tci-analisis en frecuencia

Asignatura:

Arquitecturas para el Tratamiento de Señal e Imagen

Introducción: Análisis en Frecuencia

de Señales y Sistemas

Depto. de Tecnología Fotónica Facultad de Informática de la UPM

Mayo, 2001 Rev.: Mayo, 2005

Julio Gutiérrez Ríos

Arquitecturas para el Tratamiento de Señal e Imagen – Análisis en Frecuencia de Señales y Sistemas – J. Gutiérrez Ríos

1

1. SEÑALES EN TIEMPO CONTINUO............................................................................................2

SEÑALES CONTINUAS PERIÓDICAS. ..........................................................................................................2 1.1.1. Espectro: Series de Fourier. .....................................................................................................2 1.1.2. Potencia Media: Teorema de Parseval. ....................................................................................3

1.2. SEÑALES APERIÓDICAS EN TIEMPO CONTÍNUO..................................................................................3 1.2.1. Transformada de Fourier..........................................................................................................3 1.2.2. Densidad Espectral de Energía de Señales Aperiódicas en Tiempo Continuo: Teorema de Rayleigh. .............................................................................................................................................4 1.2.3. Caso del pulso rectangular. ......................................................................................................5 1.2.4. Convolución. .............................................................................................................................5 1.2.5. Propiedades de simetría de la TF. ............................................................................................6 1.2.6. Relaciones en el tiempo y la frecuencia de señales aperiódicas en tiempo continuo................7 1.2.7. Funciones elementales. .............................................................................................................7

1.3 TEOREMA DE MUESTREO ....................................................................................................................8 1.4. SISTEMAS ANALÓGICOS.....................................................................................................................9

1.4.1. Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (LTI)................................................................10 1.4.2. Transformada de Laplace .......................................................................................................10

2. SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO ...........................................................................................14

2.1. SEÑALES PERIÓDICAS EN TIEMPO DISCRETO.....................................................................................15 2.1.1. Espectro: Series de Fourier de señales en tiempo discreto (DTFS)........................................15 2.1.2. Densidad espectral de potencia: Teorema de Parseval para señales discretas......................16

2.2. SEÑALES APERIÓDICAS EN TIEMPO DISCRETO.................................................................................17 2.2.1. Espectro: Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (DTFT)..........................................17 2.2.2. Densidad espectral de Energía ...............................................................................................18 2.2.3. Ejemplo: pulso rectangular en tiempo discreto ......................................................................18 2.2.4. Convolución y Correlación .....................................................................................................19 2.2.5. Propiedades de Simetría de la DTFT......................................................................................19 2.2.6. Propiedades y Teoremas de la DTFT......................................................................................20 2.2.7. Funciones elementales. ...........................................................................................................20 2.2.8. Transformada Discreta de Fourier (DFT) ..............................................................................21 2.2.9. Ejemplo de DFT: Pulso Rectangular. .....................................................................................22 2.2.10. Convolución Circular............................................................................................................22 2.2.11. Propiedades de simetría de la DFT. .....................................................................................23 2.2.12. Propiedades y Teoremas de la DFT......................................................................................23 2.2.13. Transformada Rápida de Fourier (FFT)...............................................................................24

2.3. SISTEMAS DISCRETOS. .....................................................................................................................27 2.3.1. Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (LTI)................................................................27 2.3.2. Transformada z. ......................................................................................................................28 2.3.3. Propiedades de la Tz. ..............................................................................................................30


2

1. Señales en tiempo Continuo 1.1. Señales Continuas Periódicas. 1.1.1. Espectro: Series de Fourier.

En consecuencia: Si una señal es continua y periódica Espectro Discreto Los Armónicos son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental F0. A mayor período T0 Menor intervalo de frecuencia entre los armónicos

En virtud de esto, se puede escribir:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )dttjktxT

C

kmdttkmj

TCdtCdttkmjCdttjktx

tjkCtx

FT

FTtxtx

T pk

T

kTkm

TmT p

kkp

pp

∫

∫

∫∑ ∫∫

∑

Ω−⋅=∴

≠∀=Ω−

==Ω−⋅=Ω−⋅

Ω⋅=

⋅=Ω=+=

∞

−∞=

∞

−∞=

0

0

000

00

0

000

0

000

00

exp1

0exp que ya

expexp

exp

2;1;)( π

ck

c-k

( ) ( )

**

0

;

real esexp real es Si

kkkk

kkpp

CCCC

tjkCtx(t)x

==⇒

⇒Ω⋅=⇒

−−

∞

−∞=∑

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] [ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

==Ω+Ω=

=Φ⋅Ω−Φ⋅Ω+=

∠=ΦΦ+Ω⋅+=Ω⋅=

∑

∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

−∞=

kkkk

p

kkk

kkkkp

kkk

kkk

kp

CBCA

txCAtsenkBtkA

sentsenktkCCtx

CtkCCtjkCtx

Im2;Re2 dondecos

coscos2

siendocos2exp

00

000

1000

1000


3

1.1.2. Potencia Media: Teorema de Parseval.

1.2. Señales Aperiódicas en Tiempo Contínuo. 1.2.1. Transformada de Fourier. Cuando se trata de una señal no periódica, se puede obtener el espectro como si ésta fuera una señal periódica pero con un periodo infinito. De esta forma se obtiene:

La Transformada de Fourier (TF) no promedia en el período T0, ya que éste se prolonga hasta el infinito. En consecuencia, como se verá más adelante, su módulo al cuadrado no representa la potencia como en las series de Fourier, sino la densidad espectral de energía. En efecto, al considerar el período infinito, si la potencia fuera finita, la energía tendría que ser infinita.

t

tT0 T0 -T0

x(t)

xp(t)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dttjtxjXdtFtjtxFjX

FkFFT

dttFjktxT

C

Tttx

TtTtxtx

dttFjktxT

C

tFjkCtx

txtx

k

p

T pk

kkp

pT

∫∫

∫

∫

∑

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

−∞=

∞→

Ω−⋅=Ω−⋅=

→→∞→⇒

⇒−⋅→

>=

≤≤−=

−⋅=

⋅=

=

exp bien o 2exp2

:comoFourier de ada transformla define se esto, a baseEn continuo. hace se espectro ely ,0y Como

2exp12

0

22 que dado

2exp1

2exp

lim

000

00

0

00

00

0

0

0

ππ

π

π

π

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∑∑

∑∑

∫∑∑∫∫

∞

=

∞

=

∞

−∞=

+⋅+=⋅+=

=⋅=

=Ω−⋅⋅=Ω−⋅==

1

2220

1

220

2*

00

*0

*

0

2

0

212 :real es Si

exp1exp11000

kkk

kk

kk

kkk

T pk

kk

kT pT p

BAACCPtx

CCC

dttjktxT

CdttjkCtxT

dttxT

P


4

Al mismo tiempo, se puede ver que los coeficientes de Fourier de xp(t) son muestras de X(j2πF) tomadas en múltiplos de F0 y escaladas por F0, esto es, 1/T0 :

Se pueden enumerar tres propiedades fundamentales de la Transformada de Fourier:

1. La TF es una función compleja, de forma que X(j2πF) es el módulo del espectro de x(t) y arg(X(j2πF)) es la fase del espectro de x(t).

2. La TF de x(t) para f = 0 es el área de x(t) ya que

3. Si x(t) es real, X(-j2πF)= X*(j2πF), con lo que la amplitud X(j2πF) es una función par, mientras que la fase arg(X(j2πF)) es una función impar. Se dice entonces que la señal es hermitiana, o tiene simetría hermitiana.

1.2.2. Densidad Espectral de Energía de Señales Aperiódicas en Tiempo Continuo: Teorema de Rayleigh.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) finita Energía existe TF la Si

que necesario es TF, la exista que Para

exp;exp

:bien O

2exp2;2exp2

2exp2lim

0 Si

2exp

2exp1

2

21

0

000

0

⇒∞<⇒

∞<

Ω−⋅=ΩΩΩΩ=

−⋅==

==

→∆⇒∞→∴

∆∆∆=

=

∫

∫∫∫

∫∫

∫

∑

∑

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−∞→

∞

−∞=

∞

−∞=

dttx

dttx

dttjtxjXdjjXtx

dtFtjtxFjXdFFjFjXtx

dFFjFjXtxtx

FT

FFkFkXtx

kFkFXT

tx

pT

kp

kp

π

ππππ

ππ

π

π

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) energía. de espectral densidad la es 2 que loCon

2222exp2

2exp2

:es señal una de energía La

2

2**

**2

FjX

dfFjXdfFjXFjXdFdtftjtxFjX

dtdFftjFjXtxdttxtxdttxEx

π

πππππ

ππ

∫∫∫ ∫

∫ ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅=⋅==

( )∫∞

∞−= dttxX )0(


5

Caso del pulso rectangular. En la figura se ha representado un pulso rectangular en el tiempo. Su transformada de Fourier será la siguiente:

En este caso la TF es una función real y, por tanto, par.

