TRIGONOMETRA La palabra Trigonometra proviene del griego trignon que significa "tringulo" y metron que significa "medida", por lo tanto su significado etimolgico es la Medicin de los Tringulos.

La Trigonometra es una rama de las Matemticas que estudia ciertas magnitudes llamadas Funciones Trigonomtricas, definindolas y realizando aplicaciones elementales con ellas

NGULOS. DEFINICIN: Est formado por dos rectas que se cortan en un punto comn llamado vrtice. Las rectas se llaman lados del ngulo. NOTACIN: a los ngulos se les denota de tres formas distintas: con una letra mayscula en el vrtice, con una letra minscula o un nmero colocado junto al vrtice o por medio de tres letras maysculas de las cuales la del vrtice se nombra entre las dos.

B

C

1

C

A

GENERACIN DE NGULOS. Trigonomtricamente, un ngulo es aquel que engendra una recta generatriz que al principio coincide con el Lado Inicial (L.I) del ngulo, gira entorno al vrtice hasta coincidir con el Lado Final (L.F) del ngulo.

B L.F

Generatri z L.I A

C

NGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS Un ngulo es POSITIVO, cuando es generado por rotacin de la Generatriz en sentido anti horario; el arco de flecha se dibuja con lnea continua

~1~

Un ngulo es NEGATIVO, cuando es generado por la rotacin de la generatriz en sentido horario; el arco se dibuja con lnea entre cortada

ANGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD. Los ngulos en Trigonometra pueden ser de cualquier magnitud ya sean stos positivos o negativos; para ello se representan en el Plano Cartesiano, haciendo coincidir el Lado Inicial del ngulo sobre el EJE X y la generatriz gira tantas veces como indica la magnitud del ngulo en cuestin hasta encontrar el lado Final. APLICACIONES: INDIQUE EN QE CUADRANTES SE ENCUENTRAN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES NGULOS:

a) b) c) d)

REFUERZO D Dibuje en el Plano Cartesiano los siguientes ngulos e indique en que cuadrante se localiza el Lado final:

MEDIDA DE NGULOS. Existe dos Sistemas para la medicin de ngulos:

1. MEDIDA SEXAGESIMAL: la unidad de medida es el Grado sexagesimal que resulta de dividir a lacircunferencia en 360 partes iguales.

Un grado sexagesimal

se divide en 60 minutos

y 60

.

Un ngulo debe escribirse en grados, minutos y segundos. NOTA: Para reducir los segundos a minutos se divide el numero de segundos para 60 y se suma a los minutos, y se realiza un proceso similar para reducir minutos a grados.

MEDIDA CIRCULAR O RADIANTAL: La unidad de medida es el radian

. Su representacin es un

arco sobre la circunferencia. CONVERSION DE RADIANES A GRADOS.

Para reducir GRADOS A RADIANES, basta multiplicar el nmero de grados por Para reducir RADIANES A GRADOS, basta multiplicar el nmero de radianes porAPLICACIONES: REDUCIR A RADIANES LOS SIGUIENTES NGULOS Y REPRESENTE GRFICAMENTE:

a) b) c)REDUCIR A GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS LOS SIGUIENTES NGULOS Y REPRESENTE GRFICAMENTE:

a) b) c) d)

REFUERZO R Reducir a radianes y represente grficamente:

R Reducir a grados minutos y segundos los siguientes ngulos y represente grficamente:

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS En trigonometra a los lados de un tringulo rectngulo se los conoce con ciertos nombres especficos: CATETOS: aquellos lados que estn formando el ngulo recto. HIPOTENUSA: al lado que se encuentra frente al ngulo recto,

Las funciones trigonomtricas de un ngulo Agudo se definen a continuacin:

P

Q

R

TEOREMA DE PITAGORAS: en todo tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos, en frmula se tiene:

APLICACIONES:

1.TRINGULO RECTNGULO PQR Y ABC SI:

ENCUENTRE

LOS

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE LOS DOS NGULOS AGUDOS DEL

a)

b) 2.DADA , DETERMINE LAS OTRAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS. LA FUNCIN

3.FUNCIONES TRIGONOMTRICAS SI SE SABE QUE:

ENCUENTRE LAS DEMS

a) b)

c)

REFUERZO H Halle las Funciones trigonomtricas de los ngulos agudos si se conoce que los catetos son: H Halle las Funciones trigonomtricas de los ngulos agudos si se conoce el valor de un cateto y la hipotenusa: D Determine los dems valores de las funciones trigonomtricas sabiendo que:

1.

