algebra 4° 4 b

51 52COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA4to Año Secundaria

OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Conoce los diferentes axiomas y teoremas sobre los números reales, respecto a la relación de orden entre ellos.

Sabe operar adecuadamente con intervalos.

Forma una base matemática para el estudio de las inecuaciones.

COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:

La Resolución de Ecuaciones lineales y cuadráticas, la congruencia de figuras geométricas y las relaciones entre las diversas funciones trigonométricas son temas relacionados con la igualdad. A medida que avancemos en el desarrollo de las ideas matemáticas, veremos que las desigualdades son tan importantes en las aplicaciones de la matemática como las ecuaciones. Una desigualdad está involucrada cuando estamos mas interesados en el tamaño aproximado de una cantidad que en su valor exacto; por ejemplo, si decimos que el diámetro “d” de un planeta es aproximadamente 18 700 millas, queremos decir que:

18 650 d 18 750.

Si realizamos un análisis nos daremos cuenta que la medición absolutamente exacta de cualquier cantidad física; tal

como una distancia, un peso, una velocidad, etc. ... es completamente imposible, la precisión depende de los instrumentos de medida y tales instrumentos pueden usarse sólo para medir dentro de ciertas tolerancias especificadas, nunca exactamente.Por todo lo expuesto concluimos que es necesario un buen entendimiento básico de las desigualdades.Nos ocuparemos a continuación de las desigualdades entre números reales y enseguida desarrollaremos algunos conceptos y leyes fundamentales que conciernen a ellos.

CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO:

RELACIÓN DE ORDENRELACIÓN DE ORDEN

Es una comparación que se establece entre dos elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales. El campo real es un CAMPO ORDENADO.Símbolos de la relación de orden:

DESIGUALDADDESIGUALDADEs una relación de orden que se establece entre dos números reales de diferente valor. Existen dos tipos de desigualdades:

1. Desigualdad Absoluta: Es aquella que se verifica para todos los valores reales que se asignen a sus variables.Ejemplos:

* x + 6 > x + 2; se verifica x R

* + 1 > 0; Se verifica x R

2. Desigualdad Relativa: Es aquella que se verifica sólo para cierto conjunto solución de sus incógnitas.

Ejemplos:

* 2x – 3 > 5; se verifica x > 4

* 3x – 2 x + 4; se verifica x 3

DEFINICIÓN DE < ; >DEFINICIÓN DE < ; >

Dados a, b, c R se asevera:

1. a b si y sólo si a – b es positivo.

Ejemplos:

7 < 9 porque 9 – 7 = 2 y 2 es un número real positivo.

– 6 < –5 porque –5 – (–6) = 1 y 1 es un número real positivo.

– 3 > –9 porque –3 – (–9) = 6 y 6 es un número real positivo.

De la definición también se concluye:

a > 0 si y sólo si a es positivo.

a < 0 si y sólo si a es negativo.

DEFINICIÓN DE ≤; ≥DEFINICIÓN DE ≤; ≥

Dados a, b R se asevera:

1. a ≤ b si y sólo si a b ó a = b

Las proposiciones a < b, a > b, a ≤ b y a ≥ b se denominan desigualdades.

En particular, a b se llaman desigualdades estrictas, mientras que a ≤ b y a ≥ b se llaman desigualdades no estrictas.

TEOREMAS: TEOREMAS: Dados a, b, c, d R

1. Sí a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0

2. Sí a > 0 y b > 0, entonces a .b > 03. Sí a 0, entonces a.c <

b.c7. Sí a 

b.c

LEY DE TRICOTOMIALEY DE TRICOTOMIA

Para cualquier número real “a”, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:

Corolario: Dado dos números reales a y b; sólo se puede establecer una de las tres relaciones.

Propiedades

1. Si a ambos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, entonces el sentido de la desigualdad no se altera.

Sí a b a n b n

Aplicaciones:

S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

IV

DESIGU

x + 5 9 x 9 – 5 x 4 y – 11 5 y 5 + 11 y 16

2. Si a ambos miembros de una desigualdad se le multiplica o divide por una misma cantidad positiva, entonces el sentido de la desigualdad no se altera.

Si: a 0

Aplicaciones:

3 x > 75 x > x >

25

< 2 y < 2 (8) y <

163. Si a ambos miembros de una

desigualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad negativa, entonces el sentido de la desigualdad se invierte.

Sí a 10 x < x< - 5

< 7 x > 7 (-5) x > -35

4. Si se suma miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, entonces el sentido de la desigualdad se conserva.

Si: a < b; c < d a + c b; c< d a – c > b – d

6. Si se multiplica miembro a miembro desigualdades del mismo sentido y con todos sus miembros positivos, entonces se conserva el sentido de la desigualdad.

Si: 0<a<b; 0 < c < d ac < bd

7. Si se divide miembro a miembro desigualdades de sentidos contrarios y con todos sus miembros positivos, entonces se conserva el sentido de la desigualdad que hizo de dividendo.

Si a > b > 0 0 < c < d >

8. Si se eleva ambos miembros de una expresión o un mismo exponente impar entonces el sentido de la desigualdad se conserva.

Si a > b >

9. Si se eleva ambos miembros de una desigualdad a un mismo exponente por entonces se conserva el sentido de la desigualdad siempre que ambos miembros sean positivos.

Si a 0 b > 0

RECTA NUMÉRICA REALRECTA NUMÉRICA REAL

Es una recta geométrica donde se establece una biyección, es decir a cada número real se hace corresponder un único punto de la recta y para cada punto de la recta sólo le corresponde un único número real.

INTERVALOSINTERVALOS

3. Sea I un subconjunto de IR (I IR). Decimos que I es un intervalo, si y sólo sí es el conjunto de todos los número reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales).

Si I es un intervalo, puede ser: acotado o no acotado

A. Intervalos Acotados

Son intervalos cuyos extremos son números reales (finitos) y a su vez serán:

1. Intervalo Cerrado

Si: x [a; b] a x b

En dicho intervalo se incluyen los extremos “a” y “b”.

2. Intervalo Abierto

Si: x <a; b> a < x < b

En dicho intervalo no están incluidos los extremos “a” y “b”.

3. Intervalo Semi – abierto Mixto

Semiabierto por la izquierda

Si: x <a; b] a < x b

En dicho intervalo sólo se incluye el extremo “b”.

Semi-abierto por la derecha

Si x [a; b> a x x > a

2.

Si: x [a; +> x a

3.

Si: x <-; a> x < a

4.

Si: x <-; a] x a

5.

Si: x <-; +> x R

OBSERVACIONES IMPORTANTES

1. La notación , que se lee infinito no es un número real, sino un símbolo que se utiliza para indicar que un intervalo es ilimitado por la derecha (+) o por la izquierda (– )

2. Un intervalo abierto puede simbolizarse de 2 formas: <a; b> =] a; b [ Un intervalo cerrado sólo se simboliza de 1 forma: [a; b]

3. Si el extremo de un intervalo es infinito, este siempre irá como ABIERTO.

[a; +> ; <a; +> ; <-; a] ; <-; -a>

4. Los intervalos son sumamente útiles:

a) Para expresar el conjunto solución de inecuaciones. Ejemplo:

El conjunto solución de la inecuación:

2 +3x – 0 es el intervalo cerrado: x [1; 2]

b) Para expresar el dominio y rango de una relación y de una función de R en R.

Ejemplo:

El dominio de la función f(x) es:x <0; 7]El rango de f(x) es: y <0; 4]

c) Para “ACOTAR”

Ejemplo: Sí x <-2; 3] , ¿entre qué valores estará (x + 2)?

Si:

OPERACIONES CON INTERVALOSOPERACIONES CON INTERVALOS

Puesto que los intervalos en IR son conjuntos especiales de los números reales, podemos operar con ellos.Sean A y B intervalos, se definen y se denotan:

A B = {x IR / x A x B}

A B = {x IR / x A x B}

A – B = {x IR / x A x B}

= {X IR / x IR x A}

Aplicación: Sean los conjuntos (intervalos)

A = {x IR / x 5}

B = {x IR / - 8 x < 12}. Hallar:A B , A B , A – B , B – A , A’ , B’

Cota superior, Cota Inferior, Supremo, Ínfimo, Máximo y Mínimo de un Conjunto


ACOTACIONES

Definición 1:

Un subconjunto S no vacío de números reales está acotado superiormente si existe un número M, tal que:

Es decir:

M es cota superior S x M, x S

Ejemplos:

1) En el intervalo A = <-2, 3> el extremo superior 3 o cualquier número mayor que 3 es una cota superior del intervalo A.Ver el siguiente gráfico:

El número 3 es una cota superior del intervalo <-2, 3>, porque x < 3, x <-2,3>

El número 3,002 es cota superior del intervalo <-2, 3>, porque x < 3,002 x <-2, 3>, etc. Todos los números mayores o iguales a 3 son cotas superiores.

2) En el intervalo [-1; 1/2], el extremo superior 1/2 o cualquier número

mayor que 1/2 es una cota superior del intervalo [-1; 1/2]

Definición 2:

Un subconjunto S no vacío de números reales está ACOTADO INFERIORMENTE, si existe un número m, tal que:

Es decir:

m es cota inferior de S m x, x S

Ejemplos:

1) En un intervalo A = <-3; 2], son cotas inferiores los números –3, -3,002; -3,5; -4, etc. Todos los números menores o iguales que –3 son COTAS INFERIORES.Pues:

-3 x, x <-3; 2]

-3,002 x x <-3; 2]

Definición 3:

Un número se llama SUPREMO de un conjunto, si éste es la menor de las cotas superiores.

Ejemplos:

1) En el intervalo: A = , el

supremo es 3.2) En el intervalo: B = , el

supremo es 5.

Definición 4:

Un número se llama INFIMO de un conjunto, si éste es el mayor de las cotas inferiores.

Ejemplos:

1) En el intervalo: A = , el

ínfimo es –1/2.

2) En el intervalo: B = [5; >, el ínfimo es 5.

