E.T.S. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Universidad de Granada

SEGUNDA PRÁCTICA TEORÍA DE ESTRUCTURAS ENERO 2010

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Imprescindible entregar el manuscrito original grapado a este enunciado (no olvide rellenar los datos personales en la cabecera). La práctica se ha de entregar resuelta en su totalidad para poder realizar el examen parcial. Se recogerá el próximo 23 de enero (sábado) en el examen del segundo parcial.

Dar los resultados con cuatro dígitos significativos. La figura adjunta muestra una viga en voladizo de longitud L, con una carga distribuida triangular de valor máximo p (no considerar el peso propio). La sección de dicha viga es un perfil de pared delgada(1) constituido por flejes con las características geométricas indicadas. Datos: L = 8 m p = 25 kN/m e1 = 10 mm e2 = 15 mm h = 1.2 m (2) a= 0.40 m (2) b = 0.80 m (2) c = d = 0.30 m (2)

max = 260 MPa G = 80 GPa. Se pide:

1. Calcular la posición del centro de esfuerzos cortantes (C.E.C.) de la sección respecto al punto O (intersección del eje de simetría con el alma del perfil).

2. Representar en un croquis acotado las acciones (fuerzas y momentos) respecto al centro de esfuerzos cortantes a lo largo de la viga.

3. Representar las leyes de esfuerzos: cortantes, momentos flectores y momentos torsores respecto al C.E.C. acotando los valores significativos.

4. Para la sección del empotramiento (A), se pide:

4.1 Calcular el flujo de tensiones tangenciales (qs) correspondiente al cortante en C.E.C. Dibujar el diagrama en la parte exterior del perfil acotando valores significativos.

4.2 Calcular la distribución de tensiones tangenciales (xs) correspondiente al momento torsor. Dibujar el diagrama sobre el perfil acotando igualmente los valores significativos.

4.3 Calcular la tensión máxima (suma de ambos estados), localizar donde se produce y comprobar si es admisible.

5. Calcular el giro respecto al eje x que se produce en la sección situada en el extremo del

voladizo (B).

1 Todos los cálculos geométricos y de tensiones debidos al cortante y al torsor se realizarán según la teoría simplifica de los perfiles de pared delgada. 2 Los valores geométricos están referidos a puntos situados en extremos libres y líneas medias de los flejes.

Resolución 2ª Practica de Casa Curso 2009-2010 1. Cálculo del C.E.C. respecto al punto O

La posición del C.E.C. sólo depende de las características geométricas de la sección y por tanto, no es necesario calcular el flujo de tensiones para hallar sus coordenadas.

Por las propiedades estudiadas del C.E.C. se conoce que al existir simetría respecto a un eje horizontal que pasa por el punto medio, éste se situará sobre él y que al tener la sección del perfil en su conjunto “curvatura” en un mismo sentido éste se situará del lado convexo. Así, disponemos unos ejes coordenados paralelos al sistema habitual de coordenadas locales con origen, por ejemplo, en el punto O (como se expondrá más adelante, las ventajas para el cálculo debido a la simetría se presentan cuando se hace coincidir un eje del sistema de coordenadas adoptado con el eje de simetría de la sección, independientemente de donde se tome el origen). Adoptamos como sentido de los flujos (resultado del sentido adoptado para las coordenadas arco) el sentido de recorrido expresado en la siguiente figura (en principio arbitrarios, pero simétricos respecto al eje de simetría) y como punto de referencia, el punto O, tal como sugiere el enunciado (este punto es intersección de dos flejes lo que implica que los flujos sobre los mismos no intervienen en el cálculo pues la distancia r es nula para ambos).

Si partimos de las expresiones deducidas en teoría que determinan la situación del C.E.C. respecto al punto de referencia adoptado:

s

yy

dsmrI

1Cy

s

zz

dsmrI

1Cz ,

hay que recordar que el flujo se supuso de modo tal que ejercía momento horario respecto al punto de referencia, por tanto, para evaluar correctamente las integrales anteriores habrá que ser coherente con este criterio. A todo flujo se le supone inicialmente el mismo sentido que la coordenada arco adoptada, así, si la coordenada arco tiene sentido horario respecto al punto de referencia, la expresión del momento estático correspondiente figurará en las ecuaciones tal como resulte de su evaluación y si tiene sentido antihorario habrá de cambiarse de signo.

