4

Al destino


12

1. Variables de decisión

Xij = número de motores enviados del puerto i a la planta j

i = 1, 2, 3

j = 1, 2, 3, 4

Construcción del modelo de PL

2. Función Objetivo

Minimizar Z = 12 X11 + 13 X12 + 4X13 + 6X14 + 6X21 + 4X22 + 10X23 + 11X24 + 10X31 + 9X32 + 12X34 + 4X14


13

X11 + X21 + X31 400

X12 + X22 + X32 900

X13 + X23 + X33 200

X14 + X24 + X34 500

1) Oferta: La cantidad de elementos enviados no puede exceder lacantidad disponible

X11 + X12 + X13 + X14 500

X21 + X22 + X23 + X24 700

X31 + X32 + X33 + X34 800

3. Restricciones:

2) Demanda: Debe satisfacerse la demanda de cada planta

Xij 0 para i=1, 2, 3; j= 1, 2, 3, 4 y de no negatividad


Solución del Modelo de Transporte


Algoritmos Específicos

2.1.1 Regla de la esquina noroeste (MEN)2.1.2 Método por aproximación de Vogel (MAV)2.1.3 Método del costo mínimo (MCM)2.1.4 Método del paso secuencial y2.1.5 DIMO (método de distribución modificada)

15


Descripción de los algoritmos

16

La regla de la esquina noroeste, el método de aproximaciónde Vogel y el método del costo mínimo son alternativas paraencontrar una solución inicial factible.

El método del escalón y el DIMO son alternativas paraproceder de una solución inicial factible a la óptima.

Por tanto, el primer paso es encontrar una solución inicialfactible, que por definición es cualquier distribución deofertas que satisfaga todas las demandas


Descripción de los algoritmos

17

Una vez obtenida una solución básica factible, el algoritmoprocede paso a paso para encontrar un mejor valor para lafunción objetivo.

La solución óptima es una solución factible de costo mínimo

Para aplicar los algoritmos, primero hay que construir unatabla de transporte.


Tabla Inicial

18

DestinosOrigen 1 2 3 4 n Ofertas

1 C11 C12 C13 C14 .... C1n

2 C21 C22 C23 C24 .... C2n

3 C31 C32 C33 C34 .... C3n

... .... ..... .... .... ....

m Cm1 Cm2 Cm3 Cm4 .... Cmn

Demanda


Tabla Inicial del Ejemplo

19

PlantasPuertos 1 2 3 4 Oferta

1 12 13 4 6500

2 6 4 10 11700

3 10 9 12 4800

Demanda 400 900 200 500 2000


2.1.1 Regla de la esquina Noroeste

20

Se inicia el proceso desde la esquina izquierda superior

Se ubican tantas unidades como sea posible en la ruta

Cantidad de Unidades = Mínimo(disponibilidad, demanda)

Las siguientes asignaciones se hacen o bien recorriendo hacia la derecha o bien hacia abajo.

Las demandas se satisfacen recorriendo sucesivamente deizquierda a derecha y las ofertas se destinan recorriendo dearriba hacia abajo.


Primera asignación

21


1 12 13 4 6400 100 500

2 6 4 10 11700

3 10 9 12 4800

Demanda 0 400 900 200 500 2000


Hasta cuarta asignación

22


1 12 13 4 6400 100 100 500

2 6 4 10 11700 0 700

3 10 9 12 4100 700 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000


Esquina Noroeste: Solución final factible

23


1 12 13 4 6400 100 100 500

2 6 4 10 11700 0 700

3 10 9 12 4100 200 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000

Valor FO: 400*12+100*13+700*4+100*9+200*12+500*4= $14.200


2.1.2 Método de aproximación de Vogel (MAV)

24

MAV usa información de costos mediante el concepto de costode oportunidad para determinar una solución inicial factible.

Seleccionar en una fila la ruta más barata y la que le sigue.Hacer su diferencia (penalidad), que es el costo adicional porenviar una unidad desde el origen actual al segundo destino yno al primero.

En nuestro caso, para el puerto1, C13 y C14; Penalidad = 6 - 4

MAV asigna un costo de penalidad por no usar la mejor rutaen esta fila.


2.1.2 Método de aproximación de Vogel

25

Lo anterior se repite para cada fila y cada columna, esto es,determinar todas las penalidades

Los pasos iterativos de MAV son los siguientes:

1. Identificar la fila o columna con la máxima penalidad.

2.Colocar la máxima asignación posible a la ruta no usada quetenga menor costo en la fila o columna seleccionada en el punto1 (los empates se resuelven arbitrariamente)

3. Reajustar la oferta y demanda en vista de esta asignación.

4. Eliminar la columna en la que haya quedado una demanda 0 (ola fila con oferta 0), de consideraciones posteriores.

5. Calcular los nuevos costos de penalidad.



26

El MAV continúa aplicando este proceso en forma sucesivahasta que se haya obtenido una solución factible.

Los resultados obtenidos se muestran en las siguientes tablas



27

PlantasPuertos 1 2 3 4 Oferta Penalidades

1 12 13 4 6 2500

2 6 4 10 11 2700

3 10 9 12 4 5800

Demanda 400 900 200 500 2000

Penalidades 4 5 6 2

Calculadas todas las penalidades, la mayor corresponde a la columna 3 (penalidad = 6)

Paso 1: Identificar máxima penalidad (fila o columna)

Paso 0: Cálculo de penalidades



28

Paso 2: Asignación de unidades (MIN(oferta,demanda))

Paso 3:Reajuste de oferta y demanda


1 12 13 4 6200 300 500

2 6 4 10 11700

3 10 9 12 4800

Demanda 400 900 0 200 500 2000



29

Paso 4: Eliminar columna (fila) con demanda (oferta) 0


1 12 13 4 6200 300 500

2 6 4 10 11700

3 10 9 12 4800

Demanda 400 900 0 200 500 2000



30

Paso 5: Calcular los nuevos costos de penalidad

PlantasPuertos 1 2 3 4 Oferta Penalidades

1 12 13 4 6 6200 300 500

2 6 4 10 11 2700

3 10 9 12 4 5800

Demanda 400 900 0 200 500 2000

Penalidades 4 5 2



31

Repitiendo los pasos anteriores, finalmente se llega a la siguientesolución


1 12 13 4 6200 300 300 500

2 6 4 10 11700 0 700

3 10 9 12 4400 200 200 600 800

Demanda 400 900 0 200 200 500 2000

¿Es solución factible? ¿m + n - 1 = 6? SI

Costo: 200*4+300*6+700*4+400*10+200*9+200*4 = $12.000


2.1.3. Método del Costo Mínimo

32

1. Dada una tabla de transporte

2. Asignar la mayor cantidad de unidades a la variable(ruta) con el menor costo unitario de toda la tabla.

3. Tachar la fila o columna satisfecha.

4. Ajustar oferta y demanda de todas las filas y columnas

5. Si hay más de una fila o columna no tachada repetirlos puntos 2, 3 y 4

Algoritmo

Fundamento

Asignar la mayor cantidad de unidades a una rutadisponible de costo mínimo


2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)

33

Ejemplo: Aplicar MCM a la tabla de transporte


1 12 13 4 6500

2 6 4 10 11700

3 10 9 12 4800

Demanda 400 900 200 500 2000

Unidades a asignar = MIN(200,400) = 200

Existen tres rutas costo mínimo. Elijamos la 1_3Paso 2



34

Paso 3: Tachar fila o columna (columna 3)


1 12 13 4 6200 300 500

2 6 4 10 11700

3 10 9 12 4800

Demanda 400 900 0 200 500 2000

Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. Ir a paso 2

Ajustar ofertas y demandas (fila 1 y columna 3)

Paso 5

Paso 4



35

Paso 4: Tachar ajustar fila 3 y columna 4


1 12 13 4 6200 300 500

2 6 4 10 11700

3 10 9 12 4500 300 800

Demanda 400 900 0 200 0 500 2000

Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. Ir a paso 2Paso 5

Paso 2: Ruta de costo menor -> 3_4 (ó 2_2)Unidades = MIN(500,800) = 500

Paso 3: Tachar columna 4



36


Puertos 1 2 3 4 Oferta1 12 13 4 6

200 300 5002 6 4 10 0

700 0 7003 10 9 12 4

500 300 800Demanda 400 200 900 0 200 0 500 2000


Paso 2: Ruta de costo menor -> 2_2Unidades = MIN(700,900) = 300

Paso 3: Tachar fila2



37


Puertos 1 2 3 4 Oferta1 12 13 4 6

200 300 5002 6 4 10 0

700 0 7003 10 9 12 4 100

200 500 300 800Demanda 400 200 900 0 200 0 500 2000



Paso 3: Tachar columna 2



38


Puertos 1 2 3 4 Oferta1 12 13 4 6

200 300 5002 6 4 10 0

700 0 7003 10 9 12 4 100 0

100 200 500 300 800Demanda 300 400 200 900 0 200 0 500 2000



Paso 3: Tachar fila 3



39


Puertos 1 2 3 4 Oferta1 12 13 4 6 0

300 200 300 5002 6 4 10 0

700 0 7003 10 9 12 4 100 0

100 200 500 300 800Demanda 300 400 200 900 0 200 0 500 2000

Queda sólo una fila sin tachar. TerminarPaso 5


Paso 3: Tachar fila 1 ó columna 1 (sólo una de ellas)



40

Comparación de los resultados

¿Es solución factible? ¿m + n - 1 = 6? SI

Costo: 300*12+200*4+700*4+100*10+200*9+500*4 = $12.000

Método Rutas CostoMEN 6 $14.200MAV 6 $12.000MCM 6 $12.000

Los tres métodos entregan soluciones básicas factibles,pero ninguno asegura que la solución sea óptima.

Conclusión


2.1.4. Método de Pasos Secuenciales

41

Este método comienza con una solución inicial factible.

En cada paso se intenta enviar artículos por una ruta queno se haya usado en la solución factible actual, en tantose elimina una ruta usada actualmente.

En cada cambio de ruta debe cumplirse que:

1. La solución siga siendo factible y

2. Que mejore el valor de la función objetivo

El procedimiento termina cuando no hay cambio de rutasque mejoren el valor de la función.

Fundamento


2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)

42

Usar la solución actual (MEN, MAV o MCM) para crear unatrayectoria única del paso secuencial. Usar estas trayectoriaspara calcular el costo marginal de introducir a la solucióncada ruta no usada.

Si todos los costos marginales son iguales o mayores quecero, terminar; se tendrá la solución óptima. Si no, elegir lacelda que tenga el costo marginal más negativo (empates seresuelven arbitrariamente)

Usando la trayectoria del paso secuencial, determine elmáximo número de artículos que se pueden asignar a la rutaelegida en el punto 2 y ajustar la distribución adecuadamente.

Regrese al paso 1

Algoritmo

1

2

3

4



43

a) Ponga un signo + en la celda de interés no ocupada

b) Ponga un signo - en una celda usada de la misma fila

c) Ponga un + en una celda usada de la misma columna

El proceso continúa alternando los signos + y - tanto en las filascomo en las columnas hasta que se obtenga una sucesión deceldas (trayectoria) que satisfagan dos condiciones

1. Hay un signo + en la celda desocupada original de interés, y

2. Cualquier fila o columna que tenga un signo + debe tener

también un signo - y viceversa.

