presentación de trigonometría

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAPROF. JUAN B. MERCADO PREZELEMENTOS DE TRIGONOMETRAPregunta 1. Qu es un grado y qu es un radian?

Grado: es uno cualquiera de los 360 ngulos centrales congruentes que podemos trazar en una circunferencia.

rr1 grado = 1ELEMENTOS DE TRIGONOMETRARadian: Es un ngulo central que intercepta un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la del radio de la circunferencia.rr57.5rABOLa medida de AOB = 1 radin

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAPregunta 2. Cmo se transforman grados en radianes y radianes en grados?Ya dijimos que en una circunferencia pueden trazarse 360 grados. As mismo, en una circunferencia pueden trazarse 2 radianes=6,28 radianes.Por lo tanto: 360= 2 radianes o 180= radianes

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAEJEMPLOA) A cuntos grados equivalen radianes?B) A cuntos radianes equivalen 210 grados?SOLUCINA) Como 180= radianes, entonces

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAB) Tenemos la siguiente regla de tres:Si 180= radianes entonces 210 sern x radianes

Luego, 210 equivale a

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAPregunta 3. Cmo se definen las funciones trigonomtricas en un tringulo y en una circunferencia de radio r y centro en el origen?Teniendo en cuenta las figuras siguientes, las funciones trigonomtricas se definen as:

Ryxyx

bac

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAPregunta 4Cules son las funciones trigonomtricas de ngulos notables, 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 y 360. La siguiente tabla resume las funciones trigonomtricas para los ngulos notables.

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAPregunta 5. Qu es ngulo en posicin normal?Qu es ngulo de referencia?

Un ngulo est en POSICIN NORMAL cuando su vrtice coincide con el origen del plano cartesiano y su lado inicial coincide con el eje positivo x. 45xyy210xy-240xELEMENTOS DE TRIGONOMETRAEl NGULO DE REFERENCIA , de un ngulo es un ngulo en posicin normal ubicado en el primer cuadrante cuyas funciones trigonomtricas son numricamente iguales a la de pero pudiendo variar en el signo, de acuerdo con el cuadrante donde se encuentre el lado final, del ngulo .

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAPregunta 6. Cmo se halla el ngulo de referencia de un ngulo en posicin normal cuyo lado final se encuentra: En el II cuadrante (segundo cuadrante)En el III cuadrante (tercer cuadrante)En el IV cuadrante (cuarto cuadrante)Cuando el ngulo es negativo

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAPregunta 7.Cmo se utilizan las tablas de funciones naturales y la calculadora para hallara funciones trigonomtricas de un ngulo dado?

TABLLAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Existen tablas de funciones trigonomtricas con tanta exactitud como se quiera. Ac lo que ms nos interesa es el procedimiento y por eso presentamos una tabla, sin fracciones de grado, al comienzo del texto. Recomendamos al alumno tomar una fotocopia a esta tabla de manera que pueda tenerla a la mano en caso de necesidad. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAPero surge una pregunta: Cmo hallamos las funciones trigonomtricas de ngulos mayores de 90 que no aparecen en la tabla?Para responder a esta pregunta debemos conocer lo que es un NGULO DE REFERENCIA.

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRANGULO DE REFERENCIAUna vez conocidos los valores de las funciones trigonomtricas de un ngulo en el primer cuadrante, que en adelante llamaremos NGULO DE REFERENCIA, podemos conocer los valores de las funciones en otros cuadrantes. Para lograr este objetivo, necesitamos hallar la relacin entre el ngulo de referencia y el ngulo en posicin normal cuyas funciones trigonomtricas son numricamente iguales pero que, por estar en otro cuadrante, pueden tener DISTINTOS SIGNOS. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAMANEJO DE CALCULADORA Debido al adelanto electrnico, el uso de la calculadora se ha impuesto en todas aquellas situaciones que exigen la realizacin de clculos rpidos y complejos. En matemtica superior, fsica y qumica, la calculadora es una gran ayuda porque simboliza una gran cantidad de operaciones y ahorra el tiempo que gastaramos buscando datos en tablas. Vamos a dar a continuacin una gua practica del uso de la calculadora tratando de generalizar con las de mayor consumo en el comercio. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAPregunta 8. Cules son las identidades trigonomtricas de ngulos simples?Las identidades trigonomtricas de ngulos simples son:1. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

2.

