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INTRODUCCIN

La planeacin y el diseo de proyectos relacionados con el agua necesitan informacin de diferentes eventos hidrolgicos que no son gobernados por leyes fsicas y qumicas conocidas, sino por las leyes de azar (probabilidades). Por ejemplo, el caudal de un ro vara da a da y ao tras ao, y no puede predecirse exactamente cul ser su valor en un perodo de tiempo cualquiera. En el caso del diseo de un puente, el estudio hidrolgico determinara la creciente asociada con una probabilidad crtica (se busca determinar el caso crtico), la cual se supone representa el riesgo para el puente. Esto solo puede determinarse a travs del anlisis probabilstico y estadstico basado en los registros hidrolgicos del pasado.

Los sistemas hidrolgicos son afectados en ocasiones por eventos extremos, tales como tormentas severas, crecidas y sequas. La magnitud de un evento extremo est inversamente relacionada con su frecuencia de ocurrencia, es decir, eventos muy severos ocurren con menor frecuencia, que eventos ms moderados. El objetivo del anlisis de frecuencia de informacin hidrolgica es, relacionar la magnitud de los eventos extremos con su frecuencia de ocurrencia, mediante el uso de Funciones de Distribucin de Probabilidad.

El propsito de este trabajo es expandir el conocimiento e indagar sobre las distribuciones de probabilidad de inters en la hidrologa como: El anlisis de frecuencia, el periodo de retorno y riesgo de fallo, series de informacin hidrolgica, entre otros aspectos. Para as facilitar la comprensin de su aplicacin en actividades de ingeniera hidrolgica e hidrulica.

PERIODO DE RETORNO Y RIESGO DE FALLO

El concepto de riesgo se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento perjudicial, que provoque dao a las personas o a sus bienes, as como tambin sobre los elementos del medio natural. Con respecto a las precipitaciones, los valores extremos son un factor de riesgo que se traduce en grandes torrentes que pueden provocar inundaciones en determinadas zonas y pocas del ao. Por tanto, la prevencin de los riesgos climatolgicos se realiza recurriendo a la observacin de informacin meteorolgica correspondiente a largos periodos de tiempo, que permite distinguir cuales valores pueden ser considerados como habituales (prximos a los valores medios normales) y aquellos que por su marcada diferencia, se vinculan con el riesgo.La lluvia est definida por tres variables: la intensidad, la duracin y el periodo de retorno. La intensidad es la lmina o profundidad total de lluvia ocurrida durante una tormenta. De esta forma, la altura de la lmina de agua cada en el lugar de la tormenta, incorpora la cantidad de lluvia precipitada y la duracin del evento. Mientras que el periodo de retorno, es la frecuencia, o intervalo de recurrencia, es decir, el nmero de aos promedio en el cual el evento puede ser igualado o excedido cuando menos una vez. En el entendido, que el riesgo es mayor, cuanto menor es el periodo de retorno o recurrencia.

La relacin probabilstica entre la intensidad de la lluvia, su duracin y frecuencia, es usualmente presentada en forma de grficas. Estas representaciones son generalmente referidas como curvas de intensidad-duracin-periodo de retorno, que resultan de unir los puntos que especifican la intensidad de la lluvia, en intervalos de diferente duracin y, tambin en distintos periodos de retorno.

El periodo de retorno es uno de los parmetros ms significativos a ser tomado en cuenta en el momento de dimensionar unaobra hidrulicadestinada a soportar avenidas, como por ejemplo: elvertederode una presa, los diques para control de inundaciones; o una obra que requiera cruzar un ro o arroyo con seguridad, como por ejemplo unpuente.

Enhidrologaes frecuente considerar zona inundable a aquella que es cubierta por las aguas entormentasde hasta quinientos aos de periodo de retorno. Esto significa que la cantidad de lluvia cada en un slo da para ese periodo de retorno solamente se iguala o supera, estadsticamente, una vez en el perodo de 500 aos. En trminos numricos se expresa que laprobabilidadde que se presente unaprecipitacinsuperior en un determinado ao es p = 1/500 = 0.002 = 0.2%; o bien, la probabilidad de que no se presente es la complementaria, 1 - p = 0.998 = 99,8%. Sin embargo eso no implica que no puedan producirse dos tormentas de tal o superior intensidad en dos aos consecutivos, o incluso en un mismo ao.

