ELECTROMAGNETISMO EN LA MATERIA

Ricardo MarquésProfesor titular de Electromagnetismo

e-mail: marques@us.es

Nota: Estos esquemas NO son los apuntes de la asignatura, ni pretenden sustituir-los, sino que constituyen solo una guia para su estudio

TEMARIO

1. Tema I: Polarización.

2. Tema II: Conducción.

3. Tema III: Fenómenos magnéticos en los conductores

4. Tema IV: Magnetización

5. Tema V: Dispersión

6. Bibligrafía recomendada

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Tema I: Polarización

1. Conceptos básicos y definiciones: En este tema trataremos de los fenómenos eléctricosque se dan en medios aislantes, es decir en medios que no conducen la corriente eléctrica.En la mayoría de los casos éstos cuerpos responden a la aplicación de un campo eléctrico“polarizándose”. Es decir, las moléculas neutras adquieren un momento dipolar distinto decero como consecuencia de la aplicación de un campo externo. Este momento dipolar, alser la molécula neutra, no depende el origen de referencia tomado para calcularlo, siendopor tanto una propiedad intrínseca de la molécula. Definimos entonces la “polarización”,P(r) del cuerpo como el momento dipolar por unidad de volumen en el punto r:

P =1

δV

∑pi (1)

donde el sumatorio se extiende a todos los dipolos elementales contenidos en el volumenδV .

Utilizando la expresión para el potencial de un dipolo:

φ(r) =pi · (r− ri)

4πε0|r− ri|3(2)

se demuestra que el potencial creado por un cuerpo polarizado viene dado por:

φ(r) =1

4πε0

{∫ρp(r

′) dv′

|r− r′|+

∮σp(r

′) ds′

|r− r′|

}, (3)

donde ρp y σp son unas “densidades de carga de polarización”, que se extienden sobre elvolumen y la superficie del cuerpo, respectivamente. Estas densidades de carga vienendadas por:

ρp = −∇ ·P ; σp = P · n (4)

donde n es el vector unitario normal dirigido hacia afuera de la superficie del cuerpo.

Ejercicio: Demostrar (3) a partir de (2).

Ejercicio: (En este ejercicio demostraremos que la presencia de las anteriores “densi-dades de carga de polarización” no altera la neutralidad eléctrica de los aislantes). De-mostrar, a partir de su definición (4) que:∫

Σ

ρp dv +

∮Σ

σp ds = 0 (5)

donde Σ es la superficie límite del cuerpo aislante.

Definiendo ahora el vector desplazamiento eléctrico D como:

D = P + ε0E (6)

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las ecuaciones diferenciales de la electrostática, en presencia de cuerpos aislantes quedan:

∇× E = 0 ; ∇ ·D = ρ (7)

donde ρ es cualquier distribución de carga libre, no ligada al cuerpo: ρ = ρtotal − ρp. Engeneral, en el interior de un aislante será ρ = 0, pero en el exterior puede ser ρ 6= 0 yesto hay que tenerlo en cuenta en las ecuaciones.De las ecuaciones (7) se deduce que, dada una superficie cerrada Σ arbitraria, que incluyacuerpos polarizables: ∮

Σ

D · n ds =

∫Σ

ρ dv (8)

donde n es la normal hacia afuera y ρ la densidad de carga libre contenida en Σ.Consideremos ahora las condiciones de contorno en la frontera entre dos medios polariz-ables. de (7) y (8) se deduce que:

n× (E2 − E1) = 0 ; n · (D2 −D1) = σ (9)

donde σ es la densidad de carga libre depositada sobre la frontera que, generalmente,será cero en el caso de la interfaz entre dos medios aislantes.

2. Relaciones constitutivas La ventaja de trabajar con D en lugar de con E directamenteen las ecuaciones (7) es que la carga libre la podemos medir con mucha mas facilidadque la de polarización. Ahora bien, para poder resolver las ecuaciones (7) necesitamosconocer la relación entre E y D (o entre E y P). Estas son las “relaciones constitutivas”del medio. A continuación damos algunos ejemplos de dichas relaciones:

a) El caso más sencillo es el de los medios lineales e isótropos, cuyas relaciones consti-tutivas vienen dadas por:

P = ε0χeE ; D = εE (10)

donde χe es la susceptibilidad eléctrica adimensional y ε = ε0(1 + χe) la constantedieléctrica del medio. La mayoría de los gases, líquidos, amorfos, cuerpos policristal-inos y monocristales cúbicos, presentan unas relaciones constitutivas de este tipo.Ejercicio: Hallar la ecuación para el potencial electrostático en un dieléctrico isótropoinhomogéneo (ε = ε(r)). ¿Es la ecuación de Laplace?.Ejercicio: Calcular la capacidad de un condensador plano de área A y separaciónentre placas d, relleno de un dieléctrico isótropo inhomogéneo cuya permitividadviene dada por ε = ε0 +Kz, donde z es la distancia a una de las placas.

b) Los electretes son cuerpos que presentan la simple relación constitutiva:

P = P0 ; D = ε0E + P0 (11)

donde P0 es un vector constante. Los electrétes se realizan solidificando cuerposorgánicos formados por moléculas muy largas (polímeros) en presencia de camposexternos intensos. Una vez solidificado, la polarización adquirida permanece porlargo tiempo, aunque finalmente desaparece. Se trata pues de un estado metaestable.

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c) Los monocristales que cristalizan en sistemas distintos del cúbico, presentan rela-ciones constitutivas no isótropas, que, cuando son lineales, adoptan la forma de unarelación tensorial:

P = ε0=χ · E ; D =

=ε · E (12)

siendo los tensores=χ y

=ε simétricos (esto se demostrará más adelante en relación

con le densidad de energía eléctrica en estos cuerpos). Los tensores de permitividadpueden ser uniáxicos (dos valores principales iguales) o biáxicos (los tres valoresprincipales diferentes).Ejercicio: Hallar la ecuación que debe satisfacer el potencial eléctrico en un dieléc-trico anisótropo. ¿Es la ecuación de Laplace?Ejercicio: Escribir la ecuación para el potencial en un medio anisótropo homogéneoen el sistema de referencia definido por los ejes principales del tensor dieléctrico.Demostrar que dicha ecuación se transforma en la ecuación de Laplace para lasnuevas variables, x′i definidas por xi =

√εiix

′i. ¿Qué equivalencia entre problemas

de potencial con medios isótropos y anisótropos podemos sacar de este resultado?Ejercicio Demostrar que una carga puntual q localizada en el origen en un medioanisótropo crea un potencial dado por

φ(x′, y′, z′) =1

4π

q′√‘x′2 + y′2 + z′2

, (13)

donde q′ = q/√εxεyεz y x′ = x/

√εx, etc..., siendo x, y, z son los ejes principales

del tensor.Ejercicio: Un condensador plano de área A y separación entre placas d, se rellenade un medio anisótropo uniaxial con su eje de simetría (ε = εz) perpendicular alas plazas del condensador. Calcular la capacidad del condensador directamente yutilizando el resultado del ejercicio anteriorEjercicio: Repetir el problema anterior cuando el cristal uniáxico está orientado demodo que su eje de simetría forme un ángulo de 450 con el eje del condensador.Ejercicio: Formular las condiciones de contorno para el potencial en la fronteraentre un medio dieléctrico anisótropo y el vacío. (Nota: estas condiciones correspon-den a una situación ideal, en la que no hay iones presentes en el “vacío”; en casocontrario, la densidad de carga asociada a la polarización se anulará, pasado untiempo, debido a los iones del aire, que son atraídos por ésta y se depositan en lasuperficie del material).

d) Los cristales piroeléctricos presentan la propiedad de poseer un momento dipolar nonulo, incluso en ausencia de campo eléctrico en su interior:

D = P0 +=ε · E (14)

Para que un cristal sea piroeléctrico debe carecer de centro de simetría

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Nota: El centro de simetría se define como un punto tal que la red se replica a símisma tras la operación de inversión (o cambio de signo de las coordenadas de todoslos puntos de la red respecto del centro de simetría)..En efecto, si el cristal tiene centro de simetría, la polarización espontánea P0, comocualquier otra propiedad del cristal, debe permanecer invariante tras la operaciónde inversión respecto del centro de simetría. Sin embargo, cualquier vector cambiade signo por inversión, de modo que es imposible que P0 permanezca invariantetras la inversión. Algunos cristales se vuelven piroeléctricos por debajo de ciertatemperatura crítica Θ. Estos cuerpos se denominan ferroeléctricos, por analogía conel ferromagnetismo.Ejercicio: Hallar la ecuación para el potencial en un piroeléctrico homogéneo.Ejercicio: Un condensador de placas paralelas de área A y separación entre placas dse rellena de un medio piroeléctrico cuya polarización espontánea, P0, es perpendicu-lar a las placas. Si se cortocircuitan las placas, conectándolas externamente medianteun cable conductor ¿Cuanto vale el campo eléctrico en el interior del condensador?¿Y la carga sobre las placas?.Ejercicio: Suponiendo que la dirección perpendicular a las placas del condensadordel ejercicio anterior coincide con un eje principal del tensor, de permitividad εz,calcular la capacidad del condensador definida por C = dQ/dV . ¿Por qué no sepuede usar la definición C = Q/V ?. Calcular también el trabajo necesario paracargar el condensador en función de su potencial final y en función de la carga totalfinal sobre las placas?. ¿En qué se diferencian estas expresiones de las análogas paraun dieléctrico isótropo?Ejercicio: Formular las condiciones de contorno para el potencial en la fronteraentre un medio piroeléctrico y el vacío.

e) Existen asimismo cristales, denominados piezoeléctricos, en los que la polarizacióndepende linealmente del tensor de tensiones

=σ aplicado al cristal, a través de un

tensor de tercer orden γαβδ, llamado tensor piezoeléctrico:

Dα = εαβEβ + γαβδσβδ (15)

donde se ha usado la notación de Einstein. Por las mismas razones que los piroeléc-tricos, los piezoeléctricos deben ser cristales sin centro de simetría

Mas adelante volveremos sobre las propiedades de los cuerpos piro-, ferro- y piezoeléctri-cos.

3. Campo macroscópico y campo local. Relación de Lorentz: En la mayoría de loscuerpos, las moléculas se polarizan proporcionalmente al campo local (promediado en eltiempo) que “ven” dichas moléculas, Em:

pm = αε0Em (16)

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donde pm y Em son el momento dipolar molecular y el campo local en la molécula,siendo α una constante. Pero el campo Em no es igual al campo medio que aparece en lasecuaciones macroscópicas E (porque la posición de la molécula es singular en el sólido yporque el campo creado por la propia molécula no aparece en Em). El campo promedioque “ven” las moléculas se puede calcular como la suma de tres campos:

Em = E− Eesf +∑esf

Ei (17)

donde E − Eesf es el campo creado en la posición de la molécula por todas las cargasexteriores a una esfera de radio suficientemente grande como para que sólo se observenefectos promedio, y

∑esf Ei es el campo creado por las moléculas interiores a la esfera,

calculado sumando los efectos de cada una de ellas.

Ejercicio: Demostrar que el campo electrostático en el interior de una esfera de radioR uniformemente polarizada, debido a la propia polarización P vale E = −P/(3ε0).Sugerencia: usar el principio de superposición para dos esferas de densidad carga uni-forme ±ρ ligeramente descentradas entre sí una distancia δ, dando así una polarizaciónuniforme |P | = ρδ.

Aplicando el resultado del ejercicio anterior:

Eesf = − 1

3ε0P (18)

donde P es la polarización del medio. De ese modo, el campo local viene dado por:

Em = E +1

3ε0P +

∑esf

Ei (19)

El sumatorio de la derecha se anula en muchos casos (por ejemplo para cristales cúbicos,líquidos y sólidos amorfos débilmente polares y gases). Bajo esta hipótesis obtenemos elresultado de Lorentz para el campo local:

Em = E +1

3ε0P (20)

Este resultado puede generalizarse sin dificultad a casos menos simétricos si tenemos encuenta que el sumatorio de la derecha de (19) debe ser, en todo caso, proporcional a lapolarización P del medio. Esto nos lleva a la relación general:

Em = E +1

ε0

=γ ·P (21)

donde=γ es una constante característica de la estructura microscópica del material que,

en cristales anisótropos, tendrá carácter tensorial.

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4. Relación entre la susceptibilidad eléctrica y la polarizabilidad molecular: ecuaciónde Claussius–Mossotti: La ecuación (20) o, en su caso, (21), permite establecer larelación entre las propiedades microscópicas de las moléculas y las propiedades macroscópi-cas de los materiales. En efecto, la polarización del medio vendrá dada por (16):

P = Npm = NαEm (22)

donde N es el número de moléculas por unidad de volumen. Sustituyendo en (20) seobtiene:

P =Nαε0

1− (Nα/3)E (23)

donde E es el campo macroscópico. De aquí se puede obtener la relación entre la suscep-tibilidad eléctrica o la constante dieléctrica (10) y la polarizabilidad molecular (16):

χe =Nα

1− (Nα/3)(24)

o bien:α =

3

N

(ε− ε0ε+ 2ε0

)(25)

resultado este último que se conoce como ecuación de Clausius-Mossotti.

Ejercicio: Hallar la generalización de las ecuaciones (24) y (25) al caso de un cristalanisótropo que satisfaga la relación (21).

Ejercicio: Calcular la polarizabilidad de las “moléculas” y la constante dieléctrica efectivade un medio dieléctrico artificial formado por esferas metálicas de radio R, colocadas enlos vértices de una red cúbica de lado a > 2R.

5. Polarización electrónica: Existen dos tipos fundamentales de mecanismos de polar-ización, la polarización inducida y la polarización térmica o de orientación, que puedenpresentarse simultáneamente. La polarización electrónica pertenece al primer tipo y sedebe al desplazamiento de la nube electrónica de los átomos que forman las molécula.Para una molécula monoatómica de radio medio R0, obtenemos, en aproximación deprimer orden:

αe = 4πR30 (26)

y para moléculas poliatómicas, una primera aproximación consiste en sumar las polariz-abilidades de cada uno de sus átomos constitutivos.

Ejercicio: Obtener (26) a partir del momento dipolar que adquiere, en presencia de uncampo exterior, un “átomo” formado por una esfera rígida de carga −Ze y radio R0, conuna carga puntual positiva Ze en su centro.

6. Polarización iónica: Muchas moléculas presentan una estructura en la que los electronesdel enlace químico están fuertemente desplazados hacia un tipo de átomos, por lo quepueden describirse adecuadamente como formadas por iones negativos (los receptores de

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los electrones de valencia) y positivos (los donadores). La polarización iónica se producepor los desplazamientos de estos iones respecto de sus posiciones de equilibrio debidos ala presencia de un campo local no nulo. Se trata pues de un mecanismo de polarizacióninducido, al igual que el anterior. La teoría expuesta en los párrafos precedentes puedeaplicarse también al análisis de cristales iónicos. En ese caso el campo local aplicadosobre cada ion causa un desplazamiento relativo de las dos subredes iónicas, positiva ynegativa, respecto de su posición de equilibrio, que puede calcularse a partir de las fuerzaselectrostáticas entre ambas subredes (que se consideran rígidas en primera aproximación).En ambos casos se llega a una expresión similar a (16)

pm = αiε0Em (27)

donde αi es la polarizabilidad iónica.

Los órdenes de magnitud de las polarizabilidades iónica y electrónica son muy similares.Tanto αe como αi son independientes de la temperatura, lo que constituye la principalcaracterística de la polarizabilidad inducida, independientemente del modelo utilizadopara calcularla. No obstante, al sustituir la polarizabilidad total α = αe + αi en (24), seobserva que la susceptibilidad eléctrica total sí que depende de la temperatura a través dela densidad N , que es función de T . No obstante, la derivada termodinámica (∂χe/∂T )N

se anulará si las moléculas del medio solo poseen polarizabilidad inducida (electrónicay/o iónica).

Una descripción mas detallada de los mecanismos de polarizabilidad iónica, que incluyeel cálculo de αi en algunas situaciones canónicas, puede encontrarse en Elliot pp.346 yss.

7. Polarización de orientación: La polarización térmica o de orientación se presenta enmedios con moléculas polares que presentan un momento dipolar intrínseco p0 y se debe almomento dipolar medio que adquieren tales dipolos permanentes cuando están sometidosal campo local (20) (o (21)) y a la agitación térmica. Este valor puede calcularse a partirde la mecánica estadística, obteniéndose la ecuación de Langevin:

< p >= p0L(y) = p0

(ctgh(y)− 1

y

); y =

p0Em

kT(28)

de aquí, mediante un desarrollo en serie de Taylor en el límite p0Em � kT , obtenemos

< p >= p0p0Em

33kT(29)

de donde la polarizabilidad de orientación vendrá dada por:

α0 =p2

0

3ε0kT(30)

Nótese que la polarizabilidad de orientación, a diferencia de la electrónica, es fuertementedependiente de la temperatura. Así pues, para medios constituidos por moléculas polaresse cumple que (∂χe/∂T )N 6= 0

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Para obtener la ecuación (28) se parte de la expresión para la energía del dipolo en elcampo local:

U(θ) = −p0 · Em = −p0Emcos(θ) (31)

donde θ es el ángulo entre el dipolo y el campo. A continuación se aplica el resultadode Boltzmann para la probabilidad de encontrar al dipolo orientado en una direccióncomprendida entre (θ, φ) y (θ+dθ, φ+dφ)respecto del campo local (al que arbitrariamentese supone orientado según el eje z de las coordenadas esféricas θ, φ):

dP (θ, φ) = K exp {−U(θ)/kT} senθdθdφ (32)

donde K es una constante de normalización que se determina de modo que la integral dedP para todos los valores posibles de θ y φ sea igual a la unidad. Una vez determinadaK, puede calcularse el valor medio de p. De hecho, por simetría, los valores medios depx y de py se anularán, de modo que < p >=< pz >= p0 < cosθ >. Es decir:

< p >= p0

∫ π

0

∫ 2π

0

cosθdP (θ, φ) (33)

Ejercicio: Obtener, por integración directa, la constante K de (32).

Ejercicio: A partir del resultado del ejercicio anterior, obtener la ecuación de Langevin(28) mediante (33).

8. Polarizabilidad total: En general, la polarizabilidad total es la suma de las polarizabil-idades electrónica, iónica y de orientación. Las dos primeras resultan ser independientesde la temperatura, mientras que la segunda depende fuertemente de ella, lo que al susti-tuir en (24) determina el comportamiento de la constante dieléctrica con la temperaturaT y la densidad N . En particular, para medios formados por moléculas no polares seanulará la derivada termodinámica (∂ε/∂T )N .

Ejercicio: Calcular la dependencia con la temperatura de la constante dieléctrica de unmedio que no presenta polarización de orientación, a partir del coeficiente de dilataciónβ = dV/dT . ¿Cómo se modifica esta relación en el caso de medios que presentan polar-ización de orientación?.

9. Validez del modelo de Lorentz y de la ecuación de Claussios-Mossotti: Lasecuaciones (20) y (21) se basan en la suposición de que la interacción entre cada dipolomolecular y el resto de los dipolos en el medio se puede modelar como la interacciónentre el dipolo y un campo medio independiente del valor y/o la orientación del propiodipolo. En el caso de moléculas con un importante momento dipolar intrínseco esto no escierto, ya que cada dipolo interactúa con los dipolos cercanos, orientándolos en su mismadirección. Estos dipolos crean entonces un “campo de reacción” paralelo al dipolo, que dis-minuye el valor de la energía de interacción (31) y atenua el efecto de éste sobre el dipolomolecular, disminuyendo su polarizabilidad. Así pues, tanto las ecuaciones de Lorentzpara el campo local (20) y (21), como las ecuaciones que ligan la constante dieléctrica

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con la polarizabilidad, (24) y (25), dejan de ser válidas en el caso de medios formadospor moléculas fuertemente polares. En ese caso se aplican los modelos de Onsager y deKirwood-Fröhlich, cuya descripción puede encontrarse en el texto de Abellá y MartínezDuart citado en la bibiligrafía.

10. Limitación y dependencia con la frecuencia de la permitividad dieléctrica:Como criterio general, las expresiones anteriores serán válidas sólo si la longitud de ondaasociada a la frecuencia de operación es mucho mayor que el espaciado interatómico: sóloen ese caso las ecuaciones en el entorno de la celda unidad son aproximadamente las dela electrostática.

La dependencia en frecuencia de dichas polarizabilidades también es interesante. La polar-izabilidad de orientación desaparece a partir de frecuencias del orden de los megaherzios(106Hz) debido a la imposibilidad de los dipolos permanentes para seguir el campo apli-cado a esas frecuencias. La polarizabilidad iónica desaparece a partir de frecuencias delorden de los terahercios (1012Hz) debido a que a esas frecuencias las vibraciones molecu-lares ya no pueden seguir al campo. Finalmente, en la región de los rayos X (f > 1019Hz)desaparece también la polarización electrónica, junto con toda posible descripción de lamateria como un continuo.

11. Piro- y ferroelectricidad:

La expresión (23) sólo tiene sentido para N < 3/α, ya que en caso contrario P y Eserían de distinto signo, lo que carece de sentido físico. Cuando N crece de modo queN → 3/α la polarización se hace infinita, o puede haber soluciones distintas de ceropara P incluso en ausencia de campo aplicado. Este último comportamiento es el típicode los medios piroeléctricos descritos mediante (14). De hecho, lo que sucede cuandoN → 3/α es que la aproximación lineal deja de ser válida y aparece una transiciónhacia un nuevo estado del material, caracterizado por la relación constitutiva (14). Lanueva fase del material se denomina fase piroeléctrica. Dado que, a presión atmosférica,N suele ser una función decreciente de la temperatura y α posee un término constantecon la temperatura (la polarizabilidad inducida αe + αi), el límite indicado se alcanzarádisminuyendo la temperatura. Los medios que presentan dicha transición se denominanferroeléctricos y la temperatura de transición temperatura de Curie, por analogía con losmedios ferromagnéticos.

Antes de continuar con la teoría expuesta es necesario explorar si el límite indicado tienesentido físico a la luz de las expresiones obtenidas para αe y αi. Una consecuencia de(26) es que para cristales dénsamente empaquetados, en los que el volumen por moléculaunidad es próximo a

∑43πR3

i , donde Ri son los radios de los átomos que integran lamolécula, αe es próxima al triple del volumen por molécula, es decir a 3/N donde Nes el número de moléculas por unidad de volumen. Así, la condición para que se dé laferroelectricidad está próxima a cumplirse en medios densos simplemente a partir dela polarizabilidad electrónica de sus moléculas. Basta que a ella se añada una ciertapolarizabilidad iónica para que dicha condición llegue a darse. Vemos pues que el límite

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N → 3/α es plausible dentro de los órdenes de magnitud estudiados para α, a condiciónde que el medio sea denso.

El nombre piroeléctrico (de pyros: calor) hace referencia a la aparición de fenómenoseléctricos a partir del calor. Cuando una muestra piroeléctrica se coloca entre las placasde un condensador, con la polarización espontánea P0 perpendicular a éstas y las placasdel condensador se cortocircuitan a través de un galvanómetro, el campo eléctrico en elpiroeléctrico se fuerza que sea cero. Para que ello sea posible, es necesario que en las placasdel condensador se acumule una densidad de carga libre σ = ±P0, que contrarreste a ladensidad de carga de polarización debida a P0. Ahora bien, el valor de P0 es, en general,función de la temperatura, de modo que el valor de la densidad de carga superficialen las placas del condensador cambiará al calentar (o enfriar) el piroeléctrico, dandolugar a una corriente eléctrica que será detectada por el galvanómetro. Como ya se hamencionado los cristales piroeléctricos carecen de centro de simetría, de modo que latransición ferroeléctrica usualmente supone un cambio en la estructura cristalina haciauna red sin ésta simetría.

