Trabajo Colaborativo Nº. 1

Por

Luisa Yirley Ballén Coca- 1051184940

Oscar Yair García - 1049619474

Karen Yinneth Vargas Amaya - 1049622921

Harvey Andronny Cely Fuquen – 1049615028

Belcy Patricia Acevedo Macías - 1051473867

100401 – Métodos Numéricos

Grupo – 44

Presentado a

Carlos Edmundo López Sarasty

Director de Curso

Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD)

Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería (ECBTi)

21 de octubre de 2013

Introducción

El siguiente trabajo se divide en dos partes, en la primera parte, se presenta el contenido por capítulo de la Unidad 1 “Introducción a los Métodos Numéricos y Raíces de ecuaciones”, mediante un mapa conceptual, ya que nos da la habilidad de aprender y conocer los temas propuestos en el módulo de esta primera Unidad; en la segunda parte, también se da solución a cada uno de los ejercicios propuestos en la guía teniendo en cuenta el procedimiento adecuado para cada ejercicio y haciendo buen uso de las herramientas informáticas.

La resolución y posterior socialización de estos ejercicios, nos permite como grupo colaborativo, apoyarnos para asimilar estos temas de una forma más fácil, lo cual nos hará obtener los objetivos propuestos en la asignatura.

Desarrollo de las actividades:

Primera Parte: La construcción de un mapa conceptual por capítulo de la Unidad Introducción a los Métodos Numéricos y Raíces de ecuaciones” con base a la lectura y análisis los estudiantes del curso realicen del contenido de la Unidad 1.

Segunda parte: Se resolverán una lista de 5 (CINCO) ejercicios enfocados a poner en práctica los procesos desarrollados en la Unidad. Los ejercicios son los siguientes:

1. Considere los siguientes valores de p y p* y calcule i) el error relativo y ii) el error absoluto:

a) p = 0.857 p* = 0.802

Error Relativo:

E=¿ p−p¿∨ ¿¿ p∨¿=¿0,857−0,802∨ ¿

¿0,857∨¿¿¿¿

¿

Er=0,064

Error Absoluto:

E=|p−p¿|=¿ 0,857−0,802∨¿

E=0,055

b) p = 1.402p* = 1.40

Error Relativo:

E=¿ p−p¿∨ ¿¿ p∨¿=¿1,402−1,40∨ ¿

¿1,402∨¿¿¿¿

¿

Er=0,001

Error Absoluto:

E=|p−p¿|=¿1,402−1,40∨¿

E=0,002

Desarrollo de la Actividad segunda parte:

2. Determine las raíces reales de f ( x)=0,8 x2+4,7

a) Usando la formula cuadrática.

x=±√−4(−0.8)(4.7)

2(−0.8)

x=±√15.4−1.6

x= 3.87−1.6

x1=2.4238399

x2=−2.4238399

b) Usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la raíz más grande. Emplee como valores iniciales x=2 y x=3

f ( x)=−0,8 x2+4,7

f (2)=−0,8∗(2)2+4,7=−0,8∗4+4,7=1,5

f (3)=−0,8¿(3)2+4,7=−0,8∗9+4,7=−2,5

Iteración 1:

x=x1+x22

x=2+32

=2,5

f (2,5)=−0,8¿(2,5)2+4,7=−0,8∗6,25+4,7=−0,3

Iteración 2:

x=x1+x22

x=2+2,52

=2,25

f (2 ,25)=−0,8¿(2,25)2+4,7=−0,8∗5,0625+4,7=0,65

Iteración 3:

x=x1+x22

x=2,25+2,52

=2,375

f (2,375)=−0,8¿(2,375)2+4,7=−0,8∗5,640625+4,7=0 ,1875

c) Debe concluir con que exactitud se encuentra el valor real del valor aproximado.

ϵ=|Xactual−X previaXactual∗100%|=2,375−2,252,375

∗100%

ϵ ¿5,26%

3. Determine las raíces reales de f(x)= 2x3- 21x2+37x + 24 y use el algoritmo de bisección para encontrar una solución en el intervalo [2,4]. (Use tres iteraciones). Y concluya la exactitud del último resultado.

