Unidad 1

Unidad 1Carga elctrica y campo elctrico1IntroduccinLas fuerzas fundamentales de la naturaleza son: Fuerza gravitacional; Fuerza electromagntica; Fuerza nuclear dbil; Fuerza nuclear fuerte.

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Carga elctricaHoy da se sabe que los chinos 2000 aos a. C. ya tenan nociones sobre la carga elctrica. Los griegos en 600 a. C. notaron que cuando frotaban mbar con lana, el mbar atraa objetos. (elektron en griego significa mbar).La carga elctrica es otra de las propiedades intrnsecas de la materia que se manifiesta mediante atracciones y repulsiones de electrones.

3Carga elctrica

La electrosttica es la interaccin entre cargas elctricas que estn en reposo (o casi).Experimentos de electrosttica.4Carga elctrica

Experimentos de electrosttica.5Carga elctricaEstos experimentos arrojan como conclusin que existen dos tipos de carga elctrica.Otra conclusin que sobre sale es que dos cargas positivas o dos cargas negativas se repelen mutuamente. Una carga positiva y una negativa se atraen una a la otra.

Benjamn Franklin (1706 - 1790)6Carga elctrica

Diagrama esquemtico del funcionamiento de una impresora laser.7Carga elctrica y estructura de la materiaLa estructura de los tomos se puede describir en trminos de tres partculas: el electrn con carga negativa, el protn con carga positiva y el neutrn sin carga.

El protn y el neutrn son combinaciones de otras subpartculas llamadas quarks, que tienen cargas equivalentes a 1/3 y 2/3 de la carga del electrn.

DeuterioH128Carga elctrica y estructura de la materiaLas masas respetivas de las partculas individuales, con la exactitud con la que se conocen hoy da, son

Masa del electrnme9.10938188x10-31kgMasa del protnmp1.67262158x10-27kgMasa del neutrnmn1.67492716x10-27kgLa masa del protn y del neutrn son casi iguales y equivalentes a casi 2000 veces la masa del electrn.9Carga elctrica y estructura de la materia

La ganancia o perdida de electrones se le llama ionizacin.10Carga elctrica y estructura de la materiaDe lo mencionado hasta aqu se desprenden dos principios fundamentales: Principio de conservacin de la carga: La suma algebraica de todas las cargas elctricas de cualquier sistema cerrado es constante. La magnitud de la carga del electrn o del protn es una unidad natural de carga.

La carga est cuantizada.11Conductores, aisladores y cargas inducidas

Los conductores permiten que la carga se desplace fcilmente a travs de ellos; los aisladores no.12Conductores, aisladores y cargas inducidas

Estructura atmica de un conductor.Estructura atmica de un aislador.13Conductores, aisladores y cargas inducidas

Este efecto se conoce como cargas inducidasAl reordenamiento de las cargas de acuerdo a su signo se llama polarizacin.14Conductores, aisladores y cargas inducidas

Ejemplo: Proceso electrosttico de pintado.15Ley de Coulomb

Charles-Augustin de Coulomb(1736 1806) Balanza de torsin16Ley de CoulombLa ley de Coulomb establece que:La magnitud de cada una de las fuerzas elctricas con que interactan dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Donde k es una constante de proporcionalidad cuyo valor es en el sistema internacional de

Fuerza entre dos cargas puntuales

17Ley de CoulombEs necesario entender que una carga puntual es aquella cuya dimensiones son infinitamente pequeas en comparacin con la distancia de separacin respecto a otra carga.Como hemos mencionado, la unidad de carga mas fundamental es la magnitud de la carga de un electrn o de un protn, que se denota como e. El valor mas exacto hasta ahora es

Un coulomb es el negativo de la carga total de aproximadamente .. electrones.

18Ley de CoulombEjemplo: Fuerza elctrica contra fuerza gravitatoriaUna partcula es el ncleo de un tomo de helio. Tiene una masa de y una carga .Compare la fuerza de repulsin elctrica entre dos partculas con la fuerza de atraccin gravitatoria entre ellas.Solucin: La fuerza elctrica se define como

Y la fuerza gravitatoria est dada como

19Ley de CoulombRealizando la razn entre estas dos fuerzas y sustituyendo valores se tiene que:

20Ley de CoulombSuperposicin de fuerzas

La fuerza total que acta sobre esta carga es la suma vectorial de las dos fuerzas que las cargas ejercen individualmente. Este es el llamado principio de superposicin de fuerzas.21Ley de CoulombEjemplo: Fuerza entre dos cargas puntualesDos cargas puntuales, q1 = +25nC y q2 = -75nC, estn separadas por una distancia de 3cm. Encontrar la magnitud y la direccin deLa fuerza elctrica que q1 ejerce sobre q2;La fuerza elctrica que q2 ejerce sobre q1.

