unidad 3. coordenadas polares

UNIDAD No. 3

Coordenadas Polares

Gil Sandro Gómez

Santo Domingo, D.N.

07 de enero de 2013

Unidad 3: Coordenadas Polares

3 Autor: Gil Sandro Gómez

Contenido

Introducción ........................................................................................... 4

3.1 Concepto de Coordenadas Polares ....................................................... 5

3.2 Discusión y Gráfica de una Ecuación Polar ............................................. 6

3.3 Pendiente y rectas tangentes ............................................................. 11

3.4 Intersección entre Curvas en Coordenadas Polares ............................... 14

3.5 Área de una Curva en Coordenadas Polares ......................................... 16

Bibliografía ............................................................................................ 19

Webgrafía ............................................................................................. 19



Introducción

En nuestro proceso de formación en el campo matemático hemos venido discutiendo, graficando y analizando curvas en coordenadas cartesianas y en algunas ocasiones encontrábamos que nos resultaba bastante difícil, es por ello, que nos adentraremos a estudiar el sistema de coordenadas polares.

Este es un sistema bidimensional, que nos permitir expresar un punto en función de su ángulo director y su radio vector. Consta de un eje de llamado eje polar, un eje normal y el polo.

En esta unidad aprenderemos a pasar un punto y una ecuación de coordenadas cartesianas a coordenadas polares y viceversa. Así como discutir y graficar una curva en coordenadas polares y encontrar el área de la curva en coordenadas polares.

También nos auxiliaremos de algunas aplicaciones informáticas para graficar curvas.



3.1 Concepto de Coordenadas Polares

Definición. Las coordenadas polares es un sistema de coordenadas que define la posición de un

punto en un espacio bidimensional en función de los ángulos directores y de la distancia al origen

de referencia.

Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto “O” llamado polo u

origen, se traza un rayo inicial llamado eje polar.

Sea P un punto cualquiera en el plano coordenado, la posición del punto P con relación al eje polar

y al polo es determinado cuando se conocen r y θ. Estas dos cantidades se llaman las coordenadas

polares del punto P; donde r se denomina radio vector y θ ángulo polar o argumento de P. Un

punto P se escribe (r, θ). La línea recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar se llama

eje normal o eje a 90.

En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. Esto no sucede en

coordenadas polares. Las coordenadas (r, θ) y (r, θ+2n) representan el mismo punto, donde n es

cualquier entero positivo.



Teorema 1. Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares coinciden, respectivamente, con el

origen y la parte positiva del eje X de un sistema de coordenadas rectangulares, el paso de uno a otro

puede efectuarse por medio de las siguientes fórmulas de transformación:

Acceda a este link para que analice este video: http://www.youtube.com/watch?v=A1BgT2oAt-k

3.2 Discusión y Gráfica de una Ecuación Polar Gráfica de una ecuación polar. Es el conjunto de puntos tales que cada uno tiene al menos, un par de

coordenadas polares que satisfacen la ecuación.

Discusión de una curva en coordenadas polares

La construcción de curvas en coordenadas polares constará de los seis pasos siguientes:

1. Determinación de las intersecciones con el eje polar y el eje normal.

2. Determinación de la simetría de la curva con el eje polar, el eje normal y el polo.

3. Determinación de la extensión del lugar geométrico.

4. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada.

5. Trazado de la gráfica.

6. Transformación de la ecuación polar a rectangular.

Ahora desarrollaremos los pasos 1, 2 y 3, los 4, 5 y 6 no es necesario desarrollarlos.

1. Intersecciones. Las intersecciones con el eje polar, cuando existen, pueden obtenerse resolviendo

la ecuación polar dada para r, cuando a θ se le asignan sucesivamente los valores 0, y en

general ndonde n es un entero cualquiera. Análogamente, si existen algunas intersecciones con

el eje normal, pueden obtenerse asignado a θ los valores de n/2, donde n es un número impar

cualquiera. Si existe un valor de θ para el cual r=0, la gráfica pasa por el polo.

http://www.youtube.com/watch?v=A1BgT2oAt-k



2. Simetría.

Las simetrías de una curva se analizan mediante las siguientes transformaciones.

