![Page 1: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/1.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Tema 3. Espazos metricos
Topoloxıa Xeral, 2017-18
![Page 2: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/2.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Indice
Metrica e espazo metricoMetricas en Rn
Metricas no espazo de funcionsBolas e relacions metricas
![Page 3: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/3.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
DefinicionUnha metrica nun conxunto M e unha aplicacion d convalores reais
d : M ×M −→ R
que a un punto (x, y) de M ×M asocia o numero d(x, y),de xeito que se verifiquen as tres condicions seguintes:
1. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 sse x = y .
2. d(x, y) = d(y, x) , x, y ∈M .
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) , x, y, z ∈M .
O par (M,d) formado por un conxunto M e unha metricanel, d, denomınase espazo metrico.
![Page 4: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/4.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
DefinicionUnha metrica nun conxunto M e unha aplicacion d convalores reais
d : M ×M −→ R
que a un punto (x, y) de M ×M asocia o numero d(x, y),de xeito que se verifiquen as tres condicions seguintes:
1. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 sse x = y .
2. d(x, y) = d(y, x) , x, y ∈M .
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) , x, y, z ∈M .
O par (M,d) formado por un conxunto M e unha metricanel, d, denomınase espazo metrico.
![Page 5: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/5.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Nun conxunto non baleiro M calquera defınese achamada metrica discreta,
dS : M ×M −→ R,
dada por:
dS(x, y) =
{0 se x = y,1 se x 6= y.
![Page 6: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/6.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Metricas en Rn
Metricas destacads en Rn:a metrica d1,
d1(x, y) =∑n
i=1 |xi − yi| ,
a metrica d2,
d2(x, y) =√∑n
i=1(xi − yi)2 ,
e a metrica d∞,
d∞(x, y) = max1≤i≤n{|xi − yi|} ,
onde x = (x1, ... , xn), y = (y1, ... , yn).
![Page 7: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/7.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Metricas en Rn
Analogamente, para cada enteiro natural k ∈ N defınese:
dk(x, y) ={∑n
i=1 |xi − yi|k}1/k
,
Desigualdade de Minkowski:{n∑
i=1
(ai + bi)k
}1/k
≤
{n∑
i=1
aki
}1/k
+
{n∑
i=1
bki
}1/k
,
onde ai e bi son numeros non negativos.
![Page 8: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/8.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Metricas en Rn
Analogamente, para cada enteiro natural k ∈ N defınese:
dk(x, y) ={∑n
i=1 |xi − yi|k}1/k
,
Desigualdade de Minkowski:{n∑
i=1
(ai + bi)k
}1/k
≤
{n∑
i=1
aki
}1/k
+
{n∑
i=1
bki
}1/k
,
onde ai e bi son numeros non negativos.
![Page 9: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/9.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Metricas en Rn
Para cada k ∈ N, cumprese
d∞(x, y) ≤ dk(x, y) ≤ n1/kd∞(x, y) .
Deducese que d∞(x, y) = lımk→∞ dk(x, y)
En fin, cumprense tamen as desigualdades
d∞(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ n · d∞(x, y) .
![Page 10: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/10.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Metricas en Rn
Para cada k ∈ N, cumprese
d∞(x, y) ≤ dk(x, y) ≤ n1/kd∞(x, y) .
Deducese que d∞(x, y) = lımk→∞ dk(x, y)
En fin, cumprense tamen as desigualdades
d∞(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ n · d∞(x, y) .
![Page 11: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/11.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Metricas no espazo de funcions
C(I): espazo vectorial das funcions reais continuas dointervalo unidade I = [0, 1]; nel imos definir duasmetricas.
A primeira, ρ∞ : C(I)× C(I)→ R, ven dada por:
ρ∞(f, g) = supx∈I{|f(x)− g(x)|}
E a chamada metrica da converxencia uniforme ou“metrica do supremo”.Defınese tamen sobre espazos mas xerais. Por exemplo,no espazo vectorial B(X,R), de funcions reais limitadascon dominio un conxunto arbitraio X.
![Page 12: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/12.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Metricas no espazo de funcions
C(I): espazo vectorial das funcions reais continuas dointervalo unidade I = [0, 1]; nel imos definir duasmetricas.
A primeira, ρ∞ : C(I)× C(I)→ R, ven dada por:
ρ∞(f, g) = supx∈I{|f(x)− g(x)|}
E a chamada metrica da converxencia uniforme ou“metrica do supremo”.Defınese tamen sobre espazos mas xerais. Por exemplo,no espazo vectorial B(X,R), de funcions reais limitadascon dominio un conxunto arbitraio X.
![Page 13: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/13.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Metricas no espazo de funcions
C(I): espazo vectorial das funcions reais continuas dointervalo unidade I = [0, 1]; nel imos definir duasmetricas.