Aplicando lo expuesto se tendría para Cz que:

3,7,8

Tramos s

iizi

1,2,6 Tramos s

iiziz

3,7,8 Tramos s

iizi

1,2,6 Tramos s

iiziz

s

zz

iiii

ds)s(mrds)s(mrI

1ds)s(mrds)s(mr

I

1dsmr

I

1Cz

A continuación se comparará esta expresión con la que se obtiene del desarrollo concreto de la situación del C.E.C. para este problema en particular.

Adoptando el sistema de coordenadas definido anteriormente y planteando la ecuación del C.E.C., por definición, como igualdad de momentos para todo par de esfuerzos zy V,V , se tiene:

zyOOzy V,V,)s(qMV,VM

Tomando, para plantear la ecuación, como sentido positivo de los momentos el sentido antihorario, tal como se hizo en las clases de teoría, queda:

zy

3,7,8 Tramos s

iii

1,2,6 Tramos s

iiiyz V,V,ds)s(qrds)s(qrCzVCyV

ii

siendo r la distancia desde el punto de referencia, punto O, medida perpendicular a la tangente a la línea media de los flejes que componen el perfil (de ahí que no aparezcan en la expresión anterior los tramos 4 y 5, puesto que 0rr 54 ).

Sustituyendo la expresión del flujo, q(s), respecto al momento estático de las áreas situadas desde la

coordenada arco de referencia hacia el origen de las mismas, es decir, zy

yy

z

z VI

)s(mV

I

)s(m)s(q , se

obtiene:

zy

3,7,8 Tramos s

iiyiy

z

3,7,8 Tramos s

iiziz

y

1,2,6 Tramos s

iiyiy

z

1,2,6 Tramos s

iiziz

yyz V,V,ds)s(mr

I

Vds)s(mr

I

Vds)s(mr

I

Vds)s(mr

I

VCzVCyV

iiii

zy

3,7,8 Tramos s

iiyi

1,2,6 Tramos s

iiyiy

z

3,7,8 Tramos s

iizi

1,2,6 Tramos s

iiziz

yyz V,V,ds)s(mrds)s(mr

I

Vds)s(mrds)s(mr

I

VCzVCyV

iiii

3,7,8

Tramoss

iiyi

1,2,6 Tramos s

iiyiy

ii

ds)s(mrds)s(mrI

1Cy

3,7,8

Tramos s

iizi

1,2,6 Tramos s

iiziz

ii

ds)s(mrds)s(mrI

1Cz

c.q.d.

Vamos a obtener las expresiones del momento estático respecto al eje z, zm , para los distintos flejes que componen el perfil. Para el ala inferior se tiene: Tramo 1 (coordenada 1s ):

c2

hse

2

sesc

2

h

2

sedsc

2

hse

(s)yy

cteedsyedaym 12

212

s

0

1

21

2

s

0

122

s

2

s

z

11

;

Que podríamos haber evaluado fácilmente, puesto que se trata de una figura elemental:

c2

hse

2

se1s2ec

2

h

2

s

)s(AA

(s)yCyCAyCAyCdaym 12

2121

11

1111

1

1i

ii

s

z

De este modo procederemos con el resto. Tramo 2 (coordenada 2s ):

2

she

2

c

2

hc2e2s2e

2

hc2e

2

c

2

h

)s(2A2A

cte2yC

cteA

cteyC

AyCdaym 221

12

1i

ii

s

z

Tramo 3 (coordenada 3s ):

2

shese

2

h

)s(AA

cteyCAyCAyCdaym 32

3211

111

1

1i

ii

s

z

El alma, según se ha planteado el problema, no entra en cálculo ( 0rr 54 ).

