tasa de variación media de una función

Matemáticas ITema:

10 1Variación de funciones. Derivadas

X

Y

Final

Tasa de variación media de una funciónPara una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b],

contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:

f(b) – f(a)b – aTm f[a, b] =

La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una función, en un intervalo, por unidad de variable independiente

X

Y

a b

f(a)

f(b)

Tm f[a, b] > 0

f(b) – f(a) > 0

a b

f(a)

f(b)f(b) – f(a) < 0

Tm f[a, b] < 0

Matemáticas ITema:


Derivada de f en el puntode abcisa p: el límite ha

existir y ser finito

X

Y

Final

Tasa de variación en un punto. Concepto de derivada

Al calcular la tasa de variación media en intervalos de longitud cada más pequeña, con un extremo en un punto p, intentamos obtener una medida de lo rápido que

varía la función en p. De esta forma obtenemos la derivada en p.

p p + h

f(p)

f(p + h)

f(p + h) – f(p)

f '(p) = h olim

f(p+h) – f(p)h

Matemáticas ITema:


Final

La recta tangente como límite de rectas secantes

Q1

Q2

Q3

Qn

t1t2 t3

tn

t

X

Y

• P

• •

•

• ...

...

La recta tangente a una curva C en un punto P es la recta que pasa por P y es la posición límite de las rectas secantes que pasan por P y Q cuando Q es cualquier

punto de C que tiende a P a los largo de la curva

C

Matemáticas ITema:


X

Y

Final

Interpretación geométrica de la tasa de variación media: pendiente de la recta secante

m = tg = f(p+ h)-f(p)

h

La pendiente de la recta secante a la curva, por P y Q es:

p

f(p)

p + h

f(p + h)

h

f(p + h) - f(p)

P

Q

Matemáticas ITema:


X

Y

p

f(p)

p + h

f(p + h)

h

f(p + h) - f(p)

P

Q

FinalInterpretación geométrica de la derivada: pendiente de la

recta tangente

Al hacer que h 0, ocurrirá que • p + h tiende (se acerca) a p

• Q recorre la curva acercándose a P

• La recta secante a la curva se convierte en la recta tangente

• La inclinación de la recta secante tiende a la inclinación de la recta tangente

• La tasa de variación media tiende a la tasa de variación instantánea

Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p

Matemáticas ITema:


X

Y

Final

Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto

•

p

f(p)

• La ecuación de la recta que pasa por un punto P(xo, yo) y tiene de pendiente m es: y – yo = m (x – xo)

• La ecuación de la recta la gráfica de la función f por el punto de abcisa p es

y – f(p) = f ' (p) (x – p) siempre que f tenga derivada en p

f '(p) = tg

Matemáticas ITema:


Final

Tangente vertical en un punto

• Pendientes de las rectas tangentes que pasan por P(0, 0) y Q(h, f(h))

mPQ = f(0 + h) – f(0)

h h1/3 – 0

h= =1

h2/3

• Al hacer que x tienda a 0, la pendiente tiende a infinito: la derivada no existe, ya que por definición ha de ser finita

La función f(x) = 3

x no es derivable en 0. En el resto de puntos de sudominio sí es derivable

X

Y

f(x) = 3

x

Matemáticas ITema:


FinalFunción derivada

f´(3) = h 0lim

f(3 +h)-f(3)h =

h 0lim

(3 + h)2-32

h = h 0lim

h(h + 6) h = 6

• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:

• Para obtener la derivada en el punto x

f´(x) = h0lim

f(x+ h)-f(x) h =

h 0lim

(x+ h)2-x2

h = h 0lim

h (h +2x) h = 2x

• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:

f´(2) = h 0lim

f(2 +h)-f(2)h =

h 0lim

(2 + h)2-22

h = h 0lim

h(h + 4) h = 4

• Se llama función derivada de una función f(x), o simplemente derivada de f, a una nueva función f ' (x) que asocia a cada punto x la derivada de f(x) en el punto x, siempre que ésta exista.