A primeira, ρ∞ : C(I)× C(I)→ R, ven dada por:
ρ∞(f, g) = supx∈I{|f(x)− g(x)|}
E a chamada metrica da converxencia uniforme ou“metrica do supremo”.Defınese tamen sobre espazos mas xerais. Por exemplo,no espazo vectorial B(X,R), de funcions reais limitadascon dominio un conxunto arbitraio X.
![Page 14: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/14.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Metricas no espazo de funcions
A segunda metrica e:
ρ1(f, g) =∫ 1
0|f(x)− g(x)|dx
Denomınase metrica L1.
![Page 15: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/15.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Bolas e relacions metricas
Bolas en (M,d)
BM(x, r) = {y ∈M | d(x, y) < r}
BM [x, r] = {y ∈M | d(x, y) ≤ r}
![Page 16: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/16.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Bolas e relacions metricas
Distancia entre conxuntosDados dous conxuntos non baleiros A e B nun espazometrico (M,d), chamase distancia entre os conxuntos A eB, e se denota d(A,B), ao numero
d(A,B) = ınf{d(x, y), x ∈ A, y ∈ B}
Cando un dos conxuntos se reduce a un punto falase dedistancia do punto ao conxunto e se escribe d(x,A).Cumprese
|d(x,A)− d(y, A)| ≤ d(x, y)
![Page 17: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/17.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Bolas e relacions metricas
Distancia entre conxuntosDados dous conxuntos non baleiros A e B nun espazometrico (M,d), chamase distancia entre os conxuntos A eB, e se denota d(A,B), ao numero
d(A,B) = ınf{d(x, y), x ∈ A, y ∈ B}
Cando un dos conxuntos se reduce a un punto falase dedistancia do punto ao conxunto e se escribe d(x,A).Cumprese
|d(x,A)− d(y, A)| ≤ d(x, y)
![Page 18: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/18.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Bolas e relacions metricas
Conxunto limitado. DiametroUn conxunto A nun espazo metrico (M,d) dise limitadose esta contido nalgunha bola,
∃BM(x, r) tal que A ⊂ BM(x, r)
Chamase diametro dun conxunto non baleiro A, e sedenota δ(A), ao numero
δ(A) = sup{d(x, y) | x, y ∈ A},
cando existe. Se tal supremo non existe, dise que odiametro e infinito, e escrıbese
δ(A) =∞ .
![Page 19: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/19.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Bolas e relacions metricas
Conxunto limitado. DiametroUn conxunto A nun espazo metrico (M,d) dise limitadose esta contido nalgunha bola,
∃BM(x, r) tal que A ⊂ BM(x, r)
Chamase diametro dun conxunto non baleiro A, e sedenota δ(A), ao numero
δ(A) = sup{d(x, y) | x, y ∈ A},
cando existe. Se tal supremo non existe, dise que odiametro e infinito, e escrıbese
δ(A) =∞ .
![Page 20: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/20.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Bolas e relacions metricas
Metricas limitadasSexa (M,d) un espazo metrico. A formula
d(x, y) =d(x, y)
1 + d(x, y)
define unha nova metrica sobre M .E unha metrica limitada, o espazo total e un conxuntolimitado.
Outra metrica limitada e
d0(x, y) = mın{d(x, y), 1} .
![Page 21: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/21.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Bolas e relacions metricas
Metricas limitadasSexa (M,d) un espazo metrico. A formula
d(x, y) =d(x, y)
1 + d(x, y)
define unha nova metrica sobre M .E unha metrica limitada, o espazo total e un conxuntolimitado.
Outra metrica limitada e
d0(x, y) = mın{d(x, y), 1} .
![Page 22: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/22.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Bolas e relacions metricas
Metricas limitadasSexa (M,d) un espazo metrico. A formula
d(x, y) =d(x, y)
1 + d(x, y)
define unha nova metrica sobre M .E unha metrica limitada, o espazo total e un conxuntolimitado.
Outra metrica limitada e
d0(x, y) = mın{d(x, y), 1} .
![Page 23: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/23.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Bolas e relacions metricas
Unha metrica en S2
dS2 : S2 × S2 −→ R , dS2(x, y) = arccos(〈x, y〉) ,
Podese definir en calquera esfera Sn. Outra formulaequivalente e:
dSn(x, y) = 2 arcsen(1
2d2(x, y)) .
![Page 24: Tema 3. Espazos métricos - WordPress.com · 2017-09-09 · Tema 3. Espazos metricos´ Metrica e espazo m´ etrico´ M´etricas en Rn Analogamente, para cada enteiro natural k2N def´ınese:](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022050315/5f774205cbd26f75fb201cb9/html5/thumbnails/24.jpg)
Tema 3. Espazos metricos
Metrica e espazo metrico
Bolas e relacions metricas
Unha metrica en S2
dS2 : S2 × S2 −→ R , dS2(x, y) = arccos(〈x, y〉) ,
Podese definir en calquera esfera Sn. Outra formulaequivalente e:
dSn(x, y) = 2 arcsen(1
2d2(x, y)) .