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Quinto Cuatrimestre Especialidad en Informática

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UNIDAD I. APLICAS LA ESTÁTICA 1.1 Vectores

1.1.1 Estática.

La Estática es la parte de la Mecánica que estudia las leyes del equilibrio, es decir, aquellos cuerpos que se encuentran

tanto en reposo como en movimiento con velocidad constante (en la mayor parte de los casos, la Estática estudia

sistemas en reposo). Por otra parte, la Dinámica estudia el comportamiento de los cuerpos con movimientos

acelerados. En ambos casos es necesario que dos o más cuerpos interactúen entre sí.

Todos los objetos físicos del universo están en una situación de intercambio de “acciones” de unos sobre otros y

viceversa. Esas acciones mutuas se denominan interacciones. La Física es la ciencia de las interacciones, por eso es

importante establecer sus semejanzas y diferencias.

El Universo es un mundo de interacciones y existe debido a que sus partículas fundamentales interactúan, ya sea

porque se descomponen o se aniquilan, o bien porque responden a una fuerza debida a la presencia de otra partícula

(por ejemplo, durante una colisión). Todas las fuerzas del mundo se pueden explicar a través de las interacciones.

Una Interacción no es lo mismo que una fuerza, dado que a la palabra "interacción" se le asigna un significado más

amplio. A pesar que los dos términos son usados a menudo como si fueran intercambiables, los físicos prefieren la

palabra "interacciones."

Una fuerza es la acción que un cuerpo ejerce sobre otro o viceversa. Por ejemplo, indica la fuerza que el cuerpo 1

ejerce sobre el cuerpo 2; las interacciones entre dos cuerpos son traducidas a través del concepto de fuerza.

Las fuerzas pueden producir varios efectos en los cuerpos en que actúan, por ejemplo:

Deformaciones: estas producen en el cuerpo receptor cambios de forma. Estos cambios de forma pueden ser

de dos tipos: deformaciones plásticas y deformaciones elásticas

Las deformaciones plásticas se producen cuando el cuerpo receptor recibe una fuerza y modifica su forma, pero

cuando la fuerza deja de actuar no vuelve a recuperar la forma inicial.

Por ejemplo: Ignacia y Matías desean hacer figuras con plastilina. Para ello toman un trozo de plastilina y comienzan

a modelar, una vez que le dan la forma que desean, la plastilina no vuelve a recuperar la forma que tenían cuando

comenzaron a modelarla

Las deformaciones elásticas se producen cuando la fuerza actúa sobre un cuerpo, le produce una deformación y

cuando deja de actuar el cuerpo vuelve a su forma inicial. Por ejemplo: el elástico, los resortes, si aplicas una fuerza

sobre un globo, cambia de forma, pero si dejas de apretarlo volverá a recuperarla.

Cambio en la dirección del movimiento: por ejemplo cuando juegas voleibol, la pelota va cambiando

constantemente de dirección.

Aumento o disminución de la velocidad: cuando alguien se columpia y le pide a otra persona que le dé un

empujón.

Ponerse en movimiento o detenerse: en un partido de fútbol un delantero le da un puntapié a la pelota y la

pone en movimiento; el arquero, por su parte, ejerce una fuerza sobre la pelota para detenerla, impidiendo el

gol.


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Una fuerza es la causa que permite producir, impedir o modificar el movimiento de los cuerpos, deformar, alterar o no

las formas de éstos y su existencia a consecuencia de las interacciones entre cuerpos.

Como las fuerzas son consecuencias de las interacciones básicas que existen en la naturaleza, todas las fuerzas

observadas en ella pueden explicarse en función de las interacciones mencionadas.

Medición de las fuerzas.

Para medir la intensidad de una fuerza que se aplica a un cuerpo, se usa un instrumento llamado “dinamómetro”.

Este instrumento se vale de la elasticidad de un resorte cuando una fuerza actúa sobre él para estirarlo.

Cuando una fuerza tira del resorte de un dinamómetro, este se estira y el indicador se desplaza sobre una escala

graduada que indica el módulo de dicha fuerza.

La unidad de medida de esta fuerza se denomina Newton (N), en honor al físico inglés Isaac Newton.

Un objeto de1 kilogramo colocado en el extremo del dinamómetro, nos indica 9.8 N, es decir, un kg pesa 9.8 N en la

superficie de la Tierra, al nivel del mar.

Para muchos fines es conveniente dividir las diversas fuerzas que pueden actuar sobre un cuerpo material en dos

clases: fuerzas de acción a distancia y fuerzas de contacto.

Fuerzas de acción a distancia.

Las fuerzas se producen sin que haya contacto entre los cuerpos. En este tipo de fuerzas es importante tener presente

el concepto de “campo de fuerzas”. La Tierra crea en sus inmediaciones un campo gravitatorio de fuerzas, una carga

eléctrica crea a su alrededor un campo eléctrico de fuerzas, un imán origina un campo magnético de fuerzas. Las

fuerzas de acción a distancia son:

Fuerza eléctrica: Fuerza debida a la atracción o repulsión de cuerpos electrizados.

Fuerzas nucleares fuerte y débil: Fuerzas desarrolladas en el núcleo de un átomo.

Fuerza magnética: Fuerza debida a la atracción o repulsión de objetos magnetizados.

Fuerza gravitacional: Fuerza ejercida por la acción entre objetos debida a sus masas.

Fuerzas de contacto.

Se precisa para su producción que ambos cuerpos estén en contacto físico (sentido macroscópico). Esas fuerzas son:

Fuerza elástica: un objeto es elástico cuando se deforma por la acción de una fuerza, pero que recobra su forma

primitiva cuando la fuerza deja de actuar. La fuerza elástica es aquella que se origina en un objeto elástico (banda

de goma o resorte) al estirarlo o comprimirlo.


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Es una fuerza de origen electromagnético, debida a las fuerzas de interacción entre las moléculas del objeto elástico,

oponiéndose al estiramiento o comprensión. En particular, la fuerza que opone un resorte al estiramiento o

comprensión se llama fuerza recuperadora o fuerza restauradora.

Dentro de ciertos límites el módulo F de la fuerza recuperadora es directamente proporcional al estiramiento o

comprensión X del resorte. Es decir, F =kx siendo “k” una constante de proporcionalidad que se denomina

constante de elasticidad. Este resultado se conoce con el nombre de Ley de Hooke.

Fuerza de tensión: es la fuerza ejercida por una cuerda, considerada de masa despreciable e inextensible, sobre un

cuerpo que está ligado a ella.

Las fuerzas de tensión son aquéllas que se originan en objetos tales como varillas, cables, alambres o cuerda,

equilibrando las fuerzas externas aplicadas en sus extremos, oponiéndose al alargamiento o estiramiento de los

mismos; son fuerzas de origen electromagnético que se producen debido a las fuerzas de interacción entre las

moléculas del objeto, las cuales se oponen al alargamiento o estiramiento.

Fuerza normal: es la fuerza ejercida por una superficie sobre un cuerpo que se encuentra apoyado en ella y actúa en

dirección perpendicular al plano. Así por ejemplo al representar un bloque que descansa sobre una mesa. Debido a la

atracción gravitatoria el bloque ejerce una fuerza sobre la superficie de la mesa.

P=mg, siendo m la masa del bloque y g la aceleración de la gravedad. Esta fuerza presiona sobre la superficie de

la mesa y como las moléculas de ésta ofrecen resistencia a la compresión,

la mesa ejerce sobre el bloque una fuerza que se designa por N , del

mismo módulo que P , pero de sentido opuesto.

Fuerza de roce: aparece como consecuencia de la interacción de contacto

entre cuerpos.

