tema 4. fuerzas cortantes y momentos flexionantes

FIMEEFIMEEFuerzas Cortantes y Momentos Fuerzas Cortantes y Momentos FlexionantesFlexionantes


ELABORACION DE ELABORACION DE DIAGRAMAS DEDIAGRAMAS DE

FUERZAS CORTANTES FUERZAS CORTANTES Y Y

MOMENTOS FLEXIONANTESMOMENTOS FLEXIONANTES



VIGASVIGAS

Las vigas son miembros estructurales sometidos a cargas laterales, es decir, a fuerzas o momentos que tienen sus vectores perpendiculares al eje de la barra. Si todas las cargas actúan y todas las deflexiones ocurren en un solo plano, entonces nos referimos a este como plano de flexión.



TIPOS DE VIGAS, CARGAS Y REACCIONESTIPOS DE VIGAS, CARGAS Y REACCIONES

Las vigas suelen describirse por el modo en que están sostenidas. Al dispositivo empleado para sostener se le conoce como soporte. Existen tres tipos de soportes:

- Soporte de PasadorSoporte de Pasador

- Soporte de RodilloSoporte de Rodillo

- Soporte Fijo (Empotramiento)Soporte Fijo (Empotramiento)



SOPORTE DE PASADORSOPORTE DE PASADOR

La característica esencial de un soporte de pasador es que impide la traslación en el extremo de una viga pero no su rotación. En consecuencia, un soporte de pasador es capaz de desarrollar una reacción de fuerza con componentes horizontal y vertical, pero no puede desarrollar un momento.

RA

HA A B



SOPORTE DE RODILLOSOPORTE DE RODILLO

El soporte de rodillo impide la traslación en la dirección vertical pero no en la horizontal; por tanto puede resistir una fuerza vertical mas no una fuerza horizontal.

RB

A B

RC

AB



SOPORTE FIJO (EMPOTRAMIENTO)SOPORTE FIJO (EMPOTRAMIENTO)

En un soporte fijo la viga no puede trasladarse ni girar, mientras que en el extremo libre puede hacer ambas cosas. En consecuencia, en los empotramientos pueden existir fuerzas y momentos de reacción.

RA

HA

MA



TIPOS DE VIGASTIPOS DE VIGAS Generalmente se van a considerar 3 configuraciones básicas para vigas estáticamente determinadas:

Viga SimpleViga SimpleA

Viga en CantileverViga en Cantilever

Viga con un VoladizoViga con un Voladizo

A B



OTRAS CLASES DE VIGASOTRAS CLASES DE VIGAS

Existen otro tipo de configuraciones para vigas sin embargo estas son estáticamente indeterminadas. Por ejemplo:

BA

BA

Viga Doblemente Viga Doblemente EmpotradaEmpotrada

Viga ContinuaViga Continua



ANÁLISISANÁLISIS

Para ilustrar como se encuentran las fuerzas y momentos internos considérese la viga en Cantilever AB cargada por la fuerza P en su extremo. De la Estática, sabemos que la resultante de los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal pueden reducirse a una Fuerza Cortante V y a un Momento Flexionante M.

BV

M

P

A

x V

M

B

P

A

xn

m



ANÁLISISANÁLISIS

Haciendo suma de fuerzas y momentos se obtiene:

BV

M

0VertF 0P V

P V

0

0

M

M Px

M Px

P

A

x V

M



RELACION ENTRE CARGAS, FUERZAS CORTANTES Y RELACION ENTRE CARGAS, FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTESMOMENTOS FLEXIONANTES

Obtendremos ahora una relaciones importantes entre cargas, fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas. Estas relaciones son muy útiles al investigar las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en toda la longitud de una viga. Para obtener, las relaciones, consideremos un elemento de viga cortante entre dos secciones transversales a una distancia dx entre sí. La carga que actúa sobre el elemento de la parte superior puede ser una carga distribuida, una carga concentrada o un par, como se muestra en las figuras.

V+dV

VM M+dM

dx

q

V+V1

VM M+M1

dx

P

V+V1

VM M+M1

dx

M0



CARGAS DISTRIBUIDASCARGAS DISTRIBUIDAS

V+dV

VM M+dM

dx

q

0;

( ) 0vert

B

B

B

A

B

A

A A

dVq

F

V qdx V dV

d

dx

V V qdx

A qdx

Para la Fuerza Cortante:



CARGAS DISTRIBUIDASCARGAS DISTRIBUIDAS

Para el Momento Flexionante

V+dV

VM M+dM

dx

q

0

( ) 02

0, 0

B

B B

A A

B A A

M

dxM qdx V dV dx M dM

dV

dMV

dx

M M Vdx

dx dxdx

dM Vdx



CARGAS CONCENTRADASCARGAS CONCENTRADAS

V+V1

VM M+M1

dx

P1

1

1

1

1

1

( ) 0

( ) 02

2

V P V V

dxM p V V

V P

dxM P Vdx V

M M

d

dx

x

Para la fuerza cortante el resultado obtenido indica que ocurre un cambio abrupto en cualquier punto donde actué una carga concentrada. Conforme nos movamos hacia la izquierda o hacia la derecha a través del punto de aplicación de la carga, la fuerza cortante decrece una cantidad P dirigida hacia abajo.

