tutoría algebra

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Sistemas Numericos

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  • 1. CONTENIDO DE LA TUTORA

    2. CAPACIDAD (ES) A DESARROLLAR

    3. ACTIVIDADES PREVIAS A LA TUTORA

    Se revisan los conceptos de los distintos Sistemas Numricos con que opera el algebra, se aprende a operarlos, a trabajar con nmeros enteros y fraccionarios. Se trabaja con la conversin de decimales a facciones y viceversa. Se ven mtodos para simplificar nmeros grandes, y se trabaja con nmeros primos y fraccionarios, terminando con la determinacin de los mnimos comn mltiplos y mximos comn divisores.

    Capacidades para:

    Operar con conjuntos numricos.

    Diferenciar y clasificar los distintos sistemas numricos Operar fracciones numricas (suma, resta, multiplicacin y divisin).

    Calcular Minino comn mltiplo y Mximo comn divisor.

    TUTORIA 1

    SISTEMAS NUNERICOS

  • 4. DESARROLLO

    1.1 Mnimo comn mltiplo y Mximo comn divisor

    - Mltiplos y Divisores

    Ej. 10 = 2 5

    Se dice que 10 es mltiplo de 2 y 5

    Porque 2 y 5 son divisores o factores de 10

    Definicin.- Sean a y b dos nmeros naturales, se dice que b es un divisor de a o

    que a es mltiplo de b, si y solamente si existe otro nmero entero c, tal que verifique

    a = b c, es decir a, b N existe c N / a = b c

    Entonces a es mltiplo de b y c

    b y c son divisores de a

    Notacin: d (a) = Significa el conjunto de todos los divisores del nmero a

    m (a) = Significa el conjunto de todos los mltiplos del nmero a

    d (a) = x N/x = k

    a, k N

    m (a) = x N/x = k a, k N

    - Nmero Primo y Nmero Compuesto

    Definicin.-

    a) Un nmero primo es aquel nmero natural mayor que uno cuyos nicos

    divisores son el mismo y la unidad.

    a 1

    Si a N a es primo n [d (a)] = 1

    n [d (a)] = 22

    b) Un nmero compuesto es aquel nmero natural que adems de ser divisible

    por s mismo y por la unidad es por otro factor.

    Usted debe realizar las siguientes actividades previas antes del encuentro de la tutora:

    1. Responder en plataforma virtual al cuestionario sobre la lectura previa de la unidad

    2. Aportar su opinin en plataforma virtual en el Foro 1 de la Tutora 1 3. Responder a los ejercicios de la tarea 1que se encuentran al final del texto de

    lectura de la unidad 1 en la plataforma virtual 4. Participar del Wiki de la unidad 1 en la plataforma virtual

  • Si a N a es compuesto a 1

    n [d (a)] > 2

    - Descomposicin de Factores Primos

    Teorema fundamental: Todo nmero compuesto puede ser descompuesto o

    factorizado en un producto de factores primos.

    Dados a, b, c N/a=bc Ejemplo. 210=10*21=(2*5)*(3*7)

    - Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m)

    Definicin.- El mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros es el menor de los

    mltiplos comunes a dichos nmeros.

    Ej. Halar el m.c.m de 2 y 3 Solucion=6

    Nota. El m.c.m es el menor nmero que contiene un nmero exacto de veces a

    cada uno de los nmeros dados.

    - Mtodos (para hallar el m.c.m)

    a) Por descomposicin en factores primos

    Regla. El mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros descompuestos en sus

    factores primos es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes

    de su mxima potencia.

    Ejemplo. Hallar el m.c.m de 8, 10 y 150

    8 = 23= 222

    10 = 25

    150 = 2352

    b) Mtodo abreviado

    Regla. Dividir cada uno de los nmeros dados por su menor divisor, lo propio se

    realiza con sus cocientes hasta que todos los cocientes sean 1.

    El m.c.m es el producto de todos los divisores primos.

    Ejemplo. Hallar el m.c.m de 21, 36 y 48

    21 36 48 2

    21 18 24 2

    21 9 12 2

    21 9 6 2

    21 9 3 3

    7 3 1 3

    7 1 7

    7

    Mximo Comn Divisor (m.c.d)

    Los factores primos comunes y no comunes

    afectados de su mxima potencia son 23352=8325=600

    24327=1008

  • Definicin.- El mximo comn divisor (m.c.d) de dos o ms nmeros es el mayor

    de los divisores comunes.

    Ejemplo: Hallar el m.c.d de 10, 20 y 30.

    d (10) = 1,2,5,10

    d (20) = 1,2,5,10,20

    d (30) = 1,2,3,5,6,10,15,30 El m.c.d de 10, 20 y 30 es 10

    - Mtodos (para hallar el m.c.d)

    a) Por descomposicin de factores primos

    Regla: Se descompone los nmeros dados en sus factores primos. El m.c.d

    representa el producto de los factores primos comunes afectados por su potencia

    mnima.

    Ejemplo. Hallar el m.c.m de 180, 528 y 1260

    Factorizando cada uno de los nmeros dados.