OBSERVACIONES:

A. El supremo y el ínfimo representan al máximo y mínimo valor que toma un conjunto, respectivamente.

B. Un conjunto de números está ACOTADO si y sólo si está acotado superior e inferiormente.Ejemplos:

El intervalo: A =<–2;7> es ACOTADO.

El intervalo: B = < 8; +> no es ACOTADO.

C. El supremo y el ínfimo de un conjunto pueden ser o no un elemento del conjunto.

TEOREMAS ADICIONALESTEOREMAS ADICIONALES

Sean a, b, c, d, x IR

1. a IR: a2 0

2. 0 a b 0 c d 0 ac bd

3. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b

0)

4. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b

0)

5.

6.

7. Si a y b tiene el mismo signo,

entonces:

8.

9.

10.

11. a2 + b2 2ab; a, b IR

12. a2 + b2 + c2 ab+ ac+ bc; a, b, c

R

13.

14.

15.

16. ; 0 a b; “m”

no es fracción propia positiva.

PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE

01. Marque verdadero (V) o falso (F):

I. 3 II. 0 0III. -1 < 0 IV. 3,14

a) FFVV b) VVVV c) FFVFd) VVVF e) FFFF

02. Siendo x >0; y > 0; z > 0, indicar el menor valor de la expresión:

a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 8/3

03. Siendo a > 0, b > 0; c> 0; d >0, indicar la correcta afirmación acerca de siendo:

a) =1/4 b) 4 c) 1/8d) 1/4 e) < 1/2

04. Si:] x; y [ ] a; b [, entonces es verdad que:

a) x a y b d) x a y b

b) x a y > b e) x a y b

c) x a y b

05. Hallar el menor número racional “m” donde x [2; 4] satisface

la desigualdad:

a) -2/3 b) -1/3 c) -5/3d) -7 e) -6

06. Dar el mayor número entero M que satisface la desigualdad:2x2 - 4x +1 > 2M, x R(Tal desigualdad la llamaremos absoluta)

a) 3 b) -2 c) 0d) 1 e) -1

07. Hallar el menor número M con la propiedad de que para todo x R se cumpla:

1 +6x - x2 M

a) 11a) 11 b) 9b) 9 c) 12c) 12d) 10d) 10 e) 0e) 0

08. Si: x2 - 6x + 8 < 0 y demás consideraremos: =x2- 6x + 8, entonces se puede afirmar que:

a) e cualquier real negativob) -1 < < 0 c) -1/2 <0 d) -1 < 0 e) -1 < 0

09. Sabiendo que a > 0, indique el intervalo al que pertenece, conociendo:

R;

x R

a) ]-; 2[ b) [1/4; +[ c) [2; -3[d) [1; +[ e) ]1/4; +[

10. Sea S el área de un triángulo de lados a; b y c. ¿Qué podemos afirmar de si:

a) 4 b) >4 c) < 4

d) 4 e) < 1

11. Dado el conjunto:

Determine si existe el supremo y el ínfimo de A y establecer si pertenecen o no al conjunto A.

12. Hallar el menor número “m” con la propiedad

Sea S

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01

01. Sean los intervalos:

C = [-4; 4]; D = ]4; 8[ .Calcular : C

D

a) [-4; 4] b) ]4; 8[ c) ]-4;8]d) [0;8] e) [-4; 8[

02. Si la unión de los intervalos:

p = [-11; 1[ ; q = ]3; 11]

Es: [p + q; m [ ] p - q; n]

Calcular: “p + q + m + n”

a) -11 b) 11 c) 1 d) -1 e) 003. Sean los intervalos:

A = [-6; 5] B = ]-2; 9[

Calcular la suma de los valores enteros de AB

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

04. Si la intersección de los intervalos:A = ]-5; -1[ U ]2; 11[ B = [-3; 4]Es [a; b [ U ]c; d].Calcula “a + b + c + d”

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

05. Para los reales afirmamos:

I. Si a > 0 a2 > 0II. Si a 0III. (a + b)2 > 2 ab

Son verdaderas:

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) Todas e) N.A.

07. Si: a < 0 < b, afirmamos

I. a2 > abII. a – b –1 < 1III. a–1 0 d) ab > 0b) a > 0 y b < 0 e) ab < 0c) a > b

09. Hallar los valores de “m” para los cuales “x” es un número positivo, si x = m - 2

a) m > 2 b) m < 2 c) m > -2d) m 2 e) m < -2

10. Resolver:2x + 4 x +12

a) ]-; -8] b) ]-; -16] c) ]-; 8]d) [8; +[ e) [-8; +[

11. Resolver: (x - 5) (x - 2) (x + 3) (x + 1)

a) x 7 b) 7/11 x c) x 7/11d) x 7 e) N.A.

12. ¿Qué valor deberá tomar m > 0 para que la desigualdad: 2x+3 <

. Tenga como

solución ]3; [

a) 6/13 b) 5/17 c) 19/14 d) -17/14 e) 9/13

13. Hallar el complemento del conjunto solución luego de resolver:(x - 5) (x - 3) (x - 4) (x - 3)

a) [3; +[ b) ]-; 3[ c) [4;

+[

d) ]-; 4[ e) ]-; -3[

14. Calcule el conjunto solución de la desigualdad:

a) [-60; +[ d) ]-60; 0[

b) ]-60; +[ e) x c)]-; -60[

15. Resolver: 3x+4 2x+10 < 5x+8

a) [2/3; 6] b) c) IR

d) ]2/3; 6] e) ]2/3;6[

TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA

01. Si la unión de los intervalos:

E = [-4; 5[

F = ]-2; 5]

Es: [a; b]. Calcular “ab”

a) -20 b) -10 c) 2

d) 8 e) 25

02. Si: a > b > 0 y M = [-2a; 2a] , N

= [-2b; 2b]

Indicar M N

a) [-2a ; 2b] b) [-2b; 2a] c)

[-a; b]

d) [-2b; 2b] e) [-2a; 2a]


M = [-15; -9] U [-3; 3] U [10; 17]

N = [-12; -1] U [1; 13]Luego de calcular la intersección, indique un intervalo

a) [-12; -3] b) [-3; 10] c) [3;

13]

d) [-3; -1] e) [-9; 10]


A = ]-; [B = [-3; 4[C = ]-1; 3[ . Calcular: A B C

a) ]-1; 4[ b) [-3; 3] c) ]-

1;3[

d) ]3; 4[ e) [-3; -1[

05. Para los números reales “a” y “b”. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

a) Si: a2 - b2 = 0 a = bb) Si: a2 - b2 = 0 a = -bc) Si: a2 - b2 = 0 a = b a = -bd) Si: a2 - b2 = 0 a = b = 0e) Si: a2 - b2 = 0 a = b a = -b

06. Si se sabe que 0 < x < 1; Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?

a) 0 < x2 < x3 < 1b) 0 < x3 < x2 < 1c) 0 < 1-x < x < 1d) 0 < x-1 < x < 1e) 0 < 1-x < x < 1

07. Dados los números racionales U, V y W que satisfacen:

> W, entonces se cumple:

a) U > V + W d) U + V > W

b) > W + 1 e) U + W > V

c) V > U

08. Si: “x” es entero. ¿Qué valor no

puede tomar “x” en:

?

a) 1 b) -3 c) 0 d) -6 e) 11

09. Resolver: , Si a = 1 -

a) x > 1 + d) x > 1-

b) x < 1 + e) x < 1-c) x

10. Resolver el sistema:2x+4 3x+6 5x-10

a) [-2; +[b) [8; +[ c) [-8; +[d) e) [2; +[

11. Resuelve el sistema y marque el intervalo solución:

2 5-3x < 112 > -3-3x -7

a) b) c) ]-2;

1]

d) e)

12. ¿Cuántos números enteros satisfacen el sistema:

5x - 6 > 3x-14

< x + 12

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

13. Resolver el sistema:

2(2x-3) < 5x-3/4

8x-5 <

Y dar como respuesta la suma de todos los valores enteros de “x”

a) -11 b) -12 c) -13d) -14 e) -15

14. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el siguiente sistema?

5x+4 > 10 6x-5 < 124x+3 > 8 7x-6 < 14

3x+2 > 68x-7 < 16

a) 14 b) 8 c) 4 d) sólo 1 e) Ningún valor

OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS:

SSaber resolver inecuacionesaber resolver inecuaciones polinomiales en base a los teoremaspolinomiales en base a los teoremas sobre desigualdades y al método desobre desigualdades y al método de los intervalos.los intervalos.

Generar las condiciones para unGenerar las condiciones para un estudio adecuado del dominio yestudio adecuado del dominio y rango de las funciones.rango de las funciones.

Reconocer y saber resolverReconocer y saber resolver inecuaciones fraccionarias,inecuaciones fraccionarias, irracionales, etc.irracionales, etc.


Este capítulo nos ayudará a desarrollar aún más la capacidad de análisis, pues la diversidad de problemas que se presentan aquí requiere que el estudiante sea analítico, pues de esa manera lograremos determinar la solución respectiva al problema.

En algunos casos las soluciones de las inecuaciones se dan en gran cantidad, por lo que serán agrupadas en intervalos.

ESQUEMA


INECUACION POLINOMIALDE GRADO SUPERIOR

Es aquella inecuación, que tiene la siguiente forma general:

P(x) = 0 ....

(*)

Donde: {a0, a1,....... an} Ra0 0; n Z+ ; n > 2

Resolución de una ecuación polinomial:

Para resolver esta inecuación se procede de la siguiente manera:

I. Se factoriza el polinomio P(x) en R.II. Los factores primos obtenidos que

resultan positivos, luego de factorizar el polinomio, se pueden omitir (El C.S. de esta inecuación no se altera).

III. Para luego aplicar el método de los puntos críticos.

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

En (*) consideramos que P(x) se factoriza de la siguiente manera:

P(x) =

Para la aplicación del método, se debe tener en cuenta:

Los valores que anulan a P(x) son diferentes.

Los coeficientes de “x” en todos los factores lineales, deberán ser positivos; si uno de estos coeficientes en un factor no fuese positivo, se tendrá que multiplicar por (-1) a dicho factor, cambiándose el sentido de la desigualdad.


