República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Instituto Universitario “Santiago Mariño”

Barinas. Estado. Barinas

MÉTODO DE BISECCIÓN.

Bachiller:

Maryury Parra

C.I: 24.114.76

Sección: S-6

Profesor:

Barinas, Abril del 2015

Introducción

La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos

matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del

fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática aplicada es la rama de las

matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los

problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible

aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones:

No se adecúan al modelo concreto.

Su aplicación resulta excesivamente compleja.

La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier

interpretación posterior.

Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar

soluciones al problema.

En estos casos son útiles las técnicas numéricas como es el método de bisección,

que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones

aproximadas que son siempre numéricos. El importante esfuerzo de cálculo que

implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al

empleo de computadores.

Método de Bisección.

También se le conoce este método como intervalo medio y consiste básicamente en tener en todo momento dos aproximaciones para X tales, que las funciones f(x) evaluadas para que esas X resulten de signos cambiados, es decir una positiva y una negativa. Esto nos da la certeza de que el método convergerá, pues en algún punto intermedio de las aproximaciones la función f(X) será necesariamente 0, la cual constituirá la solución de la ecuación. El método toma su nombre de hecho de que cada nueva aproximación quedara en el punto intermedio de las dos anteriores.

Este método aunque es seguro para lograr la convergencia, es lento, pues requiere de muchas iteraciones para llegar a la solución, mayor números de ellas entre más grande sea el intervalo inicial, pues a medida que se avanza en cada iteración e intervalo se va reduciendo a la mitad del anterior.

La secuencia de pasos será la siguiente:

Por ejemplo, suponga que f tiene un cero en el intervalo [a, b].

Primero se calcula el punto medio del intervalo; después se averigua sí f(a)f(c)<0. Si lo es, entonces f tiene un cero en [a, c].

A continuación se renombra a c como b y se comienza una vez más con el nuevo intervalo [a,b], cuya longitud es igual a la mitad del intervalo original.

Si f(a)f(c)>0 , entonces f(c)f(b)<0 y en este caso se renombra a c como a.

En ambos casos se ha generado un nuevo intervalo que contiene un cero de f, y el proceso puede repetirse.

Ejemplo.

La función f(x) = xsenx – 1 tiene un cero en el intervalo [0,2], porque f(0) = -1 yf(2)=0.818595.

Si se denota con entonces c1 = 1. Ahoraf(c1) = f(1) = -0.158529, luego la función tiene un cero en el intervalo [c1, b1] = [1,2] ; se renombra a2=c1 y b2=b1 .

El nuevo punto medio es   y f(c2) = f(1.5) = 0.496242, el cero esta en el intervalo [a2, c2] y se renombra como [a3,b3].

En la tabla de abajo se muestran las primeras nueve iteraciones del método de bisección para f(x)= xsenx –1 con a=0 b=2.

int Extremo izquierdoan

Extremo derecho bn

Punto medio cn

Valor de la función f(cn)

Error

Relativo 1 0 2 1 -0.1585292 1 2 1.5 0.496242 0.3333333 1 1.5 1.25 0.186231 0.24 1 1.25 1.125 0.015051 0.1111115 1 1.125 1.0625 -0.071827 0.05882356 1.0625 1.125 1.09375 -0.028362 0.02857147 1.09375 1.125 1.109375 -0.006643 0.01408458 1.1093750 1.125 1.1171875 0.004208 0.00699309 1.1093750 1.1171875 1.11328125 -0.001216 0.0035087

(c = 1.114157141 es el cero de f(x) = xsenx - 1)

Para detener el método de bisección y dar una aproximación del cero de una

función se pueden usar varios criterios (llamados criterios de parada).

