Transferencia de Masa

2013-05-23-16ª

2013-05-23

Continuación de:

# Introducción a Procesos de Separación;

# Sistemas gobernados por el equilibrio;

# Sistema líquido/gas: coeficiente global de transferencia de masa.

2

Coeficiente global de transferencia de masa

Hasta ahora se han considerado los coeficientes de transferencia de masa de largo

alcance para una sola fase (kCx y kCy).

En sistemas líquido-gas y líquido-líquido es conveniente tratar con coeficientes

globales de transferencia de masa, que se llaman así porque toman en consideración la

resistencia que ofrecen cada una de las fases y la de la interfase que las separa.

El uso de coeficiente global permite conocer el flux de masa que ocurre entre las dos

fases, utilizando para ello la composición de cada fase yj (gas) y xj (liquido) y la

relación de equilibrio que determina la composición en la interfase, sin que se tengan

que conocer las características de la interfase (área, profundidad…).

Sistema gas-liquido

Para obtener la expresión del coeficiente global de este sistema, se parte de la

definición de flux del componente de interés j expresado en términos de la composición

de las fases gas y líquida:

... gas*

j Cy t j jN K C y y ... líquido*

j Cx t j jN K C x x

Donde y

j

* y xj

* son la fraccion molar de j en equilibrio del gas y liquido, respectivamente.

Cuando en la interfase se cumple el

equilibrio, las composiciones del lado

del gas (xji) y del lado del liquido (yji)

están relacionadas.

Una relación sencilla de equilibrio es a

través de un coeficiente de partición mk:

ji k jiy m x

como: j Cx t ji jN k C x x

como: j Cy t j jiN k C y y

k j

ji k j

Cx t

m Ny m x

k C

k j

j Cy t j k j

Cx t

m NN k C y m x

k C

ji

j Cx t j

k

yN k C x

m

Como: k j

j Cy t j k j

Cx t

m NN k C y m x

k C

j k j

j k j

Cy t Cx t

N m Ny m x

k C k C

tj j k j

Cy k Cx

CN y m x

1 k m k

El producto mkxj representa el equilibrio que existe entre un líquido que tiene una

composición xj y un gas cuya composición es yj*; entonces, mkxj representa a la

composición de gas en equilibrio:

*

k j jm x y

*tj j j

Cy k Cx

CN y y

1 k m k

Comparando esta expresión de flux con aquella que esta definida en términos del

coeficiente de global del gas KCy se concluye que el coeficiente global de transferencia

de masa para este sistema gas-líquido es como sigue:

... gas*

j Cy t j jN K C y y

tCy t

Cy k Cx

CK C

1 k m k

k

Cy Cy Cx

m1 1

K k k

Aplicando el mismo procedimiento, se puede obtener el coeficiente global con base en

el líquido KCx:

k

Cy Cy Cx

m1 1

K k k

resistencia globalCy

1

K resistencia del gas

Cy

1

k

resistencia del líquido y de la interfasek

Cx

m

k

Cx Cx k Cy

1 1 1

K k m k

Es conveniente enfatizar que estas relaciones son válidas para soluciones diluidas, en

las cuales la relación de equilibrio mk no depende fuertemente de la composición ,

porque la función de partición, que describe el equilibrio es lineal:

El hecho de que kCx y kCx fuesen constantes no implica que KCy y KCx lo sean, porque

mk es una función que depende de las variables de estado (composición, temperatura y

presión); cuando esa dependencia es importante, las expresiones anteriores no podrán

describir fielmente el comportamiento del sistema.

*

k j jm x y

Casos extremos:

a) Controla la transferencia en el gas:

Como: k

Cy Cy Cx

m1 1

K k k

Como: Cx Cx k Cy

1 1 1

K k m k

Cy Cx

1 1

k k

Cy CyK k

b) Controla la transferencia en el líquido: Cy Cx

1 1

k k

Cx CxK k

Ejemplo Transporte de un soluto en el siguiente sistema un líquido/gas1

El soluto a sale de la parte baja del sistema (difusor,

sólido que se disuelve, …); a se transporta a través del

líquido y llega a la interfase líquido/gas, y ahí alcanza la

condición de equilibrio (partición de a en la interfase),

esto no significa que el proceso global esté controlado por

dicho equilibrio; después de llegar a la interfase, el soluto

a se transporta a través del gas; y finalmente, es arrastrado

por la corriente de aire que circula el la parte superior del

recipiente (por ello, la concentración de a en esa posición

es constante).

