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1º Bachillerato Matemáticas I Tema 5: Vectores Ana Pascua García

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Introducción

Vectores: Algo más que números

En este tema estudiaremos qué son los vectores en el plano real , R2, sus propiedades, y a utilizarlos para entre otras cosas resolver problemas como estos:


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1.- VECTORES EN EL PLANO REAL, 2ℜ 1.1.- El conjunto 2ℜ Definimos el plano real 2ℜ , como el conjunto de todas las parejas de números reales, esto es: 2ℜ = ( ){ }ℜ∈ℜ∈=ℜℜ yxyxx ;/,

A los elementos de 2ℜ , los denotaremos con letras mayúsculas A, B ,C,...., que como puede verse por la definición de 2ℜ , son pares ordenados de números reales y representan todos los puntos del plano cartesiano.

Es muy importante el orden del par, ya que no es lo mismo A(x, y ) que B (y, x).

Dado el punto A(x, y) ∈ 2ℜ , llamamos :

� Al valor x, 1ª coordenada o 1ª componente

� Al valor y , 2ª coordenada o 1ª componente Diremos que dos puntos A (a, b) y B (c, d) son iguales si lo son sus componentes , es decir:

(a, b) = (c, d) ⇔

==

d b

c a

Ejemplo: Hallar los valores de x e y para los cuales A ( 3 , x) y B (2y, -2) son iguales

Debe cumplirse que ( 3 , x) = (2y, -2)

−===

→2

2/3;23

x

yy


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Operaciones en 2ℜ : Sean A (a, b) y B (c, d) 2ℜ∈ , k ℜ∈ Suma: A + B = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Diferencia: A - B = (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d) Producto del par A (a, b) por un escalar k: k· A = k · (a,b) = (k·a, k·b) Ejemplo: Hallar x e y para que (5, 3 )+ (2x, y ) = (4, 9) (5, 3) + (2x, y ) = (4, 9 ) → (5 + 2x, 3 + y ) = (4, 9)

=

−=→

=−=

→

=+=+

→6

21

6

12

93

425

y

x

y

x

y

x

1.2.- Vectores en el plano Definición:

Dados dos puntos A y B , llamamos vector AB al segmento orientado que va del punto A al punto B. Al punto A se le llama origen y al B extremo. El vector así obtenido está plenamente determinado por los puntos A y B, y es un vector fijo. Véase el ejemplo:

Sea A ( 1, 2) y B ( 5, 1) el vector AB será el vector ur

Nota: Llamaremos vector nulo al vector fijo en el que su origen y extremo coinciden.


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Características de un vector:

� Módulo del vector ABes la longitud del segmento determinado por los puntos

A, B. Se denota AB .

� Dirección del vector AB , es la de la recta determinada por los puntos A y B. Dos vectores tienen la misma dirección si se encuentran en la misma recta o están en rectas paralelas.

� Sentido del vector AB , es el recorrido desde el punto origen A al extremo B. Observación: � En cada dirección siempre hay dos sentidos, de A hacia B y de B hacia A. � Los vectores nulos todos tienen módulo igual a 0, y admitiremos que tienen la

misma dirección y el mismo sentido. Vectores equipolentes: Dos vectores fijos no nulos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Si los vectores AB y CD son equipolentes, al unir los orígenes A y C y los extremos ( B y D) , resulta un paralelogramo ABCB

Vector libre: es el conjunto formado por un vector y todos sus equipolentes. Cada uno de los vectores fijos que forman un vector libre, se llama representante del vector libre.

Cada vector libre se puede representar por uno cualquiera de sus vectores fijos, y generalmente no especificaremos extremo ni origen, pues no depende de ellos, y normalmente los denotaremos con una letra minúscula.

AB = CD = ur


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Operaciones con vectores libres:

� Suma de dos vectores libres: Puede hacerse de dos formas diferentes que conducen al mismo resultado.

Primera forma:

Segunda forma:

� Producto de un número real (escalar) por un vector libre: Dados un vector libre no nulo u

r y un número real k 0≠ , se llama producto de

k por ur

, al vector que tiene: Por módulo: uk

r·

Por dirección: la dirección del vector ur

Por sentido: el de u

r si k >0, y el opuesto al de u

r si

k < 0


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2.- BASES Y COORDENADAS Una combinación lineal de dos vectores vu

rr, es otro vector de la forma vu

rr·· βα + ,

siendo ℜ∈βα , . Dos o más vectores son linealmente dependientes si uno de ellos puede escribirse como combinación lineal de los otros. En caso contrario, se dice que los vectores son linealmente independientes. Ejemplo: Los vectores u

r(-3, 2) , v

r(1, 4) , w

r(1, 10) son linealmente dependientes, ya que

podemos expresar wr

como combinación lineal de ur

y vr

. ur

+2· vr

= (-3, 2) + 2· (1, 4) = (-3, 2) + (2, 8) = (1, 10) Base de V2:

Dos vectores libres, no nulos, B = { ur

y vr } , son base de V2 si:

Son linealmente independientes (Tienen distinta dirección). Cualquier otro vector w

r de V2 puede expresarse como combinación lineal de u

r y v

r.

Es decir, para cualquier vector w

r de V2 , existen ℜ∈βα , . tales que

wr

= vurr

·· βα + A los valores βα , se les denomina coordenadas de w

r respecto de la base

B={ ur

y vr }.

Dada una base B = { u

r y v

r } de V2, diremos que :

B es una base ortogonal si ur

y vr

son ortogonales (esto es que son perpendiculares, forman un ángulo de 90º). B es una base normal si u

r y v

r son unitarios, es decir, de módulo 1

B es una base ortonormal si u

r y v

rson unitarios y ortogonales


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Base canónica de V2. Coordenadas respecto de la base canónica.

Llamaremos base canónica de V2 a un par de vectores B = { }jirr

, , tales que son perpendiculares y de módulo 1. Nota: Cualquier vector de V2 se puede expresar a partir de los vectores de la base canónica. Ejemplo:

En el ejemplo las coordenadas del vector el vector u

r respecto de la base canónica

son el vector ur

( 5, 3).


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3.- MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN VECTOR.


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4.- PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES. PROPIEDADES.

Propiedades del producto escalar:


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Expresión analítica del producto escalar en la base canónica.


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5.- ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES

A veces es importante saber si dos vectores forman ángulo recto, esto es, cuando su coseno es 0, porque eso indica que son ortogonales.


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RESUMEN DEL TEMA 5: VECTORES

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