• La f ' (x) sólo existe en los puntos en los que f es derivable: esos puntos están en Dom(f)

X

Y

f(x) = x2

X

Y

f ´(x) = 2x

Matemáticas ITema:


FinalDerivada de las operaciones con funciones (I)

•Derivada de una constante por una funciónSi c R y f es una función derivable en x R la función cf es

derivable en x y su derivada es el producto de c por la derivada de f en el punto x, es decir(cf)'f = cf´(x)

•Derivada de la suma y diferencia de funcionesSi f y g son dos funciones derivables en x R, las funciones (f + g) y (f

– g) son derivables en x y sus derivadas son la suma y la diferencia de las derivadas de cada una de ellas:

( f + g)' (x) = f ' (x) + g ' (x) y ( f – g)' (x) = f ' (x) – g ' (x)

•Derivada de f(x) = xn, n = 0, 1, 2, 3, ...Esta función es derivable en toda la recta real y su derivada es el

producto del exponente n por la base elevada al exponente menos 1:f ' (x) = n xn-1

•Derivada del producto de funcionesSi f y g son dos funciones derivables en x R, la función f . g es

derivable en x y su derivada es:(fg)'(x) = f ' (x) g(x) + f(x) g ' (x)

Matemáticas ITema:


FinalDerivada de las operaciones con funciones (II)

•Derivada de la composición de funciones: regla de la cadena.Si f tiene derivada en x y g tiene derivada en f(x), la función

compuesta f o g tiene derivada en x y su derivada es (g o f )'(x) = g'(f(x)) f '(x)

•Derivada de la función logarítmicaLa función f(f) = ln x tiene derivada en x (0, ) y su derivada es:

f '(x) = 1/x

•Derivada de la función exponencialLa función f(x) = ex tiene derivada en x R y su derivada es. ç

f '(x) = ex

•Derivada de la función potencialLa función f(x) = xa tiene derivada en todo x (0, ) y su derivada

esf ' (x) = axa-1

Matemáticas ITema:


Final

Derivada de las funciones trigonométricas

•Derivada de la función senoLa función f(x) = sen x tiene derivada en todo x R y su

derivada esf ' (x) = cos x

•Derivada de la función cosenoLa función f(x) = cos x tiene derivada en todo x R y su

derivada esf ' (x) = – sen x

•Derivada de la función tangenteLa función f(x) = tan x es derivable en los puntos en los que cos

x 0, es decir para x kEn dichos puntos se tienef ' (x) = 1/cos2x

Matemáticas ITema:


X

Y

Final

Crecimiento y derivadas

(a

)b

Función creciente en (a, b)

x

f '(x) = tg > 0 x (a, b)

Si f(x) es una función derivable en el intervalo (a, b) y su derivada es positiva en todos los puntos del conjunto (a, b), la función f(x) es creciente

en (a, b)

Matemáticas ITema:


X

Y

Final

Decrecimiento y derivadas

(a

)b

Función decreciente en (a, b)

x

f '(x) = tg < 0 x (a, b)

Si f(x) es una función derivable en el intervalo (a, b) y su derivada es negativa en todos los puntos del conjunto (a, b), la función f(x) es decreciente en (a, b)

Matemáticas ITema:


- 4 - 2 2 4X

- 3

- 2

- 1

1

2

3

Y

FinalEstudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Siempre positivo

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de y = 2x

1 + x2

y ' = 2(1 - x)(1 + x)

1 + x2

1 + x2

2(1 - x)(1 + x) = 0 x = 1;

-1 1y’ < 0

y’ > 0

y’ < 0

Decreciente: (, -1) (1, ) Creciente: (-1, 1)

Matemáticas ITema:


Final

Extremos relativos y derivada segunda

X

Y

f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0a

b

f ' (a) = 0f " (a) > 0

f " (b) < 0f ' (b) = 0

mínimorelativo de

coordenadas (a, f(a))

máximorelativo de

coordenadas (b, f(b))

Sea f(x) una función tal que f ' (p) = 0• Si f"(p) > 0, la función f alcanza en p un mínimo relativo en x = p• Si f"(p) < 0, la función f alcanza un máximo relativo en x = p

Matemáticas ITema:


FinalProblemas de optimización (I)

Costa

•

•

A

B

Llegar desde A hasta B, tocando en la costa y recorriendo la menor distancia posible

3 km.7 km.

10 km.

Matemáticas ITema:


FinalProblemas de optimización (II)

•

•

A

B

3 km.7 km.

10 km.

•

A'mínima distancia entre A' y B = mínima distancia entre A y B =

= ACB

CX 10 - X

3x =

7

10 -x x = 3

¿Se podría resolver este problema utilizando las derivadas?

tasa de variación media de una función

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