· definición de derivada 1 dada la función: f(x) =x2 −ax se sabe que su tasa de variación...

Definición de derivada 1 Dada la función:

axxf(x) 2 −=

Se sabe que su tasa de variación media en el interv alo [[[[1,2]]]] vale 4. ¿Existe algún punto del intervalo para el cual la tasa de variación instantánea de la función sea 4? Solución: - Como la T.V.M. de f(x) en [1,2] es 4, se tiene:

xxf(x)1a4a341

a)(1a244

12f(1)f(2) 2 +=⇒−=⇒=−⇒=−−−

⇒=−−

- La T.V.I de f(x) en cualquier punto de [1,2] es:

1x2h

x)(xh)(xh)(xlim

hf(x)h)f(x

lim22

0h0h+=+−+++=−+

→→

Para que la T.V.I. sea 4, debe verificarse:

2x + 1 = 4 ⇒ x = 1,5∈[1,2]

2 Halla las tasas de variación instantánea de las sig uientes funciones en los puntos x = 3 y x = a:

a) 2xxf(x) 3 +−=

b) x1

g(x) =

Solución: a) Si la función es:

2xxf(x) 3 +−=

su T.V.I en x = a, es:

1a3h

2)a(a2h)(ah)(alim

hf(a)h)f(a

limTVI(a) 233

0h0h−=+−−++−+=−+=

→→

Por tanto, operando de forma análoga, se tiene:

26h

(26)2h)(3h)(3lim

hf(3)h)f(3

limTVI(3)3

0h0h=−++−+=−+=

→→

b) Si la función es:

x1

g(x) =

su T.V.I en x = a, es:

20h0h0h a

1h)ha(a

hlim

ha1

ha1

limh

g(a)h)g(alimTVI(a) −=

+−=

−+=−+=

→→→

Por tanto, operando de forma análoga, se tiene:

91

h)h(33h

limh

31

h31

limh

g(3)h)g(3limTVI(3)

0h0h0h−=

+−=

−+=−+=

→→→

3 Halla las tasas de variación media de las siguiente s funciones en los intervalos [[[[0,4]]]] y [[[[1,9]]]]:

a) 1x

1f(x)

2 +=

b) xg(x) =

Solución:

a) 1x

1f(x)

2 +=

:

T.V.M. en [0,4]: 174

4

1171

04f(0)f(4) −=

−=

−−

T.V.M. en [1,9]: 825

821

821

19f(1)f(9) −=

−=

−−

b) xg(x) =

:

T.V.M. en [0,4]: 21

0402

04g(0)g(4) =

−−=

−−

T.V.M. en [1,9]: 41

813

19g(1)g(9) =−=

−−

4 El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función s(t) = 3t + 5.

a) Prueba que la velocidad media es constante en cua lquier intervalo [[[[a,b]]]].

b) Compárala con la velocidad instantánea. Solución: a) Velocidad media en el intervalo [a,b]:

3aba)3(b

ab5)a(35b3

abs(a)s(b)

vm =−−=

−+−+=

−−=

que es constante.

b) La velocidad instantánea es la derivada:

(t)s'v i =

por tanto:

3hh3

limh

5)t(35h)3(tlim

hs(t)h)s(t

lim(t)s'v0h0h0h

i ==+−++=−+==→→→

Por tanto:

3v i =

En este caso, ambas velocidades coinciden

5 Halla las tasas de variación media de las siguiente s funciones en los intervalos [[[[0,3]]]] y [[[[-1,2]]]]:

a) 1xf(x) 2 +=

b) 1xxg(x) 3 +−=

Solución:

c) 1xf(x) 2 +=

:

T.V.M. en [0,3]:

33

11003f(0)f(3) =−=

−−

T.V.M. en [-1,2]:

13

251)(2

1)f(f(2) =−=−−

−−

d) 1xxg(x) 3 +−=

:

T.V.M. en [0,3]:

83

12503g(0)g(3) =−=

−−

T.V.M. en [-1,2]:

23

171)(2

1)g(g(2) =−=−−

−−

6 Halla las tasas de variación instantánea de las sig uientes funciones en los puntos x = -1 y x = a:

a) 1xf(x) 2 +=

b) 4xg(x) =

Solución:

a) La T.V.I de la función 1

2 += xxf )( en el punto x = a, es:

1a

a

1a2

a2

1a1h)(a

ha2lim

1a1h)(ah

1a1h)(a1a1h)(alim

h

1a1h)(alim

hf(a)h)f(a

limTVI(a)

22220h

22

2222

0h

22

0h0h

+=

+=

++++

+=

=

++++

++++

+−++

=+−++

=−+=

→

→→→

Por tanto la T.V.I. de la función en x = -1, será:

22

2

1

11)(

11)TVI(

2−=−=

+−

−=−

b) La T.V.I de la función

4xg(x) = en x = a, es:

( ) 3a4hah4ha6a4limh

ah)(alim

hg(a)h)g(a

limTVI(a) 3223

0h

44

0h0h=+++=−+=−+=

→→→

Por tanto la T.V.I. de la función en x = -1, será:

41)4(1)TVI( 3 −=−=−

7 Aplica la definición de derivada en un punto para c alcular la derivada de la función:

3xf(x) =

¿Existen puntos del dominio donde la función no sea derivable? Calcula los valores de la derivada de l a

función en

x = -1 y x = 2. Solución: El dominio de la función:

3xf(x) =

es el conjunto R de los números reales.

Aplicando la definición de derivada en un punto x cualquiera de su dominio, se tiene:

( ) 222

0h

33

0h0hx3hxh3x3lim

hxh)(x

limh

f(x)h)f(xlim(x)f'Df(x) =++=−+=−+==

→→→

Por tanto su función derivada es:

2x3(x)f' =

definida en todos los puntos del dominio.

