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Matemática Trigonometría Ing. Avila – Ing. Moll

1

TRIGONOMETRÍA Es la rama de la matemática que tiene por objeto el estudio de las relaciones numéricas que existen entre los elementos rectilíneos y angulares de un triángulo

o de una figura geométrica en general y su aplicación a la solución numérica de los problemas que puedan presentarse.

Para calcular la longitud de las barras de este cuerpo de tribuna, la longitud de las barras

de la cabriada de madera o la altura que alcanzará la escalera

según el ángulo de apertura necesitamos conocer los ángulos y los lados de los triángulos que

se forman.


2

TRIÁNGULO: Definimos un triángulo como una figura geométrica

formada por una poligonal cerrada, delimitada por tres lados.

Elementos de un triángulo:

- Lados: a, b , c

- Ángulos: , ,

- Vértices: A, B, C

Propiedad: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º”,

Es decir que + + = 180º

Clasificación de los triángulos: Clasificación por sus lados:

Equilátero: tiene todos sus lados iguales

Isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual Escaleno: tiene todos sus lados desiguales

A

B C a

b c

β

equilátero isósceles escaleno


3

Clasificación por sus ángulos:

Líneas y puntos notables de un triángulo: Bisectrices de un triángulo:

rectángulo acutángulo obtusángulo

oblicuángulo

acutángulos

obtusángulos

- oblicuángulos

- rectángulos

acutángulo

A

B C

c

a

b o

rectángulo

A

B C a

b

c

o

obtusángulo

A

B C a

b

c

o


4

Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior que equidista de sus

lados. El punto “O” se denomina incentro.

Mediatrices de un triángulo:

Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de sus

vértices. El punto “O” se denomina circuncentro.

Alturas de un triángulo:

Las rectas que contienen a las alturas de un triángulo se cortan en un punto. El punto “O” se denomina centro ortogonal u ortocentro.

acutángulo

A

B C M1

M2 M3 o

rectángulo

A

B C

o

M1

M2 M3

obtusángulo

A

B C

o

M1

M2

M3

B

rectángulo

C

c

o b a

A

obtusángulo

B C

o

a

b

c

A

acutángulo

B C a

b c

o

A


5

Medianas de un triángulo:

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto interior cuya distancia a cada vértice es igual a 2/3 de la mediana correspondiente.

El punto “O” se denomina baricentro (centro de gravedad).

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TEOREMA DE PITÁGORAS: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma

de los cuadrados de los catetos.

de donde:

acutángulo

A

B C a

b c o

rectángulo

A

B C a

b c

o

obtusángulo

A

B C a

b c

o

a2 = b2 + c2

22 cba

22 cab

22 bac

+

9

16

25

a

b

c


6

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Si consideramos un ángulo orientado (puede ser positivo o negativo) respecto

de un sistema de ejes de coordenadas rectangulares, de manera que el vértice coincida con el origen y su lado inicial con el semieje positivo de las x, se dice que es un ángulo del primer cuadrante si su lado terminal cae en dicho

cuadrante. Definiciones semejantes se aplican a otros cuadrantes.

Utilizaremos tres funciones trigonométricas de , definidas en base a la abscisa,

la ordenada y la distancia ρ (radio vector) y en base a los lados de un triángulo rectángulo como sigue:

* seno =hipotenusa

opuestocatetoy

vectorradio

ordenadasen

.

.

* coseno = hipotenusa

adyacentecatetox

vectorradio

abscisa .

.cos

* tangente = tg = adyacentecateto

opuestocateto

x

y

abscisa

ordenada

.

.

Además observemos que: tg =

cos

sen

Estas tres funciones nos servirán para resolver los distintos triángulos rectángulos

que se puedan presentar.

y (ordenada)

O

P

M

ρ = r = 1

x (abscisa)

x

y y

x

y

x O M

P ρ

cateto

adyacente

cateto

opuesto hipotenusa


7

Ejercicios: Encontrar el valor de las tres funciones trigonométricas del ángulo , de un

triángulo rectángulo, sabiendo que:

a) cateto opuesto = 5

hipotenusa = 13

h2 = x2 + y2 x2 = h2 – y2 x = 1214425169513 2222 yh

sen = 3846,013

5

y cos = 92307,0

13

12

x

tg = 41666,012

5

x

y

b) Encontrar los valores de las tres funciones trigonométricas de 45º

Cuando tengo = 45º, como Â = 90º debe ser

el otro ángulo: Ĉ = 45º, por lo tanto deben ser x = y.