1 Plawsky, J. L., Transport Phenomena Fundamentals, Marcel Dekker, Inc., 2001

Preguntas

a) Obtener el perfil de a en cada fase en términos de la fracción molar de a: xa(z) y ,

ya(z) en el líquido y el gas, respectivamente;

b) Obtener el modelo del flux, tanto en el líquido como en gas: Nax y Nay ,

respectivamente;

c) Obtener la expresión de los coeficientes individuales de transferencia de masa tanto

del líquido kx como del gas ky

d) La expresión de los coeficiente globales de transferencia de masa a partir de las

condiciones del líquido y del gas: KCx y KCy , respectivamente.

Solución

Modelo (restricciones) para el líquido:

1. Estado estacionario;

2. Transporte unidireccional (z);

3. Soluciones ideales y diluidas:

3.1 La concentración molar total Ct es constante;

3.2 El coeficiente de partición (equilibrio) mk es constante;

3.3 La fracción molar de a (xa ) es “pequeña”… (ver 4.);

4. Transporte convectivo es despreciable;

5. Sistema isotérmico.

Para obtener el perfil de a en cada fase, se debe resolver el balance de masa (molar)

correspondiente, mismo que debe satisfaces las restricciones establecidas.

a

dN 0

dz

como: aa am a

dCN D vC

dz como: ... constantea a t tC x C C

aa am t t a

dxN D C vC x

dz como: t a mvC N N a

a am t a a m

dxN D C x N N

dz

pero: es "peq ueña"ax aam t a a m

dxD C x N N

dz a

a am t

dxN D C

dz

Como: y aa a am t

dxdN 0 N D C

dz dz

Por lo tanto, el perfil de a en el liquido es de la forma:

... (L)a 1 2x z

Las constantes de integración κ1 y κ2 se obtienen con las condiciones límite del líquido.

... (G)a 3 4y z

Asumiendo que en el gas también se satisfacen las restricciones del líquido, el modelo

del gas sería:

Las condiciones límite del gas determinan el valor de κ3 y κ4

Las condiciones límite [(1) y (4)] y las condiciones que se

deben cumplir en la interfase líquido/gas [(2) y (3)] son las

que se muestran enseguida (y en la Figura), y con ellas se

pueden obtener las expresiones (valores) de las constantes κ :

@ ... (1)a a0x x z L

@ ... (4)a a0y y z L

@ ... (2)a k ay m x z 0

@ ... (3)a at ax t ay

dx dyC D C D z 0

dz dz

2

a a aam t 2

dx dx d xd dD C 0 0

dz dz dz dz dz

aam t

dxdD C 0

dz dz

Los perfiles de a en el liquido xa (z) y en el gas ya (z), y los modelos del flux en el

líquido Nax y en el gas: y Nay, se obtienen combinando la ecuaciones (L), (G), (1), (2),

(3) y (4):

... (L)a 1 2x z ... (G)a 3 4y z

@ ... (1)a a0x x z L @ ... (4)a a0y y z L

@ ... (2)a k ay m x z 0 @ ... (3)a at ax t ay

dx dyC D C D z 0

dz dz

... (5)

ay a0 k a0 a0 ay a0 ax

a a

ax k ayax k ay

D y m x y D x Dx z x z ...

D m DL D m D

Los perfiles de a en el liquido xa(z) y en el gas ya(z), así como del flux en el líquido Nax

y en el gas: y Nay, son:

... (6)k a0 ay a0 axax a0 k a0

a a

ax k ayax k ay

m y D x DD y m xy z y z ...

D m DL D m D

(7)

ayaax ax t t ax a0 k a0 ay

ax k ay

DdxN D C C D y m x N ...

dz L D m D

Coeficientes individuales de transferencia de masa de cada una

de las fases:

Para el líquido: Por definición: ax t cx a0 aiN C k x x

como:

ay a0 k a0 a0 ay a0 ax

a

ax k ayax k ay

D y m x y D x Dx z

D m DL D m D

Para obtener la expresión del coeficiente de transferencia del

líquido kcx se considera: a aix x z 0

a0 ay

i

a0 ax

a

ax k ay

y D x Dx

D m D

a0 ay a0 ax

ax t cx a0

ax k ay

y D x DN C k x

D m D

(8)t ay cx

ax k a0 a0

ax k ay

C D kN m x y ...

D m D

Al comparar la ecuación (8) con la expresión del flux Nax −ecuación (7) − se obtiene la

expresión del coeficiente individual de transferencia de masa en el líquido kx

(7)

t ax ay

ax ay a0 k a0

ax k ay

C D DN N y m x ...

L D m D

(9)axx

Dk ...

L

Procediendo de manera análoga se obtiene la expresión del coeficiente individual de

transferencia de masa en el líquido ky :

(10)ay

y

Dk ...