Cerca de la temperatura de transición y en la fase no piroeléctrica, la permeabilidad de losferroeléctricos tiene una dependencia con la temperatura del tipo (hacemos abstracciónde su acrácter anisótropo para simplificar) :

χe =C

T − θ(34)

donde C es una constante. Al acercarse a la temperatura crítica la susceptibilidad χe sehace muy grande, con valores ∼ 103, hasta que el comportamiento deja de ser lineal. Enla fase piroeléctrica, por debajo de temperatura de Curie θ, las muestras macroscópicasse subdividen en dominios uniformemente polarizados. Cuando se les aplica un campoexterno, los materiales ferroeléctricos presentan ciclos de histéresis análogos a los de losmateriales ferromagnéticos, de ahí su nombre. No obstante, la interacción microscópicaresponsable de la ferroelectricidad es completamente diferente de la del ferromagnetismo.

Entre las aplicaciones de la ferroelectricidad están las memorias ferroeléctricas (análogasa las magnéticas). Otras aplicaciones de interés hacen uso de los elevados valores de lasusceptibilidad cerca de la transición en la fase no piroeléctrica para conseguir grandescapacidades en pequeños volúmenes. Finalmente, el carácter no lineal de la relación entreP y E puede usarse en el diseño de dispositivos no lineales como limitadores de potencia,rectificadores, etc...

12. Teoría de Landau de la ferroelectricidad (tema avanzado)

La ferroelectricidad implica la transición de una fase no piroeléctrica a otra piroeléctri-ca a una cierta temperatura crítica Θ. Estos fenómenos son esencialmente anisótropos,existiendo direcciones privilegiadas de polarización, llamadas ejes ferroeléctricos. Aquíharemos abstracción de la anisotropía y supondremos que partimos de un medio isótropoen la fase no piroeléctrica (T > θ) y que aplicamos un campo eléctrico Ez en una dirección(la z) que coincide con uno de los ejes ferroeléctricos. Dado que cerca de la temperatura

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de Curie la relación entre Ez y Pz no es lineal, podemos intentar desarrollar Ez en seriede potencias de Pz en las proximidades de T = Θ. La teoría de Landau se basa en lasuposición de que este desarrollo es de la forma:

Ez = A(T −Θ)Pz +BP 3z (35)

donde A > 0 y B > 0 son coeficientes a determinar. Nótese que el primer término de laserie da una dependencia del tipo descrito por (34). Los términos en P 2 se obvian porquePz(−Ez) debe ser igual a −Pz(Ez). Para T > Θ ambos términos son del mismo signo yEz = 0 implica que Pz = 0. Para T < Θ existe una solución para Pz, incluso en ausenciade campo eléctrico:

Pz = P0 = ±√A

B

√Θ− T . (36)

Podemos testear la teoría determinando la susceptibilidad eléctrica por encima y pordebajo de la temperatura crítica, que podemos calcular como:

ε0χ(T ) =

(∂Pz

∂Ez

)Ez=0

(37)

lo que nos da, usando (35) y (36):

ε0χ(T < Θ) =1

2A(Θ− T ); ε0χ(T > Θ) =

1

A(Θ− T )(38)

Este resultado está de acuerdo con la relación experimental (34) si C−1 = ε0A. Unaconclusión interesante de (39) es que la susceptibilidad eléctrica por debajo de la temper-atura crítica es la mitad que la susceptibilidad eléctrica por encima de dicha temperaturay a igual distancia de ésta.

Si representamos Pz frente a Ez de acuerdo con la curva (35), obtenemos, para T < Θ,una curva en forma de S, que pasa por el origen de coordenadas. Sin embargo, los tramos

de la curva con∂Pz

∂Ez

< 0 no tienen sentido físico. De ese modo obtenemos que en la fase

piroeléctrica debe ser:

Pz > Pmin =√A(Θ− T )/(3B) =

1√3P0 (39)

existiendo un ciclo de histéresis para |Ez| < |Ez(Pmin)|:

|Ez| <2

3√

3A(Θ− T )P0 =

1

3√

3

P0

ε0χe

(40)

De acuerdo con ello, podemos linealizar la relación constitutiva, en la forma

Pz ' ±P0 + ε0χeEz (41)

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con un ciclo de histéresis en la zona de Ez definida por (40)Ejercicio: Calcular la capacidad de un condensador de placas paralelas de área A yseparación entre placas d, relleno por un medio ferroeléctrico (con el eje ferroeléctricoperpendicular a las placas), tanto en la fase piroeléctrica como en la no-piroeléctrica, enfunción de los parámetros de la teoría de Landau.

13. Piezoelectricidad La piezoelectricidad consiste en la posibilidad de transformar unadeformación mecánica en electricidad, mediante la aparición de una polarización inducidaen el material. Dado que la deformación mecánica se produce por la aplicación de unasfuerzas que se describen mediante un tensor de esfuerzos, la relación entre P y este tensortoma la forma (15). Los cristales piezoeléctricos, al igual que los piroeléctricos, carecende centro de simetría. La razón es que el tensor piezoeléctrco γαβδ, como cualquier otrapropiedad del cristal, debe permanecer invariante ante las operaciones de simetría de éste.Sin embargo, este tensor de orden tres, como cualquier tensor de orden impar, cambiade signo por inversión. Así que es imposible que un cristal piezoeléctrico posea centro desimetría. De hecho todos los cuerpos piroeléctricos son tambien piezoeléctricos, aunque noa la inversa. Los ejercicios que van a continuación ayudan a comprender dicha propiedad.Ejercicio: Considérese una red bidimensional formada por una retícula cuadrada encuyos nodos se colocan alternativamente iones positivos y negativos. Demuéstrese quedicha red posee un centro de simetría en la posición de cada ion. Demuéstrese tambiénque dicha red carece de polarización espontánea.Ejercicio: Sométase ahora a esa red a una deformación uniforme. Por ejemplo, a unacompresión vertical que transforme la celda unidad en un rectángulo. Demuéstrese quesigue sin aparecer una polarización espontánea. Trate de imaginar una deformación uni-forme que produzca una polarización espontánea de la red.Ejercicio: Considérese una red bidimensional formada por una retícula de hexágonosregulares tipo “panal de abejas” en cuyos nodos se colocan alternativamente iones positivosy negativos. Demuéstrese que dicha red no posee centro de simetría. Demuéstrese tambiénque dicha red carece de polarización espontánea a condición de que los hexágonos seanregulares.Ejercicio: Sométase ahora a esa red a una deformación uniforme. Por ejemplo, a unacompresión vertical que achate los hexágonos. Demuéstrese que ahora aparece una polar-ización espontánea y calcule la aportación de cada hexágono elemental a esa polarización.Este es un ejemplo sencillo de red piezoeléctrica en dos dimensiones.Los medios piezoeléctricos encuentran muchas aplicaciones tecnológicas, sobre todo como“transductores” que transforman ondas acústicas en ondas electromagnéticas y viceversa.Ejercicio: Las placas de un condensador de placas paralelas de área A y distancia entreplacas d están cortocircuitadas. El condensador se rellena de un medio piezoeléctrico talque uno de sus ejes principales sea perpendicular a las placas. Cuando se ejerce unapresión sobre las placas, la expresión (15) toma la forma sencilla:

Pz = εzEz + σzpz . (42)

13

Utilizando esta expresión, calcular la intensidad que circula por el cortocircuito entre lasplacas, como función de las variaciones de la presión, p, sobre ellas.

14. Polarización no lineal: Finalmente, consideraremos las relaciones constitutivas nolineales. Ya hemos visto que éstas aparecen cerca de la transición ferroeléctrica paracualquier valor del campo aplicado. Sin embargo, si el valor del campo aplicado llega aser suficientemente alto, todos los cuerpos aislantes presentan una polarización que no esfunción lineal del campo. Llegado a un cierto valor, llamado campo de ruptura, el materialdeja de ser aislante y se produce una descarga eléctrica.

Si el cuerpo es isótropo, estos efectos serán de segundo orden, dando lugar a una constantedieléctrica dependiente del campo aplicado que, en primera aproximación, toma la forma:

εi,j(E) = ε0(ε/ε0 + AEiEj +B|E|2δi,j) (43)

siendo A y B coeficientes que dependen de la naturaleza del cuerpo. Esto da un ten-sor uniáxico. En medios anisótropos carentes de un centro de simetría, puede darse unefecto de primer orden, expresado mediante un tensor de tercer orden, similar al tensorpiezoeléctrico (de hecho, los cuerpos que presentan esta propiedad suelen ser tambiénpiezoeléctricos):

εi,j(E) = ε0(εLi,j/ε0 + αi,j,kEk) (44)

donde εLi,j es el tensor lineal, válido para campos aplicados débiles. Así pues los efectosno lineales son más intensos (de primer orden) en los medios piezoeléctricos.

Ejercicio: Calcular la capacidad no lineal del condensador del ejercicio anterior comofunción del voltaje aplicado. Usar en la forma simple similar a (42).

15. Energía y fuerzas en medios lineales: Es sabido que el trabajo necesario para incre-mentar un campo eléctrico en un medio aislante viene dado por la integral

δW =

∫E · δD dv (45)

extendida a todo el volumen ocupado por el campo. El trabajo total para generar elcampo será la integral:

W =

∫ E

E=0

∫E · δD dv dE (46)

donde los límites de integración son los valores inicial y final del campo eléctrico. Laintegración de (46) puede realizarse si se conocen las relaciones constitutivas del medio.En particular para un medio que satisfaga la relación lineal mas general (14), y siempreque tanto P0 como

=ε puedan suponerse constantes durante todo el proceso, la integración

es trivial y da como resultado la energía electrostática del medio:

W =1

2

∫E · =

ε · E dv = UE (47)

14

La hipótesis de que tanto P0 como=ε sean constantes no es, sin embargo, realista. De

hecho hemos visto que ambos dependen tanto de la densidad como de la temperaturadel medio. Sólo en el caso de que consideremos el medio incompresible y despreciemoslas variaciones de

=ε y P0 con la temperatura la expresión (47) tiene sentido. En muchos

casos que involucran dieléctricos líquidos y sólidos esta hipótesis da, sin embargo, buenosresultados.

Bajo la hipótesis enunciada, las fuerzas en sistemas que involucran conductores y aislanteslineales descritos mediante la relación (14), pueden calcularse mediante el principio dellos trabajos virtuales. La fuerza generalizada Fxi vendrá dada por:

Fξ = −(∂UE

∂ξ

)Qi

(48)

donde se ha enfatizado que el desplazamiento virtual se realiza manteniendo constantela carga de los conductores

Una expresión análoga puede encontrarse para un desplazamiento virtual realizado man-teniendo constantes los potenciales, pero entonces debe tenerse en cuenta que durante eldesplazamiento virtual se realiza tanto un trabajo mécanico como un trabajo eléctricopor parte de los generadores, necesario para mantener constantes los potenciales:

δW = δWmec +∑

i

ViδQi = δWmec + δ

(∑i

ViQi

)(49)

donde se ha tenido en cuenta que el proceso se realiza a potencial constante. El últimosumatorio de (49) puede ahora transformarse en una integral de volumen de los campos,mediante la integral: ∑

i

ViQi ≡ −∮φDn ds = −

∫∇ · (φD) dv (50)

donde n es el vector unitario dirigido hacia fuera del volumen de integración (que es elvolumen total entre los conductores) y se ha tenido en cuenta que la densidad de cargasobre los conductores es igual a la componente normal de D. Por otro lado, en un medioaislante desprovisto de carga libre ∇ · (φD) = ∇φ ·D + φ∇ ·D = −E ·D. De modo que,sustituyendo en (50) y usando (14) obtenemos:∑

i

ViQi =

∫ (E · =

ε · E + E ·P0

)dv (51)

lo que, tras sustituir en (49), teniendo en cuenta (47) da:

δWmec = −δUE − δ

∫E ·P0 dv (52)

15

La aplicación del principio de los trabajos virtuales lleva entonces a:

Fξ = −(∂Wmec

∂ξ

)Vi

=

{∂

∂ξ

(UE +

∫E ·P0 dv

)}Vi

(53)

Ejercicio: Un bloque plano de electrete de polarización P0 y altura h se coloca entredos planos conductores paralelos, separados una distancia h, de modo que ambos planossean perpendiculares a P0 y el bloque de electrete sólo ocupe parcialmente el espacioentre ambos planos. Calcular la fuerza con que es atraido el electrete hacia el interiordel condensador cuando entre las placas del condensador se establece una diferencia depotencial V1 − V2 = V0. Realizar el ejercicio aplicando (53) y por integración directade la fuerza por unidad de volumen f = (P0 · ∇)E, comprobando que ambos resultadoscoinciden.

16. Fuerzas en un sistema de cargas libres en un medio dieléctrico ideal isótropoy homogéneo. Tensor de tensiones de Maxwell: Consideremos una densidad decarga libre ρ inmersa en un medio dieléctrico homogéneo de constante dieléctrica ε. Lafuerza por unidad de volumen fv será:

f = ρE = (∇ ·D)E (54)

Esta fuerza puede también escribirse como la divergencia de un tensor simétrico, denom-inado Tensor de Maxwell:

fi =∂Ti,j

∂xj

ó f ≡ ∇ ·=

T (55)

donde hemos usado la notación de Einstein, siendo:

Ti,j = ε

(EiEj −

1

2E2δi,j

)(56)

Ejercicio: Demostrar (55) a partir de (54). Sugerencia: escriba (54) en notación deEinstein y tenga en cuenta que, de ∇× E = 0 se deduce que ∂Ei/∂xj = ∂Ej/∂xi.

Aplicando el teorema de Gauss a (55) se obtiene que la fuerza total sobre las cargasinteriores a un recinto limitado por la superficie cerrada S puede obtenerse mediante laintegral:

F =

∫f dv =

∮S

=

T · n (57)

La expresión del Tensor de Maxwell (56) no es, en principio, muy útil, dado que suutilidad está restringida por ahora a medios homogéneos. Veremos mas adelante, comoresulta muy útil también en el caso mas realista de medios inhomogéneos.

17. Fuerzas en un dieléctrico ideal isótropo e inhomogéneo: En esta sección consid-eraremos un sistema de cargas libres en un medio dieléctrico isótropo pero inhomogéneo.

16

Este estudio incluye, como caso límite, el de un medio homogéneo a trozos (en ese casoaparecen gradientes de ε que pueden expresarse como deltas de Dirac). Las fuerzas porunidad de volumen en un medio dieléctrico inhomogéneo serán la suma de las fuerzasdebidas a las variaciones de presión f0 = −∇p, de las fuerzas sobre las densidades decarga libre fρ = ρE y de las fuerzas sobre el dieléctrico inhomogéneo.

Para calcular estas últimas, fd, consideramos la fuerza que sobre el dieléctrico inhomogé-neo ejerce un sistema fijo de cargas libres. Haremos el cálculo utilizando el principio delos trabajos virtuales generalizado:

δW = −∫

fd · δr dv (58)

donde δW es el trabajo realizado sobre el medio dieléctrico por las fuerzas eléctricas enel desplazamiento virtual δr y la integral se extiende a todo el espacio.

Este trabajo puede calcularse como la variación de la energía total debida al campo enel desplazamiento. Como el proceso se realiza también a carga libre constante (δρ = 0)debemos considerar que el proceso virtual se realiza a campo D constante. Usando (47)para el caso particular de un medio isótropo:

δW =1

2δ

∫D2

εdv = −1

2

∫D2

ε2δε dv (59)

Ejercicio: En este ejercicio se demuestra que, efectivamente, la condición δρ = 0 im-plica (59). Para ello realícese la variación completa de la primera integral de (59) ycompruébese que el término correspondiente a la variación de D2 equivale a la integralde φδρ extendida a todo el espacio, que se anula en virtud de la hipótesis.

Si consideramos medios incompresibles, la variación δε en un medio en movimiento (cuyospuntos se desplazan de r− δr a r) sólo puede deberse a la existencia de un gradiente deε en el medio y viene dada por:

δε = ε(r− δr)− ε(r) = −δr · ∇ε (60)

Así pues:

δW =1

2

∫ (E2∇ε

)· δr dv (61)

Comparando con (58) obtenemos, finalmente:

fd = −1

2E2∇ε (62)

La fuerza total por unidad de volumen f = f0 + fρ + fd vendrá dada por:

f = (∇ ·D)E− 1

2E2∇ε−∇p (63)

17

Esta fuerza puede expresarse como:

f = ∇ ·=

T −∇p (64)

donde=

T es el tensor de Maxwell (56) definido en la sección anterior, que resulta así útilpara describir las fuerzas en medios dieléctricos inhomogéneos.

Ejercicio: Comprobar que se cumple (64). Sugerencia: escriba=

T como EiDj−(1/2)εE2δi,jy use que ∇ ·D = ∂Dj/∂xj = ρ y que ∇× E = 0 implica que ∂Ei/∂xj = ∂Ej/∂xi.

Ejercicio: Demostrar que las componentes tangenciales de la fuerza electrostática porunidad de superficie f =

=

T · n sobre la interfaz entre un medio dieléctrico y el vacío soncontínuas.

Ejercicio: Use el tensor de Maxwell (56) para demostrar que, en el equilibrio, en lainterfaz entre un medio dielectrico y la atmósfera se cumple que:

f = −(pd − p0) = −ε− ε02ε0

(εE2

n + ε0E2t

)(65)

donde f es la fuerza por unidad de superficie que el campo eléctrico ejerce sobre la interfaz,pd, p0 las presiones hidrostáticas en el dieléctrico y la atmósfera y Et, En las componentestangenciales y normales del campo en el dieléctrico.

Ejercicio: Calcular a que altura sube un dieléctrico líquido entre las placas de un con-densador plano perpendicular a su superficie por los tres métodos siguientes:

Aplicando el principio de los trabajos virtuales (53)

A partir de la fuerza electrostática sobre la interfaz aire – dieléctrico (en la que hayun gradiente infinito de ε, dado por una delta de Dirac) dada por (62).

Aplicando el resultado (65) siendo pd la suma de la presión atmosférica mas lahidrostática.

y compruebe que todos los resultados coinciden.

Nota: El cálculo del tensor de tensiones teniendo en cuenta la compresibilidad del mediolleva a un resultado similar a (56), con el término adicional:

1

2E2N

(∂ε

∂N

)T

δi,j (66)

(ver la demostración mas adelante o en Landau (tomo 8), Panofsky o Bredov, entre otrostextos). Este término, al calcular la fuerza por unidad de volumen según (55) da lugar auna fuerza análoga al gradiente de una presión. Algunos textos añaden este termino a lapresión, definiendo así una presión generalizada.

18

18. Potenciales termodinámicos en un dieléctrico isótropo (tema avanzado). Si, adiferencia de la sección precedente, no se desprecian los efectos de la temperatura y ladensidad sobre las propiedades eléctricas del medio, es preciso diferenciar entre la energíainterna, energía libre, etc... Dado que la presencia de un campo no uniforme hace que elmedio tampoco lo sea, debemos considerar estos potenciales termodinámicos por unidadde volumen. El integrando de (45) puede considerarse como el incremento de la energíapor unidad de volumen del medio debido a la presencia del campo eléctrico. De ese modo,tenemos para el incremento de energía interna por unidad de volumen:

δu = Tδs+ µδN + E · δD (67)

donde s es la entropía por unidad de volumen, µ el potencial químico y N la densidadde moléculas por unidad de volumen

Nota: El potencial químico se define como la derivada de la energía interna respectode la densidad a entropía y campo D constante, o equivalentemente, de la energía librerespecto de la densidad a temperatura y campo D constante. En caso de que el medioesté compuesto por diversos materiales, hay que considerar la suma de los potencialesquímicos y densidades parciales de cada componente. En otros textos se usa, en lugar dela densidad de moléculas N la densidad de masa ρm. Es evidente que basta con multiplicarN por la masa de las moléculas para obtener ρm..

Para calcular el incremento de u debido a la presencia de un campo eléctrico habríaque integrar (67) entre el valor inicial E = 0 y el final en un proceso cuasiestáticoadiabático (s constante) y a densidad constante, teniendo en cuenta (10). Sin embargo,en dicho proceso ε no permanece constante pues depende de la temperatura además dela densidad. Consideremos ahora la variación de la energía libre por unidad de volumen,f = u− Ts. Ésta será:

δf = −sδT + µδN + E · δD (68)

Para calcular la energía libre por unidad de volumen podemos usar (68), integrándola enun proceso a T y N constantes y teniendo en cuenta que ε permanece constante duranteel proceso:

f = f0 +1

2ε|D|2 (69)

donde f0 es la energía libre en ausencia de campo.

Para calcular la entropía por unidad de volumen podemos usar el hecho de que, deacuerdo con (68):

s = −(∂f

∂T

)ρm,D

(70)

lo que usando (69) da:

s = s0 +1

2

|D|2

ε2

(∂ε

∂T

)N

(71)

19

donde s0 es la entropía en ausencia de campo. Dado que la derivada de ε con la temper-atura es siempre negativa, (71) muestra que la aplicación de un campo eléctrico es unproceso que tiende a disminuir la entropía (pues genera un orden adicional en el medio).También muestra que la aplicación de un campo eléctrico es un proceso exotérmico, yaque la disminución de la entropía supone un flujo de calor hacia fuera del material.

Para calcular el potencial químico se puede proceder de modo análogo. De (68):

µ =

(∂f

∂N

)T,D

(72)

lo que, usando (69) lleva a:

µ = µ0 −1

2

|D|2

ε2

(∂ε

∂N

)T

(73)

Finalmente, la energía interna u = f + Ts puede calcularse usando (71):

u = u0 +1

2

∂(εT )

∂T

|D|2

ε2(74)

Obsérvese que en un dieléctrico no polar, en el que la constante dieléctrica no dependede la temperatura (a N constante), la entropía (71) no varía al aplicar un campo y que laparte eléctrica de la energía interna (74) coincide con la parte eléctrica de la energía libre(69). Sólo en el caso de dieléctricos con moléculas polares hay que distinguir entre ambascantidades. En particular, a altas frecuencias (a partir de las frecuencias de microondas),donde la polarización de orientación desaparece, no tiene sentido distinguir entre ambas.

19. Fuerzas eléctricas en dieléctricos isótropos reales. Electrostricción (tema avan-zado): De acuerdo con la termodinámica elemental, la variación de la energía libre deun sistema es igual al trabajo realizado sobre el mismo en un proceso cuasiestático atemperatura constante. De acuerdo con ello, el principio de los trabajos virtuales para elcálculo de las fuerzas eléctricas (48) y (53) en un medio isótropo con polarizabilidad deorientación vendrá dada por:

Fξ = −(∂FE

∂ξ

)Qi

=

(∂FE

∂ξ

)Vi

(75)

donde FE es la integral del segundo término de (69). Obviamente, como para dieléctricosno polares no tiene sentido distinguir entre las partes eléctricas de f y de u, tampocotiene sentido distinguir entre UE y FE para el cálculo de las fuerzas eléctricas en esosmateriales.

Ejercicio: Demostrar (75) mediante la generalización de (48) y (53) en medios isótropos.

20

Ejercicio: Usando (75) demostrar que fuerza por unidad de superficie que ejerce el campoeléctrico en la dirección perpendicular a las placas sobre una lámina dieléctrica entre lasplacas de un condensador cargado es una fuerza de compresión que viene dada por:

f = −(∂FE

∂V

)T,D

= −1

2εE2 − 1

2E2N

(∂ε

∂N

)T

(76)

Ejercicio: Usando (75) demostrar que la fuerza lateral por unidad de superficie ejercidapor el campo eléctrico sobre la interfaz aire dieléctrico de una lámina de dieléctrico finitaentre las placas de un condensador viene dada por:

f =

(∂FE

∂V

)T,E

=1

2(ε− ε0)E

2 − 1

2E2N

(∂ε

∂N

)T

(77)

Comparando estos resultados con las expresiones del tensor de tensiones (y usando tam-bién (65)) se puede comprobar como, en ambos casos, la presión viene dada por lostérminos correspondientes del tensor de tensiones si a este se le incorpora el término(66), que puede interpretarse como una presión adicional o electrostricción.