El perodo de retorno, generalmente expresado en aos, puede ser entendido como el nmero de aos en que se espera que mediamente se repita un cierto caudal, o un caudal mayor. As podemos decir que el perodo de retorno de un caudal de 100 m3/s, para una seccin especfica de un ro determinado, es de 20 aos, si, caudales iguales o mayores de 100 m3/s se producen, en media a cada 20 aos.

Supngase que por definicin un evento extremo ocurre si una variable aleatoria X es mayor o igual que un cierto nivel . El intervalo de recurrencia t es el tiempo entre ocurrencias de X .

El periodo de retorno T de un evento X es el valor esperado de t, E(t), su valor promedio medido sobre su nmero de ocurrencias suficientemente grande. El periodo de retorno de un evento con una magnitud dada puede definirse como el intervalo de recurrencia promedio entre eventos que igualan o exceden una magnitud especificada.

T: es el periodo de retorno.r: es el periodo total entre los intervalos de recurrencia.t: son los intervalos de recurrencia.

La probabilidad p= P(X ) de ocurrencia del evento X en cualquier observacin puede relacionarse con el periodo de retorno en la siguiente forma. Para cada observacin existen 2 dos resultados posibles: ya sea xito X (probabilidad p) o falla X< (probabilidad 1 p).

E(t)= T=

Es decir, la probabilidad de ocurrencia de un evento en cualquier observacin es el inverso de su periodo de retorno:

P(X ) =

Cul es la probabilidad de que un evento con periodo de retorno de T aos ocurra al menos una vez en N aos? Para calcular esto, primero se considera la situacin de que no ocurra el evento T aos en N aos. Esto requerira una secuencia de N fallas sucesivas, de tal manera que:

N

El complemento de esta situacin es el caso requerido, utilizando la siguiente ecuacin:

N

Como , tenemos:

N

El perodo de retorno para lo cual se debe dimensionar una obra vara en funcin de la importancia de la obra (inters econmico, socio-econmico, estratgico, turstico), de la existencia de otras vas alternativas capaces de remplazarla y de los daos que implicara su ruptura: prdida de vidas humanas, costo y duracin de la reconstruccin, costo del no funcionamiento de la obra, etc.

En hidrologa, los perodos de retorno varan tpicamente de 10 a 100 aos, y en lugares donde la Precipitacin Mxima Probable no ha sido definida, hasta 10,000 aos. La seleccin de perodo de retorno depende de varios factores, entre los cuales se incluyen el tamao de la cuenca, la importancia de la estructura, y el grado de seguridad deseado. El perodo de retorno ms corto (bajo) en drenaje urbano es de 5 a 10 aos. Estos valores estn usualmente asociados con reas de drenaje menores a 100 ha. Para estas reas, se puede utilizar elmtodo racionalpara obtener la descarga pico. En ciertos casos, particularmente para reas que exceden las 100 ha, se pueden usar perodos de retorno ms largos.

En la hidrologa de cuencas pequeas, la descarga pico est relacionada con la intensidad de lluvia. A su vez, sta est relacionada con el tiempo de concentracin. Las reas pequeas tienen un tiempo de concentracin corto, y esto produce una intensidad alta y una descarga pico alta [por unidad de rea]. Sin embargo, como el rea es pequea, la descarga pico es tambin pequea. Por lo tanto, para reas pequeas, con tiempo de concentracin medido en minutos, no es usualmente econmico el disear para perodos de retorno largos.

Las obras regionales de control de inundaciones tales como los diques laterales cubren grandes reas de drenaje. En este caso, los perodos de retorno pueden variar entre los 50 y 100 aos. El tiempo de concentracin es ms largo, por ejemplo, unas horas, y la intensidad de lluvia es correspondientemente menor; esto resulta en una descarga pico pequea [por unidad de rea]. Sin embargo, la descarga pico total puede ser grande, reflejando en este caso ms el tamao del rea de drenaje que la intensidad de lluvia.