L

Cuando no se conoce la composición en la interfase (xai o yai), se utilizan los

coeficientes globales de transferencia de masa (Kcx o Kcy) y otra definción de flux.

Deducción de Kcx:

Para el líquido el flux se define como: ax t a0 acx iN C xK x

como: ao k iay m x

Comparando esta última expresión con la (11) definición de flux en términos de Kcx :

por otro lado: (7)

t ax ay

ax ay a0 k a0

ax k ay

C D DN N y m x ...

L D m D

ax ay k

c

x y

x

a k a

D D m

L D mK

D

rearreglando k a0a0 k a0 a0 k a0 k a0

k k

m yy m x y m x m x

m m

t ax ay k a0ax ay a0

kax k ay

C D D m yN N x

mL D m D

k ay a

x

x

c

1

L L

m D

K

D

iao

a

k

yx

m ... (11)a0

ax t ax 0

k

c

yN C x

mK

... (12)cx k ay ax

1 L L

m DK D

como: ... (12)k ayx xc a

1 L L

mK D D

Por otro lado: (9) y (10)ayax

x y

DDk ... k ...

L L

como: ... (13)k x ycx

1 1

m kK

1

k

De acuerdo con la ecuación (13), el coeficiente global de transferencia de masa

asociado con el gradiente de la fase líquida Kcx puede expresarse en términos de los

coeficientes individuales de cada fase kx y ky y la constante de partición (equilibrio) mk.

La expresión del coeficiente global a partir del gas, Kcy , se obtiene de manera análoga:

Por definición: cyay t a ai 0N C yK y como: k iao am x y

Comparando (7) y (14)se tiene:

por otro lado: ... (7)

t ax ay

ax ay a0 k a0

ax k ay

C D DN N y m x

L D m D

ax ay

kax k ay

a

c

a

y

y x

D DK

1

LmLL D m D

D D

... (14)ay t k a0 a0cyN C m x yK

como: (9) y (10)ayax

x y

DDk ... k ...

L L

k

ay xy acK

Lm1 L

D D

... (15)k

y xcy

m1 1

k kK

Por lo tanto, también el coeficiente global de transferencia de masa asociado con el

gradiente de la fase gas Kcy puede expresarse en términos de los coeficientes

individuales de cada fase kx y ky y la constante de partición (equilibrio) mk.

Las expresiones de Kcx y Kcy son diferentes, porque para calcular el flux de a en el

sistema cada una de ellas se multiplica por un fuerza motriz diferente; sin embargo,

ambas expresan la capacidad global del sistema para transferir a en las condiciones

(restricciones) del caso de que se trate.

... (13)kx yc x

1 1 1

m k kK

... (15)k

y xcy

m1 1

k kK

... (11)a0ax t a0

k

cx

yKN C x

m

... (14)ay t k a0 a0cyN m x yKC

£

;

a4

mol aG y

s mol a

mol G

mol b

" 4"

;

a3

mol aG y

s mol a

mol G

mol b

" 3"

a c ax A y

;

a1

mol aL x

s mol a

mol L

mol c

;

a2

mol aL x

s mol a

mol L

mol c

" 1"

" 2"

Introducción a Procesos de Separación

Extracción Gas-Liquido en torre empacada.

Considere la figura siguiente:

Nomenclatura: Ac = sección (área) transversal de la torre empacada

mol G = moles de G... Solución diluida;

mol a = moles del sustrato de interés: a

mol L = moles de L… Solución diluida.

, a1L x , a4G y

, a3G y , a2L x

xa Ac ya

Torre empacada, G/L

Características:

# Operación a contracorriente;

# El G introduce el soluto a a la torre;

# Se procura que a sea transferido a L;

# Operación isotérmica;

# Estado estacionario.

Objetivos (preguntas)

# Obtener las expresiones del perfil de a tanto en G como en L, en función de la

fracción mol de a: ya(z) y xa(z), respectivamente;

# Obtener la expresión del flujo de a en toda la torre.

Modelo

# Operación isotérmica;

# Estado estacionario;

# Soluciones diluidas y de comportamiento ideal;

# El cambio de la composición es unidireccional: ya(z) y xa(z);

, a1L x , a4G y

, a3G y , a2L x

xa Ac ya

Solución

Para tratar este tipo de casos es conveniente utilizar una

fracción molar libre de solvente.

