trabajo programacion lineal

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS

MARIATEGUI

FACULTAD DE CIENCIAS JURÍDICAS

EMPRESARIALES Y PEDAGÓGICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMIA

PROGRAMACION LINIAL

DOCENTE: FLORES MANCHEGO JULIAN MANUEL

ALUMNO: LUIS MIGUEL FERNANDEZ ESTEBA

MOQUEGUA – PERU

2016

INDICE

INTRODUCCION………………………………………………………………………1

DEFINICION……………………………………………………………………………1

TIPOS……………………………………………………………………………………3

CARACTERISTICAS………………………………………..…………………………3

VENTAJAS…………………………………………………………………………..…4

DESVENTAJAS………………………………………………………………………..4

EJERCICIOS……………………………………………………………………………5

1

PROGRAMACION LINIAL UJCM

1. DEFINICION.

Método para resolver problemas de máximo o mínimo condicionados en los que la

función objetivo o función de rendimiento (a maximizar o minimizar) y las ecuaciones de

condición o restricciones son todas ellas lineales, y en los que las variables que

intervienen en los mismos no pueden tomar valores negativos.

La programación lineal u optimización lineal, es un método matemático para determinar

la forma de lograr el mejor resultado (por ejemplo, el máximo beneficio o el costo más

bajo) de un modelo matemático dado por alguna lista de requisitos representados por

relaciones lineales.

En economía y finanzas, es una técnica matemática utilizada en modelos informáticos

(simulación) para encontrar la mejor solución posible en la asignación de recursos

limitados (energía, máquinas, materiales, dinero, personal, espacio, tiempo, etc) para

lograr el máximo beneficio o costo mínimo. Sin embargo, es aplicable únicamente cuando

todas las relaciones son lineales, y puede acomodar solamente una clase limitada de

funciones de costes.

1.1.OPTIMIZACION

La humanidad hace tiempo que busca, o profesa buscar, mejores maneras de realizar las

tareas cotidianas de la vida. A lo largo de la historia de la humanidad, se puede observar

la larga búsqueda de fuentes más efectivas de alimentos al comienzo y luego de

materiales, energía y manejo del entorno físico. Sin embargo, relativamente tarde en la

historia de la humanidad, comenzaron a formularse ciertas clases de preguntas generales

de manera cuantitativa, primero en palabras y después en notaciones simbólicas. Un

aspecto predominante de estas preguntas generales era la búsqueda de lo "mejor" o lo

"óptimo". Generalmente, los gerentes buscan simplemente lograr alguna mejora en el

nivel de rendimiento, es decir, un problema de "búsqueda de objetivo". Cabe destacar que

estas palabras normalmente no tienen un significado preciso

Se han realizado grandes esfuerzos por describir complejas situaciones humanas y

sociales. Para tener significado, esto debería escribirse en una expresión matemática que

contenga una o más variables, cuyos valores deben determinarse. La pregunta que se

formula, en términos generales, es qué valores deberían tener estas variables para que la

expresión matemática tenga el mayor valor numérico posible (maximización) o el menor

2


valor numérico posible (minimización). A este proceso general de maximización o

minimización se lo denomina optimización.

Para comprender lo que es la Programación Lineal es importante entender los siguientes

conceptos básicos:

a. Variables de Decisión: Con las variables de decisión nos referimos al

conjunto de variables cuya magnitud deseamos determinar resolviendo el

modelo de programación lineal.

b. Restricciones: Están constituidas por el conjunto de desigualdades que

limitan los valores que puedan tomar las variables de decisión en la

solución.

c. Función Objetivo: Es la función matemática que relaciona las variables

de decisión.

d. Linealidad: Se refiere a que las relaciones entre las variables, tanto en la

función objetivo como en las restricciones deben ser lineales.

e. Desigualdades: Las desigualdades utilizadas para representar las

restricciones deben ser cerradas o flexibles, es decir, menor - igual (<=) o

mayor – igual (>=). No se permiten desigualdades de los tipos menor-

estrictamente o mayor – estrictamente, o abiertas.

f. Condición de no – negatividad: En la programación lineal las variables

de decisión sólo pueden tomar valores de cero a positivos. No se permiten

valores negativos.

3


2. TIPOS.

2.1. MODELOS DE PL.

El Modelo de Programación Lineal, es una representación simbólica de la realidad que se

estudia, o del problema que se va a solucionar. Se forma con expresiones de lógicas

matemáticas, conteniendo términos que significan contribuciones: a la utilidad (con

máximo) o al costo (con mínimo) en la Función Objetivo del modelo. Y al consumo de

recursos disponibles (con desigualdades = ó = e igualdades =) en las restricciones.

