Teorema de la convolución

Matemáticas V

“Transformada de Laplace”

Introducción

• Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es NO. Para este tipo de situación podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.

Definición

• La función , donde es el conjunto de funciones continuas en el intervalo dada por

se conoce como la convolución de y

Propiedades

• La convolución tiene muchas de las propiedades de la multiplicación ordinaria, como veremos a continuación:

Sean y funciones continuas en el intervalo , entonces:

• 1.- (Ley conmutativa)• 2.- (Ley distributiva)• 3.- (Ley asociativa)• 4.-

Teorema

• Si y son continuas en tramos )(tf )(tg ,0

Demostración

• Sea

Y

• Manteniendo constante a τ y escribimos que

• De modo que

Ejemplo:

Solución:Si y , el teorema de la convolución, establece que la Transformada de Laplace de la convolución de f y g es el producto de sus transformadas de Laplace:

Bibliografía

• Dennis G. Zill Ecuaciones Diferenciales• Wikipedia• Google