INECUA

Inecuaciones

Inecuaciones

Fraccionarias

Fraccionarias

Polinomiales

Polinomiales

IrracionalesIrracionales

Procedimiento Se iguala a cero, cada factor lineal,

obteniéndose así valores diferentes para “x”, a los cuales se les denomina: puntos críticos.

Estos valores se ubican en la recta numérica en forma creciente (de menor a mayor), dividiendo a la recta numérica en (n+1) zonas.

El polinomio va a tomar valores positivos y negativos de forma intercalada en cada zona, según la figura.

El conjunto solución toma en consideración a la reunión de las zonas positivas o negativas, dependiendo del sentido de la inecuación.

Sea:

Ejemplos:Resolver:

1. x3 - 6x2 + 11x - 6 0Resolución:

Factorizando:

(x-1)(x-2)(x-3) 0

Puntos críticos: {1, 2, 3}

CS = x [1, 2] U [3, +>

2. (x + 2) (x3 - 27) < 0

Factorizando: (x + 2) (x - 3) (x2 + 3x + 9) < 0

(+) x R

(x + 2)(x - 3) < 0

3. (x + 1)(x - 4)(x - 5)4 0Es equivalente a: (x + 1)(x - 4) 0 (x - 5)4 0 x RObservación: x = 5 verifica la inecuación:

CS = x [-1, 4] U {5}

4. (x - 2)(x - 5)(x - 7)6 > 0Es equivalente a:(x - 2) (x - 5) > 0 x R - {7}

CS = x <-, 2> U <5; +> - {7}

Teoremas: Dado x R: , m N

I. x > 0 x2m+1 > 0II. x 0 x2m+1 0Así por ejemplo:(x - 1)3 > 0 (x - 1) > 0(x + 4)5 0 (x + 4) 0

Conclusión:

Los polinomios de la forma

; m N a R tienen el

mismo signo que su base (x-a).

5. (x + 4)3 (x - 1) (x - 3)5 0Es equivalente a: (x + 4)(x - 1)(x - 3) 0

CS = x [-4; 1] U [3; +>

INECUACIÓN FRACCIONARIA E IRRACIONAL

Antes de estudiar estas inecuaciones, definiremos al conjunto de valores admisibles de una expresión matemática en R.Conjunto de Valores Admisibles (C.V.A.):

El conjunto de Valores Admisibles de una expresión matemática en R, es el conjunto de todos los valores reales que puede tomar la variable de la expresión, para los cuales dicha expresión está bien definida en R.

Ejemplos:

1) Sea f(x) = C.V.A. (f) = R -

{2}

2) Sea g(x)= C.V.A. (g) = [3;

+>

INECUACIÓN FRACCIONARIA

Es aquella inecuación, que tiene la siguiente forma general.

Donde P(x) y Q(x) son polinomios y además: Q(x) de grado n 1.

Resolución de la inecuación fraccionaria:e sigue los siguientes pasos:I. Se factoriza los polinomios P(x) y

Q(x) en R.II. Se halla el C.V.A. de la expresión

C.V.A. = R - {x/Q(x) 0}

III. Multiplicando a la inecuación por

, se obtiene la inecuación

equivalente:

P(x). Q(x) 0 la cual será resuelta por el

método de los puntos críticos.

IV. El conjunto solución es la intersección del C.V.A. con la solución de III.

Ejemplo:

Resolver: 0

I. Factorizando:

0II. C.V.A. = R - {-3, 4}III. Multiplicando la inecuación por:

(x + 3)2 (x – 4)2, la inecuación es equivalente a:

(x - 1)(x + 2)(x + 3)(x - 4) 0

CS = x <-; -3> U [-2; 1] U <4; +>

INECUACIÓN IRRACIONAL

Es toda inecuación que tiene la siguiente forma general:

Donde: F(x) es una expresión matemática irracional.

Resolución:

A continuación presentaremos los casos más frecuentes, de una inecuación irracional.

; ;

Los cuales se resuelven aplicando los siguientes criterios:

Sea f(x) y h(x) expresiones no irracionales.

I.

<h(x) f(x) 0 h(x) > 0 f(x) <

(1) (2) (3)

CS : S1 S2 S3

II.

>h(x){h(x)<0f(x)0}v{h(x)0f(x)>

(1) (2)

CS = S1 U S2

III.

> f(x)0 g(x)0 f(x) >g(x)

Ejemplos:

Resolver:

1) 3

2) > - 2

3) > x + 1

4) < 5 - x

5) - > 3


01. Resolver:

si su intervalo solución es:

x<-; a] U [b, c> U <d,+>

Hallar: (a + b + c + d)

a) -2 b) 0 c) 1d) 2 e) 10

02. Resolver:

0

Indicar su intervalo solución:

a) x <- ; -6] U <-3; 1> U <1, 3>b) x <- ; -3] U <1, 3>c) x <- ; -2] U <-1; 1> U <2, +>d) x e) x R

03. Resolver:

0

Indicar el intervalo solución.

a) x [-5, +> b) x [5, +>c) x <-, -5] d) x <-, 9]e) x R

04. Resolver:

Indicar su intervalo solución.

a) x <-, -3/2> U <0, 7/6> U <2, +>b) x <-, 2> U <4, +>c) x <-, -1> U <1, 2> U <3, +>d) x R e) N.A.

05. Resolver:

su conjunto solución es: x <a, b> U <c, d>Hallar: E = a + b + c + d.

a) -5 b) -1 c) 2d) 5 e) 1

06. Resolver:

a) x <0, +> b) x <-2, +>c) x <2, +> d) x <-1, +>e) x <-4, +>

07. Resolver:

A = {x R / 0}

B = {x R/ 2 }

Hallar (A B)

a) <- , -3] U <5; +>b) <-10, +>c) <-, 10>d) [-10, -4>e) N.A.

08. Hallar F U G.

F = {x R+ /2x2 - 5x + 7 0}

G = {x R+ /2x2 - 5x + 30 0}

a) <0, 1] U [3/2, + > b) Rc) R+ d) R - {1}e) R - {3/2}

09. Hallar J K siendo:

J = {x R- /x2 - 7 < 0]

G = {x R /x2 - 5 > 0}

a) b)

c) d)

e)

10. Resolver:

a) <-8, -4] U [4, 8> b) <- , -4] U [4, +]c) <- , -4] U [8, +> d) <-, 6>U<8, +>e) <-8, 8>

11. ¿Cuáles son los valores de y para que la ecuación x2 + xy + y2 - 4 = 0, defina valores reales de x?

a) b)

c) d) Re) [-2, 2]

12. Determine los valores de x que impiden que y tome valores reales en la ecuación:

xy2 - y2 - x = 0

a) R -{1} b) [1, +> c) <-, 0]d) <1, +> e) <0, 1>

13. Resolver:

a) <-9, -5] U [5, 9> b) <-9, 9>c) <-, -9> U <9, +> d) Re) <-, -5] U [5, +>

14. Resolver:

0

a) <-1, 2] U [3, +> b) Rc) <-, -3> d) [-1, -3] U <-,-3]e) [-3, -1] U [2, 3]

15. Resolver la siguiente inecuación :

a) {2} b) R+ c) <-, -1>d) <-1, +> e) [-1, +>

16.Determine cuántos valores enteros de k satisfacen el sistema:

x2 - 4x + 2k < 0 ...(1)

x2 + x + 0.5 > 0 ... (2)

a) 2 b) 4 c) 5d) 16 e) Infinitos

17.Si k > 1/4, hallar el conjunto solución en:

0

a) <0, 1> b) <1/4, 2> c) <1, 2>d) <-, -1> U <0, 2> e) <-,0>U<0,1>

18.Si: > 2, el conjunto

solución es:

a) [-3, -1/2]U<7, 11> b) <-3, -1/2>U<7, 11>c) <-3, -1/2] d) <-6, -1>e) <-, -6] U [-1, +>

19.Resolver:

a) <-, 0> U [1/8, 1) b) [0, -1/8)c) <0, -1/8) d) <-1, >e) R

20.Resolver:

< 4

a) <-, 0> U [1/8, 1) b) [0, -1/8)c) <0, -1/8> d) <-1, +>e) <-, -6> U <-1, + )


01. Resolver: x3 - 18x2 + 77x > 60

a) x <1; 5> U <12; +>b) x <1; 4> U <10; +>c) x <-1; 5> U <12; +>d) x <0; 5> U <10; +>e) x <-12; -5> U <-1; +>

02. Resolver: x4 - 2x3 - 16x2 + 2x + 15 < 0

a) x <-3; -1> U <1; 5>b) x <-2; 0> U <1; 4>c) x <-1; 1> U <2; 5>d) x <3; 5> e) x <-3; 0>

03. Resolver:

0

a) x <-, -4] U <-1; 1> U <3; 5]b) x <-, 2] U <-1/2; 1> U <4; 7]c) x <-4, -1> U <-1; 3>d) x <-, 4] U <8; 7>e) x

04. Resolver: > 1, donde: 0 <

a < b.

a) x <- ; - > b) x <- a; 1>

c) x <- b; 1> d) x <- ; 1>

e) x <a; b>

05. Resolver la inecuación:

Considerando que: a < 0.

a) <-3a; a] b) <- ; 3a] U <a; +> - {- a}c) [-3a; a>d) <- ; a] U <3a; +> e) R - {-a; a}

06. Resolver:

0

si su intervalo solución es:x <-a; b> U {-c, c}

Hallar: E = a + b + c.

a) 4 b) 2 c) 3d) 1 e) 6

07. Resolver:

a) x[-2; +> b) x<-2; +>c) x<-1; +> d) x[-2; 1]e) x[1; +>

08. Resolver:

a) x<-; -2> b) x<-; 3>c) x<-; 4> d) x<-; 2>e) x

09. Resolver:

< 0

a) x <- ; -4> U <2; 3> b) x <- ; -3> U <2; 3> c) x <- ; -2> U <3; +> d) x R e) x

10. Resolver:

0

Indicar un intervalo solución:

a) [-2; 2] b) <-; -2> c) <3; +>d) [-2; 0] e) [-2; 0] U {2}

11. Resolver:

Dar un intervalo solución:

a) x [-2; 2] b) x <-2; 2] c) x [-2; 8]d) x <2, 7> e) x R

12. Resolver:

a) x > 3 b) 2 < x < 5 c) x > 1d) x > 5 e) x


01. Resolver:

0

a) x <-7, -2] U <2, 3] U [4, 8> U {-1}b) x <-7, -1] U <2, 3] U [4, 8>c) x <-4, -1] U <2, 3] U [4, +>d) x <-1, 1> U <2, +>e) N.A.