Uno de los criterios de parada consiste en examinar si |f(cn)| <  , donde   es una

tolerancia previamente establecida (por ejemplo   = 10-3). Otro criterio que puede

utilizarse es examinar sí 

También se puede usar como criterio de parada el error relativo entre

dos aproximaciones del cero de f , 

En el ejemplo anterior si   =0.005, el procedimiento se pararía en la

octava iteración con el criterio |f(cn)|<   , ya que: 

         |f(c8)| = |f(1.1171875)| = 0.004208 <   = 0.005,

pero si se usa el criterio   , el procedimiento se detendría en la novena

iteración porque:

Cuando se generan aproximaciones por medio de una computadora, se recomienda

fijar un número máximo de iteraciones N que debería realizar la máquina. Esto con el

fin de contar con un resguardo para evitar la posibilidad de que el proceso de cálculo

caiga en un ciclo infinito cuando la sucesión diverge (o cuando el programa no esta

codificado correctamente). Un algoritmo para el método de bisección es:

Teorema. (Error en el método de bisección).

Si f es continua en [a, b] y f(a) f(b) < 0, el método de bisección

genera una sucesión   que aproxima un cero c de f con la

propiedad que:  , n  1 (Prueba)

Ejemplo.

Para determinar el número de iteraciones necesarias para aproximar el cero

def(x) = xsen x - 1 con una exactitud de 10-2en el intervalo [0,2], se debe hallar un

número n tal que:

 < 10-2, es decir  , n > 7.643...

Se necesitan aproximadamente unas 8 iteraciones.

Observe en la tabla de aproximaciones que el cero de f(x) = xsen x - 1

esc=1.114157141 y c8=1.1171875.

El error real es   = 0.003030359   3x10-3. 

El error real es menor que el error dado por el teorema; en la mayoría de casos la cota

de error dada por el teorema es mayor que el número de iteraciones que realmente se

necesitan. Para este ejemplo,  = 0.004782141<10-2 = 0.01

Notas:

El método de bisección tiene la desventaja que es lento en cuanto a

convergencia (es decir que se necesita un n grande para que sea

pequeño). Otros métodos requieren menos iteraciones para alcanzar la misma

exactitud, pero entonces no siempre se conoce una cota para la precisión.

El método de bisección suele recomendarse para encontrar un valor

aproximado del cero de una función, y luego este valor se refina por medio de

métodos más eficaces. La razón es porque la mayoría de los otros métodos

para encontrar ceros de funciones requieren un valor inicial cerca de un cero;

al carecer de dicho valor, pueden fallar por completo.

Resolver una ecuación en una variable como por ejemplo: xex=1 es

equivalente a resolver la ecuación xex-1=0 , o a encontrar el cero de la función

f(x) = xex-1. Para aproximar el cero de f o la raíz de la ecuación se puede

hacer la gráfica de f en una calculadora o usar matlab para determinar un

intervalo donde f tenga un cero. También se pueden ensayar números a y b de

tal manera que f(a)f(b)<0. Para el caso de f(x) = xex-1 por ejemplo f(0) = -1,

f(1) = e-1 1.71828 entonces f tiene un cero en el intervalo [0,1].

Cuando hay raíces múltiples, el método de bisección quizá no sea válido, ya

que la función podría no cambiar de signo en puntos situados a cualquier lado

de sus raíces. Una gráfica es fundamental para aclarar la situación. En este

caso sería posible hallar los ceros o raíces trabajando con la derivada f’(x),

que es cero en una raíz múltiple.

Teorema de Bolzano

En análisis matemático el teorema del valor intermedio (o más correctamente

teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre funciones continuas

reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una

función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios

comprendidos entre los extremos del intervalo.

Conclusión

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver

ecuaciones en una variable, también es conocido como Método de Intervalo Medio.

Se basó en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función

continua f en un intervalo cerrado [a, b] toma todos los valores que se hallan entre

f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor

en el intervalo [a, b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero

sería un valor intermedio entre f(j) y f(e), por lo que con certeza existe un p en [a, b]

que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución

de la ecuación f(x)=0.