Algoritmo Paso 1



44

Algoritmo Paso 1


1 12 13 4 6400 100 100 500

2 6 4 10 11700 0 700

3 10 9 12 4100 200 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000

Solución básica factible obtenida aplicando el método de la Esquina Noroeste



45

Algoritmo Paso 1


1 12 13 4 6400 100 - + 100 500

2 6 4 10 11700 0 700

3 10 9 12 4100 + 200 - 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

Trayectoria 1: +C13-C12+C32-C33



46

Algoritmo Paso 1Plantas

Puertos 1 2 3 4 Oferta1 12 13 4 6

400 100 - + 100 5002 6 4 10 11

700 0 7003 10 9 12 4

100 + 200 - 500 0 800Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

1: +(4)-(13)+(9)-(12)= -12 2: +(6)-(13)+(9)-(4) = -2

3: +(6)-(4)+(13)-(12)= 3 4: +(10)-(4)+(9)-(12) = 3

5: +(11)-(4)+(9)-(4) = 12 6: +(10)-(9)+(13)-(12)= 2

Costos de las Trayectorias



47

Algoritmo Paso 2

1: +(4)-(13)+(9)-(12)= -12 2: +(6)-(13)+(9)-(4) = -2

3: +(6)-(4)+(13)-(12)= 3 4: +(10)-(4)+(9)-(12) = 3

5: +(11)-(4)+(9)-(4) = 2 6: +(10)-(9)+(13)-(12)= 2

La solución factible NO es óptima !!

Se selecciona la trayectoria 1 (costo marginal más negativo)



48

Algoritmo Paso 3 (Generación de la nueva tabla)

¿Cuántas unidades se pueden asignar a la ruta elegida?

Acción Ruta Unidades disponibles en celdas decrecientes

Aumentar 1 unidad 1_3

Disminuir 1 unidad 1_2 100

Aumentar 1 unidad 3_2

Disminuir 1 unidad 3_3 200



49

Algoritmo


1 12 13 4 6400 - 100 + 100 500

2 6 4 10 11700 0 700

3 10 9 12 4200 + 100 - 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

Paso 3 (Generación de la nueva tabla)

Costo: $13.000



50

Algoritmo Paso 4

Volver al Paso 1:

Para cada trayectoria evaluar costo marginalPlantas

Puertos 1 2 3 4 Oferta1 12 13 4 6

400 100 100 5002 6 4 10 11

700 0 7003 10 9 12 4

200 100 500 0 800Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000



51

Algoritmo Paso 2: Elección de CMg menor


1 12 13 4 6400 +12 100 +10 100 500

2 6 4 10 11-9 700 +3 +12 0 700

3 10 9 12 4-10 200 100 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

La celda más negativa es c 31 (-10) y la trayectoria es: C31 – C33 + C13 – C11



52


¿Cuántas unidades se pueden asignar a la ruta elegida?

Acción Ruta Unidades disponibles enceldas decrecientes

Aumentar 1 unidad 31

Disminuir 1 unidad 33 100

Aumentar 1 nidad 13

Disminuir 1 unidad 11 400



53


Costo: $12.000


1 12 13 4 6300 200 100 500

2 6 4 10 11700 0 700

3 10 9 12 4100 200 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000



54

Algoritmo Paso 4

Volver al Paso 1:

Para cada trayectoria evaluar costo marginalPlantas

Puertos 1 2 3 4 Oferta1 12 13 4 6

300 200 100 5002 6 4 10 11

700 0 7003 10 9 12 4

100 200 500 0 800Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000



55

Algoritmo Paso 2: Determinar costos marginales

Todas rutas son no negativas (positivas o cero)Solución factible óptima!!! $12.000Compare esta solución con la obtenida con MAV y MCM ¿ ...?


1 12 13 4 6300 +2 200 0 100 500

2 6 4 10 11+1 700 +13 +12 0 700

3 10 9 12 4100 200 +10 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000


2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)

56

Algoritmo

1. Usar la solución actual (NE, MAV o MCM) y las siguientesoperaciones (a) y (b) para determinar el costo marginal de enviarmaterial para cada una de las rutas no usadas.

Asociar a cada fila un índice ui y a cada columna un índice vj

a) Hacer u1 = 0. Encuéntrese los índices de las filas u2, ..., um y losíndices de las columnas v1, ...., vn tales que cij = ui + vj para cadacelda usada.

b) Sea eij = cij - (ui+vj) para cada celda no usada; eij será el costomarginal de introducir la celda (ruta) i, j a la solución.

Los pasos 2 a 4 son los mismos que en el método secuencial.



57

Aplicar el algoritmo al problema en estudio ycomparar resultados obtenidos con los métodosanteriores

Comentar resultados

¿Qué explica que existan dos solucionesóptimas factibles?



58

Aplicación

Costo porRuta en uso motor ($) Ecuación

11 12 u1 + v1 = 1212 13 u1 + v2 = 1322 4 u2 + v2 = 432 9 u3 + v2 = 933 12 u3 + v3 = 1234 4 u3 + v4 = 4


1 12 13 4 6400 100 100 500

2 6 4 10 11700 0 700

3 10 9 12 4100 200 500 700 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000

Paso 0: Asociar índices

ui

vj



59

Paso1.a) Solucionar la ecuación

Existen 6 ecuaciones y siete variables entonces se hace u1 = 0(puede ser cualquiera) y se determina el resto de los índices

v1 = 12 v2 = 13 u2 = - 9 u3 = -4 v3 = 16 v4 = 8

Paso 1.b) Calcular los costos marginales para cada celda no usada.

eij = cij - (ui + vj)



60

Costos marginales para las celdas no usadas.


1) e13 = c13 - (u1 + v3)= 4 - (0 + 16) = -12

2) e14 = c14 - (u1 + v4)= 6 - (0 + 8) = -2

3) e21 = c21 - (u2 + v1)= 6 - (-9 + 13) = 2

4) e23 = c23 - (u2 + v3)= 10 - (-9 + 16) = 3

5) e24 = c24 - (u2 + v4)= 11 - (-9 + 8) = 12

6) e31 = c31 - (u3 + v1)= 10 - (-4 + 12) = 2



61


1 12 13 4 6400 100 -12 -2 100 500

2 6 4 10 112 700 3 12 0 700

3 10 9 12 42 100 200 500 700 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000

Paso 2: Prueba de Optimalidad.

Hay costos negativos por lo tanto no es óptima

La ruta de reasignación es: +C13 -C33 +C32 -C12 (más negativo, -12)



62

Paso 3: Asignación de unidades a la ruta elegida.Unidades disponibles a mover:Disminuir 1 unidad C12 100Disminuir 1 unidad C33 200


1 12 13 4 6400 100 100 500

2 6 4 10 11700 0 700

3 10 9 12 4200 100 500 700 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000



63

Vuelta al Paso 1:Costo por

Ruta en uso motor ($) Ecuación11 12 u1 + v1 = 1213 4 u1 + v3 = 422 4 u2 + v2 = 432 9 u3 + v2 = 933 12 u3 + v3 = 1234 4 u3 + v4 = 4


Se hacer u1 = 0 y se determina el resto de los índices

v1 = 12 v2 = 1 v3 = 4 v4 = -4 u2 = 3 u3 = 8

Paso 1.b) Calcular los costos marginales para cadacelda no usada. eij = cij - (ui + vj)



64



1) e12 = c12 - (u1 + v2)= 13 - (0 + 1) = 12

2) e14 = c14 - (u1 + v4)= 6 - (0 - 4) = 10

3) e21 = c21 - (u2 + v1)= 6 - (3 + 12) = -9

4) e23 = c23 - (u2 + v3)= 10 - (3 + 4) = 3

5) e24 = c24 - (u2 + v4)= 11 - (3 - 4) = 12

6) e31 = c31 - (u3 + v1)= 10 - (8 + 12) = -10



65


Hay costos negativos por lo tanto no es óptima

La ruta de reasignación es: +C31 -C33 +C13 -C11


1 - 12 13 + 4 6400 19 100 1 100 500

2 6 4 10 110 700 3 12 0 700

3 + 10 9 - 12 4-1 200 100 500 700 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000



66

Paso 3: Asignación de unidades a la ruta elegida.Unidades disponibles a mover:Disminuir 1 unidad C11 400Disminuir 1 unidad C33 100


1 12 13 4 6300 200 100 500

2 6 4 10 11700 0 700

3 10 9 12 4100 200 500 700 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000



67

Vuelta al Paso 1:


u1 = 0 y se determina el resto de los índices

v1 = 12 v2 = 11 v3 = 4 v4 = 6 u2 = - 7 u3 = -2

Paso 1.b) Calcular los costos marginales para cadacelda no usada. eij = cij - (ui + vj)

Costo porRuta en uso motor ($) Ecuación

11 12 u1 + v1 = 1213 4 u1 + v3 = 422 4 u2 + v2 = 431 10 u3 + v1 = 1032 9 u3 + v2 = 934 4 u3 + v4 = 4



68



1) e12 = c12 - (u1 + v2)= 13 - (0 + 11) = 2

2) e14 = c14 - (u1 + v4)= 6 - (0 + 6) = 0

3) e21 = c21 - (u2 + v1)= 6 - (-7 + 12) = 1

4) e23 = c23 - (u2 + v3)= 10 - (-7 + 4) = 13

5) e24 = c24 - (u2 + v4)= 11 - (-7 + 6) = 12

6) e33 = c33 - (u3 + v3)= 12 - (-2 + 4) = 10



69


No hay costos negativos por lo tanto es óptima

VO = 300*12+200*4+700*4+100*10+200*9+500*4=$12.000


1 12 13 4 6300 0 200 0 100 500

2 6 4 10 111 700 13 12 0 700

3 10 9 12 4100 200 10 500 700 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000

Ver Transporte RPG Equilibrio


2.1.6. Modelo de Transporte: Situaciones Especiales

70

1. Solución en problemas de maximización de transporte

2. El caso en que la oferta excede a la demanda.

3. Eliminación de rutas inaceptables.

4. Degeneración en problemas de transporte.

5. Propiedades especiales del modelo de transporte



71

1. Solución en problemas de maximización de transporte.

a) Se utilizan los beneficios marginales en lugar de los costos.Se asignará unidades a la celda que tenga el mayor valormarginal y el procedimiento concluirá cuando todas las rutastengan valores marginales negativos.

b) Convertir la tabla de beneficios en una tabla de costo: Sebusca el beneficio mayor, en cada celda se le resta al mayorel beneficio de la celda. Ejemplo:



72

Tabla de beneficios

14 19 12

17 19 15

16 20 11

6 1 8

3 1 5

4 0 9

2

3

Destinos

Fuen

tes

1 2 3

1

Destinos1 2 3

Fuen

tes

1

2

3

Mayor = 20

Tabla de costo



73

2. El caso en que la oferta excede a la demanda.

Se utiliza un destino ficticio en la tabla de transporte. Seconsidera como nulo el costo de enviar una unidad a dichodestino desde cada una de las fuentes (orígenes).

Si la demanda es mayor que la oferta el problema no tienesolución factible, sin embargo el administrador podríaabastecer toda la demanda que sea posible a un costomínimo.

Se utiliza un origen ficticio. El costo de abastecer cualquierdestino desde dicho origen será cero. Sin embargo podríahaber un cargo por orden no cubierta.

Ver Transporte RPG (O>D) y (O<D



74

3. Eliminación de rutas inaceptables.

Se asocia a una ruta no aceptable un costo lo suficientementealto para que no sea atrayente la ruta en cuestión. El costo M

Por ejemplo: producir en abril para vender en febrero del mismoaño.

4. Degeneración en problemas de transporte.

Se dice que un problema se degenera cuando hay menos dem + n - 1 rutas ocupadas. Esto puede ocurrir cuandosimultáneamente se satisface una demanda y se agota unaoferta.

Ver Transporte RPG (inaceptable)



75

5. Propiedades especiales del modelo de transporte

Todo problema de transporte es posible resolverlo mediantealgoritmos que usan sólo la adición y la sustracción.

Si todas las ofertas y demandas tienen valores enteros en unproblema de transporte, los valores óptimos de las variablesde decisión serán también enteros.


Ejercicios

D1 D2 D3 D4

M1 2 3 1 2M2 1 4 7 6M3 8 9 4 5

76

Suponer que se tienen tres fábricas M1, M2 y M3 que producen39, 48 y 33 toneladas respectivamente, de un cierto productoque debe llevarse a cuatro destinos, D1, D2, D3 y D4, los cualesrequieren 40, 37, 18 y 25 toneladas.