Los valores de la derivada de la función en los puntos x = -1 y x = 2, son:

==−12(2)f'

31)(f'

8 Aplicando la definición de derivada de una función en un punto, halla las funciones derivadas de las

siguientes:

3x1

f(x)+

=

y

2x

1g(x) =

e indica si existen puntos de sus respectivos domin ios en los que no estén definidas dichas funciones derivadas. Solución:

- El dominio de la función 3x

1f(x)

+=

es el conjunto { }3RD f −−=


( )( ) 20h0h0h 3)(x

13x3hxh

hlim

h3x

13hx

1

limh

f(x)h)f(xlim(x)f'Df(x)

+−=

+++−=+

−++=−+==

→→→


23)(x

1(x)f'

+−=

que está definida en todos los puntos del dominio de la

función.

- El dominio de la función

2x

1g(x) =

es el conjunto { }0RDg −=


322

2

0h

22

0h0h x

2

h)(xhx

hxh2lim

hx

1

h)(x

1

limh

g(x)h)g(xlim(x)g'Dg(x) −=

+−−=

−+=−+==

→→→


3x

2(x)g' −=

, definida en todos los puntos del dominio.

9 La altura, en metros, alcanzada al cabo de t segund os por un proyectil lanzado verticalmente hacia arr iba,

viene dada por la función:

22t20tf(t) −=

Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t = 5 segundos. ¿Existe al gún instante entre t = 0 y t = 5, en el que la velocida d instantánea coincida con dicha velocidad media? Solución: - Velocidad media en el intervalo de tiempo [0,5]:

m/s 105

05010005f(0)f(5)

vm =−−=−−=

- Velocidad instantánea en un instante cualquiera:

( ) t420h2t420limh

)t2t(20h)2(th)20(tlim

hf(t)h)f(t

lim(t)f'v0h

22

0h0hi −=−−=−−+−+=−+==

→→→

Por tanto la velocidad instantánea es:

m/s t420v i −=

Igualando ambas velocidades, se tiene: 20 - 4t = 10⇒ t = 2,5 segundos

Por tanto en el instante 2,5 segundos la velocidad instantánea coincide con la media.

10 Aplicando la definición, halla la función derivada de la funció:

4x3xf(x) 2 +=

¿Existen puntos del dominio en los que la función no sea derivable? Calcula las derivadas de la función en los puntos x = -1 y x = 2 Solución: El dominio de la función:

x4x3f(x) 2 +=


Su función derivada, se obtiene calculando el límite:

( ) 4x6h34x6limh

x)4x(3h)4(xh)3(xlim

hf(x)h)f(x

lim(x)f'Df(x)0h

22

0h0h+=++=+−+++=−+==

→→→

Su función derivada, es:

46`x(x)f' +=

que está definida en todos los puntos del dominio

Los valores de las derivadas en los puntos x = -1 y x = 2 son:

=−=−

16(2)f'

21)(f'

11 El número de socios de un club, viene dado en funció n del número t de meses desde que se fundó, por la

función:

32t2ttN(t) 23 ++−=

a) Determina la velocidad media de crecimiento del club.

b) Determina la velocidad instantánea de crecimient o del club.

c) ¿En qué mes, desde su fundación, el club no crece rá? Solución: a) Velocidad media de crecimiento del club en el intervalo [t,t+h]:

h3)t2t2(t3h)2(th)2(th)(t

hN(t)h)N(t

v2323

m++−−++++−+=−+=

operando se tiene:

22m hh2)t(32t4t3v +−++−=

b) Velocidad instantánea de crecimiento del club. Se aplica la definición de derivada:

( ) 2t4t3vlimh

N(t)h)N(tlimv 2

m0h0h

i +−==−+=→→

c) Como la velocidad instantánea de crecimiento es:

2t4t3v 2

i +−=

el crecimiento es nulo, si:

224164

t02t4t30v 2i

−±=⇒=+−⇒=

La anterior ecuación no tiene soluciones reales, por tanto la velocidad de crecimiento nunca se hace cero.

12 Un móvil se desplaza según la ecuación:

5t2ts(t) 2 +−=

donde t es el tiempo transcurrido en segundos y s(t ) es el desplazamiento, en metros, después de

transcurrir t segundos, se pide:

a) Calcula la velocidad media del móvil en los inte rvalos de tiempo [[[[0,3]]]] y [[[[1,3]]]].

b) Calcula la velocidad del móvil en el instante in icial, y después de transcurrir 3 segundos. Solución: a) Las velocidades medias en los intervalos considerados son, respectivamente:

En [0,3]:

m/s 53

52003s(0)s(3)

vm =−=−−=

En [1,3]:

m/s 72

62013s(1)s(3)

vm =−=−−=

b) Tenemos que calcular las velocidades instantáneas en los instantes t = 0 y t = 3 segundos.

Aplicando la definición de derivada en un punto cualquiera a la función:

5tt2s(t) 2 +−=

se tiene:

( ) 1t41t4h2limh

hht4h2lim

h5)tt(25h)(th)2(t

limh

s(t)h)s(tlimv

0h

2

0h

22

0h0ht −=−+=−+=+−−++−+=−+=

→→→→

Substituyendo, se obtienen los siguientes valores:

m/s 11v y m/s 1v 30 =−=

13 La ecuación del movimiento de un móvil viene dada p or f(t) = t 2 + t.

a) Halla la velocidad media entre t 0 = 1 y t 0 + h = 5. b) Halla la velocidad instantánea en t 0 = 3. Solución:

a)

[ ] 74

23015f(1)f(5)

fTVMv 1,5m =−=−−==

b) f'(t) = 2t + 1; vi = f'(3) = 7

14 Aplica la definición de derivada en un punto para c alcular la función derivada de la función:

xf(x) =

¿Existen puntos del dominio en donde la función no s ea derivable? Calcula las derivadas en los puntos x = 0 y x = 4. Solución: El dominio de la función:

xf(x) =

es el conjunto:

[ ) { }0R0, ∪=∞ +

Aplicando la definición de derivada en un punto cualquiera del dominio, se tiene:

( )( )( ) x2

1

xhxh

hlim

xhxh

xhxxhxlim

hxhx

limh

f(x)h)f(xlim(x)f'Df(x)

0h0h0h0h=

++=

++++−+=−+=−+==

→→→→


x2

1(x)f' =

que no está definida en x = 0. La función f(x) no es derivable en el origen.