Para el momento flexionante, este no cambia cuando pasamos a través del punto de aplicación de una carga concentrada, ya que dx es una cantidad infinitesimal y por tanto M1 es pequeño.



CARGA EN FORMA DE PARESCARGA EN FORMA DE PARES

Los resultados indican que la fuerza cortante no cambia en el punto de aplicación del par. Mientras que los resultados para el momento flexionante indican que este disminuye una cantidad M0 cuando pasamos a la izquierda o a la derecha a través del punto de aplicación de la carga. Por tanto, el momento flexionante cambia de manera abrupta en el punto de aplicación de un par.

V+V1

VM M+M1

dx

M0

1

1

1

0 1 1

1

0

0

( ) 0

0

( ) 0

( ) 0

0

VertF

V V V

M

M M V V dx M M

V V

V

M

dx

M



DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTEFLEXIONANTE

Cuando se diseña una viga, es importante conocer como varían a lo largo de ella las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes. Los valores máximos y mínimos resultan de especial importancia. La información correspondiente la dan graficas en las que la fuerza cortante y los momentos flexionantes se trazan como coordenadas y la distancia x a lo largo del eje de la viga se traza como abcisa. Tales graficas se llaman diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante.

A continuación se presentan 3 ejemplos generales en los que se muestra claramente como es que se generan los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante



Cargas ConcentradasCargas Concentradas

Primeramente debemos de encontrar cuanto es lo que valen las reacciones en A y en B en función de la carga P. La forma de encontrarlos es considerando a la viga como un cuerpo libre para después hacer suma de fuerzas y/o momentos.

L

ba

x

RA RB

P

0

0

0

0

B

A

A

B

B

A

M

Pb R L

M

R

PaR

L

PbR

L

Pa

L



Cargas ConcentradasCargas Concentradas

Ahora encontraremos la fuerza cortante y el momento flexionante para cualquier punto a la izquierda de la carga P y a una distancia x del soporte en A.

0

0

0

vert

A

A

F

PbV R

LM

PbxM R

L

a

x

x

a

x

M

V

RA

P

M

x

V

RA

x

0

0

( )

( )

( )

vert

A

A

F

Pb PLV R P

L LPa

VL

M

M R x P x a

PbxM P x a

L

a x L

Pa L xM

L



DiagramasDiagramas

Ahora que se tiene el valor de los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes para cualquier punto antes y después de la viga, se procede a graficar.

A B

RA

RB

P

a b

Pb

L

Pa

L

Pab

LM

V

x

x



Cargas UniformesCargas Uniformes

Ahora encontraremos la fuerza cortante y el momento flexionante para cualquier punto a la izquierda de la carga P y a una distancia x del soporte en A.

A B

RA RB

q

x

L

2

2

2

2

2 2 2

2 2 2

8

A

A

Max

qLV R qx qx

x qLx qxM R x qx

dM d qLx qx qLqx V

dx dx

qLM



DiagramasDiagramas

Se puede observar que para una carga distribuida uniforme, se obtiene una fuerza cortante lineal y un momento flexionante con comportamiento cuadrático

A B

RA RB

q

x

L

M

V

x

x



Ejemplo: Viga en CantileverEjemplo: Viga en Cantilever

B

P

A

x

L

4

L

4

L

2

L

q

RA

MA

2

0

30

4 2 4

3

4 8

A

A

A

M

PL L LM q

PL qLM

0

2A

F

qLR P




A continuación se calculara las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes para cada una de las partes de la viga

M

V

RA

MA

x

M

V

RA

MA

x

P

2

2

3

2 4 8

A

A A

qLV R P

M R x M

qL PL qLM P x

04

Lx

2

2

2

2

4

3

2 4 8 4

3

2 8

A

A A

qLV R P P P

qLV

LM R x M P x

qL PL qL PLM P x Px

qL qLM x

4 2

L Lx




2 22

2 22 2

2

( ) ( )2 2 2

4 2 2 2

3( )

2 4 8 4 2 4

22 2 2

2

A

A A

L qL LV R P q x P P q x

V qL qx

L q L LM R x M P x x x

qL PL qL PL q LM P x Px x xL

qx qL qM qLx x Lx L

qM x L

M

V

RA

MA

x

Pq

2

Lx L



Ejemplo: Viga en Cantilever - DiagramasEjemplo: Viga en Cantilever - Diagramas

2

Lx L

04

Lx

4 2

L Lx

2

2

2 2

2

2

3

2 4 8

3

2 8

2 4

qLP

qLV

qL qx

qL PL qLP x

qL qLM x

qx qLqLx

2

Lx L

04

Lx

4 2

L Lx

B

A

x

L

FA

MA

P

4

L

4

L

2

L

V

M



RESOLVER LOS PROBLEMAS:RESOLVER LOS PROBLEMAS:

4.5-3, PAG. 3054.5-3, PAG. 3055.5.4, PAG. 3795.5.4, PAG. 379

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