22Ley de CoulombSolucin:De la ley de Coulomb tenemos

Como las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atraccin.b) La fuerza elctrica obedece a la tercera ley de Newton, por lo que

23Ley de CoulombEjemplo: Suma vectorial de fuerzas elctricas sobre una lneaDos cargas puntuales estn situadas sobre el eje positivo de las x de un sistema de coordenadas. La carga q1 = 1nC est a 2cm del origen, y la carga q2 = -3nC est a 4cm del origen. Cul es la fuerza total que ejercen estas dos cargas sobre una carga q3 = 5nC situada en el origen? Las fuerzas gravitatorias son insignificantes.

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Ley de CoulombSolucin: Calculando la fuerza de q1 con respecto a q3, se tiene

Y la fuerza que ejerce q2 con respecto a q3 es

25Ley de CoulombEjemplo: Suma vectorial de fuerzas elctricas en un planoEn la figura, dos cargas puntuales positivas iguales, q1 = q2 =2C interactan son una tercera carga puntual Q = 4C. Encontrar la magnitud y la direccin de la fuerza total sobre Q.

26Ley de CoulombSolucin: Calculemos primeramente la magnitud de la fuerza debida a q1 sobre Q, por la ley de Coulomb

Ahora, calculando las componentes

27Ley de CoulombAl analizar la figura observamos que existe simetra tanto en la distribucin de las cargas como en su magnitud. Por este hecho se concluye que la componente en y de la fuerza resultante se anula y la componente en x se duplica, por lo tanto,

28Campo elctrico y fuerzas elctricas

Debido a la carga que contiene, este cuerpo modifica las propiedades del espacio que lo rodea29Campo elctrico y fuerzas elctricasEl campo elctrico en un punto determinado es igual a la fuerza elctrica por unidad de carga que experimente una carga en ese punto:

Si se conoce el campo elctrico, la ecuacin anterior se puede reescribir de la siguiente manera

30Campo elctrico y fuerzas elctricas

Existe un redistribucin de carga a medida que q0 aumenta.Para evitar esta situacin en la teora se realiza la siguiente operacin:

31Campo elctrico y fuerzas elctricasRecurriendo a la ley de Coulomb

Pero , entonces

Vectorialmente el campo elctrico se define como

Donde se llama vector unitario.

Magnitud del campo elctrico de una carga puntual

Campo elctrico de una carga puntual

32Campo elctrico y fuerzas elctricasEn ciertos casos la magnitud y direccin del campo elctrico tienen los mismo valores en todos los puntos de una regin determinada, es esas situaciones se dice que el campo es uniforme.En electrosttica el campo elctrico en todos los puntos dentro del material de un conductor es cero.

Por definicin, una situacin electrosttica es aquella en la que ls cargas no tienen movimiento neto. 33

Campo elctrico y fuerzas elctricasEjemplo: Vector de campo elctrico de una carga puntualUna carga puntual q = -8nC est situada en el origen. Encontrar el vector del campo elctrico en el plano de campo x = 1.2m, y = -1.6m.Solucin: Es necesario encontrar el vector unitario

Aplicando la ecuacin vectorial del campo elctrico

34Campo elctrico y fuerzas elctricasEjemplo: Trayectoria de un electrnSi se lanza un electrn con velocidad horizontal inicial v0 constante dentro de un campo elctrico uniforme originado por dos placas metlicas paralelas horizontales conectadas a los bornes de una batera, cul es la ecuacin de su trayectoria?Solucin: la fuerza y la aceleracin son constantes y ax = 0 en t = 0, x0 = y0 = 0, v0x = v0, v0y = 0

3536Clculo de campos elctricosEn casi todas las situaciones reales en las que intervienen los campos y fuerzas elctricas encontramos que la carga esta distribuida en el espacio.El campo elctrico total en un punto P dado es la suma vectorial de los campos en P debidos a cada carga puntual de la distribucin de carga. Este es el principio de superposicin de campos elctricos.La distribucin de carga recibe distinta nomenclatura de acuerdo a su distribucin en el espacio.