CALCULE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS AGUDOS DE LOS SUIENTES TRANGULOS RECTNGULOS, DADOS:

a. b. c.2. HALLAR EN CADA UNO DE LOS EJEMPLOS SIGUIENTES LOS VALORES DE LAS DEMS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS:

a. b. c. d. e. f. g. h. i.

3.

Si se conoce el valor de la funcin trigonomtrica, determine el valor que se pide a continuacin:

j. Dado k. Dado l. Dado m. Dado n. Dado o. Dado

; hallar ; hallar ; hallar ; hallar ; hallar ; hallar

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE 30,45, y 60. Las funciones trigonomtricas de estos ngulos se deducen a partir de ciertos tringulos conocidos, y son de valiosa utilidad en las demostraciones: FUNCIONES DEL NGULO DE 45: los valores de estas funciones se deducen a partir de un tringulo rectngulo issceles:

FUNCIONES DEL NGULO DE 30 Y 60: los valores de stas funciones trigonomtricas se deducen a partir de un tringulo equiltero: B

B

A

D D 1 1

C

A

D

APLICACIONES: HALLE EL VALOR NUMRICO DE LAS EXPRESIONES SIGUIENTES:

a)

b) c)

d) e) DEMUESTRE QUE:

REFUERZO Encuentre el valor numrico de las siguientes expresiones:

Ctg30+Cos60 Demostrar que : Demostrar que :tg30=

SIGNOS ALGEBRAICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN LOS DIFERENTES CUADRANTES Para analizar las Funciones Trigonomtricas en los diferentes cuadrantes llamaremos con los siguientes nombres a los lados de un tringulo: Cateto opuesto: ordenada

Cateto adyacente: Hipotenusa:

abscisa radio

FUNCIN

I

II

III

IV

Los signos de las funciones trigonomtricas en los diferentes cuadrantes se resumen en la siguiente tabla: FUNCIONES Seno Cosecante Coseno Secante Tangente Cotangente I + + + _ _ II + III _ _ + IV _ + _

a) b) c) d)

e)RELACIONES TRIGONOMTRICAS FUNDAMENTALES satisfacen las siguientes relaciones:

Las seis funciones trigonomtricas de un ngulo

f)

g) h)

IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS Una Identidad trigonomtrica es una igualdad que contiene funciones trigonomtricas y que es verdadera para todos los valores de los ngulos para los cuales estn definidas estas funciones. DEMOSTRACIN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS: Las identidades Trigonomtricas se demuestran reemplazando una expresin por otra que sea igual. Para demostrar una identidad trigonomtrica se debe tener en cuenta las siguientes recomendaciones: Se puede trabajar con un solo un miembro de la igualdad para demostrar que es igual a la forma del otro miembro. Se puede reducir simultneamente, ambos miembros de la igualdad para obtener una misma expresin equivalente. NOTA: Para las demostraciones se recomienda casi siempre, reducir las funciones dadas a las funciones de seno y coseno. APLICACIONES: DEMUESTRE QUE:

a)

b) c)

d) e) f)

REFUERZO D Demuestre:

LNEAS TRIGONOMTRICAS Y GRFICAS DEFINICIN DE LAS LINEAS TRIGONOMTRICAS: para trazar las lneas trigonomtricas consideremos un circulo cuyo radio sea igual a la unidad, dicho circulo se llama circulo trigonomtrico.

a) LNEA TRIGONOMTRICA SENO: Segmento perpendicular al eje x, que se intercepta con un punto de lacircunferencia.

b) LNEA TRIGONOMTRICA COSENO: Segmento trazado sobre el eje x, que parte desde el centro de lacircunferencia hasta la interseccin con la lnea trigonomtrica seno.

c) LNEA TRIGONOMTRICA TANGENTE: Segmento perpendicular al eje x y paralelo al eje y, que seforma con el extremo de la circunferencia y la prolongacin del radio, adems toca un solo punto de la circunferencia.

d) LNEA TRIGONOMTRICA COTANGENTE: segmento perpendicular al eje x y paralelo al eje x, quese forma con el extremo de la circunferencia y la prolongacin del radio, adems toca un solo punto de la circunferencia.