Los costos están dados por la siguiente tabla:


1

Periodo Capacidad de Producción Máxima (unidades)

Demanda a satisfacer

Costo de Producción ($)

Costo de Almacenaje ($)

1 1200 900 15 1.2 2 800 800 18 1.4 3 1100 1000 17 1.1 4 900 700 20 1.5

77

Planificación de la producción:2.1 Modelo de Transporte

2

¿Cuánto hay que producir en cada periodo para satisfacer lademanda al mínimo costo (tanto de producción como dealmacenaje)?.

Supuesto: No existe inventario inicial ni final.

Plantear el problema usando el modelo de transporte.

Encuentre las respuestas usando Solver.

Situación:Asignar m trabajos (o trabajadores) a n máquinas.

Un trabajo i (=1, 2, 3 ,...,m) cuando se asigna a la máquina j(=1,2,....,n) incurre en un costo cij.

El objetivo es asignar los trabajos a las máquinas uno a unoal menor costo.

La formulación de este problema puede considerarse comoun caso especial del modelo de transporte.

78

2.2 Modelo de Asignación

Descripción

79

Los trabajos representan las “fuentes” y las máquinas los“destinos”

La oferta disponible en cada fuente es 1 como tambiénlo es la demanda en cada destino.

cij es el costo de transportar (asignar) el trabajo i a lamáquina j

El costo puede representar también características decompetencia de cada trabajador

Descripción

80

En el caso que un trabajo no deba ser asignado(porque no cumple con los requisitos) a una máquina(actividad) en particular, este costo debe tener unvalor alto (M)

En el caso de existir desequilibrio, esto es, mástrabajos que máquinas o más máquinas que trabajos,hay que equilibrar con máquinas o trabajos figurados(ficticios), logrando de esta forma que m = n

Expresión matemática del modelo

C11 C12 ….. C1n

C21 C22 ….. C2n

….. ….. ….. …..Cn1 Cn2 ….. Cnn

81

0, si el i-ésimo trabajo no se asigna a la j-ésima máquina

1, si el i-ésimo trabajo se asigna a la j-ésima máquinaXij =

Máquina1 2 ….. n

1

2

…..

n

Trabajo

1

1

…..

1

1 1 ….. 1

Por lo tanto el modelo está dado por:

82

minimizar z =

n

i

n

jijij xc

1 1

sujeto a 11

n

jijx i=1,2, ...,n

11

n

iijx j=1,2,..n

xij = 0 ó bien 1

Ejemplo:

83

La gerencia general de RPG (ejemplo de transporte) con sedeen Bruselas, este año, como parte de su auditoría anual, decidióque cada uno de sus cuatro vicepresidentes visite e inspeccionecada una de sus plantas de ensamblaje durante las primeras dossemanas de junio. Las plantas están ubicadas en Leipzig(Alemania), Nancy (Francia, Lieja (Bélgica) y Tilburgo(Holanda).

Para decidir a que vicepresidente enviar a una plantadeterminada, se asignaron puntos (costos) a cada uno de ellosde acuerdo a su experiencia, habilidades lenguísticas, tiempoque durará la inspección y otros. Estos datos se muestran en lasiguiente tabla:

Ejemplo

84

PLANTALeipzig (1) Nancy(2) Lieja (3) Tilburgo(4)

Finanzas (F) (1) 24 10 21 11Mercadotecnia(M) (2) 14 22 10 15Operaciones (O) (3) 15 17 20 19Personal(P) (4) 11 19 14 13

Plantear el modelo de PL

Ejemplo: Modelo de PL

85

MIN Z = 24 X11 + 10 X12 + ... + 14 X43 + 13 X44

sujeto a:a) Oferta X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1X31 + X32 + X33 + X34 = 1X41 + X42 + X43 + X44 = 1

b) Demanda X11 + X21 + X31 + X41 = 1X12 + X22 + X32 + X42 = 1X13 + X23 + X33 + X43 = 1X14 + X24 + X34 + X44 = 1

c) No negatividad Xij >= 0 i=1,...,4, j=1,....,4

Métodos de Solución

86

Existen varias formas de obtener la solución:

a) Listar todas las alternativas posibles con sus costos y seleccionar la de menor costo (algoritmo exhaustivo)

b) Método Húngaro: método iterativo

a) Listar todas las alternativas:

¿Cuántas alternativas posibles existen?

- El primer trabajo se puede asignar de n formas formas posibles

- El segundo de n-1 formas

- El último sólo de 1 forma

En total existen n! formas de hacer la asignación completa

Método Húngaro:

87

Paso 0: Construir la matriz de asignación

Para obtener la solución óptima cada nueva matriz de asignacióndebe satisfacer:

Propiedad 1: Todos los números son no negativosPropiedad 2: Cada fila y cada columna tiene al menos una celda con

un valor cero

Paso 1:

a) Reducción de filas: Restar el costo menor de cada fila a la filacorrespondiente y/o

b) Reducción de columnas: Restar el costo menor de cada columnaa la columna correspondiente

Con esto se crea una nueva matriz con las propiedades 1 y 2

Método Húngaro:

88

Paso 2: Determinar si la matriz es reducida (Prueba de Optimalidad).

Trazar el menor número de líneas rectas sobre las filas y columnaspara cubrir todos los ceros.

Si el número de rectas es igual al número de filas o columnas se diceque esta matriz es reducida.

Si la matriz no es reducida pasar al paso 3, sino pasar al paso 4

Método Húngaro:

89

Paso 3: Movimiento

De todas las celdas no cruzadas identifique una con el menorvalor y haga lo siguiente:

a) Restar el valor a cada celda no cruzada

b) Sumar el valor a cada celda de intersección de rectas

Volver al paso 2

Método Húngaro:

90

Paso 4: Solución óptima (Asignación)

Primero se asigna a las que tengan sólo una alternativa, se vanmarcando y así sucesivamente

Determinar el costo: Se suman todos los costos correspondientesa las asignaciones (o sumar todos los pi y qj).

¿Qué valor se obtiene al sumar todos los valores que se restaronen las reducciones de filas y columnas?

Ejemplo: Aplique el método Húngaro al ejemplo

91

1 2 3 4 pi

F 24 10 21 11M 14 22 10 15O 15 17 20 19P 11 19 14 13qj

Paso 0: Matriz de Asignación

Nota: En negrita los menores de cada fila

Paso 1: Reducción de filas y columnas

92

1 2 3 4 pi

F 14 0 11 1 10M 4 12 0 5 10O 0 2 5 4 15P 0 8 3 2 11qj 1

1 2 3 4 pi

F 14 0 11 0 10M 4 12 0 4 10O 0 2 5 3 15P 0 8 3 1 11qj 1

Paso 2: Determinar si la matriz es reducida

93

1 2 3 4 pi

F 14 0 11 0 10M 4 12 0 4 10O 0 2 5 3 15P 0 8 3 1 11qj 1

No es reducida: sólo tres rectas (para ser reducida deben ser 4)

Ir al paso 3

Paso 3: Movimiento (Seleccionar el menor: restar a las notachadas, sumar a las intersecciones)

94

1 2 3 4 pi

F 14 0 11 0 10M 4 12 0 4 10O 0 2 5 3 15P 0 8 3 1 11qj 1

1 2 3 4 pi

F 15 0 12 0 10M 4 11 0 3 10O 0 1 5 2 15P 0 7 3 0 11qj 1 + 1

Volver al paso 2 !!

Iteración paso 2:

95

1 2 3 4 pi

F 15 0 12 0 10M 4 11 0 3 10O 0 1 5 2 15P 0 7 3 0 11qj 1 + 1

Se tachan todos los ceros con cuatro rectas, por tanto es óptima

Ir al paso 4 !!

Paso 4: Asignación

96

1 2 3 4 pi

F 15 0 12 0 10M 4 11 0 3 10O 0 1 5 2 15P 0 7 3 0 11qj 1 + 1

Costo = c12 + c23 + c31 +c44

= 10+10+15+13 = 48

ji qpCosto

=10 + 10 + 15 + 11 + 1 + 1 = 48

Ver Asignación RPG

Modelo de Asignación: Otras consideraciones

97

El modelo de asignación de RPG es un modelo de minimizaciónen el cual el número de vicepresidentes es igual al número deplantas, y todas las asignaciones posibles son aceptables.

Consideremos ahora modelos tipo asignación donde no todas lascondiciones anteriores se cumplen. En particular se consideraránsituaciones en las que:

1 Hay una desigualdad entre el número de “personas” porasignar y el número de “destinos” que requieren personasasignadas.

2 Hay un modelo de maximización

3 Existen asignaciones inaceptables


98

1. Ofertas y demandas desiguales

a) Oferta mayor que la demanda

Suponer que el presidente de RPG quiere auditar a la planta deTilburgo, por tanto tendrá que decidir cual de los cuatrovicepresidentes debe asignar a cada una de las tres plantasrestantes.

Solución: Se elimina la restricción que requería unvicepresidente para Tilburgo. El resultado de este cambio es quela holgura para uno de los cuatro vicepresidentes será 1 en lanueva solución óptima

Ver Asignación RPG (O>D)


99

1. Ofertas y demandas desiguales

b) Demanda mayor que la oferta

Suponer que el vicepresidente de Personal tiene que viajar aIllinois durante la primer semana de junio, por lo tanto no puedeparticipar en la auditoría en Europa.

Solución: Se agrega un vicepresidente ficticio (igual al modelode transporte) para obtener una solución factible, pero es claroque una de las plantas quedará sin auditar.


100

2. Hay un modelo de maximización

La respuesta de asignación es un beneficio y no un costo

Ejemplo: Suponga que RPG tiene que asignar vendedores a susterritorios de venta.

Existen cuatro personas bien capacitadas listas para serasignadas y tres territorios requieren un nuevo vendedor. Unode los vendedores no será asignado.

En este caso la asignación de un vendedor cualquiera a unterritorio se mide por el incremento marginal esperado en lacontribución de dicha asignación a las ganancias.


101

2. Hay un modelo de maximización

La matriz de ganancia es la siguiente

Contribución delVendedor\a

Territorio 1

Territorio 2

Territorio 3

A 40$ 30$ 20$ B 18$ 28$ 22$ C 12$ 16$ 20$ D 25$ 24$ 27$

Ver Asignación Vendedores RPG


102

3. Situaciones con asignaciones inaceptables

Ejemplo: Suponga que el presidente de RPG no tieneel menor deseo de que el vicepresidente deOperaciones realice una auditoría a la Planta Nancy.

Solución: Asignar un costo arbitrariamente alto a esta“ruta”, de tal modo que al restar de él cualquiernúmero finito se obtiene siempre un valor mayor queotros números relevantes

Ver Asignación RPG inaceptable

2.3 Modelo de Transbordo

103

Este modelo permite que las unidades no vayandirectamente desde un origen a un destino, sinoque pasen por nodos intermedios o transitorios.

Cada origen, punto intermedio y destino final se representancomo nodos y se conectan a través de arcos dirigidos

Restricción en cada nodo transitorio:

suma flujos entrantes = suma flujos saliente

También se puede representar por medio de una matriz donde unmij = 1 cuando existe un enlace directo entre el nodo i y el nodoj; y mij = 0 cuando no hay enlace directo entre estos nodos

Modelo de Transbordo: Algoritmo

104

Inicialización: Encuentre un plan de embarque factible quesatisfaga todas las restricciones de suministro y demanda, almismo tiempo que mantiene un equilibrio en todos los nodosde transbordo.

Prueba de Optimalidad: Pruebe el plan de embarque actualpara ver si es óptimo, es decir, si es el plan que incurre en loscostos totales mínimos. Si es así, deténgase con la soluciónóptima, sino vaya al paso 3.

