trabajo practico problema de programacion lineal

Universidad Católica de la Santísima ConcepciónFacultad de Ingeniería

Trabajo de Optimización:

Modelo de Producción Café L’angolo

15 de Julio del 2010

Modelo de producción café L’angolo

Tabla de contenidos

Objetivos.....................................................................................................................................3

Objetivo General............................................................................................................................3

Objetivos Específicos......................................................................................................................3

Introducción................................................................................................................................4

Planteamiento del Problema.......................................................................................................5

Análisis de Datos.........................................................................................................................5

Modelamiento............................................................................................................................7

Identificación de Variables de Decisión..........................................................................................8

Identificación de la Función Objetivo.............................................................................................8

Identificación de Restricciones.......................................................................................................8

Modelo Matemático PPL.............................................................................................................9

Sensibilidad de la Función Objetivo..............................................................................................12

Análisis y resultados..................................................................................................................13

Conclusiones.................................................................................................................................19

Bibliografía................................................................................................................................20

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OBJETIVOS

OJETIVO GENERAL

Dar solución óptima y eficiente a la innovación en el proceso productivo que desea adoptar la cafetería L’angolo, a través de técnicas de resolución de modelos matemáticos linealizables.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

- Modelar la utilización eficaz de los recursos limitados.

- Encontrar la mejor alternativa de producción entre las alternativas factibles.

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INTRODUCCION

Actualmente el problema de maximizar utilidades y reducir costos es fundamental a la hora de estar enfrentado al problema constante de mejorar el rendimiento de las empresas. El problema puede ser reducir el costo de operación y a la vez mantener un nivel aceptable de servicio, utilidades de las operaciones actuales, proporcionar un mayor nivel de servicio sin aumentar los costos, mantener un funcionamiento rentable, o "mejorar" un aspecto de la calidad del producto sin reducir la calidad de otros aspectos. Para identificar la mejora del funcionamiento del sistema, se debe construir una representación sintética o modelo del sistema físico, que puede utilizarse para describir el efecto de una variedad de soluciones propuestas.

Un modelo matemático es una ecuación, desigualdad o sistema de ecuaciones o desigualdades, que representa determinados aspectos del sistema físico representado en el modelo. Un modelo útil es aquel que captura los elementos adecuados de la realidad con un grado aceptable de precisión. El modelo matemático que describe el comportamiento de la medida de efectividad se denomina función objetivo, que debe capturar la relación entre esa medida y aquellas variables que hacen que dicha medida fluctúe.

Para descubrir la mejor estrategia de producción se requiere un análisis de sensibilidad. En este análisis de debe tratar de identificar aquellas variables que afectan en mayor grado la medida de efectividad y luego debe intentar definir de manera lógica la relación matemática entre estas variables y la medida de efectividad. Esta relación matemática es la función objetivo que se emplea para evaluar el rendimiento del sistema en estudio.

A partir anteriormente descrito se llevará a cabo en el presente informe, en el cual

modelaremos un problema enfrentado por la cafetería L’angolo en su proceso productivo, para encontrar alguna solución efectiva a través de la programación lineal.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

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El café “L’angolo” ha observado constantes solicitudes por parte de su selectiva clientela de incluir en su carta distintas variedades de jugos batidos, producto que no trabajan actualmente. Esto ha motivado a expandir su negocio agregando una línea de producción de batidos naturales.

Ante esta expansión, el gerente de producción desea conocer, con fundamentos

matemáticos, si incluir la producción de batidos será realmente rentable para ellos, para lo cual nos ha solicitado estudiar cuál sería la manera óptima de distribuir la cantidad de ingredientes.

ANALISIS DE DATOS

El gerente nos ha planteado que esperan incluir en un principio cinco tipos de batidos naturales y nos detalla la los materiales en las cantidades específicas que se utilizan para la elaboración de los 5 productos, que se detallan a continuación:

Batido de cerezas con frutillas

- 100 gr de frutillas - 150 gr de cerezas- 70 gr de azúcar- 200 ml de leche

Precio de referencia por unidad (vaso) $ 1500

Batido de plátano con arándanos

- 50 gr de arándanos - 150 gr de plátanos- 50 gr de azúcar- 200 ml de leche


Batido de plátano con frutillas

- 80 gr de frutillas- 150 gr de plátanos- 80 gr de azúcar- 250 ml de leche


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Batido múltiple

- 100 gr de cerezas- 70 gr de frutillas- 20 gr de arándanos - 100 gr de plátanos- 50 gr de azúcar- 300 ml de leche


Batido frutillas con arándanos

- 100 gr de frutillas- 50 gr de arándanos - 100 gr de azúcar- 250 ml de leche


Como la mayoría de los materiales utilizados son de una corta duración, la disponibilidad de materiales destinados a los batidos se renueva semanalmente y esta corresponde a un mínimo de 200.000 ml de leche y un máximo de 30.000 gr frutilla, 50.000 gr de plátanos, 30.000 gr de arándanos, 15.000 gr de cerezas y 80.000 gr de azúcar.Todos los datos se trabajaran en Kilogramos exceptuando la leche cuya unidad de medida es litros.