La fuerza de roce, fricción o rozamiento (Fr) es aquélla que se origina

tangencialmente a la superficie de contacto de dos objetos oponiéndose

al movimiento de uno de ellos respecto al otro.

Esta fuerza es de origen electromagnético, debido a las fuerzas de interacción entre las moléculas de las superficies

en contacto. La fuerza de roce aparece en la superficie de contacto entre dos cuerpos cuando uno de ellas se desliza

sobre el otro.

Si no existiera el roce, el cuerpo que se desliza por un plano lo haría con movimiento rectilíneo y uniforme. Al existir

el roce, su movimiento es retardado, lo cual significa que su velocidad irá disminuyendo hasta quedar finalmente en

reposo.

Características de la fuerza de roce

Siempre tendrá sentido opuesto al sentido de movimiento del cuerpo.

La dirección de la fuerza de roce es paralela a la superficie de contacto.

Es independiente del tamaño del área de contacto entre las superficies.

Depende de la naturaleza de las superficies de contacto.

La magnitud es directamente proporcional a la magnitud de la Normal a la superficie de contacto.

Matemáticamente se expresa como ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ donde es el coeficiente de rozamiento.


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Coeficientes de rozamiento

Es la constante de proporcionalidad μ entre la fuerza de roce y la fuerza normal. Existen dos tipos de coeficientes que

son:

Se sabe de forma experimental que la fuerza necesaria para mantener un objeto deslizándose a velocidad constante

es menor que la necesaria para ponerlo en movimiento. Es decir, que la fuerza de rozamiento cinético es

sensiblemente menor que la fuerza de rozamiento estático. Comparando las expresiones anteriores, se deduce que

µc<µe

𝑁

𝑃 = 𝑚𝑔⃗


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¿Cómo se representan las fuerzas?

Las fuerzas no se pueden ver; sólo podemos ver sus efectos, como por ejemplo cuando se estira un elástico o

cuando se modela una figura en plastilina.

Podemos representar las fuerzas gráficamente por medio de vectores, al igual que otras cantidades vectoriales tales

como: velocidad, aceleración, campo eléctrico, campo magnético, etc.

Los vectores nos permiten saber: la magnitud, dirección y sentido de la fuerza.

La magnitud o módulo es la cantidad de fuerza que se está aplicando sobre el receptor y se presenta por la longitud de

la flecha.

El sentido: se representa a través de la punta o extremo de la flecha.

La dirección: corresponde al ángulo formado por la línea recta que contiene al vector y a la horizontal.

Por convención, la fuerza se dibujará mediante un vector, cuyo origen se encuentra al centro del cuerpo receptor de la

fuerza, mientras que su dirección y sentido serán los mismos en que se aplica la fuerza, y su magnitud indicará la

cantidad de fuerza aplicada.

Muchas veces se confunde la dirección y el sentido de un vector, aun cuando indican cosas distintas: La dirección

puede ser vertical, horizontal o con cierto ángulo de inclinación. El sentido puede ser hacia la izquierda; hacia la

derecha; hacia abajo o hacia arriba.

Por ejemplo, si una persona levanta un objeto con su mano desde el suelo, la dirección de la fuerza es vertical,

mientras que su sentido es hacia arriba.

Otras cantidades vectoriales en Física son el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, campo eléctrico, campo

magnético, momento de una fuerza.


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Ejemplo:

El desplazamiento: Un borrego que camina 18 metros hacia el sur de su corral.

d =18 m, 270°

Para realizar operaciones con vectores, generalmente los ubicamos sobre un sistema de coordenadas cartesianas, en

el cual se pueden descomponer en sus componentes ortogonales (componentes “x” y componentes “y”. En la figura

de la derecha podemos ver al vector V y sus componentes ortogonales son Vx y Vy

Suma de vectores.

Recordamos que los vectores pueden sumarse por los métodos gráficos del triángulo, paralelogramo y polígono,

obteniendo un vector resultante, al cual le podemos llamar Vr.

Estos métodos pueden presentar inexactitud, debido a los instrumentos utilizados. Para obtener una mayor precisión, en la suma de dos vectores, se utilizan la ley de los cosenos (para obtener el módulo) y la ley de los senos (para obtener la dirección).


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También se puede utilizar el método de componentes ortogonales, con el cual se pueden sumar dos o más vectores,

como en el siguiente caso, en el cual se quiere obtener la suma

la suma de los vectores resultantes.

la resultante también es la suma de sus componentes.

Resta o diferencia de vectores.

Para poder entender la resta de vectores, tenemos que introducir los conceptos de vector nulo y vector opuesto o vector negativo. El vector nulo es aquel que tiene magnitud o módulo igual a cero

Dado un vector V , se define el negativo de ese vector -V como un vector con la

misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto:

Se define la resta de dos vectores a y b como la suma del primero con el opuesto del segundo:

a –b = a + (–b)


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EJERCICIOS

RESUELVE LO QUE SE TE PIDE A CONTINUACIÓN

1. Obtén la suma de los siguientes vectores por la ley de los cosenos y por componentes ortogonales

Multiplicación de un vector por un escalar.

Multiplicar un vector por un número (escalar) es obtener un vector de igual dirección, de módulo igual al valor

absoluto del número por la intensidad del vector y cuyo sentido es el mismo u opuesto al del vector dado, según que

el número sea positivo o negativo.

Producto escalar o producto punto.

Hasta aquí hemos considerado la suma y resta de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar. Dos clases

de producto entre vectores son utilizados comúnmente en la Física: el producto escalar, que da por resultado un

escalar (un número), y el producto vectorial, que da por resultado otro vector.

Se define el producto escalar de dos vectores, como el escalar que resulta del producto del módulo de uno de los dos

vectores, por el módulo del otro y por el coseno del ángulo entre ambos.

A B = AB cos Ѳ


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Ejemplo:

Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las

direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

Solución:

W J

Producto vectorial o producto cruz.

Es una operación entre dos vectores, cuyo resultado es también un vector; el símbolo de producto reservado para

esta operación es “×” y no es sustituible por otro símbolo usual de producto. El producto vectorial entre dos vectores

A B se define como un vector de dirección perpendicular al plano de los dos vectores a multiplicar, cuyo módulo

es el producto de los módulos de los dos factores por el seno del ángulo entre ambos | A B |= A ⋅ B ⋅ sen θ y

cuyo sentido es el dado por la regla de la mano derecha tomándola como un giro del primer vector hacia el segundo

recorriendo el ángulo más pequeño entre ambos vectores.


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Una aplicación del producto vectorial es la torca o momento de una fuerza, que nos da a conocer en qué medida

existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase

por un punto. Se define por torca o momento de una fuerza a la expresión dada por: T = r x F , donde r es el

vector posición en donde es aplicada la fuerza F .

En la figura se observa que el cuerpo giraría alrededor del eje indicado por “O” a causa de la aplicación de una

fuerza en el punto indicado por el vector de posición . El vector que representa la torca, tiene una dirección

perpendicular a los vectores y , en este ejemplo es perpendicular “saliendo del papel”, lo cual es

representado por el símbolo ợ

Ejemplo:

Una tabla de 80 cm de longitud está unida a la pared mediante una bisagra. Si se le aplica una fuerza de 50 N en su

extremo libre en la dirección señalada en la figura, ¿cuál será el momento de la fuerza?

La dirección de la torca o momento es perpendicular al papel y saliendo de él. En los problemas que manejaremos,

generalmente no consideraremos la dirección del momento pero sí su sentido, el cual es positivo (contrario a las

manecillas del reloj).


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EJERCICIOS

RESUELVE LO SIGUIENTE

1. Obtén el producto escalar y el producto vectorial (cruz) de los siguientes vectores

1.2 Equilibrio de un cuerpo rígido.

Cuerpo rígido.