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4. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

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8. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAPregunta 10. Cules son las funciones trigonomtricas del ngulo doble, las del ngulo mitad y las del ngulo negativos?Las identidades trigonomtricas del ngulo doble, las del ngulo mitad y las del ngulo negativos son:

1) ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAPregunta 11. Cmo se prueba que una igualdad es identidad?Realmente no existe un mtodo nico que permita a una persona probar que una igualdad es o no identidad. En ltima instancia, el xito depende de la habilidad del interesado y del nivel de preparacin algebraico. Sin embargo, sugerimos un procedimiento que pueda facilitar el proceso de trabajo: ELEMENTOS DE TRIGONOMETRASe puede transformar el primer miembro de la igualdad hasta obtener el segundo, o el segundo hasta obtener el primero, o transformar ambos miembros simultneamente hasta obtener la misma expresin en ambos miembros. Si uno de los miembros contiene slo una funcin trigonomtrica, conviene transformar el otro miembro en trminos de esa misma funcin. Luego, comparar. Si los dos miembros de la igualdad parecen igualmente complicados, tratar de llevarlos a una sola funcin y comparar. Si no es posible llevarlos a una sola funcin, conviene transformarlos en senos y cosenos, y comparar. En este caso conviene recordar las IDENTIDADES FUNDAMENTALES. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAFactorizar y simplificar cuando sea posibleAlgunas veces, para obtener la conversin deseada, es necesario multiplicar el numerador y el denominador de un lado de la igualdad por un mismo factor. Esto es equivalente a multiplicar la fraccin por la unidad. Determinar para qu valores del ngulo no es vlida la expresin. Recuerde: No es posible la divisin por cero, ni existen races pares de nmeros negativos. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAFinalmente, si aplicando todo lo anterior no logra probar que la igualdad es una identidad, usted tiene derecho a pensar que tal vez no lo sea. En este caso, proceda as: reemplace el ngulo por un valor donde la expresin est definida y halle el resultado. Si los valores obtenidos son distintos en los dos miembros de la igualdad, entonces la igualdad dada NO ES IDENTIDAD. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA





Desarrollamos el productoELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

En la misma forma:







ELEMENTOS DE TRIGONOMETRASolucin Desarrollemos el lado derecho que es el ms complicado:


Pregunta 12. Cmo se resuelve una ecuacin trigonomtrica? Cundo la incgnita de una ecuacin es el ngulo de una funcin trigonomtrica, la ecuacin se denomina TRIGONOMTRICA. En la solucin de una ecuacin trigonomtrica deben tenerse en cuenta dos aspectos: ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAResolver la parte algebraica: consiste en aplicar las identidades fundamentales y las propiedades del lgebra con el objeto de escribir la ecuacin en trminos de una sola funcin o de dos o ms ecuaciones cada una con una sola funcin. Resolver la parte trigonomtrica: consiste en hallar los valores del ngulo que satisfacer la ecuacin.

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

Ecuacin dadaFactorizamosNo tiene solucin (por qu?)ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

Ecuacin dadaRedujimos trminosDiferencia de cuadrados ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA



Ecuacin dadaELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

Notemos que la ecuacin original es de primer grado. Al elevar ambos miembros al cuadrado, estamos cambiando el grado de la ecuacin y, probablemente, estamos introduciendo nuevas soluciones. Sin embargo, esto nos permite escribir el seno en funcin del coseno y resolver la ecuacin. Para eliminar las soluciones extraas, introducidas al elevar al cuadrado ambos miembros, se chequean los valores obtenidos y se descartan los que no verifican la ecuacin original. Sigamos. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

Ecuacin dadaElevamos ambos miembros al cuadrado


ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAVerifiquemos estos resultados en la ecuacin original ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA


Pregunta 13. Qu son NGULO DE ELEVACIN y NGULO DE DEPRESIN?NGULO DE ELEVACIN: es el ngulo que forman la lnea visual, que sale del ojo de un observador que mira hacia arriba, y la lnea horizontal.

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRALnea Visualngulo de elevacinLnea HorizontalNGULO DE DEPRESIN: es el ngulo que forman la lnea visual, que sale del ojo de un observador que mira hacia abajo, y la lnea horizontal.

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRALnea horizontalLnea visualngulo de depresinPregunta 14. Cmo se resuelve un problema cuya solucin implica utilizar un tringulo rectngulo?Para resolver un problema cuya solucin implica un tringulo rectngulo podemos recurrir a dos elementos fundamentales, recordmoslos: 1) ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAAhipotenusabaCateto opuestoCateto adyacentecBC2) Las definiciones de las funciones trigonomtricas en el tringulo rectngulo.

