INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL

CARRERA:INGENIERÍA PETROLERA

MATERIA:ALGEBRA LINEAL

GRUPO: 4

TRABAJO: UNIDAD 4:

PRESENTA:CRUZ SANTIAGO JESUS ROBERTO

CATEDRATICO:ING. GERARDO REYES FIGUEROA

CERRO AZUL, VER.

4.1 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL

Numerosos vectores diseminados en todas las direcciones en las dos operaciones básicas que es la adición y multiplicación escalar, que puede realizarse con el cumplimiento de las siguientes propiedades:

Considere un espacio vectorial V formado por los vectores x, y, z, a continuación, tenemos las siguientes propiedades como verdaderas:

Propiedades de la suma

1. Propiedad de operación interna: Si el vector x es parte del espacio vectorial y el vector y es parte del espacio vectorial, y el vector resultante de la suma de estos dos vectores, el cual es el vector x + y es también una parte del espacio vectorial mismo.

2. Propiedad conmutativa: Si el vector x es parte del espacio vectorial, el vector y es parte del espacio vectorial, y tenemos un vector resultante de la suma de estos dos vectores, entonces el vector x + y es igual al vector y + x.

3. Propiedad asociativa: Si el vector x es parte del espacio vectorial, el vector y es parte del espacio vectorial y el vector z es parte del espacio vectorial, y tenemos un vector resultante de la adición de estos tres vectores entonces el vector x + (y + z) es igual al vector (x + y) + z.

4. Identidad aditiva: todo espacio vectorial contiene un vector nulo que es un vector cero, lo que se denomina como la identidad aditiva, de tal manera que su suma con cualquiera de los vectores en el espacio vectorial, no cambia el vector real, que es 0 + x = x.

5. Inverso aditivo: Para todos los vectores de un espacio vectorial determinado, existe un vector inversa disponible en el mismo espacio de tal manera que la suma de los dos vectores nos da un vector cero, en consecuencia si tenemos un vector x en el espacio vectorial entonces debemos también tener un vector -x del mismo vector en el espacio.

Propiedades escalares de la multiplicación:

Una multiplicación escalar es aquella en la que se multiplica un vector con cualquier cantidad escalar, que consiste en multiplicar la cantidad que contiene una dirección con una cantidad sin dirección.

1. Propiedad de operación interna: Si tenemos un vector x en un espacio vectorial dado y un número real, entonces decimos que el vector resultante de la multiplicación escalar de estas dos cantidades, debe existir también dentro del mismo espacio vectorial.

2. Propiedad distributiva: Si se tiene los vectores x y y en un espacio vectorial V y un número real, entonces la operación de a. (x + y) es equivalente a ax + ay.

3. Propiedad distributiva: Si hay un vector x en un espacio vectorial V y un número real a y b, la operación (a + b) x es equivalente a ax + bx.

4. Propiedad asociativa: Si hay un vector x en un espacio vectorial V dado y un número real a y b, entonces la operación a. (bx) es equivalente a (ab) x.

5. Propiedad unitaria: La multiplicación de cada vector en un espacio vectorial dado con una cantidad de unidas escalar dará como resultado al vector actual.

   

4.2 DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL

Sea V un espacio vectorial arbitrario sobre un campo F. Un subconjunto no vacío W de V es llamado subespacio lineal de V, o simplemente un subespacio, siempre que se cumplan dos condiciones:

(i) a + b 2 W siempre a, b 2 W, y

(ii) ra 2 W siempre que r 2 F.

Está claro que todo subespacio de un espacio vectorial contiene el vector cero, 0. De hecho, {0} es un subespacio propio, llamado subespacio trivial. Consideremos, por ejemplo, una ecuación lineal a, b, c, d 2 F. Si d 6= 0, entonces su conjunto de soluciones no puede ser un sub-espacio de F3 ya que x = y = z = 0 no será una solución, y por lo tanto los conjunto de soluciones no contienen 0 = (0, 0, 0)T . Por otro lado, como se señala a continuación, el conjunto solución de un sistema arbitrario homogéneo ax + by + cz = 0 es un subespacio de F3.

Un subespacio W de V es un espacio vectorial sobre F por derecho propio. Sabemos por supuesto que W es un subconjunto no vacío de V, el cual es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar. Pero entonces W contiene 0, ya que 0W = 0 para cualquier w 2 W, y cada elemento w de W tiene su inverso aditivo -w en W, ya que -w = (−1) w. Pero el resto de los axiomas de espacio vectorial están en W, puesto que ya lo están en V. Por lo tanto, mantienen todos los axiomas del espacio vectorial en W.