20. Energía libre en un medio piroeléctrico. Simetría del tensor permitividad:Consideremos un cristal piroeléctrico, con relaciones constitutivas lineales dadas por (14).De la integración de δf (68) teniendo en cuenta (14) se deduce que:

f = f0 +1

2E · =

ε · E = f0 +1

2(D−P0) ·

=ε−1cdot(D−P0) (78)

Finalmente, de (78) se deduce que:

εi,j =

(∂2f

∂Ei∂Ej

)T,ρm

(79)

de donde se deduce la simetría del tensor=ε para cristales anisótropos, sean o no piroeléc-

tricos.

De la expresión (78) se deducen, de modo análogo al parágrafo precedente, los restantespotenciales termodinámicos.

Ejercicio: Generalizar (48) y (53) en medios piroeéctricos no ideales.

21

Tema II: Conducción

1. Expresión fenomenológica para la conductividad. Ley de Ohm:En este capítulotrataremos de los fenómenos de conducción de cargas libres en medios materiales. Así,consideraremos un medio neutro por el que pueden desplazarse cargas libres - asumiremosque sólo hay un tipo de partícula cargada con posibilidad de moverse, de carga q, -.Cuando el medio es sometido a un campo eléctrico, las cargas libres se aceleran hastaque son desviados de su trayectoria por las colisiones con otras cargas libres o partículaso impurezas del medio. Como consecuencia las cargas libres adquieren una velocidad dederiva vd neta en la dirección del campo aplicado. La corriente será entonces:

J = qNvd , (80)

donde N es el número de cargas libres por unidad de volumen. Si τ es el tiempo medioentre colisiones, entonces la ecuación de movimiento promediada da:

mvd

τ= qE (81)

de donde, sustituyendo en (80):

J = σE ; σ =Nq2τ

m(82)

que es la ley de Ohm.

2. Expresión clásica para τ . Teoría clásica de la conducción: La teoría clásica dela conducción, debida a Drude, supone que los electrones de conducción en los metales,que están poco ligados a sus iones, pueden moverse libremente por la red, formandoun “gas clásico de electrones libres”, de modo que la expresión (82), con q = −e, da laconductividad del metal. En dicha expresión el único parámetro desconocido es el tiempomedio entre colisiones, τ . Dichas colisiones se supone que se producen principalmentecon los iones de la red, y τ puede aproximarse como el cociente entre la distancia mediainteratómica, a, y la velocidad media de los electrones,

√< v2 >. Éste valor (que no es

la velocidad de deriva) puede obtenerse de la teoría clásica de los gases de Maxwell, apartir del valor de la energía cinética media por partícula, < u >= 1

2m < v2 >= 3

2kT , de

donde:τ =

a√< v2 >

=a√m

3kT. (83)

Este valor para τ vamos a ver enseguida que es incorrecto en el caso particular de losmetales. Sin embargo, en otras situaciones, como es el caso de los gases ionizados oplasmas, la teoría resulta correcta.

22

3. Fallos de la teoría del gas clásico de electrones libres:La teoría de Drude de laconducción presenta éxitos notables (ver más adelante el ejercicio en sección dedicada ala Ley de Wiedemann-Franz), pero no es capaz de predecir adecuadamente al menos dosaspectos importantes de los metales:

a) De acuerdo con (83) y (80), la conductividad de los metales debería decrecer con latemperatura como 1/

√T . Sin embargo, los resultados experimentales muestran que

la conductividad es aproximadamente constante a bajas temperaturas y, a temper-atura ambiente y altas temperaturas decae como el inverso de la temperatura.

b) De acuerdo con la teoría clásica de los sólidos, el calor específico de éstos vieneexpresado por la Ley de Dulong y Petit: cv = 3Nk, donde N es el número demoléculas por unidad de volumen. Los metales responden bastante bien a esa Ley,siendo cv = 3Nik, donde Ni es el número de iones por unidad de volumen. Sinembargo, la teoría del gas de electrones libres predice un calor específico para losmetales cv = 3Nik + (3/2)Nk, donde N es el número de electrones de conducciónpor unidad de volumen, sin que éste resultado se vea respaldado por la experiencia.

Nota: La Ley de Dulong y Petit se deduce del conocido teorema de la estadística clásica(teorema de equipartición) que establece que la energía cinética media por partícula ygrado de libertad es igual a (1/2)kT . Las moléculas de un cuerpo que vibran en tornoa sus posiciones de equilibrio en la red tienen también energía potencial (a consecuenciade las fuerzas que tienden a devolverlas a su posición en la red), siendo su valor medioigual al de la energía cinética. De ahí que < u >= 3kT y, derivando respecto a T para launidad de volumen, se obtiene la ley de Dulong y Petit. Por un razonamiento análogo,el calor específico de un gas clásico, cuyas partículas solo tienen energía cinética, vienedado por cv = (3/2)Nk.

4. El gas cuántico de electrones libres: En 1928 Sommerfeld modificó la teoría deDrude de acuerdo con las ideas de la mecánica cuántica , introduciendo el concepto de“gas cuántico de electrones libres”. En esta sección daremos una descripción cualitativa dedicha teoría y de como supera los fallos de la teoría de Drude. Mas adelante estableceremoscuantitativamente la teoría. La teoría del gas cuántico de electrones libres considera quelos electrones de conducción están confinados en un pozo de potencial que se extiende alo largo de todo el cuerpo conductor. Dicho pozo de potencial es de altura prácticamenteinfinita, de modo que los electrones no pueden escapar del metal.

Dicha hipótesis es una simplificación de la realidad: los electrones de conducción semueven en el potencial periódico creado por los iones de la red. Ahora bien, si la lon-gitud de onda asociada a la función de onda de dichos electrones es grande comparadacon el espaciado interatómico, es razonable suponer que los electrones “ven” un potencialpromedio constante. En el caso de los metales, típicamente hay pocos electrones en lacapa atómica mas externa. De ese modo, en el estado fundamental, los electrones iránocupando los estados de mas baja energía en el potencial periódico (los electrones sonfermiones que no pueden ocupar un mismo estado energético), hasta llegar a los estados

23

de mas alta energía. Estas energías, sin embargo, son relativamente bajas (pues el númerode electrones de conducción por átomo es también bajo). Esto quiere decir que su can-tidad de movimiento, hk/2π, también será relativamente pequeña. Es decir, su longitudde onda, 2π/k relativamente larga.

En el cero absoluto, la energía del último electron en llegar se denomina Energía de Fermidel cero absoluto, EF (0). La velocidad asociada “velocidad de Fermi del cero absoluto”,EF (0) = (1/2)mv2

F . Veremos en la próxima sección que, para los metales a temperaturaambiente se cumple que EF (0) � kT . Veamos ahora como esta teoría salva los problemasde la teoría clásica.

a) Dependencia de la conductividad con la temperatura Ya que EF (0) � kT ,la distribución de energía de los electrones de conducción no se verá prácticamenteafectada por la temperatura De ese modo, la relación entre τ y el recorrido libremedio l será:

τ ∼ l

< v >∼ l

vF

(84)

donde vF es la “velocidad de Fermi”. Dado que tanto N como vF son prácticamenteindependientes de la temperatura, la única dependencia de σ, (82), con T es a travésde l. Dado que los electrones se mueven en el potencial periódico de los iones, yano colisionan con éstos, sino con las impurezas y defectos de la red, o con los iones“fuera de sitio” debido a la vibración térmica. El recorrido libre medio vene entoncesdado por

1

l=

1

l0+Se

a3, (85)

donde a es la distancia entre ones en la red, l0 la distancia media entre impurezasy Se la sección eficaz de dispersion por los iones de la red (ver ejercicio mas abajo).Por otra parte, la sección eficaz Se será proporcional al cuadrado de la amplitudde las vibraciones, es decir a la energía potencial elástica de los iones, que a su vezserá proporcional a la temperatura (de acuerdo con el teorema de equipartición).Así pues:

l−1 = l−10 +KT (86)

donde K es una constante. Cuando sustituimos (86) en (84) y (82) obtenemos unarelación del tipo:

1

σ= a+ bT (87)

donde a y b son constantes, de acuerdo con los resultados experimentales.Ejercicio: Demostrar (85) a partir de la relación l = aP + 2a(1 − P ) + 3a(1 −P 2) + ... donde P es la probabilidad de que el electrón sea dispersado por un iónde la red (incluyendo las impurezas). Tras sumar la serie, tenga en cuenta que estaprobabilidad vendrá dada por P = P0 +Se/a

2, donde P0 = a/l0 es la probabilidad deque el electrón sea dispersado por una impureza y Se/a

2 la probabilidad de que seadispersado por un ión de la red.

24

b) Calor específico del gas de electrones: Si el calor específico de los metalesviene dado por la Ley de Dulong y Petit, que sólo considera la contribución delos iones, entonces el calor específico del gas cuántico de electrones debe ser muypequeño comparado con éste. Esto puede deducirse de la hipótesis EF (0) � kT .Esta hipótesis implica que, a temperatura ambiente, sólo una pequeña fracción delnúmero total de electrones por unidad de volumen , ∼ NkT/EF (0), se ve afectadapor la agitación térmica y adquiere energías mayores que EF (0). Así el incrementode energía interna debido a dicha agitación será ∆ < u > (T ) ∼ Nk2T 2/EF (0).Así, el calor específico del gas cuántico de electrones será cv,e ∼ Nk2T/EF (0) quees menor que el predicho por la teoría clásica pprecisamente en el pequeño factorkT/EF (0).

5. El gas de electrones en el cero absoluto. Función densidad de estados y cálculode EF (0): El número de estados accesibles y la densidad de estados en el gas de electroneslibres pueden obtenerse a partir del principio de incertidumbre:

(∆x)(∆px) = h (88)

donde h es la constante de Planck. Si consideramos un volumen unitario del gas, V =(∆x)(∆y)(∆z) = 1 m3, el “volumen elemental” en el espacio de las fases vendrá dado,según (88), por (δp)3 = h3. Como, según el principio de Pauli, no puede haber más dedos electrones (correspondientes a los dos estados de spin) en cada celdilla elemental, elnúmero total de estados ocupados por unidad de volumen será

N =2

h3× 4

3πp3

max (89)

donde pmax es el máximo valor de p. Asimismo la densidad de estados G(p)δp en elintervalo entre p y p+ δp vendrá dada por

G(p)δp =2

h3× 4πp2δp (90)

Las expresiones para la densidad de estados en función de la energía y para la energíade Fermi en el cero absoluto pueden deducirse de (89), (90), así como de la relaciónE = p2/(2m). El resultado es

G(E)δE =π

2

(8m

h2

)3/2

E1/2δE (91)

y

EF (0) =h2

8m

(3N

π

)2/3

. (92)

Ejercicio: El Cu tiene 8,4×1028 electrones de valencia por metro cúbico. Calcular EF (0)para el cobre. ¿A que temperatura será kT = EF (0)?. (Solución EF = 6,95 eV. T = 80500K). Este ejercicio muestra que la hipótesis EF (0) � kT se cumple para los metales atemperatura ambiente.

25

6. El gas de electrones a temperatura ambiente. Nivel de Fermi, EF (T ): A tem-peraturas diferentes del cero absoluto, el gas cuántico de electrones libres obedece a laestadística de Fermi-Dirac. El número de electrones por unidad de volumen en un estadode energía comprendido entre E y E + δE viene dado por:

δN(E) = G(E)F (E)δE (93)

donde G(E)δE es la función densidad de estados y F (E) es la distribución de Fermi -Dirac, que indica la probabilidad de que un estado de energía E esté ocupado:

F (E) =1

exp [(E − EF )/kT ] + 1(94)

donde EF es un nivel de energía de referencia que se determina exigiendo que∫δN(E) = N (95)

dondeN es el número total de electrones de valencia por unidad de volumen, obteniéndose

EF (T ) = EF (0)

{1− π2

12

(kT

EF (0)

)2}

(96)

En un metal típico N ∼ 1028 electrones por metro cúbico, de modo que (92) da valores deEF del orden del electrón-voltio. A temperatura ambiente kT ' 0,025 electron-volts, demodo que para casi todos los metales EF (T ) ' EF (0) con un alto grado de aproximación.

7. Termodinámica del gas de electrones libres (tema avanzado): La energía internapor unidad de volumen del gas de electrones en el cero absoluto se puede calcular a partirde (91), teniendo en cuenta (92):

u(T = 0) = N(3/5)EF (0) (97)

este valor es aproximadamente válido para cualquier temperatura. Un cálculo rigurosode la energía u haciendo uso de (94), (91) y (96) da:

u =

∫ ∞

0

EG(E)F (E) dE =3

5NEF (0)

{1 +

5π2

12

(kT

EF (0)

)2}

(98)

de donde, la contribución de los electrones al calor específico por unidad de volumen totales:

cv,e =

(∂u

∂T

)N

=π2Nk2

2EF (0)T , (99)

que es una expresión del mismo orden que la obtenida mas arriba.

26

Ya hemos visto que la energía interna del gas de electrones viene dada por (98), mientrasque su capacidad calorífica viene dada por (99). Calcularemos ahora la entropía s y elpotencial químico µ por unidad de volumen del gas de electrones.

La variación de la energía libre es δu = TδS+µδN , de donde (∂s/∂T )N = (1/T )(∂u/∂T )N =(1/T )cv,e. Así pues, suponiendo que s = 0 en el cero absoluto e integrando (99):

s = Nπ2k2

2EF (0)T (100)

Para calcular el potencial químico partimos de la variación de la energía libre (f = u−Ts):δf = −sδT + µδN ; de donde µ = (∂f/∂N)T . Usando (100) y (98) podemos calcular laenergía libre:

f =3

5NEF (0)

{1− 5π2

12

(kT

EF (0)

)2}

(101)

y derivando respecto a N (y teniendo en cuenta que de (92) se deduce que dEF (0)/dN =(2/3)EF (0)/N):

µ = EF (T ) = EF (0)

{1− π2

12

(kT

EF (0)

)2}

(102)

El potencial químico (102), así como la energía media (98), está referido a la energíadel fondo del pozo de potencial, que se toma como nivel cero de energía . Nótese queen el cero absoluto µ = EF (0) y que, a temperatura ambiente, µ ∼ EF (0), lo que estáde acuerdo con la interpretación de µ como la variación de la energía media del sistemacuando se añade una partícula.

8. Función trabajo y diferencia de potenciales de contacto: La condición de equi-librio en la superficie de separación de dos conductores se alcanza cuando los potencialesquímicos (es decir, lo que aumenta la energía del metal al añadir un nuevo electrón enla banda de conducción) se igualan a ambos lados del contacto. Ahora bien, cuando secomparan conductores diferentes, la energía del fondo del pozo de potencial (tambiéndenominado “banda (energética) de conducción”) de dichos conductores está a nivelesenergéticos también distintos. En ese caso conviene referir los potenciales químicos a unmismo nivel energético. Si el potencial químico µv lo definimos referido al fondo de labanda de conducción, su valor es aproximadamente igual a la energía de Fermi, pero si lodefinimos respecto a un nivel energético común a ambos conductores, por ejemplo el cor-respondiente a los electrones en el vacío que circunda al conductor, entonces µv = µ−E0,donde E0 es la anchura de la banda de conducción.

Por otra parte, el potencial químico (102) está calculado suponiendo que el metal estásometido a un potencial nulo. En caso contrario, el potencial químico total será:

µ∗ = µ− eφ ó µ∗v = µ∗v − eφ (103)

27

donde µ viene dado por (102) y φ es el potencial a que está sometido el conductor. Enel caso de un medio inhomogéneo mantenido a temperatura constante y uniforme, lacondición de equilibrio vendrá dada por la uniformidad de µ∗ (es decir, de la energía librepor electrón) a lo largo del medio.

La función trabajo de un metal W se define como el trabajo necesario para extraer unelectrón del mismo (supuesto a potencial cero) y llevarlo al infinito (donde se supone quetambién φ = 0). Si el fondo de la banda de conducción está a una energía −E0 respectodel infinito, entonces:

W = E0 − µ = −µv ' E0 − EF (0) (104)

Cuestión: ¿Cual es la relación entre la frecuencia mínima de la radiación que produceemisión fotovoltaica de electrones en un metal y el valor de W?

Cuando dos metales se ponen en contacto, la condición de equilibrio termodinámico esµ∗v,a = µ∗v,b. De (102) y (103) se deduce que:

φa − φb =1

e(µv,a − µv,b) =

1

e(Wb −Wa) (105)

La diferenca de potenciales (105) se denomina diferencia de potenciales de contacto.

Cuestión: ¿Puede aprovecharse (105) para generar una fuerza electromotriz a lo largode un circuito formado por diferentes metales en contacto? ¿Bajo que condiciones?.

Físicamente, esta diferencia de potenciales de contacto está asociada un flujo de electronesde la superficie del metal con un nivel de Fermi mas alto a la del conductor con un nivelde Fermi mas bajo, formándose una capa dipolar en la interfaz.

Ejemplo: contacto Schottky. Cuando un metal se pone en contacto con un semi-conductor tipo n (dopado con átomos donadores) éste se comporta como un conductorcon una baja densidad de portadores Ns. Si el potencial químico referido al vacío delsemiconductor está mas alto que el del conductor, los electrones de aquél fluyen hacia elconductor, dejando una zona de carga positiva (zona de deplexión) que carece de porta-dores y cuya conductividad es, por tanto, nula.

1.- Demostrar que, en ausencia de potencial aplicado, el espesor de la zona de deplexiónδ se relaciona con la diferencia de potencial de contacto V0 mediante

V0 =Neδ2

0

2ε0(106)

donde V0 = (Wc −Ws)/e, donde Wc y Ws son las funciones trabajo del conductor y delsemiconductor, respectivamente.

Si el metal se polariza positivamente, la zona de deplexión desaparece y la corriente fluyepor la interfaz. Por el contrario, si el metal se polariza negativamente con un potencial−V , la zona de deplexión aumenta (δ viene entonces dado por (106) con V +V0 en lugarde V0) y no se establece corriente. La unión Schttky es pues un diodo.

28

2.- Demostrar que cuando el metal se polariza negativamente, la unión se comporta comoun condensador cuya capacidad por unidad de superficie depende de la tensión aplicaday viene dada por:

Cs ≡dσs

dV'

√ε0Nse

2(V + V0)(107)

9. Pilas electroquímicas: De la diferencia de potenciales de contacto (105) no es posibleextraer una fuerza electromotriz neta, dado que, al integrar sobre un camino cerradotodos los términos se cancelan. Sin embargo, cuando del circuito forman parte electrolitosque pueden reaccionar con los metales, es posible establecer una fuerza electromotriz nonula de modo que el trabajo necesario para hacer circular los electrones se extrae delas reacciones químicas. Para ilustrar esto, consideraremos una pila compuesta por doselectrodos metálicos A y B, sumergidos en una solución de electrolitos AX y BX (X−

es un anión cualquiera). Sean WA y WB las funciones trabajo de los metales A y B, yµv,AX , µv,BX los potenciales químicos referidos al vacío de los electrolitos en disolución.Convengamos en que el sentido positivo de la corriente va del electrodo A al B por fuerade la pila. Por conservación de la carga ello implica que un ión B+ pasa a la disoluciónmientras que un ión A+ es capturado por el electrodo A, de modod que el número demoléculas BX aumenta en una unidad, mientras que el de moléculas AX disminuyeen una unidad. El trabajo total necesario para hacer que un electrón realice un ciclocompleto será pués

W = Wb −Wa + µv,BX − µv,AX (108)

de modo que la f.e.m. de la pia será

E = −Wq

=W

e=

1

e(Wb −Wa + µv,BX − µv,AX) (109)

10. Efectos termoeléctricos: Aunque la Ley de Ohm basta para caracterizar el compor-tamiento de los conductores en muchos casos, un análisis mas detallado muestra que losflujos de corriente y de calor en un conductor están acoplados a través de una serie decoeficientes llamados coeficientes termoeléctricos. Este acoplamiento se expresa mediantlas relaciones:

J = σE + σα∇T (110)Jq = −βE− ζ∇T (111)

donde, como veremos, los coeficientes σ, ζ, α y β no son independientes, sino que estánrelacionados por (130) y (114).

Las ecuaciones anteriores son la base de ciertos efectos conocidos como efectos Seebeck,Peltier y Thompson.

29

a) Efecto Seebeck (fuerza termoelectromotriz): Si escribimos (110) como J =σ(E + α∇T ), vemos que la suma E + α∇T puede interpretarse como una fuerzapor unidad de carga (un “campo eléctrico efectivo”). Su integral a lo largo de un cir-cuito cerrado constituirá pues una f.e.m.. Para que el segundo sumando sea diferentede cero, dado que la circulación de ∇T se anula, α debe variar a lo largo del cir-cuito. Esto suele lograrse mediante un circuito formado por dos metales diferentes,cuya soldaduras se mantienen a distinta temperatura (ese circuito usualmente sedenomina “termopar”). En ese caso:

E =

∮E · dl + Es ; Es =

∮α∇T · dl (112)

donde Es es la fuerza electromotriz de Seebeck. En cuanto a la circulación de E,generalmente se anula (a menos que exista un flujo magnético variable a través delcircuito).El efecto Seebeck proporciona fuerzas electromotrices muy débiles, pero de una granexactitud y constancia en el tiempo.Ejercicio: Calcular la f.e.m. de un termopar formado por dos conductores con α =αi ; i = 1, 2 cuyas soldaduras se colocan a diferentes temperaturas, T1 y T2 (despreciarla dependencia de αi con la temperatura). Si los conductores son hilos de sección Si,longitud li y conductividad σi, calcular la corriente que circula por el termopar. Si elcircuito se interrumpe ¿Cuanto vale la diferencia de potencial entre las terminales?.

b) Efecto Peltier: Si a lo largo de un termopar formado por metales diferentes se hacepasar un corriente eléctrica, incluso en ausencia de un gradiente de temperatura seproduce un flujo de calor dado por (111) con Ei = Ji/σ (de acuerdo con (110) para∇T = 0). Si los coeficientes βi de ambos metales son diferentes, en la soldadura seliberará un flujo de calor por unidad de superficie y tiempo dado por la diferenciaentre los flujos de calor que entran y salen de esa interfaz:

δQ

δSδt= Jq,1 − Jq,2 =

{(β2

σ2

)−(β1

σ1

)}J · n (113)

donde n es el vecotr unitario normal dirigido desde el medio 1 al 2. Como puedeverse, el flujo de calor depende del signo de J ·n, de modo que el efecto Peltier puedeusarse tanto para calentar como para refrigerar.

c) Relación entre los coeficientes de Seebeck y Peltier: Los coeficientes α y βno son independientes. Entre ellos se da la relación:

β = Tσα (114)

Una justificación aproximada de esta relación se da en los temas que siguen (teoríamicroscópica de los efectos Seebeck y Peltier). Sin embargo (114) es una relaciónexácta y no simplemente aproximada. La justificación rigurosa se realiza a partir delteorema de Onsager de la simmetría de los coeficientes cinéticos, que queda fueradel ámbito de este temario (ver p.ej., para un tratamiento detallado, Landau tomoVIII).