Para el diseo de obras viales, la seleccin de perodo de retorno depende de la importancia de la estructura. Los perodos de retorno en obras viales y otras obras regionales, incluyendo alcantarillas, varan tpicamente entre los 25 y 100 aos. Es inusual usar perodos de retorno mayores a 100 aos en el diseo hidrulico de obras viales.

En el caso de puentes sobre ros, el nfasis se pone en la importancia de la estructura y el riesgo de falla. Para el diseo de pilares de puentes, se pueden justificar perodos de retorno de hasta 500 aos, dependiendo del caso.

El perodo de retorno de 100 aos significa cuatro generaciones. Es un nmero no muy alto y no muy bajo. El valor de 100 aos no implica que la estructura estar en riesgo de falla cada 100 aos. En vez, significa que la estructura estar en riesgo de falla, por ejemplo, 10 veces a lo largo de 1000 aos. El criterio de la avenida de 100 aos se aplica al desarrollo de llanuras aluviales, obras de proteccin de mediana envergadura, y obras regionales de drenaje urbano.Como regla general, cuanto mayor es el rea de drenaje, ms largo es el perodo de retorno. Usualmente, reas menores de 250 ha, no justifican perodos de retorno mayores a los 25 aos. Sin embargo, para reas mayores, hasta las 10,000 ha o ms, se pueden justificar perodos de retorno hasta de 100 aos o ms.

El diseador escoge el perodo de retorno, en consulta con el dueo, siguiendo la prctica establecida. Es importante que la seleccin considere una estimacin adecuada del riesgo.

Cuadro 1. Gua para la seleccin de perodos de retorno.

No.Tipo de proyecto u obraPerodo de retorno(aos)

1Drenaje urbano [bajo riesgo] (hasta 100 ha)5 a 10

2Drenaje urbano [mediano riesgo] (ms de 100 ha)25 a 50

3.Drenaje vial25 a 50

4Aliviadero principal (presas)25 a 100

5Drenaje vial [mediano riesgo]50 a 100

6Diques longitudinales [mediano riesgo]50 a 100

7Drenaje urbano [alto riesgo] (ms de 1,000 ha)50 a 100

8Desarrollo de zona de inundacin100

9Diseo de puentes (pilares)100 a 500

10Diques longitudinales [alto riesgo]200 a 1000

11Aliviadero de emergencia (presas)100 a 10,000 (PMP)

12Hidrgrama de borde libre [para una presa de clase (c)]10,000 (PMP)

Este cuadro puede usarse como gua, en conjuncin con los reglamentos y experiencia locales, Tomando en cuenta el criterio propio del ingeniero. SERIES DE INFORMACIN HIDROLGICA

Una serie de duracin completa est compuesta por toda la informacin disponible. Una serie de duracin parcial es una serie de datos seleccionados de tal manera que su magnitud es mayor que un valor base predefinido. Si el valor base se selecciona de tal manera que el nmero de valores en la serie es igual al nmero de aos en el registro, la serie se conoce como una serie de excedencia anual. Una serie de valor extremo incluye el valor mximo o mnimo que ocurre en cada uno de los intervalos de tiempo de igual longitud del registro. La longitud del intervalo de tiempo usualmente se toma como un ao, y una serie seleccionada de esta manera se conoce como una serie anual. Si se utilizan los valores mximos anuales es una serie anual mxima. La seleccin de los valores mnimos produce una serie anual mnima.

El periodo de retorno E de magnitudes de evento deducido de una serie de excedencia anual se relaciona con el correspondiente periodo de retorno para magnitudes deducido de una serie mxima anual por (Chow, 1964).

E = -1 A pesar de que la serie de excedencia anual es til para algunos propsitos, est limitada por el hecho de que puede ser difcil verificar que todas las observaciones son independientes; la ocurrencia de una gran creciente bien podra estar relacionada con unas condiciones de suelo saturado producidas por otra gran creciente ocurrida en un corto tiempo antes. Como resultado, usualmente es mejor utilizar la serie de mximos anuales para el anlisis. En cualquier caso, a medida que el periodo de retorno del evento considerado es mayor, los resultados de las dos metodologas se vuelven muy similares, debido a que la posibilidad de que dos de estos eventos ocurran durante un mismo ao es muy pequea. DISTRIBUCIONES DE VALORES EXTREMOS