Un cuerpo rígido se define como un cuerpo ideal cuyas partes (partículas que lo forman) tienen posiciones relativas

fijas entre sí cuando se somete a fuerzas externas, es decir, es no deformable. Con esta definición se elimina la

posibilidad de que el objeto tenga movimiento de vibración. Este modelo de cuerpo rígido es muy útil en muchas

situaciones en las cuales la deformación del objeto es despreciable.

El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento de traslación y de rotación; para hacer

su descripción es conveniente estudiar en forma separada esos dos movimientos.

Por definición una partícula puede tener sólo movimiento de traslación. Si la resultante de las fuerzas que actúan

sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con velocidad constante o está en reposo; en este último

caso se dice que está en equilibrio estático. Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y de

rotación. En este caso, si la resultante tanto de las fuerzas como de las torcas que actúan sobre el cuerpo rígido es

cero, éste no tendrá aceleración lineal ni aceleración angular, y si está en reposo, estará en equilibrio estático. La

rama de la mecánica que estudia el equilibrio estático de los cuerpos se llama estática.

Condiciones de equilibrio.

Para que un cuerpo rígido este en equilibrio estático se deben cumplir dos requisitos simultáneamente, llamados

condiciones de equilibrio. La primera condición de equilibrio es la Primera Ley de Newton, que garantiza el

equilibrio de traslación. La segunda condición de equilibrio, corresponde al equilibrio de rotación, se enuncia de la

siguiente forma: “la suma vectorial de todas las torcas externas que actúan sobre un cuerpo rígido alrededor de

cualquier origen es cero”. Esto se traduce en las siguientes dos ecuaciones, consideradas como las condiciones

de equilibrio de un cuerpo rígido:


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Limitaremos el análisis a situaciones donde todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido, están en el plano

xy, donde también obviamente se encuentra r.

Con esta restricción se tiene que tratar sólo con tres ecuaciones escalares, dos de la primera condición de equilibrio y

una de la segunda, entonces el sistema de ecuaciones se reduce a las siguientes ecuaciones escalares:

Centro de gravedad.

Cuando se tratan problemas con cuerpos rígidos se debe considerar la fuerza de gravedad o el peso del cuerpo.

Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de

gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es

el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico

homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular.

Centro de masa.

Es la posición geométrica de un cuerpo rígido donde se puede considerar concentrada toda su masa y corresponde a

la posición promedio de todas las partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier

objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje de simetría.

Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta aplicada en el centro de masa

y analizar el movimiento del centro de masa como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se

considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de

masa es equivalente al centro de gravedad, ya que aquí la gravedad es prácticamente constante. En otras palabras, si g

es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa.

Diagrama de cuerpo libre.

Para los efectos de la resolución de problemas y con el fin de reconocer el número de fuerzas que actúan sobre un

cuerpo se recomienda hacer el diagrama de cuerpo libre (DCL), dibujo donde aparece el cuerpo o partícula aislada en

estudio en igual posición que en el problema y en el que se indican todas las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo como

consecuencia de interacciones con otros cuerpos.

Por lo tanto para realizar el DCL de una partícula son imprescindibles tres cosas:

Elección del cuerpo problema.

Reconocer el número de interacciones a que está sometido el cuerpo.

Un sistema de referencia.

Para mayor facilidad en el tratamiento de los problemas es de uso frecuente ubicar el DCL en sistema de coordenadas

(X-Y), de tal manera que por lo menos una fuerza coincida con los ejes.


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EJEMPLO:

Dibujar el DCL de la esfera

En este ejemplo, sólo hay dos fuerzas: el peso de la esfera (hacia abajo) y la tensión de la cuerda (hacia arriba).

Dado que la esfera no se mueve, la fuerza resultante es nula

EJERCICIOS

RESUELVE LO QUE SE PIDE A CONTINUACIÓN

Efectuar el diagrama de cuerpo libre (D.C.L) de los siguientes cuerpos

Resolución de casos de equilibrio estático.

Con los elementos conceptuales y procedimentales vistos anteriormente, estamos en situación de poder resolver

casos en los que se presenten diversas fuerzas y momentos de torsión actuando. Mediante la aplicación de las

condiciones de equilibrio se podrán establecer diversas ecuaciones que nos permitirán resolver una o varias

incógnitas: un ángulo, alguna fuerza, etc.

En la siguiente figura vemos el DCL de una tabla de longitud L que tiene un pivote (puede girar) en O. La tabla tiene

su centro de gravedad es su mitad y es ahí donde actúa la fuerza de gravedad de su propio peso W hacia abajo.

También actúan otras dos fuerzas hacia arriba, en los puntos A y B. Las tres fuerzas producen momentos de torsión

(torcas). Las fuerzas en A y B tienden a hacer girar la tabla en sentido anti horario (contrario a las manecillas del

reloj), por lo que sus momentos son positivos. El peso tiende a hacer girar la tabla en sentido horario (a favor de las

manecillas del reloj), por lo que su momento es negativo. Se dice que las fuerzas “tienden a hacer girar la tabla”

pero, como existe un equilibrio estático, la tabla no se mueve. Los casos en los que los objetos se mueven y giran

son estudiados por la dinámica y la cinemática.


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Ejemplo:

Un bloque de 120 N es sostenido por dos cuerdas tal como se muestra. Calcular las fuerzas de tensión en cada

cuerda.

Solución por el método de las componentes.

Para la solución de problemas por este método es indispensable tomar en cuenta lo que se conoce como:

Primera condición de equilibrio

La suma algebraica de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo debe ser igual a cero. Es decir:

∑ F 0

Esto equivale a decir que la suma algebraica de las componentes de la fuerza que actúan sobre un cuerpo en

cualquier dirección, debe cumplir con:


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La suma algebraica de las componentes horizontales es cero; esto es:

∑ FX = 0

La suma algebraica de las componentes verticales también es cero.

∑ Fy 0

Las componentes horizontales de las fuerzas que se dirijan hacia la derecha serán

positivas y hacia la izquierda negativas.

Las componentes verticales de las fuerzas que se dirijan hacia arriba serán positivas, y

hacia abajo, negativas. Para la resolución del presente problema tendremos:

T1 y T2 las fuerzas de tensión buscadas y w = 100 N el peso.

El punto “O” se encuentra en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas

Solución por el método del triángulo vectorial.

En la figura el punto “O” se encuentra en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas w, T1 y T2, por lo tanto, se

puede dibujar un triángulo rectángulo cuyos catetos son T1 y w. Siendo T2 la hipotenusa del mismo.

De esta forma los valores de T1y T2 se obtienen como sigue: T1 = w tan 300 = 100 N ( 0.577) = 57.7 N

T2 = w / cos 300 = 100 N / 0.866 = 115 N

Este método es mucho más sencillo, pero hay que tener presente que sólo se puede utilizar en los casos en que con el

sistema de fuerzas se pueda construir un triángulo.

EJERCICIOS


De dos ganchos empotrados en un techo horizontal se amarran los extremos de una cuerda de 11 m de longitud. Los

ganchos se encuentran separados por una distancia de 9 m. A los 4 m del extremo izquierdo de la cuerda se cuelga

un peso de w = 100 N. Calcular las fuerzas de tensión T1 y T2 en los extremos de la cuerda.

T2 30

o

T1


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1.3 Palancas y poleas

La palanca.

La palanca es una barra rígida apoyada en un punto sobre la cual se aplica una fuerza pequeña en un extremo, para

obtener una gran fuerza en el otro extremo; la fuerza pequeña o la fuerza que aplica la persona para mover el

cuerpo se denomina "potencia" y la gran fuerza o el peso del cuerpo que se quiere mover se llama

"resistencia". Al eje de rotación sobre el cual gira la palanca se llama "punto de apoyo" o "fulcro".

