unidad 5

Conversión De Energía

Como sabemos por la 1ª y 2ª Leyes de la Termodinámica, la energía se puede transmitir y es constante en el sistema que se observa. Además cuando transformamos energía en trabajo no podemos tomar íntegramente la energía y transformarla en la misma cantidad de trabajo.

Conversión de energía

Las máquinas térmicas transforman la energía calorífica en trabajo mecánico. Algunos tipos son: Las máquinas de vapor, los motores de combustión interna y los motores de reacción.

Todas estas máquinas operan en un ciclo donde parte del calor que toman lo convierten en trabajo y el resto es desechado al ambiente.

Conversión De Energía

La eficiencia de estas máquinas está dada por el cociente de trabajo realizado entre calor absorbido. También la eficiencia se mide por la resta de la unidad y el cociente de la temperatura absorbida entre la total.

2

1

2

12

2

1

2

21

1

1

TT

TTT

QQ

QQQ

EjemploUna maquina de vapor tiene un calentador que opera a 500 oK. La energía desde el combustible que se quema transforma el agua en vapor, y este vapor entonces conduce un pistón. La temperatura del deposito frío es el mismo del aire exterior, aproximadamente 300 ºK. ¿Cuál es la máxima eficiencia térmica de esta maquina de vapor?

eC= 1 –Tf/Tc = 1 – 300/500 = 0.40 ó 40%

PROPIEDADES MOLECULARES DE LA MATERIA

Teoría MolecularLa TCM se basa en las siguientes hipótesis:•Las sustancias están formadas por moléculas. •Entre molécula y molécula no hay nada, es decir existe vacío .•Las moléculas están en continuo movimiento, aumentando la velocidad de estas cuando aumenta la temperatura

La Teoría Cinético Molecular (TCM) es un modelo que usan los científicos para explicar la naturaleza de la materia. Una teoría o modelo consiste en hacer un conjunto de suposiciones (hipótesis) de cómo están hechas las cosas o de cómo funcionan, a lo que llamamos interpretación teórica..

Teoría Cinética De Un Gas Ideal

2. Las moléculas de los gases están en movimiento constante, y se desplazan en línea recta en direcciones aleatorias.

3. Las moléculas de gas no ejercen fuerzas atractivas ni repulsivas entre sí y son esferas duras.

1. Un gas está compuesto de moléculas que están separadas por distancias mucho mayores que sus propias dimensiones. Las moléculas pueden considerarse como puntos, es decir, poseen masa pero el volumen que ocupan es despreciable frente al volumen del recipiente que las contiene.

4. Los impactos de las moléculas, unas con otras y contra las paredes del recipiente son perfectamente elásticos.

5. La energía cinética promedio de las moléculas es proporcional a la temperatura del gas en kelvins. Cualquiera de los gases a la misma temperatura tendrán la

misma energía cinética promedio.

6. Los gases poseen forma y volumen variable.

7. Se comprimen con facilidad y se expanden continuamente.

Teoría Cinética De Un Gas Ideal

Capacidad Calorífica Molar De Un Gas

– Q = nCVDT (volumen constante)

– Q = nCPDT (presión constante)

Donde CV es el calor específico molar a volumen constante, y CP es el calor específico molar a presión constante.

Se definen dos calores específicos para dos procesos que ocurren con frecuencia: cambios a volumen constante y cambios a presión constante.

Definimos los calores específicos asociados a estos procesos mediante las siguientes ecuaciones:

Capacidad Calorífica Molar De Un GasLa energía térmica total U de N moléculas o (n moles) de un gas monoatómico ideal es:

nRTTNkU 23

B23

Si se transfiere calor al sistema a volumen constante, el trabajo realizado por el sistema es cero. Por lo tanto de la primera ley tenemos que:

TnRQQ 23

El proceso a volumen constante de i a f se describe en la figura, donde DT es la diferencia de temperatura entre las dos isotermas.