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRARyxxy

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAacb

ObservacinEn la mayora de los problemas, supondremos que la masa de los cuerpos est concentrada en un punto, y as aparecern representados en las figuras. En muchos problemas, para describir la posicin de un objeto, diremos que est ubicado 5Km al N 60O (norte 60 oeste). La figura nos muestra cmo debemos interpretar esta informacin. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA60NOESELEMENTOS DE TRIGONOMETRA56c = 36cmBaCAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

Para calcular la longitud de b, aplicamos la funcin coseno al ngulo A; as:

Ejemplo 2. El ngulo de elevacin con que se mira la veleta de una torre es de 45,25, cuando el observador se coloca a 72m de la torre.Si el observador se encuentra a 1,10m sobre el suelo, A qu altura se encuentra la veleta?


Solucin El problema se reduce a encontrar el lado h del tringulo y sumarle 1,10m que es la altura sobre el nivel del piso donde se encuentra el punto de observacin. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA72m1,10mh42,25Empleando la funcin tangente, que relaciona los datos conocidos y el lado desconocido de la figura, nos queda: ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

Ejemplo 3. Se desea calcular la altura de una torre de la figura siguiente. Para ello se hacen dos observaciones desde los puntos A y B, obteniendo como ngulos de elevacin 30 y 45, respectivamente. La distancia mide 30m. Hallar la altura de la torre. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA4530ABPyh30Solucin Teniendo en cuenta los datos del problema, podemos escribir las siguientes ecuaciones.


12ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

Reemplazando este resultado en 2 y despejando h nos queda:


Ejemplo 4. Hallemos la altura h del tringulo, teniendo en cuenta la informacin que se presenta. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA6045hCBAxHy126mSolucin Teniendo en cuenta los datos del problema, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

213ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

Pregunta 15. Cmo se resuelve un problema cuya solucin implica utilizar un tringulo oblicungulo?Recordemos que un tringulo oblicungulo es un tringulo no rectngulo, es decir, un tringulo acutngulo o un tringulo obtusngulo, como los de la figura siguiente. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAABCCEDTringulo AcutnguloTringulo ObtusnguloEn la solucin de un tringulo oblicungulo podemos distinguir cuatro casos, de acuerdo con sus datos, que son:

Caso 1 (lado-ngulo-lado): se conocen dos lados y un ngulo comprendido entre ellos. El problema siempre tiene solucin nica. Caso 2 (ngulo-lado-ngulo): se conocen dos ngulos y un lado. Tambin, en este caso, el problema tiene solucin nica. Caso 3 (Lado-lado-lado): se conocen los tres lados del tringulo. De nuevo, el problema tiene solucin nica. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRACaso 4 (Lado-lado-ngulo): se conocen dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos. En este caso, el problema puede tener: Solucin nicaDos solucionesNinguna solucin Para resolver tringulos oblicungulo contamos con dos teoremas o leyes fundamentales: ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRACABbacELEMENTOS DE TRIGONOMETRACABbaDcELEMENTOS DE TRIGONOMETRA123ELEMENTOS DE TRIGONOMETRACABbacP4

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA2) Dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos (L-L-A) este es el caso ms complicado ya que podemos tener una, dos o ninguna solucin.Finalmente encontramos el ngulo que falta restando 180 y el problema se reduce al caso anterior.

Ejemplos en los que aplicamos la ley de los senos ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRA



ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA301012415mBC463619,6mA15mAC3013124183610m6,4mELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRAELEMENTOS DE TRIGONOMETRAABC81462.8KmELEMENTOS DE TRIGONOMETRACAB2,8km53112ELEMENTOS DE TRIGONOMETRALEY DE LOS COSENOSEn todo tringulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados MENOS el doble producto de estos lados por el coseno del tringulo que forman. Tesis:


CABbacELEMENTOS DE TRIGONOMETRACABbaxc-xhcELEMENTOS DE TRIGONOMETRA12

3ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA4ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA36aA13CB6Solucin Tenemos el caso L-A-L. Por lo tanto, aplicamos la ley de los cosenos para calcular el lado a. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA


Ejemplo7Un topgrafo encuentra que el ngulo en el punto A de la figura siguiente, desde donde observa los puntos B y C, en cada orilla del lago, es 72. Hallar la distancia a travs del lago determinando la separacin que hay entre los puntos B y C. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA72BAC21m15 mELEMENTOS DE TRIGONOMETRA


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