02. Resolver: 2 x - 3

a) x b) x

c) x d) x

e) x R

03. Resolver:

a) x <-, 1/3> U <2, +>

b) x <-, -1/4> U <1/4, +>

c) x R

d) x

e) x <-1/6, +>

04. Resolver:

a) x <-2, 3> b) x <-1, 1> c) x <-2, 2>d) x R e) N.A.

05. Resolver: < 1

a) <-, -4> U <-5/2, +> b) <-, -4> U <1, 2> c) <-4, +>d) <-5/2, +>e) N.A.

06. Resolver:

x - 4

su intervalo solución es: x [a, b] U [c, d]Hallar: (a + b + c + d)

a) -4 b) -2 c) 2d) 3 e) -1

07. Resolver:

x - 4

a) x [-4, +> b) x <-, -1] U [1, +>c) x [-1, 1] d) x e) x R

08. Resolver:

0

a) x [-1,0> U [1, 4] b) x [-1,4]c) x <-1,0> U [1, 7] d) x Re) x

09. Resolver:

su intervalo solución es [a, b>. Hallar (a+b).

a) -20 b) 5 c) -15d) 10 e) N.A.

10. Resolver:

0

a) x <-, -5] U <-2, -2/3> U <0,3>b) x <-, -4] U <-2, 1> U <2,3>c) x [1, 3> d) x <-3,3>e) N.A.

11. Resolver:

0

a) x <-, -2 ] U [2 , +>

b) x <-, -2 ] U [4, +>

c) x <-1, 1>d) x <-, -1] U [2, +> e) x R

12. Resolver; hallar su intervalo solución

> -2

a) x <-, -3] U [1, +> b) x <-, -2] U [4, +> c) x <-, -1] U [2, +> d) x <-, 0] U [4, +> e) x R

13. Hallar todos los valores reales “x” que verifican:

0

a) x<-;-3]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<2,+> b) x<-;-2]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<3,+>c) x<-;-1]U<-1;-1/2>U[1/4,1/2]U<2,+>d) x R

e) N.A.

14. Hallar el conjunto solución en:

0

a) [5/2, 3> b) [2, 5] c) <2, 3/2>d) [2, 3> e) {2, -2}

15. El conjunto solución en: |x|2 - 4 > |3x - 6|

a) [-6, 3]’ b) [-7, 5/2]’ c) [-5, 2]’d) <3, +> e) <- , -6>

16. Si x <-2, 1] entonces x2 + 2x + 2 pertenece al intervalo:

a) [0,2] b) [0, 2> c) [0, 4>d) [1, 4> e) [1, 5]

17. Si <1/3, 1] entonces x2 + 2x +

3 pertenece al intervalo:

a) [2, 4> b) [0, 9> c) [3, 11>d) [3, 9> e) [2, 10>

18. Determinar la verdad o

falsedad en:

I. x [1, 3]

II. x [1, 2] [3, 4]

III. x2 <4, 9> x+1 <-2, -1> U <3,

4>

a) FVV b) FFF c) VVVd) VVF e) FFV

19. Sea J = {x R/x |4x-7| < x+5}, entonces J es igual a:

a) <2/5, 7/5] U [7/3, 4> b) Rc) [7/3, 4] d) <1/3, 2/5]

e) <0, 1]



Diferenciar las Relaciones de las funciones.

Encontrar dominios e imágenes de las funciones

Graficar las funciones más importantes

Hallar el número real (valor numérico) o la expresión algebraica (cambio de variable) que resulta de reemplazar una o más variables por valores numérico o algebraico.


Par ordenado: Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos en el que se introduce un orden “natural”.Notación:

Propiedad:

Producto cartesiano:

Dados dos conjuntos A y B el producto cartesiano de ambos se denota por A x B y se define como el conjunto de pares ordenados, cuyo primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto.

Es decir:

Propiedad:

Si: n representa el número de elementos de un conjunto determinado. Se cumple que:

RELACIONES BINARIAS:

Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío, decimos que el conjunto “R es una relación binaria de A es B”, si R es un subconjunto del producto cartesiano A x B

Simbólicamente:

R: A B; R A x B con A y B

Donde: A x B = {(a; b) / a A b B}

Gráficamente:

Dominio:Es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares ordenados (a: b) que pertenece a R.Simbólicamente:

Dom (R) = {a A / b B (a, b) R}

Rango:Es el conjunto formado por los segundos componentes de los pares ordenados (a; b) que pertenecen a R.Simbólicamente:

Rango (R) = {b B / a A (a, b) R}

Nota importante:

Las siguientes notaciones son equivalentes y se usan indistintamente. Lo que el estudiante debe saber es interpretarlos.

a R b b = R (a) ( a; b ) R

Equivalente:

x R y y = R(x) (x; y) R

Si: R: IR IR, además

IR x IR = {(x, y) / x IR y IR}

Relación de equivalencia:

Se dice que “R” es una relación de equivalencia sobre un conjunto A , a toda relación de A en A que goza de las tres siguientes propiedades:

a) x A (x, x) R x R x

(Reflexiva).

b) Si (x, z) R (z, x) R (simétrica).


FUNC

Si (a; b) = (c; d) a = c b = d

n (A x B) = n (A) x n (B)

A x B = {(a; b)/a A b B }

c) Si (x, z)R (z, t)R (x, t)R

(transitiva)

Ejemplos de relaciones de IR en IR

1. x2 +y2 = 25

2. x2 + y2 < 9

3. x2+ y2 > 9

4. x2 + y2 9

5. (2, 1), donde R: 2x y 5= 0

6. S T, donde S: x2 + y2 < 4

T: x2 + y2 < 25

7. L1 // L2, donde L1: x y=0, L2: y = x +

5

8. L1 L2, donde L1: x+y–1=0; L2: y

=x–2


FUNCIONES REALES DE VARIABLEFUNCIONES REALES DE VARIABLE REALREAL

Definición: Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamamos función definida en A y con valores en B, o simplemente función de A en B a toda correspondencia f que asocia a cada elemento, x A un único elemento y B.

Notación funcional:

Se lee f es función de A en B.

Condición de existencia y unicidad:

Sea: f: A B

I. Para cada x A, ! y B / (x; y)

f.

II. Si: (x; y) f (x; z) f y = z

Ejemplo:

f = {(1; a); (2; b); (3; b); (4; c)}Cumple la definición es función.En cambio:

f = {(5, a); (9, b); (9, c); (13, a)}

No se cumple la condición de unicidad no es función.Observación:No deben existir dos o más pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento; en caso exista de acuerdo a la definición, las segundas componentes tendrán que ser iguales si no es así entonces no es función.Ejemplo:F = {(3; a-3); (5; 7); (3; 8); (5; b-1); (2; 9)}

Es función siempre y cuando:a – 3 = 8 b – 1 = 7

Es decir: a = 11 b = 8.

Dominio de una función: Se llama así al conjunto de todas las primeras componentes pertenecientes a una función f, y se denota de la siguiente manera: Df ó Dom f.

Df = {x A/ ! y B / (x, y) f}

Rango de una función: Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que forman la función f y se denota; Rf ó Rang f.

Rf = {y B/ x A (x; y) f}

Ejemplo:Sea: f = {(1; 2); (4; 7); (5; 4); (9; 10)} Df = {1; 4; 5; 9} Rf = {2; 7; 4; 10}

Regla de correspondencia.- Es la relación que existe entre las primeras y segundas componentes de una función.Donde:

x: variable independientey: variable dependiente

Sea la siguiente función:

f = {(1; 1); (2; 4); (3; 9); (4; 16)….}Luego:f(1) = 1; f(2) = 4; f(3) = 9; f(4) = 16 ..........

En general: f(x) = x2; x N

Función real de variable real

Sea f una función de A en B.

(f: A B), si: A R B R

Diremos que f es una función real de variable real.Gráfica: Si f es una función real de variable real, la gráfica de f es la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen a f.

Gráfica. = {(x; y) R2 / y = f(x), x Df}

Teorema.- Si f es una función de R en R toda recta paralela al eje “y” corta la gráfica a lo más en un punto.

Funciones especiales

1. Función ConstanteRegla de Correspondencia: f(x) = C;Df = R, Rf ={C}

2. Función Identidad

Regla de correspondencia: f(x) = x ó I(x) = x

3. Función Valor Absoluto


Regla de correspondencia

4. Función Lineal

Regla de correspondenciaf(x) = ax + b; a 0

5. Función cuadrática

Regla de correspondencia

f(x) = ax2 + bx + c; a 0, {a, b, c} R Df = R

Toda función cuadrática se puede llevar a la forma:

f(x) = a(x-h)2 + kDonde: V = (h; k) vértice.

6. Función Raíz Cuadrada

Regla de correspondencia: f(x) =

7. Función Signo Regla de correspondencia

Dom F = R; Rang F = {-1; 0; 1}

Álgebra de funciones

1. Igualdad de Funciones:

Las funciones f y g son iguales si se cumple:

a. Df = Dg (igual dominio)b. f(x) = g(x), x Df = Dg

A continuación vamos a definir las diferentes operaciones que se pueden establecer con las funciones.

