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Tema 6-B:

Colisiones*

Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 6BProf.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

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Física I

Grado en Ingeniería Electrónica,

Robótica y Mecatrónica (GIERM)

Primer Curso

*Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez

Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 6B

Prof.Dr. Emilio Gómez González

Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería 2

Índice

Introducción.

Conservación de 𝑝.

Conservación de 𝐾. Clasificación de las

colisiones.

Coeficiente de restitución.

Colisiones elásticas en una dimensión.

Colisiones perfectamente inelásticas en

una dimensión.

Colisiones en dos dimensiones.




Introducción

Normalmente, no conocemos la evolución

temporal de las fuerzas en las colisiones.

Eso dificulta su análisis a partir de la 2ª ley

de Newton.

Considerando el sistema formado por las

partículas involucradas en la colisión,

podemos usar que la cantidad de

movimiento se conserva en ausencia de

fuerzas externas: 𝑝𝑖 = 𝑝𝑓




Índice

Introducción.



colisiones.




una dimensión.





Conservación de 𝒑

Sabemos que 𝑝inicial = 𝑝final

Si lo aplicamos al ejemplo de la figura:

𝑚𝐴 𝑣𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵 = 𝑚𝐴 𝑣𝐴′ + 𝑚𝐵 𝑣𝐵′




Índice

Introducción.



colisiones.




una dimensión.




Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Conservación de 𝐾.

Clasificación de las colisiones.

A diferencia de la cantidad de movimiento, la energía

cinética, 𝐾, no siempre se conserva en las colisiones.

Podemos clasificarlas en:

Colisiones elásticas: 𝐾 se conserva.

Colisiones inelásticas: 𝐾 no se conserva, sino

que una parte se disipa.

Colisiones perfectamente inelásticas: las

partículas quedan unidas tras la colisión. Es el

caso de máxima disipación de la energía

cinética.

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Conservación de 𝐾.

Clasificación de las colisiones.

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Índice

Introducción.



colisiones.




una dimensión.





Coeficiente de restitución

Se define el coeficiente de restitución, 𝐶𝑅, como:

𝐶𝑅 = −𝑣2,𝑓 − 𝑣1,𝑓

𝑣2,𝑖 − 𝑣1,𝑖

En general, 0 ≤ 𝐶𝑅 ≤ 1

Para las colisiones elásticas, 𝐶𝑅 = 1

Para las perfectamente inelásticas, 𝐶𝑅 = 0

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Índice

Introducción.



colisiones.




una dimensión.





Colisiones elásticas en una dimensión (I)

Se conservan tanto 𝑝 como 𝐾:

𝑚1𝑣1,𝑖 + 𝑚2𝑣2,𝑖 = 𝑚1𝑣1,𝑓 + 𝑚2𝑣2,𝑓 (1)

12𝑚1𝑣1,𝑖

2 + 12𝑚2𝑣2,𝑖

2= 1

2𝑚1𝑣1,𝑓

2+ 1

2𝑚2𝑣2,𝑓

2(2)

De (1), 𝑚1 𝑣1,𝑓 − 𝑣1,𝑖 = −𝑚2 𝑣2,𝑓 − 𝑣2,𝑖

De (2), 𝑚1 𝑣1,𝑓

2− 𝑣1,𝑖

2= −𝑚2 𝑣2,𝑓

2− 𝑣2,𝑖

2

𝑚1 𝑣1,𝑓 − 𝑣1,𝑖 𝑣1,𝑓 + 𝑣1,𝑖 = −𝑚2 𝑣2,𝑓 − 𝑣2,𝑖 𝑣2,𝑓 + 𝑣2,𝑖

Combinándolas: 𝑣1,𝑓 + 𝑣1,𝑖 = 𝑣2,𝑓 + 𝑣2,𝑖 3

𝑣2,𝑖 − 𝑣1,𝑖 = − 𝑣2,𝑓 − 𝑣1,𝑓

Las velocidades relativas son iguales y opuestas.

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Colisiones elásticas en una

dimensión (II)

Hemos visto que 𝑣2,𝑖 − 𝑣1,𝑖 = − 𝑣2,𝑓 − 𝑣1,𝑓

Podemos comprobar que 𝐶𝑅 = 1. En efecto,

𝐶𝑅 = −𝑣2,𝑓 − 𝑣1,𝑓

𝑣2,𝑖 − 𝑣1,𝑖=

𝑣2,𝑖 − 𝑣1,𝑖

𝑣2,𝑖 − 𝑣1,𝑖= 1

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dimensión (III)

Conociendo 𝑣1,𝑖 y 𝑣2,𝑖 podemos obtener 𝑣1𝑓 y 𝑣2,𝑓:

Partimos de las expresiones (1) y (3):𝑚1𝑣1,𝑖 + 𝑚2𝑣2,𝑖 = 𝑚1𝑣1,𝑓 + 𝑚2𝑣2,𝑓

𝑣1,𝑓 + 𝑣1,𝑖 = 𝑣2,𝑓 + 𝑣2,𝑖

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas.