Usando el algoritmo de bisección en un intervalo [2.4]

f ( x )=2 x3−21x2+37 x+24a=2f (2)=2(23)−21(22 )+37(2)+24=30>0b=4f (4 )=2 (43)−21(42 )+37(4 )+24=−36<0 .

m=a+b2

=4+22

=3

f (3)=2(33 )−21(32 )+37(3 )+24=0

Para la función que se planteo, la primera iteración daba inmediatamente el valor buscado de la raíz, x=3. En cuanto a la desviación que se presenta, no hay error en el método, ya que la raíz es exacta. Ea=3-3=0, %Er=0%.

Hallamos las otras raíces por la cuadrática y con división sintética.

División sintética:

Ya sabemos una raíz X=3

2 x3−21x2+37 x+24 x−3

−2 x3+6x22x2−15 x−8

0−15 x2+37 x+24

+15 x2−45 x

0−8 x+24

+8 x−24

0

Cuadrática:

g(x)=2 x2−15 x−8

x=15±√225+644

x(1)=15+174

=8

x(2)=15−174

=−12

Las raíces son:

x (1 )=3

x (2 )=8

x (3 )=−12

4. Determine la raíz real de f (x)=−0.2+6 x−4 x2+0.5 x3. Usando el método deNewton – Raphson (tres iteraciones usando x = 1.2).

f (x)=0.5 x3−4 x2+6 x−0.2

x0=1.2

f '( x)=1.5 x2−8 x+6

Iteración 1:

x1=x0−0.5 x0

3−4 x02+6 x0−0.2

1.5x02−8 x0+6

=¿

1.2−0.5¿¿

x1=2,66111111

Iteración 2:

x2=x1−0.5 x1

3−4 x12+6 x1−0.2

1.5 x12−8 x1+6

=1,9888822

Iteración 3:

x3=x2−0.5 x2

3−4 x22+6 x2−0.2

1.5x22−8 x2+6

=1 ,94974958

5. Determine un cero aproximado de la función f(x) = (0.9 – 0.4x)/x usando el método de la regla falsa o falsa posición en el intervalo [1,3] (realice 4 o 5 iteraciones):

→f (x)=0.9−0.4 x

x

f (1)=0.9−0.4∗1

1=0.5

f (3 )=0.9−0.4∗3

3=−0.1

x i=xb−f (xb )( xa−xb)f (xa )−f (xb)

=3−−0.1(1−3)0.5−(−0.1)

=3−0.20.6

=2 ,66667

Primera Iteración:

f (x i )=f (2 ,66667 )=−0 ,0625Negativo

Segunda Iteración:

xa=1

xb=2 ,66667

x i=2 ,48148→f (x i )=−0 ,0373Negativo

Tercera Iteración:

xa=1

xb=2,48148

x i=2 ,3786→f ( xi )=−0 ,0216Negativo

Conclusiones

Por medio de este primer trabajo colaborativo, afianzamos conocimientos y resolvimos dudas acerca de los diferentes métodos aprendidos en la unidad I. Nos hemos familiarizado con conceptos como errores relativos y absolutos, redondeo, truncamiento; los cuales nos brindan las herramientas para desarrollar destrezas para resolución de problemas de métodos numéricos.

Se logró conocer las temáticas de cada uno de los capítulos de correspondientes a la Unidad 1.

Se logró realizar cada uno de los ejercicios propuestos en la guía, y teniendo en cuenta el procedimiento adecuado para su desarrollo.

El estudio de los métodos numéricos, es muy útil y por ende importante para quien quiera que necesite herramientas para resolver operaciones, las cuales se saben que pueden resultar complicadas, y por más que se dominen los métodos tradicionales, estos muchas veces pueden no ser suficientes, sin embargo esto no quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es ahí donde los métodos numéricos se aplican, y facilitan el trabajo de cierta manera.

Bibliografía

Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD). Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería (ECBTI). Módulo 100401 – Métodos Numéricos. Elaborado por: Carlos Iván Bucheli Chaves. Corregido por: Ricardo Gómez Narváez. Revisado por: Carlos Edmundo López Sarasty (Director Nacional). Pasto, Enero de 2013.

Guía Trabajo Colaborativo 1 (2012). - Extraído el 1 de Octubre de 2012 desde el foro suministrado por el tutor.