Sean las funciones f, g con dominios Df y Dg respectivamente.

i. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

D(f + g) = Df Dg

ii. (f – g)(x) = f(x) – g(x)

D(f – g) = Df Dg

iii. (f.g) (x) = f(x). g(x)

D(f. g) = Df Dg

iv. (f/g)(x) = ; g(x) 0

D(f/g) = Df Dg g(x) 0

Observación:

Si:(f. f. f. f. . . . . . f)(x) = f(x) .

f(x) . . . . . f(x)

n veces n veces

Entonces:

= = Df : n

N

Ejemplo:Dadas las funciones:F = {(-3;4); (-1;0); (2;0); (3;1); (4;1);

(5;3); (6;6)}G= {(-4;3); (-3;0); (1;0); (2;3); (3;3);

(4;6); (6;6); (7;5)}

Determinar:

a) f gb) f . gc) f/gd) g/fe) f2 - 2g


01. Sean A = {1, 2, 3} B = {4, 5}Cuáles de los siguientes conjuntos son relaciones de A en B.I.- {(1, 4) (2, 4)} II.- {(1, 5) (2, 4) (4, 3)}III.- {(3, 5) (2, 5)}


a) Sólo I b) sólo I y II c) sólo I y IIId) III y II e) N.A.

02. Dado el número U = {1, 2, 3, 4} y las relaciones:R1 = {(x, y) / x = y}R2 = {(x, y) / y = 4}R3 = {(x, y) / x > y}El número de elementos de R3 – (R1

U R2) es:

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

03. Si R es una relación en A = {2, 3, 9} tal que R ={(x, y) A x A/ y + 1 <x2} entonces:I) Dom(R) = {2, 3}III) Dom(R)=Ran(R)II) Ran(R)= {9}IV) R tiene 7 elementos

a) Sólo I y II b) sólo II y IV c) I, II y IIId) sólo III y IV e) N.A.

04. Dada la relación R definida con los números reales: R = {(x, y) / x-y < 5}Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:I) R es reflexivaII) R es simétricaIII) R es transitivaIV) R no es de equivalencia

a) Sólo I b) sólo II y III c) I, III y IId) sólo I, II y IV e) N.A.

05. Si R = {(x, y) / 2x – y = 5} M x M, donde: M = {1, 2, 3, 4, ......, 9} y si “m” es la suma de todos los elementos del dominio de R y “n” es la suma de todos los elementos del rango de R, entonces:

Hallar el valor de m.n.

a) 620 b) 625 c) 630d) 635 e) N.A.

06. De un conjunto A a un conjunto B se pueden formar 1024 relaciones, si el conjunto A tiene dos elementos. Cuántos elementos tiene el conjunto B.

a) 10 b) 6 c) 8

d) 5 e) 7

07. Sean las relaciones:R ={(1;3) (2;4)(3;5)(1;1)(2;2)(4;2)(3;1)}T = {(x, y) / (y, x) e R}. Entonces ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son falsas?I) R es transitiva pero no simétricaII) R T = {(1; 1) , (2; 2)}III) Dom (R) - Dom (T)

a) Sólo I b) sólo II c) sólo IIId) sólo I y II e) todas

08. Hallar el dominio (Df) y el rango (Rf) de la siguiente función:

f={(2,5);(-1,-3);(2,2a-b);(-1,b-a);(a+b2, a)}Luego indicar: Df Rf

a) {3} b) {-1} c) {2}d) {5} e) {}

09. Hallar a + b, si el dominio de la función:

F(x) =

Es x [-a; -b] U [b; a]

a) 1/2 b) 1 c) 3/2d) 2/3 e) 1/6

10. Calcular el rango de:

f(x) =

Sabiendo que: x <2, 4>

a) <-15; 35> b) < >

c) <13;33> d) < >

e) < >

11. Hallar el rango de la siguiente función:

F(x) = 2x2 + 3x + 2; x R

a) [1/8; +> b) [7/8; +> c) [-1; 2]

d) <-; 7/8> e) N.A.

12. Hallar el rango de la función:

F(x) =

a) [0; 1/5> b) <-; 1/5] c) [0; 5>d) [1/5; +> e) N.A.


F(x) =

a) [-1/3; 0] b) [1/3; 3] c) [1; 6]d) [1/3; 4] e) [-3; 1]

14. Hallar el rango de:

F(x) =

a) {0} b) [3; +> c) <-; 3]d) {3; -3} e) <-; 0>

15. Hallar el rango de la función:G(x) = x2 - 6x + 3; si x <-2; 5>

a) <-6; 19> b) [-5; 10> c) [-6; 19>d) <-6; 6> e) [-7; 10>


F(x) =

a) <-2; 5> U <5; +> b) <-4; 3> U <3; +>c) <-4; 6> d) <-4; 5> U <5; +>e) <-3; 5>

17. Determinar el rango de:F = {(x; y) R2 /y =

}

a) R b) [3; +> c) <2; +>d) [2; +> e) <3; +>

18. Si: F(x) =

G(x) = Indicar lo correcto:

a) F = G b) F = 2G c) F = 3Gd) F + G = 0e) F G

19. Sean las funciones:F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1), (4,3)}G = {(2,0); (3,4); (4,7); (6,2)}Hallar la suma de valores extremos

de:(F + G).

a) 6 b) 10 c) 3d) 13 e) N.A.

20. Hallar la gráfica de la siguiente función:

F(x) = (x + 2)2 – 4

21. Hallar la gráfica de: F(x) =


01. Si F(x) =

G = {(-4,1); (-3,0); (-1,5); (2,-1); (7,4)} Indicar el número de elementos de G/F.

a) 3 b) 1 c) 2d) 4 e) 5

02. Dado el conjunto A = {a, b, c, d} y las relaciones:R1 = {(a, a), (d, d), (a, d), (d, a)}R2 = {(c, c), (b, b)}R3 = {(a, a), (b, b), (c, b), (d, a)}, son transitivas:

a) R1, R2 b) R1, R3 c) R2, R3 d) N.A. e) Todas

03. Sea R una relación definida en el conjunto{x/x=2n , n e Z+,5 < x < 25} y sea n(R) el número de elementos de R. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas.I) n(R) = 10 R no es reflexivaII) n(R) = 10 R es reflexivaIII) R es transitiva n(R) >

3Son verdaderas:

a) Sólo I b) sólo II c) sólo IIId) sólo I y II e) Todas

04. En el conjunto [1,8] Z se define la relación R cómo. a R b a es divisor de b. Hallar n(R)

a) 16 b) 18 c) 20d) 22 e) 24

05. Si el conjunto M tiene 2 elementos, entonces el número de relaciones binarias en MxM es:

a) 22 b) 24 c) 28 d) 216 e) N.A.

06. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y la siguiente relación en A:R = {(2,2), (2,1), (1,1), (4,4), (3,z), (x,y) , (x,z) , (2,3) , (z,y) , (3,1)} Si R es una relación de equivalencia.Hallar el valor de: 3x + 2y – z

a) 2 b) 4 c) 0d) 7 e) N.A.

07. Sea R una relación en: A={1,2,3,4,5,6} definida por “x es divisor de y”, entonces:1. R es reflexiva 2. R es simétrica3. R es TransitivaSon ciertas solamente:

a) Todas b) 1,2 c) 1,3

d) 2,3 e) N.A.

08. Son funciones:

(1) (2)

(3) (4)

Son ciertas solamente:

a) Todas b) 1; 2 y 3 c) 2; 3 y 4d) 3 y 4 e) N.A.

09. Se tiene los siguientes conjuntos de pares ordenados:

1.- {(1,2), (2,3), (3,4), (4,3)}2.- {(2,1), (3,2), (4,3), (3,4)}3.- {(3,4), (2,3), (4,1), (2,3)}4.- {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}Son funciones solamente:

a) Todas b) 1,2 y 3 c) 1,3 y 4d) 1,3 y 5 e) N.A.

10. Sea f: A R definida por f (x) = 4x – 4.Hallar el rango de f si:A = {-1/2; -1; 0; 1; ½}

a) {0, -1, -2, -3, -4}b) {-2, -3, 0, 3, 2}c) {7/2, 15/4, 2, 3, 0}d) {-15/4, -7/2, 0}e) {–7/2, –15/4, –3, –2, 0}

11. Los siguientes gráficos representan funciones:

(1) (2)

(3)

Son ciertas solamente:

a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3d) 2 y 3 e) N.A.

12. Sean los conjuntos:A = {2, 3, 4} y B = {3, 4, 5} y las siguientes relaciones de A en B.1.- {(2, 3), (3, 4), (4, 5)}2.- {(3, 2), (4, 3), (5,4)}3.- {(3, 3), (4, 4)}Son funciones de A en B:

a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3d) 2 y 3 e) N.A.

13. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos describen a una función A x A:A = {1, 2, 3, 4, 5}1.- {(x, y) A2 / x = 4}2.- {(x, y) A2 / y = 4}3.- {(x, y) A2 / x + y = 6}4.- {(x, y) A2 / x2 + y2 = 255.- {(x, y) A2 / x < y}

a) Todas b) 1,2 y 5 c) 2,3 y 4

d) 1,3 y 4 e) 3,4 y 5

14. Sea A = {x N / 0 < x < 5}¿Cuántos de los siguientes conjuntos son funciones de A en A?R1 = {(x, y) A x A / x = 2}R2 = {(x, y) A x A / y = 2}R3 = {(x, y) A x A / x + y = 5}R4 = {(x, y) A x A / x = y2}

a) R1 R2 b) R2 R3 R4 c) sólo R3

d) todas e) R1 y R4

15. Para A = {1, 2, 3} , B = {3, 4, 5}Sean f y g dos aplicaciones de A en B tales que:f = {(1, 3), (2, 4), (a, b)} yg = {(3, 3), (2, 4), (c, d)}Si: x A, f(x) x,Rango (f) B y g (1) = 3Hallar el valor de: (b – a) – (c – d)a) 2 b) 4 c) –2d) –1 e) N.A.

16. Si f es una función. ¿Cuáles son verdaderas?

I) Si a = b f(a) = f(b)II) Si a b f(a) f(b)III) Si f(a) = f(b) a = b

a) I b) II c) III d) todas e) I y III

17. Sean:A = {2, 4, 6, 8, 10} , B = {a, b, c, d, e}¿Cuáles de las siguientes relaciones definen aplicaciones de A en B?

R1 = {(2, a), (4, c), (10, c), (8, e), (6, e)}R2 = {(10, a), (6, b), (2, a), (6, e), (4, d)}R3 = {(6, a), (4, b), (8, c), (10, e)}R4 = {(a, b), (4, e), (6, a)}

R5 = {(10, b), (8, b), (4, b), (2, b), (6, b)}

a) R1 R3 b) R1 R5 c) R3, R4; R5

d) todas e) N.A.

18. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es función?I) {(1, 3), (2, -2), (-1, 7), (2, -4)}II) {(1, 0), (0, 0), (2, 0), (3, 0)}III) {(1/2,3), (1/3,2), (1/5,1)IV) {(3,4), (5,2), (6,2),

(3,4)}

a) I y II b) I, II y III c) II, III, IV d) I e) todas

19. Si el siguiente conjunto es una función{(3,-2), (4,2a - b), (8,1), (3,a + b), (4,-4)}, el valor de a2 + b2 es:

a) 1 b) 3 c) 0d) 4 e) 5

20. Sean las funciones:F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1);

(4,3)}

G = {(2,0); (3,4); (4,7); (5,2)}

Hallar la suma de elementos del rango de:(F2 + 3 G)

a) 16 b) 13 c) 30d) 59 e) N.A.


01. Dado el conjunto: A = {2; 4; 6} y las relaciones en A:R1 = {(2; 2), (2; 4), (4; 4 ), (6; 6), (4; 2)}R2 = {(x, y) / y – x = 0}R3 = {(x; y) / y – 2 = x};¿Cuáles son relaciones de equivalencia?

a) R1 b) R2 c) R1 y R3 d) R2 y R3 e) R1 y R2

02. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones en A:I) R1={(1;2), (1;3), (1;4), (2;3),

(2;4), (3;4)}II) R2 = {(x; y) /x2 + y2 = 5} {(1;

1)}III) R3 = {(1; 1), (2; 2), (2; 3)}Indicar las relaciones transitivas.

a) II b) I II c) II IIId) I, II III e) I III

03. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones en A:

R1={(1;2), (2 ;3), (2;1), (3;4), (3;2), (4; 3), (3;3)}R2 = {(x; y) / x2 + y2 = 5}R3 = {(x; y) / y = x – 2};¿Cuáles son simétricas?

a) R1 R3 b) R1 c) R1 R2

d) R2 e) R3

04. Dado el conjunto: A = {-2; -1; 3; 4} y las relaciones en A:R1 = {(-2,-1), (-2;-2), (-1; 2), (-1;-1), (3;3),

(4; 4)} …........... ( )R2 = {(x; y) / x = y ............... ( )R3 = {(x; y) / y = x – 2} ............... ( )Indicar con una V si es reflexiva y con una F si no lo es.

a) VVF b) VFF c) FVF d) VVV e) VFV05. Dados los conjuntos:

A = {x R / 3 < x < 6}B = {x R / x [-1; 4]}. Calcular el área que determina la gráfica de A x B


a) 222 b) 62 c) 152 d) 122 e) 82

06. Son funciones inyectivas:

(1) (2)

(3)

a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3

d) 2 y 3 e) N.A.

07. Son funciones sobreyectivas:

(1) (2)

(3)a) Todas b) 1 y 2

c) 1 y 3d) 2 y 3 e) 3

08. Son funciones biyectivas:

(1) (2)

(3)

a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3d) 2 y 3 e) 1

09. Graficar la función: F(x) = ||x-2| -

2|

10. Graficar: F(x) = | |

11. Sean las funciones:F = {(0, ); (1, ); (2, 0)}

G = {(0, ); (2, 1/2); (4; )}

Hallar M = (F.G)(2)

a) 1 b) 0 c) 2

d) 3 e) N.A.

12. Graficar la función: F(x) = Sgn

13. Dadas las funciones:F(x) = 3x - 5; x [0, 6]

G(x) =

Hallar: (F + G)

a)(F+G)(x)=

b) (F+G)(x) =

c) (F+G)(x) =


d) (F+G)(x) =

e) N.A.


F =

a) <-; 1]

b) <-; 1] U <1, +] U {0}

c) <1; +>

d) [-1; 1>

e) <-; 0> U <1; +>

15. Hallar el rango de la función:F(x) = x2 - 2|x| - 3

a) [-4; +> b) [-2; +> c) [-1; +>

d) [-6; +> e) [1; +>


F(x) =

a) <-; -1> U [2; +>b) <-; -3> [2; +>c) <-; -2> [1; +>d) <-; -2] U <2; 4>e) R - {-1}

17. Determinar el rango de:F(x) = |x + 8| - |x – 8|

a) [-4; 4] b) [-8; 8] c) [-16; 16]d) [8; +> e) <-; 8]

18. Graficar F(x) = x|x|.

19. Sean las funciones en R:

h(x) = x2 - 4x + 7g(x) = x2 - 10x - 27

Si: h(xO) h(x); x Dom hy g(x1) g(x); x Dom g.

Hallar: .

a) -3 b) 3 c) 7d) -7 e) N.A.

20. Si las gráficas de F(x) y G(x) son:

Hallar la gráfica de:

H(x) =



I. DefiniciónSe denomina logaritmo de un número real “N”, al exponente a que debe elevarse una base positiva y distinta de la unidad, para obtener


LOGARI

una potencia igual al número propuesta o sea “N”:Notación

Loga N = b

Se lee: “logaritmo de N en base a es igual a b”.Ejemplo:

Hallar el logaritmo de en base

Resolución

Sea “x” el logaritmo buscado:

Por definición:

Cuando las bases son iguales, entonces los exponentes son iguales.

De donde: x = 55/3II. Propiedades generales de los

logaritmos

1) Solamente existen sistemas de logaritmo cuya base es una cantidad positiva diferente de 1.

a < 0; 1 > < 1; + >

2) En el campo de los números reales no existen logaritmos de cantidades negativas.

3) El logaritmo de la base es la unidad.

4) El logaritmo de la unidad es cero

5) Logaritmo de un productoEs igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

6) Logaritmo de un cocienteEs igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

7) Logaritmo de una PotenciaEs igual al producto del exponente por el logaritmo dado con su respectiva base.

8) Logaritmo de una RaízEs igual al cociente del logaritmo del radicando entre el índice de la raíz.

9) En todo sistema de logaritmos, si se eleva la base a un número “n”, para que no varía, también debe elevarse el número. Igual sucede cuando se le extrae la raíz “n”.Esta propiedad sólo se basa en Potenciación y Radicación.

III.Cambio de base

Permite escribir el logaritmo de un número con su base conocida, en otro logaritmo del mismo número pero en otra base.Sea la base original “a” y el número N, se desea cambiar a una base “b” del mismo número N.Esta transformación se realiza de la siguiente; manera:

* PROPIEDAD EN EL CAMBIO DE BASE

* CONSECUENCIAS DE LA FORMA DE CAMBIO DE BASE

1)

2) Regla de la Cadena

3) Extensión de la regla de la cadena

IV.Cologaritmo

De un número en una base “a” es el logaritmo de la inversa del número en la misma base.También es equivalente al logaritmo del número en la base, precedido del signo menos.

V. Antilogaritmo

Se denomina antilogaritmo en una base “a” al número que dio origen al logaritmo.

Por definición, el antilogaritmo y logaritmo, expresados en la misma base son funciones inversas, por tanto:

VI.Sistemas de logaritmos

Sistemas de logaritmo neperiano o natural

Es aquel sistema de logaritmo, en el cual la base a emplear es el número “e”, donde:

2 < e < 3.

(e 2,7182) siendo sus notaciones:

Logaritmo decimales vulgares o de Brigss

Definición: Recibe este nombre, el sistema de logaritmos, cuya base es 10. La base no se escribe y su representación es:

Características: Es la parte entera del logaritmo decimal de un número. Puede ser positiva o negativa.

Determinación de la característica de log N

Cuando N>1: La característica es positiva igual al número de cifras que hay en su parte entera menos uno.

Ejemplos:

log 657 la característica es: 3 – 1 = 2

log 3287,17la característica es: 4 – 1= 3

Cuando: 0<N<1: la característica es negativa; siendo en valor absoluto igual al número de lugares que se debe desplazar la coma decimal para que el número resulte con una cifra entera.

Ejemplo:

log 0,0023: la característica es: - 3=

log 0,0000426: la característica es: –5=

log 0,00050007: la característica es:– 4=

Mantisa

Es la parte decimal del logaritmo vulgar.

Observaciones

- La Mantisa en los logaritmos decimales, se halla mediante tablas.

- La Mantisa es siempre positiva

Cuando se trata de calcular el Nº cifras enteras, se tiene:

log E = 24.56786 24 + 1 = 25 cifras enteras

log E = 2.32723 2+1 = 3 cifras enteras

log E = 6.42345 6 + 1 = 7 cifras enteras.


01. Calcular el valor de “E”

a) 2/3 b) – 1/6 c) 3/2

d) –6 e) 1

02. Calcular el valor de:

a) 4 b) –3 c) ¼d) –1/2 e) –2

03. Calcular “x” en la expresión:

a) 1/3 b) 3 c) 1

d) - e)

04. Calcular “x” a partir de las igualdades

...................

..... (I)

...................

