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Transferencia de Masa
Clave
2013-02-26 9ª
2013-02-26
Temas a tratar:
Sistemas diferenciales
Transporte por difusión, película estacionaria y coeficiente global de
transporte de masa kLo;
Transporte de una esfera al seno de un líquido (dos casos);
Transporte por difusión con reacción química.
Teoría de la película
Antecedentes: modelo de enfriamiento de Newton, aplicado a describir
el transporte de calor entre paredes compuestas, tales como el
intercambio de calor en cambiadores de calor:
C fq Ua T T
Considere el caso de dos fluidos que son parcialmente inmiscibles
entre sí; uno de ellos (el de la izquierda) tiene un componente A que
esta disuelto en él, pero que es soluble en el otro fluido.
... (1)0 1A L Ao AN k C C
CAo
x =0
CA1
x =δ
fTCT
Teoría de la película
Considere la transferencia del componente A en el sistema antes descrito,
considerando las siguientes condiciones (restricciones):
1) Estado estacionario: d
0dt
2) Isotérmico... solo el balance de masa
3) No hay transporte por convección: v 0
4) No hay reacción: AR 0
5) Transporte unidireccional, en x
CAo
x =0
CA1
x =δ
Considando el balance de masa coordenadas reactangulares (Tabla 18.2-
2, BSL), y aplicando las restricciones antes mencionadas se tiene:
CA
t v
x
CA
x v
y
CA
y v
z
CA
z
D
AB
2CA
x22C
A
y22C
A
z2
R
A
DAB
d 2CA
dx2
0 ... con: C
A C
Ao @ x 0 y: C
A C
A1 @ x
Como: DAB
d 2CA
dx2
0 ... con: C
A C
Ao @ x 0 y: C
A C
A1 @ x
Resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene el perfil A(x):
A Ao A1 Ao
xC C C C
Aplicando la definición de flux al perfil CA(x) se puede obtener el flux
de A que pasa de una fase a la otra:
NA D
AB
dCA
dx
Comparando las ecuaciones (1) y (2) se demuestra que, de acuerdo con
el modelo de la película estancada, el coeficiente global de
transferencia de masa kLo tiene un carácter de coeficiente de difusión
N
A D
AB
C1C
0
... (2)
Como: ... (1)0 1A L Ao AN k C C
k
L0
D
AB
Esfera en un líquido
Considere la transferencia de un componente A que se encuentra en una
esfera; la esfera esta sumergida en el seno de un líquido; éste tiene la
capacidad de disolver al componente A. El transporte de A desde la
superficie de la esfera hasta el seno del líquido se puede modelar
mediante una expresión del tipo ley de enfriamiento de Newton:
En esta ecuación, NA es el flux de A; kLo es el coeficiente global de
transporte de masa en el líquido; CASG y CAL son la concentración de A en
el umbral esfera/líquido (superficie de la esfera y en el líquido,
respectivamente).
Se requiere plantear el modelo que describe el transporte de A de una
fase hacia la otra para los dos casos que se describen enseguida.
0A L ASG ALN k C C
1) Un partícula esférica de material M esta sumergida en una columna
de líquido L; la partícula esférica no se mueve; L esta perfectamente
mezclado; M contiene dos materiales, pero solamente uno, A, es
soluble en L; en M predomina el transporte de A por difusión. Se
requiere obtener el modelo que describa la concentración de A en M.
2) Ahora se trata de un sistema gas G y líquido L; la partícula esférica
es una burbuja de G se mueve con una velocidad constante vB, y los
gases que la constituyen están perfectamente mezclados. En este
caso, se requiere el modelo que describa la concentración de A en G
en función del tiempo de desplazamiento de la burbuja en la columna
de L.
1. Esquema
@ en el lado de la esferaA ASB BC C r R
@ en el lado del líquidoA AL BC C r R r
RB CASB CAL
Bv
Coordenadas esféricas
2
sen
sen sen sen
A A A Ar
22 A A A
AB A2 2 2 2
C C 1 C 1 Cv v v
t r r r
1 C 1 C 1 CD r R
r r r r r
H
2) Preguntas
I) Obtener el modelo que describe la concentración de A en el seno de
M, cuando la partícula de M esta sumergida en L; la partícula esta
quieta, y L esta perfectamente mezclado; M contiene dos materiales,
pero solamente uno, A, es soluble en L; y en M predomina el
transporte de A por difusión.