Un hecho muy interesante sobre el espacio vectorial es que para cada espacio vectorial tenemos en realidad dos subespacios. Uno de ellos es el espacio vectorial propio, mientras que el otro es el subespacio cero, es decir, W = {0}.

Veamos un ejemplo de subespacio.

Calcula si el conjunto de entrada viene siendo el subespacio del espacio vectorial dado. Tenemos w como un conjunto de puntos de R2 donde el valor de cada elemento del conjunto debe ser mayor que cero. ¿Se está formando un subespacio de R2?

Para probar esto simplemente tenemos que confirmar si el conjunto de entrada se ajusta a la propiedad de cierre de la multiplicación y suma escalares.

Tomando la primera propiedad de clausura bajo la adición

(x¬1¬, y¬1¬) + (x¬2¬, y¬2¬) = (x¬1¬ + x¬2¬, y¬1¬ + y¬2¬)

Ahora, ya se ha dicho que el valor de cada elemento en el conjunto es mayor que cero. Por lo tanto, tenemos x¬1¬ y x¬2¬ es mayor que cero, esto significa que su suma también debe ser mayor que cero. Similar es el caso de y¬1¬ y y¬2¬. Esto significa que la propiedad de clausura bajo la adición es cierta.

Tomando la segunda propiedad de la multiplicación escalar,

Para demostrar esta propiedad tomamos una cantidad escalar negativa c. Entonces su multiplicación con cualquier elemento del conjunto será, c(x, y) = (cx, cy)

Como el valor de c es negativo su multiplicación con cualquier cantidad positiva produce un término negativo. En consecuencia, la propiedad de cierre de la multiplicación escalar no es verdadera lo cual significa que no forma parte del espacio vectorial dado.

4.3 COMBINACION LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL

En las Matemáticas generales, el término combinación lineal se refiere a una expresión desarrollada a partir de un conjunto de términos específicos, después de la multiplicación de cada término del conjunto por una constante en particular, y posteriormente mediante la suma del resultado. La forma básica de la combinación lineal es ax + by. Aquí tanto a como b son términos constantes particulares. La Combinación Lineal constituye el concepto básico del álgebra lineal.

Entendamos la definición de una manera más precisa. Considere el campo K y el espacio vectorial V, que está sobre K. Suponga que v1…. vn son vectores juntos con a1…an los cuales son escalares. Por lo tanto, la combinación lineal de los vectores es:

Podría darse el caso que uno se confunda con el significado básico de “Combinación lineal”, es decir, si la Combinación Lineal es un valor o una expresión. Puede verse que en la mayoría básicamente el concepto se refiere a un valor, aunque de vez en cuando se trata como una expresión.

Otro concepto importante que está más o menos relacionado con la Combinación Lineal es la Independencia Lineal. Una familia de vectores se dice que es linealmente independiente cuando ninguno de ellos puede ser escrito con términos de combinación lineal dentro de la variedad de los vectores del conjunto.

La definición más formal y precisa de la Independencia Lineal supone que V denota un espacio vectorial no necesariamente de dimensión finita en un campo arbitrario F. Antes de definir la noción de la dimensión V, primero debemos introducir algunas nociones preliminares, a partir de la Independencia Lineal. De manera informal situamos que, un conjunto de

vectores son linealmente independientes si ninguno de ellos puede expresarse como una Combinación Lineal de los otros. En otras palabras, dos vectores son linealmente independientes cuando no se encuentran en la misma línea a través del origen y tres vectores son independientes cuando no se encuentran en el mismo plano a través del origen.

Veamos una definición más profunda de este concepto. Si w1. . . wk están en V. Decimos que w1. . . wk son linealmente independientes (simple o independiente) si y solo si la combinación a1w1 + a2w2 + • • • + akwk = 0, con a1, a2, . . . , ak F es una combinación trivial a1 = a2 = • • • = ak = 0. Si la ecuación a1w1 + a2w2 + • • • + akwk = 0 tiene una solución en la que algunos ai 0, decimos que w1. . , son linealmente independientes (simple o independiente). También diremos que un subconjunto finito S de V es independiente si los vectores contenidos en S son independientes.