1.2.3. Convolución.

A

τ/2 −τ/2 Aτ

1/τ 2/τ 3/τ -1/τ −2/τ −3/τ

t

F

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )x

xsenxFAF

FsenA

fjFjFjA

FtjFj

A

dtFtjA

dtFtjtxFjX

ππττ

τπτπτ

πτπτπ

ππ

π

ππ

τ

τ

τ

τ

=⋅==

=−−

=

=−−=

=−=

=−=

−

−

∞

∞−

∫

∫

sinc definiciónpor siendosinc

2expexp

2exp2

2exp

2exp2

2

2

2

2

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )3121321

321321

1221

212121

21

:suma lacon vaDistributi :Asociativa

:aConmutativ:nconvolució la de spropiedade siguientes lascomprobar pueden Se

,n convolució

:forma siguiente la de ,y señales, dos den convolució la define Se

xxxxxxxxxxxxx

xxxx

dτt-τxτxtxtxtxtx

txtx

∗+∗=+∗∗∗=∗∗

∗=∗

⋅=∗= ∫∞

∞−

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )t·xtxFjXFjX

FjXFjX

dFjFjXxddtFtjxx

dtFtjdxxxx

21211

21

2121

2121

22TF

:funcioneslas de producto al igual esn convolució la de inversa ada transformla forma, misma la De

adas. transformlas de producto del inversa ada transformla haciendo funciones dos den convolució laobtener fácil más es frecuenciacon que así es Tal

22

2exp22exp-t

2exp-tttTF

:óncontinuaci a demuestra se como talFourier, de adas trannformsus de producto al iguales funciones dos den convolució la de TF la que establecen convolució la de teoremaEl

=∗

⋅=

=−⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅=

=−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=∗

−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∫∫ ∫

∫ ∫

ππ

ππ

ττππττπττ

πτττ


6

1.2.4. Propiedades de simetría de la TF.

En todo esto, hay que tener en cuenta que la simetría de una señal en el tiempo depende de dónde se haya tomado el origen temporal, de forma que éste se podría elegir para que cumpla condiciones de simetría ya que el origen de tiempo no tiene un sentido físico único, cosa que no ocurre con la frecuencia que sí tiene bien definido el origen.

( ) ( ) ( ) [ ] [ ]( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )FjXFjX

hermitiana simetríaFjXFjXFjXFjX

txFtsenjFtFtj

FjXFjXjdtftsentxFjX

FjXFjXdtfttxFjX

XXFjjXFjXFjXXXXXFjjXFjXFjX

IoRe

o

e

oeoe

IRIR

ππ

ππππ

πππ

ππππ

ππππ

ππππππ

22

:enunciada ya reales, señales las de TF la de la deduce se donde De22;22

: tienese real, es señal la si esto, a baseEn 22cos2exp que ya

2222

222cos2 donde

imparFunción : ;par Función :222Im;Re222

:comoseñalunade TF laescribir puede se general,En

*

21

21

=−

==

−=−

−−−=⋅−=

−+=⋅=

+===+=

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) impar es si 0

par es si2 que ya

2222impar

2cos222par

:así simplifica seFourier de integral la impar, opar simetría tuviera además, Si,

0

0

0

t

tvdttvdttv

dtFtsentxjFjXFjXtx

dtFttxFjXFjXtx

tx

o

e

ν

πππ

πππ

∫∫

∫

∫

∞∞

∞−

∞

∞

⋅=⋅

⋅−==⇒

⋅==⇒


7

1.2.5. Relaciones en el tiempo y la frecuencia de señales aperiódicas en tiempo continuo. A continuación se da una serie de relaciones fundamentales que cumplen las señales consideradas en el dominio del tiempo y el de la frecuencia. Estas propiedades son fácilmente demostrables a partir de las definiciones dadas, de forma que nos limitamos a enunciarlas.

1.2.6. Funciones elementales. A continuación se definen algunas funciones elementales de utilidad.

La representación utilizada para la Delta de Dirac, o impulso unidad, es meramente simbólica ya que se trata de un ente de área unidad pero infinitamente estrecho e infinitamente intenso.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )FjXFjXtxtx

FjXFjXtxtx

FjXdFdtxtj

FjXfjtxdtd

FXtx

FFXjFFXjtFtx

FFXtxtπFjFjXFtjttx

FjXtx

FjXaFjXatxatxaFjxtX

FjXtx

n

nn

nn

n

aaa

aa

dd

ππππ

ππ

ππ

ααα

φφφπ

πππ

πππ

π

22 22 :nConvolució

22

22 :Derivación

1 :Escala de Cambio

expexp2cos :Modulación

2exp :frecuenciaen Traslación22exp : tiempoelen entoDesplazami

2 :Conjugadas Funciones

22 :iónSuperposic2 :Dualidad

2

2121

2121

21

**22112211

∗↔⋅⋅↔∗

↔−

↔

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛↔

−⋅+++−↔+

−↔⋅−↔−

−↔

⋅+⋅↔⋅+⋅−↔

↔

u(t)

sgn(t)

Π(t/τ)

δ(t)

( )

( ) ( ) ( )[ ]

( )( )

( )∫∞

∞−=⋅

≠∀=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π

>

<=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π

−=<−>

=

<>

=

1

00: :Dirac de Delta

220

1 :Pulso

2sgn0101

sgn :Signo

0001

:Escalón

21

dttδ

ttδtδ

tututt

tt

tuttt

t

tt

tu

ττττ

τ

τ


8

La función delta de Dirac tiene las siguientes propiedades:

1.3. Teorema de Muestreo Se trata de ver cuál es la representación en el dominio de la frecuencia de una señal que sea el resultado de extraer un conjunto de muestras de la señal. Una muestra es el valor que la señal toma en un instante determinado. Cuando se habla de muestreo de una señal, se entiende que se toma un conjunto de muestras de la misma y, mientras no se especifique lo contrario, se asumirá que el muestreo se lleva a cabo a intervalos regulares de tiempo. El objeto del muestreo es adquirir información de la señal, normalmente en forma digital, para luego poder procesarla. Como se verá a continuación, el teorema de muestreo establece que si se cumplen ciertas condiciones en la toma de muestras, se puede llegar a adquirir con el muestro toda la información de la señal. El procedimiento para obtener muestras de forma ideal es multiplicar la señal por un tren de deltas de Dirac. Sin embargo, el muestreo en términos reales se puede ver como el producto de la señal por un tren de pulsos (señal de muestreo) uniforme, tal que cuanto más estrechos sean estos pulsos más se acerca el muestreo al caso ideal. Así pues, si s(t) es el tren de pulsos, la expresión de la señal x(t) muestreada, xs(t), será:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π=

−=−∗

=⋅−

⎩⎨⎧ <<

=⋅

=⋅

→

→

∞∞−

−

∫

∫

∫

εεδ

εεδ

δ

δ

δ

εδ

ε

ε

εε

tlimt

tlimt

ttxtttx

txdttttx

ttxdtttx

dtt

dd

dd

tt

sinc1

1

contrario lo de000

pequeño mentearbitraria 1

0

0

212

1

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )sk

ks

ksk

ksks

ksk

sss

s

kFFXCFjX

tFjktxCtFjkCtxtx

tFjkCts

TFTts

tstxtx

−⋅=

=⋅=∴

=

=

⋅=

∑

∑∑

∑

∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

π

ππ

π

2

:frecuenciaen n traslacióunaen traducese lexponencia unapor señal la de producto El

2exp2exp

2exp

:Fourier de serie una mediante expresarse podrá luego

, 1 frecuenciay muestreo de periodo periodo de periódica señal una es


9

Esto significa que el espectro de la señal muestreada es la repetición periódica del espectro de la señal original en el dominio de la frecuencia. Nótese en la figura que las réplicas del espectro están ponderadas con arreglo a unos supuestos coeficientes de Fourier. En consecuencia, si la señal original tiene una anchura de banda limitada BW, cuando la frecuencia de muestreo es superior al doble de dicha anchura de banda, el espectro se repite sin solapamiento y, en consecuencia, la señal original es recuperable a partir de la señal muestreada mediante un filtro paso bajo que separe la réplica del espectro original que no ha sufrido traslación en frecuencia. Este es el caso de la figura inferior donde la función de transferencia del filtro ideal que lo lograría ha sido señalado mediante línea de puntos. Por lo contrario, en la figura del centro, la frecuencia de muestreo no es suficiente, con lo que las réplicas se solapan y no es posible recuperar la señal. Este es el denominado Criterio de Nyquist que determina que la frecuencia mínima de muestreo para poder recuperar la señal es

de forma que en este caso el espectro se repite siempre con la misma ponderación.