Supongamos x = y = 1

Será h = 211 2222 yx

sen = 70710,02

1

y cos = 70710,0

2

1

x

tg = 11

1

x

y

5

13

x

45º B A

C

90º

45º h y

x


8

c) Encontrar los valores de las tres funciones trigonométricas de 30º

Supongamos un triángulo equilátero con

lados a = 1 , b = 1, c = 1

Será: y = 5,02

1

2

c

a2 = x2 + y2 x2 = a2 – y2

x = 866,075,025,015,01 2222 ya

sen 30º = 5,01

5,0.

a

y

hipotenusa

opcat

cos 30º = 866,01

866,0..

a

x

hipotenusa

adycat

tg 30º = 577,0866,0

5,0

.

.

x

y

adycat

opcat

d) ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 150 mts. de

altura cuando el Sol se eleva a 20º sobre el horizonte?

sen 20º = mm

sen

BCb

b

BC57,438

34202,0

150

º20

cos 20º = 12,41293969,0.57,438º20cos. mbACb

ACm

60º

30º

A

B

C

x

y

a b

c

150 m A 20º

b

c

B

sombra

C


9

e)Un edificio de 100 m de altura proyecta una sombra de 120 m de longitud.

Encontrar el ángulo de elevación del sol.

tg = 83333,0120

100

arc tg 0,8333 = 39,80557 º

1º 60 ´

0,80557º x = ´3342,48º1

80557,0.́60

1 ´ 60 ´´

0,3342 ´ x = 201́

´3342,0´́ .60 ´´

Respuesta: el ángulo = 39 º 48 ´ 20´´

Tabla de las funciones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º

0 º 30º 45 º 60º 90º

Seno 0 2/1 2/2 2/3 1

Coseno 1 2/3 2/2 2/1 0

tangente 0 3/3 1 3 ∞

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA:

100 m

120 m

= ?

a2 = b2 + c2 1 = cos2 + sen2


10

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Los ángulos agudos B y Ĉ de un triángulo rectángulo ABC son complementarios, es decir:

B + C = 90º

Se tiene que:

sen B = a

bcos C cos B =

a

c= sen C

tg B = B

senB

cos

Así, cualquier función de un ángulo agudo, es igual a la correspondiente cofunción de un ángulo complementario. Esta propiedad permite confeccionar la tablas de las funciones trigonométricas a doble entrada.

Ejercicios: Calcular las siguientes funciones y determinar a qué otra función corresponden:

a) sen 17 º 16 ´ sen 17 º 16 ´ = 0,296819 complementario: = 72 º 44 ´

cos = 0,296819

b) cos 68 º 12´

cos 68º 12´ = 0,37136 complementario: = 21º 48´

sen = 0,37136

ctg 400º = 19175,1839099,0

1

º400

1

tg

tg = tg 50º = 1,19175

b a

C

A B c 90º


11

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Cualquier triángulo rectángulo puede resolverse, es decir, conocer todos sus

elementos en base a dos de ellos, de los cuales uno por lo menos será un lado. Las relaciones que unen los elementos conocidos con las incógnitas serán:

las funciones trigonométricas de ángulos agudos el teorema de Pitágoras

Así por ejemplo, si conocemos del triángulo ABC, los lados b y c , las incógnitas serán a, B y C, y

cuando se requiera, la superficie del triángulo.

Entonces será: a = 22 cb

tg C = b

c C = arc tg

b

c tg B =

c

b B = arc. tg

c

b Superficie =

2

.cb

Ejercicios: Resolver los siguientes triángulos rectángulos:

a) Datos: a = 765,40 m B = 68 º 46´ C es complementario de B C = 90º - 68 º 46´ = 21º 14´