Movimientos: Use el hecho de que el plan de embarqueactual no es óptimo para crear un nuevo plan de embarquefactible con menos costo total que el actual. Vaya al paso 2.

1

2

3

Consideraciones:

105

• Los pasos del algoritmo son análogos a los del algoritmo depasos sucesivos (escalón).

• Tanto los nodos origen como los destinos pueden ser a su veznodos de transbordo.

• Al igual que el modelo de transporte, puede haber desequilibrio,en ese caso se agregan fuentes o destinos ficticios con costo cero.

• El numero total del sistema está dado por el total de la oferta o dela demanda.

• A cada nodo de transbordo se asigna un suministro (demanda)igual a su suministro (demanda) original (cero, si no coincideoriginalmente con un destino) más el total de unidades delsistema. Esto permite que todas las unidades puedan pasar por unempalme dado.

Ejemplo 1:

106

Determínese un programa de embarque que cubra todas lasdemandas a un costo mínimo total para los datoscorrespondientes al siguiente grafo (costo en $).

3 4

2 43

7 2

1 3 5

2 4 6

+95 -30

+70

+15

-30 -45

8

Solución

107

• Los sitios 1 y 2 son orígenes• Los sitios 5 y 6 son destinos• El sitio 3 es origen y empalme• El sitio 4 es destino y empalme• La oferta es mayor que la demanda por tanto se requiere un

destino ficticio que demande 75 unidades• Agregar 180 unidades a cada empalme (oferta y demanda)• El costo de las unidades que van de un empalme (como origen)

a él mismo (como destino) y de cualquier origen al sitio ficticioes cero.

• A las rutas no permitidas se les asocia un valor relativamentealto (por 1.000)

La tabla inicial es:

108

3 4 5 6 F Oferta1 95

3 1000 8 1000 02 70

2 7 1000 1000 03 195

0 3 4 4 04 180

1000 0 1000 2 0Demanda 180 210 30 45 75

Oríg

enes

Destinos

La tabla final es:

109

3 4 5 6 F Oferta1 20 75 95

3 1000 8 1000 02 70 70

2 7 1000 1000 03 90 30 30 45 195

0 3 4 4 04 180 180

1000 0 1000 2 0Demanda 180 210 30 45 75

Destinos

Oríg

enes

Costo = 20*3+75*0+70*2+90*0+30*3+30*4+45*4+180*0=$590

Ejemplo 2:

110

Una corporación necesita transportar 70 unidades de un producto, del sitio 1 alos sitios 2 y 3 en cantidades de 45 y 25 unidades, respectivamente. Las tarifascij (en miles de pesos por unidad) de carga aérea entre los sitios comunicadospor carguero se dan en la tabla, en la cual las líneas punteadas indica que no hayservicio disponible. Determínese un programa de embarque que asigne elnúmero requerido de artículos a cada destino, a un costo mínimo de transporte.Ningún embarque requiere de vuelo directo, se permiten los envíos empleandopuntos intermedios.

1 2 3 41 .... 38 56 342 38 ... 27 ...3 56 27 ... 194 34 ... 19 ...

Ejemplo 3:

111

1

2

3

4

5 7

6

8

9

10

11

100

200

150

120

80

70

110

2

3

4

44

5

5

6

6

6

7

7

7

8

8

Nodos de transbordo

Planteamiento del modelo PL :

112

Plantear el modelo de PL para el ejemplo mostrado en elgrafo anterior.

2.4. Modelos de Redes

113

2.4.1 Teoría de Grafos

2.4.2 Modelo de la Ruta más corta

2.4.3 Modelo del Árbol Expandido Mínimo

2.4.4 Problema del Flujo Máximo

2.4.1 Introducción a la Teoría de Grafos

114

Grafo no dirigido:Un grafo no dirigido G consiste en un conjunto V de vértices(o nodos) y un conjunto E de lados (ramas o enlaces) tales quecada lado e ε E está asociado a un par no ordenado de vérticesv y w. Si un lado e está asociado a un único par de vértices v yw, entonces e= (v,w) o e=(w,v).

Grafo dirigido:Un grafo dirigido (o digrafo) G consiste en un conjunto V devértices (o nodos) y un conjunto E de lados (o ramas) tales quecada lado e ε E está asociado a un par ordenado de vértices. Siun lado e está asociado a un par ordenado único de vértices v yw, se escribe e = (v,w).


115

Se dice que un lado e = (v,w) de un grafo (dirigido o no dirigido) esincidente en v y w. Se dice que los vértices v y w son incidentesen e y también son vértices adyacentes.

Si G es un grafo (dirigido o no dirigido) con un conjunto de vérticesV y un conjunto de lados E, se escribe G = (V,E)

Nodo (Vértice):Un círculo de una red utilizada para representar una planta,almacén o tienda.

Nodo de Suministro:Nodo desde le cual los productos se van a enviar.


116

Nodo de demanda:Nodo que va a recibir los productos para cumplir con unademanda conocida.

Nodo de transbordo:Nodo que recibe productos desde otros nodos para sudistribución.

Arco (enlace):Línea de una red que conecta un par de nodos. Se le utiliza pararepresentar una ruta válida desde el nodo origen al nodo dedistribución.


117

Arco dirigido:Indica el sentido de movimiento de los productos.

Camino:Una secuencia de nodos en una red unidos por arcos (dirigidos o no dirigidos)

Trayectoria (lazo):Es un camino cerrado (ciclo) donde el primer nodo es a su vez el último.


118

Representación Matricial

i) Matriz de Adyacenciaii) Matriz de costo (beneficio)

Representación de un grafo:

Un grafo se puede representar matemáticamente como:

a) Una matrizb) Una lista enlazadac) Árbol

2.4.1 Introducción a la Teoría de Grafos (cont.)

119

Matriz de Adyacencia:

Para un grafo G, es una matriz A de dimensión NxN,donde A[i,j] es verdadero (1) si, y sólo si, existe un arcoque vaya del vértice i al vértice j. En ausencia de arcodirecto se representa generalmente por 0.

Ejemplo:Dado el siguiente grafo encontrar su matriz deadyacencia


120

2

3 4

1

1 2 3 41 1 12 13 14 1


121

Matriz de Costo:

Para un grafo G etiquetado, es una matriz C de dimensiónNxN, donde A[i,j] es el costo (valor de la etiqueta) si, ysólo si, existe un arco que vaya del vértice i al vértice j.En ausencia de arco directo se representa generalmentepor infinito (costo extremadamente alto, para lasimulación se hace uso de un valor fuera de contexto).

Ejemplo:Dado el siguiente grafo encontrar su matriz de costo


122

2

34

1

1 2 3 41 10 152 123 204 5

10

15 20 12

5


123

Para un grafo no dirigido, tanto la matriz de adyacenciacomo la matriz de costo son simétricas, esto es:

A[i,j] = A[j,i]

ó

C[i,j] = C[j,i]

Ejemplo Introductorio

124

Seymour Miles es el gerente de distribución de Zigwell. Zigwelldistribuye sus motores oruga en cinco estados del medio oeste. Por loregular, Seymour Miles tiene 10 aparatos E-9 in situ en lo quedesignaremos como local 1. Estos tractores deben ser enviados a losdos locales de construcción más importantes designados como 3 y 4.Se necesitan tres E-9 en el local 3 y siete en el local 4. Debido aitinerarios arreglados con anterioridad, relativos a la disponibilidad deconductores, los tractores solo pueden ser distribuidos de acuerdo conlas rutas alternativas que se muestran en el grafo de la figura.

La figura tiene un número +10 en el nodo 1, esto significa que hay 10aparatos E-9 disponibles (oferta). Los indicadores -3 y -7 asociados alos locales 3 y 4, respectivamente, denotan los requerimientos(demandas) de éstos.

125

1 2 4

5

3

c12

c34

c24

c25 c54

u43

c53

c23

+10

-3

-7

Rutas alternativas para el destino 3

1-2-3, 1-2-4-3, 1-2-5-4-3, 1-2-5-3

u12

u23u34

c43

u53

c54u25

u24

126

Los costos cij son unitarios. Por ejemplo el costo derecorrer el arco (5,3) es c53 por cada tractor.

Debido a los acuerdos sostenidos con los conductores,Zigwell debe cambiarlos en cada local que se encuentresobre la ruta. Las limitaciones en la disponibilidad deconductores ocasionan que haya una cota superior en elnúmero de tractores que pueden recorrer cualquier arcodado.

Por ejemplo: u53 es la cota superior o capacidad en el arco(5,3).

El problema de Sygmour consiste en encontrar un plan deembarque que satisfaga la demanda y las restricciones decapacidad a costo mínimo.

127

El problema en particular se conoce como modelo de transbordo con capacidades.

Expresar el problema como un PL

a) Variables de decisión

xij = número total de E-9 que se enviarán a través del arco (i,j).

= flujo del nodo i al nodo j

128

b) Función Objetivo

MIN Z =C12X12+C23X23+C24X24+C25X25+C34X34+C43X43+C53X53+C54X54

la red (i,j) de artodos los cx ijij cos ,0

c) Restriccioness a + X12 = 10- X12+X23+X24+X25 = 0

-X23 -X43 -X53 +X34 = -3-X24 +X43 -X34 -X54 = -7

-X25 +X53 +X54 = 0

Balance

de

flujo

Matriz Incidencia nodo-arco

129

a r c o

Nodo (1,2) (2,3) (2,4) (2,5) (4,3) (5,3) (3,4) (5,4) LD

1 +1 0 0 0 0 0 0 0 10

2 -1 +1 +1 +1 0 0 0 0 0

3 0 -1 0 0 -1 -1 +1 0 -3

4 0 0 -1 0 +1 0 -1 -1 -7

5 0 0 0 -1 0 +1 0 +1 0

Formulación General del Modelo de Transbordo con Capacidades

130

Xij denotan el flujo del nodo i al nodo j a lo largo del arco queconecta esos nodos.

Lj representa la oferta en el nodo j

ijij ij xc

s.a.

minimice

njLxx jk kjk jk ,....,2,1, la red (i,j) de artodos los cx ijij cos ,0

Resolver para las siguientes capacidades y costos

131

Capacidadde\ a Sitio 1 Sitio 2 Sitio 3 Sitio 4 Sitio 5Sitio 1 10Sitio 2 4 3 3Sitio 3 2Sitio 4 4Sitio 5 3 5

Costo Unitariode\ a Sitio 1 Sitio 2 Sitio 3 Sitio 4 Sitio 5Sitio 1 $100Sitio 2 $45 $50 $20Sitio 3 $60Sitio 4 $85Sitio 5 $10 $55

Ver transbordo con capacidades


132

Se pueden dar dos casos para representar la red:

Como grafo no dirigido

Como grafo dirigido

Situaciones:

a

b

Cualquiera que sea el caso corresponde a grafos ponderados (con peso)


133

Considerénse todos los nodos que estén directamenteconectados con el origen. Etiquetarlos con la distancia alorigen y su nodo predecesor. Etiquetas temporales,[distancia, nodo].

De entre todos los nodos con etiquetas temporales,escoger el que tenga la distancia menor y se marca comopermanente. Si todos están con etiquetas permanentes seva al paso cuatro.

a) Algoritmo: Grafo no dirigido

1

2

2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GND)

134

Todo nodo que no tenga etiqueta permanente, tendrá etiquetatemporal o estará sin etiqueta. Sea L el último nodo conetiqueta permanente. Considerénse todas las etiquetas de losvecinos de L (directamente conectados a L mediante unarco). Para cada uno de estos nodos calcúlese la suma de sudistancia a L. Si el nodo en cuestión no está etiquetado,asígnese una etiqueta temporal que conste de esta distancia yde L como predecesor. Si el nodo en cuestión ya tieneetiqueta temporal, cámbiese sólo si la distancia reciéncalculada es menor que la componente de distancia de laetiqueta actual. En este caso, la etiqueta contendrá estadistancia y a L como predecesor. Regresar al paso 2

3

Algoritmo:


135

Las etiquetas permanentes indican la distancia más corta entreel nodo origen a cada nodo de la red. También indican elnodo predecesor en la ruta más corta hacia cada nodo. Paraencontrar el camino más corto de un nodo dado, comiénceseen él y retroceda al nodo anterior. Continuar con el recorridohasta llegar al origen.