1.4. Sistemas Analógicos. Un sistema es una transformación u operación que se lleva a cabo sobre una señal de entrada para producir una señal de salida. Dicha transformación se realiza con arreglo a una ley que representaremos por T[ · ].

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )( ) ( ) 0 para00 para 0 siendo si es que dice se sistemaUn

:si es que dice se sistemaUn :si es que dice se sistemaUn

real es también real siendo si es que dice se sistemaUn

:por dada vendrá salida de señal la entrada, de señal la es si es, Esto

22112211

<=⇒<=−=−

⋅+⋅=⋅+⋅⇒

=

ttyttxttyttxT

txTatxTatxatxaTtytx

txTtytytx

dd

causaltiempoeleninvariante

linealreal

T[ ] x(t) y(t)

f 0 BW-BW

X(f)

f fs 2fs 3fs -2fs -fs-3fs · · · · · · 0

Xs(f)

f 2fs fs -fs-2fs 0

Xs(f)

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )∑

∫ ∑

∑

∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

−=∴

=⋅Ω−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

−=

=

ks

ss

ssT

ns

sk

ns

sMIN

kFFXT

FjX

TdttjknTt

TC

nTtts

tsBWf

s

12

1exp1

:Fourier de escoeficient susy

:unidad impulsos deun tren es caso esteEn ideal. es muestreo el que ahora Supóngase2

π

δ

δ


10

1.4.1. Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (LTI) Una clase importante dentro de los sistemas es la de los sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (LTI). Dichos sistemas, que para distinguirlos los representaremos por L[·], por el hecho de ser lineales cumplen el principio de superposición. Su condición como sistemas LTI hace que puedan ser caracterizados completamente por su respuesta al impulso unidad (delta de Dirac).

Lo que demuestra que la respuesta de un sistema LTI a una señal cualquiera se puede obtener siempre que se conozca su respuesta al impulso unidad y, por tanto, ésta caracteriza completamente el comportamiento del sistema. Esto mismo se puede ver en el dominio de la frecuencia:

de forma que la respuesta en el dominio de la frecuencia se obtiene mediante el producto de la función de transferencia con el espectro de la señal de entrada. Una consecuencia de ello es que la función de transferencia equivalente de dos sistemas en cascada es el producto de las funciones de transferencia de cada uno de ellos. De la misma forma, la respuesta al impulso unidad del conjunto de los dos sistemas en cascada será la convolución de las respuestas impulsionales de cada uno de ellos.

1.4.2. Transformada de Laplace La transformada de Laplace (TL) L [·] se define de la siguiente forma:

Se hace patente su similitud con la TF, ya que realmente se trata de una generalización de ésta a todo el plano complejo, en lugar de concretarse estrictamente en el dominio de la frecuencia. De hecho, la transformada de Fourier no siempre converge, con lo que resulta interesante una generalización que cubra un conjunto más amplio de señales. Así, si se sustituye s por jω la expresión de la Transformada de Laplace se convierte en la TF. Ahora bien, esto no quiere decir que exista la TF pues, de hecho, la transformada de Laplace sólo converge en una región del plano complejo llamada Región de Convergencia (RdC). En

L[ ]δ(t) h(t) x(t) h(t)*x(t)

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )thtxdtthx

dttLx

dttxLttxLtxLty

txtLth

th

∗=⋅−=

==⋅−==

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−⋅=∗==

=

∫∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ττ

τδτ

τδτδ

δ

·

tiempoelen invariante siendo·lineal siendo

:será cualquiera señal una a respuesta La

:unidad impulso al respuesta la sea efecto,En

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ciaTransferen de FunciónthFjH

FjHFjXFjY

thtxty

denominada la es TF2 donde222

:expresión esta de TF la Tomando

=⋅=

∗=

ππππ

h1(t) h2(t)

H1( Fj π2 ) H2( Fj π2 )

h1(t)* h2(t)

H1( Fj π2 )· H2( Fj π2 )

( )[ ] ( ) ( ) ( )∫∞

∞−Ω+=−== jssdtsttxsXtx σ compleja variableuna siendoexpL


11

consecuencia, si el eje jω está dentro de la RdC, la TF converge y es la TL con s = jω. Por otra parte, el hecho de que la TL se extienda por todo el plano complejo permite el estudio fácil de los transitorios, mientras que la TF está orientada más bien al régimen permanente. La RdC son franjas verticales en el plano complejo. Por ejemplo,

En la figura superior se encuentra representada la RdC para esta función. Sin embargo, para una función x(t) igual a 0 para t < 0 , su TL converge en todo el semiplano a la derecha del límite de convergencia. Por ejemplo, para la función anterior pero anulándola para t < 0 :

región de convergencia que se encuentra representada en la figura inferior. Si por lo contrario, la función fuera 0 para t > 0, la RdC se extendería a la izquierda del límite (en nuestro ejemplo sería el semiplano σ < a). Finalmente, si la función fuera 0 para todo t excepto un intervalo, la RdC sería todo el plano. En efecto, en todos los casos mencionados sucede que x(t)exp(-st)→ 0 cuando t → ∞ . Puesto que es muy frecuente que las señales tengan un origen temporal antes del cual valen 0, se utiliza con mucha frecuencia la Transformada de Laplace Unilateral (L -):

El hecho de que se integre a partir de 0 y no a partir de un origen de tiempo cualquiera no supone pérdida de generalidad, puesto que siempre se puede elegir la referencia temporal con el 0 en el origen. Resulta evidente que si la función x(t) = x(t)· u(t), es decir, x(t) = 0 para t > 0, la TL unilateral es la misma que la bilateral.

( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )[ ] ( ) aaRdCsa

ssXtx

aa

tsasa

tsasa

dttsadttsadtsttatx

tatx

<<−−

==∴

−><

+−+

−−−

=

=⋅+−+⋅−=⋅−⋅⋅−=

⋅−=

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞− ∫∫∫

σ

σσ

:2 para converge segundo el que mientras , para converge sólo sumandoprimer El

exp1exp1

expexpexpexp

exp :función la Sea

22

0

0

0

0

L

L

σ

jΩ

σ

jΩ

-a a

RdC

-a

RdC

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )( ) ( )( )

aRdCsa

tsasa

dttsa

dtstattuatsX

tuattutatx

−>+

=

=+−+

−=⋅+−=

=⋅−−=⋅−=

⋅−=⋅−=

∞∞

∞

∫

∫

σ:1

exp1exp

expexpexp

expexp

00

0L

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ignora. sebien o 00 que asume queexp0

<∀=⋅−= ∫∞

− ttxdtsttxtxL


12

Se pueden comprobar las siguientes propiedades de la TL:

Función de Transferencia con la TL: Si a un sistema con respuesta al impulso unidad h(t), se le aplica a su entrada una señal exp(st), la respuesta que se obtendrá será:

Una clase importante de los sistemas LTI son aquellos en los que la entrada y la salida están relacionadas mediante una ecuación diferencial de coeficientes constantes:

La transformada inversa de Laplace tiene la siguiente expresión:

sin embargo rara vez se utiliza. Lo habitual es hacerlo a partir de tablas de transformadas y de las propiedades enunciadas de la TL. En el caso habitual de las funciones racionales, éstas se pueden descomponer en suma de fracciones parciales, mediante el desarrollo de Heaviside, cuya TL inversa es muy simple.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )sXdsdtxt

ssXtx

ssXtxsXsXtxtx

sXs

dttx

ssXxtxdtd

sXtx

asXtxatsXstttx

sXasXatxatxasXtx

t

dd

−↔⋅

=

=⋅↔∗

↔⋅

+−↔

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛↔

+↔−−↔−

⋅+⋅↔⋅+⋅↔

→∞→

∞→→

−

∫

:por tiempoción Multiplica

limlim :Final valor del Teorema

limlim :Inicial valor del Teorema :nConvolució

1 :nIntegració

0 :Derivación

1 :Escala de Cambio

exp :frecuenciaen Traslaciónexp : tiempoelen entoDesplazami

:iónSuperposic

0st

s0t

2121

0

22112211

ααα

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )sH

stsHst

dshstdtshthstty

sttxthtxty

essu valor y LTI sitemas los de propias funcionesson exp funciones las que significa que Lo exp

expexpexpexp

exp Si ;