37Clculo de campos elctricos Distribucin de carga lineal

Se representa como la densidad lineal de carga (carga por unidad de longitud, C/m).Distribucin de carga superficialSe representa como la densidad superficialde carga (carga por unidad de rea, C/m2).Distribucin de carga volumtricaSe representa como la densidad volumtrica de carga(carga por unidad de volumen, C/m3).38

Clculo de campos elctricosEjemplo: Campo de un dipolo elctricoLas cargas puntuales q1 y q2 de +12nC y -12nC, respectivamente, se encuentran separadas por una distancia de 0.1m. Esta combinacin de dos cargas de igual magnitud y signo opuesto se llama dipolo elctrico. Calcular el campo elctrico producido por q1, el campo originado por q2 y el campo total En el punto a;En el punto b yEn el punto c.

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Clculo de campos elctricosSolucin: a) calculado las componentes de E en el punto a,

40Clculo de campos elctricosb) calculado las componentes de E en el punto b,

41Clculo de campos elctricosc) calculado las componentes de E en el punto c,

42Clculo de campos elctricos

43Clculo de campos elctricosEjemplo: Campo de un anillo con cargaUn conductor de forma anular y cuyo radio es a tiene una carga total Q distribuida uniformemente en toda su circunferencia. Encontrar el campo elctrico en el punto P situado sobre el eje del anillo a una distancia x de su centro.

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Clculo de campos elctricosSolucin: Planteamos que el anillo est dividido en segmentos infinitesimales. Cada elemento infinitesimal tiene una carga dQ y acta como una fuente puntual de campo elctrico. Sea dE el campo elctrico de cada uno de estos segmentos; El campo elctrico neto en P es pues la suma de todos las contribuciones dE de todos los segmentos que constituyen el anillo.45Clculo de campos elctricosPlanteando la ley de Coulomb para campos elctricos

46Clculo de campos elctricosPara hallar el campo elctrico total en el punto P, integramos la expresin anterior

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Clculo de campos elctricosEjemplo: Campo de una lnea con cargaUna carga elctrica positiva Q est distribuida uniformemente a lo largo de una lnea de longitud 2a, que yace sobre el eje y entre y = -a y y = +a. Hallar el campo elctrico en el plano P situado sobre el eje de las x a una distancia x del origen.Solucin: Planteamos los elementosdiferenciales de carga y encontramos la carga a partir de la densidad de carga lineal

48Clculo de campos elctricosDe la ley de Coulomb para campos elctricos

Pero dQ es , sustituyendo

Por tanto sus componentes son

49Clculo de campos elctricosAnalizando la geometra de la figura es posible encontrar las relaciones del coseno y seno, obteniendo

Para encontrar el campo elctrico total, integramos la expresin anterior

50Clculo de campos elctricosY la componente en y es

Por tanto el resultado final es

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Clculo de campos elctricosRealizando la siguiente manipulacin algebraica, tomando en cuenta que

Si la longitud de la lnea aumenta deTal manera que el radical en El denominador tiende a 1 y por tanto

Campo elctrico para una lnea infinita con carga.

52Clculo de campos elctricosEjemplo: Campo de un disco con carga uniformeHallar el campo elctrico que produce un disco de radio R con una densidad superficial de carga (carga en cada unidad de rea) positiva , en un punto a lo largo del eje del disco situado a una distancia x respecto a su centro. Suponer que x es positiva.

53Clculo de campos elctricosSolucin: Podemos representar la distribucin de carga como un conjunto de anillos concntricos de carga dQ.Cada anillo tiene una rea dA = 2rdr. La carga por unidad de rea es

Por tanto, la carga del anillo es o

54Clculo de campos elctricosSustituyendo esta diferencia de carga en la ecuacin del campo elctrico

55Clculo de campos elctricosIntegramos para hallar el campo elctrico total

E producido por una lamina plana infinita de carga es independiente de la distancia respecto a la lamina.56

Clculo de campos elctricosEjemplo: Campo de dos lminas infinitas con carga opuestaSe colocan dos lminas planas infinitas paralelas una a la otra, separadas por una distancia d. La lmina inferior tiene una densidad superficial de carga positiva uniforme +, y la lmina superior tiene una densidad superficial de carga negativa uniforme - de la misma magnitud. Hallar el campo elctrico entre las dos lminas, arriba de la lmina superior y debajo de la lmina inferior.