El valor de la derivada en el punto x = 4, vale:

41

42

1(4)f' ==

15 Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función:

5000100tp(t) 2 +=

siendo t el tiempo medido en horas. Se pide:

a) La velocidad media de crecimiento.

b) La velocidad instantánea de crecimiento para cad a valor de t.

c) La velocidad de crecimiento instantáneo para t = 10 horas. Solución: a) Velocidad media de crecimiento en el intervalo [t, t+h]:

h100t200h

5000)t(1005000h)100(th

p(t)h)p(tv

22

m +=+−++=−+=

b) Velocidad instantánea de crecimiento para cada valor de t. Se utiliza la definición de derivada:

( ) t200h100t200limh

p(t)h)p(tlim(t)p'v

0h0hi =+=−+==

→→

c) Velocidad instantánea para el instante t = 10 horas:

200010200(10)p'v i =⋅==

16 La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la t asa

de variación instantánea en dicho punto. Con esto d atos, calcula la recta tangente a la curva y = x 2 + x + 5 en el punto de abscisa x = 2. Solución: f'(x) = 2x + 1; f'(2) = 5; f(2) = 11

y - 11 = 5 (x - 2) ⇒

y = 5x - 9

17 La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la t asa de variación instantánea en dicho punto. Con esto d atos, calcula la recta tangente a la curva y = x 2 - 5x + 1 en el punto (0, 1). Solución: f'(x) = 2x - 5; f'(0) = -5

y - 1 = -5 (x - 0) ⇒

y = -5x + 1

18 La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la t asa de variación instantánea en dicho punto. Con esto d atos, calcula el punto de la curva y = x 2 + x + 7 donde la recta tangente sea paralela a la recta y = 3x + 5. Solución:

f'(x) = 2x + 1 = 3 ⇒

x = 1

19 La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la t asa de variación instantánea en dicho punto. Con esto d atos, calcula el punto de la curva y = x 2 - 5x + 3 donde la recta tangente sea paralela a la bisectriz del p rimer y tercer cuadrantes. Solución:

f'(x) = 2x - 5 = 1 ⇒

x = 3

Interpretación geométrica de la derivada 1 Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva :

4xf(x) =

en el punto de abscisa x = 2. Solución: La ecuación de la tangente: y - f(a) = f'(a)(x - a)

Derivada de f(x): 3x4(x)f' =

Derivada en x = 2: f´(2) = 32

Ecuación de la tangente: y - 16 = 32(x - 2)

Operando: 32x - y - 48 = 0.

2 Dada la función:

18xxf(x) 2 +−=.

¿Existe algún punto de la curva con tangente paralel a a la recta y = 1? Solución: Punto de tangencia T(a,f(a))

Pendiente de y = 1: m = 0

Función derivada: f'(x) = 2x - 8

Derivada en x = a: f'(a) = 2a - 8

De m = f´(a), se tiene 2a - 8 = 0, de donde a = 4

El punto de tangencia es: T(4,-15)

3 Halla el área del triángulo determinado por los dos ejes coordenados y la tangente a la curva:

x1

f(x) =

en el punto de abscisa x = 1. Solución: Punto de tangencia T(1,1)

Función derivada:

2x

1(x)f' −=

Derivada en x = 1: f'(1) = -1

Ecuación de la tangente y - 1 = - (x - 1)

Operando: y = - x + 2

Cortes con los ejes: A(2,0) y B(0,2)

Área del triángulo rectángulo ABO: 2 unidades.

4 Halla la ecuación de la recta tangente a la parábol a:

1xxf(x) 2 ++=

paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Solución: Punto de tangencia T(a,f(a)).

Pendiente m = 1.

Función derivada: f'(x) = 2x +1

Derivada en x = a: f'(a) = 2a+ 1

Igualando pendientes: 2a + 1 = 1 por tanto a = 0

El punto de tangencia es T(0,1)

Recta tangente: y - 1 = x de donde y = x + 1.

5 Determina los valores del parámetro k para que las tangentes a la curva:

18kxkxxy 23 −+−=

en los puntos de abscisas x = 1 y x = -1, sean para lelas. ¿Cuáles son en tal caso las ecuaciones de és as tangentes? Solución: La función derivada es:

kkx2x3(x)f' 2 +−=

Derivada en x = 1: k3kk23(1)f' −=+−=

, es la pendiente de la tangente en x = 1

Derivada en x = -1: k43kk231)(f' +=++=−

es la pendiente de la tangente en x = -1 Condición de paralelismo de las dos tangentes:

0kk43k31)(f'(1)f' =⇒+=−⇒−=

Con el valor k = 0, la función es:

18xy 3 −=

Ecuación de la tangente a f(x) en x = 1: y - f(1) = f'(1)(x - 1) ⇒ y + 17 = 3(x - 1) ⇒ y = 3x - 20

Ecuación de la tangente a f(x) en x = -1: y - f(-1) = f'(-1)(x + 1) ⇒ y + 19 = 3(x + 1) ⇒ y = 3x - 16

6 Halla la ecuación de la recta tangente a la parábol a:

65xxy 2 +−=

paralela a la recta de ecuación 3x + y - 2 = 0. Solución:

Punto de tangencia T(a,f(a)).

Pendiente de y = -3x + 2: m = -3.

Función derivada: f'(x) = 2x - 5

Derivada en x = a: f'(a) = 2a - 5

Igualando pendientes: 2a - 5 = -3 por tanto a = 1

El punto de tangencia es T(1,2)

Recta tangente: y - 2 = -3(x - 1) de donde 3x + y - 5 = 0.

