Tema 3. Espazos metricos

Tema 3. Espazos metricos

Topoloxıa Xeral, 2017-18

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Indice

Metrica e espazo metricoMetricas en Rn

Metricas no espazo de funcionsBolas e relacions metricas

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

DefinicionUnha metrica nun conxunto M e unha aplicacion d convalores reais

d : M ×M −→ R

que a un punto (x, y) de M ×M asocia o numero d(x, y),de xeito que se verifiquen as tres condicions seguintes:

1. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 sse x = y .

2. d(x, y) = d(y, x) , x, y ∈M .

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) , x, y, z ∈M .

O par (M,d) formado por un conxunto M e unha metricanel, d, denomınase espazo metrico.

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

DefinicionUnha metrica nun conxunto M e unha aplicacion d convalores reais

d : M ×M −→ R

que a un punto (x, y) de M ×M asocia o numero d(x, y),de xeito que se verifiquen as tres condicions seguintes:

1. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 sse x = y .

2. d(x, y) = d(y, x) , x, y ∈M .

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) , x, y, z ∈M .

O par (M,d) formado por un conxunto M e unha metricanel, d, denomınase espazo metrico.

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Nun conxunto non baleiro M calquera defınese achamada metrica discreta,

dS : M ×M −→ R,

dada por:

dS(x, y) =

{0 se x = y,1 se x 6= y.

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Metricas en Rn

Metricas destacads en Rn:a metrica d1,

d1(x, y) =∑n

i=1 |xi − yi| ,

a metrica d2,

d2(x, y) =√∑n

i=1(xi − yi)2 ,

e a metrica d∞,

d∞(x, y) = max1≤i≤n{|xi − yi|} ,

onde x = (x1, ... , xn), y = (y1, ... , yn).

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Metricas en Rn

Analogamente, para cada enteiro natural k ∈ N defınese:

dk(x, y) ={∑n

i=1 |xi − yi|k}1/k

,

Desigualdade de Minkowski:{n∑

i=1

(ai + bi)k

}1/k

≤

{n∑

i=1

aki

}1/k

+

{n∑

i=1

bki

}1/k

,

onde ai e bi son numeros non negativos.

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Metricas en Rn

Analogamente, para cada enteiro natural k ∈ N defınese:

dk(x, y) ={∑n

i=1 |xi − yi|k}1/k

,

Desigualdade de Minkowski:{n∑

i=1

(ai + bi)k

}1/k

≤

{n∑

i=1

aki

}1/k

+

{n∑

i=1

bki

}1/k

,

onde ai e bi son numeros non negativos.

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Metricas en Rn

Para cada k ∈ N, cumprese

d∞(x, y) ≤ dk(x, y) ≤ n1/kd∞(x, y) .

Deducese que d∞(x, y) = lımk→∞ dk(x, y)

En fin, cumprense tamen as desigualdades

d∞(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ n · d∞(x, y) .

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Metricas en Rn

Para cada k ∈ N, cumprese

d∞(x, y) ≤ dk(x, y) ≤ n1/kd∞(x, y) .

Deducese que d∞(x, y) = lımk→∞ dk(x, y)

En fin, cumprense tamen as desigualdades

d∞(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ n · d∞(x, y) .

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Metricas no espazo de funcions

C(I): espazo vectorial das funcions reais continuas dointervalo unidade I = [0, 1]; nel imos definir duasmetricas.

A primeira, ρ∞ : C(I)× C(I)→ R, ven dada por:

ρ∞(f, g) = supx∈I{|f(x)− g(x)|}

E a chamada metrica da converxencia uniforme ou“metrica do supremo”.Defınese tamen sobre espazos mas xerais. Por exemplo,no espazo vectorial B(X,R), de funcions reais limitadascon dominio un conxunto arbitraio X.

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Metricas no espazo de funcions

C(I): espazo vectorial das funcions reais continuas dointervalo unidade I = [0, 1]; nel imos definir duasmetricas.

A primeira, ρ∞ : C(I)× C(I)→ R, ven dada por:

ρ∞(f, g) = supx∈I{|f(x)− g(x)|}

E a chamada metrica da converxencia uniforme ou“metrica do supremo”.Defınese tamen sobre espazos mas xerais. Por exemplo,no espazo vectorial B(X,R), de funcions reais limitadascon dominio un conxunto arbitraio X.