II) Considerando que la burbuja se mueve con una velocidad constante
vB; que los gases que la constituyen están perfectamente mezclados, y
que la cantidad de A que se transporta de G a L es tan pequeña que la
concentración de A en L es prácticamente constante; obtener el
modelo que describe la concentración de A en G en función del
tiempo de desplazamiento de la burbuja en L.
3) Solución
4) Modelo (restricciones): I) En la partícula esférica
4.2) Estado no-estacionario A
dC 0
dt
4.4) No hay reacción química: AR O
4.3) No hay transporte por convección: v O
4.6) Simetría respecto a y ; 0 0
4.1) Isotérmico: sólo balance de masa...
2
sen
sen sen sen
A A A Ar
22 A A A
AB A I2 2 2 2
C C 1 C 1 Cv v v
t r r r
1 C 1 C 1 CD r R R
r r r r r
4.5) Si hay transporte interfase IR O
0A L ASG ALN k C C
El flux de A desde la superficie de la partícula esférica hasta el seno del
líquido se puede modelar mediante una expresión del tipo ley de
enfriamiento de Newton:
0I B A B L ASG ALR S N S k C C
Y, de acuerdo con las restricciones asumidas, el modelo que describe el
transporte de A en el interior de la partícula esférica (que tiene una
superficie constante SB)esta constituido por las ecuaciones siguientes:
2A AAB I2
C C1D r R
t r rr
@ y A ASG BC C r R t 0
@ y AC0 r 0 t 0
t
@ 0 < < y A A0 BC C r R t 0
3) Solución
4) Modelo (restricciones): I) En el líquido
4.2) Estado no-estacionario A
dC 0
dt
4.3) No hay transporte por convección: ... ni entrada ni salida de líquidov O
4.6) Mezclado perfecto ; ; 0 0 0r
4.1) Isotérmico: sólo balance de masa...
2
sen
sen sen sen
A A A Ar
22 A A A
AB A I2 2 2 2
C C 1 C 1 Cv v v
t r r r
1 C 1 C 1 CD r R R
r r r r r
4.4) No hay reacción química: AR O
4.5) Si hay transporte interfase IR O
Y, de acuerdo con las restricciones asumidas, el modelo que describe el
transporte de A en el líquido esta constituido por las ecuaciones
siguientes:
+ AI
CR
t
0I B A B L ASG ALR S N S k C C
Los modelos de transporte de A en la burbuja y el líquido están
acoplados a través del transporte en la interfase.
II) Considerando que la partícula esférica es una burbuja que se
mueve con una velocidad constante vB; que los gases de la burbuja
están perfectamente mezclados; y que la cantidad de A que se
transporta de G a L es tan pequeña que la concentración de A en L
es prácticamente constante; obtener el modelo que describe la
concentración de A en G en función del tiempo de desplazamiento
de la burbuja en L.
3) Solución
4) Modelo II (restricciones):
Asumiendo que el transporte de A entre el L y G es más rápido que el
transporte de la burbuja a través del líquido.
4.2) Estado no-estacionario A
dC 0
dt
4.1) Isotérmico: sólo balance de masa...
4.3 y 4.4) No hay reacción química: ; si hay transporte interfase A IR O R O
4.5) Mezclado perfecto ; ; 0 0 0r
2
sen
sen sen sen
A A A Ar
22 A A A
AB A I2 2 2 2
C C 1 C 1 Cv v v
t r r r
1 C 1 C 1 CD r R R
r r r r r
Por otro lado, el tiempo t en el cual ocurre el proceso de transporte de A
en la burbuja, esta relacionado con el tiempo de residencia de la burbuja
en el líquido; como la burbuja viaja a velocidad constante vB, se tiene la
siguiente relación:
B
zt
v
0A L ASG ALN k C C
Como el flux de A desde la superficie de la burbuja hasta el seno del
líquido se puede modelar mediante una expresión del tipo ley de
enfriamiento de Newton:
0I B A B L A ALR S N S k C C
Y, de acuerdo con las restricciones asumidas, el modelo que describe el
transporte de A del centro a la superficie de la burbuja esta constituido
por las ecuaciones siguientes:
AB I
dCv R
d
@ A A0C C 0
¿Cómo sería el modelo si la concentración de A en la fase L no se
considerase constante?