METODO SIMPLEX.

El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación

lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método

gráfico sin restricción en el número de variables. mejorando la solución en cada paso.

METODO GRAFICO

El método gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal

muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero

muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este

consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible

el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región

factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la

mejor respuesta (solución óptima).

3. CARACTERISTICAS.

Proporcionalidad: las variables y la función objetivo deben ser lineales.

Aditividad: Es necesario que cada variable sea aditiva respecto a la variable

objetivo.

Divisibilidad: las soluciones no deben ser necesariamente números enteros.

4


Optimalidad: La solución óptima (máximo o mínimo) debe ocurrir en uno de los

vértices del conjunto de soluciones factibles.

Se busca una combinación de recursos.

Se busca satisfacer varios criterios.

Se identifica un criterio como el objetivo.

4. VENTAJAS.

Es relativamente simple y directo

Permite comparar un alto rango de soluciones alternativas y analizar sus

consecuencias requiriendo para ello pococ tiempo gerencial.

Indica al administrador como emplear mas eficazmente sus factores

seleccionándolos y distribuyéndolos adecuadamente.

Hace que el administrador sea mas objetivo en sus decisiones al obtener todos

los datos que puedan ser útiles para la formulación matemática del problema

5. DESVENTAJAS.

Cada instrucción se ejecuta hasta que la anterior se haya realizado.

Dificulta la comprensión de la lectura

No hay garantía de que dé soluciones enteras.

No necesariamente al redondear se llega a la solución óptima.

Para esto es necesario emplear la programación entera.

En algunos casos las soluciones podrían ser deficientes.

Tal es el caso de las decisiones donde las variables deben tomar un valor como 0

o 1, como las decisiones de “si” o “no”.

No permite la incertidumbre.

Es un modelo determinístico y no probabilista.

Asume que se conocen todos los coeficientes de las ecuaciones.

Existe también la programación lineal bajo incertidumbre.

Tanto la función objetivo como las restricciones están limitadas a ser lineales

Existen técnicas más avanzadas de programación no lineal

5


EJERCICIOS

E.1. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación

se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el

L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo

manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio

por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción

para obtener el máximo beneficio.

SOLUCION

1 Elección de las incógnitas.

x = nº de lámparas L1

y = nº de lámparas L2

2 Función objetivo

f(x, y) = 15x + 10y

3 Restricciones

Pasamos los tiempos a horas

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

L1 L2 Tiempo

Manual 1/3 1/2 100

Máquina 1/3 1/6 80

1/3x + 1/2y ≤ 100

6


1/3x + 1/6y ≤ 80

Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un

punto del plano, por ejemplo el (0,0).

1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100

1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema

de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

7


5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las

soluciones a los sistemas:

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0)

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)

6 Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €

f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €

f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € Máximo

8


La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un

beneficio de 3 750 €.

E.2. Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos

almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta,

empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1

carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los

precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene

poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

SOLUCION


x = P1

y = P2

2 Función objetivo

f(x, y) = 6.5x + 7y

3 Restricciones

P1 P2 Disponibles

Cuadernos 2 3 600

Carpetas 1 1 500

Bolígrafos 2 1 400

2x + 3y ≤ 600

x + y ≤ 500

2x + y ≤ 400

x ≥ 0

9


y ≥ 0




f(x,y) = 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 €

f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €

10


f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 € Máximo

La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675 €.

E.3. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima

de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se

encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A

y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El

precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar

de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?


x = X

y = Y

2 Función objetivo

f(x,y) = 10x + 30y

3 Restricciones

X Y Mínimo

A 1 5 15

B 5 1 15

x + 5y ≥ 15

5x + y ≥ 15

x ≥ 0

y ≥ 0

11





f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450

12


f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150

f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100 Mínimo

El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.

E.4. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y

pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas

grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande

proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar

de cada clase para que el beneficio sea máximo?

SOLUCION


x = Pastillas grandes

y = Pastillas pequeñas

2 Función objetivo

f(x, y) = 2x + y

3 Restricciones

40x + 30y ≤ 600

x ≥ 3

y ≥ 2x

x ≥ 0

y ≥ 0

13





14


f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 €

f(x, y) = 2 · 3 + 6 = 12 €

f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 € Máximo

El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12

pequeñas.

E.5. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la

temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote

de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres

camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la

oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar

la ganancia?