e) LNEA TRIGONOMTRICA SECANTE: Segmento de recta

que se forma

desde el centro de la

circunferencia hasta la intercepcin con la lnea trigonomtrica tangente. (No se encuentra sobre el eje x)

f) LNEA TRIGONOMTRICA COSECANTE: Segmento de recta formada desde el centro de lacircunferencia hasta la intercepcin con la lnea trigonomtrica cotangente. (No se encuentra sobre el eje y)

GRFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS. Para encontrar la grfica de una funcin trigonomtrica se elabora una Tabla de Valores considerando el ngulo expresado mediante el Sistema Sexagesimal. En el plano cartesiano se considera la medida del ngulo expresado mediante el Sistema Circular sobre el EJE DE LAS ABSCISAS (EJE ORDENADAS (EJE ) APLICACIONES: ELABORE UNA TABLA DE VALORES Y LA GRFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS SENO, TANGENTE, COTANGENTE Y SUS RECPROCAS: a) SENO Y COSECANTE ), y los valores correspondientes de la Funcin Trigonomtrica correspondern a las

TABLA DE VALORES X GRADOS RADIANES 360 6,283 330 5,760 300 5,236 270 4,712 240 4,189 210 3,665 180 3,142 150 2,618 120 2,094 90 1,571 60 1,047 30 0,524 0 0,000 -30 -0,524 -60 -1,047 -90 -1,571 -120 -2,094 -150 -2,618 -180 -3,142 -210 -3,665 -240 -4,189 -270 -4,712 -300 -5,236 -330 -5,760 -360 -6,283

0,000 -0,500 -0,866 -1,000 -0,866 -0,500 0,000 0,500 0,866 1,000 0,866 0,500 0,000 -0,500 -0,866 -1,000 -0,866 -0,500 0,000 0,500 0,866 1,000 0,866 0,500 0,000

TABLA DE VALORES X y= GRADOS RADIANES 360 6,283 330 5,760 -2,000 300 5,236 -1,155 270 4,712 -1,000 240 4,189 -1,155 210 3,665 -2,000 180 3,142 150 2,618 2,000 120 2,094 1,155 90 1,571 1,000 60 1,047 1,155 30 0,524 2,000 0 0,000 -30 -0,524 -2,000 -60 -1,047 -1,155 -90 -1,571 -1,000 -120 -2,094 -1,155 -150 -2,618 -2,000 -180 -3,142 -210 -3,665 2,000 -240 -4,189 1,155 -270 -4,712 1,000 -300 -5,236 1,155 -330 -5,760 2,000 -360 -6,283

CURVA SENO O SINUSOIDE

CURVA COSECANTE O COSECANTOIDE

b) COSENO Y SECANTE

TABLA DE VALORES GRADOS 360 330 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 0 -30 -60 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 -300 -330 -360,00 RADIANES 6,283 5,760 5,236 4,712 4,189 3,665 3,142 2,618 2,094 1,571 1,047 0,524 0,000 -0,524 -1,047 -1,571 -2,094 -2,618 -3,142 -3,665 -4,189 -4,712 -5,236 -5,760 -6,283

TABLA DE VALORES GRADOS 360 330 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 0 -30 -60 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 -300 -330 -360,00 RADIANES 6,283 5,760 5,236 4,712 4,189 3,665 3,142 2,618 2,094 1,571 1,047 0,524 0,000 -0,524 -1,047 -1,571 -2,094 -2,618 -3,142 -3,665 -4,189 -4,712 -5,236 -5,760 -6,283

1,000 0,866 0,500 0,000 -0,500 -0,866 -1,000 -0,866 -0,500 0,000 0,500 0,866 1,000 0,866 0,500 0,000 -0,500 -0,866 -1,000 -0,866 -0,500 0,000 0,500 0,866 1,000

1,000 1,155 2,000 -2,000 -1,155 -1,000 -1,155 -2,000 2,000 1,155 1,000 1,155 2,000 -2,000 -1,155 -1,000 -1,155 -2,000 2,000 1,155 1,000

CURVA COSENO O COSINUSOIDE

CURVA SECANTE O SECANTOIDE

c)

TANGENTE Y COTANGENTE

TABLA DE VALORES X GRADOS RADIANES 360 6,283 330 5,760 300 5,236 270 4,712 240 4,189 210 3,665 180 3,142 150 2,618 120 2,094 90 1,571 60 1,047 30 0,524 0 0,000 -30 -0,524 -60 -1,047 -90 -1,571 -120 -2,094 -150 -2,618 -180 -3,142 -210 -3,665 -240 -4,189 -270 -4,712 -300 -5,236 -330 -5,760 -360,00 -6,283