La fuerza de apoyo es la ejercida por el fulcro sobre la palanca. Si no se considera el peso de la barra, será siempre

igual y opuesta a la suma de las anteriores, de tal forma de mantener la palanca sin desplazarse del punto de apoyo,

sobre el que rota libremente.

Brazo de potencia; Bp: la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza de potencia y el punto de apoyo. Brazo de

resistencia; Br: distancia entre la fuerza de resistencia y el punto de apoyo.

Cuanto mayor sea la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y el punto de apoyo, menor es el esfuerzo que

hay que realizar.

Una masa se equilibra con otra veinte veces menor, si la situamos a una distancia del fulcro veinte veces mayor.

Nos encontramos con tres géneros, tipos, grados o clases de palancas:

Primer género. El punto de apoyo se encuentra entre la resistencia y la potencia, por ejemplo, la balanza.


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Segundo género. La resistencia está entre el punto de apoyo y la potencia, por ejemplo, la carretilla.

Tercer género. La potencia está entre el punto de apoyo y la resistencia, por ejemplo, la caña de pescar.

Ley de equilibrio de la palanca

Esta ley no es más que una consecuencia de la aplicación de la segunda condición de equilibrio estático, la cual

establece que la suma de los momentos debe ser cero, entonces el momento de la potencia debe ser igual al de

resistencia:

Mp = Mr

P × Bp = R × Br

La potencia (P) por su brazo (Bp) es igual a la resistencia (R) por el suyo (Br).


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Ejemplo:

Se tiene una palanca de 4m de largo en la que hay una carga de20 kg, que está a 2.7 m del eje. ¿Cuál será el valor de

la potencia, si esta fuerza se encuentra a 1.3 m del eje? El peso de la barra es despreciable.

Solución

P × Bp = R × Br

P = R×Br/Bp = (20×9.8) N ×2.7 m/1.3 m = 407 N

EJERCICIOS


En la figura está representada una barra rígida apoyada en P. En el extremo está colgado un cuerpo de1 Kg de masa.

¿Cuál debe ser la masa X del otro cuerpo que está colgado en el otro extremo para que el sistema quede en equilibrio

en la posición indicada en la figura? (Considera despreciables la masa de la barra y los rozamientos)

Las poleas.

Una polea no es más que una rueda que puede girar libremente alrededor de un eje que pasa por su centro.

Un sistema de poleas es un dispositivo con el cual se puede variar la dirección y la magnitud de una fuerza para

obtener alguna ventaja mecánica.

Una sola polea fija se utiliza para cambiar la dirección y sentido de una fuerza, mientras que una combinación de

varias poleas puede utilizarse para reducir la fuerza que se necesita para levantar una carga pesada.

Al sostener el peso R debemos aplicar una fuerza F. Y para que la polea no rote la suma de los momentos de las

fuerzas aplicadas debe ser cero, o sea: F × r – R × r = 0 de donde F = R lo cual indica que la fuerza motriz es igual a

la resistencia (en ausencia de roce, ya que con él la fuerza F es un poco mayor).


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A diferencia de la polea fija, la polea móvil se apoya sobre la cuerda.

Tiene un movimiento de rotación (sobre su eje) y otro de traslación, este es debido a que está en la cuerda. El peso

del objeto se descompone entre las dos ramas del cordel; luego la fuerza aplicada será sólo la mitad de la resistencia.

(Esto en ausencia de roce)

Si se pone a trabajar una polea móvil veremos que la rotación se produce alrededor del punto O. Para que esté en

equilibrio, la suma de las torcas producidas por la fuerza motriz y la resistencia debe ser cero.

La resistencia actúa con brazo „r‟ y la fuerza „F‟ con 2r.

Luego:

F × 2r = R × r De donde F = R/2

EJERCICIOS


1. Un cuerpo es sostenido mediante un aparejo potencial de 5 poleas de una sola cuerda. Si la potencia aplicada

es de 60 N, ¿cuál es el peso del cuerpo?

2. En el siguiente aparejo potencial, demuestra que F = P/8 (en este caso, se observa que no es una sola cuerda,

así que es diferente)


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UNIDAD II. CINEMÁTICA EN TU ENTORNO.

2.1 Movimiento de un cuerpo rígido.

La Cinemática trata el movimiento de los cuerpos sin tomar en cuenta las causas que lo producen, es decir, se estudian

magnitudes físicas tales como la distancia, desplazamiento, rapidez, velocidad, distancia y aceleración en el

transcurso del tiempo, pero no se discute nada acerca de las fuerzas.

Traslación y rotación de un cuerpo rígido.

No hay cuerpo que sea completamente rígido, pero podemos considerar como ejemplo las moléculas, las viguetas de

acero y los planetas (por lo general, sólidos) como lo suficientemente rígidos, de modo que no se tuercen ni se doblan

ni vibran.

En un cuerpo rígido se distinguen dos tipos de movimiento: la traslación y la rotación.

Un cuerpo se traslada cuando todos sus puntos se mueven paralelamente y con la misma velocidad en cada instante

(aunque la trayectoria puede ser curvilínea). Un cuerpo rota cuando todos sus puntos giran alrededor de un mismo eje

(llamado eje de rotación) con la misma velocidad angular (en la figura de la derecha, el eje de rotación es

perpendicular al papel y por el punto O). En general el movimiento del cuerpo será una combinación de ambos.

Un cuerpo rígido se mueve en una traslación pura, si cada partícula del cuerpo experimenta el mismo desplazamiento

que todas las demás partículas en un intervalo de tiempo dado.


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Cuando el cuerpo está en traslación pura (o cuando el interés es en analizar su movimiento de traslación), se puede

asumir como si fuera una partícula.

Ejemplos de movimientos de traslación y rotación:

Un esquiador deslizándose por una montaña.

Un ciclista trasladándose (en cuyo caso no hay interés en lo que pasa con la bicicleta sino con el sistema

como un todo.

El análisis de la traslación de la Tierra alrededor del sol (en este caso la Tierra se consideraría una partícula).

Movimiento en un plano.

Consideremos un punto móvil cuya trayectoria con respecto a un marco de referencia bien determinado es una curva

plana es decir, una curva enteramente contenida en un plano, como un círculo o una parábola, a diferencia de una

curva espacial (en tres dimensiones) como una hélice.

Posición

Fijemos un origen O en el marco de referencia. En un instante t, el punto móvil se encuentra en P y su posición

está dada por el vector posición .

La posición r varía en el transcurso del tiempo; a cada instante t le corresponde unívocamente un vector r.


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El extremo del vector describe la trayectoria a medida que t avanza. En t' el punto móvil está en P' y su posición es

.

Se llama desplazamiento durante el intervalo de tiempo Δt, al cambio en el vector posición:

Traslación uniforme.

Primero recordemos algunos conceptos:

Trayectoria: Es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa el móvil.

Distancia: Es la longitud de la trayectoria y se trata de una magnitud escalar.

Desplazamiento: Es el vector cuyo módulo es la línea recta entre la posición final y la inicial. El vector que

representa al desplazamiento tiene su origen en la posición inicial y su extremo en la posición final.

En el lenguaje ordinario los términos distancia y desplazamiento se utilizan como sinónimos aunque en realidad

tienen un significado diferente. Lo mismo ocurre con las definiciones de rapidez y velocidad las cuales se suele

confundir comúnmente; la rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo | | y

la velocidad es una magnitud vectorial que relaciona un cambio de posición (desplazamiento) con el tiempo

Un cuerpo rígido tiene movimiento de traslación rectilíneo uniforme (MRU) cuando todas sus partes se mueven a la

misma velocidad, es decir con la misma magnitud, dirección y sentido (línea recta)

Distancia

Trayectoria: ------


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Movimiento de traslación rectilíneo uniformemente acelerado.

