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Transferencia de Masa Clave 2013-02-26 9ª

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Transferencia de Masa

Clave

2013-02-26 9ª

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2013-02-26

Temas a tratar:

Sistemas diferenciales

Transporte por difusión, película estacionaria y coeficiente global de

transporte de masa kLo;

Transporte de una esfera al seno de un líquido (dos casos);

Transporte por difusión con reacción química.

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Teoría de la película

Antecedentes: modelo de enfriamiento de Newton, aplicado a describir

el transporte de calor entre paredes compuestas, tales como el

intercambio de calor en cambiadores de calor:

C fq Ua T T

Considere el caso de dos fluidos que son parcialmente inmiscibles

entre sí; uno de ellos (el de la izquierda) tiene un componente A que

esta disuelto en él, pero que es soluble en el otro fluido.

... (1)0 1A L Ao AN k C C

CAo

x =0

CA1

x =δ

fTCT

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Teoría de la película

Considere la transferencia del componente A en el sistema antes descrito,

considerando las siguientes condiciones (restricciones):

1) Estado estacionario: d

0dt

2) Isotérmico... solo el balance de masa

3) No hay transporte por convección: v 0

4) No hay reacción: AR 0

5) Transporte unidireccional, en x

CAo

x =0

CA1

x =δ

Considando el balance de masa coordenadas reactangulares (Tabla 18.2-

2, BSL), y aplicando las restricciones antes mencionadas se tiene:

CA

t v

x

CA

x v

y

CA

y v

z

CA

z

D

AB

2CA

x22C

A

y22C

A

z2

R

A

DAB

d 2CA

dx2

0 ... con: C

A C

Ao @ x 0 y: C

A C

A1 @ x

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Como: DAB

d 2CA

dx2

0 ... con: C

A C

Ao @ x 0 y: C

A C

A1 @ x

Resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene el perfil A(x):

A Ao A1 Ao

xC C C C

Aplicando la definición de flux al perfil CA(x) se puede obtener el flux

de A que pasa de una fase a la otra:

NA D

AB

dCA

dx

Comparando las ecuaciones (1) y (2) se demuestra que, de acuerdo con

el modelo de la película estancada, el coeficiente global de

transferencia de masa kLo tiene un carácter de coeficiente de difusión

N

A D

AB

C1C

0

... (2)

Como: ... (1)0 1A L Ao AN k C C

k

L0

D

AB

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Esfera en un líquido

Considere la transferencia de un componente A que se encuentra en una

esfera; la esfera esta sumergida en el seno de un líquido; éste tiene la

capacidad de disolver al componente A. El transporte de A desde la

superficie de la esfera hasta el seno del líquido se puede modelar

mediante una expresión del tipo ley de enfriamiento de Newton:

En esta ecuación, NA es el flux de A; kLo es el coeficiente global de

transporte de masa en el líquido; CASG y CAL son la concentración de A en

el umbral esfera/líquido (superficie de la esfera y en el líquido,

respectivamente).

Se requiere plantear el modelo que describe el transporte de A de una

fase hacia la otra para los dos casos que se describen enseguida.

0A L ASG ALN k C C

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1) Un partícula esférica de material M esta sumergida en una columna

de líquido L; la partícula esférica no se mueve; L esta perfectamente

mezclado; M contiene dos materiales, pero solamente uno, A, es

soluble en L; en M predomina el transporte de A por difusión. Se

requiere obtener el modelo que describa la concentración de A en M.

2) Ahora se trata de un sistema gas G y líquido L; la partícula esférica

es una burbuja de G se mueve con una velocidad constante vB, y los

gases que la constituyen están perfectamente mezclados. En este

caso, se requiere el modelo que describa la concentración de A en G

en función del tiempo de desplazamiento de la burbuja en la columna

de L.

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1. Esquema

@ en el lado de la esferaA ASB BC C r R

@ en el lado del líquidoA AL BC C r R r

RB CASB CAL

Bv

Coordenadas esféricas

2

sen

sen sen sen

A A A Ar

22 A A A

AB A2 2 2 2

C C 1 C 1 Cv v v

t r r r

1 C 1 C 1 CD r R

r r r r r

H

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2) Preguntas

I) Obtener el modelo que describe la concentración de A en el seno de

M, cuando la partícula de M esta sumergida en L; la partícula esta

quieta, y L esta perfectamente mezclado; M contiene dos materiales,

pero solamente uno, A, es soluble en L; y en M predomina el

transporte de A por difusión.