30

d) Calor de Thompson Consideremos, a la luz de (110), la producción de calor porunidad de volumen en un metal. Este calor debe ser igual a la suma de los trabajosrealizados sobre las cargas a nivel microcópico. Como las cargas solo sienten unafuerza debida al campo eléctrico, la suma de los trabajos microcópicos por unidadde volumen es J · E. Por tanto:

δq

δt= J · E =

|J|2

σ− αJ · ∇T (115)

Esta expresión, haciendo uso de la condición de estado estacionario (∇ · J = 0),puede transformarse en:

δq

δT=|J|2

σ+ TJ · ∇α−∇ · (αTJ) (116)

El tercer sumando, cuando se integra sobre un volumen del metal da el flujo de calorde Peltier, saliente (usar también 114):

δq

δT=|J|2

σ+ TJ · ∇α+∇ · (Jq)Peltier (117)

mientras que los dos primeros dan la producción de calor en el elemento de volumen:El primero es el efecto Joule ya conocido. El segundo es el “calor de Thompson”,que depende a la vez de J y de ∇α. Si el medio es homogéneo en su composición,pero está sometido a un gradiente de temperatura, entonces la única dependenciade α es con T y: (

δq

δt

)Thompson

= T∂α

∂TJ · ∇T (118)

que puede ser tanto negativo como positivo.

11. Teoría microscópica del efecto Seebeck (tema avanzado) Cuando a lo largo deun metal se impone un gradiente de temperatura, los electrones tienden a difundirsedesde la zona de alta temperatura a las de baja temperatura, hasta que el gradiente depotencial creado por el desplazamiento de los electrones hace que cese éste. La la teoríasemi-clásica del gas de electrones permite hacer una estimación de este gradiente depotencial. Suponemos un gradiente de temperatura en la dirección x y consideraremosuna superficie unidad perpendicular al eje x, en x = 0. Como consecuencia habrá ungradiente de velocidades medias a ambos lados de dicha superficie. Los electrones incidendesde la izquierda (derecha) con una diferentes velocidades medias en la dirección x. Estasvelocidades medias vienen dadas aproximadamente por < |vx| > (∓l), con l '< |vx|(0)τ .El flujo de electrones desde la izquierda (derecha) que inciden sobre dicha superficie será' (N/2) < |vx|(∓l) >. La diferencia entre el número de electrones que inciden desde laizquierda y desde la derecha en un tiempo τ y en ausencia de campo eléctrico viene dadapor:

δN ' τN

2(< |vx|(−l) > − < |vx|(l) >) ' −Nτ d < |vx| >

dxl (119)

31

o bien, teniendo en cuenta que l =< |vx| > τ :

δN

τ= −Nτ < |vx| >

d < |vx| >dx

= −N2τd < |vx|2 >

dx(120)

expresión que, teniendo en cuenta que < |vx|2 >=< v2 > /3 se transforma en:

δN

τ' −N

6τd < v2 >

dx' − τ

3m

du

dx= − τ

3mcv,e

dT

dx(121)

La corriente asociada a este flujo de electrones será:

J = −eδNτ' eτcv,e

3m∇T (122)

de donde, finalmente:

J = σα∇T ;α ' cv,e

3Ne=

π2k2T

6eEF (0)(123)

Ejercicio: Resolver el ejercicio anterior, teniendo en cuenta la dependencia de α con latemperatura dada por (123): αi = KiT . Discutir las diferencias entre ambos resultados.

12. Teoría microscópica del efecto Peltier (tema avanzado): Inversamente al efectoSeebeck, un flujo de corriente a lo largo de un metal mantenido a temperatura constante,provoca un flujo de calor. Podemos estimarlo usando la teoría semi-clásica del gas deelectrones. Dicho flujo de calor vendrá dado por el producto de la energía térmica, u(T )−u(T = 0), por unidad de volumen por la velocidad de deriva del gas de electrones vd =−σE/(Ne). Teniendo en cuenta (98):

Jq = −βE ; β ' π2k2T 2σ

4eEF (0)(124)

Nótese que, de acuerdo con (123) y (124):

β ' Tσα (125)

esta relación es, en realidad, exacta y de validez completamente general (recuérdese quesólo hemos estimado α y β) y se deduce de la “Ley de Onsager para los coeficientescinéticos” (ver mas arriba).

Ejercicio: Calcular los calores de Joule, de Thompson y de Peltier liberados en el dis-positivo del ejercicio anterior. Discutir sus signos repectivos en función de los valores deαi.

Ejercicio: discutir como cambian los resultados de los ejercicios anteriores si se colocaen serie con el termopar una fuente de f.e.m. ideal.

32

13. Relación entre las conductividades eléctrica y térmica: ley de Wiedemann -Franz (tema avanzado): La conductividad térmica se define como el cociente entre elflujo de calor Jq y el gradiente de temperatura:

Jq = −ζ∇T (126)

La conductividad térmica de los conductores es especialmente elevada, lo que tienerelación con el flujo de energía asociado al gas de electrones. Podemos calcular éstesuponiendo un conductor sometido a un gradiente de temperatura que tomaremos en ladirección x. El flujo de calor a través de una superficie unitaria perpendicular a x es igualal flujo de energía asociado a los electrones que atraviesan dicha superficie desde la izquier-da menos la energía transmitida por los electrones que la atraviesan provinientes de laderecha. Ambos flujos de electrones son aproximadamente iguales y valen N < |vx| > /2,pero los que inciden en sentido positivo (negativo) llevan asociada una energía:

' 1

N

(u∓ ∂u

∂x< |vx| > τ

)(127)

por tanto el flujo total de calor será:

Jq ' −N < |vx| >

2× 2

1

N

∂u

∂x< |vx| > τ ' − < |vx|2 > τ

∂u

∂x= −< v2 > τ

3cv,e

∂T

∂x(128)

de donde, comparando con (126) y usando (84):

ζ ' N < v2 > τ

3cv,e '

Nv2F τ

3cv,e =

Nπ2k2τ

3m(129)

y comparando con (82)ζ

σ' LT ; L =

1

3

(πk

e

)2

(130)

resultado que es conocido como la Ley de Wiedemann - Franz. Esta ley, a diferencia de(114), solo se cumple de un modo aproximado.De acuerdo con (87), en metales muy puros la conductividad es inversamente propor-cional a la temperatura. Por tanto, la Ley de Wiedemann - Franz (130) implica que ζ esesencialmente independiente de la temperatura.Ejercicio: Demostrar que el modelo del gas clásico de electrones predice correctamentela Ley de Wiedemann-Franz (de hecho, este fue considerado durante mucho tiempo comouno de los grandes logros del modelo).

14. Limitaciones del modelo del gas de electrones: El modelo del gas cuántico deelectrones libres se halla sujeto a una serie de limitaciones:

Sólo funciona adecuadamente para bandas de conducción casi vacías, debido a queentonces los electrones poseen energías muy bajas, lo que implica longitudes de ondalargas, lo que a su vez implica que solo “ven” el promedio del potencial periódico.A medida que la energía del nivel de Fermi aumenta, los electrones se van haciendomas sensibles a los detalles del potencial periódico de la red.

33

Cuando el nivel de Fermi sube moderadamente, es aún posible usar el modelo delgas de electrones libres, pero sustituyendo la masa de los electrones por una “masaefectiva” m∗ > m.

Cuando el nivel de Fermi sube aún mas, la masa efectiva se hace infinita y luegonegativa (pasa por un polo). Comienzan entonces a aparecer los fenómenos de con-ducción por “huecos”

En los semiconductores, que se caracterizan por tener una banda de conducciónvacía cerca de una banda de valencia completamente llena, la conducción se produceporque la agitación térmica provoca que electrones de la banda de valencia salten ala banda de conducción. Entonces la expresión (82) continúa siendo válida, pero ladependencia de σ con la temperatura está dominada por la variación de N , que esdel tipo exp (−K/kT ), siendo K del orden de magnitud de la banda prohibida.

15. Relajación en medios óhmicos polarizables: Consideremos una densidad de cargalibre ρ en el seno de un medio conductor. A partir de la conservación de la carga y de laecuación ∇ · E = ρ/ε obtenemos la ecuación de difusión para la carga:

ρ+ε

σ

∂ρ

∂t= 0 (131)

ecuación cuya solución es:

ρ(t) = ρf + (ρi − ρf )e−t/τ ; τ =

ε

σ(132)

donde ρi y ρf son las densidades de carga en el estado inicial y final respectivamente y τ esel tiempo de relajación. Nótese que si, en el instante inicial la densidad de carga es cero yno se impone ninguna restricción al estado final, la densidad de carga sigue siendo nula entodo momento. En el caso medios óhmicos evolucionando entre dos estados estacionarios(∇ · J = 0 ⇒ ∇ · E = 0), las densidades de carga volumétrica inicial y final son ambascero, de modo que también en el transitorio se cumple que ρ(t) = ε∇ · E = 0

Las ecuaciones para el campo son:

∇× E = 0 ; ∇ · E =1

ερ(t) (133)

lo que nos indica que la solución general para el potencial será del tipo φ(r, t) = φf +(φi − φf )(r)e

−t/τ , siendo φi y φf las soluciones de la ecuación ∇2φi,f = −ρi,f/ε. A estasolución siempre puede superponerse la solución del problema sin fuentes (u homogéneo)φh(r, t) = φ0(r)f(t) donde f(t) es una función arbitraria del tiempo y φh satisface laecuación de Laplace, ∇2φh = 0. En el caso de medios óhmicos evolucionando entre dosestados estacionarios, tenemos que φi = φf = 0, de modo que solo existe la soluciónparticular citada mas arriba.

34

La solución particular vendrá determinada por las condiciones de contorno, que en lafrontera entre dos medios conductores y polarizables toma la forma de una ecuacióndiferencial para las componentes normales:

n ·(σ2E2 − σ1E1 +

∂

∂t(ε2E− ε1E1)

)= 0 (134)

siendo continuas las componentes tengenciales.

El tiempo de relajación τ = ε/σ es una constante característica del medio, que nos definesu carácter de conductor o aislante, en función de los tiempos característicos de cadaexperimento.

Ejercicio: Considerar un condensador de placas paralelas de área A y distancia entreplacas d. El condensador se rellena con un medio óhmico de conductividad σ y permi-tividad ε. Si en t = 0 las placas del condensador tienen una carga ±Q y, para t > 0,las placas se descargan a través del medio, ¿Cómo evolucionan los campos para t > 0.¿Aparecerán, campos magnéticos como consecuencia de las corrientes de conducción enel medio? ¿Por qué?.

Ejercicio: Considerar el ejercicio anterior, pero ahora conectado a una fuente da al-imentación ideal que proporciona una f.e.m. periódica de onda cuadrada y periodo T ,que oscila entre V = 0 y V = V0. Despreciando los efectos magnéticos, describir el fun-cionamiento del sistema para T � ε/σ y para T � ε/σ. ¿En que circunstancias sonapreciables los efectos magnéticos?.

Ejercicio: Considerar un condensador plano cuyas dos mitades están rellenas de dosmedios óhmicos de constantes σi y εi: i = 1, 2. Calcular el tiempo de relajación delsistema en los cuatro posibles casos siguientes:

La interfaz de separación entre ambos medios es perpendicular o paralela a las placasdel condensador

El condensador se descarga a circuito abierto o el condensador está sometido a unafuente ideal de potencial como la descrita en el ejercicio anterior

Ejercicio: Demostrar que los fenómenos de relajación en medios óhmicos polarizablesadmiten soluciones para el campo electromagnético en las que el campo magnético se an-ula, a pesar de ser el campo eléctrico variable con el tiempo. Encontrar las condicionesfísicas necesarias para que se den estas soluciones en un sistema formado por electro-dos conductores perfectos en un medio óhmico polarizable homogéneo a trozos. Solución:las interfaces entre los medios deben ser perpendiculares al campo eléctrico inicial y loselectrodos deben estar aislados.

35

Tema complementario avanzado: Conducción en semiconductores

1. Resumen de la teoría de bandas de la conducción: Aunque una exposición detal-lada de la teoría de bandas corresponde a las asignaturas de Física del Estado Sólido,la conducción en semiconductores no puede entenderse sin recurrir a dicha teoría, por loque daremos aquí un resumen de sus resultados mas relevantes (una exposición asequiblepero rigurosa de dicha teoría puede encontrarse en los textos de Feynmann [tomo III] oN.García citados en la bibliografía):

Los electrones de las capas mas externas (electrones de valencia) de los átomos deun sólido cristalino se mueven en el potencial periódico creado por los iones positivosde la red.

La resolución de la ecuación de Schrodinger para los estados de energía definida dedichos electrones:

h2

2(2π)2m∇2ψ + [En − Ep(r)]ψ = 0 (135)

solo tiene solución para determinados valores de En que se agrupan en “bandas deenergía” permitidas, alternadas con bandas de energía prohibidas.

Los electrones son fermiones que obedecen a la estadística de Fermi - Dirac. Es decir,el número de electrones por unidad de volumen en un estado de energía comprendidoentre E y E + δE viene dado por (93) donde G(E)δE es la función densidad deestados, que puede calcularse a partir de la estructura del potencial periódico, yF (E) es la distribución de Fermi - Dirac, (94), que indica la probabilidad de que unestado de energía E esté ocupado.

A la hora de entender las implicaciones de esta teoría hay que saber que, a temperaturaambiente, kT ∼ 0,025 eV ; mientras que la distancia energética entre bandas permitidases del orden de unos pocos electron-volts. Así, la probabilidad de que un electrón saltedesde el nivel superior de una banda permitida al nivel inferior de la siguiente bandapermitida suele ser muy pequeña. Teniendo esto en mente podemos clasificar los sólidoscristalinos en:

Conductores: aquellos sólidos que poseen una banda de energía parcialmente ocupa-da. Los electrones de conducción que ocupan dicha banda pueden interactuar con uncampo externo, redistribuyéndose en la banda de energía de modo que la velocidadmedia sea distinta de cero.

Aislantes: aquellos sólidos que presentan bandas de energía completamente llenaso completamente vacías, con bandas de energía prohibida entre ellas del orden devarios electron-volts.

36

Semiconductores: cuando la banda de energía prohibida entre una banda de va-lencia llena y otra vacía es lo suficientemente pequeña como para que pueda sersalvada por un número considerable de electrones a temperatura ambiente (porejemplo, en el Si el intervalo entre esas bandas es de 1,1 electron-volts. El niv-el de Fermi está situado aproximadamente a la mitad de ese intervalo, de modoque F (E) ' exp (−0,55/0,025) ' 10−9, pero el número de electrones de valenciapor metro cúbico es ∼ 1024, de modo que el número de electrones de conducciónes ∼ 1015, una cantidad suficiente como para que el Si tenga una conductividadapreciable a temperatura ambiente).

2. Concepto de masa efectiva. Huecos: Las soluciones a la ecuación de Schrodinger(135) en el potencial periódico de un sólido “unidimensional” son de la forma (T. deBloch):

ψn(x) = un(x)e±iknx (136)

donde un(x) es una función periódica que posee la periodicidad L de la red:

un(x+ L) = un(x) (137)

(la función ψn tridimensional satisface una propiedad análoga en tres dimensiones).

Ejercicio: Demostrar que la propiedad (137) garantiza que la densidad de probabilidadψψ∗ es un función periódica de periodicidad L.

Hay que tener en cuenta que la función u′n(x) = un(x) exp [−i(2mπ/L)x] es tambienperiódica de periodo L y que u′n(x) exp [i(knx+ 2mπ/L)x] ≡ un(x) exp (iknx) es portanto una solución válida. Así pues los vectores kn ± 2mπ/L son también vectores deonda válidos (correspondientes a las funciones periódicas u′n(x).

Ya hemos visto que, para un sólido formado, por un gran número de partículas, losestados de energía permitidos dan lugar a bandas continuas de energía, luego los valorespermitidos de k forman también una función continua de las energías permitidas, deperiodicidad 2π/L:

k(E) = k0(E)± 2mπ

L(138)

Si suponemos que esta función es continua y E solo puede tomar valores en ciertas bandas,hay que suponer que habrá puntos en los que la derivada de E(k) se anulará (allí dondese E alcance sus valores máximos y mínimos en cada banda). La gráfica debe ser ademássimétrica en k: E(k) = E(−k) y, por analogía con el electrón libre, tener un mínimo enk = 0.

Consideremos un paquete de ondas (un electrón) en el sólido, de energía E. Su velocidadserá la velocidad de grupo:

vg =dω

dk=

2π

h

dE

dk(139)

37

Si dicho electrón está sometido a un gradiente de potencial su variación de energía vendrádada por:

dE

dt= (−e)vg(−

dφ

dx) (140)

y su aceleración se obtiene derivando (139). Comparando estas expresiones se ve que

F ≡ (−e)(−dφdx

) = m∗a (141)

donde m∗ es una “masa efectiva” dada por

m∗ =

(h

2π

)2(d2E

dk2

)−1

(142)

Ejercicio: Demostrar que para un electrón libre m∗ = m.

Si trasladamos este resultado a la gráfica de E(k), teniendo en cuenta sus propiedadesde periodicidad, vemos que la masa efectiva debe crecer a medida que E crece, hacerseinfinita, luego menos infinita (pasar por un polo), para luego decrecer hasta un mínimoen valor absoluto en el primer máximo de E(k).

El concepto de masa efectiva se utiliza para trasladar las expresiones del gas de electroneslibres al sólido, simplemente sustituyendo m por m∗. La masa efectiva debe calcularsea partir de la relación de dispersión E(k) o determinarse experimentalmente. Hay quetener en cuenta que los sólidos tridimensionales pueden ser anisótropos. Entonces m∗ esun tensor.

La zona de masa efectiva negativa supone que los electrones se mueven en el sentidodel campo aplicado. Pero también corresponde a la zona en la que hay mas huecos queelectrones en el metal. Así, resulta mas cómodo expresar la corriente como el productode un hueco (carga positiva) de masa −m∗ positiva que se mueve en un campo E:

J = σE ; σ =Nhe

2τ

|m∗|(143)

donde Nh es la densidad de huecos y |m∗| su masa efectiva.

3. Conducción en los semiconductores intrínsecos: Cuando la distancia entre la banda(llena) de valencia y la banda (vacía) de conducción en un semiconductor es lo suficiente-mente pequeña como para que haya un número apreciable de electrones que hayan pasado(a la temperatura ambiente) de una a otra banda, aparece una conductividad dada por:

σ = Ne2(τem∗

2

+τhm∗

h

)(144)

donde N es la densidad de electrones en la banda de conducción (o de huecos en lade valencia, que debe ser la misma), τe (τh) es el tiempo medio entre colisiones de loselectrones (huecos) y m∗

e (m∗h) la masa efectiva de los electrones (huecos).

38

La probabilidad de encontrar un electron en la banda de conducción viene dada por ladistribución de Fermi (94). La probabilidad de encontrar un hueco en la banda de valenciaviene dada por:

Fh(E) = 1− F (E) =1

exp [(EF − E)/kT ] + 1(145)

dado que el número de electrones y huecos debe coincidir, ambas probabilidades debenser aproximadamente iguales (no lo son exactamente porque la función densidad de es-tados G(E) en (93) no es la misma para los huecos que para los electrones), el nivel deFermi debe estar aproximadamente en la mitad de la banda prohibida (entre la bandade valencia y la banda de conducción) y:

Ne = Nh ∝ exp (−1

2

Eg

kT) (146)

donde Eg es la distancia entre el nivel superior de la banda de valencia y el inferior de lade conducción (en (146) hemos hecho uso de que Eg � kT , de modo que la distribuciónde Fermi se aproxima a la de Boltzman, (146)).

Sustituyendo esta última expresión en (144), vemos que la dependencia de σ con latemperatura en un semiconductor intrínseco, viene dada fundamentalmente por la de-pendencia exponencial de N con la temperatura:

σ(T ) ∝ exp (− Eg

2kT) (147)

lo que, a diferencia de los metales, da una conductividad que crece con la temperatura.

4. Semiconductores dopados n y p: La red de un semiconductor de número atómico Zpuede “doparse” con impurezas “donadoras” (de número atómico Z+1) o “receptoras” deelectrones (de número atómico Z− 1). En ese caso los electrones de mas (o de menos) dela impureza quedan débilmente ligados a esta y pueden pasar a la banda de conducción(o dejar un hueco en la de valencia). Esto hace que aumente el número de electrones (ode huecos) de conducción, dando lugar a una conductividad:

σ = e2(Ne

τ2m∗

2

+Nhτhm∗

h

)(148)

donde se ha tenido en frecuencia que, ahora, Ne 6= Nh.

Ejercicio: Un modelo simple, pero que da resultados básicamente correctos, de la energíacon que el electrón extra está asociado a la impureza tipo n es el que la asimila a un “átomode hidrógeno” formado por el electrón Z+1 moviéndose en el campo de un ion positivo decarga +e [formado, a su vez, por el núcleo de carga +(Z + 1)e y los restantes electronesde carga total −Ze], pero sustituyendo en la expresión de Bohr para la energía del estadofundamental m por m∗ y ε0 por ε:

E ' e4m∗

8ε2h2= 13,6

m∗ε20mε2

eV. (149)

39

Demostrar que para el silicio, con m∗ = 0,31m y ε = 12 ε0, es E ' 0,029 eV., que es delorden de la energía de agitación térmica a temperatura ambiente (kT ' 0,025 eV.).

El cálculo de Ne y de Nh se hace aplicando la distribución de Fermi (94) para los elec-trones y (145) para los huecos. La posición del nivel de Fermi, sin embargo varía respectode su posición en el centro de la banda prohibida en los semiconductores intrínsecos.Típicamente la posición de EF a bajas temperaturas está en un lugar intermedio entreel nivel energético de los iones donadores o receptores [en la banda prohibida, a una dis-tancia dada por (149) del nivel inferior (superior) de la banda de conducción (valencia)],lo que equivale a decir que casi todos los electrones (huecos) de conducción provienen delas impurezas donadoras (receptoras). Cuando sube la temperatura, llega un momentoen el que casi todos los electrones (huecos) de las impurezas están en la banda de con-ducción (valencia), alcanzándose la saturación. Entonces, dado que ya no puede habermas transiciones entre las impurezas y las bandas vecinas de conducción o valencia, elnivel de Fermi desciende hacia la mitad de la banda prohibida (como en los semiconduc-tores intrínsecos). Si Ed es la distancia energética entre las impurezas y las bandas deconducción o valencia (dada por (149)), la conductividad es una función creciente de latemperatura de la forma σ ∝ exp−Ed/(2kT ) a bajas temperaturas, mientras que a altastemperaturas, sigue la ley (147).

5. Fotoconductividad: El número de electrones de conducción y de huecos puede serincrementado mediante la iluminación del semiconductor por fotones de energía hν igualo superior a las barreras de potencial Eg o Ed de los semiconductores intrínsecos odopados. Este fenómeno se denomina fotoconductividad.

Ejercicio: Dado que para el silicio puro Eg ' 1,1 eV., calcular la longitud de ondamínima de los fotones para que aparezca la fotoconductividad. Solución: 1,1 × 10−6 m.,en el infrarrojo.

40

Tema III: Fenómenos magnéticos en los conductores

1. Modificación de la Ley de Ohm en presencia de campos magnéticos, efectoHall. La fuerza total sobre una carga sometida a campos eléctricos y magnéticos (fuerzade Lorentz) viene dada por:

F = q (E + v ×B) (150)

donde v es la velocidad de la partícula. El término entre paréntesis en (150) puedeconsiderarse como el campo en el sistema propio de los portadores de carga: E′ = E+v×B. En el caso de que las partículas sean los portadores de carga de un medio conductor,ello implica que la ley de Ohm debe modificarse en presencia de campos magnéticosintensos:

J = σE′ = σ (E+ < v > ×B) (151)

donde < v > es la velocidad media de las partículas, que puede aproximarse mediante< v >= 1

NqJ, donde N es el número de portadores por unidad de volumen y q la carga

de los portadores. Sustituyendo en (151) obtenemos:

J = σE +σ

NqJ×B (152)

Esta expresión es correcta siempre que se cumpla la ley de Ohm, pero no expresa J deforme sencilla en función de los campos. Para ello, considerando el segundo término comouna perturbación, sustituimos J en el segundo término de (152) por su valor en primerorden de aproximación σE, obteniéndose:

J = σE +σ2

NqE×B (153)

que es la expresión de la ley de Ohm modificada en presencia de campos magnéticos.