SOLUCION


x = nº de lotes de A

y = nº de lotes de B

2 Función objetivo

f(x, y) = 30x + 50y

3 Restricciones

A B Mínimo

Camisas 1 3 200

Pantalones 1 1 100

x + 3y ≤ 200

x + y ≤ 100

15


x ≥ 20

y ≥ 10




16


f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €

f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €

f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 € Máximo

Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €.

E.6. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.

El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido

de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta

se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y

el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el

fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima?

SOLUCION


x = número de pantalones

y = número de chaquetas

2 Función objetivo

f(x,y)= 50x + 40y

3 Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

pantalones chaquetas disponible

algodón 1 1,5 750

poliéster 2 1 1000

x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500

17


2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos

restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0


Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x + 3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto

del plano, por ejemplo el (0,0).

2·0 + 3·0 ≤ 1 500

Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple

la desigualdad.

18


De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.

2·0 + 0 ≤ 1 00

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema

de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.


La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. estos son las

soluciones a los sistemas:

2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)

2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)

2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

19



En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 50x + 40y

f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20000 €

f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25000 €

f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28750 € Máximo

La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un

beneficio de 28750.

E.7. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio

refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual

cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de

3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El

coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones

de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

20


SOLUCION


x = camiones de tipo A

y = camiones de tipo B

2 Función objetivo

f(x,y) = 30x + 40y

3 Restricciones

A B Total

Refrigerado 20 30 3 000

No refrigerado 40 30 4 000

20x + 30y ≥ 3 000

40x + 30y ≥ 4 000

x ≥ 0

y ≥ 0


21




f(0, 400/3) = 30 · 0 + 40 · 400/3 = 5 333.332

f(150, 0) = 30 · 150 + 40 · 0 = 4 500

22


Como x e y han de ser números naturales redondeamos el valor de y.

f(50, 67) = 30 · 50 + 40 · 67 = 4180 Mínimo

El coste mínimo son 4 180 € para A = 50 yz B = 67.

E.8. La empresa el SAMÁN Ltda. Dedicada a la fabricación de muebles, ha ampliado su

producción en dos líneas más. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas y

bibliotecas. Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas cuadradas

de 4 pines. Cada silla requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas cuadradas de

4 pines, cada cama requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2

bases trapezoidales de 2 pines y finalmente cada biblioteca requiere de 2 piezas

rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales de 2 pines y 4 piezas rectangulares de 2

pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende en $ 30000, cada silla cuesta

producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada cama cuesta producirla $ 20000 y se vende

en $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende en $ 60000. El objetivo

de la fábrica es maximizar las utilidades.

23


Paso 1: Modelación Mediante Programación Lineal

Las variables:

X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades)

X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades)

X3 = Cantidad de camas a producir (unidades)

X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)

Las restricciones:

2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 <= 24

2X1 + 2X2 + 1X3 <= 20

2X3 + 2X4 <= 20

4X4 <= 16

La función Objetivo:

ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4

Paso 2: Convertir Las Inecuaciones En Ecuaciones

En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado que todas

las restricciones son "<=".

2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 24

2X1 + 2X2 + 1X3 + 0X4 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = 20

0X1 + 0X2 + 2X3 + 2X4 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = 20

24


0X1 + 0X2 + 0X3 + 4X4 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 1S4 = 16

De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las variables

de holgura las cuales solo tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso, por el ejemplo la

variable de holgura "S1" solo tiene coeficiente 1 en la restricción correspondiente a el

recurso 1.

La función objetivo no sufre variaciones:

ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4

Paso 3: Definir La Solución Básica Inicial

El Método Simplex parte de una solución básica inicial para realizar todas sus

iteraciones, esta solución básica inicial se forma con las variables de coeficiente diferente

de cero (0) en la matriz identidad.

1S1 = 24

1S2 = 20

1S3 = 20

1S4 = 16

Paso 4: Definir La Tabla Simplex Inicial

25


Solución: (segundo término)= En esta fila se consigna el segundo término de la solución,

es decir las variables, lo más adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal

cual como se escribieron en la definición de restricciones.

Cj = La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables de la

fila "solución" en la función objetivo.

Variable Solución = En esta columna se consigna la solución básica inicial, y a partir de

esta en cada iteración se van incluyendo las variables que formarán parte de la solución

final.

Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su derecha

"Variable solución" en la función objetivo.

Zj = En esta fila se consigna la contribución total, es decir la suma de los productos entre

término y Cb.