⋅=

=⋅−⋅=⋅−=∗=

=∗=

∫∫∞

∞−

∞

∞−ττττττ

( ) ( )

( ) ( )( ) 01

11

011

1

00

:racionalfunción una es ncia transferedefunción la TL, la tomandoque, locon

cscscscgsgsgsg

sXsYsH

txdtdgty

dtdc

MM

MM

RR

RR

R

rr

r

r

M

mm

m

m

++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++

==

=

−−

−−

==∑∑

( ) ( )[ ] ( ) ( ) RdCdsstsXj

sXtx cj

j

c

c∈⋅== ∫

∞+

∞−

− σπ

σ

σexp

211L


13

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )tutjtxtutjtx

tutωω

ωexpRe realidaden aunque exp

compleja,notación utilizamos si,cos es entrada de señal la Cuando

22 =→

A continuación se puede ver una tabla sencilla de pares de transformadas, donde todas las funciones x(t) son para t > 0, aunque se ha omitido la multiplicación por u(t):

Véase el siguiente ejemplo: supóngase un circuito RC cuya función de transferencia es:

En la figura se encuentra representada la superposición para ω = 6π y τ = 0.25. El filtro RC representado tendría la función de transferencia indicada con τ = RC.

( )

( )

( )as

at

smt

st

stu

t

mm

+↔−

↔

↔

↔

↔

+

1exp

!

1

1 1

1

2

δ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

22

22

1

cos

sen

expexp

exp1

1exp!1

1

assat

asaat

bsasab-bt-at

assa-at-

asatt

m mm

+↔

+↔

++−

↔−

+↔

+↔−⋅

−−

x(t) y(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta de un circuito RC=2.7 a x(t)=(1−coswt)·u(t) (w=6*pi)

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )τ

ττ

ω

ω

τ

tty

sssssY

stusX

tututtu

tuttx

ssH

−−=

+−=

+=∴

==

−=

+=

exp1 donde de

111

11

1: es entrada de señal la Cuando

cosy para separadopor sistemadel respuesta la ver por tanto puede, Se

1. de continua de nivelun con cosenofunción la deión superposic la es que

cos1:entrada de señal la también Sea

11

1

1

1 L

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( )tytyty

ttt

ttjjty

sjsjsjssY

jstutj

21

22

222

2

:ambas deión superposic la será totalrespuesta la que forma De

expsencos1

1

expexp11Re donde de

111

11

111;1exp

−=

−−⋅++

=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

+

−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

−+=

+⋅

−=∴

−=

τωωτωτω

τωτω

ωττωωττωω

ωL


14

2. Señales en tiempo discreto Una señal en tiempo discreto resulta frecuentemente del muestreo a periodo constante de una señal en tiempo continuo. Pero en cualquier caso, se trata de una secuencia de números que se indicará como una función de la variable entera n, por ejemplo, x(n). Si x(n) procede del muestreo de una señal analógica x(t), se tendrá que x(n) = x(nTs) siendo Ts el periodo de muestreo Se ha visto que una señal periódica en tiempo continuo se puede desarrollar en un número, que puede llegar al infinito, de componentes de frecuencia múltiplos enteros de la frecuencia fundamental F0. Sin embargo, cuando se trata de señales en tiempo discreto, existen diferencias importantes.

En efecto, considérese una función exponencial: En la figura se puede ver cómo, en efecto, el muestreo de una sinusoide de frecuencia F0 es el mismo que el que corresponde a otra sinusoide de frecuencia F0 + Fs. Sin embargo, por similitud con las señales analógicas, las señales exponenciales discretas se consideran de la forma exp(j2πfdn), o bien exp(jωd·n). Naturalmente, en este caso ya no se puede hablar de frecuencia en términos de hertzios o ciclos por segundo, sino simplemente de ciclos, o si se prefiere, ciclos por muestra, así como la pulsación angular ω tampoco se puede medir en radianes por segundo, sino en radianes o radianes por muestra. En estas condiciones, una exponencial (o una función sinusoidal) se repite a cada unidad de fd o, lo que es lo mismo, a cada 2π rad de ωd. Por tanto, el rango de frecuencias va entre 0 y 1 o entre -½ y +½ (o en cualquier rango de anchura 1), y el de pulsaciones angulares entre 0 y 2π , o entre -π y +π, o rango de igual anchura.

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

ideal). (muestreo muestreo de teoremaelcon obtuvo se que iaconsecuenc

misma la es cual lo ,1 frecuenciacon otray , original frecuencia

de compleja lexponencia una entre distinguir puede se no ,muestreada vezuna decir, es2exp2exp2exp12exp

:frecuenciaen repita sefunción esta que hace entero sea que de hecho el2exp

:sería , periodocon muestreada señal misma esta2exp

00

000

0

0

ss

0

sss

s

s

FFTFF

nTFjnTFjnjnTFj nnTFjnx

TtFjtx

+=+

=⋅=+

=

=

ππππ

π

π · · ·· · ·

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


15

2.1. Señales periódicas en tiempo discreto Una señal en tiempo discreto es periódica si cumple que:

2.1.1. Espectro: Series de Fourier de señales en tiempo discreto (DTFS) Obsérvese que el número de muestras del período temporal es igual al número de coeficientes ck o componentes de un período en el dominio de la frecuencia. El procedimiento para encontrar los coeficientes ck será similar al caso analógico: en efecto, si se efectúa la siguiente suma de muestras en un período temporal:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )spp

s

s

ppp

pp

nTxnx

NTTKNKNTKT

KTtxTtxtx

Nnxnx

=

===

+=+=

+=

que cumplirse de ha periódica es discreta señal la si indicado, ha se como talparte, otraPor . que establece se pues, Así .1 que dgeneralida de pérdidasin considerar

puede se obstante, No enteros). números ,y ( cuando cierto serásólo Esto muestrea. se cuando periódica señal una alugar dar que entenecesariam tiene

no periódica analógica señal una querecalcar Conviene

señal la de entero) (número periodo el es N donde

0

0

00

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

N

njcnxN

k

CcnN

jkcnx

NtCC

nN

NkjnN

jk

nN

jkCnTFjkCnTxnx

tFjkCtx

N

kkp

mmNkk

N

kkp

Nkk

kk

kskspp

kkp

πωωπ

ωπω

π

ππ

ππ

π

2y ,2 de sería frecuenciaen espectro del período el que locon

exp :forma siguiente laen queda serie la;2

:como componente cada depulsación la nte,anteriorme indicó se como adopta, se Si

donde2exp

:expresión siguiente laen convertido quedaFourier de serieen desarrollo el Por tanto,ntes.independie escoeficient de númeoun ener

puede sólo discreto caso al ientecorrespondFourier de serie la Por tanto, . que

necesario es anterior, serie la cierta es si que forma de 2exp2exp

:concretoen Aquí, .frecuenciaen repite se discreta lexponencia una ver,de acaba se Como

2exp2exp

:será ientecorrespond discreta señal la ia,consecuencen y 2exp

:Fourier de serieen ar desartroll puede se original, analógica señal la periódica Siendo

k1k

1

0kk

1

0

0

0

=−

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

=

+

−

=

∞+

∞−=+

−

=

+

∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

∑

∑∑

∑∑

∑


16

En la figura adjunta se puede ver un ejemplo de serie de Fourier, en módulo y fase. Se trata de una secuencia discreta que conforma un tren de pulsos tirangulares.