Como la aceleración es un cambio de velocidad en un intervalo de tiempo, entonces podemos utilizar las fórmulas

para resolver los siguientes problemas:

Ejemplo:

Un camión de carga viaja con una velocidad de 70 km/h, aplica bruscamente los frenos y se detiene en 15 segundos

pues se le atravesó una vaca a 150 m. Calcular:

La aceleración.

La distancia total recorrida desde que aplicó los frenos para detenerse.

¿Atropelló a la vaca?


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EJERCICIOS


1. Un camión de pasajeros arranca desde el reposo manteniendo una aceleración constante de 0.6 m/s2. Calcula:

El tiempo transcurrido en recorrer 0.3 Km.

La rapidez en ese tiempo.

2. Un niño deja caer una pelota desde una ventana que está a 60 m de altura sobre el suelo. Calcula:

El tiempo que tarda en caer.

La velocidad con que chocará con el suelo.

Movimiento parabólico.

Hay movimientos de proyectiles cuya trayectoria es parabólica:

Una pelota de golf cuando una golfista la golpea lanzándola al aire.

Un balón de fútbol pateado por un futbolista que despeja desde la portería.

Un proyectil lanzado desde un avión.

En estos casos la velocidad se tendrá que descomponer y tratarse horizontal y verticalmente con:

v0x = vocosα Velocidad horizontal

Donde α es el ángulo que forma la vo con la horizontal.

Ejemplo:

Un jugador de fútbol golpea un balón con un ángulo de 37o con respecto a la horizontal comunicándole una

velocidad inicial de 20 m/s. Calcula:

El tiempo que dura la pelota en el aire.

La altura máxima alcanzada.

El alcance horizontal.


124

EJERCICIOS


1. Una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad inicial de 10 m/s y cae al suelo

después de 4 segundos. Calcula:

La altura en que se encuentra la ventana.

La distancia horizontal desde la base del edificio.

2. Un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 400 m/s y un ángulo de elevación de 300. Calcula:

El tiempo que dura en el aire.

La altura máxima alcanzada por el proyectil.

El alcance.


125

2.2 Rotación de un cuerpo rígido.

Rotación de un cuerpo.

Generalmente consideramos que los cuerpos tienen únicamente un movimiento traslacional pero hay casos como las

ruedas, ejes, poleas, giroscopio y muchos otros dispositivos mecánicos, que giran sobre su eje sin que haya

movimiento traslacional.

El movimiento de la rueda es un ejemplo de rotación pura de un cuerpo rígido, que se define así:

Un cuerpo rígido se mueve en rotación pura si todos sus puntos. Un cuerpo rígido se mueve en rotación pura si todos

sus puntos lo hacen en una trayectoria circular. Los centros de estos círculos han de estar en una línea recta común

perpendicular a ellos denominada eje de rotación

Aquí abordaremos el estudio del movimiento rotacional puro. Nos ocuparemos sólo de objetos rígidos en los cuales

no se observa movimiento relativo x de las partes a medida que el objeto gira; se excluye, por ejemplo un líquido

dentro de un contenedor que gira.

Posición angular.

Si hemos acordado llamar “movimiento” al cambio de la posición con el tiempo, será necesario establecer un criterio

para determinar qué posición ocupa un cuerpo en un instante de la rotación.

Desplazamiento angular.

En el instante t0 el cuerpo ha girado un ángulo θ0. En el instante posterior t, el cuerpo habrá girado un ángulo θ.

El cuerpo se habrá desplazado Δθ = θ − θ0 en el intervalo de tiempo Δt = t − t0 comprendido entre t0 y t.

El desplazamiento angular de un cuerpo se puede medir t0 con varias unidades.

La unidad más común en el mundo cotidiano es la “revolución” (rev), que se define como el desplazamiento

angular correspondiente a una vuelta completa.

Las matemáticas nos proporcionan otra unidad: el grado. Una revolución o vuelta completa se divide en 360°. Un

cuarto de revolución son 90°. Media vuelta son 180°, etc.

Ninguna de estas unidades es útil en Física para describir fácilmente la rotación de los cuerpos rígidos. Una medida

más cómoda de aplicar al desplazamiento angular es el radián (símbolo: rad).


126

Un radián es la medida de un ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio con que se ha trazado. Es más

común que el radián se defina por la siguiente ecuación:

Donde “s” es el arco de un círculo descrito por el ángulo θ. Puesto que el cociente s/r es la razón de dos distancias, el

radián es una cantidad sin unidades.

El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados se encuentra considerando un arco de longitud

s igual a la circunferencia (perímetro) de un círculo: 2πr. Dicho ángulo en radianes se obtiene de la ecuación.

Ejemplo:

Un punto situado en el borde de un disco giratorio, cuyo radio es de 6 m se mueve a través de un ángulo de 40°.

Calcula la longitud del arco descrito por el punto.

Solución

Como el ángulo debe estar en radianes, primero debemos convertir los 400 en radianes

La longitud del arco está dada por:


127

EJERCICIOS


1. Convertir:

65 rev a radianes

50π rad a revoluciones

900 rps (rev/s) a rad/s

2. Un punto localizado en el borde de una rueda cuyo radio es de 0.5 m se mueve en un ángulo de 370. Calcula

la longitud del arco descrito por ese punto.

Velocidad angular.

A la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo se le llama velocidad angular. Por lo tanto, si

un objeto gira a través de un ángulo θ en un tiempo t, su velocidad angular media está dada por:

El símbolo ω, (letra griega omega), se usa para denotar la velocidad angular (y la rotacional). Aun cuando la

velocidad angular puede expresarse en revoluciones por minuto o revoluciones por segundo, en la mayoría de los

problemas físicos es necesario utilizar radianes por segundo para adaptarse a fórmulas más convenientes. Puesto

que la velocidad angular en gran número de problemas técnicos se expresa en términos de revoluciones, la

siguiente relación será de utilidad:

ω = 2 πf

Donde ω (velocidad angular) se mide en radianes por segundo y f (frecuencia)se mide en revoluciones por segundo

o ciclos por segundo.

Ejemplo:

La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66 cm y realiza 40 revoluciones en 1 min.

¿Cuál es su velocidad angular?

¿Qué distancia lineal se desplazará?


128

EJERCICIOS


1. Un motor eléctrico gira a 900 rpm. ¿Cuál es su velocidad angular? y ¿cuál es el desplazamiento angular

después de 6 s?

2. Encuentra la velocidad angular de un disco de 45 rpm, así como su desplazamiento angular si su

movimiento duró 2.5 minutos.

Aceleración angular.

El movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de la rotación puede aumentar o disminuir bajo

la influencia de un “momento de torsión” resultante. Por ejemplo, si la velocidad angular cambia

constantemente de un valor inicial ω0 a un valor final ω en un tiempo t, la aceleración angular es constante y:

La letra griega α (alfa) denota la aceleración angular y las unidades típicas son rad/s2, rev/min2, etcétera.

Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular acelerado son las mismas que se utilizan para el rectilíneo

uniformemente acelerado con las siguientes variantes:


129

En lugar de desplazamiento en metros hablaremos de desplazamiento angular en radianes (θ en lugar de d).

La velocidad en m/s se traducirá como velocidad angular en rad/s (ω en lugar de v).

La aceleración en m/s2 se cambiará a aceleración angular en rad/s2 (α en lugar de a).

EJERCICIOS


1. Un engrane adquirió una velocidad angular de 2512 rad/s en 1.5 s. ¿Cuál fue su aceleración angular?

2. Un carrete circular de 50 cm de radio gira a 450 rev/min. Luego se detiene por completo después de 60

revoluciones. Calcula:

La aceleración angular.

