trigonometrÍa plan1

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 TRIGONOMETRÍA PLANA Definición.- La trigonometría, como la palabra lo indica, se refiere a la medida de los lados y l os ángulos de un triangulo. La trigonometría se basa en ciertas relaciones, llamadas funciones trigonométricas. L as p rimeras ap licaciones de las funciones trigonométricas fueron para topología, navegación e ingeniería, estas funciones desempeñan también un importante p apel en el estudio de toda clase de fenó menos vibratorios: sonido, luz, electricidad, etc. FUNCIONES TRIGONOMÉ TRICAS EN UN ANGULO AGUDO. Para tratar cualquier triangulo rectángulo es designar a los vértices como A, B y C siendo A vértice del ángulo recto, deben también denotarse los ángulos como B, C siendo A=90, y denominarse los lados opuestos a los ángulos como a, b y c respectivamente . Con resp ecto al áng ulo B, su lado opuesto será b y su lado adyacente (contiguo) será c; en tanto para el ángulo C, su lado opuesto será c y su lado adyacente será b el lado a siempre será la hipotenusa. Si se coloca el triangulo rectángulo en un sis tema de coordenadas de tal forma que el ángulo B se encuentre en posición estándar, y el punto C localizado en el lado terminal del ángulo B tiene las coordenadas (c, b) y la distancia √  por lo tanto las funciones trigonométricas del ángulo B puede definirse en términos del ángulo recto, de la siguiente forma

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TRIGONOMETRÍA PLANA

Definición.- La trigonometría, como la palabra lo indica, se refiere a la medida

de los lados y los ángulos de un triangulo.

La trigonometría se basa en ciertas relaciones, llamadas funciones

trigonométricas. Las primeras aplicaciones de las funciones trigonométricas

fueron para topología, navegación e ingeniería, estas funciones desempeñan

también un importante papel en el estudio de toda clase de fenómenos

vibratorios: sonido, luz, electricidad, etc.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN ANGULO AGUDO.

Para tratar cualquier triangulo rectángulo es designar a los vértices como A,

B y C siendo A vértice del ángulo recto, deben también denotarse los ángulos

como B, C siendo A=90⁰, y denominarse los lados opuestos a los ángulos

como a, b y c respectivamente. Con respecto al ángulo B, su lado opuesto

será b y su lado adyacente (contiguo) será c; en tanto para el ángulo C, su lado

opuesto será c y su lado adyacente será b el lado a siempre será la hipotenusa.

Si se coloca el triangulo rectángulo en un sistema de coordenadas de tal forma

que el ángulo B se encuentre en posición estándar, y el punto C localizado en

el lado terminal del ángulo B tiene las coordenadas (c, b) y la distancia

√  por lo tanto las funciones trigonométricas del ángulo B puede

definirse en términos del ángulo recto, de la siguiente forma

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Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la

hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y lahipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el

cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B.

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

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Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

FUNCIONES DE 30⁰, 45⁰ Y 60⁰ GRADOS

Una razón trigonométrica sólo depende de la abertura del ángulo. Para el caso,

el seno de 30º será siempre 0.5 sin importar las dimensiones del opuesto y de

la hipotenusa. Partiendo de esto, calculemos las razones trigonométricas de

30º, 45º y 60º.

Funciones trigonométrica de 30° y 60

Estas funciones se deducen del triangulo equilátero que tiene 1 unidad de

longitud por cada lado, como indica la figura:

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En un triángulo equilátero cada ángulo mide 60°. La altura, h , del triángulo

equilátero coincide con uno de los catetos.

Funciones trigonométrica de 45°

Estas funciones se deducen de un triángulo rectángulo isósceles, cuyos

catetos tienen de medida 1 unidad, sus ángulos agudos miden 45° cada uno.

La hipotenusa de este tipo de triángulo rectángulo es: a  

              

30°  

√  

√   √  

√   

45° √  

√  

    √   √  

60°

√     √   √    

√  

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Valores de las funciones Trigonométricas.

              

15°

20°40°

45°

50°

60°

70°

75

TRIANGULOS CONGRUENTES Y SEMEJANTES

En geometría, existen casos en los que se presentan ciertas similitudes entre

figuras; aquí los conceptos de congruencia o semejanza se establecen cuando

las figuras son de la misma forma y tienen igual o diferente tamaño.

En la congruencia, los lados y los ángulos tienen la misma medida y, en lasemejanza, las dos figuras tienen la misma forma, aunque no tengan

necesariamente la misma medida o tamaño; sus ángulos correspondientes u

homólogos deben ser congruentes y los segmentos correspondientes o lados

homólogos deben guardar entre sí una relación proporcional

TRIANGULOS CONGRUENTES 

Observa los siguientes triángulos:

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Al mirar los dos pares de triángulos se puede apreciar que en ambos lostriángulos tienen entre si la misma forma y tamaño.