Algoritmo:

4


136

Ejemplo: Para el siguiente grafo encontrar la distancia más cortadesde el nodo H al resto de los nodos.

H

12

3

4

5

6

78

41

1

1

1

2

27

6

3

33


137

Solución:

H

12

3

4

5

6

78

41

1

1

1

2

27

6

3

33

(8,H)

(4,H)

(5,1)

(6,3)(8,2)

(6,3)

(9,4)

(9,7)

ó

1:Ver ejemplo 1 Ruta mas corta 2: Hacer problema 19 guía 2 (Ejemplo 2 Ruta mas corta

2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GD)

138

Es una técnica exhaustiva, esto es, prueba todas las alternativasposibles.

Opera a partir de un conjunto S de vértices cuya distancia máscorta desde el origen ya es conocida. Inicialmente S contiene sóloel nodo de origen. En cada paso se agrega algún vértice restante va S, cuya distancia desde el origen es la más corta posible.

Para cada paso del algoritmo, se utiliza una matriz D para registrarla longitud del camino más corto a cada vértice.

b) Algoritmo de Dijkstra

2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GD) Algoritmo de Dijkstra

139

INICIO0) V = {1, 2, 3, 4, ..., n}1) S = {1} // nodo 1 se supone que es el origen2) Para i=2 Hasta n Hacer3) Di = C1i4) Para i=1 Hasta n-1 Hacer5) Elegir un vértice w en V-S tal que Dw sea un mínimo6) agregar w a S7) Para cada vértice v en V-S Hacer

SI ((Dw+Cwv)<Dv)//Pv = wDv = Dw+Cwv

8) //Dv=mínimo(Dv,Dw+Cwv)FIN


140

Ejemplo: Aplicar el algoritmo al siguiente grafo dirigido

10100

60

50

30

102

1

3 4

5

20


141

Inicial

0) V = {1, 2, 3, 4, 5}

1) S = {1}

2)

3) D2 = 10, D3 = inf, D4=30, D5 = 100

4) Iterar 4 veces

5) Seleccionar nodo con distancia más corta de V-S,

En el ejemplo es el nodo 2

Iteración S w D2 D3 D4 D5Inicial {1} -- 10 inf 30 100


142

6) Agregar el nodo 2 a S : S = {1,2}

7) Iterar |V-S|, (V-S = {3,4,5})

D3=mínimo(D3,D2+C23) =mínimo(inf,10+50) = 60

D4=mínimo(D4,D2+C24) =mínimo(30,10+inf) = 30

D5=mínimo(D5,D2+C25) =mínimo(100,10+inf) = 100


1 {1,2} 2 10 60 30 100


143

2a IteraciónV-S = {3,4,5}5) w = 46) S = {1,2,4}7) Iterar |V-S| V-S = {3,5}

D3=mínimo(D3,D4+C43) =mínimo(60,30+20) = 50D5=mínimo(D5,D4+C45) =mínimo(100,30+60) = 90


1 {1,2} 2 10 60 30 1002 {1,2,4} 4 10 50 30 90


144

3a IteraciónV-S = {3,5}5) w = 36) S = {1,2,4,3}7) Iterar |V-S| (V-S = {5})

D5=mínimo(D5,D3+C35) =mínimo(90,50+10) = 60


1 {1,2} 2 10 60 30 1002 {1,2,4} 4 10 50 30 903 {1,2,4,3} 3 10 50 30 60


145

4a IteraciónV-S = {5}5) w = 56) S = {1,2,4,3,5}7) Iterar |V-S| (V-S = {})


1 {1,2} 2 10 60 30 1002 {1,2,4} 4 10 50 30 903 {1,2,4,3} 3 10 50 30 604 {1,2,4,3,5} 5 10 50 30 60

Tabla Final

¿Cuál es el camino?

146

Para conocer el camino hay que incluir otra matriz P devértices, tal que Pv contenga el vértice inmediato anterior a ven el camino más corto.

Se asigna a Pv valor inicial 1 para todo v 1

La matriz P se actualiza después de la línea 8.

Si Dw + Cwv < Dv en la línea 8, después se hace Pv = w

Al término de la corrida del algoritmo, el camino a cada vérticepuede encontrarse regresando por los vértices predecesores dela matriz P

¿Cuál es el camino?

147

Para el ejemplo, la matriz P debe tener los valores

P2 =1, P3 = 4, P4 = 1, P5 = 3

Para encontrar el camino más corto del vértice 1 al 5, se siguenlos predecesores en orden inverso.

3 es el predecesor de 5



Problema de los caminos más cortos entre todos los pares de nodos

148

Para visualizar el problema se emplea un grafo dirigido G =(V,A) en el que cada arco v w tiene un costo no negativoCv,w. El problema consiste en encontrar el camino de longitudmás corta (menor costo) entre v y w para cada par ordenado devértices (v,w).

Algoritmo de Floyd

Se utiliza una matriz A, donde Aij = Cij para toda i j, si noexiste camino directo entre i y j se supone que Cij = inf. Cadaelemento de la diagonal se hace cero.


149

Después se hacen n iteraciones en la matriz A.

Al final de la k-ésima iteración Aij tendrá por valor la longitudmás pequeña de cualquier camino que vaya desde el vértice ihasta el vértice j y que no pase por un vértice mayor que k.Esto es, i y j, los vértice extremos del camino, pueden sercualquier vértice, pero todo vértice intermedio debe ser menoro igual a k.

En la k-ésima iteración se aplica la siguiente fórmula paracalcular A

k-1Aij

kAij = min

k-1Aik + k-1Akj


150

Para calcular Aij, se compara k-1Aij, el costo de ir de i a j sinpasar por k o cualquier otro nodo con numeración mayor, conk-1Aik + k-1Akj, el costo de ir primero de i a k y después de k a j,sin pasar a través de un vértice mayor que k. Si el paso por elvértice k produce un camino más económico que el de k-1Aij, seelige ese costo para kAij.

k-1Aij

i

k

j


151

Algoritmo de Floyd // Se supone que se cuenta con la matriz de costo C

0) INICIO1) Desde i = 1 Hasta N2) Desde j = 1 Hasta N3) Aij Cij

4) Desde i = 1 Has ta N5) Aii = 06) Desde k = 1 Hasta N7) Desde i = 1 Hasta N8) Desde j = 1 Hasta N9) SI (Aik + Akj < Aij)10) Aij = Aik + Akj

11) FIN


152

Recuperación de caminos para el Algoritmo de Floyd

Cuando es de interés conocer el camino más cortoentre dos vértices, hay que consignarlo en una matrizP, donde Pij tiene el vértice k que permitió a Floydencontrar el valor menor de Aij. Si Pij es cero, elcamino de i a j es directo.


153

Algoritmo de Floyd Modificado0) INICIO1) Desde i = 1 Hasta N2) Desde j = 1 Hasta N3) Aij Cij3) Pij 04) Desde i = 1 Has ta N5) Aii = 06) Desde k = 1 Hasta N7) Desde i = 1 Hasta N8) Desde j = 1 Hasta N9) SI (Aik + Akj < Aij)10) Aij Aik + Akj10) Pij k11) FIN


154

Ejemplo: Aplique Floyd al grafo ponderado mostrado en lafigura

1 2 3

2

8

3

2

5


155

Solución:

Tabla Inicial

Nodos 1 2 31 0 8 52 3 0 inf3 inf 2 0

0Aij


156

Solución:

Después de la primera iteración

1Aij

Nodos 1 2 31 0 8 52 3 0 83 inf 2 0


157

Solución:

Después de la segunda iteración

2Aij

Nodos 1 2 31 0 8 52 3 0 83 5 2 0


158

Solución:

Después de la tercera iteración

3Aij

Nodos 1 2 31 0 7 52 3 0 83 5 2 0

2.4.3 Modelo de árbol extensión mínima

159

Un árbol es un grafo que tiene sus n nodos (vértices)conectados (conexo) con n-1 arcos (aristas), noexistiendo ciclos (caminos cerrados)

Definición 1

Definición 2 Un árbol de expansión de costo mínimo es aquel en quetodos los enlaces tienen longitudes (costos) mínimas

Algoritmo para el problema del árbol de expansión mínima.

160

Método Gráfico

Se selecciona un nodo cualquiera y se conecta alnodo más cercano a éste.

Se identifica el nodo no conectado más cercano aun nodo conectado y se conectan estos dos nodos

Empates se deciden en forma arbitraria. Losempates indican que existen solucionesalternativas para la construcción.

1

2

Nota:

161

H

12

3

4

5

6

78

41

1

1

1

2

27

6

3

33

Ejemplo: Encontrar el AEM para el siguiente grafo

162

H

12

3

4

5

6

7

1

1

1

1

Solución :

2

2

4

163

Algoritmo tabularPaso Acción

0 Se construye la tabla de costos de enlaces

1 Se comienza arbitrariamente con cualquier nodo. Se designa aeste nodo como conectado y se pone una marca al lado de lafila correspondiente al nodo. Se tacha el índice de la columnaque corresponde a él.

2 Considerando todas las filas marcadas, buscar el mínimo en lascolumnas cuyo índice aún no haya sido tachado encerrándoloen un círculo. Designándose de esta manera el nuevo nodoconectado. Se tacha el índice de la columna y pone una marcaen la fila correspondiente a este nodo. Se repite este paso hastaque todos los nodos estén conectados.

3 Los nodos encerrados en círculo identifican el árbol.

164

Aplicación Algoritmo tabular

Nodo H 1 2 3 4 5 6 7H 4 7 81 4 6 12 6 1 23 1 1 14 7 1 3 3 25 2 3 36 3 3 17 8 2 1

Tabla inicial

165


Inicio: Nodo H

Nodo H 1 2 3 4 5 6 7* H 4 7 8* 1 4 6 1

2 6 1 23 1 1 14 7 1 3 3 25 2 3 36 3 3 17 8 2 1

a)

b)

166


Nodo 1Nodo H 1 2 3 4 5 6 7

* H 4 7 8* 1 4 6 1

2 6 1 2* 3 1 1 1

4 7 1 3 3 25 2 3 36 3 3 17 8 2 1

a)b)

c)

167


Nodo H 1 2 3 4 5 6 7* H 4 7 8* 1 4 6 1* 2 6 1 2* 3 1 1 1* 4 7 1 3 3 2* 5 2 3 3* 6 3 3 1* 7 8 2 1

Tabla final

a)

b)

c)

168

H

12

3

4

5

6

7

1

1

1

1

Arbol de expansión mínima :

2

2

4

2.4.4 Problema del Flujo Máximo

169

En este problema hay un solo nodo fuente (nodo deentrada) y un solo nodo destino (nodo de salida), y elresto son nodos de transbordo. El problema consiste enencontrar la máxima cantidad de flujo total (petróleo,gas, efectivo, mensajes, tránsito, etc.) en una unidad detiempo.

La cantidad de flujo por unidad de tiempo en cada arcoestá limitada por las restricciones de capacidad.

Este problema se puede representar como una reddirigida y conexa.