El tiempo en detenerse.


130

Traslación y rotación uniforme y uniformemente aceleradas.

Con frecuencia se encuentran dos casos especiales de rotación:

Rotación uniforme. Este caso se caracteriza por el hecho de que la aceleración angular es cero (α = 0). La

Rotación uniformemente acelerada. En este caso la aceleración angular es constante. Las fórmulas que se

utilizan para este tipo de movimiento se mostraron anteriormente en una tabla, haciendo hincapié que se

utilizan estas fórmulas cuando α = constante.

En el caso de la traslación, se presenta la traslación rectilínea y traslación curvilínea, en los dos puede suceder que

sea uniforme su velocidad (a = 0, α = 0), entonces v = d/t, o bien ω = θ/t respectivamente; si el movimiento es

uniformemente acelerado, se utilizarán las fórmulas de aceleración lineal constante.

Relación entre los movimientos rotacional y lineal.

Cuando más lejos se encuentre una partícula del eje de rotación, mayor es su velocidad lineal según la siguiente

fórmula.

donde f es la frecuencia de rotación y r el radio de curvatura. Como s = θ r, entonces:

Puesto que θ/t = ω, la velocidad lineal se puede expresar como una función de la velocidad angular.

La aceleración tangencial, en términos de un cambio en la velocidad angular quedaría:

Donde α representa la aceleración angular.

No hay que confundir la aceleración tangencial (cambio de velocidad lineal) con la aceleración centrípeta (cambio en

la dirección del movimiento).


131

EJERCICIOS


1. Una rueda que gira a 100 rev/s disminuye su frecuencia a 20 rev/s en 5 s. Determina el valor de su

aceleración angular.

2. ¿Cuál es el valor de la aceleración tangencial de una partícula, cuya aceleración angular es de 5 rad/s2 y su

radio de giro es de 15 cm?


132

UNIDAD III. ANALIZAS LA CINÉTICA ROTACIONAL

3.1 Aplicación de las leyes de Newton.

Primera ley de Newton

“Todo objeto se mantiene en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, si la resultante de las fuerzas

que actúan sobre él es cero”.

Esta ley es totalmente válida cuando se trata de un sistema de referencia inercial. Dicho sistema es aquél en el cual no

hay aceleración, es decir, se considera que está en reposo, o bien, se mueve a velocidad constante. Así pues, aquellos

sistemas de referencia que se mueven con velocidad uniforme unos respecto a los otros, reciben el nombre de

inerciales.

Segunda ley de Newton

La fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración y esta es inversamente

proporcional a su masa.

Esta ley se define con la fórmula usada para calcular la fuerza que actúa sobre un cuerpo, las unidades para la

medición de la fuerza son los Newtons;

Tercera ley de newton

Un objeto que ejerce una fuerza sobre otro, éste también ejerce una fuerza sobre aquél, de la misma intensidad o

módulo, en la misma dirección pero en sentido contrario. La tercera ley de la acción y la reacción, también llamada

ley de las interacciones se puede enunciar de las siguientes maneras:

a. A toda acción corresponde una reacción de la misma magnitud que actúa en la misma dirección pero con

sentido contrario.

b. Cuando un objeto A ejerce una fuerza sobre un objeto B, éste reacciona sobre A ejerciendo una fuerza de la

misma intensidad y dirección, pero en sentido contrario.

Ejemplo:

Una masa de 3 kg se somete a una aceleración cuyas componentes ortogonales son: aX = 2 m/s2 y aY = 5 m/s2.

Calcula la magnitud de la fuerza FR que produce dicha aceleración y la dirección de la misma.

m = 3 kg

aX = 2 m/seg2 aY = 5 m/seg

FR = ?


133

EJERCICIOS


1. Sobre un cuerpo de 8 kg de masa se ejercen fuerzas de 5 newton y 12 newton que forman entre si un ángulo

de 90°. Calcula la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y la aceleración que experimentan.

Fricción.

Antes de abordar el estudio de las fuerzas de fricción, es indispensable tener presentes los siguientes conceptos:

La fuerza llamada “peso”

Cada partícula de un cuerpo es atraída por la Tierra con una fuerza igual al peso de esa partícula. El sentido de cada

una de esas fuerzas está dirigido hacia el centro de la Tierra y se las considera paralelas entre sí. De tal manera que

se considera a la fuerza “peso” del cuerpo como la resultante de todas esas fuerzas paralelas.

El Peso de un cuerpo es la fuerza con que el cuerpo es atraído por la Tierra en dirección a su centro. El vector Peso

de un cuerpo sigue la dirección de la vertical, y su punto de aplicación se denomina teóricamente centro de gravedad

o baricentro. En los cuerpos de forma regular y con peso uniforme, su baricentro coincide con su centro geométrico.

La fuerza normal

Supongamos que un bloque de masa m está en reposo sobre una superficie horizontal como se muestra en la figura;

las únicas fuerzas que actúan sobre él son su peso W = mg y la fuerza de contacto de la superficie. La fuerza ejercida

por la superficie soporta el bloque, manteniéndolo en reposo, ya que la aceleración del bloque es cero. Esto significa

que la fuerza de contacto es la fuerza normal N, porque tiene dirección perpendicular, o normal a la superficie; así en

la figura N = mg (fuerza normal o reacción del plano o fuerza que ejerce el plano sobre el bloque) depende del peso

del bloque, la inclinación del plano y de otras fuerzas que se ejerzan sobre el bloque.


134

Si ahora el plano está inclinado un ángulo θ, el bloque está en equilibrio en sentido perpendicular al plano inclinado,

por lo que la fuerza normal N es igual a la componente del peso perpendicular al plano, W = mg cos θ

Por lo que en este caso, el valor del vector fuerza normal N se obtiene de la siguiente forma:

N=mg cos θ

Siempre que se pretende que un cuerpo en estado de reposo se empiece a mover o si éste se mueve a través de

una superficie o de un medio viscoso como el aire o el agua, hay una fuerza que se opone al movimiento debido a

que el cuerpo interactúa con sus alrededores. Dicha resistencia recibe el nombre de fuerza de fricción.

La fuerza de fricción se define como fuerza de rozamiento entre dos superficies en contacto. Existen dos tipos de

fuerzas de rozamiento o fricción: la fricción estática y la fricción cinética. La primera es una resistencia que se debe

superar para poner en movimiento a un cuerpo con respecto a otro cuando se encuentran en contacto. La segunda

es una fuerza de magnitud constante que se opone al movimiento una vez que éste ya comenzó. En resumen, lo que

diferencia a un roce con el otro es que el estático actúa cuando el cuerpo está en reposo y el cinético cuando está en

movimiento.

La fuerza de fricción estática es mayor que la cinética, porque al permanecer en reposo ambas superficies, pueden

aparecer enlaces iónicos, o incluso micro soldaduras entre las superficies. Este fenómeno es tanto mayor cuanto más

perfectas son las superficies. Un caso más o menos común es el del interior del motor de un automóvil que al estar

mucho tiempo parado y por diferentes factores como la temperatura, la humedad y el polvo, provocan que al

permanecer en contacto y en reposo las superficies del pistón y los cilindros durante largo tiempo, se pueden llegar a

soldar entre sí. Otro ejemplo bastante simple de fricción cinética es la ocurrida con las llantas de un auto al frenar.


135

Coeficiente de fricción o de rozamiento

La mayoría de las superficies, aun las que se consideran pulidas, son extremadamente rugosas a escala microscópica.