Simetría con respecto al La ecuación polar no se altera o se transforma en

una ecuación equivalente

Eje polar a) se sustituye a θ por – θ o

b) se sustituye a θ por θ y r por -r

Eje normal a) se sustituye a θ por θ o

b) se sustituye a θ por θ y r por -r

Polo a) se sustituye a θ por θ

b) se sustituye a r por -r

3. Extensión del lugar geométrico. Para determinar la extensión de la gráfica de un lugar geométrico

dado en coordenadas polares, primero se despeja a r en función de θ, de modo que tenemos

Si r es finito para todos los valores de θ, se trata de una curva cerrada. Si r es infinita para ciertos valores de

θ la gráfica no es una curva cerrada. Para valores de θ que hacen a r compleja no hay curva; tales valores

constituyen intervalos excluidos del lugar geométrico. Si la gráfica es una curva cerrada, es útil, determinar

los valores máximo y mínimo de r.

Ejemplo 1. Discuta y grafique la curva:

( ) 4 4f sen

1. Intersecciones.

a) Para hallar las intersecciones con el eje polar, evaluamos la función en los siguientes ángulos:



(0) 4 0 0

( ) 4 4 0

(2 ) 4 8 0

f sen

f sen

f sen

Las intersecciones son:

b) Con el eje normal:

2

4 4 4 2 02 2

3

2

3 34 4 4 6 0

2 2

f sen sen

f sen sen

Las intersecciones son: 0,2

y 3

0,2

2. Simetría.

a) Con el eje polar

Sustituimos a θ por –θ

( ) 4 4( ) 4 4f sen sen

Como se puede observar, la ecuación se altera, por tanto no existe simetría con el eje polar.

b) Con el eje normal

Sustituimos a por

( ) 4 4( ) 4 (4 4 ) 4 4 cos 4 4 4 cos 4

( ) 4 4

f sen sen sen sen

f sen

La ecuación cambia, no existe simetría con el eje normal.



c) Simetría con el polo

Se sustituye a por

( ) 4( ) 4 cos4 4 cos4 4f sen sen sen sen

Comparando la ecuación resultando se llega a la conclusión de que ésta no varía, por tal motivo la curva es

simétrica con el polo.

3. Extensión del lugar geométrico.

4 4r sen

Dado que los valores del radio son finitos, podemos decir que la curva es cerrada.

4. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada.

4 4r sen

θ 0 π/6 π/3 π/2 4π/6 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π

r 0 3.46 -3.46 0 3.46 -3.46 0 3.46 -3.46 0 3.46 -3.46 0

5. Trazado de la curva

Nota: Al analizar una curva en coordenadas polares y ésta no es simétrica a ninguno de los ejes,

entonces lo es al polo. También es simétrica al polo, si lo es a ambos ejes.



6. Transformar la ecuación de polar a rectangular

Ahora podemos auxiliarnos del teorema 1 para hacer la transformación de polar a rectangular.

√

√ √

x

y

Fig. 1



√

√ (

√ )

(

√ )

√

Desarrollando la expresión (a):

√

Agrupando términos en (b) nos queda la expresión:

√

Si observamos la ecuación ©, nos daremos cuenta lo complicado que sería analizar esta ecuación si no fuera

en coordenadas polares.

3.3 Pendiente y rectas tangentes Teorema 2. Pendiente en forma polar

Si f es una función derivable o diferenciable en θ, entonces la pendiente de la recta de la gráfica ( )r f

en el punto (r, θ) es

( ) cos '( )

( ) '( ) cos )

0 ( , )

dy

d

dx

d

dy f f sen

dx f sen f

dxsiempre que en r

d

Del teorema anterior se pueden sacar las siguientes conclusiones:

1. Las soluciones 0dy

d dan una tangente horizontal, siempre que 0

dx

d

2. Las soluciones 0dx

d dan una tangente vertical, siempre que 0

dy

d



Ejemplo 2. Encuentre la pendiente y las tangentes horizontales y verticales de la función:

Aplicando el teorema anterior, tenemos que:

Sustituyendo (2) en (3):

Derivamos las ecuaciones (4) y (5) respecto de :

Dividimos (7) entre (6):

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 8



Hemos encontrado la derivada de la función, ahora buscaremos las tangentes horizontales y verticales.

Para determinar las tangentes horizontales, igualamos a cero la ecuación (7).

Corresponde ahora que busquemos los valores de los ángulos que satisfacen a (9).