MODELAMIENTO

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TABLA DE DATOS RELEVANTES

Batido de cerezas frutillas

Batido de plátanos con

arándanos

Batido de plátano

con frutillas

Batido múltiple


Disponibilidad

Leche(litros)

0,2 0,2 0,25 0,3 0,25 200

Frutillas(Kg)

0,1 0 0,08 0,07 0,1 30

Arándanos(Kg)

0 0,05 0 0,02 0,05 30

Plátanos(Kg)

0 0,15 0,15 0,1 0 50

Cerezas (Kg)

0,15 0 0 0,1 0 15

Azúcar(Kg)

0,07 0,05 0,08 0,05 0,1 80

Frutillas (kgr)

Azúcar (Kgr)

Cerezas(Kg)

Plátanos (Kg)

Arándanos(Kg)

Leche (Lts)

Costos(Pesos Chilenos)

1500 500 2000 500 5000 700

Variables Costo por unidad (vaso)Batido de cerezas con frutillas $650Batido de plátanos con arándanos $490Batido de plátanos con frutillas $410Batido múltiple $690Batido de frutillas con arándanos $625

IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES DE DECISIÓN

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X1: Cantidad en unidades de batidos de cereza con frutillasX2: Cantidad en unidades de batidos de plátanos con arándanos X3: Cantidad en unidades de batidos de plátanos con frutillas.X4: Cantidad en unidades de batidos múltiples.X5: Cantidad en unidades de batido de frutillas con arándanos.

Obs: las unidades corresponden a un vaso de batido

IDENTIFICACIÓN DE RESTRICCIONES

Cereza: 0,15X1+0X2+0X3+0,1X4+0X5 ≤ 15Frutilla: 0,1X1+0X2+0,08X3+0,07X4+0,1X5 ≤ 30Plátano: 0X1+0,15X2+0,15X3+0,1X4+0X5 ≤ 50Arándanos: 0X1+0,05X2+0X3+0,02X4+0,05X5 ≤ 30Leche: 0,2X1+0,2X2+0,25X3+0,3X4+0,25X5 ≥ 200Azúcar: 0,07X1+0,05X2+0,08X3+0,05X4+0,1X5 ≤ 80

X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0

IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

MAX UTILIDAD ($) = (1500-625)X1+ (1700-490)X2+(1500-410)X3+(2500-690)X4+(2000-625)X5

MAX UTILIDAD ($) = 875X1+ 1210X2+1090X3+1810X4+1935X5

MODELO MATEMATICO P.P.L

Max Z = C Xs.a.

AX = bX≥ 0

MAX UTILIDAD ($) =875X1+ 1210X2+1090X3+1810X4+1935X5

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s/a:0,15X1+0X2+0X3+0,1X4+0X5 ≤ 150,1X1+0X2+0,08X3+0,07X4+0,1X5 ≤ 300X1+0,15X2+0,15X3+0,1X4+0X5 ≤ 500X1+0,05X2+0X3+0,02X4+0,05X5 ≤ 300,2X1+0,2X2+0,25X3+0,3X4+0,25X5 ≥ 2000,07X1+0,05X2+0,08X3+0,05X4+0,1X5 ≤ 80

X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0

MODELAMIENTO MATEMATICO (PPL)RESUELTO MEDIANTE WIN QSB

Primera iteración

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Segunda iteración

Tercera iteración

Cuarta iteración

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Quinta iteración

TABLA ÓPTIMA

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Sensibilidad Función Objetiva

Sensibilidad de los recursos

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ANALISIS Y RESULTADOS

ANALISIS DE RESULTADOS OBTENIDOS POR METODO SIMPLEX.

Los resultados arrojados por el método simplex fueron:

X1=0,94≈1X2=0X3= 2,17≈2X4= 0,87≈1X5= 5,65≈6H1=0H2=0H3=16,62H4=0H5=0H6=46,08

Z=15639,58

Por lo tanto la máxima utilidad será con la siguiente cantidad de producción semanal de batidos:

- 1 batido de cereza con frutillas- 0 batidos de plátanos con arándanos - 2 batidos de plátanos con frutillas.- 1 batido múltiple.- 6 batidos de frutillas con arándanos.

Obteniendo una utilidad máxima correspondiente al valor Z de $15.639,58 a la semana.

ANALISIS DE COSTOS REDUCIDOS

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H1=0 Este resultado refleja que de los 15 kilos semanales no sobran cerezas, es decir este recurso es utilizado totalmente.