Ejercicio: Demostrar, a partir del carácter pseudovectorial de B, que en un medioisótropo sometido a campos eléctricos y magnéticos, la relación entre J, E y B, en primerorden de aproximación, debe ser de la forma: J = aE+bE×B, donde a y b son constantesescalares características del medio.

De (152), despejando E se obtiene:

E =1

σJ− 1

NqJ×B (154)

Esta expresión indica que, al aplicar un campo magnético perpendicular a un conductorpor el que discurre una corriente, aparece una diferencia de potencial perpendicular a lacorriente y al campo magnético aplicado (efecto Hall). Además el signo de dicha diferenciade potencial depende del signo de la carga de los portadores, lo que permite distinguirentre la conducción debida a huecos (o electrones de masa negativa) y a electrones.

41

2. Corrientes de Foucault y circuitos con partes móviles: Las corrientes de Fou-cault se generan en cuerpos conductores (σ 6= 0) por efecto de los campos eléctricos noelectrostáticos generados por campos magnéticos exteriores. Pueden considerarse varioscasos:

a) Corrientes generadas por el movimiento de conductores en campos magnéticos, de-bido a la presencia de un campo E′ en el sistema de referencia local E′ = E+v×B,donde v es la velocidad local del cuerpo.

b) Corrientes generadas por campos magnéticos variables con el tiempo, debidas a

campos no electrostáticos dados por la ecuación ∇× E = −∂B∂t

.

c) Ambas a la vez

Para un cálculo riguroso de las corrientes de Foucault debe tenerse en cuenta:

a) Que las propias corrientes de Foucault generan a su vez campos magnéticos, pro-duciéndose un fenómeno de realimentación por el que el campo B no es en generaligual al campo externo aplicado.

b) El efecto Hall (153) que modifica la ley de Ohm en el sistema local cuando haycampos magnéticos presentes.

Generalmente, la modificación de la ley de Ohm (153) en el sistema local puede con-siderarse despreciable. En la presente sección despreciaremos también el primer efecto,lo que equivale a decir que las corrientes generadas son pequeñas (σ no muy alta). Masadelante, al estudiar campos armónicos en el tiempo, precisaremos mejor esta condición.

Ejercicio: Un solenoide de radio R, longitud l y N vueltas, tiene un núcleo cilíndricode conductividad σ. Si por él circula una intensidad I = I0cosωt, calcular la potenciadisipada en el núcleo (despreciar el campo B creado por las corrientes de Foucault en elnúcleo). Comparar con la potencia que se disiparía si se sustituye el núcleo macizo porun haz de M cables cilíndricos aislados entre sí.

Las corrientes de Foucault generan:

a) Fuerzas electromotrices:

E =

∮E′ · dl =

∮v ×B · dl +

∫∂B

∂t· n ds (155)

donde v es la velocidad del conductor.

b) Fuerzas mecánicas: la fuerza por unidad de volumen puede escribirse como

δf = J×B dv ; J ' σ(E + v ×B) (156)

donde se ha despreciado el efecto Hall.

42

c) Disipación de energía, dada por δP = σ|J|2 dv. En conductores en movimiento enun campo constante, debe cumplirse que el trabajo necesario para vencer la fuerzade frenado (156) es igual a la energía disipada.

Además de los campos eléctricos de inducción (no electrostáticos) que dan lugar a lascorrientes de Foucault, se generan también campos electrostáticos como consecuencia delos desplazamientos de carga. La circulación de estos campos se anula.

Ejercicio: Un disco conductor perfecto de radio a gira con velocidad angular ω en el senode un campo magnético exterior constante, uniforme y perpendicular al disco. Calcularla diferencia de potencial generada entre el eje del disco y los puntos de la periferia delmismo. Este sistema se conoce como “disco de Faraday”.

Ejercicio: Si el circuito se cierra a través de una resistencia exterior R, calcular laintensidad que lo atraviesa. ¿Cómo se distribuye esa corriente por el disco?. Calculartambién el momento de la fuerza que el campo externo ejerce contra el movimiento deldisco y comprobar que el trabajo necesario para mantener el giro del disco coincide conla potencia disipada por efecto Joule en la resistencia

Ejercicio: Suponer que el disco del ejercicio anterior tiene una conductividad constanteσ y un espesor t tal que puede suponerse que la corriente se distribuye uniformementepor la sección del disco. Suponer que el disco tiene un radio interior b < a. Calcular la re-sistencia interna del generador de f.e.m. formado por el disco, así como las distribucionesde corrientes y campo eléctrico en el interior del mismo.

Ejercicio: Un cilindro conductor muy largo, cuyo eje está orientado en la dirección z,se somete a un campo B “giratorio” de forma B = B0(cos(ωt)y− sen(ωt)y). Calcular elpar de fuerzas ejercido por el campo exterior sobre el cilindro.

3. Difusión magnética. Tiempo de relajación magnético: Cuando no se puede des-preciar el campo B creado por las propias corrientes de Foucault, el campo B satisfacela ecuación de difusión magnética:{

∇2 − µ0σ∂

∂t

}B = 0 (157)

ecuación que también satisfacen E y J

Ejercicio: Demostrar (157) a partir de ∇× E = −∂B∂t

y de ∇×B = µ0σE.

Para sistemas físicos finitos, el operador ∇2 se puede suponer del orden de l−2, donde les la dimensión característica del experimento. Sustituyendo este valor aproximado en laecuación de difusión magnética (157), ésta se reduce a una ecuación de relajación con untiempo de relajación magnético, τm, similar al tiempo de relajación eléctrico (132), dadopor

τm = l2µσ . (158)

que mide el tiempo aproximado en que tiende a cero cualquier perturbación del campomagnético del sistema.

43

4. Efecto pelicular: Si los campos varían de forma armónica con el tiempo: B(t) =<(B exp ωt) y la ecuación (157) se tansforma en:{

∇2 − ωµ0σ}

B = 0 (159)

Donde B es el fasor de B. Esta ecuación se escribe también:{∇2 +

((− 1)

δ

)2}

B = 0 (160)

donde:

δ =

√2

ωµσ(161)

tiene dimensiones de longitud y representa la distancia típica de penetración de un campomagnético variable con el tiempo en un medio conductor (ω es entonces la frecuenciatípica de variación del campo).

La ecuación (160) es ahora muy similar a la ecuación de onda, (∇2 + k2)B = 0, pero conun vector de onda complejo k = (j − 1)/δ.

Ejercicio: Demostrar que si, en la superficie de un semiespacio conductor infinito, quese extiende para toda z < 0, hay un campo magnético de la forma B(t) = <(B0 exp ωt),entonces, en el interior de dicho semiespacio conductor, el campo B es de la forma:

B(z) = B0ez/δez/δ ; ( z < 0 ) (162)

Ejercicio: Repite el primer ejercicio de la sección anterior pero sin despreciar el efectodel campo B generado por las corrientes de Foucault. ¿Qué ocurre cuando R � δ?(Sugerencia: usar la relación cosωt = <(exp(ωt)) para plantear la ecuación diferencial,así como el desarrollo asíntótico de la función de Bessel de orden cero y argumentocomplejo.

Los ejercicios anteriores ejemplifican un hecho de naturaleza general. Cuando las di-mensiones de los conductores son grandes en relación a la “distancia de penetración” δ(161), los campos no penetran en los conductores mas allá de unos pocos valores de δ.En ese caso y para muchas aplicaciones es preferible aproximar la densidad de corrientevolumétrica J sobre el conductor por una densidad superficial K definida por:

K =

∫ nδ

0

J dξ (163)

donde ξ es la coordenada normal hacia dentro del conductor y n se toma lo suficiente-mente grande como para que J se anule. Usando (162) con ξ en lugar de −z (la mismadependencia en ξ debe valer para J y para E), se demuestra que:

E|ξ=0 = ZsK = Zsn× H (164)

44

donde Zs es una magnitud compleja con dimensiones de impedancia, denominada impedan-cia superficial:

Zs =1 +

σδ(165)

Ejercicio Demostrar que la potencia disipada por unidad ded área en un buen conductorpuede escribirse como

∂Pd

∂S=

1

2Re(Zs)K · K∗ (166)

Ejercicio Demostrar, por integración directa de (165), que la contribución de la impedan-cia superficial a la impedancia total de un cilindro metálico de conductividad σ, longitudl y radio a� δ viene dada por:

Z = R + ω∆L = (1 + )l

2πaσδ(167)

En esta expresión, R es la resistencia efectiva (a alta frecuencia) del cilindro, que equivalea la de un cascarón cilíndrico de radio a y espesor δ. Por otro lado ∆L es el incrmentode la autoinducción debido a la penetración de los campos magnéticos en el conductor.

Ejercicio: Considérese un cable coaxial de radio interior a y exterior b, formado porconductores de conductividad σ. Demostrar que la autoinducción por unidad de longituddel cable viene dada por:

L = L0 +1

2

∂L0

∂ξδ (168)

donde L0 es la autoinducción por unidad de longitud del cable coaxial en el límite σ →∞y la derivada parcial es en la dirección normal a la superficie de los conductores y haciadentro de los mismos. Asimismo, el cable coaxial presenta una resistencia por unidad delongitud:

R =1

2ω∂L0

∂ξδ (169)

Los resultados (168) y (169) son de validez universal para cualquier dispositivo de dosconductores en el límite de fuerte efecto pelicular, constituyendo lo que se conoce como“Regla de Wheeler”.

5. Movimiento de un fluido conductor en presencia de campos magnéticos. Mag-netohidrodinámica: En esta sección consideraremos las ecuaciones del movimiento deun fluido conductor en presencia de campos magnéticos. Supondremos que se cumple queel tiempo de relajación del fluido es mucho menor que la escala de tiempos del experi-mento τ = ε/σ � ∆t, de modo que cualquier densidad de carga tenderá rápidamentea cero, con lo que el fluido será neutro: ρ = 0. En estas condiciones las ecuaciones delfluido serán:

45

La ecuación del movimiento:

ρmdv

dt= ρm

(∂v

∂t+ (v · ∇)v

)= J×B−∇p+ ... = f (170)

donde f es la fuerza por unidad de volumen, que incluye a la fuerza magnéticaJ × B, el gradiente de presiones −∇p, la fuerza viscosa, la fuerza de la gravedad,etc... Ejercicio: Demostrar que si ρ = 0, la fuerza magnética es un invariante deGalileo.

Las ecuaciones del campo electromagnético en aproximación cuasi-estática: ρ = 0,∂D/∂t = 0.

∇× E = −∂B∂t

; ∇ ·B = 0 (171)

∇×B = µJ ; ∇ · E = ρ/ε = 0 (172)

La ley de Ohm:J = σE′ = σ(E + v ×B) (173)

donde E′ es el campo “propio”, es decir el campo en el sistema de referencia que semueve con el fluido.

La ley de conservación de la masa:

∂ρm

∂t+∇ · (ρmv) = 0 (174)

Nótese que la conservación de la carga se cumple automáticamente pues ρ = 0 y de (172)se deduce que ∇ · J = 0.

6. Aplicación a plasmas: Un plasma es un gas ionizado formado por electrones e iones demodo que su densidad de carga sea nula en el equilibrio. Se supone que el gas obedece ala estadística de Maxwell-Boltzmann. Un caso particular es el “plasma” formado por loselectrones (o huecos) de conducción en un semiconductor, que hemos visto que tambiénobedecen a la estadística de Maxwell-Boltzmann. En ese último caso se supone al plasmaformado por un gas de electrones (o huecos) moviéndose sobre un fondo de densidadde carga constante, que modeliza a los iones de la red. Un plasma puede, en principio,considerarse como un fluido conductor de conductividad dada por la generalización de(82), siempre que se cumplan las condiciones de validez de dicha ecuación. Suponien-do un plasma formado por N electrones e iones monovalentes por unidad de volumen,tendremos:

σ = Ne2(τeme

+τimi

); v =

mivi +meve

mi +me

(175)

Sin embargo, para que las ecuaciones (170) a (174) describan adecuadamente el compor-tamiento del plasma, debe cumplirse además que:

46

El tiempo medio entre colisiones debe ser menor que el tiempo que tardan laspartículas individuales en describir una órbita o, teniendo en cuenta la expresiónpara la frecuencia de la órbita ω = eB/m:

τ � m

eB(176)

tanto para los electrones como para los iones. En caso contrario, las partículas semueven en el campo B exterior sin que las colisiones jueguen un papel apreciable(aproximación orbital).

Cualquier fluctuación de la carga debe de anularse a distancias de ésta muchomenores que las longitudes típicas del experimento. Esta condición puede formula-rse en función de la “longitud de apantallamiento” o “longitud de Debye” del plasma(ver el próximo ejercicio) en la forma:

λD ≡√ε0kT

2Ne2� L (177)

donde L es una distancia característica del experimento.

Ejercicio: Considérese una carga puntual Q en un plasma neutro en equilibrio termod-inámico formado por iones y electrones, de densidad N . Demostrar que el potencial elec-trostático en las proximidades de la carga Q satisface la ecuación:

φ = φ0 +Q

4πε0exp (−r/λD) (178)

[Ver Reitz-Milford p.346].

Ejercicio: Considérese un plasma formado por N electrones de conducción por unidadde volumen en un semiconductor. Demostrar que la longitud de Debye viene dada en esecaso por λD ≡

√(ε0kT )/(Ne2).

Ejercicio (Generador MHD): Considérese una solución estacionaria a las ecuaciones(170)–(174) para un líquido compresible y no viscoso a gravedad despreciable, de la forma:

v = v0x, con v0 constante y uniforme.

B = B0z + ∆B, con B0 constante y uniforme.

J = J0y, con J0 constante y uniforme.

E = E0y, con E0 constante y uniforme.

que corresponde a un flujo de un plasma en la dirección x, confinado entre dos placasaislantes en z = ±a/2. Demostrar que, para que se cumplan (170)–(174), así como lascondiciones de contorno en z = ±a/2, debe ser:

∆B = µ0J0zx

47

E0 = J0/σ + v0B0

p = p0 + J0B0x− 12µ0J

20z

2

Si en y = ±b/2 colocamos dos electrodos conductores y la longitud total en la direcciónx del dispositivo es l, demostrar que el dispositivo equivale a un generador de f.e.m. yresistencia internas dadas por:

E = bv0B0

Rg = b/(σla)

Demostrar también que la caída de presión a lo largo del dispositivo (en dirección x) dala fuerza necesaria para compensar las pérdidas por efecto Joule (R+Rg)I

2, donde I esla intensidad que circula por el generador y R la resistencia externa o “resistencia decarga”. La influencia de la viscosidad se analiza en Jackson, pp.484 y ss.

7. Difusión y convección en fluidos conductores: De las ecuaciones (171), (172) y(173) se deduce que:

∂B

∂t=

1

µσ∇2B +∇× (v ×B) (179)

En la mayoría de los fluidos y plasmas µ ' µ0, de modo que la importancia relativa deambos sumandos depende sobre todo de σ y de v.

Si σ es pequeña domina el primer sumando y la ecuación que se obtiene para B es laecuación de difusión (157). En ese caso la evolución de B no depende del movimientodel fluido. Se dice que dominan los mecanismos de difusión y las ecuaciones para elmovimiento del fluido y para la evolución de B están desacopladas y pueden resolversepor separado (primero se calcula la evolución de B y luego el movimiento del fluido enel campo B(r, t) ya calculado). Si σ es grande, entonces el primer sumando de (179) esdespreciable y dominan los efectos de convección o arrastre del campo magnético por elfluido, como veremos en el próximo apartado.

Por otra parte, para líquidos conductores en el laboratorio, con velocidades del ordende unos centímetros por segundo, dominan los efectos de difusión, incluso para buenosconductores. En los problemas astrofísicos, sin embargo, es común que se cumpla que elsegundo sumando es el predominante.

8. Conservación de la energía y efecto Joule. Plasmas no disipativos: El trabajorealizado por la fuerza electromagnética sobre el fluido viene dado por:

δW

δV δt= J · E (180)

Podemos expresarlo en función del campo propio E′ = E + v × B. Teniendo en cuentaque J · v ×B = −v · J×B se obtiene:

δW

δV δt= J · E′ + v · J×B (181)

48

El segundo término es el trabajo realizado por la fuerza magnética que aparece en laecuación del movimiento (170) y se invierte en aumentar la energía cinética del fluido.El primero, por tanto, debe ser igual a la disipación de calor por efecto Joule:

δQ

δV δt= J · E′ = J · (E + v ×B) (182)

En el caso de que el plasma no disipe calor, debe ser:

E + v ×B = 0 (plasma no disipativo) (183)

lo que, tras sustituir en (173), implica que σ →∞ (si J 6= 0).

9. Aproximación de conductividad infinita. Congelación del flujo: Ya hemos vistoque esta aproximación equivale a despreciar la disipación de energía por efecto Joule. Apartir de (179) despreciando el primer sumando, se demuestra que, dado un contorno Cque se mueve con el fluido, la derivada total del flujo magnético que lo atraviesa se anula:

dΦ

dt≡∫

C

∂B

∂t· n ds+

∮C

B · v × dl = 0 (184)

Es decir, el flujo magnético que atraviesa cualquier curva que se mueva con el fluido esuna constante. Esto implica que las líneas de B se mueven con el fluido, fenómeno quese conoce con el apelativo de “congelación del flujo”.

Ejercicio: Demostrar geométricamente que la derivada total de una integral de flujo concontornos móviles viene dada por:

d

dt

∫C(t)

B · n ds =

∫C

∂B

∂t· n ds+

∮C

B · v × dl (185)

.

De la Ley de Ohm (173) se deduce que, en el límite σ →∞:

E = −v ×B (σ →∞) (186)

de donde, la velocidad perpendicular a las líneas de flujo (que es a la vez la velocidad delas líneas de campo), viene dada por:

vB ≡ v − (v ·B)B

B2=

E×B

B2(187)

que coincide con la “velocidad de deriva” de las partículas en los campos E y B cruzados.

Utilizando la expresión para el triple producto vectorial ∇× (v×B) ≡ v(∇·B)−B(∇·v) + (B · ∇)v− (v · ∇)B, se demuestra a partir de (179) que, en el límite σ →∞ y parafluidos incompresibles (∇ · v = 0):

dB

dt≡ ∂B

∂t+ (v · ∇)B = (B · ∇)v ≡ B

∂v

∂s(188)

49

donde la derivada es en la dirección de la línea de campo. La ecuación (188) expresa queB crece en proporción a v a lo largo de una línea de flujo, lo que es lógico ya que alaumentar v las líneas de v se estrechan (en un fluido incompresible) y lo mismo debesuceder con las de B como consecuencia de (184).

10. Conductividad finita. Viscosidad magnética (tema avanzado): Cuando no puedehacerse la aproximación σ →∞, una forma útil de expresar la fuerza magnética es:

J×B = −σB2(v⊥ − vB) (189)

donde v⊥ es la componente de la velocidad del fluido perpendicular a B y vB viene dadaen función de E y B por (187).Ejercicio: Demostrar (189) a partir de la ley de Ohm (173).

De la expresión (189) se deduce que:

No hay fuerza magnética en la dirección de las líneas de flujo (aunque, evidente-mente, otras fuerzas pueden empujar al fluido en esa dirección)La fuerza magnética tiende a mantener la velocidad del fluido perpendicular alcampo igual a la velocidad de deriva (187). Esta fuerza actúa como una “viscosidadmagnética” que trata de mantener al fluido a la velocidad de deriva.

11. Presión hidromagnética: La fuerza magnética J×B puede expresarse, usando (172)mediante:

J×B = − 1

µB× (∇×B) = −∇|B|

2

2µ+

1

µ(B · ∇)B (190)

El primer término equivale al gradiente de una “presión hidromagnética” dada por:

pM =B2

2µ(191)

que es igual a la densidad de energía magnética. Esta “presión” tiende a empujar al fluidohacia las zonas de menor campo magnético.El segundo término generalmente no se anula, aunque puede ser despreciable frente altérmino de presión. Este es el caso de un campo magnético unidireccional; en tal caso laecuación ∇ · B = 0 garantiza que no hay variación del campo en la dirección de éste yentonces el segundo término de (191) se anula.

12. Ejemplo: Descargas en plasmas: En este apartado estudiaremos el caso importantede un plasma en reposo v = 0 a través del cual se produce una descarga. De acuerdocon (179) con v = 0, la ecuación para B será la ecuación de difusión, cuya solución yaconocemos en el caso de σ alta: la corriente se confina en una pequeña corona cilíndricaen torno a la descarga, siendo B = 0 en su interior. Por lo tanto, si el radio de la descargaes R, tendremos B = 0 para r < R y hay un salto de presión en r = R dado por

∆p = p(r < R)− p(r > R) =[B(r > R)]2

2µ0

=µ0I

2

8π2R2(192)

50

(el otro término en (191) se anula). Suponemos que la presión ordinaria está relacionadacon la densidad del plasma a través de p = NkT (la temperatura en el plasma se consideramuy superior a la temperatura exterior, de modo que ∆p ' p). Entonces, igualando ambaspresiones, la intensidad de la descarga viene dada por:

I =

√8π2R2NkT

µ0

(193)

y como la intensidad debe ser constante, se debe cumplir que R2N = Cte. a lo largo dela descarga.

Ejercicio: Demostrar que para el caso de baja conductividad, en el que la corriente sedistribuye uniformemente por toda la descarga, la presión satisface la ecuación:

p(r) =µ0I

2

4π2R2

(1− r2

R2

)(194)

.

Las ecuaciones anteriores indican como un plasma que transporte una corriente puede serauto constreñido por las propias fuerzas magnéticas que tienden a mantenerlo confinado.No obstante, la situación de equilibrio descrita es inestable, de modo que son necesariasfuerzas adicionales para hacerla estable.

13. Ondas magnetohidrodinámicas (ondas de Alfven): Consideremos un fluido con-ductor perfecto, sin viscosidad y en ausencia de gravedad. Si además despreciamos losefectos de la presión hidrostática, podemos eliminar J y E de las ecuaciones (170) - (174)para obtener:

ρm

(∂v

∂t+ (v · ∇)v

)= − 1

µB× (∇×B) (195)

∂B

∂t= ∇× (v ×B) : ∇ ·B = 0 (196)

Si suponemos que el fluido se halla inicialmente en reposo con B = B0 y v = 0 yprovocamos una pequeña perturbación:

B = B0 + B1(r, t) y

v = v1(r, t)

Las ecuaciones para B1, v1, válidas en primer orden de aproximación son lineales y sededucen de (195) - (196):

ρ0∂v1

∂t+

1

µB0 × (∇×B1) = 0 (197)

∂B1

∂t−∇× (v1 ×B0) = 0 : ∇ ·B1 = 0 (198)

51

Aún podemos eliminar B1 en (197) - (198), obteniéndose la ecuación para v1:

∂2v1

∂t2+ vA ×∇× [∇× (v1 × vA)] = 0 (199)

donde:

vA =B0√µρ0

=

√2pM

ρ0

B0

B0

(200)

es la “velocidad de Alfven”. Si consideramos campos y velocidades que varíen armóni-camente en el tiempo y en el espacio: v1 = v exp [(ωt− k · r)], sustituyendo en (215)obtenemos la ecuación para las ondas planas:

ω2v + vA × k× [k× (v × vA)] = 0 (201)

Consideraremos varias casos particulares de interés:

a) Si v es paralela a B0, entonces (201) no tiene solución

b) Si v es perpendicular a B0 podemos considerar tres casos:

1) Si k es perpendiculares tanto a v como a B0 la ecuación (201) no tiene solución:tampoco hay ondas transversales con k perpendicular a B0.