7 Se ha trazado una recta tangente a la curva de ecuac ión.

3xy =

cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,-2). Hal la el punto de tangencia. Solución: La ecuación de la tangente a la función en un punto x = a, es: y - f(a) = f'(a)(x - a)

La derivada de la función es:

2x3(x)f' =

Como la pendiente de la tangente es m = 3:

−=⇒−==⇒=

⇒=⇒=1f(a)1a

1f(a)1a3a3m(a)f' 2

Tenemos dos puntos de tangencia: T(1,1) y Q(-1,-1)

- La tangente en T: y - 1 = 3(x - 1) ⇒ y = 3x - 2

dicha tangente pasa por el punto (0,-2)

- La tangente en Q: y + 1 = 3(x + 1) ⇒ y = 3x +2

dicha tangente no pasa por el punto (0,-2)

La solución es T(1,1)

8 Determina a y b para que la función: 23 bxaxy +=

tenga una tangente horizontal en el punto de coorde nadas (-1,2)

¿Cuál es la ecuación de ésa tangente? Solución:

La derivada de la función

23 bxaxf(x) += es

bx2ax3(x)f' 2 +=

Como el punto T(-1,2) es punto de tangencia, la función y su derivada verifican:

- f(-1) = 2 ⇒ -a + b =2

- f'(-1) = 0 ⇒ 3a - 2b = 0

Resolviendo el sistema formado por esas dos ecuaciones, se tiene a = 4 y b = 6

Como la ecuación de la tangente en T es y - 2 = f'(-1)(x+1)

Dicha ecuación es: y - 2 = 0

9 Calcula el área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta tangente a la hipérbola:

x2

f(x) =

en el punto de abscisa x = 1. Solución: Punto de tangencia T(1,2)

Derivada de la función:

2x

2(x)f' −=

Derivada en x = 1: f'(1) = -2

Ecuación de la tangente: y - 2 = -2(x-1)

Operando: y = -2x + 4

Corte con los ejes: A(2,0) y B(0,4)

Área del triángulo ABO: 4 unidades.

10 Calcula todos los puntos de corte de la recta tange nte a la curva de ecuación:

3xy =

trazada por el punto x = 1, con la gráfica de la fu nción. Solución: La ecuación de la tangente a la curva:

y - f(1) = f'(1)(x - 1)

Derivada de la función: 2x3(x)f' =

Siendo:

3(1)f' 1;f(1) ==

se tiene:

Ecuación de la tangente: y - 1 = 3(x - 1)

Operando: y = 3x - 2

Los puntos de corte de la tangente con la curva, son solución del sistema:

−=⇒−==⇒=

⇒=+−⇒−=⇒

−==

8y2x

1y1x02x3x2x3x

2x3y

xy 333

Se tienen dos puntos de corte: A(1,1) y B(-2,-8)

11 Halla los puntos de la curva:

22xxf(x) 3 +−=

en los que la tangente es paralela a la bisectriz d el primer cuadrante. Solución: Punto de tangencia: T(a,f(a)).

Pendiente de la bisectriz: m = 1.

Función derivada:

2x3(x)f' 2 −=

Derivada en x = a:

2a3(a)f' 2 −=

Igualando:

1a12a3 2 ±=⇒=−

Puntos de tangencia:

- Para a = 1: T(1,1)

Para a = -1: T(-1,3)

12 Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la parábola.

2xy =

que pasan por el punto (4,7). ¿Cuáles son las coord enadas de los puntos de tangencia? Solución: Sea T(a,f(a)) un punto de tangencia.

La derivada de la función x2(x)f' es xf(x) 2 ==

La tangente a la curva trazada por T, tiene de ecuación: y - f(a) =f'(a)(x-a)

Substituyendo, la tangente en T es:

a)a(x2ay 2 −=−

Para que pase por el punto (4,7) ha de verificar:

a)a(42a7 2 −=−

Operando la ecuación queda:

⇒=⇒=

⇒=+−T(7,49)7a

T(1,1)1a07a8a2

que son los puntos de tangencia buscados.

- La tangente en T(1,1) es la recta: y - 1 = 2(x - 1) ⇒ y = 2x -1

La tangente en T(7,49) es la recta: y - 49 = 14(x - 7) ⇒ y = 14x - 49

13 Dada la función:

2x2xxy 23 +−−=

Halla los vértices del triángulo cuyos lados tienen por ecuaciones las de las tangentes trazadas a la gráfica de la función en sus puntos de corte con el eje de abscisas.

Solución: - Los puntos de corte de la función con el eje OX son:

⇒=⇒=

−⇒−=⇒=−−+⇒=+−−⇒=

(2,0)T 2x

(1,0)T 1x

1,0)(T1x

02)1)(x1)(x(x02xx2x0y

33

22

1123

La derivada de la función es.

1x4x3(x)f' 2 −−=

por tanto las ecuaciones de las tres tangentes son:

En T1(-1,0): y - 0 = f'(-1)(x + 1) ⇒ y = 6(x + 1) ⇒ y = 6x + 6

En T2(1,0): y - 0 = f'(1)(x - 1) ⇒ y = -2(x - 1) ⇒ y = -2x + 2

En T3(2,0): y - 0 = f'(2)(x - 2) ⇒ y = 3(x - 2) ⇒ y = 3x - 6

- Los vértices del triángulo son solución de los sistemas:

−⇒=−=⇒

+−=+=

,321

A3y;21

x2x2y

6x6 y

Primer vértice del triángulo.

( )184,B18y4;x6x3y

6x6 y−−⇒−=−=⇒

−=+=

Segundo vértice del triángulo.

−⇒−==⇒

−=+−=

56

,58

C56

y;58

x6x3 y

2x2y

Tercer vértice del triángulo.

