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TEMA 6. CINEMÁTICA

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1. DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO

Concepto de movimiento 1.1.

Cuando viajamos en un avión, sentados en nuestra plaza, creemos que estamos en reposo y no dudaríamos en afirmar que la azafata que se pasea por el pasillo está en movimiento. Pero, ¿Estamos realmente en reposo, o nos movemos junto con el avión? ¿Está realmente en reposo la mesa sobre la que apoyas estos apuntes? En definitiva, la pregunta que nos planteamos es: ¿cuándo podemos afirmar que un objeto se mueve?

Un cuerpo se mueve cuando cambia de posición respecto a un sistema de referencia que consideramos fijo.

Así, según donde esté situado el sistema de referencia (donde esté el observador que estudia el movimiento) mediremos un movimiento u otro, o no mediremos movimiento alguno.

Los movimientos, entonces, son siempre relativos, pues para un observador en la Tierra un edificio sería un objeto carente de movimiento, mientras que para un observador en el espacio, dicho edificio tendrá un movimiento de rotación y otro de traslación. Por eso hablamos de movimiento relativo, dependiendo de la ubicación del sistema de referencia.

El sistema de referencia: Un punto fijo O, ejes coordenados, y un criterio de signos, que es elegido por el observador, la persona que estudia el movimiento.

La Posición y la Trayectoria 1.2.

La posición es el lugar que ocupa el móvil en un instante determinado. Queda determinada con las coordenadas del punto en el que está situado el móvil.

Se define vector de posición r

, al vector que va desde el origen del sistema de referencia (O) hasta el punto en que está la partícula.

Nuestro sistema de referencia está formado por el eje de coordenadas x, al

que corresponde el vectores unitario i

(solo vamos a trabajar en 1 dimensión). Por lo que podemos trabajar sin vectores y hablar de posición.

En la recta (1 dimensión): 𝑟 = 𝑥𝑖 [Posición: x]

En el plano (2 dimensiones): 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗

En el espacio (3 dimensiones): 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗�

En el Sistema Internacional de unidades (S.I.), las coordenadas están dadas en metros (m).

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La Trayectoria es la línea formada por la unión de los puntos que sigue el móvil en su recorrido. Se obtiene uniendo los extremos de los vectores de posición.

Según su forma, los movimientos se clasifican en:

- Rectilíneos

- Curvilíneos

Desplazamiento, ∆�⃗⃗� y Distancia recorrida, s 1.3.

Se define vector desplazamiento r

, al vector que une los puntos inicial y final. Se calcula como:

0rrr

Es la longitud de la trayectoria recorrida por el móvil. Como vamos a trabajar en trayectorias rectas (1 dimensión) podemos hablar de desplazamiento.

∆x = x – x0

Hay que distinguir entre el vector desplazamiento efectuado ( r

) por un móvil, entre dos puntos de una trayectoria, y la distancia recorrida (s) para efectuar tal desplazamiento.

Los valores de r

y s sólo coinciden cuando la trayectoria es rectilínea y no hay cambio de sentido.

La Ecuación de movimiento 1.4.

Al transcurrir el tiempo (t), el móvil va pasando por los distintos puntos de la trayectoria. A cada valor de t, se corresponde una posición. Es decir, la posición r del móvil depende del tiempo.

A la expresión de la posición en función del tiempo x (t) se le denomina ecuación de movimiento de la partícula.

Al sustituir en ella un valor de tiempo, obtenemos las coordenadas del punto en el que se encuentra el móvil en ese instante. Cada movimiento tiene su propia ecuación de movimiento.

0

5

10

15

20

0 100 200 300 400

X

Y

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2. LA VELOCIDAD

Todo movimiento supone un cambio en la posición del móvil. Pero este cambio puede ser más rápido o más lento. La velocidad mide la rapidez de ese cambio. Es decir, la velocidad mide cómo cambia la posición de un móvil con el tiempo.

Velocidad media 2.1.

Mide el cambio de posición en un intervalo de tiempo.

𝑣𝑚 =∆𝑥

∆𝑡=

𝑥−𝑥0

𝑡−𝑡0 Unidades del SI: m/s = m·s-1

Otras unidades: km/h, nudos (millas marinas/h)

Del mismo modo que el vector desplazamiento, la velocidad media sólo tiene en cuenta los instantes inicial y final, independientemente de cómo haya sido el movimiento entre ambos instantes. Sólo nos da información sobre el promedio de velocidad en el intervalo. NO nos dice cómo se mueve en un instante concreto.

Velocidad instantánea (v) 2.2.

Indica cómo varía la posición del móvil en cada instante.

La velocidad media no nos da información sobre cómo se mueve la partícula en un instante concreto. Pero si calculamos la velocidad media en un intervalo corto de tiempo, la información del movimiento resulta más precisa.

Cuanto más corto sea el tiempo que dejemos pasar, más se aproximará la velocidad media a la velocidad que lleva el móvil en el instante que estamos estudiando (velocidad instantánea). Matemáticamente, esta operación se calcula mediante un paso al límite.