TABLA DE VALORES GRADOS 360 330 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 0 -30 -60 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 -300 -330 -360,00 RADIANES 6,283 5,760 5,236 4,712 4,189 3,665 3,142 2,618 2,094 1,571 1,047 0,524 0,000 -0,524 -1,047 -1,571 -2,094 -2,618 -3,142 -3,665 -4,189 -4,712 -5,236 -5,760 -6,283

0,000 -0,577 -1,732 1,732 0,577 0,000 -0,577 -1,732 1,732 0,577 0,000 -0,577 -1,732 1,732 0,577 0,000 -0,577 -1,732 1,732 0,577 0,000

-1,732 -0,577 0,000 0,577 1,732 -1,732 -0,577 0,000 0,577 1,732 -1,732 -0,577 0,000 0,577 1,732 -1,732 -0,577 0,000 0,577 1,732

CURVA TANGENTE O TANGENTOIDE.

CURVA COTANGENTE O COTANGENTOIDE

REFUERZO Elabore las tablas de Valores y las Grficas de las funciones trigonomtricas de las dems Funciones trigonomtricas.

RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS.

Resolver un tringulo consiste en obtener todos sus elementos, es decir, sus tres lados y sus tres ngulos. Un tringulo puede resolverse si se conoce tres de sus elementos, de los cuales uno por lo menos debe ser un lado. Para resolver un tringulo se debe tener presente:

1. Las funciones trigonomtricas y el teorema de Pitgoras. 2. El teorema de ngulos Complementarios, que dice: La suma de los dos ngulos agudos de un tringulorectngulo es igual a .

NOTA: ngulo de Elevacin es un ngulo vertical que se encuentra sobre un plano horizontal, y ngulo de Depresin es un ngulo vertical que se sita bajo un plano horizontal. APLICACIONES: RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE TRINGULOS RECTNGULOS, Y ENCUENTRE EL PERMETRO Y EL REA

a)rectngulo si .

Resolver

el

tringulo

b)rectngulo si

Resolver

el

tringulo

Desde un punto se observa un edificio cuya parte ms alta forma con el suelo un ngulo de , el ngulo pasa a ser de Calcular:

si se avanza

a) La altura del edificio.b) La distancia al segundo lugar de observacin. c) La distancia al primer lugar de observacin.

Desde un punto A en la orilla de un ro se ve un rbol justo enfrente. Si caminamos 150 metros ro abajo, por la orilla recta del ro, llegamos a un punto B desde el que se ve el rbol formando un ngulo de 15 con nuestra orilla. Calcular:

a) La anchura del ro b) Ladistancia que existe entre el punto B y el rbol.

Un edificio proyecta una sombra de 150 m. cuando el sol forma un ngulo de elevacin con relacin al plano horizontal de 20 30. Calcular:

a) La altura del edificio b) La distancia que existe desde el punto de observacin hasta el edificio.

REFUERZO. RESULEVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE TRIANGULOS RECTANGULOS: 1. Resuelva los siguientes problemas sobre tringulos rectngulos, y halle el permetro y el rea:

a) c)

b) d)e) hasta

2. Encontrar la altura de un edificio si el ngulo de elevacin de su extremo superior crece desdecuando un observador avanza hacia el pie del edificio.

3. Un rbol quebrado por el viento forma un tringulo rectngulo con el suelo Cul era la altura del rbol, si laparte que a cado hacia el suelo forma con este un ngulo de tiene una altura de . , y si la parte del tronco que ha quedado en pie

4. Encontrar la base y la altura de un tringulo issceles cuyo ngulo del vrtice midemiden

y cuyos lados iguales .

5. Un triangulo issceles tiene una base delados iguales y la altura.

y los ngulos de su base miden

. Encontrar los

6. Un rbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con la tierra un tringulo rectngulo.La parte superior forma un ngulo de hasta la cspide cada del rbol es de con el piso, y la distancia, medida sobre el piso, desde el tronco . Hallar la altura que tenia el rbol. .

7. Para calcular el ancho de un ro, se midi una distancia

a lo largo de su orilla, tomndose el punto A era de y la

directamente opuesto a un rbol C sobre el otro lado. Si se observ que el ngulo distancia de . Hllese el ancho del rio.