14 Halla a, b y c, sabiendo que la función:

cbxaxxf(x) 23 +++=

verifica las siguientes condiciones:

Su gráfica pasa por el punto de coordenadas (-1,0)

La tangente a la gráfica de la función trazada por el punto de coordenadas (0,4) es horizontal. Solución:

La función cbxaxxf(x) 23 +++=

tiene como derivada bax2x3(x)f' 2 ++=

- La función pasa por (-1,0):

0cba101)f( =+−+−⇒=−

- El punto (0,4) es de tangencia y la tangente tiene pendiente nula:

=⇒==⇒=

0b0(0)f'

4c4f(0)

Por tanto: - 1 + a - 0 + 4 = 0 ⇒ a = -3

Derivada y continuidad 1 Halla las derivadas de las siguientes funciones:

( )32 64x2xa(x) ++=

( )223 17x5xxb(x) +−+=

( )2234 76x7x5xc(x) −+−=

Solución:

( ) ( )2222 6x4x21)(x126x4x234)x(4(x)a' ++⋅+⋅=++⋅⋅+=

( ) ( ) ( ) ( )1x7x5x7x10x321x7x5x27x10x3(x)b' 232232 +−+⋅−+⋅=+−+⋅⋅−+=

( ) ( ) ( ) ( )7x6x7x5x1221xx2027x6x7x52x1221xx20(x)c' 2342323423 −+−⋅+−⋅=−+−⋅⋅+−=

2 Halla las derivadas de las siguientes funciones:

64x2xa(x) 2 ++=

17x5xxb(x) 23 +−+=

76x7x5xc(x) 234 −+−=

Solución:

4x4(x)a' +=

7x10x3(x)b' 2 −+=

x1221xx20(x)c' 23 +−=

3 Dada la función:

>−

≤−=

0x si 1x

0x si 12xf(x)

2

Se pide:

a) Estudia la continuidad de la función en todos los puntos de su dominio.

b) Estudia la derivabilidad de la función en el orig en. Solución: a) El dominio de la función:

>−

≤−=

0 xsi 1x

0 xsi 1x2f(x)

2


Se trata de una función a trozos, definida mediante dos polinomios. Por tanto la función es:

Continua para los valores de x < 0 y x >0, por ser las funciones polinómicas que definen a f(x) continuas.

En x = 0, se tiene:

f(0)f(x)lim

1102f(0)

11)(xlimf(x)lim

11)x(2limf(x)lim

0x

2

0x0x

0x0x

=⇒

−=−⋅=

−=−=

−=−=

→→→

→→

++

−−

por tanto f(x) es continua en todo su dominio.

b) Como f(x) es contínua en el origen, puede ser derivable en dicho punto si sus dos derivadas laterales coinciden:

Derivada por la izquierda de x = 0:

2hh2

limh

1)(1h2lim

hf(0)f(h)

lim)(0f'0h0h0h

==−−−=−=−−− →→→

−

Derivada por la derecha de x = 0:

( ) 0hlimh

1)(1hlim

hf(0)f(h)

lim)(0f'`0h

2

0h0h==−−−=−=

+++ →→→

+

Como las derivadas laterales en el origen son distintas, la función no es derivable en dicho punto.


( )32 xxa(x) +=

( )43 13xxb(x) −+=

( )22 64x3xc(x) −+=

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )2222 xx1x23xx31x2(x)a' +⋅+⋅=+⋅⋅+=

( ) ( ) ( ) ( )332332 1x3x1x121x3x43x3(x)b' −+⋅+⋅=−+⋅⋅+=

( ) ( ) ( ) ( )6x4x32x346x4x324x6(x)c' 22 −+⋅+⋅=−+⋅⋅+=

5

Calcular aplicando la definición, la derivada de x1

f(x) =

. ¿Cuál es su dominio de derivabilidad? Solución:

20h0h0h0h x

1h)x(x

1lim

h)hx(xhxx

limh

x1

hx1

limh

f(x)h)f(xlim(x)f'

−=+

−=+−−=

−+=−+=

→→→→

Su dominio de derivabilidad es R - {0}.

6 Hallar los puntos de la curva dada por f(x) = x 4 - 3x2 donde se anula su derivada. Solución:

f'(x) = 4x3 - 6x = 0 ⇔

x = 0; 26

x ±=

7 Halla las derivadas de las funciones:

4

42

x5

x2xx3xa(x)

−=

33

1x1x

2

x

1b(x) −−

++=

Solución: - Pasando a forma potencial se tiene:

45

24

42

x52

x53

x5

xx2xx3a(x) −=−=

441

x21

x56

x21

x56

(x)a' −=−=

- Pasando a forma potencial se tiene:

( ) ( )31

21

333

1x1x2x1x1x

2

x

1b(x) −−++=−−

++= −−

( ) ( )3 243

223

4

1)(x3

1

1x1)(x

1

x

31x

31

1xx3(x)b'−

−++

−−=−−+−−= −−−

8 Sin hallar las derivadas sucesivas de f(x) = x 10, ¿a partir de qué derivada son nulas todas las sig uientes? Solución: Las derivadas de un polinomio se anulan a partir de la siguiente al grado. En este caso, la última derivada no nula es la derivada décima, y a partir de ella todas son nulas.

9 Halla las funciones derivadas (y calcula sus valore s en x = 0 y x = -1) de las funciones:

15x6x3x

a(x)2

++=

2

2

1)(x

4)1)(2x(3xb(x)

−+−=

Solución:

( )( )

( )

=−

=⇒

+++=

++−++=

++=

1615

1)(a'

6(0)a'

1x5

2x2x53

1x5

x)6x5(31)x6)(5x(61x5

x6x3D(x)a'

2

2

2

22

( )

=−

=⇒

−−−−=

−−+−=

−+−=

25

1)(b'

4(0)b'

1)(x

2x4x9x32

1)(x

4x12x2x6D

1)(x

4)x1)(2x(3D(x)b'

3

23

2

23

2

2

10 Halla las derivadas de las funciones:

3

22

2)(4x

4)1)(7x(3xa(x)

−++=

5 232xx

3

xx

1xxb(x) −+=

Solución: - Operando el numerador se tiene:

3

24

3

22

2)x(4

4x1921x

2)x(4

4)x1)(7x(3a(x)

−++=

−++=

4

234

1)x4(2

12x19x19x4221x(x)a'

−−−−−=

- Expresando en forma potencial se tiene:

5

1725

23

x3xxb(x)−−

−−=

5 243522

27

21

xx5

51

xx2

52

x3(x)b'x

551

x25

x23

(x)b' ++=⇒++=−−

11 Dada la función definida mediante la expresión:

≥+

<−=

1x si bx

1x si 2axf(x)

2

Calcula los valores de los parámetros a y b, para q ue dicha función sea derivable en x = 1. Solución: Como la función:

≥+

<−=

1 xsi bx

1 xsi 2axf(x)

2

ha de ser continua y derivable en x = 1, se tiene:

- Para que f(x) sea continua en x = 1, debe cumplirse la doble igualdad:

f(x)limf(x)limf(1)1x1x +− →→

==

siendo:

03bab1f(x)lim 2;af(x)lim b;1f(1)1x1x

=−−⇒+=−=+=+− →→

- Para que f(x) sea derivable en x = 1, sus dos derivadas laterales han de ser iguales, siendo:

( )2a

2h2limh

hh2lim

hb)(1bh)(1

limh

f(1)h)f(1lim)(1f'

ahah

limh

3baahlim

hb)(12h)a(1

limh

f(1)h)f(1lim)(1f'

0h

2

0h

2

0h0h

0h0h0h0h =⇒

=+=+=+−++=−+=

==−−+=+−−+=−+=

++++

−−−−

→→→→

+

→→→→

−

Por tanto, de las dos igualdades:

1b2;a2 a

03ba−==⇒

==−−

12 Estudiar la derivabilidad de

=

≠=

0x 0

0x x

|x|f(x)

Solución:

Como

1xx

limf(x)lim0x0x

−=−=−− →→

y

1xx

limf(x)lim0x0x

==++ →→

, la función no es continua en x = 0, y por tanto tampoco es derivable en x = 0. En el resto de valores de x sí es derivable.

13 Hallar el dominio de derivabilidad de y = |x + 1|. Solución:

|x + 1| =

<−−≥+

0x1x

0x1x

Como f'(0-) = 1 y f'(0+) = -1, la función no es derivable en x = 0, por lo que el dominio de derivabilidad es R - {0}.

Cálculo de derivadas 1 Halla las derivadas de las siguientes funciones:

42

13x6xx

a(x)+

−=

5 2 26xxb(x) −+=

Solución:

( )4

3

22

2

x6x

1x3

1x3

6x2x341

(x)a'

−+

+−+=

( )5 42 2x6x5

3)2(x(x)b'

−+

+=

2 Halla las derivadas de las siguientes funciones y c alcula el valor que toman en x = 4

x1

x1a(x)

+−=

xx

1xxb(x)

2

−+−=

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 18

1(4)a'

1xx

1

x1

x1'x1x1'x1(x)a'

22−=⇒

+−=

+

−⋅+−+⋅−=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 16

17b´(4)

1xxx2

1x2xx3xx2

xx

1xx'xxxx'1xx(x)b'

2

22

2

22

=⇒−

+−+−=−

+−−−−+−=


3 2 5x

1xa(x)

−

−=

31)(2x

112x

1b(x)

+−

+=

Solución: - Poniendo la expresión como un solo radical:

( )3

2

3

5x

1xa(x)

−−=

( )( )

( )( )3 22

2

2

33

6

22

5x5x3

15x2x

5x

1xD

1x

5x31

(x)a'−−

−+=

−−

−−=

- Poniendo la expresión en forma potencial, se tiene:

( ) ( ) 31 1x21x2b(x) −− +−+=

( ) ( ) ( )( )4

242

1x2

1x2x241x261x22(x)b'

+−+−=+++−= −−


32 1x

2xa(x)

−=

x1x1

x1x1

b(x)+−−

−+=

Solución:

( )( )

3

22

22

2

x21x

1x3

1x2(x)a'

−

−

+−=

- Operando se tiene:

( ) ( )( )( ) 2

22

x1

x2

x1x1

x1x1

x1x1

x1x1

b(x)−

=−−

−−+=

+−−

−+=

( ) 22 x1x1

2(x)b'

−−=

5 Halla las derivadas de las siguientes funciones, y calcula su valor en x = 2, si es posible:

1x3xx

a(x)2

−+=

32

2

1x

15xxb(x)

+++=

Solución: - Pasando a forma potencial se tiene:

21

2

1xx3x

a(x)

−+=

( ) ( ) 102

3(2)a'

x3x

1x

1x2

3x2x1x

x3x

1x2

3x2x(x)a'

22

221

2

2

2

−=⇒+−⋅

−−−=

−+⋅

−−−=

−

- Pasando a forma potencial se tiene:

31

2

23

2

2

1x

1x5x

1x

1x5xb(x)

+++=

+++=

( )( )

( )( ) 3

3

2

2

2

22

232

2

2

22

2

95

1(2)b'

1x5x

1x

1x3

x15

1x

1x5x

1x3

x15(x)b' −=⇒

+++

+

−=

+++

+

−=−

6 Dadas las funciones: xxa(x) 2 +=

; ( )21xb(x) +=

; ( )21xc(x) −=

Halla las derivadas de las siguientes operaciones:

c(x)a(x) yc(x)b(x) b(x);a(x) ⋅⋅⋅

Solución:

( ) ( ) ( )1x41x(x)b'a(x)b(x)(x)a'b(x)a(x)D 2 ++=+=⋅

( ) ( ) ( )1xx41xDc(x)b(x)D 222 −=−=⋅

( ) ( )( )1xx41x(x)c'a(x)c(x)(x)a'c(x)a(x)D 2 −+−=+=⋅

7 Halla la derivada de las funciones:

a)

32 x

1

x

1x1 −−

b)

32 1)(x

4

1)(x

31x

2

++

+−

+−

Solución:

a)

43232 x

3

x

2

x

1

x

1

x

1x1

D ++−=

−−

b)

43232 1)(x

12

1)(x

6

1)(x

2

1)(x

4

1)(x

31x

2D

+−

++

+=

++

+−

+−

8 Se consideran las funciones:

2

2

x1

x1b(x) y

x1x1

a(x)+−=

−+=

.