Cj - Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado es

un "Shadow price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de la

variable correspondiente que no forme parte de la solución.

Solución inicial:

26


Paso 5: Realizar Las Iteraciones Necesarias

Este es el paso definitivo en la resolución por medio del Método Simplex, consiste en

realizar intentos mientras el modelo va de un vértice del poliedro objetivo a otro.

El procedimiento a seguir es el siguiente:

1. Evaluar que variable entrará y cual saldrá de la solución óptima:

Maximizar Minimizar

Variable que

entra La más positiva de los Cj - Zj La más negativa de los Cj - Zj

Variable que

sale

Siendo b los valores bajo la celda

solución y a el valor

correspondiente a la intersección

entre b y la variable que entra. La

menos positiva de los b/a.

Siendo b los valores bajo la celda

solución y a el valor

correspondiente a la intersección

entre b y la variable que entra. La

más positiva de los b/a.

2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solución implica una

serie de cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarán a continuación.

- Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en este

caso el "a = 4".

27


- Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harán los

cálculos correspondientes en el resto de las celdas.

28


De esta manera se culmina la primera iteración, este paso se repetirá cuantas

veces sea necesario y solo se dará por terminado el método según los siguientes

criterios.

Maximizar Minimizar

Solución

Óptima

Cuando todos los Cj - Zj sean <=

0

Cuando todos los Cj - Zj sean >=

0

- Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos anteriores.

29


En esta última iteración podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj <= 0,

para ejercicios cuya función objetivo sea "Maximizar", por ende hemos llegado a la

respuesta óptima.

X1 = 3

X2 = 4

X3 = 6

X4 = 4

Con una utilidad de: $ 340000

30


Sin embargo una vez finalizado el Método Simplex se debe observar una matriz identidad

en el rectángulo determinado por las variables de decisión, el hecho de que en este caso

no se muestre la matriz identidad significa que existe una solución óptima alterna.

La manera de llegar a la otra solución consiste en alterar el orden en que cada una de las

variables entro a la solución básica, recordemos que el proceso fue decidido al azar debido

a la igualdad en el Cj - Zj del tabulado inicial. Aquí les presentamos una de las maneras

de llegar a la otra solución.

31


Podemos observar como existe una solución óptima alternativa en la cual la combinación

de variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado que el hecho de que

se encuentre la variable "S1" en la solución óptima con un coeficiente de "3" significa

que se presenta una holgura de 3 unidades del recurso (pieza rectangular de 8 pines).

X1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0)

X2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7)

32


X3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6)

X4 = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4)

S1 = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3)

Con una utilidad de: $ 340000.

E.9. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene

8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler

de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses

de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para

la escuela.


x = autobuses pequeños

y = autobuses grandes

2 Función objetivo

f(x, y) = 600x + 800y

3 Restricciones

40x + 50y ≥ 400

x + y ≤ 9

x ≥ 0

y ≥ 0


33




f(0, 8) = 600 · 0 + 800 · 8 = 6 400 €

f(0, 9) = 600 · 0 + 800· 9 = 7 200 €

f(5, 4) = 600 · 5 + 800· 4 = 6 200 € Mínimo

El coste mínimo es de 6 200 € , y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeños .

34


E.10. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y

pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas

grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande

proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar

de cada clase para que el beneficio sea máximo?


x = Pastillas grandes

y = Pastillas pequeñas

2 Función objetivo

f(x, y) = 2x + y

3 Restricciones

40x + 30y ≤ 600

x ≥ 3

y ≥ 2x

x ≥ 0

y ≥ 0

35





f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 €

f(x, y) = 2 · 3 + 6 = 12 €

36


f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 € Máximo

El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12

pequeñas.

37


BIBLIOGRAFIA

PAGINAS WEB

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-

industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/business-stat/opre/SpanishD.htm#rop

http://www.economia48.com/spa/d/programacion-lineal/programacion-lineal.htm

http://www.monografias.com/trabajos96/formulacion-modelos-programacion-

lineal/formulacion-modelos-programacion-lineal.shtml

http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_g.html

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/business-stat/opre/SpanishD.htm#rop

http://www.economia48.com/spa/d/programacion-lineal/programacion-lineal.htm

http://www.monografias.com/trabajos96/formulacion-modelos-programacion-lineal/formulacion-modelos-programacion-lineal.shtml

http://www.monografias.com/trabajos96/formulacion-modelos-programacion-lineal/formulacion-modelos-programacion-lineal.shtml

http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_g.html

trabajo programacion lineal

Science