El estudio de eventos hidrolgicos extremos incluye la seleccin de una secuencia de observaciones mximos o mnimas de conjuntos de datos. Por ejemplo, el estudio de los caudales picos en una estacin hidromtrica utiliza solamente el mximo caudal registrado cada ao, entre los muchos miles de valores registrados. De hecho, usualmente el nivel de agua se registra cada 15 minutos, de modo que existen 4x24=96 valores registrados cada da, y 365x96=35.040 valores registrados cada ao; luego el evento de caudal mximo anual utilizado para el anlisis de frecuencia de caudales de crecientes es la mayor de ms de 35.000 observaciones hechas durante ese ao. Y este ejercicio se realiza para a cada uno de los aos de informacin histrica.

Debido a que estas observaciones se localizan en la cola extrema de la distribucin de probabilidad de todas las observaciones de la cual se extraen (la poblacin matriz), no es sorprendente que su distribucin de probabilidad sea diferente a aquella de la poblacin matriz. Existen tres formas asintticas para las distribuciones de valores extremos, conocidas como Tipo I, Tipo II y Tipo III, respectivamente.

La funcin de distribucin de probabilidad de Valor Extremo Tipo I (EVI) es:

- x

El parmetro es la moda de la distribucin (punto de mxima densidad de probabilidad). Una variable reducida puede definirse como:

Sustituyendo la variable reducida en EVI se tiene:

Resolviendo para :

Esta ltima ecuacin puede utilizarse para definir las distribuciones tipo II y III. Los valores X y Y pueden graficarse. Para la distribucin EVI la grfica es una lnea recta mientras que, para valores grandes de Y, la curva correspondiente para la distribucin EVII tiene una pendiente mayor que aquella para EVI, y la curva para la distribucin EVIII tiene una pendiente menor, siendo acotada por arriba.

P(X ) = = 1 - P(X < )= 1 -

Luego,

Sustituyendo en:

Tenemos:

Para la distribucin EVI, se relaciona con mediante la siguiente ecuacin:

Las distribuciones de valores extremos han sido ampliamente utilizadas en hidrologa. Estas forman la base para el mtodo estndar de anlisis de frecuencia de crecientes de Gran Bretaa (Natural Environment Research Council, 1975). Las tormentas de lluvia son comnmente modeladas utilizando la distribucin de Valor Extremos Tipo I, y los flujos de estriaje mediante la distribucin de Weibull, es decir, la distribucin EVIII aplicada a x. ANLISIS DE FRECUENCIA UTILIZANDO FACTORES DE FRECUENCIA.

El anlisis de frecuencia es una herramienta utilizada para, predecir el comportamiento futuro de los caudales en un sitio de inters, a partir de la informacin histrica de caudales. Es un mtodo basado en procedimientos estadsticos que permite calcular la magnitud delcaudal asociado aun perodo deretorno.Su confiabilidad depende de la longitud y calidad de la serie histrica, adems de la incertidumbre propia de la distribucin de probabilidades seleccionada.Cuando sepretende realizar extrapolaciones, perodo de retorno mayor que la longitud de la serie disponible, el error relativo asociado a la distribucin de probabilidades utilizada es ms importante, mientras que en interpolaciones la incertidumbre est asociada principalmente a la calidad de los datos a modelar; en ambos casos la incertidumbre es alta dependiendo de la cantidad de datos disponibles (Ashkar, et al. 1994). La extrapolacin de frecuencias extremas en una distribucin emprica de crecientes es extremadamente riesgosa (Garcon, 1994).

Para determinar la magnitud de eventos extremos cuando la distribucin de probabilidades no es una funcin fcilmente invertibles se requiere conocer la variacin de la variable respecto a la media. La magnitud de un evento hidrolgico extremo puede representarse como la media ms una desviacin de la variable con respecto a la media:

+

Esta desviacin con respecto a la media puede igualarse al producto de la desviacin estndar y el factor de frecuencia ; es decir, . La desviacin y el factor de frecuencia son funciones del periodo de retorno y del tipo de distribucin de probabilidad a utilizarse en el anlisis. Por consiguiente, la ecuacin puede expresarse como:

La cual puede aproximarse como:

En el evento de que la variable analizada sea y=log x, entonces se aplica el mismo mtodo a las estadsticas para los logaritmos de los datos, utilizando:

y

Y el valor requerido de se encuentra tomando los antilogaritmo de .