8. Una escalera dea

metros de longitud puede colocarse de tal manera que alcance una ventana de

de

altura de un lado de la calle y haciendo girar la escalera sin mover su base, puede alcanzar una ventana que est de altura en el otro lado de la calle. Halle el ancho de la calle?

9. El pie de una escalera deformado por ambas.

de largo dista

de una pared vertical en la cual se apoya; halle el ngulo .

10. Desde el extremo de una torre de

de altura, el ngulo de depresin al extremo de otra es de , calcule la altura de la segunda torre.

. Si

entre ambas torres hay una distancia de

11. A una distancia de. Halle su altura.

de la base de una torre, se observa que el ngulo de elevacin a su cspide es de

12. Cul es el ngulo de elevacin del sol cuando una torre delargo?

de alto, proyecta una sombra de

de

13. Calcule el rea de un terreno en forma de tringulo issceles cuya altura es demiden .

y los ngulos en la base

14. La parte mas alta de la torre de control de un aeropuerto se observa en un terreno horizontal desde un punto quedista de su pie. El ngulo de elevacin de dicho punto a la cspide de la torre mide . Encuentre la

altura de la torre.

15. Un muro de una casa tienengulo de

de alto. Para alcanzarlo es necesario utilizar una escalera que forme un

con la horizontal. Cul debe ser la longitud de la escalera?

16. Para determinar la altura de un poste, un observador se coloca a. Calcule la altura del poste.

de su pie y ve al poste bajo un ngulo de

17. El ngulo de elevacin de una cometa cuando se han soltadocometa.

de hilo es

. Determine la altura de la

18. Los organizadores de una prueba ciclstica ordenan a un constructor una rampa delevante del suelo una altura de . Cul es el ngulo de elevacin de la rampa?

de largo y que se

19. En un momento dado, un avin se encuentra aes de

en la horizontal de un observador y el ngulo de elevacin

. Determine la altura del avin en ese momento.

20. Una persona se encuentra en la ventana de su departamento que esta situado a

del suelo y observa el y la parte

edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior con un ngulo de elevacin de inferior con un ngulo de depresin de . Determine la altura del edificio de enfrente.

21. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior esta a una distancia dedel suelo del ojo de un observador situado a superior e inferior es de

sobre el nivel

de la pared. Si el ngulo que forman las visuales con los bordes

. Cul es la altura del cuadro?

RESOLUCIN DE TRINGULOS OBLICUNGULOS. TRINGULO OBLICUNGULO: un tringulo es oblicungulo cuando ninguno de sus ngulos es recto; es decir, que un tringulo oblicungulo puede tener los tres ngulos agudos, o dos ngulos agudos y un obtuso. Los elementos de un tringulo oblicungulo son los tres ngulos anteriores . y los tres lados respectivos, opuestos a los

Para resolver tringulos oblicungulos se debe tener considerar:

1. El teorema de ngulos Suplementarios que dice: en todo tringulo, la suma de sus tres ngulos interiores esigual a , y

2. El lado mayor de un tringulo se opone al ngulo mayor y viceversa.La resolucin de tringulos oblicungulos depende de la aplicacin de tres leyes: Ley de los Senos, la Ley de los Cosenos y la Ley de las Tangentes, que consisten respectivamente en lo siguiente: LEY DE LOS SENOS: Los lados de un triangulo son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos.

CASOS DE RESOLUCIN DE TRINGULOS OBLICUNGULOS: cuando se resuelve tringulos oblicungulos hay que tener cuidado de que sus datos y respuestas no constituyan absurdos. Por ello revisaremos las siguientes posibilidades: Un tringulo oblicungulo tiene: DOS SOLUCIONES: Si es agudo y el valor de a est comprendido entre

NINGUNA SOLUCIN: si es agudo y o si es obtuso y UNA SOLUCIN: En todos los dems casos.

REA DE UN TRINGULO. TEOREMA: El rea de un tringulo es igual al semi producto de dos de sus lados por el seno del ngulo comprendido: Si se conocen las longitudes de los tres lados el rea se puede calcular mediante la frmula:

APLICACIONES: RESUELVA LOS SIGUIENTES TRINGULOS Y ENCUENTRE EL REA SI SE CONOCE QUE:

a) b) c) UN LADO IGUAL A d) EL TRINGULOY LOS NGULOS ADYACENTES , DADOS ; QUE EST A DEL

e) UN TELEFRICO TRANSPORTA PASAJEROS DESDE EL PUNTOPUNTO

QUE SE HALLA EN LA BASE DE UNA MONTAA, HASTA UN PUNTO DESDE

DE LA CIMA SON

DE LA MONTAA. LOS NGULOS DE ELEVACIN DE RESPECTIVAMENTE. CALCULAR:

a) LA MEDIDA DEL CABLE DEL TELEFRICO b) LA ALTURA DE LAMONTAA B

P

A

LEY DE LOS COSENOS: En todo tringulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ngulo comprendido.