.... (II)

a) 0 b) 2 c) 3

d) a + c e) – 1/3

05. Calcular “x” en:

a) 2 b) 3 c) 1d) 5 e) 6


a) 1 b) a c) cd) ac e) a/b


a) 4 b) 6 c) 12d) log 2 e) 2

08. Calcular:

a) 49 b) 14 c) 172d) log2 7 e) log 0,5

09. Calcular:

a) 5 b) 10 c) a

d) b e) logb a

10. Si:

Calcular:

a) 8 b) 16 c) log

abc

d) 8 e) 32


antilog125 antilog3 colog25 antilog5

log7 49

a) 7 b) 5 c) 2

d) 3 e) 25


a) 2 b) 3 c)

d) 8 e) 5


a) –2 b) 7 c) 3

d) 2 e) – 3


14. Si:

Calcular “x”:

a) 10 b) 3 c) 2

d) 12 e) 7


a) – 3 b) –1 c) 2

d) 4 e) ½

16. Calcular el número de cifras que tendrá el desarrollo de:

Si: log 2 = 0,30103, log 3 = 0,47712

a) 25 b) 28 c) 32

d) 37 e) 36

17. Calcular el valor de.

, si log 2 = 0,30103

a) 0.3615 b) 0.8737 c) 0.3737

d) 0.69897 e) 1.7257


,si log

2=0.30103

a) 0,69897b) 0,3615 c) 0,7257

d) 0,2117 e) 0,8436

19. Calcular el valor de “x” en:

a) 4 b) 2 c) 3

d) 5 e) 6

20. Resolver la ecuación:

. Hallar

“x”.

a) e9e/11 b) e3e/7 c) e5e/7

d) e11e/9 e) N.A.



a) 1 b) 2 c) 3d) – 2 e) – 4

02. Calcular “x” en:x log 2 + log log 2 = log log 16

a) 4 b) 1 c) ¼d) 2 e) –2/3


a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 1


a) 15/2 b) ½ c) 2

d) 15 e) 805. Calcular “x” en:

a) –2/3 b) (1/4)-1/3 c) 4d) 1 e) 3

06. Si se cumple que:

Calcular “x” en:

a) 2a b) 1/a c) bcd) ab/c e) 1


a) 1/a b) 2a c) a2

d) log 7 e) 7

08. Calcular:

a) 3 b) 5/3 c) 1/3d) ½ log7 5 e) 9

09. Al reducir:

; Donde: N = 1999! , se obtiene:

a) 1997 b) 0 c) 1998

d) 1 e) F.d.

10. ¿Qué valor asume la expresión:

.Si x =

a) 5 b) 3 c) 7

d) 6 e) 4

11. Resolver:

a) ab b) ba c) a

d) b e) -ab

12. Al resolver la ecuación:

podemos afirmar:

a) Admite como solución a la unidadb) Se verifica para x = -9c) Conjunto solución = {-9; 1}d) Es inconsistentee) Es indeterminado

13. Hallar “x” en: xLog 2+Log Log 2= Log Log 16

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8

14. Calcular:

a) 20 b) 9 c) 15/4d) 20/9 e) 9/20

15. Calcular:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

16. Calcular:



a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.a

17. Calcular:

a) Log 3 b) Log 2 c) Log 5d) Log 6 e) N.a

18. Resolver:Log (2 – x) + Log (3 – x) = Log 20

a) 7 b) – 7 c) – 2d) 2 e) 14

19. Si: Log x – 3 Log 2 = 1hallar “x”:

a) 2 b) 8 c) 80d) 40 e) 1

20. Halle de:

a) 4 b) 3 c) 6d) 7 e) 4 y – 5


01. Calcular:

a) 73/6 b) 73/12 c) 6/73d) 12/73 e) 1/2

02. Calcular:

a) 1/2 b) – 1/2 c) 1/4d) – 1/4 e) 1

03. Hallar “x” en:

a) 10 b) 14 c) 6d) 2 e) 4

04. Calcular:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

05. Calcular:

a) 2 b) 25 c) 5d) 1/5 e) 125

06. Calcular:

si se sabe que:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07. Reducir:

a) 1/2 b) abc c) a + b + cd) ab + ac + bc e) 2

08. Señalar la menor raíz de la ecuación:

a) 2/3 b) 2/5 c) 3/2d) 5/2 e) 5

09. Si: F(x + logx) = x –

logx; hallar: F (11)

a) 2 b) 3 c) 7d) 9 e) 11

10. Si:

,

indicar el valor de “b”

a) b) c)

d) 2 e)

11. Resolver: Loga64 Logxa = 3

a) 2 b) 8 c) 6d) 4 e) 5

12.Si: . Simplificar:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

13. Resolver:

a) a b) c)

d) e)

14. Simplificar la expresión:

a) b) 2 c) 3

d) 3 e) 8

15. Si: a y b son las raíces de la ecuación:

x2 – 3x + n4 = 0Calcular:

a) – 12 b) – 6 c) 6d) 9 e) 12

14. Resolver:

¿Cuántas raíces tiene esta ecuación para un valor determinado de “n”?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15. Resolver la siguiente ecuación:

a) 102 b) 103 c) 104

d) 10 e) 105

16. Hallar el valor de:

a) x b) 3 c) 0d) 4 e) 5

17. Resolver:

a) 200 b) 100 c) 400d) 20 e) 150

18. Qué valor de “x” verifica la igualdad:

a) -1 b) 1 c) 3d) 4 e) -2

19. Calcular E si x =


a) 11 b) 3 c) 10d) 9 e)12

20. Resolver el sistema. Hallar “x”:

. . . . . . . . . (1)

……. . . . . (2)

a) 100 b) 1/ 100 c) 2/ 50

d) 1 e) 300


Diferenciar los términos: Progresión Aritmética y Progresión Geométrica.

Interpolar Medios Aritmética y Medios Geométrica.


En muchas ocasiones los conjuntos de elementos cualesquiera se ordenan de igual manera que están ordenados los números naturales.Siempre que los elementos de un conjunto estén en correspondencia con los números naturales 1; 2; 3; … , de forma que a cada elemento le asignamos un número natural correspondiente, el conjunto se convierte en una SUCESION.

¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?

Es una función definida de N a R en la forma siguiente:

S: N R S: n an

N R

S

nan

n an

1 a1

2 a2

3 a3

4 a4

: :

: : n an

Sucesión: a1; a2; a3;…; an Ejemplos:

1; 4; 9; 16; 25; 36; 49

1; -x; ; – ; ; – ; ;….

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión es infinita.El término general o término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos de la sucesión.

Ejemplo: El término general de la sucesión:1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 es n2 n NDentro de las sucesiones tenemos las PROGRESIONES.


PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Es aquella, en la cual un término cualquiera, excepto el primero, es igual al anterior aumentado en una cantidad constante llamada razón aritmética. A la progresión aritmética también se le denomina progresión por diferencia.

Representación

a1. a2 . a3 ..................… an

a1. (a1 + r). (a1 + 2r). … [a1 + (n – 1) r]

Elementos de una progresión aritmética

= Inicio de la progresión aritmética.a1= primer términoan= término enésimor = razón de la progresión aritméticaSn= Suma de los “n” primeros términos

Clases de progresión aritmética:De acuerdo a la razón:

* Si: r > 0 Progresión Aritmética Creciente

* Si: r < 0 Progresión Aritmética Decreciente

Propiedades:

Sea la P.A: a1. a2. a3..... ak... ax… ay... an

I. Razón: r = a2 – a1 = a3 – a2 .... = ak – ak – 1

; 1 k n

II. Término General

III. Términos equidistantes de los extremos

Sean ellos: aP; aq

a1............ aP............. aq............ an

p términos p términos


PROGRE

IV. Término Central: Cuando “n” es impar.

* Corolario:

V. Suma:

Medios Aritméticos: Son los términos comprendidos entre dos extremos. Ejemplo:

4. 7. 10. 13. 16. 19. 22

extremoextremo

anteriorposterior

Interpolación de Medios Aritméticos:

Dados: a, b, m

De (II)

ri: Razón de interpolación aritmética

PROGRESION GEOMETRICA

Es aquella sucesión numérica, en la cual el primer término y la razón son diferentes de cero y además un término cualquiera, excepto el primero, es igual al anterior multiplicado por una misma cantidad llamada razón geométrica, a una progresión geométrica también se le denomina progresión por cociente.

Representación.

t1 : t2 : t3 : t4 : .........: tn

t1 : t1q : t1q2 : t1q3 : ......... : t1qn-1

Elementos de la progresión geométrica.

= Inicio de la progresión geométrica.

t1 = Primer término [t1 0]: = Separación de términosq = Razón [q 0]tn = Término enésimoSn = Suma de “n” primeros

términosPn = Producto de “n” primeros

términos

Clases de P.G.

* Si: q > 1 P.G. Creciente

* Si: 0<q<1 P.G. Decreciente

* Si: q < 0 P.G. Oscilante

Propiedades:Sea la P.G. t1 : t2 : t3 ........ tk : .......... tn

I. Razón:

; 1 k n

II. Término General

III. Siendo: ta, tb, dos términos equidistantes de los extremos: t1 , tn , se cumple:

t1 .......... ta ............ tb ............. tn

a términos a términos

IV. Términos Central: (tc)

Cuando el número de término es impar

V. Producto:

VI. Suma:

VII. Suma límite: Suma de todos los términos de una progresión geométrica ilimitada y decreciente.

Si: -1 < q < 1

Medios Geométricos: Son los términos comprendidos entre dos extremos. Ejemplo:

3 . 9. 27. 81. 243. 729

extremoextremo

anteriorposterior

Interpolación de Medios Geométricos

Dados: a, b, m

De (II): ,

q1 = Razón de interpolación geométrica


01. Hallar la suma de los 30 primeros múltiplos de 4.

a) 1680 b) 1800 c) 1600d) 1860 e) 1620

02. En una P.A. se conoce que t1 = a – 2; r = 2 - a y S=10 5a. ¿Cuántos términos tiene la progresión?

a) 1 b) 7 c) 4


Si “n” es impar

5 medios aritméticos

4 medios geométricos


d) 3 e) 5

03. ¿Cuántos medios aritméticos se pueden interpolar entre 8 y 48 de tal manera que se forme una P.A. cuya suma de términos sea 588?

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) N.A.

04. Siendo (x + y), (4x – 3y), (5y + 3x), los tres términos consecutivos de una P.A. Hallar x/y.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2/3 e) 3/2

05. ¿Cuántos números bases consecutivos después de 12 suman 378 ?

a) 18 b) 16 c) 14

d) 12 e) 10

06. Expresar en función del número de términos la suma de los términos de la progresión aritmética 4. 10. 16. . .

a) n (2n + 1) d) n (n + 1)

b) n (3n + 1) e) N.A.

c) n (4n + 1)

07. La suma del cuarto y décimo término de una Progresión Aritmética es 60 y la relación del segundo al décimo es 1/3. Hallar el primer término.

a) 10 b) 4 c) 6d) 7 e) 8

08. Determinar “q” para que las raíces de la ecuación:

Formen una P.A.

a) 9/4 b) 4/9 c) 1/4d) 4 e) 9/16

09. A las nueve de la noche término una de las clases en una academia y en el tiempo que duró la sesión dio el reloj 48 campanadas. ¿A qué hora empezó la sesión, si el reloj de control da las horas y medias horas?

a) 1 pm b) 2 pm c) 3 pmd) 4 pm e) 8 pm

10. Determinar la razón de una P.G. de 7 términos, sabiendo que la suma de los 3 primeros es 26 y la suma de los 3 últimos 2106.

a) 1 b) 3 c) 6d) 9 e) 27

11. La suma de los términos de una P.G. decreciente y prolongada indefinidamente es “m” veces la suma de sus “n” primeros términos. Hallar la razón.

a) b) c)

d) m n e) N.A.