2.1.2. Densidad espectral de potencia: Teorema de Parseval para señales discretas Para una señal periódica en tiempo discreto, la potencia viene dada por el promedio a lo largo de un período del módulo al cuadrado de los valores discretos de dicha señal:

( )

( )

( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( )( )**

**

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

:esto de iaconsecuenc Como

: real sea que de caso elen

como así que cumple se nte,Evidenteme

2exp1

.1ser por 0 para nula es sumatoria la decir, Es

2exp;01

1

1;2exp :que ya

2exp

2exp2exp2exp

N-kkkN-kk

kk

Nkk

N

npk

N

N

k

N

n

nk

N

nk

l

N

k

N

nk

N

n

N

kk

N

np

ccccc

c cnxnxnx

cc

nN

jknxN

c

amlk

Njma

aac

lkaNacn

Nlkjc

cNnN

lkjc

nN

jlnN

jkcnN

jlnx

=⇒==

==

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=∴

=≠≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

−−

==

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−

−

+

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

∑

∑∑

∑ ∑

∑ ∑∑

π

ππ

π

πππ

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∑∑∑ ∑

∑ ∑∑∑

∑

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

=⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=⋅==

=

1

0

21

0

*1

0

1

0

*

1

0

1

0

**1

1

1

0

2

1

0

2

2exp1

2exp111

:continuo en tiempo señales de caso al análoga forma De1

N

kk

N

kkk

N

k

N

npk

N

n

N

kkpp

N

np

N

np

N

np

cccnN

jknxN

c

nN

jkcnxN

nxnxN

nxN

P

nxN

P

π

π

−30 −20 −10 0 10 20 30 40 500

0.5

1

Señ

al

−30 −20 −10 0 10 20 30 40 500

0.1

0.2

0.3

0.4

Mód

ulo

−30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−4

−2

0

2

4

Fas

e


17

2.2. Señales Aperiódicas en Tiempo Discreto 2.2.1. Espectro: Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (DTFT) Así como en las señales en tiempo continuo se llega a la definición de TF a partir de las series de Fourier para señales periódicas haciendo tender el período al infinito, en las señales discretas este mismo proceso desemboca en la Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). Es decir, en el caso discreto, lo que se hace tender al infinito es el periodo numérico N y en consecuencia, el espectro discreto definido en 2.1 se convierte en un espectro continuo. En efecto, ωk+1 - ωk = 2π /N 0. Será por tanto la pulsación ωk la que adquiere carácter continuo y denominaremos ω:

De la misma forma que en las señales en tiempo continuo, la DTFT no debe promediar en el periodo N puesto que entonces el espectro quedaría reducido a cero cuando el periodo se extiende hasta el infinito. Esto es, como se verá más adelante, en este caso no representamos la potencia, sino la energía. Así pues, si los coeficientes espectrales ck de las señales periódicas discretas tenían la expresión:

la DTFT tendrá la que sigue:

El hecho de que la DTFT se simbolice como función de una exponencial ejω o su

equivalente en términos de frecuencia, obedece a ser, como se verá más adelante, una particularización de la transformada Z. Es importante observar que el espectro de las señales discretas aperiódicas es continuo. Además, el espectro es periódico en frecuencia pues consiste en una suma de exponenciales discretas que, como se ha visto, son periódicas con período de 2π radianes según la pulsación ω. Esta periodicidad es también una consecuencia del teorema de muestreo. Siendo función periódica respecto a la variable ω, X(ejω ) es susceptible de ser desarrollada en serie de Fourier y, de hecho, la expresión arriba indicada de la TF tiene la forma de desarrollo en serie de Fourier de X(ω) cuyos coeficientes son los valores de x(n). En consecuencia, la obtención de la transformada inversa es inmediata:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )njnxeXfnjnxeXn

j

n

fj ωπ ωπ −=−= ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

expbien o2exp2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )⎩⎨⎧

=≠

=⋅−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−−=

=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⋅

∫

∑ ∫

∫ ∑∫∞+

−∞=

+∞

−∞=

para2para 0

exp que sabido Es

exp

expexpexp

2

2

22

mnmn

dmnj

dmnjnx

dmjnjnxdmjeX

n

n

j

πωω

ωω

ωωωωω

π

π

ππω

Nkff

NkN k =⇒⋅=→⋅=⇒∞→ πωπω 22

( )∑−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

1

0

2exp1 N

npk n

Njknx

Nc π


18

2.2.2. Densidad espectral de Energía

2.2.3. Ejemplo: pulso rectangular en tiempo discreto En la figura se puede ver un pulso rectangular de amplitud unidad y una anchura de doce muestras (L = 12). La TF de esta señal se puede cuantificar de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) es decir, es ,función una es arg que mientras

función una es que locon real es Si

0 ;0 para

:son continuo en tiempohicieron se que las a similares ionesconsiderac Otras

:finita es energía la que garantiza su vez, a que, lo

:sumable nteabsolutame sea secuencia la que siempre converge TF La

)2exp(exp21

2expexp

*-n

2

12

2

22

.hermitianaeXimpareX

pareXeXeXnx

nxX

nxEnx

nx

dffnjeXdnjeXnx

mxdmnjnxdmjeX

jj

jjj

nn

fjj

n

j

ωω

ωωω

ππ

ω

ππω

ω

πωωπ

πωωωω

=⇒•

==•

∞<=∞<

⋅=⋅=∴

⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−−=⋅∴

−

∞+

∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

+∞

−∞=

∑

∑∑

∫∫

∑ ∫∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) . denomina se función La

21

21exp

21

exp21

2

2

2

2 2**

2**2

e Energíaspectral dDensidad EeXS

deX

deXeXdnjnxeX

dnjeXnxnxnxnxE

jxx

j

jj

n

j

n

j

nn

ω

πω

π πωωω

πω

ω

ωπ

ωπ

ωωπ

ωωπ

=

⋅=

=⋅⋅=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−⋅=⋅==

∫

∫ ∫∑

∑ ∫∑∑∞+

−∞=

+∞

−∞=

+∞

−∞=

+∞

−∞=

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )ω

ωω

ωωω

ωω

21

21

21

1

0

1exp

exp1exp1exp

exp

sen

LsenLj

jjLnj

njnxeX

L

n

n

j

−−=

=−−

−−=−=

=−=

∑

∑−

=

+∞

−∞=

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

Señ

al

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−4

−2

0

2

4

Fas

e

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

5

10

15

Mód

ulo


19

Función que se encuentra representada en la figura en módulo y fase. El resultado de la transformada inversa se ha representado mediante pequeños círculos sobre la señal original, pudiéndose comprobar que coincide exactamente con ella.

2.2.4. Convolución y Correlación Se define la convolución para señales discretas de la siguiente forma:

La convolución es conmutativa, asociativa y distributiva con la suma. Asimismo, se define la correlación cruzada rxy(n) entre dos señales x(n) e y(n) como: rxy(n) = x(n)∗ y(-n) En el caso en que y(n) = x(n) , se denomina autocorrelación (rxx(n)).

2.2.5. Propiedades de Simetría de la DTFT En el caso más general en que la señal discreta sea compleja, denotando con el subíndice R la parte real y con I la Parte imaginaria, se puede escribir:

En la siguiente Tabla se encuentran resumidas las propiedades de simetría más importantes

( ) ( ) ( ) ( )∑+∞

−∞=

−=∗m

mnxmxnxnx 2121

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )ωω

ωω

ωω

ωω

ωωωω

ωωω

ωωω

ωωω

ωωω

ωωω

ω

ωωω

ω

ω

jxx

jxx

jj

jj

jj

jI

jo

jR

je

jj

n

jo

jj

n

je

jo

je

j

jo

je

j

jI

jR

jIR

eSeXS

eXeX

eXeX

eXeX

hermitiana simetríaeXeXeXeX

nxnjsennnj

eXeXjnsennxeX

eXeXnnxeX

ejXeXeX

eXimpareXpareX

ejXeXeX

njxnxnx

−

−

−

−

−∞+

−∞=

−∞+

−∞=

==

−=

=

⇒=

==

−=−

−−=−=

+==

+=

+=

+=

∑

∑

2

*

21

21

argarg

:enunciada yareales, discretas señales las de TF la de lademostrar a vieneque lo

;

:que cumplirse de ha real, sea queen habitual caso elen bien, Ahoracos exp que ya

cos :siendo

: e partesen r descompone puede se genralen también

continuo, en tiempo señales para hizo se se que lo a análoga ntecompletame forma de Y


20

2.2.6. Propiedades y Teoremas de la DTFT. Se pueden comprobar las siguientes propiedades y teoremas:

2.2.7. Funciones elementales. Las funciones elementales más comúnmente utilizadas son la función impulso unidad en tiempo discreto y la función escalón unidad. El impulso unidad viene a sustituir a la delta de Dirac, pero es un concepto más sencillo y su uso matemático menos complejo. Se define así:

Igual que la delta de Dirac, δ(n) tiene la propiedad: x(n) = x(n) * δ(n)

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )ω

ω

ωω

ωω

ω

ω

ω

jI

jR

jjI

jjR

j

j

j

ejXnxnx

eXnxnx

eXeXnjx

eXeXnx

eXnx

eXnx

eXnx

nx

↔−−

↔−+

−↔

+↔

↔−

↔

↔

−

−

−

*21

*21

*21

*21

**

**

: señalcualquier paraDTFT la de Simetría de sPropiedade

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )ω

ω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

jI

jR

jj

jj

jI

jI

jR

jR

jj

ejXnxnx

eXnxnx

eXeX

eXeX

eXeX

eXeX

eXeX

nx

↔−−

↔−+

−=

=

−=

=

=

−

−

−

−

−

2121

*

argarg

:Real paraDTFT la de Simetría de sPropiedade

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) Snr

eXeXnxnxnr

eXeXnxnxd

edXjnnx

eXeXnnx

eXn xnj

XnxeXljlnx

eXnx

eXaeXanxanxa

eXnx

xxxx

jjxx

jj

j

jj

j

j

j

jj

j

ω

ω

ω

ω

ωω

ωω

ωω

ω

ωωωω

ωω

ω

ω

ωω

ω

↔

⋅↔−∗=

⋅↔∗

↔

+↔

↔

−↔−−↔−

↔

+↔+

↔

−

−+

−

−

:Khintchine-Wiener

:nCorrelació

:nConvolució

:frecuenciaen Derivación

cos :Modulación

exp :frecuenciaen Traslación

: tiempoelen Inversión exp : tiempoelen entoDesplazami

:Conjugadas

:iónSuperposic

:Notación

2121

2121

21

0

0

**22112211

21

00

0

δ(n)

u(n)

( )⎩⎨⎧

≠=

=0 para00 para1

nn

nδ


21

El escalón unidad o escalón simplemente se define como:

Igual que en tiempo continuo, se pueden definir la función signo y la función pulso, pero tienen algunas peculiaridades: la función signo se define con valor 1 para n positivo, -1 para n negativo y 0 para n = 0. La función pulso no se centra en el origen a no ser que el número de muestras sea impar. Resultan útiles también algunas otras funciones, tales como:

2.2.8. Transformada Discreta de Fourier (DFT) Hasta ahora se han visto diversas formas de estimación espectral dependiendo de la naturaleza de las señales, si se trata de funciones en tiempo continuo o en tiempo discreto o si son periódicas o aperiódicas. Quizá convenga recapitular en este punto algunas consideraciones: - Las señales en tiempo continuo tienen espectros aperiódicos. - Las señales en tiempo discreto tienen espectros periódicos. - Las señales periódicas tienen espectros discretos. - Las señales aperiódicas tienen espectros continuos. La discretización y digitalización de las señales o el muestreo es el recurso fundamental para poder procesar señales mediante un computador o procesador digital, ya que con ello se consigue convertir las señales en secuencias de números. Es a esto a lo que realmente se denomina Procesado Digital de Señal (DSP) y que tanta relevancia ha cobrado en los últimos años. Pero como se ha visto y se acaba de señalar, sólo las señales periódicas tienen espectros discretos, de forma que la DTFT o Transformada de Fourier de señales aperiódicas en tiempo discreto da lugar a funciones continuas que no son fácilmente tratables mediante computador a no ser que se discreticen. Este es justamente el propósito de la Transformada Discreta de Fourier (DFT).

( ) ( ) ( )∑∞

=

−=⎩⎨⎧

<≥

=00 para0

0 para1

mmnnu

nn

nu δ

( )

n

r

alexponencia

nnn

nuunidadrampa

:Función

0 para00 para

Función ⎩⎨⎧

<≥

=

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) 1 , ··· 2, 1, 0,2exp

periodo.por muestras de número el siendo 1 , ··· 2, 1, 0,2:hacer puede se adas,equiespaci muestrascon smuestreamo Si

exp

:será TF la caso esteEn . limitada longitud de es que Supóngase

1

0

2

1

0

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

≥−==

−=

∑

∑

−

=

−

=

NknN

kjnxkXeX

LNNkN

kω

eX

njnxeX

Lnx

L

n

Nk

k

j

L

n

j

π

π

ω

π

ω

ω


22

Realmente, el hecho de haber discretizado el espectro resulta equivalente a haber convertido la señal x(n) en una señal periódica xp(n), haciendo que x(n) se repita cada N muestras. Por eso es importante que N sea superior a la longitud L de la secuencia x(n), pues de lo contrario, existiría solapamiento entre los sucesivos períodos y ya no se podría recuperar x(n) a partir de xp(n).

En efecto, si se comparan las expresiones de la DFT con las que se obtuvieron para las DTFS, se puede comprobar que son idénticas.

2.2.9. Ejemplo de DFT: Pulso Rectangular. Se tiene un pulso rectangular de 9 puntos. La DFT la hacemos para N = 80 puntos, tal como se ve en la figura.

2.2.10. Convolución Circular. Cuando se aplica la DFT de N puntos, se puede comprobar que la DFT-1 del producto de dos funciones en el dominio de la frecuencia no se corresponde con la convolución lineal de las correspondientes señales en el dominio del tiempo. Lo que resulta, sin embargo, es la denominada convolución circular que se define de la siguiente forma:

Al igual que la convolución lineal, la convolución circular es conmutativa, distributiva y asociativa respecto a la suma.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 1 , ··· 2, 1, 0,1

1 , ··· 2, 1, 0,

:escribir puede se , 12exp haciendoy

1 , ··· 2, 1, 0,2exp1

1 , ··· 2, 1, 0,2exp

: hasta TF la iaconveniencpor extender puede s que Ya

1

0

1

0

1

0

1

0

−==

−==

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

≥

∑

∑

∑

∑

−

=

−

−

=

−

=

−

=

NnWkXN

nx

NkWnxkX

WN

j

NnknN

jkXN

nx

NkknN

jnxkX

NLN

N

k

knN

N

n

knN

NN

N

k

N

n

π

π

π

( ) ( )∑+∞

−∞=

−=r

p rNnxnx

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )Nnxnxmnxmxnxnx NN

N

mN módulo, donde 2

1

0121 ≡−⋅=⊗ ∑

−

=

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )80sen

809sen

10exp

2exp1

2exp12exp

2exp

1

0

1

0

π

ππ

π

ππ

π

k

kjk

NjkN

Ljknk

Nj

nkN

jnxkX

L

n

N

n

−=

=−−

−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∑

∑−

=

−

=

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.5

1

Señ

al

0 10 20 30 40 50 60 70 800

2

4

6

8

Mód

ulo

0 10 20 30 40 50 60 70 80−4

−2

0

2

4

Fas

e


23

2.2.11. Propiedades de simetría de la DFT. Son similares a las vistas para la DTFT, pero con las diferencias inherentes a la traslación circular. En estas circunstancias, para secuencias de N puntos se tiene:

En la tabla que se da a continuación se encuentran las principales propiedades de simetría de la Transformada Discreta de Fourier.

2.2.12. Propiedades y Teoremas de la DFT

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )kjXnNxnx

kXnNxnx

kNXkXnjx

kNXkXnx

kXnNx

kNXnx

kXnx

nx

I

R

I

R

↔−−

↔−+

−−↔

−+↔

↔−

−↔

↔

*21

*21

*21

*21

**

**

: señalcualquier para DFT la de Simetría de sPropiedade

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )kjXnNxnx

kXnNxnxkNXkX

kNXkXkNXkX

kNXkXkNXkX

nx

I

R

II

RR

↔−−

↔−+

−−=

−=

−−=−=

−=

2121

*

argarg

:Real paraDFT la de Simetría de sPropiedade

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )nNxnxnNxnx

nNxnx N

−−=−=

−=−

:impar ntecircularmeFunción :par ntecircularmeFunción

:temporalInversión

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

⋅=⋅

⊗↔⋅

⋅↔−⊗

⋅↔⊗

−↔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−↔−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−↔−