57Clculo de campos elctricosSolucin: En el ejemplo anterior se determino la ecuacin del campo elctrico para una lamina de superficie infinita, por tanto no queda mas que aplicar el principio de superposicin y encontrar el campo elctrico total arriba, entre y debajo de las lminas.El campo elctrico de la placa superior y de la placa inferior es el mismo en ambos casos e igual a

58Clculo de campos elctricosFinalmente al campo elctrico por encima de la placa superior y por debajo de la placa inferior es

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Lneas de campo elctricoUna lnea de campo elctrico es una recta o curva imaginaria trazada a travs de una regin del espacio, de tal modo que su tangente en cualquier punto tenga la direccin del vector de campo elctrico es ese punto.60Lneas de campo elctrico

E es ms dbilE es ms intensoLas lneas de campo nunca se cruzan.61Lneas de campo elctrico

Espectros de campoCarga puntualCargas con mismo signoCargas con signos opuestos62Dipolos elctricos

Un dipolo elctrico es un par de cargas puntuales de igual magnitud y signos opuestos separadas por una distancia d.d63Fuerza y momento de torsin en un dipolo elctricoQu fuerzas y momentos de torsin o torque experimenta un dipolo elctrico cuando se le coloca en un campo elctrico externo?

La fuerza elctrica neta sobre un dipolo elctrico en un campo elctrico uniforme es cero.64Fuerza y momento de torsin en un dipolo elctricoPero los momentos de torsin no suman cero, ya que las fuerzas no actan a lo largo de la misma recta.

Ambos tienen la misma magnitud y tienden a hacer girar el dipolo en el sentido de las manecillas del reloj.65

Por tanto el momento de torsin es

Donde dsen es la distancia perpendicular entre las lneas de accin de las dos fuerzas.El producto de la carga q por la separacin d se le llama momento dipolar elctrico y se denota mediante p:

p es una cantidad vectorial y su direccin sigue el eje del dipolo, de la carga negativa a la carga positiva.

Fuerza y momento de torsin en un dipolo elctrico

66Fuerza y momento de torsin en un dipolo elctricoIncluyendo p a la ecuacin del momento de torsin obtenida

Como el ngulo es el formado entre las direcciones de los vectores p y E, podemos finalmente definir el momento de torsin como un producto vectorial

Se puede aplicar la regla de lamano derecha con el fin deverificar que se dirige haciaadentro del pizarrn.

67Fuerza y momento de torsin en un dipolo elctrico el momento de torsin siempre tiende a hacer girar p a modo de alinearlo con E; la posicin = 0, con p paralelo a E, es una posicin de equilibrio estable; la posicin = , con p y E antiparalelos, es una posicin de equilibrio inestable.

68Fuerza y momento de torsin en un dipolo elctricoCuando un dipolo cambia de direccin en un campo elctrico, del E realiza trabajo sobre l, con un cambio correspondiente de energa potencial. Dado que est en la direccin en que disminuye,

En un desplazamiento finito de 1 a 2, el trabajo realizado sobre el dipolo es

69Fuerza y momento de torsin en un dipolo elctricoRecordando que el trabajo es un incremento de energa potencial; W = U1 U2 y por tanto para este sistema se tiene que

Es fcil reconocer de esta expresin el producto escalar entre p y E, por lo tanto

70Fuerza y momento de torsin en un dipolo elctrico La energa potencial tiene su valor mnimo U = -pE, es decir, en la posicin de equilibrio estable donde = 0, con p paralelo a E; La energa potencial es mxima cuando = , con p y E antiparalelos (en su posicin de equilibrio inestable); en estas condiciones U = +pE; posicin; En = /2, donde p y E sonperpendiculares U = 0.

71Fuerza y momento de torsin en un dipolo elctricoEjemplo: Fuerza y momento de torsin sobre un dipolo elctricoLa figura muestra un dipolo elctrico en un campo elctrico uniforme cuya magnitud es de 5x105 N/C orientado de manera paralela al plano de la figura. Las cargas son de 1.6x10-19 C, separadas por una distancia de 0.125nm. Encontrar:La fuerza neta que ejerce el campo sobre el dipolo;La magnitud y la direccin del momento dipolar elctrico;La magnitud y direccin del momento de torsin;La energa potencial del sistema en la posicin que se muestra.72Fuerza y momento de torsin en un dipolo elctricoSolucin: a) dado que el campo es uniforme, las fuerzas sobre las dos cargas son iguales y opuestas, y la fuerza total es cero.b) La magnitud de p es

La direccin de p va de la carga negativa a la positiva, a 215 respecto a los ejes coordenados ubicados en el centro del dipolo.c) La magnitud del momento de torsin es

73Fuerza y momento de torsin en un dipolo elctricod) La energa potencial es

74Radiacin de un dipolo elctricoLa animacin muestra la radiacin de un dipolo elctrico a partir de un dipolo puntual. El vector del momento dipolar es siempre vertical, y su magnitud vara de forma sinusoidal con una amplitud del 10%. Mostramos los campos de la zona cuasi-esttica, de la zona de induccin y de la zona de radiacin. Los movimientos de las lneas de campo siguen la direccin del vector de flujo de Poynting local.75