Por ejemplo: Supongamos que queremos saber que si los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes o no. Comencemos esta prueba simple: Considere que λ1 y λ2 to son dos números reales que satisfacen (1, 1) λ1 + (−3, 2) λ2 = (0, 0).

Simplificando las coordenadas individualmente, obtenemos

λ1 – 3 λ2 =

4.4 BASE Y DIMENCION DE UN PACIO VECTORIAL

La base de un espacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que se extiende sobre un espacio vectorial determinado y es linealmente independiente en el mismo. Esto es, si tenemos un espacio vectorial V y tenemos S como un subconjunto de este espacio vectorial, el cual consiste de n vectores de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬… v¬n¬ entonces podemos definir que este subconjunto es la base del espacio vectorial dado, si cumple las dos condiciones siguientes:

1. Este subconjunto se extiende a través del espacio vectorial dado. 2. S es subconjunto de V conteniendo los vectores de V, los cuales son linealmente independientes.

Con la ayuda de una ecuación lineal podemos representar tal conjunto como,

Aquí v es un vector que yace en el espacio vectorial dado y los vectores n representados como v-1¬, v¬2¬, v¬3¬…vn¬ forman parte de la base del espacio vectorial dado.

Existen numerosos ejemplos de la base de un espacio vectorial. Imagina tres dimensiones las cuales constan de dos vectores. Imagina que estos vectores no son planos. El plano definido con la ayuda de estos dos vectores sólo formará una base para los espacios tridimensionales actuales. Esto es porque si definimos una combinación lineal con la ayuda de estos dos vectores, entonces este se encontraría definitivamente dentro el plano mismo e inversamente también es posible expresar un vector dentro del

plano como una combinación lineal de ambos. Ahora extendamos esta definición para formar la base de la definición de la dimensión del espacio vectorial. Imaginemos que tenemos un espacio vectorial V y sea S la base de este espacio vectorial. Ahora coloquemos un número limitado de vectores en la base de espacio vectorial S, entonces definiríamos este espacio vectorial dado como un espacio vectorial de dimensión finita y la dimensión real se obtendría mediante calcular el número total de vectores en la base de ese espacio vectorial.

En caso de que tengamos un número infinito de vectores en la base del espacio vectorial dado, entonces llamaremos al espacio vectorial un espacio vectorial de dimensión infinita, y la dimensión de tal espacio vectorial es y la dimensión de un espacio vectorial nulo es el valor 0.

Puede haber más de una base para un espacio vectorial dado. Esto significaría que es posible definir los vectores dentro de un espacio vectorial dado como la sumatoria de los vectores de ambas bases. Sea V un espacio vectorial y S la base de este espacio vectorial. Ahora definamos todos los vectores v V en términos de los elementos finitos de esta base. Definamos ahora otra base para este espacio vectorial. Ahora bien, si intentamos redefinir los elementos del espacio vectorial como una sumatoria de los elementos del segundo vector, llamamos a este proceso cambio de base.

Este proceso puede ser considerado como una función identidad sobre los elementos del espacio vectorial.

espacio vectorial de dimensión infinita, y la dimensión de tal espacio vectorial es y la dimensión de un espacio vectorial nulo es el valor 0.

Puede haber más de una base para un espacio vectorial dado. Esto significaría que es posible definir los vectores dentro de un espacio vectorial dado como la sumatoria de los vectores de ambas bases. Sea V un espacio

vectorial y S la base de este espacio vectorial. Ahora definamos todos los vectores v V en términos de los elementos finitos de

esta base. Definamos ahora otra base para este espacio vectorial. Ahora bien, si intentamos redefinir los elementos del espacio vectorial como una sumatoria de los elementos del segundo vector, llamamos a este proceso cambio de base.

Este proceso puede ser considerado como una función identidad sobre los elementos del espacio vectorial.

4.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO

Siempre que se utiliza el término “espacio” en un contexto matemático, se refiere a un espacio vectorial, es decir, real o n-espacio complejo, el espacio de funciones continuas en la recta, el espacio de operadores lineales adjuntos y así sucesivamente. Por lo tanto, es un hecho innegable, que este tema tiene su propia importancia en el campo de las matemáticas.