Para una distribucin dada, puede determinarse una relacin entre Kt y el perodo de retorno T.Esta relacin puede expresarse en trminos matemticos opor medio del uso de una tabla.

El anlisis de frecuencia consiste en determinar los parmetros de las distribuciones de probabilidad y determinar con el factor de frecuencia la magnitud del evento para un perodo de retorno dado.

Los requisitos que debe cumplir la informacin hidrolgica (eventos extremos) es que:

Debe ser independiente Est idnticamente distribuida (por ejemplo, precipitacin diaria mxima anual) El sistema hidrolgico quela produce (porejemplo, un sistemade tormenta) sea aleatorio, Independiente del espacio y del tiempo

La informacin hidrolgica empleada debe ser seleccionada cuidadosamente, de manera tal que se satisfagan las suposiciones de independencia y de distribucin idntica.

En la prctica, esto se lleva a cabo usualmente seleccionando el mximo anual de la variable bajo anlisis (por ejemplo, el caudal mximo anual, que puede corresponder al flujo pico instantneo mximo o al medio diario mximo, que se haya producido en cualquier momento o en cualquier da durante el aforo) con la expectativa de que observaciones sucesivas de esta variable de un ao a otro sean independientes.

Los resultados del anlisis de frecuencia de los caudales de crecida pueden utilizarse para muchos propsitos en ingeniera: Diseo de presas, puentes, cauces evacuadores y estructuras de control de crecidas Determinar el beneficio econmico de proyectos de atenuacin de crecidas Delimitar planicies de inundacin y determinar el efecto de ocupaciones o construcciones en las mismas.

GRAFICAS DE PROBABILIDAD

Como una verificacin de que la distribucin de probabilidad se ajusta a un conjunto de datos hidrolgicos, estos pueden graficarse en un papel de probabilidad diseado especialmente o utilizando una escala de graficacin que linealice la funcin de distribucin. Luego, los datos graficados se ajustan por medio de una lnea recta con propsitos de interpolacin y extrapolacin.

Papel de probabilidad

La probabilidad acumulada de una distribucin terica puede representarse grficamente en un papel de probabilidad diseado para la distribucin. En uno de estos papeles las ordenadas usualmente representan el valor de en una cierta escala y las abscisas representan la probabilidad o , el periodo de retorno T o la variable reducida . Las escalas para las ordenadas y las abscisas estn diseadas de tal manera que se espera que los datos que van a ser ajustados aparezcan cercanos a una lnea recta. El propsito del uso del papel de probabilidad es el de linealizar la relacin de probabilidad de tal manera que los datos graficados puedan ser fcilmente utilizados para interpolacin, extrapolacin o con propsitos de comparacin. En el caso de la extrapolacin, sin embargo, el efecto de varios errores se aumenta frecuentemente; por consiguiente, los hidrlogos deben alertarse contra tal prctica si no se tiene en cuenta algn tipo de consideracin contra este efecto.

Ejercicios1) A partir de los datos de la siguiente tabla:

Se muestra el registro de caudales mximos anuales del rio Guadalupe cerca de Victoria, Texas, de 1935 a 1978, en cfs.Existen 8 intervalos de recurrencia que cubren un periodo total de 41 aos entre la primera y ltima excedencia de 50.000 cfs.Calcular:a) El periodo de retorno de un caudal mximo anual de 50.000 cfs.b) La probabilidad de que el caudal mximo en el rio Guadalupe sea igual o exceda 50.000 cfs en cualquier ao.c) Estime la probabilidad de que el caudal mximo anual Q en el rio Guadalupe exceda 50.000 cfs al menos una vez durante los prximos 3 aos.

Respuestas: a) El periodo de retorno de un caudal mximo anual de 50.000 cfs

T: es el periodo de retorno.r: es el periodo total entre los intervalos de recurrencia.t: son los intervalos de recurrencia.

b) La probabilidad de que el caudal mximo en el rio Guadalupe sea igual o exceda 50.000 cfs en cualquier aoP(X ) =

P(X ) =

c) Estime la probabilidad de que el caudal mximo anual Q en el rio Guadalupe exceda 50.000 cfs al menos una vez durante los prximos 3 aos.