Como: ... con: @ 0B LAA AL A A0
B
S kdCC C C C 0
d v
A
0
A0
C
B LA
A AL BC 0
S kdCd
C C v
0B L
A AL A0 AL
B
S kC C C C exp
v
0
0
B L
A A0 B L AL
B
S kC C exp S k 1 C
v
Cuando: 0 0B L B L
A A0 AL A A0
B B
S k S k0 C C exp 1 exp C C C
v v
Cuando: 0 0B L B L
A A0 AL A AL
B B
S k S kC C exp 1 exp C C C
v v
Ejemplo Difusión con reacción química homogénea (BSL 18-4)
Este ejercicio consiste en considerar que se tiene una película
estacionaria (espesor L… interfase), en cuyo seno una especie A se
transporta por difusión, y se transforma irreversiblemente en un
producto B con una rapidez de reacción que es de primer orden respecto
a la concentración molar de A (CA); la interfase esta soportada en la
superficie del sólido, pero A no reacciona en dicha superficie.
Suponiendo que el sistema se encuentra en condiciones isotérmicas y
en estado estacionario, y que la concentración molar de A en el fluido
que fluye (bulk) encima del sólido se mantiene constante (CA= CA0), se
quiere obtener las expresiones de:
1) El perfil de la composición que tiene la película estacionaria, en
términos de la fracción molar de A (XA);
2) El flux de A, también en términos de XA.
Plawsky, Figura 2.12a. Sistema coordenado: cartesiano
2 2 2
A A A A A A Ax y z AB A2 2 2
C C C C C C Cv v v D R
t x y z x y z
Esquema (BSL, Fig. 18.4-1)
Sistema coordenado: cartesiano
2 2 2
A A A A A A Ax y z AB A2 2 2
C C C C C C Cv v v D R
t x y z x y z
Modelo (restricciones)
1) Edo est: d
0dt
2) Transporte unidireccional: z
5) Condición límite: A A0C C @ z 0
3) Transporte por difusión únicamente: v 0
4) Reacción irreversible, de primer orden: Ar kC
De acuerdo con las restricciones del caso, el balance de masa en la
pastilla queda: 2 2 2
A A A A A A Ax y z AB A2 2 2
C C C C C C Cv v v D R
t x y z x y z
2
AAB A2
d CD kC
dz
Con las condiciones límite siguientes:
en ; en en AA A0 A finito
dCC C z 0 C C z L 0 z L
dz
Como: 2
AA2
d CD kC
dz
Considerando los términos adimensionales siguientes:
; AA A0
A0
C zf C C f Y z LY
C L
2
A0A02 2
DC d fkC f
L dY
Con las condiciones límite: en ; en df
f 1 Y 0 0 Y 1dY
en ; en AA A0
dCC C z 0 0 z L
dz
Utilizando el módulo de Thiele: 2
2 L k
D
2
2
2
d ff
dY
Como: 2
2
2
d ff
dY
La solución es de la forma: 1 2f C cosh Y C senh Y
en df
0 Y 1dY
Aplicando la condición a la frontera: en f 1 Y 0
1 21 C cosh 0 C senh 0 como: y senh 0 0 cosh 0 1
2f cosh Y C senh Y 1C 1
como: 2
dfsen h Y C cos h Y
dY
20 senh C cosh
2
senhC
cos h
senhf cosh Y senh Y
cos h
La otra constante C2 se determina utilizando la otra condición límite:
como:
sen hf cosh Y senh Y
cos h
cos h cosh Y senh senh Yf
cos h
cos h 1 Yf
cos h
como: ; cos h cos h cos h Y cos h Y
cos h cosh Y sen h senh Yf
cos h
como: cos h cosh Y senh senh Y cos h Y
A A0
cos h 1 z LC C
cos h
como: ; A
A0
C zf Y
C L
con: 2
2 L k
D
como: A A0
cos h 1 z LC C
cos h
además: y ; asumiendo que sea constanteA A A0 A0C Cx C Cx C
A A0
cos h 1 z Lx x
cos h
Debido a que el transporte de A es únicamente por difusión, la expresión
del flux se obtiene con:
= A AA AM AMz
z z
dC dxN D D C
dz dz
A0A
A0
cos h 1 z L xdx dx senh 1 z L
dz dz cos h cos h L
AM A0A
A AM AM A0z 00
senh D CdxN D C D Cx tanh
dz L cos h L
A A0
cos h 1 z LC C
cos h
A A0
cos h 1 z Lx x
cos h
AM A0A z 0
D CN tanh
L
Las expresiones de los perfiles de la concentración CA y fracción molar
xA, y del flux molar NA del componente de interés A son las siguientes:
Transferencia de Masa
Fin de 2013-02-26 9ª