Fijaremos el espacio vectorial de una manera más amplia, con una definición que contiene todos los conceptos relacionados. Sea F un campo y V un conjunto. Supongamos que hay una operación binaria sobre V llamada adición, la cual asigna a cada par de elementos a y b de V una suma única a + b V. Imagina también, que hay una segunda operación, llamada multiplicación escalar, que asigna a cualquier r F y a cualquier 2 V, un múltiplo escalar único ra V. Supongamos que tanto la suma como la multiplicación escalar satisfacen los siguientes axiomas:

(1) La suma de los vectores es conmutativa. Es decir, a + b = b + a para todo a, b V.

(2) La suma de los vectores es asociativa. Es decir, (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c V.

(3) Existe una identidad aditiva 0 V de manera que 0 + a = a para todos los a V.

(4) Para todo a V, 1a = a, donde 1 es la identidad multiplicativa de F.

(5) Por cada elemento v de V, hay un elemento -v tal que v + (-v) = 0. De este modo -v es un inverso aditivo de v.

(6) La multiplicación escalar es asociativa. Si r, s F y a V, entonces (rs)a = r(sa).

(7) La multiplicación escalar es distributiva. Si r, s F y a, b V, entonces r(a + b) = ra + rb, and (r + s)a = ra + sa.

Entonces V es un espacio vectorial sobre F.

Con el tiempo te darás cuenta de que todas las condiciones anteriores son necesarias. Al igual que en los campos, la identidad aditiva 0 es única, y los inversos aditivos son únicos: cada vector tiene su inverso. Llamemos a 0, el vector cero. En un espacio vectorial, sólo puede haber un vector cero. Por otra parte, el inverso aditivo de un vector es siempre único.

4.6 BASE ORTONORMAL

La base es el subconjunto de algún espacio vectorial, tal que este es linealmente independiente y se extiende sobre todos los elementos de ese espacio vectorial. La base ortonormal es un tipo especial de base, la cual es un subconjunto de un tipo especial de espacio vectorial el cual es el producto escalar del espacio vectorial. Antes de ahondar en el tema, primero aclararemos nuestro concepto sobre un conjunto ortonormal.

Sea un V producto escalar de un espacio vectorial, si cada vector par discreto dentro de ese espacio vectorial es ortogonal, entonces podemos definir el espacio vectorial como un conjunto ortogonal. Además, ampliando esta definición, en un conjunto ortogonal si tenemos cada vector con una norma igual a uno, entonces este es definido como conjunto ortonormal. Sea V producto escalar de un espacio vectorial, y tenemos a S como base de ese espacio vectorial dado, entonces, si S es un conjunto ortogonal, entonces lo llamamos una base ortogonal y si S es un conjunto ortonormal entonces lo denominamos una base ortonormal.

Formalmente hablando, una base S del producto escalar de un espacio vectorial V que contiene vectores de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬…vn¬ se define como una base ortonormal si satisface la condición <vi¬. vj¬> = 0 donde i no debe ser igual a j. Aquí ‘.’ es el producto escalar del espacio vectorial dado.

Sin embargo no es indispensable que una base ya determinada esté en forma ortogonal. Podemos, si es necesario, transformar la base a la forma ortonormal. El procedimiento para hacerlo se llama proceso de orto normalización de Gram Schmidt. La entrada del procedimiento es generalmente una base finita y la salida es una base ortonormal definida en algún período arbitrario. El teorema establece “Para un conjunto k de

elementos, el cual es lineal e independiente, es posible construir un conjunto ortonormal, y el conjunto resultante es la agrupación lineal del conjunto de entrada y se extiende sobre el mismo espacio vectorial”.

Es esencial que la base esté ordenada para que sea una base ortonormal. Sea V un producto escalar de un espacio vectorial, y si tenemos a S como la base del espacio vectorial dado que contiene los elementos de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬ vn¬ . Ahora, que tenemos otra base S’, que contiene los elementos de la forma w¬1¬, w¬2¬, w¬3¬ wn¬. Aquí v¬1¬ = w¬¬1¬, entonces,

También podemos afirmar lo definido de una manera inversa diciendo que si S es un subconjunto ortonormal de V que consiste en vectores no cero, entonces podemos decir que S es linealmente independiente.

Si tenemos S como base ortonormal para cualquier producto escalar de un espacio vectorial, entonces por cada elemento en el espacio vectorial dado tenemos,

Aquí x es un vector en el espacio vectorial dado y los coeficientes [x, vi¬] son llamados coeficientes de Fourier. Un punto digno de mención es que todos los productos de los espacios vectoriales que tienen tamaño finito, tienen esencialmente una base ortonormal