2) Si k es perpendicular a v (ondas transversales) y paralela a B0, entonces lassoluciones a (201) son las ondas hidromagnéticas o de Alfven, cuya velocidadde fase coincide con la velocidad de Alfven:

ω/k = vA (202)

en ese caso no hay variación de la densidad (∇ · v = 0) y tenemos una ondapuramente hidromagnética. La perturbación magnética B1 viene dada por:

B1 = −B0

vA

v (203)

siendo perpendicular a B0.3) Si k es paralela a v (ondas longitudinales) y perpendicular a B0, la solución de

(201) da ondas que se propagan con una velocidad de fase igual a la velocidadde Alfven (200). Pero en ese caso varían tanto la densidad (∇ · v 6= 0) como elcampo magnético, siendo la perturbación magnética paralela a B0:

B1 =v

vA

B0 (204)

La onda expresa los efectos de compresión debidos a las variaciones longitudi-nales de la presión magnética (191).

52

A la hora de juzgar la utilidad de las expresiones anteriores hay que indicar que, parala mayoría de las situaciones experimentales en el laboratorio, la velocidad de Alfven esde dos a tres órdenes de magnitud inferior a la del sonido, por lo que no está justificadodespreciar los efectos de la presión hidrostática, que dan lugar a las ondas de sonido, queson el fenómeno dominante. No obstante, en la corona solar y en otras situaciones quese estudian en astrofísica, la velocidad de Alfven supera en varios órdenes de magnituda la del sonido, siendo los fenómenos hidromagnéticos los dominantes.

Ejercicio: Demostrar los resultados enumerados mas arriba a partir de la resolución de(201).

Ejercicio: Demostrar que la relación de dispersión general que se deduce de (201) con vperpendicular a k y a B0 es:

ω/k = ±vAcosθ (205)

donde θ es el ángulo entre la dirección de propagación de la onda, k, y B0. Demostrarque dichas ondas se propagan con una velocidad de grupo paralela a B0 e igual a vA

Ejercicio: Demostrar que, de (201) se deduce la existencia de ondas con v contenida enel plano definido por k y B0, con la relación de dispersión:

(ω/k) = vA (206)

.

14. Efectos de la presión. Ondas magneto-sonoras (tema avanzado): Consideremosun fluido conductor perfecto, sin viscosidad y en ausencia de gravedad. Podemos eliminarJ y E de las ecuaciones (170) - (174) para obtener:

ρm

(∂v

∂t+ (v · ∇)v

)= −∇p− 1

µB× (∇×B) (207)

∂B

∂t= ∇× (v ×B) : ∇ ·B = 0 (208)

∂ρm

∂t+∇ · (ρmv) = 0 (209)

Si suponemos que el fluido se halla inicialmente en reposo con ρm = ρ0, B = B0 y v = 0y provocamos una pequeña perturbación:

ρm = ρ0 + ρ1(r, t),B = B0 + B1(r, t) yv = v1(r, t)

Las ecuaciones para ρ1, B1, v1, válidas en primer orden de aproximación son lineales yse deducen de (207) - (209):

ρ0∂v1

∂t+∇p+

1

µB0 × (∇×B1) = 0 (210)

53

∂B1

∂t−∇× (v1 ×B0) = 0 : ∇ ·B1 = 0 (211)

∂ρ1

∂t+∇ · (ρ0v1) = 0 (212)

Si suponemos que la presión solo depende de la densidad y que el proceso es adiabático,como en las ondas de sonido p = p0 + ∂p/∂ρ y:

∇p = s2∇ρ1 : s2 =

(∂p

∂ρ

)S

(213)

donde s es la velocidad del sonido en el fluido.Aún podemos eliminar B1 y ρ1 en (210) - (213), obteniéndose la ecuación para v1:

∂2v1

∂t2− s2∇(∇ · v1) + vA ×∇× [∇× (v1 × vA)] = 0 (214)

donde:

vA =B0√µρ0

=

√2pM

ρ0

B0

B0

(215)

es la “velocidad de Alfven”, cuya relación con la presión hidromagnética (191) es sim-ilar a la velocidad del sonido con la presión termodinámica (213). Si consideramoscampos y velocidades que varíen armónicamente en el tiempo y en el espacio: v1 =v exp [(ωt− k · r)], sustituyendo en (215) obtenemos la ecuación para las ondas planas:

ω2v − s2k(k · v) + vA × k× [k× (v × vA)] = 0 (216)

Consideraremos varias casos particulares de interés:

a) Si v es paralela a B0, entonces (216) se reduce a la ecuación de propagación delsonido con k paralela a v y a B, con la relación de dispersión:

ω/k = s (217)

No hay ondas transversales (k perpendicular a v) con v paralela a B0.b) Si v es perpendicular a B0 podemos considerar tres casos:

1) Si k es perpendiculares tanto a v como a B0 la ecuación (216) no tiene solución:tampoco hay ondas transversales con k perpendicular a B0.

2) Si k es perpendicular a v (ondas transversales) y paralela a B0, entonces lassoluciones a (216) son las ondas hidromagnéticas o de Alfven, cuya velocidadde fase coincide con la velocidad de Alfven:

ω/k = vA (218)

en ese caso no hay variación de la densidad (∇ · v = 0) y tenemos una ondapuramente hidromagnética. La perturbación magnética B1 viene dada por:

B1 = −vAB0v (219)

siendo perpendicular a B0.

54

3) Si k es paralela a v (ondas longitudinales) y perpendicular a B0, la solución de(216) da ondas que se propagan con la velocidad de fase:

ω/k =√s2 + v2

A (220)

en ese caso varían tanto la densidad como el campo magnético, siendo la per-turbación magnética paralela a B0:

B1 =v√

s2 + v2A

B0 (221)

La onda combina los efectos de compresión debidos a las variaciones longitudi-nales tanto de la presión termodinámica, como de la presión magnética (191).Estas ondas reciben el apelativo de “ondas magnetosonoras”.

Ejercicio: Demostrar los resultados enumerados mas arriba a partir de la resolución de(216).

Ejercicio: Demostrar que la relación de dispersión general que se deduce de (216) paraondas puramente hidromagnéticas (ondas de Alfven) con v perpendicular a k y a B0 es:

ω/k = ±vAcosθ (222)

donde θ es el ángulo entre la dirección de propagación de la onda, k, y B0. Demostrarque dichas ondas se propagan con una velocidad de grupo paralela a B0 e igual a vA

Ejercicio: Demostrar que, de (216) se deduce la existencia de ondas magnetosonoras,con v contenida en el plano definido por k y B0, con la relación de dispersión:

(ω/k)2 =(s2 + v2

A)±√

(s2 + v2a)

2 − 4v2As

2cos2θ

2(223)

.

15. Propiedades magnéticas de los superconductores: Es sabido que la conductividadde determinados metales y de determinados compuestos cerámicos se hace infinita pordebajo de cierta temperatura “crítica” Tc. Sin embargo, esta no es la única característicade los materiales superconductores, que presentan también propiedades magnéticas:

En primer lugar, la superconductividad se presenta a temperaturas T < Tc y acampo magnético nulo. Si la muestra superconductora se coloca en un campo externoparalelo a su interfaz (para que pueda penetrar en su interior), la superconductividaddesaparece para campos superiores a un cierto campo “crítico”

Hc = H0

(1− T 2

T 2c

)(224)

siendo H0 una constante del material.

55

Por otro lado, el flujo magnético se anula en el interior de un superconductor (efectoMeissner), incluso si el campo externo es constante. Este efecto diferencia la super-conductividad de la mera conductividad infinita y se conoce como “diamagnetismoperfecto” de los superconductores, ya que puede interpretarse como que los super-conductores poseen una permeabilidad magnética nula: µ = 0. [En realidad estosólo es estrictamente cierto para un cierto tipo de superconductores (tipo I). Existeotro tipo de superconductores (tipo II), entre los que se cuentan todos los super-conductores de alta temperatura, para los que el flujo se anula totalmente hasta uncierto valor del campo aplicado y a partir de ahí se anula sólo parcialmente].

Ejercicio: Para ilustrar la diferencia entre un superconductor tipo I y un medio con con-ductividad infinita, considérese el siguiente ejemplo: Un solenoide de N espiras y secciónS se arrolla en torno a un cilindro superconductor de sección S ′ < S que se encuentrainicialmente a temperatura superior a la crítica y sometido a un campo magnético es-tático paralelo a su eje, de valor B0. A partir de un cierto instante se enfría el cilíndrohasta que alcanza el estado superconductor. Si la espira está cortocircuitada y presen-ta una resistencia despreciable ¿Cuanto vale la intensidad que se induce en la mismaa consecuencia del enfriamiento del cilíndro superconductor?. ¿Ocurriría lo mismo si lasuperconductividad consistiese en una simple elevación de la conductividad del material?.

16. Ecuación de London: La anulación del flujo dentro de un superconductor implica que,en su superficie, ha de generarse una cierta corriente superficial K = n×Hext, tal que elcampo magnético se anula en el interior del superconductor. Sin embargo experimentosdel tipo del descrito en el ejercicio anterior llevaron a la conclusión de que la exclusióndel flujo en los superconductores no era total, sino que éste penetraba en el interiorde los superconductores una pequeña distancia λ, llamada “longitud de London”. Estoimplicaría que la corriente superficial no era tal, sino que se trataba de una corriente devolumen, aunque limitada a una pequeña película de espesor λ (del orden de una décimade micra) bajo la superficie del superconductor. Para describir ese fenómeno, Londonpropuso una ecuación fenomenológica para J:

µ0∇× J = − 1

λ2B (225)

que, combinada con la ley de Ampère, ∇×B = µ0J y teniendo en cuenta que ∇ ·B = 0da la ecuación para B: (

∇2 − 1

λ2

)B = 0 (226)

que es formalmente análoga a la ecuación de difusión (160) y que, al igual que ella,establece que los campos solo penetran en los superconductores una distancia del ordende λ.

17. Conductividad imaginaria de los superconductores: La analogía entre (226) y laecuación de difusión (159) sugiere que la superconductividad se puede describir mediante

56

una conductividad imaginaria dada por:

σ =1

ωµ0λ2(227)

Dicha conductividad imaginaria, que se haría infinita para campos estáticos, lleva direc-tamente a la ecuación de London. Por otra parte, establece que la potencia disipada porefecto Joule en el superconductor es nula. Asimismo, su sustitución en (161) y en (165),lleva a la conclusión de que sobre los superconductores puede definirse una impedanciasuperficial

Zs = ωµ0λ = ω∆L (228)

que se interpreta como un incremento de la autoinducción por unidad de superficie∆L = µ0λ. Este incremento de la autoinducción se denomina “inercial”, porque puedeinterpretarse como relacionado con la energía cinética de los portadores de carga super-conductores.

Ejercicio: Considérese un fluido formado por N portadores de carga q por unidad devolumen que pueden acelerarse sin fricción en un campo eléctrico aplicado. Demostrarque la conductividad de tal medio será imaginaria y vendrá dada por:

σ =Nq2

ωm(229)

donde m es la masa de los portadores. Comparando este resultado con (227) vemos quela superconductividad puede interpretarse como debida a portadores que no colisionan nientre sí ni con los iones o impurezas de la red. Estos portadores vienen caracterizadospor la relación m/q2 = µ0λ. La teoría cuántica de la superconsutividad - teoría BCS -establece que dichos portadores se forman por la asociación de dos electrones para formarun bosón (pares de Cooper).

57

Tema IV: Magnetización

1. Teoría de Poisson del magnetismo: La primera teoría del magnetismo en la materiase debe a Poisson y es enáloga a la teoría de la polarización expuesta en el capítulo I. Elcampo magnético de los cuerpos magnetizados se supone creado por los microscópicosmomentos magnéticos asociados a los átomos y moléculas que componen la materia. Lamagnetización, M(r), se de define como el momento magnético por unidad de volumendel cuerpo:

M =1

δV

∑mi (230)

donde el sumatorio se extiende a todos los dipolos elementales contenidos en el volumenδV .

Sabemos que, en ausencia de corrientes, el campo magnético es irrotacional y puedededucirse de un potencial escalar magnético. Utilizando la expresión para el potencialescalar magnético de un dipolo:

φm(r) =pi · r

4π|r− ri|3(231)

se demuestra, de forma análoga al caso de la polarización, que el potencial creado por uncuerpo magnetizado viene dado por:

φm(r) =1

4π

{∫ρm(r′) dv′

|r− r′|+

∮σm(r′) ds′

|r− r′|

}, (232)

donde ρm y σm son unas “densidades de carga de magnetización” o “polo magnético”,que se extienden sobre el volumen y la superficie del cuerpo, respectivamente. Estasdensidades de carga vienen dadas por:

ρm = −∇ ·M ; σm = M · n (233)

donde n es el vector unitario normal dirigido hacia afuera de la superficie del cuerpo. Demodo análogo a lo que ocurre con la carga de polarización, la carga total de magnetizaciónse anula.

De modo análogo al potencial eléctrico, la ecuación para φm es :

∇2φm = −ρm , (234)

donde ρm es la “densidad de carga magnética”. El campo magnético de Poisson, H seobtiene del potencial escalar magnético de modo análogo al campo eléctrico:

H = −∇φm . (235)

58

Las condiciones de contorno para H se deducen de (235) y (233). En particular, las condi-ciones de contorno para H en la frontera entre un medio (medio 1) con magnetizaciónM1 y otro medio (medio 2) con magnetización M2 son:

n× (H2 −H1) = 0 , (236)

donde n es el vector normal a la interfaz que apunta del medio 1 al vacío (medio 2), y:

n · (H2 −H1) = σm = n · (m1 −m2) , (237)

donde σm es la “densidad superficial de carga magnética”.

La imposibilidad de aislar una carga magnética no nula (es decir, inseparabilidad delos polos magnéticos), así como los experimentos de Oersted, que demostrarón que lascorrientes eléctricas - y no las “cargas magnéticas” - son las verdaderas fuentes del cam-po magnético, dieron al traste con la teoría de Poisson. Como veremos está teoría, sinembargo, mantiene su validez como caso particular de la teoría, mas general, de Ampère.

2. Teoría de Ampére de la magnetización: En la teoría de Ampére la magnetización sedefine también como el momento magnético por unidad de volumen (230). Sin embargo,los momentos magnéticos elementales, mi, se suponen formados por diminutas espirasde corriente (|mi| = IiSi). El potencial escalar magnético de cada uno de dichos dipolosvendrá dado por:

A =µ0

4π

mi × (r− ri)

|r− ri|3. (238)

. De (238) se deduce, tras algunos cálculos, que el potencial vector del cuerpo magnetizadoviene dado por:

A(r) =µ0

4π

{∫Jm(r′) dv′

|r− r′|+

∮Km(r′) ds′

|r− r′|

}, (239)

donde Jm y Km son unas “densidades de corriente de magnetización”, que se extiendensobre el volumen y la superficie del cuerpo, respectivamente. Estas densidades de corrientevienen dadas por:

Jm = ∇×M (240)

Km = M× n , (241)

donde n es el vector unitario normal a la superficie del cuerpo y dirigido hacia afuera.

Ejercicio: Demostrar (239) a partir de (238).

Si definimos la corriente total como la suma de las corrientes de magnetización antesdefinidas, mas las corrientes de carga libre, J, K, la ecuación de la magnetostática parael rotacional del campo magnético B (también llamado “densidad de flujo magnético”para diferenciarlo de H) queda:

∇×B = µ0(J + Jm) , (242)

59

Si introducimos (240) en (242) obtenemos:

∇×H = J (243)

donde el campo H (que luego veremos que es el campo de Poisson) viene definido por larelación:

B = µ0(H + M) (244)

ecuación que, en vacío, se transforma en B = µ0H. Por razones históricas, a veces, alcampo magnético B se le denomina “densidad de flujo magnético” y al campo magnéticode Poisson, H, simplemente “campo magnético”.

La ecuación (243), y la ecuación∇ ·B = 0 (245)

forman las ecuaciones diferenciales de la magnetostática en medios materiales. La condi-ción de contorno para H en la frontera entre dos medios de magnetización M1 y M2, sededuce de la forma integral de (243):

n× (H2 −H1) = K (246)

donde K es una eventual corriente de carga libre sobre la superficie de separación. Engeneral K = 0, excepto en el caso de que uno de los medios sea un conductor perfecto oun superconductor. (No confundir la corriente de carga libre K con la corriente de cargaligada Km definida en (241), que en general no se anula). La condición de contorno paraB se deduce de (245):

n · (B2 −B1) = 0 (247)

donde n es el vector unitario perpendicular a la interfaz y dirigido del medio 1 al 2.

La teoría de Ampére es hoy universalmenmte admitida como válida, siendo la teoría dePoisson un caso particular de la misma, aplicable solo en ausencia de corrientes libres.De acuerdo con dicha teoría, el campo B es el campo fundamental a nivel microscópico,siendo el campo H una magnitud auxiliar. Sin embargo, la presencia en la materia demomentos magnéticos de spín que (a diferencia de los momentos magnéticos orebitales)no es posible describir adecuadamente como lazos microscópicos de corriente, ha vuelto aabrir el debate acerca de cual de ambos campos , B o H, es el fundamental en el interiorde los medios magnetizados (ver la discusión al respecto en Panofsky). En cualquier caso ydesde un punto de vista puramente macroscópico, esta discusión carece de sentido, siendoambas alternativas equivalentes. Desde este punto de vista, la teoría de Ampère tiene laventaja de ser coherente con la teoría electromagnética clásica de Faraday - Maxwell, queestablece que las corrientes de cargas son la única fuente de los campos magnéticos.

3. La teoría de Poisson como caso particular de la teoría de Ampére: Si la corrientede carga libre se anula, de (243) se deduce que ∇ ×H = 0 y podemos hacer derivar Hde un “potencial escalar magnético” φm, de acuerdo con (235). En general, salvo paracampos generados por imanes permanentes, esto sólo será cierto en parte del espacio. La

60

ecuación para φm podemos derivarla de ∇·B = 0 con B = µ0(H+M), resultando (234).Las condiciones de contorno se obtienen (246) y (247), resultando (236) y (237).

Las ecuaciones anteriores configuran un problema de potencial en todo análogo al elec-trostático.

Ejercicio: Calcular el potencial φm en el interior y el exterior de una esfera de radio Rde magnetización uniforme M. Demostrar que, en el interior de la esfera es

H = −(1/3)M ; B = µ0(2/3)M (248)

.

4. Relaciones constitutivas: Las ecuaciones anteriores sólo pueden resolverse si se conoceM, ya sea como dato ya sea como función de los campos B ó H. A partir de esta últimarelación pueden establecerse las relaciones constitutivas del medios en cuestión. En el casode que dichas relaciones sean lineales, la relación entre M y los campos suele establecerse,por razones históricas, a través de las relaciones entre M y H. En el caso de relacioneslineales:

M = χmH (249)

donde χm es un parámetro adimensional llamado “susceptibilidad magnética”. De (250):

B = µH ; µ = µ0(1 + χm) (250)

donde µ es la “permeabilidad magnética” del medio. Si χm < 0 el medio se llama dia-magnético. Si χm > 0 paramagnético.

5. La física clásica no da ni paramagnetismo ni diamagnetismo. Teorema deBohr – Van Leuven: El teorema de Bohr – Van Leuven establece que no puede haberuna explicación puramente clásica de ninguno de estos fenómenos: un cuerpo compuestode partículas “clásicas” cargadas no es ni diamagnético ni paramagnético. En efecto, laenergía de un microestado de dicho cuerpo no puede depender del campo magnéticoaplicado, ya que la energía de una partícula cargada es:

Ui =1

2miv

2i + qiφi (251)

donde φi es el potencial eléctrico creado en la posición de la partícula por las demás cargasdel sistema. En la expresión precedente de Ui no aparece ningún término relacionado conel campo magnético, ya que las fuerzas magnéticas sobre cargas en movimiento no realizantrabajo sobre ellas. De ese modo, la probabilidad de un microestado dado (un estadocaracterizado por un punto en el espacio de las fases de coordendas –vi, ri–) no dependedel campo magnético aplicado. Por tanto, según la estadística claásica, la distribuciónde microestados en el macroestado de equilibrio es idéntica con y sin campo magnéticoaplicado.

61

6. Campo local y campo medio: Al igual que hicimos al estudiar la polarización, alestudiar la magnetización conviene distinguir entre campo local o molecular Hm, Bm ycampo medio macroscópico H, B. Siguiendo un razonamiento análogo al que lleva a laexpresión de Lorentz para el campo local (20) y usando (248), obtenemos:

Hm = H +1

3M ; Bm = B− 2

3µ0M (252)

de donde, sustituyendo en (244) obtenemos:

Bm = µ0Hm (253)

tal y como era de esperar, ya que los campos locales describen la relación entre átomosy moléculas en un medio vacío.

En la mayoría de los cuerpos magnetizables (excepto los ferro-, ferri-, y antiferromagnéti-cos), la susceptibilidad magnética es tan pequeña, del orden de 10−5 o menos, que a difer-encia de lo que ocurre con los fenómenos de polarización, los campos locales pueden con-siderarse aproximadamente iguales a los campos macroscópicos. Es decir, en los mediosdia- y paramagnéticos lineales:

Hm ' H ; Bm ' B (254)

siendo entonces la susceptibilidad magnética igual al producto de la magnetizabilidadmolecular por la densidad.

7. Teoría cualitativa del diamagnetismo: El diamagnetismo consiste en la aparición deuna magnetización de signo contrario al campo aplicado. La explicación cualitativa deldiamagnetismo es inmediata a partir de la teoría de Ampére que considera los momentosmagnéticos elementales como resultado de la presencia de lazos microscópicos de corrienteen los átomos y moléculas, así como de la ley de Faraday que establece que toda variacióndel flujo magnético externo a través de una espira de corriente genera una f.e.m. que seopone a la variación de dicho flujo. Los siguientes ejercicios ayudan a clarificar este punto:

Ejercicio: Considere una espira de resistencia nula, de autoinducción L y radio R,sometida a un campo magnético externo variable con el tiempo. Demostrar que el flujomagnético que atraviesa la espira (como consecuencia del campo externo más el campocreado por las corrientes en la espira) es constante. Suponiendo que en t = 0 el campoexterno y la intensidad en la espira son ambos nulos, calcular la intensidad y el momentodipolar magnético de la espira en función del campo externo para t > 0. Demostrar que elmomento magnético de la espira es en todo instante de signo contrario a la componentedel campo externo perpendicular a la espira.

Ejercicio: Considere un medio artificial compuesto por N espiras como las del ejercicioanterior por unidad de volumen, dispuestas y orientadas aleatoriamente en una matrizinerte. Calcular la susceptibilidad eléctrica efectiva del medio. Demostrar que el medio esdiamagnético.

62

Los ejercicios anteriores ilustran el comportamiento cualitativo que cabe esperar de loslazos microscópicos de corrientes, postulados por Ampère, así como el carácter diamag-nético de los medios por ellos compuestos. La existencia del diamagnetismo fue, histórica-mente, uno de los mayores argumentos a favor de la teoría de Ampère de la magnetización(la teoría de Poisson predecía susceptibilidades magnéticas siempre positivas para camposestáticos, análogamente a la susceptibilidad eléctrica). El diamagnetismo es un fenóenomuy débil, con suscéptibilidades del orden de 10−5 o menores. Hoy en día se consideraque el diamagnetismo está presente en todos los materiales, aunque en algunos casosaparece enmascarado por un fenómeno mucho mas fuerte: el paramagnetismo.