sen B = a

b b = a . sen B = 768,40 m . 0,93211 = 716,23 m

a2 = b2 + c2 c = mmmba 30,278)23,716()40,768( 2222

Superficie = 2

.cb =

2

30,27823,716 mm= 99.663,40 m2

b) Datos: a = 96,59 m b = 76,30 m

sen B = a

b = 78993,0

59,96

30,76

m

m

B = arc.sen 0,78993 = 52,179610º

C A

B

90º

a

b d dato

c dato

b

A B

C

a

c

A B

C

b a

c


12

1º 60 ´

0,179610º x = ´7766,10º1

179610,0´60

1 ´ 60 ´´

0,7766 ´ x = 461́

´7766,0´́60

´´

Respuesta: el ángulo B = 52 º 10 ´ 46´´

C = 90º - 52 º 10 ´ 46´´ = 37º 49´ 14´´

tg B = c

b c =

28823,1

30,76 m

tgB

b = 59,23 m

c) Una escalera de mano está apoyada contra la pared de un edificio, de modo que

del pie de la escalera al edificio hay 12 unidades. ¿A qué altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera y cuál es la longitud de la misma, si forma un ángulo de 70º con el suelo?

tg 70º = u

h

12 h = 12 u . tg 70º

h = 12 u . 2,747477 = 32,97 u

l = 22 )97,32()12( uu 35,08 u

d) Un hombre recorre 500 m a lo largo de un camino que tiene una inclinación de

20º respecto de la horizontal. ¿Qué altura alcanza respecto al punto de partida? ¿Cuál es la pendiente del camino?

sen 20º = l

h h = l . sen 20º

h = 500 m . 0,34202 = 171,01 m

70º

l = ?

12 u

h =?

h

b

l = 500m

b 20º


13

pend = tg 20º = 3639,0b

h

e) La distancia entre dos edificios de tejado plano es de 60 mts. Desde la azotea del edificio más bajo, cuya altura es de 40 mts., se observa la azotea del otro

con un ángulo de elevación de 40º. ¿Cuál es la altura del edificio más alto?

h = 40 m + BC

tg40º = m

BC

60

BC = 60 m . tg 40º =

BC = 60 m . 0,839099 =

BC = 50,34 m

h = 40 m + BC = 40 m + 50,34 m = 90,34 m

f) Un techo tiene la forma de una pirámide rectangular, siendo la base 3 veces más larga que ancha. Sabiendo que la altura es de 3 mts. y que el ángulo

diedro que tiene por arista el lado menor del rectángulo vale 26º 33´, calcular la superficie del techo.

tg 26º 33´ = c

m3 c =

49967,0

3

´33º26

3 m

tg

m 6 m

a = 2 . c = 2 . 6 m = 12 m

b = 3

12

33

ma = 4 m d = 708,6)6()3( 22 mm

40 m

40º

60 m

A

B

C

h = 3 m

a = 3 u

b = 1 u

h = 3 m

K

c

d

I

J

= 26º 33´


14

Superficie de la cara IJK (triángulo) : SIJK = 2

708,64 mm = 13,41 m2

22

dMJIJ

2

4mMJ 2 m

22 )708,6()2( mmIJ 7 m

2

2)7( ÑJmIÑ

2

12

2

mLJÑJ = 6 m

364967 22IÑ 3,60 m

SUPILJ = 2

60,3.12

2

mmIÑLJ

= 21,60 m2

SUPTECHO =2 . SUPILJ + 2 . SUPIJK = 2 x 21,60m2 + 2 x 13,41 m2 = 70,02 m2

I

L Ñ

J

M

K

d

J

I

L Ñ

12 m

7 m


15

FUNCIONES GONIOMÉTRICAS Las funciones vistas eran para ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Ahora

se generaliza para cualquier ángulo.

Si a la línea generadora del ángulo , que inicialmente está en OX la

hacemos girar en sentido (+) barriendo un ángulo , y por un

punto cualquiera de OX, por

ejemplo T, trazamos un círculo con centro en O, podremos formar dos triángulos: uno será el ORT. El

punto R se encuentra trazando la perpendicular a OX que pasa por T.

El otro triángulo, se obtiene mediante el punto P (intersección

del círculo con X´) y la proyección de OP sobre OX, que es OQ.

Los triángulos OPQ y ORT son proporcionales, por lo tanto también lo serán sus

lados. Asignemos al radio el valor de 1 unidad.

