Teorema IsoperimetricoGeometrıa plana

Efraın Soto Apolinar

aprendematematicas.org.mx

23 de Diciembre de 2009

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 1 / 15

Teorema Isoperimetrico

Teorema 1 (Teorema Isoperimetrico)De todos los triangulos que se pueden dibujar con un area fija, el equilatero es el

que tiene el menor perımetro.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 2 / 15

Demostracion

Empezamos dibujando un triangulo con area fija.Para eso consideramos un segmento AB fijo que servira de base para el triangulode area fija y una recta ` paralela al segmento AB:

A B

`

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 3 / 15

Demostracion...

Ahora vamos a ubicar el tercer vertice del triangulo en un punto sobre la recta `:

A B

`C1

Este vertice puede moverse a lo largo de la recta ` y el area del triangulopermanece fija, pues su base y su altura son constantes.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 4 / 15

Demostracion...

Ahora vamos a ubicar el tercer vertice del triangulo en un punto sobre la recta `:

A B

`C1

Este vertice puede moverse a lo largo de la recta ` y el area del triangulopermanece fija, pues su base y su altura son constantes.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 4 / 15

Demostracion...

Nosotros queremos encontrar el punto sobre la recta ` donde debemos ubicar eltercer vertice del triangulo para que el perımetro de este triangulo sea mınimo.

A B

`C1C2

¿Donde crees que debe estar ese punto?

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 5 / 15

Demostracion...

Nosotros queremos encontrar el punto sobre la recta ` donde debemos ubicar eltercer vertice del triangulo para que el perımetro de este triangulo sea mınimo.

A B

`C1C2

¿Donde crees que debe estar ese punto?

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 5 / 15

Demostracion...

Nosotros queremos encontrar el punto sobre la recta ` donde debemos ubicar eltercer vertice del triangulo para que el perımetro de este triangulo sea mınimo.

A B

`C1C2

¿Donde crees que debe estar ese punto?

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 5 / 15

Demostracion...

Exacto,

el punto de interseccion de la mediatriz del segmento AB y la recta `:

A B

`C

Hasta aquı hemos visto que de todos los triangulos con una base fija y un areadada, el isosceles es el que tiene el mınimo perımetro.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 6 / 15

Demostracion...

Exacto, el punto de interseccion de la mediatriz del segmento AB y la recta `:

A B

`C

Hasta aquı hemos visto que de todos los triangulos con una base fija y un areadada, el isosceles es el que tiene el mınimo perımetro.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 6 / 15

Demostracion...

Exacto, el punto de interseccion de la mediatriz del segmento AB y la recta `:

A B

`C

Hasta aquı hemos visto que de todos los triangulos con una base fija y un areadada, el isosceles es el que tiene el mınimo perımetro.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 6 / 15

Demostracion...

Ahora vamos a tomar otro lado como base y vamos a hacer lo mismo: trazamossu mediatriz y la intersectamos con la recta que pase por el vertice opuesto y quesea paralela al lado considerado:

B

C

A′

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 7 / 15

Demostracion...

Ahora vamos a tomar otro lado como base y vamos a hacer lo mismo: trazamossu mediatriz y la intersectamos con la recta que pase por el vertice opuesto y quesea paralela al lado considerado:

B

C

A′

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 7 / 15

Demostracion...

Ahora vamos a tomar el siguiente lado como base y hacemos de nuevo lo mismo:trazamos su mediatriz y la intersectamos con la recta que pase por el verticeopuesto y que sea paralela al lado considerado:

A′B ′

C

Ad infinitum...

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 8 / 15

Demostracion...

Ahora vamos a tomar el siguiente lado como base y hacemos de nuevo lo mismo:trazamos su mediatriz y la intersectamos con la recta que pase por el verticeopuesto y que sea paralela al lado considerado:

A′B ′

C

Ad infinitum...

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 8 / 15

Demostracion...

¿Sabes a donde vamos a ir a parar realizando este procedimiento un numeroinfinito de veces?

¡Correcto!Obtenemos un triangulo equilatero:

Pues el triangulo equilatero es isosceles respecto de todos sus lados.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 9 / 15

Demostracion...