Cuando se cumplen estas dos condiciones se dice que los triángulos soncongruentes; esta palabra (congruente) se simboliza o representa con el

símbolo .

Definición:

Se dice que un Δ ABC es congruente conotro Δ DEF si sus lados respectivos soniguales y sus ángulos respectivos también loson.

Para expresar en lenguaje matemático quelos dos triángulos de la izquierda son

congruentes, se usa la siguiente simbología:

Al observar los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen ladosrespectivamente congruentes, que son:

También tienen ángulos respectivamente congruentes:

Entonces es posible afirmar que .

Criterios de congruencia

Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas queenuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o mástriángulos para que sean congruentes.

Los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son:

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Postulado LAL

LAL significa lado-ángulo-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por

ellos respectivamente iguales.

Ejemplo1.- En la figura los triángulos ABC y BDE son equiláteros. Calcula

CD, si AE=3.

   °

  °

 

 

Ejemplo2.- En la figura calcular el valor de “x”; si AB // CD; AB = DE y CD= AE

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°

°

Postulado ALA

ALA significa ángulo-lado-ángulo.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos,respectivamente, iguales.

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Ejemplo1.- En la figura, si AB = BC; BP=4 y PQ = 3. Calcular PC

   

 

 

 

   

 

   

Ejemplo2.- En la figura hallar la relación x/y

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Si prolongo el segmento AB

Obtengo el triangulo ACB

Por el teorema del ánguloexterior

 

 

 

 

 

 

Postulado LLL

LLL significa lado-lado-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamenteiguales.

Ejemplo1.- Encuentre “x”, si AB=BD, BC=BE, AE=DC 

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Ejemplo1.- Encuentre “x”. 

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TRIANGULOS SEMEJANTES

Cuándo se puede afirmar que dos triángulos son semejantes? Para contestar

esta pregunta es necesario que se cumplan las condiciones que se analizarán

a continuación:

Obsérvense los siguientes triángulos: ¿serán semejantes?

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Dados los triángulos ABC y A'B'C', los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados

homólogos.

Los ángulos homólogos son:

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y

sus lados homólogos proporcionales.

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de

semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de

semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su

razón de semejanza.

Ejemplos prácticos

1.-Determinar la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la

misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

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2.-Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto

medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide

52 m?

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Criterios de semejanza

1.- Postulado (A-A)

A-A Significa ángulo –ángulo

Si dos ángulos de un triangulo son congruentes a dos ángulos de un segundotriangulo, entonces estos dos triángulos son semejantes

2.- Postulado (L-L-L)

L-L-L Significa lado – lado - lado

Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamenteproporcionales.

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3.- Postulado (L-A-L)

L-A-L Significa lado –ángulo -lado

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y

congruentes el ángulo comprendido entre ellos

Ejemplos

Determinar si son semejantes los siguientes triángulos:

Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.

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180º − 100º − 60º = 20º 

Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.

Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y el ángulo igual.

Semejanza de triángulos rectángulos

1.-Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo 

igual.

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2.-Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos 

proporcionales .

3.-Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la 

hipotenusa y un cateto.

Generación de ángulos positivos y negativos

Definición.- Un ángulo es la figura engendrada por la rotación de una

semirrecta alrededor de su extremo, desde una posición inicial hasta una

posición terminal. La amplitud de la rotación es la medida del ángulo.

La posición inicial se llama lado inicial ; posición final se llamado lado terminal 

y el extremo de la semirrecta se llama vértice del ángulo.

Si la rotación del lado terminal es en sentido anti horario (levógiro),el ángulo se

considera positivo; si la rotación del lado terminal es en sentido

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horario(dextrógiro), el ángulo se considera negativo. El sentido de rotación se

indica mediante una flecha sobre una línea curva. Un ángulo dirigido, es aquel

al cual se ha asignado un sentido.

Los ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal se llaman, se llama

ángulos coterminales.

Por ejemplo 30°, –330° y 390° son todos coterminales.

Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo

dado, puede sumar y restar 360° si el ángulo es medido en grados o 2π si el

ángulo es medido en radianes.

Ejemplo 1: Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un

ángulo de 55°.

55° – 360° = –305°

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55° + 360° = 415°

Un ángulo de  –305° y un ángulo de 415° son coterminales con un ángulo de

55°.

Ejemplo 2:Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un

ángulo de .