Descripción

170

Para cada nodo interno debe cumplirse que:flujo que sale del nodo = flujo que entra al nodo

En términos formales, siendo 1 la fuente y n eldestino el problema consiste en:MAX f

f si i = 1

sujeto a si i = n

0 en otro caso

0 xij uij, para todos (i,j) de la red

xij : flujo por unidad de tiempo por el arco (i,j)

uij : capacidad del arco (i,j)

f : flujo total a través de la red

Descripción

fxxj

jij

ij

171

Considérese la i-ésima restricción, para algúnvalor fijo de i, La suma se considera sobretoda j para la cual el arco (i,j) con i fijo,pertenezca a la red. Entonces, será el flujototal que sale del nodo i. En forma semejante, lasuma se considera sobre toda j para la cualexista el arco (j,i) en la red, (i fijo). De modo quees el flujo que entra al nodo i

Descripción

j

ijx

j

jix

j

ijx

172

Antes de hacer la presentación formal delalgoritmo, revisemos el siguiente ejemplo.

Algoritmo

6

66

2

4

4

3

2

1

6

1

2

3

4

5

173

Grafo inicial: Inicialización delos flujos en cada nodoAlgoritmo

Consideremos un camino desde el nodo 1 al nodo 6

Ejemplo: 1-2-5-6

4

0

00

0

0

0

0

0

6

4

1

6

23

2

6

0

2

3

4

5

61

174

Se dice que la cantidad de flujo a lo largo de dichorecorrido es factible si:

No excede la capacidad de ningún arco del camino

Con excepción de los nodos 1 y 6, el flujo en cada nododebe satisfacer la condición de conservación

1

2

La cantidad máxima que puede fluir desde la fuente a lolargo de un camino es igual a la menor de lascapacidades de los arcos de dicho camino

Al asignar un flujo a un arco nos atendremos a las reglas:

1

2

Se reduce la capacidad en la dirección del flujo (cantidad de flujo)

Se aumenta la capacidad en sentido opuesto (cantidad de flujo)

175

Ejemplo: Considerar el arco 1-2

Asignar dos unidades a este arco:Aplicando las reglas 1 y 2 se tiene

Se generó una capacidad ficticia en la dirección 2-1

Enviar una unidad de 2 a 1

1 2(2 ) 22

1 24 0

1 2(1 ) 13

Algoritmo

176

Inicializar cada nodo del grafo con capacidades uij enla dirección del flujo y cero en la dirección opuesta.

Encontrar cualquier camino de la fuente a destino quetenga capacidad de flujo positiva, si no los hay, sehabrá encontrado la solución óptima.

Sea cmin la capacidad mínima de flujo entre los arcosseleccionados en el paso 1, se aumenta el flujoexistente a través de la red al enviar un flujo adicionalcmin para todos los arcos del camino.

Para todos los arcos del camino, disminúyanse lascapacidades en la dirección del flujo y auméntese lascapacidades en la dirección opuesta en cmin. Volver alpaso 1

Inicial

1

2

3

177

Aplicar el algoritmo al grafo del ejemplo:

4

0

00

0

0

0

0

0

6

4

1

6

23

2

6

0

2

3

4

5

61

Paso Inicial

178

Iteración 1:

4

0

00

0

0

0

0

0

6

4

1

6

23

2

6

0

2

3

4

5

61

Elegir arbitrariamente el camino 1-3-5-6

cmin = MIN(6,4,2)=2; actualizando la red se tiene

4

22 2

0

2

2 2

179

Iteración 2:

40

00

0

0

0

0

0

6

4

1

2

23

2

2

0

2

3

4

5

61

4

20

2

26

Elegir arbitrariamente el camino 1-2-4-6

cmin = MIN(4,6,6)=4; actualizando la red se tiene

40

64

64

26

22

180

Iteración 3:

40

00

0

0

2

0

0

6

4

1

0

21

2

0

0

2

3

4

5

61

2

40

2

2

8

Elegir arbitrariamente el camino 1-3-2-4-6

cmin = MIN(4,3,2,2)=2; actualizando la red se tiene

40

64

6 6

2

8

22

4

2

3

0

26

2

4 66

181

Cálculo de la cantidad de flujo en cada arco

Se determina comparando la capacidad inicial de cada arcocon la capacidad inicial. Para cada arco la regla es:

Si la capacidad final es menor que la capacidad inicial,calcular la diferencia. Esta es la cantidad del flujo a travésdel arco.

Ejemplo: Arco 3-5

Inicial

Final 223 5

043 5

Final < inicial entonces el flujo es 4-2=2

182

Aplicando la regla anterior a todos los arcos se tiene elsiguiente grafo:

6

66

2

4

2

8

2

8

4

1

2

3

4

5

Unidad 3

Administración de Proyectos

PERT y CPM

183

3 Administración de Proyectos (PERT y CPM)

184

1. ¿Cuándo sería lo más pronto que el proyecto pudiera estarterminado?

2. Para cumplir con este tiempo de conclusión, ¿qué tareas soncríticas, en el sentido de que un retraso en cualquiera de esastareas provoca un retraso en la conclusión del proyecto?

3. Es posible acelerar ciertas tareas para terminar todo el proyectomás pronto?. Si es así, ¿qué tareas serán éstas y cuál sería elcosto adicional?

Todo proyecto debe ser comprobado y controlado, dado que éstetiene involucrado numerosas tareas interrelacionadas.

A través de algunas técnicas se puede responder a preguntas como:

185

Técnica de Evaluación de Proyectos (PERT,Program Evaluation and Review Technique): Métodoutilizado para administrar proyectos en que lostiempos requeridos para terminar las tareasindividuales son inciertos (probabilísticos).

Método de la Ruta Crítica (CPM, Critical PathMethod): Método utilizado para administrarproyectos en que los tiempos requeridos paraterminar las tareas individuales se conocen conrelativa certeza (determinísticos).

3.1 Desarrollo de la Red de Proyectos

186

1. Identifique las tareas individuales que componen el proyecto

2. Obtenga una estimación del tiempo de conclusión de cadatarea.

3. Identifique las relaciones entre las tareas. ¿Qué tareas debenconcluirse antes de que otras puedan iniciarse?

4. Dibuje un diagrama de red de proyecto para reflejar lainformación de los pasos 1 y 3

Para determinar el tiempo de conclusión de un proyecto puedeusar los siguientes pasos:

Ejemplo:

Actividad DescripciónPrdecesoras inmediatas Tiempo Recursos

A Elegir local de oficinas -B Crear el plan financiero y de -

C Determinar requerimientos de personal B

D Diseño de local A, CE Construir el interior DF Elegir personal a mudar C

G Contratar nuevos empleados F

H Mudar registros, personal clave, etc. F

I Hacer arreglos finacieros de la organización B

J Entrenar personal nuevo H, E, G

187

Traslado de las oficinas de una ciudad a otra

El directorio ha fijado un plazo máximo de 22semanas para la mudanza

Construcción del diagrama de Red:

188

1

2

3

4

A

B C

¿Cómo agregamos la actividad D?. Suspredecesoras inmediatas son A y C,además C es predecesora directa de F

Actividades Ficticias (figurada):

189

Es una actividad artificial que no requiere tiempo y que seincluye en una red de proyecto para asegurar la relación deprecedencia correcta entre ciertas tareas.

Generalmente se representan por líneas segmentadas.

Se usan sólo para reflejar las relaciones de precedenciaadecuadas

2

4

A

C

Volviendo al ejemplo: Agregando el resto de las actividades a la redfinalmente se tiene

190

1

2

3

4

5

67

8

A

BC

D

E

F

G

H

I

J

Siguiendo con el ejemplo: G y H tienen como predecesorainmediata F, además ambas son predecesoras de J, agregar actividadficticia.

191

1

2

3

4

5

67

8

A

BC

D

E

FG

H

I

J

9

Red Final

Fic

Ruta Crítica: Dar cumplimiento al plazo límite

Actividad DescripciónPrdecesoras inmediatas Tiempo Recursos

A Elegir local de oficinas - 3

B Crear el plan financiero y de organización - 5

C Determinar requerimientos de personal B 3

D Diseño de local A, C 4E Construir el interior D 8F Elegir personal a mudar C 2

G Contratar nuevos empleados F 4

H Mudar registros, personal clave, etc. F 2

I Hacer arreglos finacieros de la organización B 5

J Entrenar personal nuevo H, E, G 3

192

Se requiere de las estimaciones de tiempo de cada actividad (supuestos)

Retomando el ejemplo: Agregando los tiempos a las actividades

193

1

2

3

4

5

67

9

A

BC

D

E

FG

H

I

J

(3)

(5)

(3)

(4)

(8)

(2)

(4)

(2)

(5)

(3)

8Fic

Cálculo de la ruta crítica: Tiempo de término del proyecto

194

Definiciones

Tiempo de inicio más inmediato: El tiempomás cercano en que una tarea posiblementepueda iniciarse (TI)

Tiempo de término más breve: El tiempo máscorto en el que una tarea posiblemente puedaconcluir (TT)

Reglas a cumplir:

195

Dado que en el proyecto existen tareaspredecesoras es necesario conocer cuando terminauna y cuando empieza la otra:

Regla

1. Para calcular el TI de una tarea se debe conocer los TT de cadatarea predecesora inmediata

2. El TI más inmediato de una tarea de la que se conocen lostiempos de término más breves de todas sus tareaspredecesoras inmediatas es el máximo de todos esos tiemposde término más breves.

3. Tiempo de término más breve = (tiempo de inicio másinmediato) + (tiempo de tarea(t))

Pasos para determinar los TI y TT más inmediatos:

196

Paso

0

1

Identificar el nodo de inicio de la red del proyecto

Calcule y escriba en cada arco saliente

a) TI más cercano, esto es, 0

b) El TT más breve de acuerdo a la regla 3

TT más breve = (TI más inmediato) + (t)

= 0 + t

Seleccionar cualquier nodo donde todos los arcosentrantes han sido etiquetados con sus TI y TT

Pasos para determinar los TI y TT más inmediatos:

197

Paso

2 Para el nodo seleccionado en el paso 1 calcule y registre en cada arco saliente

a) El TI más breve de acuerdo a la regla 2

TI más breve = MAXIMO(TT de los arcos entrantes)

b) El TT más breve de acuerdo a la regla 3

TT más breve = TI más inmediato + t

Cálculo de TI y TT:

198

1

2

3

4

5

67

9

D[8,12]

8Fic

Identificación de las tareas críticas:

199

Para identificar las tareas críticas hay que realizar unrecorrido hacia atrás hasta el inicio del proyecto,analizando cada tarea.

1. Último Tiempo de término: Lo más tarde que puedeconcluirse una tarea, en tanto permita que el proyecto secomplete lo más pronto posible

2. Último tiempo de inicio: Lo más tarde que puedainiciarse una tarea, pero finalizando dentro de su tiempode término.

3. Tarea sucesora: Una tarea para la que la tarea de interéses una predecesora


200

Para calcular el último tiempo de término (UTT) de unatarea particular, debe conocer los últimos tiempos deinicio (UTI) de cada tarea sucesora inmediata.

Respecto a una tarea de la que se conocen los últimostiempos de inicio de todas sus tareas sucesorasinmediatas, el último tiempo de término (UTT) de esatarea es el mínimo de los últimos tiempos de inicio detodas las tareas sucesoras inmediatas

UTI = UTT- t

Regla 4

5

6

Identificación de las tareas críticas:Pasos para calcular los últimos tiempos de inicio y término

201

0

1

2

3

Identificar el final del proyecto. Calcular y escribir en cada arcoentrante:

a) Último tiempo de término del proyecto

b) Último tiempo de inicio (Regla 6): UTI=UTT-t

Seleccione un nodo, cuyos arcos salientes hayan sido etiquetadostodos con sus UTI y UTT

Para el nodo seleccionado (paso 1) calcule y escriba lo siguiente

a) UTT= MIN(UTI arcos salientes), (regla 5)

b) UTI=UTT - t (regla 6)

Repetir pasos 1 y 2 hasta cubrir toda la red del proyecto

Identificación de las tareas críticas:Cálculo de UTT y UTI para cada actividad

202

Iteración 2

Actividad ficticia UTT = 20UTI = 20-0 = 20

Actividad I UTT = 23UTI = 23-5 = 18

Nodo 7 Actividad E UTT = 20UTI = 20-8 = 12

UTT = 20UTI = 20-2 = 18

Iteración 1

Actividad H

Nodo 9 Actividad J UTT = 23UTI = 23-3 = 20

Identificación de las tareas críticas:Cálculo de UTT y UTI para cada actividad . Finalmente se tiene

203

1

2

3

4

5

67

98

D[8,12][8,12]

[5,8

]

Fic


204

Holgura: Es la cantidad de tiempo que puede demorar unaactividad sin afectar la fecha de término del proyecto.