¿Sabes a donde vamos a ir a parar realizando este procedimiento un numeroinfinito de veces?¡Correcto!

Obtenemos un triangulo equilatero:

Pues el triangulo equilatero es isosceles respecto de todos sus lados.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 9 / 15

Demostracion...

¿Sabes a donde vamos a ir a parar realizando este procedimiento un numeroinfinito de veces?¡Correcto!Obtenemos un triangulo equilatero:

Pues el triangulo equilatero es isosceles respecto de todos sus lados.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 9 / 15

Siguiente Teorema Isoperimetrico

Ahora consideramos un cuadrilatero.

Teorema 2 (Teorema Isoperimetrico)De todos los cuadrilateros que se pueden dibujar con un area fija, el cuadrado es

el que tiene el menor perımetro.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 10 / 15

Demostracion...

De nuevo, empezamos considerando un cuadrilatero cualquiera:

A este cuadrilatero podemos trazarle una de sus diagonales, y aplicar elprocedimiento del triangulo dos veces una para cada triangulo formado con loslados del cuadrilatero, cada vez que obtengamos uno nuevo.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 11 / 15

Demostracion...

De nuevo, empezamos considerando un cuadrilatero cualquiera:

A este cuadrilatero podemos trazarle una de sus diagonales, y aplicar elprocedimiento del triangulo dos veces una para cada triangulo formado con loslados del cuadrilatero, cada vez que obtengamos uno nuevo.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 11 / 15

Demostracion...

Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la interseccion de la mediatrizcon cada una de las paralelas.

Estos puntos nos ayudan a encontrar un cuadrilatero con la misma area, pero conun perımetro menor.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 12 / 15

Demostracion...

Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la interseccion de la mediatrizcon cada una de las paralelas.

Estos puntos nos ayudan a encontrar un cuadrilatero con la misma area, pero conun perımetro menor.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 12 / 15

Demostracion...

Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la interseccion de la mediatrizcon cada una de las paralelas.

Estos puntos nos ayudan a encontrar un cuadrilatero con la misma area, pero conun perımetro menor.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 12 / 15

Demostracion...

Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la interseccion de la mediatrizcon cada una de las paralelas.

Estos puntos nos ayudan a encontrar un cuadrilatero con la misma area, pero conun perımetro menor.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 12 / 15

Demostracion...

Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la interseccion de la mediatrizcon cada una de las paralelas.

Estos puntos nos ayudan a encontrar un cuadrilatero con la misma area, pero conun perımetro menor.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 12 / 15

Demostracion...

Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la interseccion de la mediatrizcon cada una de las paralelas.

Estos puntos nos ayudan a encontrar un cuadrilatero con la misma area, pero conun perımetro menor.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 12 / 15

Demostracion...

Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la interseccion de la mediatrizcon cada una de las paralelas.

Estos puntos nos ayudan a encontrar un cuadrilatero con la misma area, pero conun perımetro menor.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 12 / 15

Demostracion...

Si continuamos con el mismo procedimiento un numero infinito de veces, ¿quefigura vamos a obtener?

¡Correcto!,Vamos a obtener un cuadrilatero que es isosceles respecto de ambas diagonales, esdecir, vamos a obtener un cuadrado.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 13 / 15

Demostracion...

Si continuamos con el mismo procedimiento un numero infinito de veces, ¿quefigura vamos a obtener?¡Correcto!,Vamos a obtener un cuadrilatero que es isosceles respecto de ambas diagonales, esdecir, vamos a obtener un cuadrado.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 13 / 15

Teorema Isoperimetrico

Teorema 3 (Caso general)En general, de todos los polıgonos de n lados con un area fija, el de mınimo

perımetro es el polıgono regular.

Otra manera de establecer el mismo resultado es:

Teorema 4 (Segunda version)En general, de todos los polıgonos de n lados con un perımetro fijo, el de maxima

area es el polıgono regular.

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 14 / 15

Final

¿Quien NO tienepreguntas?

Efraın Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimetrico 23 de Diciembre de 2009 15 / 15