Resolviendo:

𝑣1,𝑓 = 𝑚1−𝑚2𝑚1+𝑚2

𝑣1,𝑖 + 2𝑚2𝑚1+𝑚2

𝑣2,𝑖

𝑣2,𝑓 = 2𝑚1𝑚1+𝑚2

𝑣1,𝑖 + 𝑚2−𝑚1𝑚1+𝑚2

𝑣2,𝑖

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dimensión (IV)

Algunos casos particulares:

(a) Masas iguales, 𝑚1 = 𝑚2: 𝑣1,𝑓 = 𝑣2,𝑖 ; 𝑣2,𝑓 = 𝑣1,𝑖

Las partículas intercambian sus velocidades.

𝑚𝐴 = 𝑚𝐵

𝑣𝐴′ = 𝑣𝐵

𝑣𝐵′ = 𝑣𝐴15





dimensión (V)

(b) 𝑚2 en reposo:

𝑣1,𝑓 = 𝑚1−𝑚2𝑚1+𝑚2

𝑣1,𝑖 ; 𝑣2,𝑓 = 2𝑚1𝑚1+𝑚2

𝑣1,𝑖

(b.1) 𝑚1 = 𝑚2:

𝑣1,𝑓 = 0 ; 𝑣2,𝑓 = 𝑣1,𝑖

O sea, la primera partícula se queda

parada tras el choque, y la segunda

sale a la velocidad que llevaba la

primera antes del choque.16




Colisiones elásticas en una dimensión (VI)

(b) 𝑚2 en reposo:

𝑣1,𝑓 = 𝑚1−𝑚2𝑚1+𝑚2

𝑣1,𝑖 ; 𝑣2,𝑓 = 2𝑚1𝑚1+𝑚2

𝑣1,𝑖

(b.2) Para 𝑚1 ≫ 𝑚2 (objeto muy pesado

colisiona con blanco ligero):

𝑣1,𝑓 ≈ 𝑣1,𝑖 ; 𝑣2,𝑓 ≈ 2𝑣1,𝑖

Ej: Átomo de U (238 u) contra uno de H (1 u)

(b.3) Para 𝑚1 ≪ 𝑚2 (objeto ligero colisiona

con blanco muy pesado):

𝑣1,𝑓 ≈ −𝑣1,𝑖 ; 𝑣2,𝑓 ≈ 0

Ej: Pelota de ping-pong contra bola de bolos

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Índice

Introducción.



colisiones.




una dimensión.





Colisiones perfectamente

inelásticas en una dimensión (I)

𝑚1𝑣1,𝑖 + 𝑚2𝑣2,𝑖 = 𝑚1 + 𝑚2 𝑣𝑓

𝑣𝑓 =𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2

𝑚1 + 𝑚2

Dos vagones iguales

que acaban unidos, a

la misma velocidad, 𝑣′:

𝑣′ =𝑚𝐴𝑣𝐴

2𝑚𝐴=

𝑣𝐴

2= 12 m/s

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Índice

Introducción.



colisiones.




una dimensión.





Colisiones en dos dimensiones

Para las colisiones en un plano, la conservación de

la cantidad de movimiento se escribe:

𝑚1𝑣1,𝑖𝑥 + 𝑚2𝑣2,𝑖𝑥 = 𝑚1𝑣1,𝑓𝑥 + 𝑚2𝑣2,𝑓𝑥

𝑚1𝑣1,𝑖𝑦 + 𝑚2𝑣2,𝑖𝑦 = 𝑚1𝑣1,𝑓𝑦 + 𝑚2𝑣2,𝑓𝑦

Para el caso de la figura (colisión no frontal):𝑚1𝑣1,𝑖 = 𝑚1𝑣1,𝑓 cos 𝜃1 + 𝑚2𝑣2,𝑓 cos 𝜃2

0 = 𝑚1𝑣1,𝑓 sin 𝜃1 − 𝑚2𝑣2,𝑓 sin 𝜃2

Si además es elástica, se cumple:12𝑚1𝑣1,𝑖

2= 1

2𝑚1𝑣1,𝑓

2+ 1

2𝑚2𝑣2,𝑓

2

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