8. Teoría cuántica del diamagnetismo (tema avanzado): Antes de pasar a describirla teoría microscópica del diamagnetismo, repasaremos las ecuaciones del movimientode una carga puntual en un campo eléctrico central y un campo magnético uniformeB = Bz. En ese caso, el momento angular L no es una constante del movimiento, sinoque debe definirse un momento angular generalizado:

Lg = L− 1

2qr× (r×B) (255)

Ejercicio: Demostrar que el potencial vector asociado a un campo magnético uniformepuede expresarse como A = −1

2r × B, de modo que Lg se escribe también como Lg =

L + qr×A.

La ecuación del movimiento para Lg es:

d

dtLg = ωL × L ; ωL = −

q

2mB (256)

(ωL es la “frecuencia de Larmor”). De (256) se deduce de inmediato que la componentede Lg paralela a B, Lg,z es una constante del movimiento:

Lg,z = Lz +1

2qr2B = Cte. (257)

Este resultado será utilizado para establecer la teoría cuántica del diamagnetismo.

Consideremos un electrón en el campo central de un átomo y sometido a un campo Buniforme B = Bz. De acuerdo con (256) Lg,z y no Lz es una constante del movimiento.Así pues debemos aplicar las reglas de cuantización a Lg,z y no a Lz:

Lg,z = Lz −1

2e(x2 + y2)B = n

h

2π(258)

Por otra parte, el momento magnético asociado al electrón vendrá dado por:

m =1

2

∫r× J dv = −1

2er× v (259)

63

donde hemos usado J = −evδ(r − r′). Teniendo en cuenta la expresión del momentoangular L. vemos que:

m = − e

2mL (260)

Podemos ahora asociar (258) con (260) para obtener el valor medio del momento mag-nético electrónico en la dirección del campo aplicado:

< mz >= −n he

4mπ− e2B

4m< x2 + y2 > (261)

Consideremos ahora un material formado por N átomos por unidad de volumen denúmero atómico Z. Al promediar (261) el primer sumando, que corresponde a la magneti-zación en ausencia de campo aplicado se anula. Al promediar el segundo podemos tomar< x2 + y2 >= 2/3 < r2 >, siendo < r2 > el radio medio atómico. Así pues obtenemos:

M = χmH ; χm = −NZe2 < r2 > µ0

6m(262)

donde hemos utilizado (253) y (254). La susceptibilidad magnética así obtenida resultaser negativa e independiente de la temperatura. El orden de magnitud es de χm ∼ 10−5

o menor, lo que justifica la aproximación (254).

Teoría clásica del paramagnetismo: La teoría clásica del paramagnetismo es similara la teoría de la polarización por orientación expuesta en 28–(33), excepto en que aquí noes necesario distinguir entre campo local y campo macroscópico (en virtud de (254)). Elparamagnetismo se presenta en medios con moléculas polares que presentan un momentodipolar magnético intrínseco m0 y se debe al momento dipolar medio que adquierentales dipolos permanentes cuando están sometidos a un campo magnético externo y ala agitación térmica. Este valor puede calcularse a partir de la mecánica estadística,obteniéndose la ecuación de Langevin:

< m >= m0L(y) = m0

(ctgh(y)− 1

y

); y =

µ0m0H

kT(263)

de aquí, mediante un desarrollo en serie de Taylor en el límite µ0m0Em � kT , obtenemosla susceptibilidad magnética:

χm =Nµ0m

20

3kT ,(264)

Nótese que la susceptibilidad paramagnética, a diferencia de la dimagnética, es positivay fuertemente dependiente de la temperatura. Los valores obtenidos de la susceptibilidadmagnética suelen ser de uno o dos órdenes de magnitud superiores a los de la susceptibili-dad diamagnética (262). De ese modo, en las sustancias formadas por átomos o meléculascon momento magnético intrínseco distinto de cero se puede despreciar la susceptibilidaddiamagnética y usar (264).

64

9. Teoría cuántica del paramagnetismo (tema avanzado): Consideremos un átomosometido a un campo magnético uniforme B = Bz. Si el momento angular total delátomo no es nulo, éste tendrá un momento magnético asociado que tenderá a orientarseparalelamente al campo magnético. De acuerdo con la teoría cuántica, la componente zdel momento magnético viene dada por:

mz = −pgmB ; −J ≤ p ≤ J ; mB =eh

4πm(265)

donde p puede ser entero o semientero y varía de uno en uno, mB es el “magnetón deBohr”, J el número cuántico asociado al momento angular y g es el denominado “factorde Landé” que varía entre 1 para el momento angular orbital y ' 2 para el momentode spín: 1 ≤ g ≤ 2. La probabilidad de encontrar un valor de p dado es proporcional aexp (−Up/kT ) = exp (−pgmBB/kT ). Así pues, la magnetización por unidad de volumenvendrá dada por:

Mz = N

∑J−J pgmB exp (pgmBB/kT )∑J

−J exp (pgmBB/kT )(266)

donde hemos sustituido p por −p sin que ello modifique el resultado.

Ejercicio: Demostrar que:

S1[x; J ] ≡J∑−J

exp (px) =senh[(J + 1/2)x]

senh(x/2)(267)

Sugerencia: restar S1 de S1 expx y obtener una ecuación para S1.

Ejercicio: Demostrar que:

S2[x; J ] ≡J∑−J

p exp (px) (268)

viene dada por

S2 =(J + 1/2)cosh[(J + 1/2)x]senh(x/2)− (1/2)cosh(x/2)senh[(J + 1/2)x]

senh2(x/2)(269)

Sugerencia: usar que S2 = ∂S1/∂x.

Utilizando (267) y (269), así como (253), (254) se demuestra que:

Mz = NgJmBBJ(y) ; y =gmBJµ0H

kT(270)

donde BJ es la “función de Brillouin” dada por:

BJ(y) =

{2J + 1

2Jcoth

(2J + 1

2Jy

)− 1

2Jcoth

(1

2Jy

)}(271)

65

La función de Brillouin tiene un comportamiento similar a la de Langevin (28) y tiendea ella en el límite clásico en que J →∞ y h→ 0.Excepto a muy bajas temperaturas y � 1, lo que permite hacer un desarrollo en serie deTaylor de (271), obteniéndose:

BJ(y) ' J + 1

3Jy (272)

donde se ha usado el desarrollo en serie de Taylor de la cotangente hiperbólica: coth(x) =1/x+ x/3 + .... Y finalmente:

M = χmH : χm =Ng2m2

bJ(J + 1)µ0

3kT, (273)

resultado que coincide con el resultado clásico si tenemos en cuenta que g2m2bJ(J + 1) =

m20 es el momento magnético intrínseco del átomo.

10. Paramagnetismo del gas de electrones libres: Muchos metales como el sodio o elaluminio son paramegnéticos cuando deberían ser diamagnéticos si sólo considerásemoslas propiedades magnéticas de los iones de la red. Además su susceptibilidad paramag-nética no depende de la temperatura. Este comportamiento queda explicado por la teoríade Pauli del paramagnetismo de los electrones de conducción. Éstos se comportan comoun gas de electrones libres (ver Tema II). En Ausencia de campo magnético la energía delos electrones no depende de su spín. En presencia de un campo aplicado la energía de loselectrones con spín paralelo al campo (spín +) es menor que la energía de los electronescon spín antiparalelo (−). Este incremento sobre su estado en ausencia de campo vienedado por:

E± = E0 ∓∆E ; ∆E =1

2gmBB = mBB ; mB =

eh

4πme

(274)

donde 1/2 es el número cuántico de spín de los electrones (s = ±1/2), g es el factor deLandé (g = 2 para el momento angular de spín) y mB el magnetón de Bohr.Ejercicio: Considere une electrón que describe una órbita de radio r. Demostrar que si elmomento angular del electrón está cuantizado (L = nh/π), entonces el momento dipolarmagnético asociado al movimiento orbital del electrón vale m = −nmB.La ecuación (274) implica en que el potencial químico para ambos tipos de electronesviene dado por:

µ± = EF ∓∆E (275)

como en el equilibrio ambos potenciales deben igualarse, el número de electrones con spínparalelo, N+, debe ser mayor que el número de electrones con spín antiparalelo, N−. Deacuerdo con (275) los niveles de Fermi para ambos tipos de electrones serán:

E±F = EF [B = 0]±∆E (276)

De ese modo, si ∆E es pequeño, la diferencia entre el número de electrones con spínesparalelo y antiparalelo vendrá dada por:

N+ −N− = G(EF [B = 0])∆E (277)

66

Un cálculo sencillo teniendo en cuenta (274) así como (91) y (92) da:

M = (N+ −N−)mB = χmH ; χm =3Nm2

Bµ0

2EF

(278)

donde se ha despreciado la variación (pequeña en todo caso) de EF con la temperatura.La susceptibilidad magnética obtenida es positiva y no depende de la temperatura. Susvalores son del mismo orden que los de la susceptibilidad diamagnética (262), por lo queambos efectos compiten y hay metales paramagnéticos y diamagnéticos.

11. Propiedades macroscópicas de los materiales ferromagnéticos: El ferromag-netismo, a diferencia del diamagnetismo y el paramagnetismo que son efectos débiles,es un efecto fácilmente observable, presentándose valores de la susceptibilidad magnéticadel orden de 105 en algunos casos.

Histéresis: la relación entre B y H no solamente es no lineal, sino que depende dela historia anterior del material.

Saturación: a partir de un campo dado, el material alcanza un valor máximo dela magnetización, que corresponde a que todos los momentos magnéticos elemen-tales están alineados (salvo una pequeña agitación térmica). Este valor de la mag-netización se llama “magnetización de saturación” Ms. Para valores superiores delcampo las relaciones constitutivas son simplemente: B = µ0(H + Ms). El valor delcampo H para el que se alcanza la saturación se llama “campo de saturación” Hs

Ciclos de histéresis: cuando el material se somete a un campo H externo quevaría con el tiempo de forma cíclica, el campo B describe una curva cerrada en elplano H−B. Esta curva recibe el nombre de “ciclo de histéresis”. El “ciclo máximo”corresponde al ciclo descrito cuando el material se lleva hasta la saturación en ambosextremos del ciclo, de modo que la magnetización varía entre Ms y −Ms. Existenno obstante infinitos ciclos de histéresis posibles.

Pérdidas de histéresis: El trabajo que es necesario realizar por unidad de volumenpara que el material describa un ciclo de histéresis viene dado por la integral a lolargo del ciclo:

w =

∮C

H · δB = ∆q > 0 (279)

Esta cantidad debe ser positiva y el trabajo realizado se transforma en calor, con-stituyendo las denominadas “pérdidas por histéresis”. Nota: No confundir con laspérdidas óhmicas que aparecen en los ferromagnéticos que además son conductorescomo consecuencia de las corrientes de Foucault.

Remanencia: como consecuencia de la existencia de ciclos de histéresis, ocurreque tanto B como M en el material no son nulos, incluso cuando H = 0 en suinterior. Este fenómeno se llama remanencia y la magnetización correspondiente ala situación H = 0 en el ciclo máximo de histéresis, se denomina magnetización deremanencia Mr.

67

Coercitividad, campo coercitivo: Del mismo modo, que B sea nulo no implicaque H lo sea. El valor Hc del campo magnético para el cual B = 0 en el ciclo máximose denomina “campo coercitivo”.

Campo de demagnetización: en ausencia de un campo aplicado y salvo configu-raciones excepcionales, el campo H tampoco es cero en el interior del ferromagnético.Este campo interno se denomina “campo de demagnetización” porque su sentido essiempre contrario a M y tiende a reducir la magnetización. En imanes permanenteeste campo de demagnetización tiende a reducir la imanación del imán con paso deltiempo.

Ferromagnéticos duros y blandos: Los materiales con grandes campos coerci-tivos y fuertes pérdidas por histéresis se denominan ferromagnéticos “duros” y se em-plean para hacer imanes permanentes. Los medios con pocas pérdidas por histéresisy débil campo coercitivo se denominan ferromagnéticos “blandos”, presentan valoresmuy altos de la susceptibilidad magnética efectiva y se utilizan como núcleos detransformadores y en electroimanes.

Dominios: Los materiales ferromagnéticos presentan una estructura mesoscópicaen dominos. Cada dominio se halla completamente magnetizado y presenta paredesnítidas con los dominios adyacentes. En ausencia de magnetización la magnetizaciónpromedio se anula obviamente. El tamaño de los dominios es un resultado de la com-petencia entre dos tendencias a minimizar la energía: la que tiende a hacer nulo elcampo magnético macroscópico y la que tiende a minimizar la superficie de con-tacto entre dominios. El proceso de magnetización se realiza por crecimiento de losdominios con magnetización paralela al campo aplicado primero y por reorientaciónde la magnetización de los dominios después, hasta alcanzar la saturación

Temperatura de Curie: Las propiedades de los ferromagnéticos dependen de latemperatura, convirtiendose en paramagnéticos por encima de cierta temperaturadenominada temperatura de Curie Tc. Para el hierro Tc = 770oC. Por encima de latemperatura de Curie la susceptibilidad magnética presenta una dependencia de latemperatura del tipo:

χm =C

T − Tc

(280)

Una exposición mas detallada de estas propiedades macroscópicas de los materiales fer-romagnéticos puede verse en el texto de D.Jiles citado en la bibliografía.

12. Teoria de Weiss del ferromagnetismo: La teoría de Weiss es una teoría fenomenológ-ica. Parte de una generalización de (252) en la forma:

Hm = H + γM (281)

donde el término γM es un campo “molecular” que tiende a alinear los momentos mag-néticos moleculares en la misma dirección. Weiss no fue capaz de dar ninguna expli-cación de este término en términos de ninguna teoría física fundamental, siendo Frenkel

68

y Heisenberg quienes propusieron una primera explicación de dicho campo efectivo quehoy es aceptada unánimemente, al menos de modo cualitativo. De acuerdo con (281), lamagnetización M vendrá dada por una ecuación similar a (263):

M = Nm0L(y) ; y =µ0m0

kT(H + γM) . (282)

Obsérvese que el único cambio respecto de (263) es la diferente definición de y.

Consideremos primero las soluciones de (282) cuando no hay campo magnético (H = 0).Dichas soluciones se obtienen de la intersección de las curvas

M = Nm0L(y) (283)

M =kT

γµ0m0

y (284)

Como la función de langevin L(y) tiene pendiente 1/3 en el origen, habrá solución de(282) para H = 0 si

kT

γµ0m0

<1

3Nm0 (285)

La temperatura de transición

Tc =Nµ0m

20

3kγ (286)

es la temperatura crítica por debjo de la cual se produce el ferromagnetismo. La ecuacuón(286) permite obtener el parámetro γ a partir del valor experimental de la temperaturacrítica. Los valores de γ obtenidos experimentalmente son muy superiores al valor 1/3que aparece en (252) (por ejemplo, para el hierro γ ∼ 5,000).

Consideremos ahora las soluciones de (282) cuando hay campo magnético (H 6= 0).En la fase paramagnetica (T > Tc) y para campos pequeños (y � 1), se cumple queL(y) ' (1/3)y, de modo que (282) se reduce a

M = Nm01

3y ; y =

µ0m0

kT(H + γM) . (287)

En ese caso la solución para M es analítica

M = χmH ; χm =Nµ0m

20

3k(T − Tc)(288)

Obsérvese que (288) es de la forma (280), de modo que se cumple la Ley de Curie.

En la fase ferromagnética (T < Tc), incluso para H = 0 hay una solución para M , demodo que la hipótesis y � 0 no se comple incluso si H → 0. En ese caso hay que resolverel sistema de ecuaciones (282) de forma gráfica o numérica y en el caso de que y � 1 elmaterial alcanza el valor máximo de la magnetización:

Mmax = Nm0 . (289)

69

Hay que indicar que (282) da la magnetización de los dominios en función de la temper-atura. La magnetización macroscópica en cambio depende, como ya se ha indicado, dela historia anterior de la muestra.

13. Corrección cuántica a la teoria de Weiss del ferromagnetismo (tema avan-zado): La teoría de Weiss parte de (281), la magnetización M vendrá dada por unaecuación similar a (270):

Mz = NgJmBBJ(y) ; y =gmBJµ0

kT(H + γM) (290)

donde se ha supuesto que H = H z. Obsérvese que el único cambio respecto de (270) esla diferente definición de y.

En la fase paramagnética (T > Tc), se supone que y � 1 y que (290) tiene una solasolución. A partir de (272) y de (290), tras algunos cálculos se obtiene:

M = χmH ; χm =NJ(J + 1)g2m2

Bµ0

3k(T − Tc)(291)

siendo:Tc =

NJ(J + 1)g2m2Bµ0

3kγ (292)

ecuación que permite la determinación experimental de γ. Obsérvese que (291) es de laforma (280).

En la fase ferromagnética (T < Tc) hay una solución para (290) incluso en ausencia decampo aplicado (H = 0). Dicha solución podemos obtenerla de (290) imponiendo H = 0:

M = NgJmBBJ(y) =kT

γmBJµ0

y , (293)

sistema de ecuaciones que puede resolverse gráficamente.

14. Éxitos y limitaciones de la teoría de Weiss: La teoría de Weiss logra explicarsatisfactoriamente:

La presencia de una magnetización prmanente por debajo del punto de Curie.

La dependencia de la susceptibilidad con la temperatura por encima del punto deCurie (ver (280) y (288)).

Sin embargo, presenta las siguientes e importantes limitaciones:

En la teoría de Weiss el parámetro γ es un parámetro fenomenológico que es nece-sario determinar experimentalmente y que no puede obtenerse a partir de razon-amientos físicos fundamentales. En 1928 Frenkel y Heisenberg propusieron inde-pendientemente una explicación para el campo molecular de Weiss, basada en la

70

interacción de intercambio, que tiende a alinear los spines de los electrones de modoantiparalelo. Dado que el campo molecular tiende a alinear los momentos magnéti-cos moleculares de modo paralelo, la teoría de Frenkel y Heisenberg necesita de unainteracción compleja.

Por otro lado, en el caso de ferromagnéticos conductores, que son los mas comunes(Fe, Ni, Co), los valores de Mmax/N que se obtienen no coinciden con el momentomagnético del electrón, como indicaría (289). Este hecho sugiere que el ferromag-netismo de tales elementos está relacionado con los electrones deslocalizados deconducción, que solo parcialmente se orientarían con el campo aplicado. Pero no sedispone de una teoría sencilla del ferromagnetismo de los electrones de conducción.Para una exposición mas completa de este punto consultar D.Jiles, pp.263 y ss.

15. Antiferromagnetismo y ferrimagnetismo: Los fenómenos que presentan orden mag-nético a gran escala no se reducen al ferromagnetismo. Existen materiales llamados an-tiferromagnéticos que presentan una transición de fase a una temperatura, llamada tem-peratura de Neel, TN . Para T > TN la susceptibilidad decrece con la temperatura de laforma:

χm =C

T + Tc

(294)

donde Tc es otro parámetro del material. Para T < TN el material se hace anisótropo yla susceptibilidad crece con la temperatura.

Los ferrimagnéticos se comportan de modo análogo a los ferromagnéticos por debajo deuna cierta temperatura crítica Tc. Para T > Tc, sin embargo, la susceptibilidad no siguela regla simple de los ferromagnéticos (280), sino que decrece con la temperatura de unmodo mas complicado. Los ferrimagnéticos son compuestos cerámicos (óxidos de hierroy otros metales) y tienen un gran interés tecnológico debido a que son aislantes y nopresentan pérdidas óhmicas como la mayoría de los ferromagnéticos.

Es posible establecer teorías del antiferromagnetismo y del ferrimagnetismo análogas ala de Weiss para el ferromagnetismo (Neel, 1932, 1948), partiendo de la idea de que laestructura de ambos está formada por varias subredes iónicas cuyos spines se orientanantiparalelamente por efecto de un intenso campo molecular de la forma (281). Si losspines de las subredes se cancelan tenemos el antiferromagnetismo. Cuando no se cancelanel material es ferrimagnético. Una exposición accesible de tales teorías puede consultarseen Elliot, pp. 445 y ss.

71

Tema V: Dispersión

1. Concepto de dispersión: El concepto de dispersión procede de la óptica y hace ref-erencia a la dispersión de los paquetes de ondas al propagarse en los medios materiales.Esta dispersión está relacionada con las diferentes velocidades de fase vf = 1/

√µε de sus

componentes en el dominio de la frecuencia. Es decir, está relacionada con la dependenciade la frecuencia tanto de ε como de µ. Es en este sentido de dependencia con la frecuenciade los parámetros macroscópicos del medio en el que estudiaremos la dispersión

2. Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia (Repaso): Las relacionesconstitutivas de medios lineales se expresan mejor en el dominio de la frecuencia, es decirpara fasores. Ello es así porque las relaciones en el dominio del tiempo toman la formade una integral de convolución. Para medios lineales:

D(t) = ε0E + ε0

∫ ∞

−∞χe(τ)E(t− τ) dτ (295)

donde el principio de causalidad impone que

χe(τ) = 0 para todo τ < 0 (296)

de modo que la integral se extiende sólo a los instantes anteriores a t. Si consideramos uncampo E que varíe armónicamente con el tiempo a frecuencia ω, la relación (295) suponela siguiente relación entre los fasores de D y E:

D = ε0 (1 + χe(ω))E = ε(ω)E (297)

donde χe(ω) es la transformada de Fourier de χe(τ):

χe(ω) =

∫ ∞

−∞χe(τ)e

−ωτdτ (298)

(de hecho, los fasores de E(ω) y D(ω) pueden considerarse como las transformadas deFourier de E(t) y D(t)). Análogamente entre los fasores de B y H en un medio lineal seda la relación:

B = µ0 (1 + χm(ω))H = µ(ω)H (299)

de ese modo las relaciones lineales no locales en el tiempo (295) (y su análoga para mediosmagnéticos), adquieren en el dominio de la frecuencia (o fasorial) la forma mucho massimple dada por (297) y (299).

Las ecuaciones de Maxwell para fasores toman la forma:

∇× E = −ωB (300)

∇×H = J + ωD (301)

72

Nótese que las otras dos ecuaciones se deducen de (300) y (301) y de la ecuación deconservación de la carga para fasores:

∇ · J + ωρ = 0 (302)

y para medios lineales se completan mediante las relaciones constitutivas (297) y (299).

Las relaciones (297) – (301) son útiles porque cualquier campo real E(t) puede escribirsecomo una integral de Fourier (o una serie para campos periódicos en el tiempo):

E(t) =1

2π

∫ ∞

−∞E(ω)eωtdω (303)

de los fasores E(ω)dω dados por:

E(ω) =

∫ ∞

−∞E(t)e−ωtdt (304)

donde hemos extendido el concepto de fasor a frecuencias negativas, pero nótese que paraque E sea real debe cumplirse que

E(−ω) = E∗(ω) (305)

y

E(t) =1

π

∫ ∞

0

Re(E(ω)eωt

)dω (306)

Las ecuaciones (303) – (306) clarifican la relación entre fasores y transformadas de Fourier.

La conductividad óhmica de un medio puede tratarse, junto con su permitividad dieléc-trica, como formando parte de una única constante dieléctrica compleja

ε(ω) = ε(ω)− σ(ω)/ω (307)

En ese caso el fasor del vector desplazamiento eléctrico incluye, en su parte imaginaria,las corrientes óhmicas de conducción: D = εE = εE− JOhm/ω.

3. Teorema de Poynting complejo: De acuerdo con la propiedad (334) de los fasores, elvector de Poynting complejo:

S =1

2E×H∗ (308)

cumple la propiedad:< S >= Re(S) (309)

pero las propiedades de (308) van mas allá de (309). En efecto, de (300) y (301) se deduceque:

∇ · S +1

2E · J∗ − ω

1

2(E ·D∗ −B ·H∗) = 0 (310)

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Ejercicio: Demostrar (310).