De la definición de calor específico dada antes obtenemos: RCV 2

3El cambio de energía interna de un gas ideal puede expresarse como:

DU = nCVDT

En el límite de cambios infinitesimales encontramos que el calor específico molar a volumen constante es igual a

dT

dU

nCV

1


Supongamos ahora que el gas se toma a lo largo de la trayectoria de presión constante i f‘. El calor que se transfiere al gas en este proceso es Q = nCPDT. Como en este proceso el volumen aumenta, el trabajo realizado por el gas es W = PDV. La aplicación de la primera ley produce: DU = Q - W= nCPDT - PDV… (1)

En este caso la energía añadida al gas o extraída del gas se transfiere en dos formas:


Pero el cambio de energía interna correspondiente al proceso i f ‘ es igual al cambio en el proceso i f debido a que U depende sólo de la temperatura para un gas ideal, y DT es la misma en cada proceso. Además, puesto que PDV = nRDT . La sustitución de este valor para PDV en la ecuación (1) con DU = nCVDT produce

nCVDT = nCPDT - nRDT

CP – CV = R

Parte de ella realiza el trabajo sobre los alrededores mediante el movimiento del émbolo, y el resto se transfiere como energía térmica del gas.


Esta expresión se aplica a cualquier gas ideal. Indica que el calor específico molar de un gas ideal a presión constante es mayor que el calor específico molar a volumen constante en una cantidad R. Puesto que , entonces . La razón de las capacidades caloríficas es una cantidad adimensional g:


67.13

5

V

P

C

C

RCV 23

RCP 25

Un cilindro contiene 3 moles de gas He a una temperatura de 300 K a) si el gas de calienta a volumen constante ¿Cuánta energía debe transferirse por calor al gas para incrementar su temperatura hasta 500 K? b) ¿Cuánta energía debe transferirse por calor al gas a presión constante para incrementar su temperatura hasta 500 K? c) ¿Cuál es el trabajo hecho por el gas en ese proceso isobárico?Volumen cte: Q1 = n CVDT = (3)(12.5)(200) = 7.5 x 103 J

Presión cte: Q2 = n CPDT = (3)(20.8)(200) = 12.5 x 103 J

El trabajo es: W = Q2 – Q1 = 5 x 103 J

Ó: W = PDV = nRDT = (3)(8.314)(200) = 5 x 103 J

Ejemplo

Mecánica Estadística

observado por primera vez por Maxwell y ampliado por Boltzmann.

A medida que se examina la distribución de partículas en el espacio se encuentra que las partículas se distribuyen por sí solas entre estados de energía diferente de un modo específico el cual depende exponencialmente de la energía, como fue

La función exponencial puede interpretarse como una distribución de probabilidad que produce la probabilidad relativa de encontrar una molécula de gas a cierta altura y. De este modo, la distribución de probabilidad p(y) es proporcional a la distribución de densidad n(y).

Este concepto nos permite determinar muchas propiedades del gas, como la fracción de moléculas debajo cierta altura o la energía potencial promedio de una molécula. La altura promedio de una molécula en la atmósfera a la temperatura T. La expresión para esa altura promedio es:

0

0

0

0

B

B

dye

dyye

dyyn

dyyyny

Tkmgy

Tkmgy

Ley De Distribución De Boltzmann

Después de efectuar las integraciones indicadas, encontramos:

mg

Tk

mgTk

mgTky B

B

2B

/

/

Con un procedimiento similar podemos determinar la energía potencial gravitacional promedio de una molécula de un gas.

Debido a que la energía potencial gravitacional de una molécula a una altura y es U = mgy, vemos que U = mg(kBT /mg) = kBT.

Esto muestra que la energía potencial gravitacional promedio de una molécula depende solo de la temperatura y no de m o g.


Como la energía potencial gravitacional de una molécula de altura y es U = mgy, podemos expresar la ley de distribución como :

TkUenn B0

Esto significa que las moléculas en equilibrio térmico se distribuyen en el espacio con una probabilidad que depende de la energía potencial gravitacional de acuerdo con un factor:

TkUe B/


Esto puede expresarse en tres dimensiones, pero observando que la energía potencial gravitacional de una partícula depende en general de tres coordenadas. Es decir, U(x,y,z), por lo que la distribución de las partículas en el espacio es:

TkzyxUenzyxn B/,,0,,

Este tipo de distribución se aplica a cualquier energía que las partículas tengan, como la energía cinética. En general el número de relativo de partículas que tienen energía E es

TkEenEn B/0

Esta se conoce como ley de distribución de Boltzmann y es importante al describir la mecánica estadística de un gran número de partículas.