Será entonces:

r

PQsen PQ = sen . r = sen . 1 tg = TR

sen

OQ

PQ

cos

cos = r

OQ OQ = cos . r = cos . 1

Conociendo una de las funciones trigonométricas, podemos deducir las demás. Por ejemplo, dado el sen

12 = sen2 + cos2

cos2 = 21 sen

tg =

21.

.

sen

sen

adyacentecateto

opuestocat

x

y

O Q

P

ρ=1

T

R

x´ E

1 sen

21 sen

Hipotenusa

cateto opuesto


16

Otro ejemplo, dado tg

ρ = 22 tgx = 21 tg

sen =

21 tg

tgy

cos = 21

1

tg

x

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS

En el triángulo ABC, no necesariamente rectángulo,

trazamos la perpendicular a uno de sus lados que pase por el vértice opuesto, obteniendo su altura, y de

paso, dividimos al triángulo en dos triángulos rectángulos ADB y BDC.

Entonces se cumple que: a2 = h2 +b22 donde b2 = b – b1

b22 = (b – b1)2 = b2 – 2b.b1 + b1

2

reemplazando:

a2 = h2 + b2 – 2b.b1 + b12 (todavía no conocemos b1)

pero: c2 = h2 + b12 h2 = c2 – b1

2

reemplazando queda: a2 = c2 – b12 + b2 – 2b.b1 + b1

2

cancelando queda: a2 = c2 + b2 – 2b.b1

pero b1 = c . cos

entonces:

a2 = c2 + b2 – 2b.c.cos que es válida para cualquier triángulo.

ρ tg

x = 1 por ser el radio

x

A

C

B

b

D

c

a

h

b1

b2

c

b1

h


17

TEOREMA DEL COSENO

a2 = c2 + b2 – 2b.c.cos

“En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo del producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido”

Nota: es la generalización del Teorema de Pitágoras al triángulo no rectángulo.

En el caso de ser un triángulo rectángulo, el coseno de 90º es cero.

a2 = c2 + b2 – 2b.c.cos 90º

a2 = c2 + b2 – 2b.c.0 a2 = c2 + b2

TEOREMA DEL SENO

“En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos

opuestos”

sen =c

h h = c . sen

(1)

sen = a

h h = a . sen

(2)

igualando (1) con (2):

h = c . sen = a . sen

sen

a

sen

c

generalizando: sen

c

sen

b

sen

a

b

90º

c a

A

C

B

b

D

c

a

h

b1

b2


18

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

“El área de un triángulo cualquiera, es igual a la mitad del producto de dos de sus lados, multiplicado por el seno del ángulo comprendido”

S = senba

2

Ärea = 22

hbalturabase

Pero sen = a

h h = a . sen

Reemplazando: Área = 2

senab

FORMULA DE HERÓN

S = ))()(( cpbpapp siendo a, b y c los lados del triángulo

p es el semi – perímetro

p = 2

cba

Teorema: “El área de un triángulo cualquiera es igual a la raíz cuadrada del

producto del semi-perímetro, por cada uno de los números que se obtiene al restar a éste cada uno de los lados del triángulo”

A

C

B

b

D

c

a

h

b1

b2


19

EJERCICIOS:

1) Calcular los ángulos interiores del triángulo.

cos = 28571,07

2 = arc.cos 0,28571

= 73,3984º

1º 60 ´

0,3984º x = ´9070,23º1

3984,0´60

1 ´ 60 ´´

0,9070 ´ x = 541́

´9070,0´́60

´´

= 73º 23´ 54 ´´

+ = 90º = 90º - = 90º - 73º 23´ 54´´ = 16º 36´ 6´´

2) Calcular el área de la figura

d = 2422)2()2( 2222 ba

Sup = 12

2

2

4

2

22

2

ba

3) En el triángulo de la figura, calcular h y a sabiendo que cos = 4

3

cos = 4

34

a a =

3

16

3

44

a2 = h2 + 42 h = 16)3

16(4 222a

h = 53,39

112

9

14425616

9

256

Otro camino:

7

2

90º

d

a = 2

45º 90º

b = 2

h

a

4


20

= arc.cos 4

3= 41,409622º tg 41,409622º = 0,881917

tg = 881917,04

h h = 4 x 0,881917 = 3,53

4) Calcular el área de la figura

Área = 2

10

2

hhbase

tg 60º = 5

h h = 5 x tg 60º = 5 x 1,732051 = 8,66

Área = 3,432

66,810

5) Calcular el perímetro de la figura

Según el teorema del seno es:

º60º45 sen

b

sen

a

866,07071,0

12 b b = 70,14

7071,0

866,012

= 180º - 60º - 45º = 75º

º75º45 sen

c

sen

a c = 39,16

7071,0

9659,012

º45

º75

sen

sena

perímetro = a + b + c = 12 + 16,39 + 14,70 = 43,09

6) Calcular h

10

1

0

1

0 h

60º

60º 60º

60º h

5 5

60º 45º

a = 12 b

c


21

cos 30º = 1

h

y

h h = 1 x cos 30º = 0,866

7) Calcular la longitud del segmento OC

cos 30º = 5

OA OA = 5 x cos 30º = 4,33

AC = radio = 5

OC = 5 – OA = 5 – 4,33 = 0,67

8) Calcular la longitud del segmento OA

cos 30º = AM

8,0

mAM 92,0º30cos

8,0

d = 45,08,092,08,0 2222

AM m

e = 2 m – 0,45 m = 1,55 m

sen 30º = e

OM 775,0º3055,1º30 senseneOM m

OA = OM + AM = 0,775 + 0,92 = 1,69 mts.

2 m

y = 1

90º

90º

60º 30º

h

30º

30º A O C

5

e = 2m

30º

O

M

d

90º

A

b

30º 0,8 m


22

9) En el triángulo de la figura calcular h, sabiendo que el área es 32

3

tg = 57735,03

3

3

b

= arc.tg 0,57735 = 30º

= 180º - 30º - 90º = 60º

sen 30º = 3

h h = 3 x sen 30º = 1,5

Otro camino:

º60

3

º90 sensen

c c = 46,3

º60

º903

sen

sen

Área = 22

33 ch

h = 5,146,3

2

2

33

10) Calcular el área y los ángulos interiores del triángulo de la figura.

Semi perímetro = p = 82

16

2

763

Por fórmula de Herón:

S = )68)(78)(38(8))()(( cpbpapp =

95,8802158

Por el teorema del coseno:

* 62 = 32 + 72 – 2 x 3 x 7 x cos

36 = 9 + 49 – 42 cos cos = 523809,042

49936

= arc.cos 0,526809 = 58º 24´ 42´´

90º

3 h

c

b =

3

7

3 6


23

* 32 = 62 + 72 – 2 x 6 x 7 x cos cos = 90476,084

49369

= arc.cos 0,90476 = 25º 12´ 31´´

* = 180º - - = 180º - 58º 24´ 42´´ - 25º 12´ 31´´ = 96º 22´ 47´´

11) Calcular el ángulo de la figura, sabiendo que la arista del cubo mide 40 mi

1) a es la diagonal de un

cuadrado de 40 mm de arista.

a = mm57,564040 22

2) b es la hipotenusa de un triángulo de 40 mm de altura (arista) y d1 = a = 56,57 mm

b = 28,6957,5640 22 mm

Por teorema del coseno:

402 = a2 + b2 – 2.a . b . cos

cos =

ab

ba

2

40 222

28,6957,562

28,6957,5640 222

cos = 816339,034,7838

75,6398

= arc cos 0,816339 = 35º 16´ 47´´

d1

a

b

4

0

40

40 a


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PREGUNTAS DE AUTO EVALUACIÓN

1) ¿Cómo se clasifican los triángulos de acuerdo a sus ángulos?

2) ¿Qué dice el Teorema de Pitágoras?

3) ¿A qué tipo de triángulos se puede aplicar el teorema de Pitágoras?

4) ¿Qué forma toma el teorema de Pitágoras en el caso de un triángulo

oblicuángulo?

5) ¿Pueden ser utilizadas las funciones trigonométricas en triángulos

oblicuángulos?

6) ¿Cómo elegimos qué función trigonométrica utilizar al resolver un triángulo?

7) ¿Qué dice el teorema del coseno?

8) ¿Qué dice el teorema del seno?

9) ¿Cuándo utilizamos uno u otro teorema?

10) ¿Cómo se calcula el área de un triángulo?

11) ¿Para qué se utiliza la fórmula de Herón?. Explique sus términos.

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