APLICACIONES: RESUELVA LOS SIGUIENTES TRINGULOS Y ENCUENTRE EL REA SI SE CONOCE QUE:

a)

b)

c) UNA ESCALERA DE 5,20m DE LARGO ES COLOCADA A 2m DE LA BASE DE UN MUROINCLINADO, Y ALCANZA UNA ALTURA DE 4,60m SOBRE DICHO MURO. HLLESE LA INCLINACIN DEL MURO R:

REFUERZO.

1. Resuelva los siguientes tringulos oblicungulos y halle el rea, si se conoce que: a) c) e) g) Un lado es igual ay los ngulos adyacentes ;

b) d) f) h) Dos lados consecutivos midenngulo comprendido mide . y y el

2. Para determinar la distancia de un lugarlos ngulos

a una posicin enemiga A se han medido una base .

. Halle la distancia

3. Bajo qu ngulo se ve un objeto dedel objeto y a del otro extremo?

de largo por un observador cuyo ojo est a

de uno de los extremos

4. Un solar de forma triangular tiene dos lados de longitudesde . Hallar la longitud de una cerca que lo rodea completamente.

, y el ngulo opuesto al primero es

5. Se requiere hallar la distancia desde un puntoello medimos una distancia horizontal

hasta un punto inaccesible

de la orilla opuesta de un ro. Para

a la orilla del ro. Luego medimos los ngulos

. Cul ser esa distancia?

6. El ngulo del vrtice de un tringulo es

y los lados que se cortan en ste miden

respectivamente. Calcular la longitud del tercer lado.

7. Dos trenes parten simultneamente de una misma estacin en direcciones tales que forman un ngulo deuno va a y el otro a . Determine a que distancia se encuentran despus de 3 horas de viaje.

;

8. Dos boyas estn separadas una distancia deforman las dos visuales a las boyas es de

y un bote est a

de la ms cercana. El ngulo que

. Qu distancia hay del bote a la boya ms alejada?

9. Los ngulos de elevacin de los puntos A y B a nivel del suelo sonentre

respectivamente. La distancia

y un globo se encuentra entre ambos puntos. Calcule la altura del globo sobre el suelo.

10. Dos estacioneslas distancias

estn situadas en lados opuestos de una montaa, son vistas desde una tercera estacin . y el ngulo . Hallar la distancia entre .

11. Dos puntosigual a distancia

estn localizados en los mrgenes opuestos de un ro. Desde a la orilla del ro y se miden los ngulos desde

se traza una lnea hasta . Encuentre la hasta

12. Dos barcos salenngulo de

salen de un mismo puerto y al mismo tiempo en rutas rectilneas que forman un y el segundo a . Encuentre la distancia

. El primero navega con una velocidad de

que separa a los barcos

despus de haber partido?

13. Una antena de radio esta sujeta con cables de acero cuyos ngulos de elevacin respectivamente sonSi la distancia que separa a estos cables es de . Halle la longitud de estos cables?

,

14. Una persona mira los edificiongulo que forman las visuales es de

desde un edificio

el cual esta situado a

de

ya .

de , si el

. Halle la distancia que separa a los edificios

15. Una carretera (en lnea recta) delnea recta) de forman entre si

de longitud tiene por extremos las ciudades a la ciudad entre

, otra carretera (en . si las dos carreteras las ciudades .

de longitud continua el recorrido de la ciudad un ngulo de , calcule la

distancia

16. Bajo que ngulo es visto un camin de 11m de largo por una persona cuyo ojo esta a 7,5m de uno de losextremos del camin y a 9,8m del otro extremo?

17. Para calcular la distancia entre dos puntos separados por un estanque se ha escogido una estacin , y se hanmedido las distancias y y el ngulo . Cul es dicha distancia?

18. Desde los puntosel ngulo

de una carretera situados a una distancia de

se observa un rbol . Sabiendo que

, determine la distancia del rbol al punto ms cercano. (b es ms cercano)