TRIGONOMETRÍA

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SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR I. SISTEMA SEXAGESIMAL

( ° ) : Grado sexagesimales ( ‘ ) : Minuto sexagesimales ( ‘’ ) : Segundo sexagesimales

1° = �∡ � ��� ��� �∡ 1 ������ = 360°

1° = 60’ 1’ = 60’’ 1° =3600’’

II. SISTEMA CENTESIMAL

( g ) : Grado centesimales ( m ) : Minuto centesimales ( s ) : Segundo centesimales

1� = �∡ � ��� ��� �∡ 1 ������ = 400�

1g = 100m 1m = 100s 1g =10 000s

III. SISTEMA RADIAL

( rad ) : Radián

1 ��� = �∡ � ��� ! �∡ 1 ������ = 2#���

CONVERSIÓN DE SISTEMAS I Para convertir medidas angulares de un sistema a otro se multiplica por los siguientes factores de conversión.

9° 180° 200g 27’ 81’’ 27’ 162’

10g #��� #��� 20

m 250° 5000

s 5

m

CONVERSIÓN DE SISTEMAS II Sea ∡AOB, un ángulo cualquiera S = # de grados sexagesimales de la C = # de grados centesimales de la R = # de radianes de la

Se cumple: NOTACIONES IMPORTANTES Para un ángulo cualquiera se cumple:

# de grados sexagesimales = S

# de minutos sexagesimales = 60S # de segundos sexagesimales = 3600S

# de grados centesimales = C

# de minutos centesimales = 100C # de segundos centesimales = 10000C

LONGITUD DE ARCO L: Longitud del arco AB R: Longitud del radio

θ: # de radianes de la �∡$%& LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (LC)

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR A: Área del sector circular AOB R: Longitud del radio

θ: # de radianes de la �∡$%&

B

O S° = Cg = R rad

A

1 rad

r

r r o

'( = 2#) R LC O

' = * ∙ )θ rad

R

R L o

B

A

o θ rad

R

B

A

o

R

$ = ) 2 ∙ *

,180 = .200 = )#

,9 = .10 ,180 = )#

.200 = )#

TRIGONOMETRÍA

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OTRAS FORMULAS ÁREA DEL CÍRCULO (AC) ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR (AT) A: Área del trapecio circular a: Longitud del arco mayor b: Longitud del arco menor h = R - r

ÁNGULO BARRIDO POR UNA RUEDA *0: Ángulo barrido por la rueda 12: Espacio recorrido R : Longitud del radio de la rueda NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA (#4) APLICACIONES EN ENGRANAJES Y POLEAS

I. DOS ENGRANAJES DE CONTACTO

II. DOS ENGRANAJES UNIDOS POR UN EJE

III. DOS POLEAS UNIDAS POR UNA CORREA

,�56 = .����7 %8��9�7:;87��5�9� =

�<

.796 = .����7 $�=�<�5��:;87��5�9� =

><

?�@6 = .����7 %8��9�7.����7 $�=�<�5�� =

�>

.�@6 = .����7 $�=�<�5��.����7 %8��9�7 =

>�

,�<6 = :;87��5�9�.����7 $�=�<�5�� =

<>

.9<6 = :;87��5�9�.����7 %8��9�7 =

<�

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

$ = ' 2* $ = ' ∙ )2

$ = A� + >C2 ∙ ℎ

h

o

h

a

R-r

r

R-r

r

b

$( = # ∙ ) R

O

*0 = 12)

R

R R

R R

Eje

#E = 1(2#) #E = *02#

r R

*F = *G R r

Eje

< = � + >

r R

Correa

1F = 1G

6 + H = 90°

< > J�; >L

1F = 1G

a

b c

α

β

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS: CO- RAZONES ,�56 = .79A90 M 6C � .79H

.796 � ,�5A90 M 6C � ,�5H

?�@6 � .�@A90 M 6C � .�@H

.�@6 � ?�@A90 M 6C � ?�@H

,�<6 � .9<A90 M 6C � .9<H

.9<6 � ,�<A90 M 6C � ,�<H

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

,�56 · .9<6 � 1

,�56 �

.9<6 �

.796 · ,�<6 � 1

.796 �

,�<6 �

?�@6 · .�@6 � 1

?�@6 �

.�@6 �

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

R.T. 30° 60° 45° 37° 53°

Sen 1

2

√3

2

√2

2

3

5

4

5

Cos √3

2

1

2

√2

2

4

5

3

5

Tag √3

3 √3 1

3

4

4

3

Ctg √3 √3

3 1

4

3

3

4

Sec 2√3

3 2 √2

5

4

5

3

Csc 2 2√3

3 √2

5

3

5

4

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

I. DATOS : HIPOTENUSA Y θθθθ

6 B H � 90°

H

θ

H Cosθ θ

H

COMPLEMENTARIAS:

.79H

,�5H

.�@H

?�@H

.9<H

,�<H

RECÍPROCAS

1

.9<6

1

,�56

1

,�<6

1

.796

1

.�@6

1

?�@6

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

16° 74°

7

25

24

25

24

25

7

25

7

24

24

7

24

7

7

24

25

24

25

7

25

7

25

24

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

II. DATOS : CATETO OPUESTO

III. DATOS : CATETO ADYACENTE

ÁNGULOS VERTICALES

ÁNGULO DEÁNGULO DE

ÁNGULOS HORIZONTALES ROSA NAÚTICA RUMBO

N55°E : Del Norte 55° al EsteS20°O : Del Sur 20° al Oeste

H Senθ

a

θ

a θ

20°

S20°O

N

55°

S

O

TRIGONOMETRÍA

Página 3

CATETO OPUESTO Y θθθθ

ADYACENTE Y θθθθ

ÁNGULOS VERTICALES

DE ELEVACIÓN DE DEPRESIÓN

ÁNGULOS HORIZONTALES

N55°E : Del Norte 55° al Este S20°O : Del Sur 20° al Oeste

a Cscθ θ

a a Cscθ

a θ

a Tagθ a Secθ

N55°E

E

1

4�

45°

4� 11°15Q

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

RSTU � %���5���)��;7 V�<�7� =

WX

YZ[U = $>9<;9�)��;7 V�<�7� =

\�

]^_U = %���5���$>9<;9� =

=\

Y`_U = $>9<;9�)��;7 V�<�7� =

\=

RSaU = )��;7 V�<�7�$>9<;9� =

�\

Y[aU = )��;7 V�<�7�%���5��� =

�=

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS CUADRANTALES

R.T. 0°

0 rad

90°

π/2 rad 180°

Π rad 270°

3π/2 rad

Sen O 1 O −1

Cos 1 O −1 O

Tag O N O N

Ctg N O N O

Sec 1 N −1 N

Csc N 1 N −1

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MENORES

QUE 360°

• PRIMERA FORMA:

• SEGUNDA FORMA: II. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MAYORES

QUE 360°

Si: 6 > 360° → 6 = 3605 + H III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

NEGATIVOS ,�5A−6C = −,�56 .79A−6C = .796 ?�@A−6C = −?�@6 .�@A−6C = −.�@6 ,�<A−6C = ,�<6 .9<A−6C = −.9<6

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES RECÍPROCAS ,�56 ∙ .9<6 = 1 .796 ∙ ,�<6 = 1 ?�@6 ∙ .�@6 = 1

IDENTIDADES POR COCIENTE

?�@6 = ,�56.796

.�@6 = .796,�56

IDENTIDADES PITAGÓRICAS ,�5 6 + .79 6 = 1 ,�< 6 = 1 + ?�@ 6 .9< 6 = 1 + .�@ 6

Signo ± depende de la R.T. original

Signo ± depende de la R.T. original

� = c\ + =

− +

r

y A\; =C

x

+ − A\; =C − − A\; =C

+ + A\; =C

r r

r

) d180° ± 6360° − 6f = ± ). ?A6C

). ?A6C = ). ?A360° ∙ 5 + HC = ). ?AHC

). ? d 90° + 6270° ± 6f = ± .% − ). ?A6C

TRIGONOMETRÍA

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IDENTIDADES AUXILIARES

,�5�6 B .79�6 � 1 − 2,�5 6 ∙ .79 6

,�5�6 + .79�6 = 1 − 3,�5 6 ∙ .79 6

A,�56 + .796 + 1CA,�56 + .796 + 1C = 2,�56.796

A1 ± ,�56 ± .796C = 2A1 ± ,�56CA1 ± .796C

c1 ± 2,�56 ∙ .796 = |,�56 ± .796| 1 + ,�56.796 = .7961 − ,�56

1 + .796,�56 = ,�561 − .796

?�@6 + .�@6 = ,�<6 ∙ .9<6 ,�< 6 + .9< 6 = ,�< 6 ∙ .9< 6

PROPIEDAD:

Si iRSTU + jYZ[U = Y, se cumple que:

,�56 = $.

.796 = &.

,; = 9ó�7 9;: i + j = Y

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS

,�5A6 ± HC = ,�56 ∙ .79H ± .796 ∙ ,�5H

.79A6 ± HC = .796 ∙ .79H ∓ ,�56 ∙ ,�5H

?�@A6 ± HC = ?�@6 ± ?�@H1 ∓ ?�@6 ∙ ?�@H

IDENTIDADES AUXILIARES

,�5A6 + HC ∙ ,�5A6 − HC = ,�5 6 − ,�5 H

.79A6 + HC ∙ .79A6 − HC = .79 6 − ,�5 H

?�@6 ± ?�@H = ,�5A6 ± HC.796 ∙ .79H

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

,�526 = 2,�56.796

.7926 =

.79 6 − ,�5 6

2.79 6 − 1

1 − 2,�5 6

?�@26 = 2?�@61 − ?�@ 6

IDENTIDADES AUXILIARES

c1 ± ,�526 = |,�56 ± .796| .�@6 + ?�@6 = 2.9<2\

.�@6 − ?�@6 = 2.�@2\

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE

,�536 = 3,�56 − 4,�5�6

.7936 = 4.79�6 − 3.796

?�@36 = 3?�@6 − ?�@�61 − 3?�@ 6

PARA DEGRADAR: 4,�5�6 = ,�536 − 3,�56

4.79�6 = 3.796 + .7936

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD

,�5 d62f = ±n1 − .7962

.79 d62f = ±n1 + .7962

?�@ d62f = ±n1 − .7961 + .796