Para el ala superior se tiene: Tramo 6 (coordenada 6s ):

Al tomar las coordenadas de arco simétricas frente a las tomadas en el tramo 3 respecto al eje z (siempre las podríamos tomar así) resulta que el momento estático es el mismo que en el tramo 3 cambiado de signo. Téngase en cuenta que las áreas son idénticas y situadas a un lado y a otro del eje de simetría, por tanto, se tiene que para un da a una distancia y existe otro da a una distancia –y. Así:

)A(mdaydayday)A(m 2z

AAA

1z

221

cs0,c2

hse

2

se)s(m 112

212

1z

bs0,2

she

2

c

2

hc2e)s(m 2

222z

bs0,2

she)s(m 3

323z

Lo mismo ocurre con el tramo 7 respecto al tramo 2 y con el tramo 8 respecto al tramo 1. Para la evaluación de Cz, resulta que con este resultado y dado que el punto de referencia adoptado, punto O, se ha tomado sobre el eje de simetría, se tiene que:

)s(m)s(m,rr 8z1z81 ; )s(m)s(m,rr 7z2z72 ; )s(m)s(m,rr 6z3z63

Así, al desarrollar la expresión de Cz, queda:

8Tramo

s

8z8

7Tramo

s

7z7

6Tramo

s

6z6

3Tramo

s

3z3

2Tramo

s

2z2

1Tramo

s

1z1z

s

zz

876321

dsmrdsmrdsmrdsmrdsmrdsmrI

1dsmr

I

1Cz

8Tramo

s

1z1

7Tramo

s

2z2

6Tramo

s

3z3

3Tramo

s

3z3

2Tramo

s

2z2

1Tramo

s

1z1z

123321

dsmrdsmrdsmrdsmrdsmrdsmrI

1

3Tramo

s

3z3

2Tramo

s

2z2

1Tramo

s

1z1z

63Tramos

s

3z3

72Tramos

s

2z2

81Tramos

s

1z1z

321321

dsmrdsmrdsmrI

2dsmr2dsmr2dsmr2

I

1 (*)

Este es un resultado genérico, puesto que, cualquier perfil de pared delgada que presente simetría permite calcular su CEC evaluando solo una de sus partes simétricas siempre que se tome un eje del sistema de referencia coincidente con el eje de simetría, el punto de referencia (punto O) sobre el mismo y se evalúen congruentemente los signos del momento provocado por los flujos en los flejes de la parte elegida (según sentido asignado a las coordenadas arco). En la expresión anterior la evaluación se realiza sobre los flejes situados en la parte inferior, pero podrían haberse elegido los de la parte superior, resultando:

8Tramo

s

8z8

7Tramo

s

7z7

6Tramo

s

6z6z

s

zz

876

dsmrdsmrdsmrI

2dsmr

I

1Cz (*)

* Al suponer que los flujos en flejes simétricos tienen sentidos simétricos resulta que, respecto al punto de referencia adoptado (punto O situado sobre el eje de simetría), para dos flejes simétricos los momentos de los flujos respecto a dicho punto serían opuestos. Pero la suposición del sentido de los flujos simétricos en los flejes simétricos es errónea, puesto que los momentos estáticos son de la misma magnitud y signo opuesto en flejes simétricos, lo que indica que realmente actúan en sentidos opuestos. Por tanto, el momento total de los flujos en dos flejes simétricos es el doble del momento del flujo en uno de ellos, tal como reflejan las expresiones anteriores.

Cálculo de Iz: Aplicando la formulación de perfiles delgados se tiene que:

3

2

3

22

22

3

1

3

1i s

i2

i s

i2

s

2

A

2z c

2

he

3

1

2

he

3

1)ba(e

2

hsen

3

le·2dsey·2dseydseydayI

ii

sustituyendo los datos concretos, m10·2111,76,04,0l 122 , queda:

3322

1

313.0

2

2.1015.0

3

1

2

2.1015.0

3

1)8.04.0(015.0

2

2.1

10·2111.7

6.0

3

)10·2111.7(010.0·2

42434 m10·6581.110·4500.910·4800.610·6533.8·2

Cálculo de Cz, evaluando la expresión respecto a los flejes de la parte inferior:

3Tramo

s

3z3

2Tramo

s

2z2

1Tramo

s

1z1z

3

2

1

3Tramo

s

3z3

2Tramo

s

2z2

1Tramo

s

1z1z

321321

dsmrdsmrdsmrI

2

cter

cter

cter

dsmrdsmrdsmrI

2Cz

3Tramo

a

0

332

3

2Tramo

s

b

0

222

22

1Tramo

c

0

112

212

1z

ds2

sherds

2

she

2

c

2

hcerdsc

2

hse

2

ser

I

2

2

3Tramo

a

0

232

3

2Tramo

b

0

222

222

1Tramo

c

0

21

2

312

1z 4

sher

4

she

2c

2h

scerc2h

2

se

6

ser

I2

3Tramo

22

3

2Tramo

22

22

1Tramo

2

2

32

1z 4

aher

4

bhe

2c

2h

bcerc2h

2c

e6

cer

I2

sustituyendo los datos concretos:

5

3Tramo

2

2Tramo

2

1Tramo

23

zm

44.0·2.1·015.0

6.04

8.0·2.1·015.023.0

22.1

8.0·3.0·015.06.03.022.1

23.0

015.06

3.0·015.02.1

I2

m10·1265.3m10·6581.1

10·5920.2·2m10·3200.410·7000.210·2400.3

I

2 12

35

3Tramo

4

2Tramo

3

1Tramo

4

z

Cz>0 lo que significa que se sitúa en la parte izquierda de la sección, tal como se había deducido de las propiedades geométricas del C.E.C.

42z m10·6581.1I

m10·1265.3Cz 1

2. Croquis de las acciones respecto al C.E.C. Se trata de establecer un sistema equivalente para las acciones (carga distribuida triangular) respecto al C.E.C. Al ser la sección constante el C.E.C. en cada sección es un mismo punto, situándose el conjunto sobre una recta paralela a la directriz, es decir, para una sección cualquiera situada a una distancia x del punto A, se tiene:

Así las acciones quedan:

m

mkN10·5316,1m)30,010·1265,3(

m

kN25n·p 11 m/kN25p

m

mkN10·5316,1n·p 1

3. Leyes de esfuerzos respecto al C.E.C. Una vez establecidas las acciones respecto al C.E.C. se determinan las leyes de esfuerzos por equilibrio.

Sustituyendo valores:

Lx0,2xLL2

p)x(Vy

Lx0,3xLL6

p)x(Mz

Lx0,2xLL2

np)x(Mx

kN100)0(Vy

mkN10·6667,2)0(M 2z

mkN10·1265,6)0(M 1x

m8(m)x 0,kN2x816

25)x(Vy

m8(m)x 0,mkN3x848

25)x(Mz

m8(m)x 0,mkN2x816

10·5316,1)x(M

1

x

4. Tensiones tangenciales en la sección del empotramiento (A) Para hallar las tensiones tangenciales en la sección es necesario conocer los valores de los esfuerzos determinantes (que producen tensiones tangenciales) sobre la misma, cortante, )0(Vy , y torsor, )0(Mx . 4.1. Flujo de tensiones tangenciales y tensiones tangenciales debidas al cortante La expresión del flujo de cortante, )s(q , es:

yz

zyz

y

yy

z

z VI

)s(m0VV

I

)s(mV

I

)s(m)s(q

Sustituyendo las expresiones determinadas anteriormente del momento estático respecto al eje Z, zm , y del

momento de inercia respecto al mismo eje, zI , podríamos obtener las expresiones del flujo, sq , por tramos.