Si N es el número total de moléculas, entonces en número de moléculas con velocidades entre v y v + dv es dN = Nvdv. Este número también es igual al área del rectángulo sombreado en la figura La expresión fundamental que describe la distribución más probable de velocidades de N moléculas de gas es:

Tkmvv ev

Tkm

NN B2 2/2

2/3

B24

Distribución De Velocidades Moleculares

Como se indica en la figura, la velocidad promedio, es un poco menor que la velocidad rms. La velocidad más probable, vmp, es la velocidad a la cual la curva de distribución alcanza un máximo. Utilizando la ecuación anterior encontramos que

mTkmTkv

mTkmTkv

mTkmTkvv

/41.1/2

/60.1/8

/73.1/3

BBmp

BB

BB2

rms

La ley de distribución de Maxwell-Boltzmann muestra que la distribución de velocidades moleculares de un gas depende de la masa así como de la temperatura.


A una temperatura dada, la fracción de partículas con velocidades que exceden un valor fijo aumenta a medida que la masa disminuye. Esto explica qué las moléculas más ligeras, como el hidrógeno y el helio, escapan con más facilidad de la atmósfera de la tierra que las moléculas más pesadas, como el nitrógeno y el oxígeno.


Función de distribución para 105 moléculas de N, a 300 K y 900 K.

300 K

900 K

vRMS

vprom

vmp

m/s

Nv

EjemploCalcule la integral y compare su resultado con Vmed, hacer el cambio de variable y use la integral tabulada

0

dvvvf

xv 2

10

!

nxn ndxex

med

x

xkTmv

vmkT

dxxe

vdvevkTm

02

23

23

0

2223

8122

22

421 2

EjerciciosUna muestra de 0.5 moles de H está a 300 K, encuentre la rapidez promedio, rms y más probable. Encontrar el número de moléculas con velocidad entre 400 y 401 m/s,

mTkv

mTkv

mTkv

/41.1

/60.1

/73.1

Bmp

B

Brms

A que temperatura la rapidez promedio de los átomos de helio sería igual a a) la velocidda de escape de la tierra 1.2x104, b) la rapidez de escape de la Luna 2.37x103, mHe = 6.64x10-27 kg.

kB = 1.38 x 10–23 J/K

EjerciciosUna mezcla de dos gases se difunde a través de un filtro con rapidez proporcional a la rapidez rms de los gases. a) encuentre la relación de la rapidez para los dos isótopos de 35Cl y 37Cl conforme se difunden a través del aire. b) ¿cuál isótopo se mueve más rápido?

mTkmTkvv /73.1/3 BB2

rms

Nueve partículas tienen rapidez de 5, 8, 12, 12, 12, 14, 14, 17, 20 m/s. a) Encuentre la rapidez promedio. b) encuentre la rapidez rms. b) Encuentre la rapidez mas probable.

EjerciciosDoce partículas tienen rapidez de 34, 36, 37, 37, 40, 40, 40, 42, 42, 43, 44, 45 m/s. a) Encuentre la rapidez promedio. b) encuentre la rapidez rms. c) Encuentre la rapidez mas probable.

Un mol de gas hidrógeno se calienta a presión constante desde 300 hasta 420 K. Calcule a) la energía transferida por calor al gas, b) el aumento en su energía interna, y c) el trabajo hecho por el gas. Cp = 28.8, CV = 20.4

A volumen constante: Q = n CP DT

A presión constante: U = n CV DT

El trabajo es: U = Q – W

Ejercicios

La mas alta eficiencia teórica de una cierta maquina es 30%. Si esta maquina usa la atmósfera, la cual tiene una temperatura de 300 oK, como su deposito frío, ¿cuál es la temperatura de este deposito caliente?

unidad 5

Documents