H2=0Este resultado refleja que de los 30 kilos semanales no sobran frutillas, es decir este recurso es utilizado totalmente.

H3=16,62Este resultado refleja que de los 50 kilos semanales sobran 16,62 kg de plátanos.

H4=0 Este resultado refleja que de los 30 kilos semanales no sobran arandanos, es decir este recurso es utilizado totalmente.

H5=0 Este resultado refleja que de los 200 litros semanales no sobra leche, es decir este recurso es utilizado totalmente.

H6=46,08 Este resultado refleja que de los 80 kilos semanales sobran 46,08 kilos de azúcar.

ANALISIS DE PRECIOS SOMBRA

X1 X2 X3 X4 X5 H1 H2 H3 H4 H5 H60 -651,87 0 0 0 0 0 16,62 0 0 46,08

El análisis de precio sombra es cuánto es lo más que estoy dispuesto a pagar por una unidad de recurso extra, este es el máximo incremento en el precio sin que nuestras ganancias disminuyan. Debido a que el precio sombra es la variación unitaria en el valor objetivo óptimo por cada variación por unidad en el lado derecho, vale decir, en ecuaciones de demanda mínima los precios sombras me dicen cuanto gano si la demanda mínima se reduce en una unidad del producto x i, pero en este caso como nuestra ecuación es máxima los precios sombra me indicarían cuanto gano si la demanda máxima aumenta en una unidad del producto xi . Entonces podemos decir que:

- Como H1, H2,H4 ,H5=0 Implica que el aumento de una unidad en la disponibilidad tanto de cerezas, frutillas, arándanos y/o leche no influye en nada en la función Objetivo.

- Como H3=16,2 Por tanto el aumento de un kilogramo en la disponibilidad de plátanos la Función Objetiva aumenta en 16,62.

- Como H6=48,08 Por tanto el aumento de un kilogramo en la disponibilidad de azúcar la Función Objetiva aumenta en 46,08.

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Análisis de sensibilidad

1) Incluir una nueva actividad

X6: Batido de cerezas con arándanos

- 50 gr de arándanos - 150 gr de cerezas- 70 gr de azúcar- 200 ml de leche


Batido de cerezas con arándanos

Arándanos(Kg) 0,05Cerezas (Kg) 0,15Azúcar (Kg) 0,07Leche(Lt) 0,2Precio Venta (pesos) 1600

Variable Costo UtilidadBatido de cerezas con arándanos $725 $875

El nuevo modelo matemático será:

MAX UTILIDAD ($) = 875X1+ 1210X2+1090X3+1810X4+1935X5 +875X6

s/a:0,15X1+0X2+0X3+0,1X4+0X5 +0,05X6≤ 150,1X1+0X2+0,08X3+0,07X4+0,1X5+0X6 ≤ 300X1+0,15X2+0,15X3+0,1X4+0X5+0X6 ≤ 500X1+0,05X2+0X3+0,02X4+0,05X5+0,05X6 ≤ 300,2X1+0,2X2+0,25X3+0,3X4+0,25X5 +0,2X6 ≥ 2000,07X1+0,05X2+0,08X3+0,05X4+0,1X5 +0,07X6≤ 80

X1, X2, X3, X4, X5, X6≥ 0

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0,05 0 0

= 0,05 C6=875

0,20,07

0,07 -0,01 0 -0,01 0 00 0,11 0 0,16 0,04 00,09 -0,6 1 2,16 0,41 0

= 0 -0,05 0 0,14 -0,01 0

-0,01 0,03 0 -0,15 -0,03 0-0,41 -0,73 0 0,38 0,09 1

ā6 = B-1 a6

ā6 =

CR= C6-Z6 = C6- CB B-1 a6

CR= 875 - (0 , 0 , 0 , 1935 , 1090 , 0) *

CR= 875 – (9,075)

CR=865,925

Luego, el CR=386,78 y la variable seis es atractiva y se debemos iterar.

Nuestra nueva tabla optima al iterar, nos queda:

0,0030,016

0,19450,005

-0,0140,0865

0,003

0,0160,1945

0,005-0,0140,0865

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Luego, al agregar una nueva actividad “alfajores de chocolate” nuestro Z nos queda igual a $15.694,58 a la semana. El Z sin la actividad nos da $15.694,58 a la semana, lo que nos permite concluir que le recomendamos agregar esta nueva actividad a la pastelería, por que conseguirán mayor utilidad a la semana.