Para el gas G:

como:

a

mol ay

mol a mol G

a G

mol G1 y y

mol a mol G

a

a

y mol a

1 y mol G

definiendo: a

a

a

y

1 y

como:

a

mol ax

mol a mol L

a L

mol L1 x x

mol a mol L

aa

a

x mol a

1 x mol G

Similarmente, para el líquido L:

Con base en estas definiciones, el flujo molar de a en G y L pueden expresarse como:

Para :

a

mol G mol a mol aG G

s mol G s

Para :

a

mol L mol a mol aL L

s mol L s

Haciendo un balance molar macroscópico de a se tiene:

En : a3 a4 G iG G G N A En : a1 a2 G iL L L N A

NaG es el flux de a que sale de G, y es igual al

flux de a que entra a L, porque en la interfase

no hay reacción y el sistema está en edo. est.;

Ai es el área de la interfase G/L… desconocida

, a1L x , a4G y

, a3G y , a2L x

xa Ac ya

Como: y a3 a4 G i a1 a2 G iG G N A L L N A

Tomando como referencia las condiciones de la

parte superior de la torre, para cualquier z se

tiene:

a3 a4 a2 a1G G L L

a a1 a a4

G

L

A esta ecuación se le conoce como la línea de operación de torre.

Debido a que se ha postulado que las soluciones son diluidas, la relación de equilibrio

que existe entre la composición de G y la de L es del tipo:

a ke eam

Donde la función de partición mk es constante.

En la figura siguiente se muestran las líneas de operación y de equilibrio de este caso:

ea

a

a

eaa a

a a, Línea de operación

Línea de equilibrio

Para obtener ωa(z) y χa(z) se puede partir de la ecuación que describe el flujo de a en

un elemento diferencial de volumen de la torre considerando al gas G:

eaG i v c cG a ad N A a A K dz

2

aG i 2

mol a mol ad N A L

ssL

también:

a

mol G mol a mol aG

s mol G s

aG i v ec cG a a ad N A a A K dz Gd

ea

a

a

eaa a

a a, Línea de operación

Línea de equilibrio

De acuerdo con la relación de equilibrio: a ke am

por continuidad: a aG L

a v c cG a k aGd a A K m dz

a v c cG a k aLd a A K m dz

Multiplicando esta última ecuación por mk, y luego igualando a cero, se tiene:

k a k v c cG a k am Ld m a A K m dz k v c cGk a a k a

m a A Kd m m dz

L

k v c cGk a a k a

m a A Kd m m dz 0

L

avAc es el área de transferencia en términos de la sección transversal de la torre Ac.

y: v a cGa v a cG a k a a a k a

a A KGd a A K m dz d m dz

G

como: k v a cGk a a k a

m a A Kd m m dz 0

L

v a cG k v a cGa k a a k a a k a

a A K m a A Kd m m dz m dz 0

G L

a k a kv a cG

a k a

d m m1a A K dz

m G L

La solución de esta ecuación diferencial da el perfil de la composición de la columna:

ka k a a4 k a1 cG v c

m1m m exp K a A z

G L

El flujo de a en la columna se obtiene integrando el flujo diferencial :

como: aG i v a cG a k ad N A a A K m dz

aM £

aG i a v a cG a k a

0 0

d N A M a A K m dz

£

ka cG v c a4 k a1 cG v c

0

m1M K a A m exp K A z dz

G L

a3 k a2 a4 k a1a cG v c cG v c lm

a3 k a2

a4 k a1

m mM K A K A £

mln

m

Como: aM £

aG i a v a cG a k a

0 0

d N A M A K m dz

y como: ka k a a4 k a1 cG v c

m1m m exp K A z

G L

Por lo tanto, el flujo de a en la columna es:

El flujo de a en la columna Ṁa puede expresarse como el producto de una resistencia y

una fuerza motriz:

a lm

cG v c

1M

1

K A £

donde: a3 k a2 a4 k a1

lm

a3 k a2

a4 k a1

m m

mln

m

Al término Δχlm se le conoce como diferencia de fracción mol logarítmica media.

a

cG v c lm

M£

K A

Por lo tanto, cuando se conoce la cantidad de a que debe transferirse (dato de diseño),

la ecuación anterior permite calcular la longitud de la columna £ que se requiere para

llevar a cabo dicha separación.

De manera análoga, cuando el análisis se hace en función de la trasferencia de L

a a3 a4M G

El flujo de a que se transporta desde G (hacia L) en toda la columna es Ṁa, y puede

expresarse también como:

cG v c

a3 a4

lm

£G

K A

altura de la unidad de transfere se conoce nccomo i a base cG v c

GG

K AL

númeradimensional, es el o de unidades de transferencia base a3 a4

lm

G

se conoce como altura de la unidad de transferencia base cL v c

LL L

K A

adimensional, es el número de unidades de transferencia base a2 a1

lm

L

como: a cG v c lmM K A £

Transferencia de Masa

Fin de 2013-05-23-16ª

Fin del curso