−↔

+↔++=↔+=

↔

1

0

*1

0

*

2121

*21

*21

2121

**22112211

1 :Parseval de Teorema

1 :secuencias dos de Producto

:circularn Correlació

:circularn Convolució

2exp :frecuenciaen Traslación

: tiempoelen Inversión

2exp : tiempoelen entoDesplazami

:Conjugadas

:iónSuperposic :adPeriodicid

:Notación

N-

k

N-

n

N

N

N

N

N

kYkXN

nynx

kXkXN

nxnx

kXkXnxnx

kXkXnxnx

lkXn xnlN

j

kNXnNx

kXklN

jlnx

kNXnx

kXakXanxanxaNkXkXNnxnx

kXnx

π

π


24

2.2.13. Transformada Rápida de Fourier (FFT). Como se ha podido ver, la transformada discreta de Fourier (DFT) es un proceso que involucra una cantidad de sumas y multiplicaciones de números complejos. Éstas últimas que son las que representan la mayor parte del costo computacional se producen en un número igual al cuadrado de la longitud de la secuencia a procesar (N2), de forma que los algoritmos capaces de aligerar esta carga son de gran importancia en el proceso digital de señales y se enmarcan en lo que se denomina Transformada Rápida de Fourier o FFT. Lo que se describe a continuación es el algoritmo Danielson y Runga. El algoritmo consiste en separar la suma de la transformada en pares e impares y parte de la base de que el número de puntos es una potencia de dos: N = 2p con p entero.

la primera de las sumas de la expresión anterior es la DFT de la secuencia formada por las muestras de índice par de x(n), mientras que la segunda es la DFT de la secuencia formada por las muestras de índice impar. Representaremos como G(k) la DFT de la secuencia de los N/2 puntos pares, y como H(k) la DFT de la secuencia de los N/2 puntos impares: En estas circunstancias, para realizar la DFT se puede emplear el esquema de la siguiente

figura, en la que las flechas que no llevan un peso asociado significa que el peso es igual a 1. En cada rama la variable se multiplica por su peso y se suman en los puntos de convergencia.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∑∑

∑∑∑∑

∑∑

∑

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

+−

=

−

=

−

=

−

=

++=∴

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

++=++=

+==

+=

−==

1

0

1

0

2

1

0

21

0

21

0

121

0

2

1

1

2

0

1

0

2

2

2

2

2

2222

122

2

2exp22exp

122122

:impres de laen y pares los de suma laen variablede cambio el Haciendo

1 , ··· 2, 1, 0,

N

N

N

N

N

NNNN

r

krkN

r

kr

krkrN

r

krN

kN

r

krN

r

rkN

r

krN

N

imparnn

knN

N

parnn

knN

N

n

knN

WrxWWrxkX

WkrNjkrN

jW

WrxWWrxWrxWrxkX

12rn 2rn

WnxWnxkX

NkWnxkX

ππ

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) 1,···,2,1,

:hacer puede se para , periodocon periódicasser dehan y que dado embargo,Sin . de muestras las de mitad la obtenidohan se sólo éstocon Pero

1,···,2,1,0

22222

22

2

−++=−+−=

>

−=+=

NkkHWkGkX

k kHkGkX

kkHWkGkX

NNNNkN

N

NN

NkN


25

Una vez hecho esto, se puede repetir el mismo procedimiento con x(0), x(2), x(4), ··· , x(N-2) para obtener G(0), G(1), G(2), ··· , G(N/2-1), así como con x(1), x(3), x(5), ··· , x(N-1) para obtener H(0), H(1), H(2), ··· , H(N/2-1). De esta forma, cada uno de los bloques generadores de DFT de la figura quedarían convertidos en un esquema análogo al de la figura completa, cuyos bloques, a su vez, tendrían longitud N/4. Realizando esta sustitución sucesivamente, el algoritmo para la realización de FFT seguiría el esquema de la siguiente figura:

en la que la estructura básica es la que se ha aislado a la derecha y que recibe el nombre de mariposa, donde le subídice M de W representa la fracción de N que corresponde a la etapa donde se encuentre.

x(N-2)

x(0)

x(2)

x(4)

x(1)

x(3)

x(5)

x(N-1)

G(0)

G(1)

G(2)

G(N/2-1)

H(0)

H(1)

H(2)

H(N/2-1)

WN0

WN1

WN2

WNN/2

WNN/2+1

WNN/2+2

WNN-1

WNN/2-1

X(N/2-1)

X(0)

X(1)

X(2)

X(N/2)

X(N/2+1)

X(N/2+2)

X(N-1)

DFT de N/2

puntos

DFT de N/2

puntos

x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

WM r

WM (r+M/2)


26

Conviene recalcar que el orden en que aparecen las entradas es el resultado de hacer un barajado perfecto del orden primitivo y éste se obtiene fácilmente escribiendo al revés los bits del número de orden en binario. Esto es, por ejemplo, en el caso de la figura con N = 8:

000 001 010 011 100 101 110 111 000 100 010 110 001 101 011 111

0 1 2 3 4 5 6 7 0 4 2 6 1 5 3 7 Es posible todavía realizar mejoras sensibles en el algoritmo descrito. En efecto, si se observan los pesos que aparecen en la mariposa:

Por consiguiente, la mariposa puede ser sustituida más eficiente mente por otra con la estructura de la figura que se ve a continuación:

evidentemente, el factor –1 también representa una multiplicación, pero no es compleja y sólo consiste en un cambio de signo, con lo cual, dos multiplicaciones complejas se ha reducido a solamente una.

En la figura se han señalado todos los factores, sin embargo, si se tiene en cuenta que

( ) ( ) rM

rM

rM

rM WjWM

MjWW

M−=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−=+ ππ exp

22exp2

WM r

WM (r+M/2) WM

r -1

x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

W20

W20

W20

W20

W41

W40

W41

W40

W80

W81

W82

W83

-1

-1

-1

-1 -1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

y ,n desaparece diagrama del;1 08

04

02

0 WWWWM =


27

A medida que la longitud de la cadena N se hace mayor, la proporción de factores que se reducen a la unidad disminuye. Así pues, en un caso general se puede afirmar que el número de multiplicaciones complejas que representa la mayor parte de la carga computacional del algoritmo descrito para FFT, es inferior a

2.3. Sistemas Discretos. Un sistema discreto es un transformación u operador que asigna a una secuencia de entrada x(n) una secuencia de salida y(n). Las características de los sistemas que se ven a continuación son prácticamente una repetición de lo que se vio para sistemas analógicos.

2.3.1. Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (LTI).

Si un sistema es lineal e invariante en el tiempo (para distinguirlo L[ ] ), quedará completamente caracterizado por su respuesta al impulso unidad: Se denomina sistema BIBO (Bounded input – Bounded output) a todo sistema tal que a cualquier secuencia acotada de entrada responde con una secuencia acotada de salida. Un sistema BIBO es estable si y sólo si

. era teinicialmen que puestoreducción importante una representa que lo log2

22 NNN

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )( ) ( ) 0 para00 para 0 siendo si es que dice se sistemaUn

:si es que dice se sistemaUn :si es que dice se sistemaUn

real es también real siendo si es que dice se sistemaUn

:por dada vendrá salida de señal la entrada, de señal la es si es, Esto

22112211

<=⇒<=−=−

⋅+⋅=⋅+⋅⇒

=

nnynnxnnynnxT

nxTanxTanxanxaTnynx

nxTnynynx

dd

causaltiempoeleninvariante

linealreal

T[ ] x(n) y(n)

( ) finito. es ∑∞

−∞=

=n

nhS

( ) ( )[ ]( ) [ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

figura. la indica comon multiplica se cascadaen ncia transfere de funciones las que manifiesto de pone ciacircunstan Esta

sistema. del la es donde

:(DTFT)Fourier deada transformla mienbros ambosen tomase además Si

entrada. defunción cualquier a respuesta laobtener posible es impulso al respuesta lacon que claro deja que Lo

temporalinvariante

lineal

: sistema del entrada la es si efecto,En

ciaTransferen de FunciónnhTFHHXY

nh

nhnxmnhmx

mnLmxmnmxLnnxLnxLny

LnxnLnh

m

mm

=⋅=

∗=−⋅==

=−⋅==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅=∗==

=

∑

∑∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

ωωωω

δδδ

δ

h1(n) h2(n)

H1(ω) H2(ω)

h1(n)* h2(n)

H1(ω)· H2(ω)


28

Una subclase importantísima de los sistemas LTI son los que se caracterizan por una ecuación en diferencias finitas con coeficientes constantes:

2.3.2. Transformada z. La Transformada z juega para los sistemas discretos el mismo papel que la transformada de Laplace para los sistemas analógicos. Si se introduce a la entrada de un sistema LTI una secuencia exponencial de la forma:

Así pues, como sucedía con la TL, la Transformada z (Tz) se puede considerar como una extensión de la TF a todo el plano complejo: r·exp(jω). Por esta razón se ha empleado la siguiente notación en señales y sistemas discretos X(ejω) pues de esta forma se pone de manifiesto la particularización que se lleva a cabo en la Tz para obtener la TF. En la disposición sobre el plano complejo existen diferencias sustanciales entre la TL y la Tz. Como se puede observar en la figura, cuyos ejes son la parte real de z y la parte imaginaria de z, cuando se representa el dominio particular de la frecuencia: z = exp(jω) lo que se dibuja es la circunferencia de radio unidad representada con linea discontinua en la figura. No es ésta uno de los ejes como sucedía con la TL. Esto confirma la naturaleza periódica del espectro de las funciones discretas. Naturalmente, la TF existirá siempre y cuando la circunferencia de radio unidad se encuentre dentro de la región de convergencia (RdC) de la Tz.