𝑣 = lim∆𝑡→0

𝑣𝑚 = lim∆𝑡→0

∆𝑥

∆𝑡=

𝑑𝑥

𝑑𝑡

Luego la velocidad instantánea es la “derivada del vector posición con respecto al tiempo”.

La velocidad se caracteriza por su módulo (rapidez) dirección y sentido.

Tanto la velocidad instantánea como la aceleración instantánea están fuera de los contenidos que abarca este curso.

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3. LA ACELERACIÓN

Un movimiento en el que la velocidad se mantiene constante en todo momento, significa:

Que recorre los mismos metros en cada segundo (rapidez

constante).

Que la dirección y sentido del movimiento se mantienen

constantes, no cambian: su trayectoria es recta.

Para estudiar los cambios en la velocidad usamos la aceleración.

Un movimiento acelerado, por tanto, no significará siempre que el movimiento sea cada vez más rápido. Puede ser también un frenado, o puede que la rapidez sea constante y cambie la dirección.

- En los movimientos en una dimensión, la aceleración solo puede

deberse al cambio en el módulo del vector velocidad.

- Sin embargo, en los movimientos en dos dimensiones, la

aceleración puede deberse tanto a los cambios de su rapidez (el

módulo) como de la dirección de velocidad.

Aceleración media: am 3.1.

Mide el cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo:

�⃗�𝑚 =∆�⃗⃗�

∆𝑡=

�⃗⃗�−�⃗⃗�0

𝑡−𝑡0 Unidades en el S.I: m/s2 = m·s-2

Al igual que en el caso de la velocidad, la aceleración media sólo tiene en cuenta los instantes inicial y final, independientemente de cómo haya sido el movimiento entre ambos instantes.

Aceleración instantánea: at 3.2.

Indica cómo cambia la velocidad del móvil en un instante determinado.

Al igual que en el caso de la velocidad instantánea, se calcula mediante un paso al límite.

�⃗� = lim∆𝑡→0

�⃗�𝑚 = lim∆𝑡→0

∆�⃗�

∆𝑡=

𝑑�⃗�

𝑑𝑡

Es decir, la aceleración mide cómo cambia la velocidad de móvil en cada instante.

Se mide en las mismas unidades que la aceleración media. m/s2 = m·s-2

Por ejemplo, si el módulo de una aceleración es de 2 m/s2, significa que su rapidez cambia en 2 m/s por cada segundo de tiempo que pasa. La aceleración NO nos dice nada sobre distancia recorrida.

Es preciso tener muy claro que la aceleración NO nos dice cómo se mueve la partícula ni hacia dónde se mueve. Eso es la velocidad. La aceleración mide cómo cambia la velocidad de móvil en cada instante.

Un automóvil que toma una curva manteniendo su rapidez a 60 km/h, NO lleva velocidad constante, pues cambia la dirección de la velocidad.

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4. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) 4.1.

Se caracteriza por una velocidad constante en módulo, dirección y sentido. Por tanto su aceleración es nula: �⃗� = 0

Su rapidez es constante (recorre la misma distancia en cada segundo)

Su trayectoria es rectilínea al ser constante la dirección de la velocidad

Como �⃗� = 𝑐𝑡𝑒 podemos escribir: 𝑣 =𝑥−𝑥0

𝑡−𝑡0

Despejando 𝑟 se obtiene: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣 (𝑡 − 𝑡0)

Si t0 = 0, entonces: 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗 · 𝒕

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) 4.2.

Se caracteriza por poseer aceleración constante en módulo, dirección y sentido �⃗� = 𝑐𝑡𝑒 con la misma dirección que la velocidad.

Sólo varía el módulo de la velocidad (la rapidez del movimiento)

Como �⃗� = 𝑐𝑡𝑒 podemos escribir: 𝑎 =𝑣−𝑣0

𝑡−𝑡0

Despejando �⃗� se obtiene: 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 (𝑡 − 𝑡0)

Si t0 = 0 entonces: 𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂 · 𝒕

Ecuación de la posición: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0(𝑡 − 𝑡0) +1

2𝑎(𝑡 − 𝑡0)2

Si t0 =0 entonces: 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 · 𝒕 +𝟏

𝟐𝒂 · 𝒕𝟐

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Movimientos de caída libre 4.3.

En los problemas de caída libre, siempre consideraremos que el rozamiento con el aire es despreciable, y no lo tendremos en cuenta.

Estos movimientos están sometidos únicamente a la aceleración de la gravedad: a = g

Aunque el valor de la gravedad varía con la altura, siempre que no nos alejemos mucho de la superficie del planeta (es decir, hasta una altura de algunos km), podemos considerar que su valor se mantiene constante.

Al nivel de la superficie terrestre el valor del módulo de la aceleración gravitatoria es: g0 = de 9,8 m·s-2

Resolución de problemas rectilíneos 4.4.