El coeficiente de fricción es una cantidad adimensional que expresa la oposición que ofrecen dichas superficies al

movimiento relativo de una con respecto a la otra. Usualmente se representa con la letra griega μ. Si la fuerza de

fricción es estática, se ocupará el coeficiente de fricción estática μs que se mide cuando ambas superficies en

contacto están en reposo; la “s” proviene del griego στατικóσ “statikós” (estacionario). Si la fuerza de fricción es

cinética, se ocupará el coeficiente de fricción cinética μk; se mide cuando ambas superficies están en movimiento

relativo el uno respecto del otro, puede moverse una sola superficie o ambas. La k proviene del griego κίνησις

“kinesis” (movimiento o el acto de mover).

El valor del coeficiente de fricción es característico de cada par de materiales y no una propiedad intrínseca de un

material en especial. Depende además de muchos factores como la temperatura, el acabado o rugosidad de las

superficies en contacto, la velocidad relativa entre las superficies, el tiempo que las superficies duran en contacto,

etcétera, por lo que su valor se determina experimentalmente. Sin embargo, existen manuales especializados en los

que se pueden consultar un gran número de coeficientes de fricción de los materiales más utilizados. Coeficiente de

fricción de algunas sustancias:


136

El coeficiente de fricción cinética es, para la mayoría de los pares de materiales, menor que el coeficiente de fricción

estática, cosa que puede comprobarse fácilmente. Cuando se intenta empujar un objeto pesado, se comprueba que

la fuerza que se tiene que realizar para que se comience a mover es mayor que la fuerza necesaria para mantenerlo

en movimiento. Parece como si el bloque estuviera Inicialmente pegado al suelo, de modo que una vez que se

despega se desliza con cierta facilidad.

Cálculo de la fuerza de fricción

Conocidos los valores del coeficiente de fricción aplicable a un caso dado, la fuerza de fricción f máxima que puede

ejercer una superficie sobre la otra (justo antes de moverse) se expresa como el producto del coeficiente de fricción

estática μs por la fuerza normal N perpendicular a ambas superficies:

En cuanto empieza el movimiento de deslizamiento de una superficie sobre la otra, la fuerza de fricción permanece

estable y se expresa como el producto del coeficiente de fricción cinética μk por la fuerza normal N perpendicular a

ambas superficies:

Diagrama de cuerpo libre

Con el fin de tener buenos resultados al aplicar la segunda ley de Newton a un sistema mecánico, primeramente se

deben de reconocer todas las fuerzas que actúan sobre el sistema. Es decir, se debe construir el diagrama de cuerpo

libre correcto.

Cuando se hace un diagrama de cuerpo libre se deben de tomar en cuenta cada uno de los elementos que

interactúan en el sistema.


137

A continuación, se muestran algunos ejemplos de diagramas de cuerpo libre en los que F denota cierta fuerza

aplicada, W = mg es el peso o fuerza que la gravedad ejerce sobre los cuerpos, N es la fuerza normal, f es la fuerza de

fricción y T es la fuerza de tensión en la cuerda que jala al objeto.

A la izquierda se ilustran varios sistemas mecánicos y a la derecha los diagramas de cuerpo libre correspondientes. El

término rugoso significará únicamente que la superficie tiene fricción.

Fuerza de fricción estática

Existe una fuerza de fricción entre dos objetos que no están en movimiento relativo. Tal fuerza se llama fuerza de

fricción estática. En la siguiente figura, se aplica una fuerza F que aumenta gradualmente, pero el bloque permanece

en reposo. Como en todos estos casos la aceleración es cero, la fuerza F aplicada es igual y opuesta a la fuerza de

fricción estática fs, ejercida por la superficie.


138

La máxima fuerza de fricción estática fs máx, corresponde al instante en que el bloque está a punto de deslizar. Los

experimentos demuestran que:

fs máx = μsN

Donde la constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de fricción estática. Por tanto, la fuerza de fricción

estática varía hasta un cierto límite para impedir que una superficie se deslice sobre otra:

fs máx <= μsN

Ejemplo:

El objetivo de este ejemplo, es analizar el movimiento de los tres cuerpos que forman el sistema que aparece en

la figura.

Un cuerpo A cuelga de una cuerda que pasa a través de una polea de masa despreciable y que está unida a un

bloque B que puede deslizar a lo largo de un plano horizontal. Sobre el bloque B se coloca un cuerpo C. Se supone

que la fricción entre el cuerpo B y el plano horizontal es despreciable. Mientras que existe una fricción entre el cuerpo

C y el cuerpo B.

Este ejemplo puede servir como experiencia simulada para medir el coeficiente de fricción estática. Se va variando la

masa del cuerpo A, es decir la aceleración del sistema hasta observar que el cuerpo C comienza a deslizar sobre el

cuerpo B. Con los datos de las masas de los tres cuerpos se calcula la aceleración del sistema y a partir de este dato

se determina el coeficiente de fricción estática de la siguiente forma:

Cuando el cuerpo C está en reposo sobre el cuerpo B. Ambos tienen la misma aceleración a que la del cuerpo A.

mAg − T = mA a Movimiento del cuerpo A


139

T − f = mB a Movimiento del cuerpo B

f = mC a Movimiento del cuerpo C

La fuerza de fricción f es la que hace que el cuerpo C se mueva con el cuerpo B; el cuerpo B ejerce una fuerza f

sobre el cuerpo C dirigida hacia la derecha. Por el principio de acción y reacción el cuerpo C ejerce una fuerza igual

y de sentido contrario sobre el cuerpo B.

De estas ecuaciones se obtiene la aceleración a y la fuerza f de fricción entre los cuerpos B y C

Cuando el cuerpo C va a empezar a deslizar sobre el cuerpo B.

Cuando f = mC a alcance el valor máximo μsN o bien μsmCg, el cuerpo C va a empezar a deslizar sobre el cuerpo

B. μs es el coeficiente de fricción estática.

Al incrementar la masa de A, se incrementa la aceleración; en el momento en el que el cuerpo C va a empezar a

deslizar se cumple que:

Se calcula la aceleración crítica a, a partir de los valores de las masas mA, mB y mC en la fórmula anterior y a

continuación se obtiene por despeje el valor del coeficiente de fricción estática.


140

Fuerza de fricción cinética

En la siguiente figura se muestra un bloque de masa m que se desliza por una superficie horizontal con velocidad

constante. Sobre el bloque actúan tres fuerzas: el peso mg, la fuerza normal N, y la fuerza de fricción Fk entre el

bloque y la superficie. Si el bloque se desliza con velocidad constante, la fuerza aplicada F será igual a la fuerza de

fricción Fk.

Si se duplica la fuerza normal N (por ejemplo al duplicar la masa), la fuerza de fricción fk también se duplica. Por lo

tanto la fuerza de fricción cinética fk es proporcional a la fuerza normal N.

La constante de proporcionalidad μk es un número sin dimensiones que se denomina coeficiente de fricción

cinética.

EJERCICIOS


En el sistema de la figura, los bloques A (mA = 0.8 kg) y B (mB = 0.2 kg) se deslizan con velocidad constante sobre

la superficie horizontal por acción de otro bloque C (mC = 0.2 kg) suspendido. Se separa el bloque B del bloque A y

se suspende junto con el C. ¿Cuál será la aceleración del sistema? ¿Y la tensión de la cuerda?


141

3.2 Energía cinética de rotación.

Energía cinética de rotación.

Las leyes de Newton facilitan la comprensión y el análisis de muchos problemas de mecánica. Ahora se examinará

otro método basado en uno de los conceptos verdaderamente fundamentales y universales de la Física: la energía.

Hay muchas clases de energía, por ahora se abordará principalmente la energía cinética rotacional, que se relaciona

con un cuerpo rígido en movimiento.

Trabajo de un peso

Se definió el trabajo como el producto de un desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del

desplazamiento. T = Fd cos Ѳ. El trabajo del peso de un cuerpo, es decir, el que la gravedad ejerce sobre ese

cuerpo, se obtiene al sustituir peso (P) por fuerza, por lo tanto el trabajo será:

Trabajo =P·h

Donde h es la altura a la que se desplazará el cuerpo.