II) Considerando que la burbuja se mueve con una velocidad constante

vB; que los gases que la constituyen están perfectamente mezclados, y

que la cantidad de A que se transporta de G a L es tan pequeña que la

concentración de A en L es prácticamente constante; obtener el

modelo que describe la concentración de A en G en función del

tiempo de desplazamiento de la burbuja en L.

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3) Solución

4) Modelo (restricciones): I) En la partícula esférica

4.2) Estado no-estacionario A

dC 0

dt

4.4) No hay reacción química: AR O

4.3) No hay transporte por convección: v O

4.6) Simetría respecto a y ; 0 0

4.1) Isotérmico: sólo balance de masa...

2

sen

sen sen sen

A A A Ar

22 A A A

AB A I2 2 2 2

C C 1 C 1 Cv v v

t r r r

1 C 1 C 1 CD r R R

r r r r r

4.5) Si hay transporte interfase IR O

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0A L ASG ALN k C C

El flux de A desde la superficie de la partícula esférica hasta el seno del

líquido se puede modelar mediante una expresión del tipo ley de

enfriamiento de Newton:

0I B A B L ASG ALR S N S k C C

Y, de acuerdo con las restricciones asumidas, el modelo que describe el

transporte de A en el interior de la partícula esférica (que tiene una

superficie constante SB)esta constituido por las ecuaciones siguientes:

2A AAB I2

C C1D r R

t r rr

@ y A ASG BC C r R t 0

@ y AC0 r 0 t 0

t

@ 0 < < y A A0 BC C r R t 0

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3) Solución

4) Modelo (restricciones): I) En el líquido

4.2) Estado no-estacionario A

dC 0

dt

4.3) No hay transporte por convección: ... ni entrada ni salida de líquidov O

4.6) Mezclado perfecto ; ; 0 0 0r

4.1) Isotérmico: sólo balance de masa...

2

sen

sen sen sen

A A A Ar

22 A A A

AB A I2 2 2 2

C C 1 C 1 Cv v v

t r r r

1 C 1 C 1 CD r R R

r r r r r

4.4) No hay reacción química: AR O

4.5) Si hay transporte interfase IR O

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Y, de acuerdo con las restricciones asumidas, el modelo que describe el

transporte de A en el líquido esta constituido por las ecuaciones

siguientes:

+ AI

CR

t

0I B A B L ASG ALR S N S k C C

Los modelos de transporte de A en la burbuja y el líquido están

acoplados a través del transporte en la interfase.

II) Considerando que la partícula esférica es una burbuja que se

mueve con una velocidad constante vB; que los gases de la burbuja

están perfectamente mezclados; y que la cantidad de A que se

transporta de G a L es tan pequeña que la concentración de A en L

es prácticamente constante; obtener el modelo que describe la

concentración de A en G en función del tiempo de desplazamiento

de la burbuja en L.

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3) Solución

4) Modelo II (restricciones):

Asumiendo que el transporte de A entre el L y G es más rápido que el

transporte de la burbuja a través del líquido.

4.2) Estado no-estacionario A

dC 0

dt

4.1) Isotérmico: sólo balance de masa...

4.3 y 4.4) No hay reacción química: ; si hay transporte interfase A IR O R O

4.5) Mezclado perfecto ; ; 0 0 0r

2

sen

sen sen sen

A A A Ar

22 A A A

AB A I2 2 2 2

C C 1 C 1 Cv v v

t r r r

1 C 1 C 1 CD r R R

r r r r r

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Por otro lado, el tiempo t en el cual ocurre el proceso de transporte de A

en la burbuja, esta relacionado con el tiempo de residencia de la burbuja

en el líquido; como la burbuja viaja a velocidad constante vB, se tiene la

siguiente relación:

B

zt

v

0A L ASG ALN k C C

Como el flux de A desde la superficie de la burbuja hasta el seno del

líquido se puede modelar mediante una expresión del tipo ley de

enfriamiento de Newton:

0I B A B L A ALR S N S k C C

Y, de acuerdo con las restricciones asumidas, el modelo que describe el

transporte de A del centro a la superficie de la burbuja esta constituido

por las ecuaciones siguientes:

AB I

dCv R

d

@ A A0C C 0

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¿Cómo sería el modelo si la concentración de A en la fase L no se

considerase constante?