Para estos movimientos es bueno escoger un sistema de referencia de forma que uno de los ejes (x o y) coincida con la dirección de la trayectoria.

Así, todos los vectores tendrán el mismo vector unitario (i⃗ o j⃗), facilitando la resolución del problema.

De este modo podemos trabajar con las magnitudes cinemáticas como si se tratara de magnitudes escalares, pues la dirección siempre será la del eje (dirección de la trayectoria) y el sentido quedará determinado con el signo.

MRU

�⃗� = �⃗�𝟎 + �⃗⃗�(𝐭) 𝐱 = 𝒙𝟎 + 𝐯 · 𝒕

�⃗⃗⃗� 𝐯

MRUA

�⃗� = �⃗�𝟎 + �⃗⃗�𝟎 · 𝐭 +𝟏

𝟐�⃗⃗� · 𝐭𝟐 𝐱 = 𝒙𝟎 + 𝐯𝟎 · 𝒕 +

𝟏

𝟐𝒂𝒕𝟐

�⃗⃗⃗� = �⃗⃗⃗�𝟎 + �⃗⃗⃗� · 𝒕 𝐯 = 𝒗𝟎 + 𝐚 · 𝒕

MRUA: caída libre

�⃗⃗� = �⃗⃗�𝟎 + �⃗⃗⃗�𝟎 · 𝒕 +𝟏

𝟐�⃗⃗⃗� · 𝒕𝟐 𝐲 = 𝒚𝟎 + 𝐯𝟎 · 𝒕 −

𝟏

𝟐𝒈𝒕𝟐

�⃗⃗⃗� = �⃗⃗⃗�𝟎 + �⃗⃗⃗� · 𝒕 𝐯 = 𝒗𝟎 − 𝐠 · 𝒕

�⃗⃗⃗� 𝐠 = 𝟗, 𝟖 𝐦/𝐬𝟐

Convenio de signos usado normalmente para tratar las magnitudes cinemáticas vectoriales como si fuesen escalares

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5. LAS MAGNITUDES ANGULARES

Las magnitudes angulares, como su propio nombre indica, están referidas a ángulos. Entre otras cosas nos permiten estudiar los movimientos circulares.

Radianes y Grados 5.1.

La unidad en el Sistema Internacional (S.I.) para medir ángulos es el radián (rad).

La relación entre grados y radianes es:

Una circunferencia tiene 360° y 2π rad. Luego, para convertir ángulos entre grados y radianes:

360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

La posición angular 𝝋 5.2.

Magnitud angular que representa el ángulo que forma en cada momento el vector de posición de un cuerpo con el semieje X positivo.

Su unidad en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.) es el radián (rad).

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Desplazamiento angular 𝚫𝝋 5.3.

Representa el ángulo recorrido. Viene dado por la diferencia entre una posición angular final 𝜑𝑓 y una

posición angular inicial 𝜑0

Velocidad angular 5.4.

Representa el desplazamiento angular Δ𝜑 experimentado por un cuerpo en cada segundo.

Su unidad en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.) es el rad/s aunque en ocasiones verás que se puede utilizar también las revoluciones o vueltas por minuto, r.p.m. (1 r.p.m. = 2π/60 rad/s).

Aceleración angular 5.5.

Representa la variación de velocidad angular Δ𝜔 respecto del tiempo.

Su unidad en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.) es el rad/s2.

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6. MOVIMIENTOS CIRCULARES

Un movimiento circular es más sencillo de estudiar si usamos coordenadas polares. Es decir, en lugar de usar las coordenadas x e y, usamos el radio y el ángulo que forma con el semieje x positivo.

Como el radio de la circunferencia que describe se mantiene constante (R), para indicar la posición del móvil en la circunferencia sólo tendremos que dar el valor del ángulo, que se denomina posición angular y se mide en radianes.

Movimiento Circular Uniforme (MCU) 6.1.

El movimiento circular uniforme (MCU) es un movimiento de trayectoria circular en el que la velocidad angular es constante (ω = cte).

Esto implica que describe ángulos iguales en tiempos iguales. En él, el vector velocidad no cambia de módulo pero sí de dirección. Esto quiere decir que no tiene aceleración angular.

Las ecuaciones de este movimiento, así como las de otros movimientos más complejos (MCUA, tiros parabólicos, lanzamientos horizontales…) se estudiaran en el próximo curso.

Al tratarse de un movimiento periódico, que se repite cada cierto tiempo, podemos definir:

Período (T): Tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa.

T= ω

π2 Unidades S.I. (s)

Frecuencia ( ): Indica el número de vueltas (o número de veces que se repite una posición) por unidad de tiempo. Es la magnitud inversa del período.

1

T Unidades S.I. (s-1 = Hz “hertzios”)

La velocidad lineal y la velocidad angular se relacionan por medio del radio de la circunferencia:

v = ω · R

La Naturaleza y tu día a día están llenos de ejemplos de movimientos circulares uniformes (MCU).

El periodo de rotación de La Tierra es de 23h 56 minutos.