El valor de la holgura para cada actividad está dada por:

holgura = TI - UTI = TT - UTT

Ejemplo:

Actividad C: TI = 5, UTI = 5, TT = 8, UTT = 8

Holgura = 5 - 5 = 8 - 8 = 0

Actividad I: TI = 5, UTI = 18, TT = 10, UTT = 23

La actividad C tiene holgura 0, por tanto no puederetrasarse, en cambio la actividad I tiene 13 semanas deholgura que permite retrasar su inicio.


205

Resumen de los tiempos de las actividades del proyecto:

Actividad Tiempo Inicio Término Inicio Término HolguraA 3 0 3 5 8 5B 5 0 5 0 5 0C 3 5 8 5 8 0D 4 8 12 8 12 0E 8 12 20 12 20 0F 2 8 10 14 16 6G 4 10 14 16 20 6H 2 10 12 18 20 8I 5 5 10 18 23 13J 3 20 23 20 23 0

Tiempo más próximo de: Tiempo más lejano de:

Tiempo de ejecución del proyecto: 23 semanas


206

Actividad crítica es aquella que tiene holgura cero

Ruta crítica es una secuencia de tareas (actividades) críticas queconecta el principio del proyecto con el fin

En nuestro ejemplo:

Actividades críticas: B, C, D, E y J

Ruta crítica: Nodos 1-3-2-5-7-9

Actividades B-C-D-E-J

Formas de Reducir la duración del proyecto:

207

1. Análisis Estratégico

Aquí el analista se pregunta: “¿Este proyecto tiene quedesarrollarse en la forma programada actualmente?”. Enconcreto, “¿Todas las actividades de la ruta crítica tienen querealizarse en el orden especificado?”. ¿Podemos hacer arreglospara efectuar algunas de estas actividades en forma distinta decómo aparecen en la ruta crítica?.

2. Enfoque Táctico

El analista presupone que el diagrama en curso es adecuado ytrabaja para reducir el tiempo de ciertas actividades de la rutacrítica asignando mayores recursos. Por ejemplo tiempo, aumentode mano de obra, etc.


208

Para el ejemplo en estudio, el directorio estimó untiempo máximo de 22 semanas para realizar elproyecto, y según el estudio se ha determinado que serequieren 23 semanas, ¿Cómo soluciona Ud. elproblema?. Realice distintos supuestos válidos para susolución. ¿Es única?.


Alternativa de solución

209

Realizados algunos estudios los responsables de la mudanza, sedan cuenta que la actividad J (entrenamiento de los nuevosempleados) debe realizarse en el nuevo edificio (después decompletar la actividad E) y después de que el personal clave yde registros se haya mudado (al completar la actividad H).Estos requerimientos se podrían cambiar:

• Realizar J independientemente de H

• El entrenamiento realizarlo en otras dependencias a un costoreducido y que estén listos para cuando se termine laconstrucción. Esto requiere agregar otra actividad: Garantizarrecursos de entrenamiento, actividad K


210

Con los cambios anteriores, es posible que la redredefinida tenga una nueva ruta crítica con un tiempomenor, aunque todavía insatisfactorio (mayor a las 22semanas establecidas).

Diagrama de red para el proyecto redefinido

211

1

2

3

4

5

6

79

A

BC

DE

F G

H

I

J

(3)

(5)

(3)

(4)(8)

(2) (4)

(2)

(5)

(3)

8

K(3)

Fic

Actualización de los tiempos para el proyecto redefinido

212

Actividad Tiempo Inicio Término Inicio Término HolguraA 3 0 3 5 8 5B 5 0 5 0 5 0C 3 5 8 5 8 0D 4 8 12 8 12 0E 8 12 20 12 20 0F 2 8 10 11 13 3G 4 10 14 13 17 3H 2 10 12 18 20 8I 5 5 10 15 20 10J 3 14 17 17 20 3K 3 10 13 14 17 4

Tiempo más próximo de: Tiempo más lejano de:

Actividades ruta crítica: B-C-D-E

Duración del proyecto: 20 semanas

3.3 PERT: Variabilidad en los tiempos de Actividades

213

Hasta ahora hemos trabajado asumiendo que lostiempos de duración de las actividades erandeterminísticos, en consecuencia TI, TT, UTI y UTTtambién fueron deducidos como deterministas. Comoeste supuesto no siempre es correcto, PERT empleauna fórmula especial para estimar los tiempos de lasactividades.

PERT requiere de alguien que conozca bien unaactividad en cuestión, para producir tres estimacionesdel tiempo de ésta.

PERT: Variabilidad en los tiempos de Actividades

214

1. Tiempo optimista (denotado por a): el tiempomínimo. Todo tiene que marchar a la perfección.

2. Tiempo más probable (denotado por m): el tiempoque se necesita en circunstancias ordinarias.

3. Tiempo pesimista (denotado por b): el tiempomáximo. Situación que se da en el peor caso.


215

Ejemplo: Para la actividad E (8 semanas). Alexaminar en detalle el proyecto de construcción delinterior se llegó a las siguientes estimaciones:

a = 4m = 7b = 16

Para estimar el valor esperado y la desviación estándar delos tiempos de la actividad, se asume que el tiempo de laactividad es una variable aleatoria que tiene unadistribución de probabilidad unimodal beta.


216

4 7 8 16a m b

Estimación del tiempo esperado de actividad o tiempo promedio 6

4 bmate

Estimación de la desviaciónestándar del tiempo de la actividad 6

ab

Distribución beta


217

Estimación de tiempo

Actividad a m b te desv est varianzaA 1,0 3,0 5,0 3,0 0,667 0,444B 3,0 4,5 9,0 5,0 1,000 1,000C 2,0 3,0 4,0 3,0 0,333 0,111D 2,0 4,0 6,0 4,0 0,667 0,444E 4,0 7,0 16,0 8,0 2,000 4,000F 1,0 1,5 5,0 2,0 0,667 0,444G 2,5 3,5 7,5 4,0 0,833 0,694H 1,0 2,0 3,0 2,0 0,333 0,111I 4,0 5,0 6,0 5,0 0,333 0,111J 1,5 3,0 4,5 3,0 0,500 0,250K 1,0 3,0 5,0 3,0 0,667 0,444


218

Cálculo del tiempo esperado de finalización de proyectos

Una vez determinado el tiempo promedio de cadaactividad, se puede calcular el tiempo de finalizaciónmás temprano esperado para el proyecto completo.

Se determinan los tiempos de inicio y de término máscercano, como también los tiempos de término y deinicio más lejano. Con estos tiempos se determina laholgura en cada actividad, para finalmente determinar laruta crítica, exactamente igual como se hizo para tiempodeterminista.


219

Probabilidad de concluir el proyecto a tiempoEl análisis procede de la siguiente forma:

1. Sea T el tiempo total que durarán las actividades de la rutacrítica.

2. Encuéntrese la probabilidad de que el valor de T resulte menoro igual que cualquier valor específico de interés. Para elejemplo en estudio buscaríamos T 22 semanas.

Una buena aproximación de esta probabilidad se encuentraaceptando dos supuestos:

a) Los tiempos de actividad son variables aleatoriasindependientes.

b) La variable T tiene una distribución aproximadamente normal.


220

La meta es encontrar P{T 22}, donde T es el tiempo a lo largode la ruta crítica.

Estadísticas de la ruta crítica:

222

21 ... nT Desviación estándar

i

:i Desviación estándar de i-ésima actividadde la ruta crítica

T : es el tiempo esperado (promedio)

221

Estimación de terminación del proyecto

Uso de la tabla de distribución normal, entoncesdebemos calcular Z para llegar a determinar laprobabilidad.

xZ

222

Cálculos caso en estudio

Ruta crítica: B- C- D y E

T = 20 (tiempo esperado, promedio calculado, )

x = 22 (tiempo exigido)

357,2555,5

4444,0111,012

2

22222

T

T

T

EDCBT

223

Cálculos caso en estudio

Z = 0,8485

En la tabla de Z

P(Z 0,8485) = 0,80

357,22022

Z

Matriz de Encadenamiento

224

Una matriz de encadenamiento, es una matriz de NxN (N es lacantidad de actividades) donde cada celda se marca con una X sila actividad de la fila requiere que esté terminada la actividad dela columna. Esta matriz ayuda a la construcción de la red CPM

Para el ejemplo en estudio es:

A B C D E F G H I JABC XD X XF XG XH XI XJ X X X

3.4 CPM: TRUEQUE ENTRE TIEMPO Y COSTO

225

CPM considera que el tiempo extra (costo) puede reducir eltiempo de término de una actividad, y en consecuencia reducir eltiempo total del proyectoCompra de tiempo:

CPM usa dos estimaciones: tiempo y costo normal, a lo que se agregará tiempo y costo intensivo

Se asume que estas estimaciones son lineales:

Tiempo

Esfuerzo normal

Esfuerzo intensivo

Red de tiempo mínimo – costo mínimo

226

Debido a las estimaciones de CPM se puede obtener dos redesextremas:

1. Red de costo normal

2. Red de costo intensivo

¿Todas las actividades deben realizarse en forma intensiva?

3. Red de tiempo mínimo—costo mínimo

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Enfoques para encontrar red de tiempo mínimo – costo mínimo

227

1. Comenzar con la red normal e ir reduciendo los tiempos detérmino hasta un mínimo.

2. Comenzar con la red de todo intensivo y “desintensificar”actividades para reducir el costo sin afectar el tiempo total.

3. Comenzar con la ruta crítica de la red de todo intensivo conun tiempo mínimo, pero con todas la demás actividadesnormales. Después reducir las otras trayectorias como seanecesario.

¿Todos son igualmente eficaces?


Enfoque: Red normal y reducción de tiempos

228


Proyecto: Construcción de una casa

Actividad Precedencia Normal Intensivo Normal Intensivo CostoA (1,2) ninguna 4 3 1.400 2.000 600 B (2,3) A 2 1 1.500 2.000 500 C (2,4) A 3 1 1.500 2.500 1.000 D (2,7) A 1 1 600 600 --Fic(3,4) 0 0 -- -- --E (4,5) B, C 3 2 1.300 2.000 700 F (4,6) B, C 2 1 300 500 200 G (5,7) E 2 1 800 1.200 400 H (6,7) F 2 1 600 1.000 400

Tiempo (semanas) Costo (miles $)

Paso 1: Red del proyecto

229


2

3

6

5

7

E(3)G(2)

H(2)

D(1)

1F(2)

4C(3)

Si consideramos la convención actividad-flecha, el grafo delproyecto es:

B(2)

A(4)

Paso 2: Tiempos de Inicio y de Término, holgura y ruta crítica

230


2

3

6

5

7H(2)[9,11]

[10,12]1F(2)[7,9]

4C(3)[4,7]

En el grafo se muestran los tiempos de inicio y de término máspróximos y los más lejanos, y la ruta crítica. El tiempo mínimopara la ruta crítica es de 12 semanas a un costo normal de $8.000.