12. En un cuadrado de lado “l” se unen los puntos medios de los 4 lados y se forman otro cuadrado cuyos puntos medios de sus lados se unen también para formar un nuevo cuadrado y así sucesivamente. Hallar el límite de la

suma de las áreas de todos los cuadrados así formados?

a) 4 l2 b) 2 l2 c) 144l2 d) l2 e) N.A.

13. La suma del sétimo y quinceavo término de una P.A. es 106 y la relación del término 19 al término 13 es 31/21. Calcular el valor del término 31.

a) 158 b) 148 c) 153 d) 168 e) N.A.

14. En una P.A. con un número impar de términos el término central vale 31 y el producto de los extremos es 520. La diferencia de los cuadrados del término final y del término inicial es:

a) 42 b) 2604 c) 62 d) 1302 e) N.A.

15. Sea la P.A. a, b, c, d de razón “r”.

Calcular:

a) 2 b) 1 c) 0 d) 1/2 e) 4

16. Halle la siguiente suma:

a) 1/5 b) 1/24 c) 1/16 d) 5/48 e) N.A.

17. Hallar la suma de los “p” primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que el enésimo término es 2n+1.

a) p (p + 2) b) p (2p + 2) c) p + 3d) 2 (p + 5) e) N.A.

18. Hallar los valores reales de “x” e “y” tales que los números x, 2x y, 2x + y forman una P.A. y

los números , xy, 3( x y )2

representen una P.G. Dar como respuesta xy.

a) 64 b) 32 c) 6d) 36 e) N.A.

19. Si las raíces de la ecuación:

x3 – 13mx2 + 13 mx 3m = 0

Están en progresión geométrica, hallar la suma de los cuadrados de las raíces de dicha ecuación.

a) 71/9 b) 81/9 c) 91/9 d) 61/9 e) 51/9

20. Dada la progresión: 5. 10. 5.......¿Cuántos términos de esta progresión hay que tomar a partir de la posición 14 para que sumen tanto como los 9 primeros?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


01. Una compañía comercial decide poner 20 avisos separados por intervalos iguales a partir del kilómetro 50 hasta el kilómetro 164 de la Panamericana Norte. ¿En qué kilómetro estará ubicado el doceavo aviso?


a) 106 b) 112 c) 116d) 120 e) 124

02. Si a1, a2, a3,.... están en progresión aritmética. Calcula la suma:

a) b) c)

d) e)

03. Dada 2 progresiones, una geométrica y la otra aritmética cuyo primer término es el mismo e igual a 1/3 la razón común. Sabiendo que los 5 primeros términos de la aritmética son iguales a la suma de los infinitos términos de la geométrica. Hallar el 1er. término.

a) – 15/7 b) – 2/3 c) 13/14d) – 20/21 e) N.A.

04. Se tiene una P.A. creciente en la 6324 excede al término de lugar 797 en el término de lugar 19. Si la progresión tiene 815 términos. Hallar la suma de los términos de la progresión. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicha suma.

a) 19 b) 24 c) 31d) 28 e) N.A.

05. Sean a1 y a2 las raíces de la ecuación a2 15ª + m = 0, y a3 y a4 las raíces de la ecuación a2 60 a + n = 0. Se sabe que a1, a2, a3,

a4 (en este orden) forman una P.G. creciente. el valor de n/m es:

a) 8 b) 16 c) 25 d) 81 e) N.A.

06. Calcule el valor de “E” :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 507. El producto de los

términos de lugar par de una P.G. de número impar de términos positivos es 387420489 y el producto de los de lugar impar es 31381059609. Calcular el valor del cuadrado del término central de dicha progresión:Datos: log3 387420489 = 18 log3 31381059609 = 22

a) 729 b) 2187 c) 6561 d) 1963 e) N.A.

08. Hallar: S = 1 + 2x + 3x2

+ 4x3 +....0 < x < 1

a) (1–x)2 b) (1–x)1 c) (1–x)3

d) (1–x)4 e) N.A.

09. En una P.G. de razón 2, la suma de los términos es 93 y la suma de sus cuadrados es 3069. El valor del término central es:

a) 6 b) 24 c) 12d) 8 e) N.A.

10. Si a, b y c son tres números positivos en P.A. (en ese orden). Diga usted que tipo de progresión forman los siguientes números:

a) Progresión aritméticab) Progresión geométricac) Progresión armónica

d) Progresión triviale) No forman ninguna progresión

11. La suma de los “n” primeros términos de una progresión es:

Sn = n2 –n +3Halle usted el décimo término.

a) 20 b) 16 c) 15d) 17 e) 18

12. Un alpinista escala una montaña de 5700 m. de altura. En el transcurso de la primera hora alcanzó una altura de 800 m; mientras que durante cada hora siguiente subió a una altura de 25 m. menor que en la precedente. ¿Cuántos metros ascendió durante la última hora, en que alcanzó la cima?

a) 600 b) 625 c) 630d) 640 e) 650

13. Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación x2 6x + p = 0, x3 y x4 las raíces de la ecuación: x2 54x + q = 0. Se sabe que los números x1, x2, x3, x4 (en la sucesión dada) forman un P.G. creciente. El valor 8p + 4q es:

a) 2241 b) 2187 c) 2214 d) 2160 e) N.A.

14. Si x, y, z, w son cuatro números en P.A. Entonces xyzw + (y + x)4; es:

a) Cero

b) Un cuadrado perfectoc) Un cubo perfectod) Divisible entre xyzwe) No se puede afirmar nada

15. En una progresión aritmética con un número impar de términos, el término central vale 27 y el producto de los extremos es 329. La diferencia del término mayor menos el término menor es:

a) 30 b) 40 c) 16d) 27 e) N.A.

16. Formar una ecuación bicuadrada, sabiendo que sus raíces forman una P.A. donde el valor máximo de un término es 15.a) z4 + 25z2 – 225 = 0b) z4 z2 +250 = 0c) z4 250z2 + 5625 = 0d) z4 + 225z2 – 5625 = 0e) N.A.

17. Se tiene “n” montones de granos con un número de granos en P.A. creciente. Si del primer montón se quita un grano, del segundo 2, y así sucesivamente, queda en el último doble número de granos que en el primero. Se sabe además que existen en total 460 granos. Y finalmente, que si del primero se quitan 2, del segundo 4, del tercero 6 y así sucesivamente, en el último quedan 18 granos más que en el primero. Calcule el último montón.

a) 60 b) 62 c) 68 d) 64 e) 70

18. En una P.G. de razón 3, la suma de los términos es 120 y la suma de sus cuadrados 7380. Las suma de los términos extremos es :

a) 243 b) 84 c) 85d) 106 e) N.A.


19. Evaluar la siguiente serie:

a) 7/2 b) 5/2 c) 9/2 d) 11/2 e) N.A.

20. Si: S1 , S2 , S3 , ....... Sp ; son las sumas de “n” términos de “p” progresiones aritméticas, cuyos primeros términos son: 1, 3, 5, 7, ... etc. Hallar la suma :

= S1 + S2 + S3 + ....... + Sp

a) np d)

b) np (p + 1) e)

c)


01. Hallar el término 12 de la progresión aritmética cuyo primer término es 5 y la razón 2.

a) 29 b) 27 c) 25

d) 23 e) 21

02. Hallar la suma de los 20 primeros términos de la progresión: , 2, 7, 12, .........

a) 980 b) 990 c) 1020

d) 960 e) N.A.

03. El cuarto término de una progresión aritmética es 9 y el

noveno término es –6, la razón “r” vale:

a) 3 b) 3 c) 2

d) 2 e) 1

04. La suma de los tres números que están en P.A. creciente es 27 y su producto 243. Hallar la razón.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) N.A.

05. Hallar la razón de una P.A. si la suma de “n” términos es n( 5n 3 ).

a) 8 b) 10 c) 7 d) 5 e) N.A.

06. En la P.A. siguiente: . . . 5. . . 47. . . 159El número de términos que hay entre 47 y 159 es el triple del número de términos que hay entre 5 y 47, Hallar la razón de la P.A.

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) N.A.

07. Dada la progresión: a1. a2. a3. … .an 7 Calcular el cociente que resulta de dividir la sumatoria de todos sus términos entre el término medio.

a) b) ( n 6 )

c)

d) n 7 e) ( n 7 )

08. La suma del cuarto y noveno término de una P.A. es 32 y la relación del sexto al octavo término,

. El término doceavo es:

a) 27 b) 16 c) 8 d) 29 e) N.A.

09. Si:

están en P.A. Señale la afirmación correcta.

a) 3 x = 2 a b) 3 x = a c) 3x=

d) 3 x = 4 a e) 3 x =

10. Si se sabe que:(x – 4); (x); (x + 2); (y + 1); (3y); (9y – 6) es una progresión geométrica. Además que x, y, z es una progresión aritmética. Halle z.

a) 6 b) 4 c) 8 d) 2 e) 5

SOLUCIONARIO

N°Ejercicios Propuestos01 02 03 04 05

01. E A C C C02. C A E D B03. E A B D D04. B D C E B05. D B B E B06. D E E B C07. C B C C C08. E A C A A09. A A C D C10. C D E C A11. B A B A E12. E D B D B13. A C B A14. B B B B15. D B D B16. A A C17. B B D18. C C B19. D C B

20. D E B


algebra 4° 4 b

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