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2) Incluir una nueva restricción

Batido de cerezas frutillas

Batido de plátanos

con arándanos

Batido de plátano

con frutillas

Batido múltiple


Disponibilidad

crema 0,1 0,1 0,1 0 0,2 100

0,1X1 +0,1X2+ 0,1X3 +0X4 + 0,2X5 ≤ 100

X1=0,94X2=0X3= 2,17X4= 0,87X5= 5,65

(0,94)*0,1+0,1*(0)+0,1*(2,17)+0*(0,87)+0,2*(5,65)=1,441

Luego, se satisface la condición 1,441≤100Como es redundante no nos conviene agregar esta nueva restricción, es decir no conviene agregar crema a los batidos.

3) Cambios en el Vector de Costos

Como el “Batido frutillas con arándanos” (X5) obtuvo un mayor numero demanda para producir, veremos que sucede si aumentamos el valor de C5 a 3000

Como X5 es una variable básica entonces:C5-C5’= 1935-3000= -1065Luego sumándoles este incremento a los costos reducidos asociados a las Variables NO Básicas entonces tenemos:

X1 X2 X3 X4 X5 H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8Z 0 -1716,87 0 0 0 -1114,01 0 -1438,65 -1068,18 0 -747 -1716,87 0

De esta forma podemos concluir que la FO no generara cambios, pues ningún costo reducido pasa a ser mayor que cero, luego para que esto ocurra entonces debemos bajar el valor del costo reducido de alguna variable básica y no aumentarlo.

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CONCLUSIONES

Finalmente se demostró que a la hora de realizar un proyecto siempre es útil usar la programación lineal para utilizar los recursos de la manera más optima posible y a la vez conocer si el proyecto es rentable o no, en este caso concluimos que es conveniente incluir dentro de la producción de L’angolo, una línea de producción de batidos de fruta.

Los análisis de costos reducidos y precios sombras arrojaron que “mientras que algunos elementos serán significativos dentro del valor de la función objetivo aumentándola o reduciéndola, siempre y cuando se aumenten unidades de estos, puntualmente es el caso del plátano y el azúcar, cuyas cantidades aproximadas fueron totalmente ocupadas y que según el estudio de precios sombra son factores que podrán aumentar el valor de la Función Objetivo (F.O.) si es que aumentamos unidades de ellos en la disponibilidad de recursos, excepto con la margarina, quien a pesar de ser utilizada completamente, influye negativamente en la F.O. disminuyéndola. Por otro lado, hubieron otros ingredientes cuyas cantidades aproximadas fueron sobrantes, es el caso de los huevos, azúcar, manjar y leche, pues el análisis de costos reducidos nos revelo que no eran esas las cantidades optimas para obtener la máxima utilidad calculada debido a que no se utilizo toda la disponibilidad de recursos supuesta y siendo esta también razón para que el aumento en las unidades de estos ingredientes no altere en lo absoluto el valor de la F.O. ni negativa como positivamente, es decir, ni aumentándola ni reduciéndola”.

Por otro lado, para realizar el Análisis de sensibilidad, los dueños del L’angolo nos han preguntado si les recomendamos incluir un nuevo producto a su menú en la cafetería, como también agregar un nuevo ingrediente a sus batidos como es el caso de la crema, o modificar la utilidad que genera el Batido de frutillas con arándanos.

Por lo tanto se analizaron, para el estudio realizado, los siguientes productos:

Batido de cerezas con arándanos: Al incluir el Batido de cerezas con arándanos en la cafetería, para analizar la conveniencia de agregar un nuevo producto, nos arrojo los siguientes resultados:

La utilidad seria de $15.694,58 a la semana y la utilidad sin la actividad nos quedan $15.694,58 a la semana, lo que nos permite concluir que le es indiferente agregar el producto antes mencionado a los ofrecidos por la cafetería, porque claro está que la utilidad seguirá siendo la misma en una semana.

Crema: Al incluir crema en los batidos con una disponibilidad de 100 unidades a la semana nos arrojo que era redundante incluirlas, por esto le recomendamos a los dueños de “café L’angolo” que no incluyan el servicio de crema como un nuevo ingrediente a sus batidos.

Batido de frutillas con arándanos: Como los Batidos de frutillas con arándanos es aquel producto que más se demanda dentro de la cafetería, entonces los dueños pensaron en aumentarle un poco más el valor que generarían sus utilidades de manera de poder aumentar un poco mas sus ganancias y así poder solventar la perdida que generaría hacer alguno de los otros productos, pero el análisis de sensibilidad que nosotros generamos arrojo que esto no influirá en nada sobre el valor de la F.O. por lo tanto el aumentar el valor de la Utilidad que se genera por los Batidos de frutillas con arándanos de $1935 a $3000 determina que la cafetería no será capaz de aumentar sus ganancias.

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BIBLIOGRAFIA

-Apuntes y materia entregada por el curso de investigación de operaciones 1, impartido por el profesor Jorge Beyer.

-Investigación de Operaciones, Hamdy A. Taha. Editorial Pearson 2004, 7ª edición

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