A(4)[0,4]

0

0 0

0

12 12

D(1)[4,5]

[8,10][4,7][0,4]

[11,12]

Paso 2: Tabla de tiempos próximos y lejanos

231


Tiempo Tiempo más próximo de: Tiempo más lejano de:Actividad Normal Inicio Término Inicio Término HolguraA (1,2) 4 0 4 4 4 0B (2,3) 2 4 6 5 7 1C (2,4) 3 4 7 4 7 0D (2,7) 1 4 5 1 12 7E (4,5) 3 7 10 7 10 0F (4,6) 2 7 9 8 10 1G (5,7) 2 10 12 10 12 0H (6,7) 2 9 11 10 12 1

Actividades críticas

Paso 3: “Intensificar” actividades ruta crítica

232


a) Actividad A: de 4 a 3 semanas ( 600)

b) Actividad C: de 3 a 1 semana (1.000)

c) Actividad E: de 3 a 2 semanas ( 700)

d) Actividad G: de 2 a 1 semana ( 400)

¿Es posible hacer estas reducciones?

Reducción de Actividades ruta crítica

233


2

3

6

5

7H(2)[9,11]1

F(2)[7,9]4

C(3 1)

La ruta crítica disminuyó a 7 semanas, ¿seguirá manteniéndosecomo tal?. No

Hay que ver si es posible reducir las actividades paralelas a la rutacrítica inicial, sólo hasta igualar tiempos.

A(4 3)

0

0 0

0

D(1)[4,5]

Paso 4: “Intensificar” actividades que no están en laruta crítica (“paralelas”)

234


a) Actividad B (paralela a C): de 2 a 1 semana (500)

b) ¿Actividad F o H? (¿o ambas?). En este caso sólo F: de 2 a 1semana (200)

c) Actividad D: No requiere reducción

Paso 4: Resumen de las reducciones

235


CostoActividad Acción Adicional Normal TotalA (1,2) 1 semana 600 1.400 2.000 B (2,3) 1 semana 500 1.500 2.000 C (2,4) 2 semanas 1000 1.500 2.500 D (2,7) ----- 600 600 E (4,5) 1 semana 700 1.300 2.000 F (4,6) 1 semana 200 300 500 G (5,7) 1 semana 400 800 1.200 H (6,7) ----- 600 600

$ 8.000 $ 11.400

Grafo final

236


2

3

6

5

7H(2)[5,7]

[5,7]1F(1)[4,5]

4C(1)[3,4]

En el grafo se muestran los tiempos de inicio y de término máspróximos y los más lejanos, y la ruta crítica. El tiempo mínimopara la ruta crítica es de 7 semanas a un costo normal de $11.400.

A(3)[0,3]

0

0 0

0

7 7

D(1)[3,4]

[4,5][3,4][0,3]

[6,7]

Red óptima

237

¿Qué sucede si un proyecto lleva más tiempo del especificado?

¿Conviene hacer más “intensivo” el proyecto o pagar lapenalización por atraso?

Ejemplo:

Suponga que en el proyecto de la casa hay una penalización de$450 por cada semana de tiempo extra después de ocho semanas.¿Cuál es la red óptima?.

Solución: Reducir la red en una semana cada vez e ircomparando si los costos por intensificar son menores a loscostos por penalización. Se termina cuando los costos depenalización son mayor a los costos de intensificar.


Red óptima

238

1. Reducir una semana (de 12 a 11 semanas)De la red normal analizar ruta crítica

Actividades Incremento de CostoA 600C 500E 700G 400

Conclusión: Intensificar 1 semana la actividad G(400<450).

2. Intentar reducir una segunda semana (de 11 a 10)Todos los costos incrementales de la ruta son mayores a lapenalización. Intentar por las vías paralelas.No hay rutas alternativas cuya reducción implique un costomenor al de penalización.


Solución

239


2

3

6

5

7H(2)1

F(2)4

C(3)

Grafo resultante

A(4)

D(1)

Conviene hacer intensivo el proyecto hasta la semana 11 y pagarlas penalizaciones por las semanas de atraso

Costo total = Costo intensivo + costo penalización

= (8.000 + 400) + 3*450 = $9.650

Ejemplo

240


a) Dibuje la red. Con los tiempos normales de las actividades,encuéntrese la duración total del proyecto y la ruta crítica.

b) Supóngase que el proyecto se debe completar en un tiempo mínimo.¿Cuál es el menor costo para el proyecto, es decir, cuál es la red detiempo mínimo—costo mínimo?

c) ¿Cuál es el costo mínimo para terminar el proyecto en 17 meses?d) El departamento de comercialización dice que cada mes que el

proyecto se pase de 15 meses le cuesta a la firma $5.000. ¿Cuál es elcosto y duración óptimo del proyecto?

Suponga que un proyecto de investigación tiene las siguientesestimaciones:

Actividad Normal Intensivo Normal IntensivoA (1,2) 8 4 20.000 30.000 B (1,3) 9 6 18.000 27.000 C (2,3) 3 2 12.000 17.000 D (2,4) 10 7 25.000 34.000 E(3,4) 6 4 15.000 23.000

Tiempo (meses) Costo (miles $)

Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo)

241


a) Identificación de Variables de decisión

Están relacionadas directamente con el tiempo a reducir encada tarea

Yi: Tiempo (horas, días, ..) a reducir de la i-ésima actividad

YA: Número de semanas en las cuales acortar la actividad A

b) Función Objetivo

El objetivo es minimizar los recursos adicionales totales requeridos para satisfacer el tiempo de término del proyecto.

Para el ejemplo en estudio, en la tabla de especificaciones agregamos dos columnas: Tiempo máximo a reducir por tarea y el costo adicional por semana intensiva


242


Por lo tanto la función es:

MIN Z = 600YA+500YB+500YC+700YE+200YF+400YG+400YH

Actividad Precedencia Normal Intensivo Normal IntensivoA (1,2) ninguna 4 3 1.400 2.000 1 600B (2,3) A 2 1 1.500 2.000 1 500C (2,4) A 3 1 1.500 2.500 2 500D (2,7) A 1 1 600 600 0 --Fic(3,4) 0 0 -- -- 0 --E (4,5) B, C 3 2 1.300 2.000 1 700F (4,6) B, C 2 1 300 500 1 200G (5,7) E 2 1 800 1.200 1 400H (6,7) F 2 1 600 1.000 1 400

Tiempo (semanas) Costo (miles $) Reducción máxima

Costo por semana


243


c) Identificación de las restricciones

Para el ejemplo, se pueden agrupar en dos grupos

1. La cantidad máxima de tiempo en el cual se puede acortar cada actividad.

2. El tiempo de término del proyecto (en este caso 12 semanas)

Para el grupo 1, lo que se necesita son las cotas superioressobre las variables de decisión (YA, YB, YC, YE, YF, YG, YH)dada por la columna “Reducción máxima) de la tabla anterior.


244


Restricciones de Límite

0<=YA<= 1 (límite de A)

0<=YB<= 1 (límite de B)

0<=YC<= 2 (límite de C)

0<=YD<= 0 (límite de D)

0<=YE<= 1 (límite de E)

0<=YF<= 1 (límite de F)

0<=YG<= 1 (límite de G)

0<=YH<= 1 (límite de H)


245


Restricciones del grupo 2 están en función de nuevas variables queexpresan cuando las actividades que salen de un determinadoevento pueden comenzar. Requiere conocer cuando terminantodas las actividades que llegan al evento. Dependen de Yi

X1 : tiempo en que todas las actividades que salen del evento 1 pueden comenzar


......


Además el proyecto debe comenzar en el tiempo 1 y terminar a lo más en 12 semanas

X1 = 0X7 12


246


2

3

6

5

7

E(3)G(2)

H(2)

D(1)

1F(2)

4C(3)

Asociando las variables a la red tenemos:

(2-YB)

A(4)

B(2)

(4-YA) (3-YC) (2-YF)

(1-YD)

(2-YH)

(3-YE) (2-YG)(0)

X1 X2

X3

X4

X5

X6X7


247


Nodo 2

Tiempo de inicio de las tareas que salen del nodo 2 tiempo determinación de todas las tareas que entran al nodo 2

Tiempo de inicio de las tareas B, C y D (tiempo de terminaciónde la tarea A + (tiempo acortado de la tarea A)

X2 X1 + (4-YA)

Nodo 3

Tiempo de inicio de las tareas que salen del nodo 3 tiempo determinación de todas las tareas que entran al nodo 3

Tiempo de inicio de la tarea Ficticia (tiempo de terminación dela tarea B + (tiempo acortado de la tarea B)

X3 X2 + (2-YB)


248


Nodo 4

Tiempo de inicio de las tareas que salen del nodo 4 tiempo determinación de todas las tareas que entran al nodo 4.

Hay dos arcos que entran al nodo, las actividades E y F debencomenzar sólo cuando las tareas que entran (C y la ficticia) hayanterminado. Dando origen así a dos restricciones (una por cadaactividad)

Restricción de la actividad C

Tiempo de inicio de las tareas E y F tiempo de terminación dela tarea C

Tiempo de inicio de las tareas E y F (tiempo de terminación dela tarea C + (tiempo acortado de la tarea C)

X4 X2 + (3-Yc) (tarea C)


249


Nodo 4

Restricción de la actividad Ficticia

Tiempo de inicio de las tareas E y F tiempo de terminación dela tarea figurada

Tiempo de inicio de las tareas E y F (tiempo de terminación dela tarea Figurada + (tiempo acortado de la tarea Figurada)

X4 X3 + 0 (tarea Figurada)

Aplicando sistemáticamente el procedimiento y se escribe unarestricción para cada actividad se obtienen las siguientesrestricciones para los nodos 5 al 7


250


Nodo 5

X5 X4 + (3-YE) (actividad E)

Nodo 6

X6 X4 + (2-YF) (actividad F)

Nodo 7

X7 X5 + (2-YG) (actividad G)

X7 X6 + (2-YH) (actividad H)


251


MIN Z = 600YA+500YB+500YC+700YE+200YF+400YG+400YH

Sujeto a:Restricciones de Límite

0<=YA<= 1 (límite de A)

0<=YB<= 1 (límite de B)

0<=YC<= 2 (límite de C)

0<=YD<= 0 (límite de D)

0<=YE<= 1 (límite de E)

0<=YF<= 1 (límite de F)

0<=YG<= 1 (límite de G)

0<=YH<= 1 (límite de H)


252


X1 = 0X7 12

X2 X1 + (4-YA) (tarea C)

X3 X2 + (2-YB) (tarea B)

X4 X2 + (3-Yc) (tarea C)

X4 X3 + 0 (tarea Figurada)

X5 X4 + (3-YE) (actividad E)

X6 X4 + (2-YF) (actividad F)

X7 X5 + (2-YG) (actividad G)

X7 X6 + (2-YH) (actividad H)X1, ..., X7 0

Ejercicios:

253

Para su entretención

a) Existen 7 trayectorias en esta red. Encuéntrense todas.b) Con tiempos normales, encuéntrese la longitud de cada trayectoria. ¿Cuál

es la ruta crítica?c) ¿Cuál es el costo mínimo intensivo para reducir el proyecto a 39 días? ¿a

38 días? ¿a 37 días?d) Encuéntrese la red de tiempo mínimo—costo mínimo.

La complejidad de las redes CPM está más afectada por las interrelaciones queel número de nodos. Por ejemplo, considérese el proyecto siguiente:

Actividad Normal Intensivo Normal IntensivoA (1,2) 8 7 10.000 12.000 B (1,3) 15 10 12.000 17.000 C (1,4) 12 6 13.000 14.000 D (2,3) 9 9 7.000 7.000 E (2,5) 11 9 2.000 4.000 F (3,6) 9 8 5.000 7.000 G (4,3) 9 7 14.000 16.000 H (4,7) 13 12 8.000 10.000 I (5,6) 7 5 6.000 10.000 J (5,8) 15 11 9.000 10.000 K (6,8) 10 5 3.000 8.000 L (7,6) 4 3 7.000 8.000 M (7,8) 12 9 5.000 6.000

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