Halla la derivada de la composición de las dos func iones en las dos formas posibles. Solución: Las funciones a(x) y b(x) tienen como derivadas:

( ) ( )222x1

x4b´(x) y

x1

2a´(x)

+

−=−

=

- Sea la función:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 b(x)1x1

x8

b(x)1

2

x1

x4b(x)a'(x)b'(x)A'b(x)aA(x)

−+

−=−

⋅+

−=⋅=⇒=

- Sea la función:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )222222

(x)a1x1

a(x)8

(x)a1

a(x)4

x1

2a(x)b'(x)a'(x)Á'a(x)bA(x)

+−

−=+

−⋅−

=⋅=⇒=

9

Comprueba que no existe ningún valor de x que anule la primera derivada de

x

x

e1

e

+ y que para x = 0 se

anula la segunda derivada. Solución:

( )( ) ( )2x

x

2x

xxxx

e1

e

e1

·eee1e(x)f'

+=

+

−+=

, que no se anula para ningún valor de x.

( ) ( )( )

( )( ) ( )3x

x2x

3x

xxxx

4x

xxx2xx

e1

ee

e1

·ee2e1e

e1

·eee12e1e(x)'f'

+

−=+

−+=+

+−+=

que es igual a 0 si x = 0.

10 Se consideran las funciones:

x1x

b(x) yx1x1

a(x)+

=−+=

Halla las derivadas de las siguientes funciones com puestas:

( ) ( ) )(xabB(x) y(x)baA(x) oo ==

Solución: Las derivadas de las funciones a(x) y b(x) son:

( )

( )

+=⇒

+=

−=⇒

−+=

2

2

x1

1(x)b'

x1x

b(x)

x1

2(x)a'

x1x1

a(x)

-

( ) ( )( ) ( )22 b(x)1

2

x1

1b(x)a'(x)b'(x)A'b(x)aA(x)

−⋅

+=⋅=⇒=

( ) ( )( ) ( )22 a(x)1

1

x1

2a(x)b'(x)a'B´(x)a(x)bB(x)

+⋅

−=⋅=⇒=

11 Halla la derivada del producto y el cociente de las funciones:

( ) ( )432 37xb(x) y5xxa(x) −=−=

Solución:

- Sea ( ) ( )432 3x7x5xb(x)a(x)A(x) −⋅−=⋅=

( ) ( ) ( ) ( )332422 3x7x5x283x7x5x5)x3(2(x)A' −⋅−+−⋅−−=

operando, se tiene:

( ) ( ) ( )45x263x703x7x5x(x)A' 2322 +−⋅−⋅−=

- Sea

( )( )4

32

3x7

x5xb(x)a(x)

B(x)−

−==

( ) ( )( )5

222

3x7

45x17x14x5x(x)B'

−++−=

12 Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

x1x1

x1x1a(x)

−++−−+=

)a(xb(x) 2=

Solución: - Racionalizando la expresión de la función se tiene:

( )( )( ) x

x11

x1x1x1x1

x1x1

x1x1

x1x1a(x)

22−−=

−−+−++−−+=

−++−−+=

22

2

2

22

x1x

x11

x

x11x11xD(x)a'

−

−−=

−−−

−−

=

- Aplicando la regla de la cadena, se tiene:

43

4

44

42

x1x

x112

x1x

x11x2)(xa'x2(x)b'

−

−−

=−

−−⋅=⋅=


353 42x1)(4x3xa(x) −++−=

3254

3)(x1)4(x13x

xb(x) ++−+

−=

Solución:

( ) ( )( )3 2

42353

4x23

21x420x94x2D1)xD(4x3D(x)a'

−++−=−++−=

( ) ( ) ( )( )

( ) 3xx31x201x3

4x9x3xD1)4(xD

1x3x

D(x)b' 242

32/3254

++−+−

−=++−+

−=

14 Determinar el valor en x = 1 de la derivada de la f unción

( ) lnx4elnx1x32xf(x) x5 +−−=.

Solución:

f'(x) = 10x4 - 3lnx - 3(x - 1)x1

+ 4exlnx + 4exx1

. f'(1) = 10 + 4e

15 Calcula las derivadas de las funciones:

x1

1

11

1a(x)

++

=

x11b(x) ++=

Solución: - Operando y reduciendo a una única fracción se tiene:

( )21x2

1(x)a'

1x21x

x1

1

11

1a(x)

+−=⇒

++=

++

=

- Consideremos las funciones:

f(x)1b(x)g(x)1f(x);xg(x) +=⇒+==

⇒⋅+

⋅+

=⋅+

⋅+

=⋅+

=x2

1

g(x)12

1

f(x)12

1g´(x)

g(x)12

1

f(x)12

1(x)f'

f(x)12

1(x)b'

x11

1

x1

1

x8

1(x)b'

++⋅

+⋅=

16 ¿Las funciones lnx y

( )7xln tienen la misma derivada? Razónalo sin calcularlas .

Solución:

Como ln(7x) = ln7 + lnx y ln7 es una constante, las derivadas de lnx y de ln(7x) son iguales por ser la derivada de ln7 nula.