Un ángulo de y un ángulo de son coterminales con un ángulo de .

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Los ángulos se designan frecuentemente por medio de letras griegas tales

como (alfa), (beta), (gamma), (theta).

Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante:

1.-Signos de las funciones trigonométricas para ángulos del primer

cuadrante:

En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x,

así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo

llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la

designaremos "r".

 

 

 

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Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones

trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.

sen cos tg cot sec csc

+ + + + + +

2.-Signos de las funciones trigonométricas para ángulos del segundo

cuadrante:

En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las

x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y. El radio

(la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el

coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados

negativos.

 

 

 

 

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sen cos tg cot sec csc

+ - - - - +

3.-Signos de las funciones trigonométricas para ángulos del tercer

cuadrante:

En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen

sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este

caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (= +)

 

 

 

 

sen cos tg cot sec csc

- - + + - -

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4.-Signos de las funciones trigonométricas para ángulos del cuarto

cuadrante:

En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo

de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En

este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la

secante.

En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo

de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En

este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la

secante.

 

 

 

 

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Cuadrante Funciones positivos Funciones negativas

I todas ninguna

II sen, csc cos, sec, tan y cot

III tan, cot sen, csc, cos y sec

I V cos, sec sen, csc, tan y cot

Medida circular en grados sexagesimales centesimales y radianes

Sistema Sexagesimal

Este sistema de medir ángulos es el que has empleado durante tus primeros

estudios; en él, la circunferencia se ha dividido en 360 partes iguales llamadasgrados, el grado en 60 partes iguales llamadas minutos y el minuto en 60

partes iguales llamadas segundos. Así,

Un grado sexagesimal es la medida del ángulo central de un círculo,

de amplitud igual a la 360 ava parte del mismo.

Grados (), minutos(„), segundos(„‟) 

Sistema Centesimal

En este sistema la circunferencia se considera dividida en 400 grados, cada

grado en 100 minutos y cada minuto en 100 segundos. A estos grados se les

llama grados centesimales. Las abreviaturas son: grados centesimal (g.c.);

minuto centesimal (m.c.), y segundo centesimal (s.c.). Así,

Un grado centesimal es la medida del ángulo central de un círculo, de

amplitud igual a la 400 ava parte del mismo.

 O en forma reducida

 

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Sistema Cíclico

Este sistema se forma y define de la manera siguiente: en una circunferencia

cualquiera se señala un arco de longitud igual al radio de la circunferencia y se

trazan los radios correspondientes a cada extremo del arco; el àngulo central

que forman estos dos radios se llama radián; el radián se divide decimalmente,

es decir, en décimos, centésimos, milésimos, etc. Así,

El radian es el ángulo central subtendido por un arco igual

a la longitud del radio del círculo

Conversión de medidas de ángulos

Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un

arco de igual longitud al radio del círculo. Ya que la longitud de este arco es

igual a un radio del círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián y

equivale a 57.296º.

Como puedes observar, en 360° caben exactamente:

6 radianes completos + 0.283 de radian, es decir: 6.283 radianes:

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El uso de radianes en vez de grados ayuda a simplificar muchas fórmulas

trigonométricas.

1) Para convertir de grados a radianes, se multiplica por y se divide entre

180º; y se simplifica. Es decir:

2) Para convertir de radianes a grados, se multiplica por 180º y se divide entre

; y se simplifica. Es decir:

Equivalencias entre grados sexagesimales y radianes

Grados Radianes

Ejemplos

1.- Calcular en grados sexagesimales el valor de 1 radián 

( )

 

 

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2.- Convierte a unidades cíclicas.

( )

 

 

3.- Expresa en unidades cíclicas los siguientes ángulos: a)b) 

a)

 

b)

 

4.- Encuentre la medida en radianes de a) ; b)  

a)

 

b)

 

5.- Encuentre la medida en grados sexagesimales de  si: a) ;

b)  

a)

 

b)

 

6.- Expresa en unidades centesimales los siguientes ángulos a)   b) c)  d)  . 

a)

 

b)

 

c)  

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d)

 

7.- Si la medida de un Angulo A es de 3 radianes, encuentre la medida

aproximada de A términos de grados, minutos y segundos.

( )

 

Como hay 60’ en cada grado, el número de minutes en  

 

Como hay 60’’ en cada minuto, el numero de segundos en 0.2158’es

 

Entonces

 8.- Expresa en radianes los siguientes ángulos: 4224’’35’ 

Convertimos 35’’ a minutos:

 

Luego convertimos 24.5833333’ a grados: 

 

Por ultimo convertirnos los grados a radianes:

( )