Evaluamos a (6) en (10) para saber si existe o no una tangente horizontal.

(

) (

) (

)

Como 11 es diferente de cero, entonces existe una tangente horizontal en

.

Hagamos el análisis para

(

) (

) (

)

Dado que (12) es diferente de cero, hay una tangente horizontal en

.

Ahora evaluamos a (2) en (10), para calcular las tangentes horizontales:

(

)



(

)

Nota: El cálculo de las tangentes verticales se deja como ejercicio a los estudiantes.

Teorema 3. Rectas tangentes en el polo

Si y , entonces la recta es la tangente a la gráfica en el polo.

3.4 Intersección entre Curvas en Coordenadas Polares Como fue planteado en la introducción del tema de coordenadas polares de que un punto en este

sistema tiene más de una representación, es importante tener presente que cuando se va a determinar

los puntos de intersección entre dos curvas; es conveniente realizar las gráficas. No todos los puntos de

intersección pueden hallarse resolviendo la ecuación que resulta de la igualar las dos funciones.

Ejemplo 3. Busque los puntos de intersección de las siguientes dos curvas dadas en coordenadas

polares.

Lo primero que tenemos que hacer es igualar las dos ecuaciones:

( 𝜋

) (

𝜋

)



Transponiendo términos:

Para poder encontrar los valores de los ángulos que satisfacen a (5) es necesario auxiliarnos de

la identidad del seno doble.

La solución analítica de (6) nos lleva a la conclusión que los puntos de intersección entre las

dos curvas se producen en los ángulos antes determinados. Para saber si existen otros puntos

de intersección, es necesario hacer las gráficas.

x

y

Fig. 2



De acuerdo a lo observado en el dibujo, las curvas se cortan en los siguientes ángulos:

3.5 Área de una Curva en Coordenadas Polares

Teorema 4. Área en coordenadas polares

Si es continua y no negativa en [ ], entonces el área de la región

limitada por la gráfica de entre las rectas radiales está dada por

Nota: esta fórmula puede ser utilizada para calcular el área de una región acotada por la gráfica de

una función continua no positiva. La misma no es necesariamente válida si toma valores

negativos y positivos en el intervalo [ ].

Ejemplo 4. Calcule el área acotada por la curva

Primer paso. Dibujamos la curva para obtener los límites de integración. Recordamos que es

necesario hacer la gráfica, porque esto nos ayuda en la obtención de los límites de integración.

θ 0 π/6 π/3 π/2 4π/6 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π

r -2 0.73 2.73 2 -0.73 -2.73 2 0.73 2.73 2 -0.73 -2.73 -2

𝐴

𝑓 𝜃

𝛽

𝛼

𝑑𝜃

𝑟

𝛽

𝛼

𝑑𝜃



Segundo paso. Igualamos a cero a (4), para hallar los valores de los ángulos que satisfacen la

ecuación de la curva dada.

Usando el concepto de función inversa en (6), obtenemos que:

De (7) nos queda que:

El intervalo de integración es:*

+

x

y

𝜃 𝜋8 , 𝜃 𝜋 8

Fig.3



Nota: Este análisis, es solamente para un pétalo, por lo que el resultado que se obtenga, es

imprescindible multiplicarlo por cuatro para tener el área total.

Tercer paso. Cálculo del área

8

|

(

8

8) (

8

8) (

8) (

√

√

)

( √ )

El área total es cuatro veces la calculada:

( 8√ )



Bibliografía

1. Edwards, C & Penney, D. (2008). Cálculo con trascendentes tempranas (7ma edición). México: Pearson.

2. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (2010). Cálculo Esencial. México: CENGAGE Learning 3. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (2006). Cálculo II. México: Mc Graw Hill. 4. Purcell, E., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Cálculo (9na edición). México: Pearson. 5. Edwards, C & Penney, D. (2008). Cálculo con trascendentes tempranas (7ma edición).

México: Pearson. 6. Stewart, J. (2008). Cálculo de varias variables (6ta edición). México: CENGAGE Learning. 7. Thomas, G. (2005). Cálculo varias variables (11ma edición). México: Pearson

Webgrafía 1. http://laplace.us.es/wiki/index.php/Coordenadas_polares

2. http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/p/polarcoordinates.htm

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Coordenadas_polares

http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/p/polarcoordinates.htm

unidad 3. coordenadas polares

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