Como: ... con: @ 0B LAA AL A A0

B

S kdCC C C C 0

d v

A

0

A0

C

B LA

A AL BC 0

S kdCd

C C v

0B L

A AL A0 AL

B

S kC C C C exp

v

0

0

B L

A A0 B L AL

B

S kC C exp S k 1 C

v

Cuando: 0 0B L B L

A A0 AL A A0

B B

S k S k0 C C exp 1 exp C C C

v v

Cuando: 0 0B L B L

A A0 AL A AL

B B

S k S kC C exp 1 exp C C C

v v

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Ejemplo Difusión con reacción química homogénea (BSL 18-4)

Este ejercicio consiste en considerar que se tiene una película

estacionaria (espesor L… interfase), en cuyo seno una especie A se

transporta por difusión, y se transforma irreversiblemente en un

producto B con una rapidez de reacción que es de primer orden respecto

a la concentración molar de A (CA); la interfase esta soportada en la

superficie del sólido, pero A no reacciona en dicha superficie.

Suponiendo que el sistema se encuentra en condiciones isotérmicas y

en estado estacionario, y que la concentración molar de A en el fluido

que fluye (bulk) encima del sólido se mantiene constante (CA= CA0), se

quiere obtener las expresiones de:

1) El perfil de la composición que tiene la película estacionaria, en

términos de la fracción molar de A (XA);

2) El flux de A, también en términos de XA.

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Plawsky, Figura 2.12a. Sistema coordenado: cartesiano

2 2 2

A A A A A A Ax y z AB A2 2 2

C C C C C C Cv v v D R

t x y z x y z

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Esquema (BSL, Fig. 18.4-1)

Sistema coordenado: cartesiano

2 2 2

A A A A A A Ax y z AB A2 2 2

C C C C C C Cv v v D R

t x y z x y z

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Modelo (restricciones)

1) Edo est: d

0dt

2) Transporte unidireccional: z

5) Condición límite: A A0C C @ z 0

3) Transporte por difusión únicamente: v 0

4) Reacción irreversible, de primer orden: Ar kC

De acuerdo con las restricciones del caso, el balance de masa en la

pastilla queda: 2 2 2

A A A A A A Ax y z AB A2 2 2

C C C C C C Cv v v D R

t x y z x y z

2

AAB A2

d CD kC

dz

Con las condiciones límite siguientes:

en ; en en AA A0 A finito

dCC C z 0 C C z L 0 z L

dz

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Como: 2

AA2

d CD kC

dz

Considerando los términos adimensionales siguientes:

; AA A0

A0

C zf C C f Y z LY

C L

2

A0A02 2

DC d fkC f

L dY

Con las condiciones límite: en ; en df

f 1 Y 0 0 Y 1dY

en ; en AA A0

dCC C z 0 0 z L

dz

Utilizando el módulo de Thiele: 2

2 L k

D

2

2

2

d ff

dY

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Como: 2

2

2

d ff

dY

La solución es de la forma: 1 2f C cosh Y C senh Y

en df

0 Y 1dY

Aplicando la condición a la frontera: en f 1 Y 0

1 21 C cosh 0 C senh 0 como: y senh 0 0 cosh 0 1

2f cosh Y C senh Y 1C 1

como: 2

dfsen h Y C cos h Y

dY

20 senh C cosh

2

senhC

cos h

senhf cosh Y senh Y

cos h

La otra constante C2 se determina utilizando la otra condición límite:

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como:

sen hf cosh Y senh Y

cos h

cos h cosh Y senh senh Yf

cos h

cos h 1 Yf

cos h

como: ; cos h cos h cos h Y cos h Y

cos h cosh Y sen h senh Yf

cos h

como: cos h cosh Y senh senh Y cos h Y

A A0

cos h 1 z LC C

cos h

como: ; A

A0

C zf Y

C L

con: 2

2 L k

D

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como: A A0

cos h 1 z LC C

cos h

además: y ; asumiendo que sea constanteA A A0 A0C Cx C Cx C

A A0

cos h 1 z Lx x

cos h

Debido a que el transporte de A es únicamente por difusión, la expresión

del flux se obtiene con:

= A AA AM AMz

z z

dC dxN D D C

dz dz

A0A

A0

cos h 1 z L xdx dx senh 1 z L

dz dz cos h cos h L

AM A0A

A AM AM A0z 00

senh D CdxN D C D Cx tanh

dz L cos h L

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A A0

cos h 1 z LC C

cos h

A A0

cos h 1 z Lx x

cos h

AM A0A z 0

D CN tanh

L

Las expresiones de los perfiles de la concentración CA y fracción molar

xA, y del flux molar NA del componente de interés A son las siguientes:

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Transferencia de Masa

Fin de 2013-02-26 9ª