    180 = 22 32 5

    528 = 24 3 11

    1260 = 22 32 5 7

    De all se establece que los factores comunes con las mismas potencias son:

    22 3 = 12

    El m.c.d de 180, 528 y 1260 es 12

    b) Mtodo abreviado

    Regla: Dividir simultneamente todos los nmeros dados por un divisor comn, los

    cocientes nuevamente por un divisor comn, as sucesivamente hasta que los

    cocientes sean primos entre s. El m.c.d es el producto de los divisores comunes.

    Ejemplo. Hallar el m.c.d de 180, 528 y 1260

    180 528 1260 2

    90 264 630 2

    45 132 315 3

    15 44 105 1

    El m.c.d es 2 2 3 1 = 12

    1.2 Fraccin Numrica

    Primos entre s

  • numerador

    denominador

    Fraccin

    Definicin.- Una fraccin es el cociente exacto de la divisin de dos nmeros

    enteros en el cual el numerador representa el dividendo y el denominador el divisor,

    es decir,

    Ejemplo: m, n Z, n 0

    Fraccin n

    m

    Nota. El numerador indica el nmero n de partes en que se ha dividido la unidad, y

    el nmero m indica la cantidad de esas partes.

    Clases de fracciones

    a) Fraccin propia n

    m, si m < n

    Ejemplo. 5

    1, 8

    7

    b) Fraccin impropia n

    m, si m > n

    Ejemplo. 3

    4, 2

    7

    c) Nmero mixto

    Sea n

    m una fraccin impropia (m>n) m = n p + R

    Ejemplo. 4

    17

    4

    17 = 4

    4

    1 p +

    n

    R

    n

    m = p

    n

    R Nmero mixto

    Fraccin simple: Es toda fraccin desde su numerador y denominador son

    nmeros primos entre s.

    Ejemplo. 4

    3, 9

    5,

    3

    11

    Simplificacin de fracciones: Simplificar fracciones es hallar otra fraccin

    equivalente a la anterior donde sus elementos, numerador y denominador son

    menores.

    17 4

    1 4

  • Principio fundamental: n

    m

    k

    k =

    n

    m, si k 0

    Ejemplo. 6

    4 =

    3

    2

    2

    2 =

    3

    2

    Operacin en fracciones

    Si m, n, p, q Z/n, q 0 Se definen las siguientes operaciones:

    Suma n

    m+

    q

    p=

    nq

    npmq = Ej.

    8

    3+5

    2=

    58

    2835 =

    40

    1615 =

    40

    31

    Resta n

    m- q

    p=

    nq

    npmq = Ej.

    3

    4-7

    5=

    73

    5374 =

    21

    1528 =

    21

    13

    Multiplicacin n

    mq

    p=

    qn

    npmq

    = Ej.

    63

    749

    9=

    95

    91

    79

    71 =

    45

    1

    Divisin n

    m/q

    p=

    pn

    qm

    = Ej.

    6

    5/21

    10=

    106

    215 =

    2523

    735=4

    7

    Fracciones compuestas

    Son aquellas que tienen una o ms fracciones en el numerador o denominador.

    Ejemplo. Simplificar y expresarla como una fraccin simple:

    24

    31

    = 24

    34

    =

    1

    24

    1

    =24

    11=

    8

    1

  • 39

    3,0

    3,310

    n

    m

    n

    m

    n

    m

    3

    1

    9

    3

    n

    m

    1299

    12,0

    12,12100

    n

    m

    n

    m

    n

    m

    33

    4

    333

    43

    99

    12

    n

    m

    1.3 Forma decimal de los nmeros racionales

    n

    m es una fraccin (cociente de dos nmeros enteros)

    Ejemplo. Si tenemos el nmero decimal ...5000,12

    3 Esta es la expresin decimal

    del nmero racional 2

    3

    Ejemplo. ...750000,04

    3 ...21111,0

    90

    19 ...333,1

    3

    4

    Como vemos una expresin decimal es peridica si un grupo de dgitos, se repite

    indefinidamente a partir de un lugar a la derecha del punto decimal.

    Notacin. Trazar con barra es la cifra o cifras que se repiten.

    Ejemplo. 80,05

    4 , 25,1

    90

    113

    Transformacin de una expresin decimal peridica en una fraccin.

    Ejemplo. 3,0333,0 Determinar dos nmeros enteros n y m, tal que 3,0n

    m

    Eliminamos el perodo multiplicando por una potencia de 10, cuyo exponente

    equivale al nmero de cifras que se repite.

    Ejemplo. 3,0

    101n

    m= 3,3

    Ejemplo. 12,0

    102n

    m= 12,12

  • 1.4 Practico No.1

    Nmeros Racionales

    En cada uno de los ejercicios del 1 al 4, hallar el m.c.m. y el m.c.d. por cualquier

    mtodo.

    1. 30 , 16 , 42

    2. 165 , 99 , 231 , 198

    3. 252 , 306 , 204 , 612

    4. 45 , 96 , 135 , 180

    Fracciones

    En cada uno de los ejercicios del 5 al 8, reducir a su forma ms simple

    5. 75

    50

    6. 420

    60

    7. 1704

    1846

    8. 339840

    212400

    Operaciones con fracciones

    En cada uno de los ejercicios del 9 al 14, efectuar las operaciones indicadas.

    9. 4

    5

    8

    7

    10. 3

    2

    4