( ) ( ) 0000

≠−=− ∑∑==

arnyaknyaM

rr

N

kk

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )

( )

( ) ( ) ( )njnxeY

jz

znxnx

eHnjnyjz

zHznyzmhzH

zmhzzmhnhnxny

nhznx

n

j

n

n

j

nm

m

m

m

nmn

m

n

ω

ω

ωω

ω

ω

−=

=

=

==

⋅=⇒=

⋅==∗=

=

∑

∑

∑

∑∑

∞+

−∞=

−∞+

−∞=

−∞+

−∞=

−∞+

−∞=

−∞+

−∞=

exp

:(DTFT)Fourier de daTransformala queexpresión misma la a llega se ,expn sustitució la nuevo de aquí hace se Si

:forma siguiente la de la define Se

exp :frecuenciaen respuesta la obtiene se ,exp hace se Si

sistema. del depende fasey módulo cuyo lexponenciafunción otra es LTI, sistema el fuere cual sea l,exponenciafunción una a respuesta la luego

Llamando

:cuestiónen sistema del impulso al respuesta la siendo tendrá,se

Ζ

z daTransforma

Im[z]

Re[z] 1


29

Como ejemplo, considerese la siguiente función:

En la figura se ha representado esta RdC para par un valor de a < 1, caso en el que la circunferencia de radio unidad se encuentra dentro de la RdC existe la TF. Ahora bien, si por lo contrario, la secuencia existiera para n < 0 pero fuera 0 para n ≥ 0 (secuencia a izquierdas), la RdC sería entonces la complementaria a la del caso anterior, como se ve a continuación y se representa en la figura, donde también en este caso se ha elegido un valor de a tal que la RdC incluya la circunferencia de radio 1:

En ambos casos la función de transferencia tiene un polo (lugar donde la función se hace infinita el denominador se hace 0) en z = a. Los polos se han señalado con un aspa en cada figura. Sin embargo, la secuencia a derechas converge en el exterior de la circunferencia que, con centro en el origen, pasa por el lugar del polo. Por lo contrario, la secuencia a izquierdas converge en el interior de dicha circunferencia.

La RdC de una suma de funciones es como mínimo la intersección de las RdC de cada una de las funciones. Así pues para una secuencia de la forma

( )

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( )

( ) ( )[ ]( )

. es caso esteen RdC la luego

para1

1 para

: secuencia 0 para 0 haciendo función, misma la embargo,Sin

deor ningún val para converge no que

00

az

azaz

z

za

az

zazanuazX

derechas atnx

z.zazaanxzX

anx

n

n

n

nnn

n

n

n

nnn

n

>

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−

=−

≤∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=⋅Ζ=

<=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=Ζ=Ζ=

=

∑∑

∑∑

∞+

=

∞+

=

−

∞+

−∞=

∞+

−∞=

−

( ) ( )[ ]

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−

=−

≥∞

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=−−⋅Ζ= ∑∑

−∞

−=

−∞

−=

−

azza

z

za

az

zazanuazX

n

n

n

nnn

para1

1 para

111

Im[z]

Re[z] 1 a

RdC

Re[z]

Im[z]

1 a RdC

Re[z]

Im[z]

1 b a

( ) ( ) ( )

( ) ( )

. segundo del lay es sumandoprimer del RdC la que puesto

figuraver :RdC

:siguiente la será Tsu visto,loSegún 1

bz az

bzabz

zaz

zzX

znubnuanx nn

<>

<<−

−−

=

−−⋅+⋅=


30

La transformada z inversa se puede obtener mediante la integración a lo largo de una linea cerrada que encierre al origen de coordenadas, de la siguiente expresión:

Sin embargo, ta Tz inversa rara vez se lleva a cabo mediante esta integral. Lo más normal es hacer uso tablas de transformadas junto con las propiedades de al Tz que se dan a continuación, y la descomposición de las expresiones racionales en fracciones parciales mediante el desarrollo de Heaviside. Dado que las ecuaciones en diferencias finitas con coeficientes constantes siempre dan lugar a expresiones racionales, la descomposición en fracciones resulta el procedimiento más usado. No obstante, puesto que es deseable que las fracciones parciales queden en la forma Kz/(z-a) debido a que su (Tz) –1 es una función exponencial como se acaba de ver, y no en la forma del desarrollo de Heaviside K/(z-a), el procedimiento consistirá en realizar dicho desarrollo no sobre la función X(z) cuya (Tz) –1 se pretende obtener, sino sobre X(z)/z. Volviendo a la RdC, se puede deducir que la RdC de una secuencia a derechas será el exterior de la circunferencia que, con centro en el origen de coordenadas, pase por el polo más distante del mismo. En efecto, que si se hace la descomposición en fracciones parciales, resulta una suma de funciones, cada cual con RdC establecida por sus respectivos polos. El exterior de la mayor circunferencia es la intersección de dicahs regiones. En el caso de secuencia a izquierdas, la RdC sería el interior de la circunferencia que pase por el polo más cercano al origen. Si fuese suma de secuencias unas a derechas y otras a izquierdas, habría que separar unas de otras y hacer la intersección de las regiones de convergencia de ambas partes.

2.3.3. Propiedades de la Tz. A continuación se presenta una tabla resumen de las propiedades de la Tz. En dicha tabla se señala también la RdC asociada.

( ) ( )∫ ⋅= −

C

n dzzzXj

nx 1

21π

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) ( )[ ] rzrzXzXnx

rzrzXzXnx

rzrzXnx

rz

rzXnx

razrazaXnxaz

zzXzzX

zXzknx

zXazXanxanxarzrzXnx

n

k

<<−↔

<<+↔

<<↔

<<↔−

<<↔⋅

∞=⇒<=⇒>

↔−

∩+=+

<<↔

∗∗

∗∗

∗∗∗

−

−

−

221

1221

12

21

1

121

2122112211

12

a Incluye:RdC Im :imaginaria Parte

a Incluye:RdC Re :real Parte

:RdC :Conjugados

11:RdC :temporalInversión

:RdC: dominioen Escalado

excepto de la 0k

0 excepto de la 0k :RdC : tiempoelen Despl.

RdCRdC :RdC :iónSuperposic:RdC


31

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

=⇒∩⋅↔−∗

∩⋅↔∗

<<−↔

→∞→

∞→

−

zXz

znxzX

zXxnxzXzXnxnx

zXzXnxnx

rzrdz

zdXznnxz

zn

z

1lim lim :unidad círculo del dentroestán de polos los Si

:final valor del Teorema

lim0 causal es Si :inicial valor del TeoremaRdCRdC mínimo Como :RdC :nCorrelació

RdCRdC mínimo Como :RdC :nConvolució

:RdC :en ción Diferencia

1

211

2121

212121

12

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) 1 :RdC1cos2

coscos

1 :RdC1cos2

sensen

1 :RdC1

:RdC1

:RdC

1 :RdC1

1

1 :RdC1

0 siz

0 si0z :RdC

Todo :RdC1 dasTransforma de útiles pares Algunos

02

02

0

02

00

2

<+−

−↔

<+−

↔

<−

↔⋅

<−

↔−−−

>−

↔

<−

↔−−−

>−

↔

<∞<

>>↔−

↔

−

zzzzznun

zzz

znun

zz

znun

azaz

znua

azaz

znua

zz

znu

zz

znu

k

kzknδ

znδz

n

n

k

ωωω

ωωω

tci-analisis en frecuencia

Documents