Como se nos pide acotar los valores significativos, calculamos valores en puntos concretos que permitan definir la representación gráfica. Tramo 1 (coordenada s1): Para 0)0s(qtantopory,0m,0s 1z1

Para cs1 se obtiene:

m

kN10·2213.1

2

m8m

kN25

m10·6581.1

m2

3.0

2

2.13.0·015.0

2

Lp

I2

c

2

hc2e

VI

m)cs(q 1

42

3

zy

z

z1

MPa8142.0m

kN10·1418.8

m015.0m

kN10·2213.1

e

)cs(q)cs(

22

1

2

1s1xs

Tramo 2 (coordenada 2s ):

Para )cs(q)0s(qque claro es,0s 122

Para bs2 resulta:

2

m8m

kN25

m10·6581.1

m2

8.0·2.1·015.0m

2

3.0

2

2.13.0·015.0

2

Lp

I2

bhe

2

c

2

hc2e

VI

m)bs(q

42

33

z

2

yz

z2

m

kN10·5636.5)bs(q 1

2

MPa7091.3m

kN10·7091.3

m015.0m

kN10·5636.5

e

)bs(q)bs(

23

1

2

2s2xs

Tramo 3 (coordenada 3s ):

Para 0)0s(qtantopory,0m,0s 3sz3

Para as3 queda:

m

kN10·1712.2

2

m8m

kN25

m10·6581.1

m2

4.0·2.1·015.0

2

Lp

I2

ahe

VI

m)as(q 1

42

3

z

2

yz

z3

m

kN10·5636.5)bs(q 1

2

MPa7091.3)bs( 2xs

MPa8142.0)cs( 1xs

m

kN10·2213.1)cs(q 1

1

m

kN10·1712.2)as(q 1

3

MPa4474.1m

kN10·4474.1

m015.0m

kN10·1712.2

e

)a(q)as(

23

1

2

s3xs

Tramo 4 (coordenada 4s ):

Para 0s4 queda:

2

Lp

I2

c

2

hce

2

hbe

2

hae

VI

)bs(m)as(mV

I

)0s(m)0s(q

z

222

yz

2z3zy

z

4z4

m

kN10·7348,7

2

m8m

kN25

m10·6581,1

m2

3,0

2

2,1·3,0·015,0m

2

2,1·80,040,0·015,0

142

33

MPa7348,7m

kN10·7348,7

m010,0m

kN10·7348,7

e

)0s(q)0s(

23

1

1

4s4xs

Que podríamos haber evaluado directamente al tener en cuenta que por equilibrio de fuerzas ( 0Fx ) la

suma de flujos en el entronque con el alma ha de ser nula. Al plantear la ecuación se ha de considerar si se trata de flujos entrantes o salientes. Según el sentido adoptado para los flujos y tomando como positivo el sentido saliente y negativo el entrante, se tiene que 0)bs(q)as(q)0s(q 234 y sustituyendo valores

resulta:

m

kN10·7348,7

m

kN10·5636,5

m

kN10·1712,2)bs(q)as(q)0s(q 111

234

Obsérvese como la suma de tensiones no cumple esta propiedad en general. Solo la cumple cuando los flejes coincidentes tienen el mismo espesor. Para ls4 (punto 0) resulta:

2

Lp

I4

hle

2

c

2

hce

2

h)ba(e

VI

)ls(m)ls(q

z

122

yz

4z4

m

kN10·0395,9

2

m8m

kN25

m10·6581,1

m4

2,110·2111,7·010,0m

2

3,0

2

2,1·3,0·015,0m

2

2,1·80,040,0·015,0

142

3133

MPa0395,9m

kN10·0395,9

m010,0m

kN10·0395,9

e

)ls(q)ls(

23

1

1

4s4xs

Para el resto de flejes, dado que )s(m)s(m 8z1z , )s(m)s(m 7z2z , )s(m)s(m 6z3z y )s(m)s(m 5z4z

los flujos tienen sentidos opuestos en flejes simétricos respecto al eje de simetría. Los resultados obtenidos para el C.E.C., flujos y por tanto tensiones, responden a que se trata de una sección simétrica con cargas antisimétricas (cortante Vy) y podrían haberse anticipado como consecuencia de las propiedades de simetría/antisimetría, pero se han expuesto mediante deducción puesto que no se ha explicado aún dicho tema.