Ahora se considerará el trabajo realizado en el desplazamiento rotacional bajo la influencia de un momento de torsión

resultante.

Considerando la fuerza F que actúan al borde de una polea de radio r, como se muestra en la figura de la derecha. El

mueve una distancia s. La distancia del arco s se relaciona con un ángulo Ѳ mediante s = r Ѳ

Así, el trabajo de la fuerza F es por definición

Trabajo = Fs =

Pero Fr es el momento de torsión debido a la fuerza, por lo tanto:

La energía mecánica generalmente se transmite en forma de trabajo rotacional. Cuando hablamos de la potencia de salida que desarrollan las máquinas, lo que interesa es la rapidez con que se realiza el trabajo rotacional. Por lo tanto, la potencia rotacional puede determinarse dividiendo ambos lados de la ecuación entre el tiempo t requerido para que el momento de torsión τ lleve a cabo un desplazamiento

Puesto que θ /t representa la velocidad media angular ω, se puede escribir:

Se observa la similitud entre esta relación y su análoga P = Fv donde F=fuerza y v=velocidad


142

Ejemplo:

Calcula el trabajo para levantar verticalmente una escalera de 2.5 m de longitud cuya masa es de 20 kg si

tiene su centro de gravedad a 1.6 m del nivel inferior y se encuentra colocada horizontalmente.

El trabajo que se realiza contra la gravedad para poner verticalmente la escalera es igual al peso de la escalera

por la distancia al centro de gravedad.

Como el ángulo es cero y P=mg, entonces:

cos 0° = 1 y P = (20kg)(9.8m/s2) = 196 N

T = (196 N) (1.6 m) = 313.6 Joule

EJERCICIOS


1. Una gata decide trasladar su camada de 6 gatitos, cada uno de 200 g, de tal manera que los lleva (uno

por uno) 10 m por el piso horizontal con rapidez constante y luego los sube a una caja situada a 3 m sobre el

piso por una escalera. Calculen el trabajo realizado por la gata.

2. Una lámpara de 2 kg se desprende del techo y cae sobre el piso desde una altura de 2.5 m. Calculen:

La energía potencial y cinética antes de soltarse.

El trabajo que realiza la lámpara al caer.


143

Ley de la conservación de la energía.

Una partícula que se mueve en un círculo de radio r tiene una velocidad lineal

Si la partícula tiene una masa m tendrá una energía cinética igual a

Un cuerpo rígido se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversas

distancias del eje de rotación 0. La energía de cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías

cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo.

Puesto que la fracción ½ y la velocidad angular ω son las mismas para todas las partículas, se puede reorganizar

la ecuación anterior y obtener:

La cantidad entre paréntesis ∑ , tiene el mismo valor para un cuerpo dado, independientemente de su estado de

movimiento. Se define esta cantidad como “el momento de inercia” y se representa por I:


144

La unidad del SI para la I es el kilogramo-metro al cuadrado. Utilizando esta definición, podemos expresar la

energía cinética rotacional de un cuerpo en términos de su momento de inercia y de su velocidad angular.

Existe una similitud entre los términos m para el movimiento lineal e I para el movimiento rotacional.

La energía se define como la capacidad para realizar un trabajo; su unidad es el Joule que corresponde a 1 N m.

La energía cinética es el trabajo W realizado por una fuerza sobre un cuerpo y es igual a una variación de su

energía cinética:

La energía potencial es el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un cuerpo y es igual a la

disminución de la energía potencial:

Si es la fuerza conservativa la única fuerza que actúa sobre el cuerpo podemos decir que:

Si sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica se conserva en todos los puntos de su

trayectoria.

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza para trasladar una partícula material de un punto “A” a otro

“B” no depende del camino seguido sino tan sólo de los puntos inicial y final.

El trabajo total realizado sobre un cuerpo es igual a la suma del trabajo realizado por las fuerzas conservativas

más el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.

EJERCICIOS


Calcula el momento de inercia del sistema que se muestra en la figura, considerando que el peso de las barras

que sostienen las masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad angular de 5 rad/s. Calcula la

energía cinética rotacional (considera que las masas están concentradas en un punto)


145

Cantidad de movimiento angular.

La cantidad de movimiento angular es un vector cuya magnitud para una partícula en movimiento circular es L

= r m v, donde “r” es el radio de giro, “m” es la masa de la partícula y “v” es la velocidad tangencial. Para un

cuerpo rígido que está en rotación se representa mejor con L = Iω, donde “I” es el momento de inercia y “ω” es

la velocidad angular. Si la torca resultante sobre el cuerpo es cero, la cantidad de movimiento angular

permanece constante tanto en magnitud como en dirección. A esta ley se le conoce como “ley de conservación

del momento angular”. A la “cantidad de movimiento angular” también se le conoce como “momento angular”

o “ímpetu angular”.

De acuerdo con la ecuación fundamental del movimiento angular, τ = Iα y

por lo tanto la segunda ley de Newton para la rotación quedaría:

Multiplicando por t, obtenemos:

Impulso angular = cambio en la cantidad de movimiento angular.


146

Momento de inercia de figuras regulares.

El momento de inercia es una magnitud cuyo valor depende de la distribución de la masa respecto del eje

considerado, por lo tanto un mismo cuerpo puede tener infinitos momentos de inercia.

Si los elementos de masa de un objeto se distribuyen paralelos al eje de rotación, el momento de inercia del

objeto no cambia. Por lo tanto, la expresión I = mr2 se puede usar con igual eficiencia para calcular el momento

de inercia axial de un anillo de bordado o de un largo tubo de drenaje. De igual modo, una puerta que gira en

sus bisagras se describe con la misma expresión de momento de inercia que la tabulada para una varilla larga y

delgada que gira alrededor de su extremo.

Se presentan a continuación algunas figuras regulares con su momento de inercia; en ellas se observa que de

acuerdo a cómo esté posicionado el eje de rotación, un mismo cuerpo puede tener diversos momentos de inercia.

Además, en estas ilustraciones en particular, el radio de la rotación está simbolizado con una “R” y las

longitudes están representadas con una “L”

Ejemplo:

Una esfera uniforme de 600 g y de 8 cm de radio gira a 40 rev/s a través del eje que pasa por el centro. Calcula su:

a) Energía cinética rotacional. b) Cantidad de movimiento angular. c) Radio de giro.

El momento de inercia de una esfera uniforme alrededor de un eje que pasa por su centro se calcula con:


147

EJERCICIOS


1. Un disco sólido de 15 kg rueda sobre una superficie horizontal a razón de 5 m/s. Calcula su energía

cinética.

2. Un anillo de 5 cm de radio parte del reposo y rueda hacia debajo de una colina hasta un punto que se

encuentra 2.0 m por debajo del punto inicial. Calcula la rapidez en ese punto.

3. Una rueda de 5.0 kg que tiene 30 cm de radio de giro, está rodando a 420 rpm. La torca debida a la

fuerza de fricción es de 0.2 N•m. Calcula el tiempo necesario para llevar la rueda hasta el reposo.


148

BIBLIOGRAFÍA

Pérez Montiel, Héctor. Física 1 para Bachillerato General. México, 2ª. Ed., Publicaciones Cultural, 2003.

Pérez Montiel, Héctor. Física 2 para Bachillerato General. México, 2ª. Ed., Publicaciones Cultural, 2003.

Pérez Montiel, Héctor. Física General. México. Publicaciones Culturales, 2ª. Edición, 2004.

unidad i. aplicas la estÁtica · quinto cuatrimestre especialidad en informática 100 unidad i....

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