N

3 = 0,48 = 48%

2) Los valores mximos anuales para lluvias de 10 minutos de duracin en Chicago, Illinois, desde 1913 hasta 1974 se presentan en la siguiente tabla:

Desarrolle un modelo para el anlisis de frecuencia de tormentas de lluvia utilizando la distribucin de Valor Extremo Tipo I y calcule los valores mximos de lluvias de 10 minutos de duracin con periodos de retorno de 5, 10 y 50 aos en Chicago.Respuesta: Los momentos de la muestra calculados de la informacin dada en la tabla muestra una media y una desviacin estndar

El modelo de probabilidad es:

Para determinar los valores de para varios periodos de retorno , es necesario utilizar la variable reducida

Donde = 5,10 y 50 aos. Para = 5 aos, Tenemos:

Luego la lluvia de 10 minutos y de 5 aos de periodo de retorno en Chicago tiene una magnitud de 0,78 pulg. Utilizando el mismo mtodo los valores de 10 y 50 aos resultan ser 0,88 pulg y 1,11 pulg respectivamente. En la informacin dada en la tabla puede notarse que la lluvia con 50 aos de periodo de retorno fue igualada una vez en los 35 aos de informacin (en 1936), y la lluvia de 10 aos de periodo de retorno fue igualada o excedida cuatro veces durante este periodo, de tal manera que la frecuencia de ocurrencia de valores de lluvia extrema observados es aproximadamente la predicha por el modelo.

CONCLUSIN En la ingeniera civil se utiliza el anlisis de frecuencia con el objetivo de prever el comportamiento en un futuro prximo del caudal de un sitio de inters (rio, lago, etc.) para la realizacin de una obra, partiendo de la informacin histrica de los caudales.

El anlisis de frecuencia de crecidas emplea datos histricos de caudal para estimar la frecuencia de las crecidas de determinada magnitud y predecir la posible magnitud de una crecida durante determinado perodo. El mdulo presenta la forma apropiada de preparar la serie de datos histricos necesaria para calcular las probabilidades de inundacin y de evaluar la confiabilidad de los valores de probabilidad obtenidos. Tambin se cubren los mtodos de evaluacin de la frecuencia de crecidas en aquellas cuencas para las cuales se cuenta con escasos datos.

Al tiempo esperado para que se repita un caudal se le conoce como periodo de retorno. Este es uno de los parmetros ms significativos a ser tomado en cuenta en el momento de dimensionar unaobra hidrulicadestinada a soportar avenidas, como por ejemplo: elvertederode una presa, los diques para control de inundaciones; o una obra que requiera cruzar un ro o arroyo con seguridad, como por ejemplo unpuente.

Segn la envergadura y la importancia de la obra esta requiere un periodo de retorno diferente (mayor o menor)

Perodos de retorno generalmente recomendados en la ingeniera: Obras hidrulicas para canalizacin deaguasdelluviaenciudadesde mediano porte o grandes: de 20 a 50 aos; Obras hidrulicas para canalizacin de aguas de lluvia en ciudades de pequeo porte: de 5 a 10 aos; Puentes importantes: 100 aos; Vertederos para presas con poblaciones aguas abajo 1.000 a 10.000 aos. Evidentemente en estos casos se trata de estimaciones basadas en procedimientos estadsticos. En algunos casos para obras hidrulicas cuya ruptura significara un riesgo muy elevado de prdidas de vidas humanas, estos valores son corroborados tambin con el mtodo de la "Precipitacin Mxima Probable".

BIBLIOGRAFA

Disponible en: http://hidrologia.usal.es/Complementos/estadistica/distr_esta.pdf

Disponible en: http://sincronia.cucsh.udg.mx/salazar.htm

Disponible en: http://www.noldor.com.ar/noldorweb/consultor/Variables_extremas.pdf

Disponible en: http://fluidos.eia.edu.co/hidrologiai/probabilidad/probabilidad.htm

Chow, V. (1994) Hidrologa Aplicada. Editorial McGraw-Hill. Santa Fe de Bogot, Colombia, 202-218.

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