MPa4474.1)as( 3xs

m

kN10·7348,7)0s(q 1

4

MPa7348,7)0s( 4xs

m

kN10·0395,9)ls(q 1

4

MPa0395,9)ls( 4xs

En el siguiente gráfico se representan las leyes de flujos, a la izquierda, y de tensiones tangenciales, a la derecha. El signo menos obtenido en las expresiones anteriores del flujo indica que la dirección real del flujo es contraria a la inicialmente supuesta (correspondiente al sentido asignado inicialmente a la coordenada arco, s).

La tensión máxima se produce para una fibra horizontal situada en la mitad del alma (fibra que contiene al punto O). Nótese que la resultante de los flujos o tensiones es lógicamente el esfuerzo cortante aplicado (los flujos horizontales son iguales y de sentido contrario y la resultante del flujo vertical es el cortante).

Ley de flujos de cortante Ley de tensiones tangenciales

4.2. Tensiones tangenciales debidas al torsor Según la simplificación vista para perfiles abiertos de pared delgada la tensión máxima en cada fleje producida por el momento torsor responde a la expresión:

ix

i

iximax e

J

M

J

eMi , que es constante en todo el fleje.

La ley de tensiones en el fleje es una ley lineal que varía en el espesor del perfil desde imax a imax ,

idéntica para todas las fibras según el ancho de la sección, siendo el sentido del momento resultante el mismo que el del momento torsor. La máxima tensión entre los distintos flejes se produce, por tanto, en los flejes de mayor espesor. Cálculo del Módulo de Torsión (J) utilizando la teoría simplificada para perfiles de pared delgada:

i j

j

3i

i

i

3ii

i

i s3

ectee

3

esJJ , para los j flejes de cada i espesor distinto

Concretizando para el problema, se obtiene:

4643

4136

1i

i

32

2

1i

i

31 m108557,3m30,0·280,0·240,0·2

3

015,0m)10·2111,7·2(

3

010,0s

3

es

3

eJ

Así: Para ,010,01 me resulta

MPa89,158m

kN10·5889,1m010,0

m10·8557,32

m8·m)30,010·1265,3(m

kN25

eJ2

Lep

eJ

M2

546

1

1ix

imax

Para ,015,02 me queda

MPa34,238m

kN10·3834,2m015,0

m10·8557,32

m8·m)30,010·1265,3(m

kN25

eJ2

Lep

eJ

M2

546

1

2ix

imax

Gráficamente:

Ley de tensiones tangenciales

46 m108557,3J

MPa89,158)e( 1max

MPa34,238)e( 2max

4.3. Estado de tensiones tangenciales en la sección (tensiones tangenciales totales) El estado real de tensiones tangenciales es la suma del estado tensional de cortante aplicado en CEC y del estado tensional debido al torsor. Operación que realizamos gráficamente.

La tensión es máxima para los puntos situados en la parte interior del entronque del alma con las alas (marcados con un punto) y su valor es:

MPa260MPa05,242MPa34,238MPa71,3 admTorsortetanCormax

Ley de tensiones tangenciales por Cortante

Ley de tensiones tangenciales por Torsor

Ley de tensiones tangenciales estado real (Borde exterior)

Ley de tensiones tangenciales estado real (Borde interior)

La tensión máxima no supera la tensión admisible, por lo que el perfil es apto frente a las tensiones tangenciales que provoca la carga. Nótese la importancia de las tensiones obtenidas del Estado de Torsión frente a las tensiones obtenidas del Estado de Cortante en C.E.C.

5. Cálculo del giro respecto al eje x en la sección extremo del voladizo El giro en torsión libre viene dado por la expresión:

B

A

xAB dx

JG

M

Para el caso particular en el que 0A , con cteJG, y 2x xLL2

epM se tiene:

JG6

Lep

3

xL

JGL2

epdxxL

L2

ep

JG

1cteJG,dx

JG

M0Aθ

2L

0

3L

0

2B

A

xBAB

Sustituyendo valores concretos del problema, resulta:

rad53,0m108557,3Pa1080·6

m8·m)30,010·1265,3(m

kN25

JG6

Lep469

2212

B

Giro que se produciría en sentido horario según está representada la sección en el enunciado, congruente con el sentido del torsor.