Si consideramos una superficie cerrada Σ e integramos en su volumen interior, obtenemos:∮Σ

S · n ds+1

2

∫Σ

E · J∗ dv − ω1

2

∫Σ

(E ·D∗ −B ·H∗) dv = 0 (311)

Para un medio lineal caracterizado por unas constantes ε(ω) y µ(ω), (92) toma la forma:∮Σ

S · n ds+1

2

∫Σ

E · J∗ dv − ω1

2

∫Σ

(ε∗|E|2 − µ|H|2

)dv = 0 (312)

La interpretación de la parte real de (312) no es otra que el balance de energía promedi-ado en el tiempo. Nótese que para campos que varían armónicamente con el tiempo, elpromedio de la energía electromagnética almacenada en el interior de la superficie cerra-da Σ es una constante, de modo que el promedio temporal del flujo de energía hacia elexterior debe ser igual al de la potencia suministrada al campo por las partículas:

Re{∮

Σ

S · n ds}

= −1

2Re{∫

Σ

E · J∗ dv}− ω

1

2

∫Σ

(Im(ε)|E|2 + Im(µ)|H|2

)dv = 0

(313)donde puede apreciarse que las partes imaginarias de ε y µ están relacionadas con ladisipación de energía en el material. Cuando el medio en el interior de Σ es un medioóhmico, el segundo miembro incluye las pérdidas por efecto Joule.

La parte imaginaria de (312) también admite una interpretación, al menos cuando σ seanula en el material (o cuando incluimos σ en la constante dieléctrica compleja ε). Enese caso:

Im{∮

Σ

S · n ds}

=1

2ω

∫Σ

(Re(ε)|E|2 − Re(µ|)H|2

)dv = 2ω (< UE > − < UM >)

(314)Es decir, el flujo hacia afuera de la parte imaginaria del vector de Poynting complejo,nos da la diferencia entre los promedios temporales de las energías eléctrica y magnéticaalmacenadas dentro de la superficie Σ.

Nota: Esta interpretación es, sin embargo, criticable en el sentido de que la última igual-dad de (314), que implica la generalización de la fórmula estática para la energía a camposvariables armónicamente con el tiempo, no es trivial. De hecho (ver p.ej. Landau, Bre-dov, Panofski...) la densidad de energía de un pulso cuasi-monocromático de radiaciónelectromagnética de frecuencia central ω0 es:

< u >=1

4

{∂(ωε)

∂ω|E|2 +

∂(ωµ)

∂ω|H|2

}, (315)

que, en el límite de baja dispersión coincide con (314). Por tanto, (314) es sólo una aprox-imación, válida cuando ε(ω) y µ(ω) pueden considerarse aproximadamente constantes enel rango de frecuencias analizado.

74

Ejercicio: Considérese un condensador plano de placas circulares de radio R, separadasuna distancia d� R. El condensador se está cargando merced a una intensidad externaque varía armónicamente con el tiempo a la frecuencia ω, cuyo fasor es I. Despreciandolos efectos de borde, calcular el flujo del vector de Poynting complejo hacia fuera delcondensador, demostrando que es imaginario e igual a dos veces el promedio de la energíaeléctrica almacenada en el condensador (ya que la energía magnética almacenada en uncondensador es despreciable frente a la eléctrica).

Ejercicio: Demostrar (315) para una onda plana en un medio transparente a partir delhecho de que el flujo de energía (el vector de Pointing) debe ser igual al producto de lavelocidad de grupo por la densidad de energía.

Ejercicio: Discutir, a la luz del teorema de Poynting complejo (312), el significado dela parte imaginaria de la constante dielectrica ε definida en (297) y (298), demostrandoque está asociada a una corriente de polarización ∂P/∂t en fase con el campo eléctrico,que genera perdidas de potencia de modo análogo a la corriente óhmica de conducción.

4. Propiedades de la susceptibilidad compleja χe (tema avanzado): Consideremosla extensión al plano complejo de la susceptibilidad compleja χe, definida en (298), dondeω es ahora sustituida por una variable compleja ω. Para χe(ω) pueden demostrarse lassiguientes propiedades:

a)χe(−ω) = χ∗e(ω

∗) (316)

que se deduce del hecho de que la transformada inversa de χe, χe(τ), debe ser real.b)

|χe(ω)| está acotada para Im(ω) < 0 (317)

que se deduce de la condición de causalidad (296).c) Teniendo en cuenta (296), los valores de χeω para valores grandes de |ω con |Im(ω) <

0 vienen determinados por los valores de χe(τ) para τ pequeño. Si hacemos undesarrollo en serie de χe(τ) en torno a τ = 0:

χe(τ) = χ0 + χ1τ + χ2τ2 + ... (318)

y sustituimos en (298), obtenemos que

χe(ω) → −χ0

ω+χ1

ω2− ... (319)

d) Si no incluimos la conductividad óhmica en la constante dieléctrica (o si ésta seanula), no hay razón física para que aparezca una polarización en el material en elestado inicial. Es decir, de χe(τ) = 0 para τ < 0, se deduce que χeτ debe anularesetambién para τ = 0. Entonces, el primer término de (319) se anula y además el valormedio de χe(ω) se anula:

χe(ω) → χ1

ω2; < χe(ω) >= 0 (320)

75

lo que se deduce de que la transformada inversa de (298) para τ = 0 no es sino laintegral de χe(ω) en todo el eje real. La propiedad (320) indica que el valor mediode ε(ω) debe ser igual a ε0 y que para ω →∞, debe ser ε→ ε0.

e)Im(χe(ω)) ≤ 0 (321)

para todo ω real y positiva. Esto se deduce de la interpretación de (313) y del hechode que todos los medios lineales deben ser disipativos.

5. Relaciones de Kramers-Krönig (tema avanzado): Sea Im(ω) < 0, de acuerdo conla propiedad (320) y con el teorema de Cauchy:

χ(ω) = − 1

2π

∫ ∞

−∞

χ(ω′)

ω′ − ωdω′ (322)

Aproximemos ahora ω al eje real: ω = ω− δ con 0 < δ � 1. En el límite δ → 0 podemosescribir:

χ(ω) = − 1

2πP{∫ ∞

−∞

χ(ω′)

ω′ − ωdω′}− χ(ω)

2π

∫ ω+ε

ω−ε

dω′

ω′ − ω(323)

donde P indica la “parte principal” de la integral. La última integral de (323) puede ahoracalcularse usando ω′−ω = ε exp (jφ) y dω′ = d(ω′−ω) = j dφ ε exp (jφ). El resultado es:∫ ω+ε

ω−ε

dω′

ω′ − ω= −π (324)

lo que sustituido en (323) da finalmente:

χ(ω) = − 1

πP{∫ ∞

−∞

χ(ω′)

ω′ − ωdω′}

(325)

La ecuación (325) contiene ya a las denominadas “relaciones de Kramers-Krönig”. Noobstante, suele escribirse de otro modo. Para ello se hace uso de la propiedad (316) que,para ω real implica que la parte real de χ(ω) es una función par y la parte imaginariaimpar. Teniendo esto en cuenta, tras un poco de álgebra, se demuestra que:

Re[χ(ω)] = − 2

πP{∫ ∞

0

ω′Im[χ(ω′)]

ω′2 − ω2dω′}

(326)

Im[χ(ω)] =2ω

πP{∫ ∞

0

Re[χ(ω′)]

ω′2 − ω2dω′}

(327)

Las ecuaciones anteriores son conocidas como las “relaciones de Kramers-Krönig” (ob-sérvese que en (326)–(327) sólo aparecen frecuencias reales y positivas, que son las queposeen sentido físico). Éstas relaciones son de gran importancia y generalidad e implicanque todo medio polarizable o magnetizable debe ser, a su vez, disipativo.

76

Ejercicio: Considérese un medio disipativo que presente bandas de absorción muy es-trechas en frecuencia - lo que puede ser un modelo aproximado de las bandas de absor-ción atómicas en los medios reales -. Supóngase que dichas bandas estrechas de absor-ción pueden modelarse mediante una parte imaginaria de χ(ω) de la forma Im[χ(ω)] =−∑Kiδ(ω − ωi). ¿Que expresión para la pare real de la susceptibilidad dieléctrica del

material se deduce de dicha aproximación?. Este ejemplo es interesante porque expresael comportamiento en frecuencia de Re[χ(ω)] en un medio “sin pérdidas” o medio “trans-parente”

Las relaciones de Kramers-Krönig pueden tambien extenderse a medios óhmicos. Yavimos que tales medios pueden describirse mediante la constante dieléctrica compleja(307). Las relaciones de Kramers-Krönig (326)–(327) pueden entonces generalizarse paraestos medios a condición de definir:

ε(ω) = ε0 − σ0

ωε0+ ε0χe(ω) (328)

donde σ0 es la conductividad estática (es decir, el primer término en el desarrollo de σ(ω)en serie de potencias de la frecuencia). Con χe(ω) así definida, se consigue extraer el poloen ω = 0 y las relaciones (326)–(327) se generalizan sin dificultad.

6. Modelo de Drude-Lorentz para medios polarizables: El modelo de Drude-Lorenzasume que las cargas ligadas en los medios polarizables se mueven de acuerdo con laecuación de un oscilador armónico, sujeto a una fuerza recuperadora de constante mω2

0

y a una fuerza disipativa proporcional a la velocidad, de constante mγ:

d2x

dt2+ γ

dx

dt+ ω2

0x =qE

m(329)

donde se han despreciado los efectos de la fuerza magnética, que es menor que la eléctricaen un factor v/c, donde c es la velocidad de la luz y v la velocidad de las partículascargadas. Cuando la partícula se somete a un campo eléctrico que varía armónicamentecon frecuencia ω, (329) se convierte en:

(−ω2 + γω + ω20)x =

qE

m(330)

Considerando un átomo o melécula formado por Z electrones de carga −e, sujetos a laecuación (330), se obtiene una polarizabilidad molecular dinámica α(ω) dada por:

p = ε0α(ω)Em ; α(ω) =ω2

p

N

∑i

fi(ω2i − ω2 + γiω)−1 (331)

donde ωi son las frecuencias de resonancia de cada oscilador, fi las denominadas “fre-cuencias de oscilador”, que deben cumplir la regla de la suma:∑

i

fi = Z (332)

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y donde ωp es la denominada “frecuencia del plasma”, dada por:

ω2p =

Ne2

ε0m(333)

donde N es la densidad de moléculas.Aunque el modelo de Drude-Lorentz es un modelo clásico, cuando las constantes delmodelo se ajustan adecuadamente describe muy bien el comportamiento de la mayoríade los medios dieléctricos que presentan polarización de tipo electrónico o iónico.La susceptibilidad macroscópica χe(ω) se obtiene a partir de (24) y de (331). Es fácilver que las frecuencias de resonancia macroscópicas no coinciden con las microscópicas,excepto cuando la densidad N es muy pequeña (Nα� 1). El comportamiento cualitativode χe, en cambio, no variará y vendrá dado por:

χe ' ω2p

∑i

fi(ω′2i − ω2 + γiω)−1 (334)

donde ω′i son las frecuencias macroscópicas de resonancia, que vendrán dadas por:

ω′2i ' ω2i −

1

3ω2

pfi (335)

. La constante dieléctrica del medio vendrá dada por:

ε = ε0(1 + χe) = ε0 + ε0ω2p

∑i

fi(ω′2i − ω2 + γiω)−1 (336)

Ejercicio: Estudiar la propagación de ondas planas TEM en un medio con una sus-ceptibilidad eléctrica dada por (334). Demostrar que la constante de propagación es, engeneral, compleja (k = β − α), con β2 − α2 = ω2µ0Re(ε) y con 2βα = −ω2µ0Im(ε).Demostrar que si el medio tiene pocas pérdidas (α � β), entonces β ' ω

√µ0Re(ε) y

α ' −βIm(ε)/Re(ε).Ejercicio: Comprobar que el comportamiento cualitativo de χe(ω) dado por (334) essimilar al obtenido en el Ejercicio al final de la sección anterior.

7. Dispersión en medios conductores: El modelo de Drude-Lorentz puede adaptarseal caso de medios conductores, simplemente considerando que hay un cierto número deelectrones por átomo, f0, que carecen de fuerza de ligadura (ω0 = 0 en (329)). Estoconduce a:

ε(ω) = ε0 + ε0f0ω

2p

ω(γ0 + ω)+ ε0ω

2p

∑i

fi(ω′2i − ω2 + γiω)−1 (337)

que se deduce de (336) introduciendo un término con ω′0 = 0 (es evidente que, para cargaslibres, no tiene sentido distinguir entre campo molecular y campo medio, distinción quelleva a (24)). Comparando (337) con (307), vemos que:

σ(ω) =f0ω

2p

γ0 + ω=

f0Ne2

m(γ0 + ω)(338)

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Si tomamos el límite estático ω → 0 y comparamos con (82) (teniendo en cuenta que,ahora, el número de electrones de conducción es f0N), vemos que γ = 1/τ y que, portanto:

σ(ω) =f0Ne

2τ

m

1

1 + ωτ= σ[ω = 0]

1

1 + ωτ, (339)

siendo la última fracción la corrección dinámica a la conductividad estática dada por(82). Para los buenos conductores (cobre, plata, oro...), el término ωτ solo empieza a sersignificativo a frecuencias superiores a las microondas (∼ 10− 100GHz).

8. Dispersión en plasmas: Cuando, además de considerar que no hay fuerza restauradora(ω0 = 0), consideramos que no hay amortiguamiento (γ = 0), nos encontramos en el casode un plasma de electrones libres sin colisiones (o en el límite en el que las colisiones noson importantes). En ese caso la constante dieléctrica (336) toma la forma simple:

ε = ε0

(1−

ω2p

ω2

)(340)

que es válida para la mayoría de los plasmas diluidos (en ausencia de un campo magne-tostático externo). Obsérvese que ε < 0 si ω < ωp y que ε > 0 si ω > ωp. Esto quieredecir que para ω > ωp el plasma será transparente a la radiación electromagnética, siendoopaco para ω < ωp. Dado que Im(ε) = 0, no hay disipación de potencia en la aproxi-mación considerada (en la que se desprecian las colisiones), de modo que cuando ω < ωp

el plasma reflejará cualquier radiación electromagnética incidente sobre él.

Ejercicio: La densidad del plasma ionosférico es de N ∼ 1010 − 1012 electrones pormetro cúbico. Calcular a que frecuencias el plasma ionosférico se hace transparente a laradiación electromagnética. Solución: ν = ωp/(2π) ∼ 106 − 107Hz..

La expresión (340) es también el límite de (337) para frecuencias suficientemente altas,por tanto todos los materiales, sean o no conductores, acaban comportándose como unplasma a frecuencias suficientemente altas. En particular, de (337) y (339) se deduce quelos metales se comportan como un plasma cuando ωτ � 1, es decir cuando el periodode oscilación de las ondas es menor que el tiempo medio entre colisiones. Finalmente,los metales se hacen transparentes a la radiación electromagnética cuando la frecuenciasupera a la ferecuencia del plasma de los metales, Ne2/(ε0m). Esto ocurre a frecuenciasen el rango del ultravioleta. Para frecuencias aún mas altas (rayos X), la longitud de ondase hace del orden del espaciado interatómico y el material deja de poder ser descrito comoun continuo. La interacción de la materia con los rayos X se describe entonces mediantela teoría de la difracción.

Ejercicio: Demostrar que si ωτ � 1, entonces (337)-(339) se reducen a (340).

Ejercicio: Considere una esfera de radio R y constante dieléctrica ε en un campo externouniforme E0. Demostrar que la esfera adquiere una polarización P , paralela a E0, dadapor:

P = 3ε0ε− ε0ε+ 2ε0

E0 . (341)

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El ejercicio anterior muestra que, si ε = −2ε0, la polarización de la esfera se hace infinita.Ello puede ocurrir si se trata de una esfera de plasma, con ε dado por (340). Físicamenteesta situación corresponde a la posibilidad de que exista una polarización distinta de cerode la esfera de plasma, incluso en ausencia de campo externo. Este fenómeno se conocecomo “oscilaciones del plasma” y se produce para ω2 = (1/3)ω2

p.

Ejercicio: Considere un medio efectivo compuesto por N bolitas por unidad de volumende constante dieléctrica ε inmersas en un medio de constante dieléctrica εh. Demostrar apartir de (24) que la constante dielectrica efectiva del medio εef viene dada por la relación

εef − εhεef + 2εh

= fε− εhε+ 2εh

(342)

donde f es la “fracción de volumen” ocupado por las bolitas: f = NVe, siendo Ve elvolumen de las bolitas.

La ecuación (342) se conoce cmo ecuación de Maxwell-Garnett.

Ejercicio: Considere la superficie de separación entre un medio con ε = −ε0 y el vacío.Para fijar ideas supondremos que dicha superficie corresponde al plano y = 0. Demostrarque la ecuación de Laplace para el potencial admite soluciones físicas del tipo φ(x, y) =K exp (−jkx), que se atenúan tanto en el aire como en el medio.

Las soluciones del ejemplo anterior corresponden a ondas electrostáticas longitudinalesque se propagan en la interfaz entre un plasma y el aire cuando ω2 = 0,5ω2

p. Estas ondas sedenominan “plasmones de superficie”. En realidad, éste resultado es una aproximación. Unanálisis mas detallado, teniendo en cuenta todos los efectos electrodinámicos (realizadoa partir de las Ecuaciones de Maxwell), muestra que los plasmones de superficie existenpara todas las frecuencias tales que ε < −ε0, es decir para 0 < ω2 < 0,5ω2

p.

9. Relajación dieléctrica: El modelo de Drude-Lorentz, en su forma standard, no tieneen cuenta la variación en la polarizabilidad de orientación de los medios con momentodipolar intrínseco. Sin embargo, la ecuación (329) puede aún adaptarse para describir elcomportamiento de dichos medios si despreciamos el término inercial d2x/dt2. Entonces,(329) se transforma en una ecuación de difusión, cuya solución es:

p = qx = p0e−t/τ +

q2E

ω20m

; τ = γ/ω20 (343)

que resulta adecuada para describir el comportamiento de la polarización molecular enmedios polares, en los que la polarización cae al valor estático q2E/(ω2

0m). El valordinámico de la polarizabilidad de orientación vendrá dado, entonces, por:

α(ω) =f0

N

ω2p/ω

20

1− ωτ(344)

80

donde se ha tenido en cuenta que τ = γ/ω20. Es decir:

α(ω) =α(0)

1− ωτ(345)

donde α(0) es su valor estático (30). El “tiempo de relajación” τ es ahora el parámetro adeterminar, ya sea experimentalmente o por medio de un modelo físico adecuado.

10. Dispersión de la permeabilidad magnética (tema avanzado: El mismo tratamien-to realizado para la susceptibilidad eléctrica, puede hacerse para la susceptibilidad mag-nética. En particular, las relaciones de Kramers-Krönig (326)–(327) son también válidaspara la susceptibilidad magnética χm. Sin embargo, dado que los medios magnéticoslineales (paramagnéticos y diamagnéticos) presentan valores muy pequeños de χm, losefectos dispersivos debidos al diamagnetismo y al paramagnetismo de los materiales soncasi siempre despreciables, pudiendo tomarse µ ' µ0. Evidentemente, esto no es así paralos ferromagnéticos y ferrimagnéticos, pero en ese caso la relación entre B y H no es lineal.Una excepción importante son los ferrimagnéticos sometidos a un campo magnetostáticoexterno intenso, que resultan ser lineales y anisótropos, pero este tema excede del ámbitodel presente curso. Otra excepción son algunos medios artificiales, que muestran valoresde µ muy variados a frecuencias de microondas, incluso valores negativos de µ.

Cuestión: ¿Qué ocurriría si uno de estos medios se combinase con un plasma para darun medio con µ y ε ambas negativas.

Es preciso señalar una última limitación de la aplicación de la presente teoría a los mediosmagnéticos. Ya comentamos que para frecuencias superiores al ultravioleta (rayos X), lalongitud de onda se hace del orden del espaciado interatómico y la materia deja de poderdescribirse como un continuo desde el punto de vista electromagnético. Sin embargo, lamagnetización M deja de poder definirse como tal mucho antes. Ello es debido a que, paradefinir M según (240), es preciso que se cumpla ∇ · Jm = 0, es decir que las “corrientesde magnetización” que originan M sean cerradas. Ello implica, desde un punto de vistaclásico, que las velocidades de las partículas deben ser tales que el tamaño de sus órbitas(típicamente del orden del espaciado interatómico a) sea menor que el recorrido libremedio que realizan las partículas durante el periodo de oscilación del campo aplicado∼ 1/ω. Desde un punto de vista cuántico ello se expresa en que a �< v > /ω. Estacondición es mucho mas fuerte que la anterior: a� λ ∼ c/ω. Teniendo en cuenta que las“velocidades” medias< v > deben ser del orden del tamaño de la órbita por las frecuenciascuánticas de vibración, < v >∼ aωi y que éstas son del orden de las frecuencias ópticaspara la mayoría de las sustancias, llegamos a la conclusión de que las definiciones de M,µ y χm deja de tener sentido a frecuencias incluso inferiores a las ópticas para la mayoríade las sustancias sólidas y líquidas.

11. medios bi-isótropos. Actividad óptica (tema avanzado): En algunos casos, bas-tante raros, pueden aparecer efectos de polarización eléctrica como consecuencia de laaplicación de un campo magnético y viceversa (este fenómeno se denomina “polarizacióncruzada”). Este fenómeno recibe el nombre de “actividad óptica”, ya que tales medios

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tienen la propiedad de rotar el plano de polarización de las ondas electromagnéticas quelos atraviesan, manifestándose esta propiedad en la Naturaleza casi siempre a frecuenciasópticas. Las relaciones constitutivas para estos medios adquieren la forma:

D = εE + jκH ; B = −jκE + µH , (346)

donde los términos cruzados deben cumplir la propiedad de ser opuestos e imaginarios(en medios sin pérdidas) como consecuencia de leyes de simetría cuya demostración vamas allá de los límites de este curso.

Ejercicio: Demostrar que la constante κ debe ser un pseudoescalar (cambia de signo porcada reflexión espacial).

Si κ cambia de signo tras cada reflexión espacial, ello quiere decir que los medios bi-isótropos no pueden ser invariantes por reflexión espacial (ya que entonces debería cam-biar κ por −κ, dando lugar a un medio diferente). Típicamente ello ocurre en estructurashelicoidales, y los medios con actividad óptica o bi-isotropía se corresponden con los cuer-pos formados por moléculas helicoidales, mayoritariamente levo- o dextrógiras. Cuandolas moléculas levógiras y dextrógiras se mezclan por igual, la bi-isotropía macroscópicadesaparece.

El ejercicio que se enuncia a continuación ilustra las bases físicas de la bi-isotropía ymuestra la estructura helicoidal de los constituyentes elementales de un medio bi-isótropo.También ilustra la validez del modelo de Drude-Lorentz.

Ejercicio: Considere una “partícula” formada por un solenoide en espiral de autoinduc-ción L, terminado por dos bolas conductoras, que producen un condensador de capacidadC entre ellas (tanto la autoinducción del solenoide como la capacidad del condensadorpueden calcularse a partir de fórmulas elementales y a partir de la teoría de imágenes,respectivamente). Estudiar la respuesta de tal partícula a un campo eléctrico y a otro mag-nético externos, de frecuencia ω. Mostrar que la partícula presenta efectos de polarizacióncruzada que dependen de la helicidad del solenoide. Considere un medio compuesto porpartículas como la descrita, dispuestas al azar. Demuestre que se trata de un medio bi-isótropo si todas las partículas tienen la misma helicidad. Demuestre la validez del modelode Drude-Lorentz para los parámetros constitutivos ε, µ y κ.

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Bibliografía recomendada

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