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Metricas no espazo de funcions

C(I): espazo vectorial das funcions reais continuas dointervalo unidade I = [0, 1]; nel imos definir duasmetricas.

A primeira, ρ∞ : C(I)× C(I)→ R, ven dada por:

ρ∞(f, g) = supx∈I{|f(x)− g(x)|}

E a chamada metrica da converxencia uniforme ou“metrica do supremo”.Defınese tamen sobre espazos mas xerais. Por exemplo,no espazo vectorial B(X,R), de funcions reais limitadascon dominio un conxunto arbitraio X.

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Metricas no espazo de funcions

A segunda metrica e:

ρ1(f, g) =∫ 1

0|f(x)− g(x)|dx

Denomınase metrica L1.

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Bolas e relacions metricas

Bolas en (M,d)

BM(x, r) = {y ∈M | d(x, y) < r}

BM [x, r] = {y ∈M | d(x, y) ≤ r}

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Bolas e relacions metricas

Distancia entre conxuntosDados dous conxuntos non baleiros A e B nun espazometrico (M,d), chamase distancia entre os conxuntos A eB, e se denota d(A,B), ao numero

d(A,B) = ınf{d(x, y), x ∈ A, y ∈ B}

Cando un dos conxuntos se reduce a un punto falase dedistancia do punto ao conxunto e se escribe d(x,A).Cumprese

|d(x,A)− d(y, A)| ≤ d(x, y)

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Bolas e relacions metricas

Distancia entre conxuntosDados dous conxuntos non baleiros A e B nun espazometrico (M,d), chamase distancia entre os conxuntos A eB, e se denota d(A,B), ao numero

d(A,B) = ınf{d(x, y), x ∈ A, y ∈ B}

Cando un dos conxuntos se reduce a un punto falase dedistancia do punto ao conxunto e se escribe d(x,A).Cumprese

|d(x,A)− d(y, A)| ≤ d(x, y)

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Bolas e relacions metricas

Conxunto limitado. DiametroUn conxunto A nun espazo metrico (M,d) dise limitadose esta contido nalgunha bola,

∃BM(x, r) tal que A ⊂ BM(x, r)

Chamase diametro dun conxunto non baleiro A, e sedenota δ(A), ao numero

δ(A) = sup{d(x, y) | x, y ∈ A},

cando existe. Se tal supremo non existe, dise que odiametro e infinito, e escrıbese

δ(A) =∞ .

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Bolas e relacions metricas

Conxunto limitado. DiametroUn conxunto A nun espazo metrico (M,d) dise limitadose esta contido nalgunha bola,

∃BM(x, r) tal que A ⊂ BM(x, r)

Chamase diametro dun conxunto non baleiro A, e sedenota δ(A), ao numero

δ(A) = sup{d(x, y) | x, y ∈ A},

cando existe. Se tal supremo non existe, dise que odiametro e infinito, e escrıbese

δ(A) =∞ .

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Bolas e relacions metricas

Metricas limitadasSexa (M,d) un espazo metrico. A formula

d(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)

define unha nova metrica sobre M .E unha metrica limitada, o espazo total e un conxuntolimitado.

Outra metrica limitada e

d0(x, y) = mın{d(x, y), 1} .

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Bolas e relacions metricas

Metricas limitadasSexa (M,d) un espazo metrico. A formula

d(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)

define unha nova metrica sobre M .E unha metrica limitada, o espazo total e un conxuntolimitado.

Outra metrica limitada e

d0(x, y) = mın{d(x, y), 1} .

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Bolas e relacions metricas

Metricas limitadasSexa (M,d) un espazo metrico. A formula

d(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)

define unha nova metrica sobre M .E unha metrica limitada, o espazo total e un conxuntolimitado.

Outra metrica limitada e

d0(x, y) = mın{d(x, y), 1} .

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Bolas e relacions metricas

Unha metrica en S2

dS2 : S2 × S2 −→ R , dS2(x, y) = arccos(〈x, y〉) ,

Podese definir en calquera esfera Sn. Outra formulaequivalente e:

dSn(x, y) = 2 arcsen(1

2d2(x, y)) .

Tema 3. Espazos metricos

Metrica e espazo metrico

Bolas e relacions metricas

Unha metrica en S2

dS2 : S2 × S2 −→ R , dS2(x, y) = arccos(〈x, y〉) ,

Podese definir en calquera esfera Sn. Outra formulaequivalente e:

dSn(x, y) = 2 arcsen(1

2d2(x, y)) .