17

Calcula la derivada de:

a) xex b)

32x1)(3x ++

Solución:

a) y = xex

+=+=⇒=⇒x1

lnxex1

elnxeyy'

lnxelny xxxx

+=x1

lnxexy' xex

b)

1x33

3)x(21)xln(32yy'

1)xln(33)x(2lny1)x(3y 3x2

++++=⇒++=⇒+= +

( )

+++++= +

1x39x6

1)xln(321x3y' 3x2

18 Calcula la derivada de:

a) xxx b)

1x5 2

)(x +

Solución:

a) lnxxlnyxy xxx

=⇒=

Veamos primero cuál es la derivada de xxz =

( )1lnxxz'1lnxx1

xlnxzz'

xlnxlnz x +=⇒+=+=⇒=

Entonces

( ) ( )1xlnxxxlnxx1

xlnx1lnxxyy' 21xxx ++=++= −

( ) ( )1xlnxxxlnx1xlnxxxlnxxy' 21xx21xx xx

++=++= −+−

b)

++=⇒+=⇒= +

x1x

xlnx25y

y'lnx1)5(xlny)(xy

221x5 2

( )

++=+

x1x

xlnx2x5y'21x5

2

Derivada exponencial y logatítmica 1 Calcula las derivadas de las funciones:

1/xea(x) =

1xx

eb(x) −=

x2c(x) =

Solución:

2

/x1/x1/x1

x

eD(1/x)eea(x) −=⋅⇒=

( )1x

x

21x

x1x

x

e1x

11x

xDeeb(x) −−− ⋅

−−=

−⋅⇒=

( ) 2Lxc(x)L :neperianos logaritmos tomando 2c(x) x ⋅==

Derivando, se tiene:

x

L(2)22

x2

2L(x)c'2L

x2

1c(x)

(x)c' 1xx ⋅=⋅=⇒⋅=

−


−=

1xx

La(x)

+−=

1x1x

Lb(x)

)log(xc(x) 2=

)(5xlogd(x) 22=

Solución:

1)x(x1

1x1

x1

(x)a'1)L(xL(x)1x

xLa(x)

−−=

−−=⇒−−=

−=

1)1)(x(x2

1x1

1x1

(x)b'1)L(x1)L(x1x1x

Lb(x)+−

=+

−−

=⇒+−−=

+−=

L(10)x2

(x)c'L(x)L(10)

2L(10)

)L(x)log(xc(x)

22

⋅=⇒⋅===

2Lx2

(x)d'L(x)2L

22L5L

L(2))xL(5

)x(5logd(x)2

22 ⋅

=⇒⋅+===

3 Calcula las derivadas de las funciones: 4xea(x) =

2x3eb(x) −=

1x 2

2c(x) +=

xx 53d(x) ⋅=

Solución:

x4x4 e4(x)a'ea(x) ⋅=⇒=

22 x3x3 ex2(x)b'eb(x) −− ⋅−=⇒=

2x1x1x 222

2L(2)x2L(2)x2(x)c'2c(x) +++ ⋅⋅=⋅⋅=⇒=

xxxx 15L(15)(x)d'1553d(x) ⋅=⇒=⋅=


L(7x)a(x) =

)L(xb(x) 3=

L(x/3)c(x) =

)L(5xd(x) 2=

Solución:

x1

(x)a'L(x)L(7)x)L(7a(x) =⇒+==

x3

(x)b'L(x)3)L(xb(x) 3 =⇒==

x1

(x)c'L(3)L(x)3)L(x/c(x) =⇒−==

x2

(x)d'L(x)2L(5))xL(5d(x) 2 =⇒+==

5 Dada la función:

1e

1ef(x)

x

x

+−=

Determina la ecuación de la recta tangente a su grá fica trazada por el punto de corte de la función co n el eje de abscisas. Solución: - El dominio de la función:

1e

1ef(x)

x

x

+−=

es el conjunto R, dado que:

01e es Rx x >+∈∀

- Punto de corte con OX:

O(0,0)0x01e01e

1e0f(x) x

x

x

⇒=⇒=−⇒=+−

⇒=

- Ecuación de la tangente en O(0,0): y - f(0) = f'(0)(x - 0), siendo:

( ) ( )( ) ( ) ( ) 2

142

1e

e2(0)f'

1e

e2

1e

e1e1ee(x)f'

20

0

2x

x

2x

xxxx

==+

=⇒+

=+

−−+=

La ecuación de la tangente es:

0y2xx21

y =−⇒=


xxa(x) =

x

x1

b(x)

=

x1

xc(x) =

Solución:

- ( ) L(x)xa(x)L :neperianos logaritmos tomando xa(x) x ⋅==


( )L(x)1x(x)a'x1

xL(x)a(x)

(x)a' x +⋅=⇒⋅+=

-

( ) L(x)xx1

Lxb(x)L :neperianos logaritmos tomando x1

b(x)x

⋅−=

⋅=

=


( )L(x)1x1

(x)b'x1

xL(x)b(x)

(x)b'x

+⋅

−=⇒⋅−−=

-

( )x

L(x)c(x)L :neperianos logaritmos tomando xc(x) x

1

==


−⋅=⇒−⋅

=2

x1

2 x

L(x)1x(x)c'

x

L(x)xx1

c(x)(x)c'

7 Halla las funciones derivadas de las siguientes fun ciones y su valor en los puntos que se indican:

a)

4π

x en derivada la de valor xcos1

xcos1La(x)

2

2

=+−=

b)

0x en derivada la de valor x1

arcsen(x)b(x)

2=

−=

Solución: a) Aplicando cálculo logarítmico:

( ) ( )( )xcos1Lxcos1L21

a(x)xcos1

xcos1La(x) 22

2

2

+−−=⇒+−=

( ) ( )

34

21

122

22

2

4π

a'

xcos1senx

cosx2

xcos1xsen

senxcosx2

xcos1

senxcosx2

xcos1

senxcosx221

(x)a'22222

=

+=

+⋅=

+⋅=

+⋅−−

−⋅=

b)

( )1

1101

(0)b'

x1x1

xarcsenxx1

x1

arcsen(x)x12

x2x1

x1

1

(x)b'x1

arcsen(x)b(x)

22

2

2

2

2

2

2

=⋅

+=

−−

+−=−

⋅−

−−−⋅−=⇒

−=


( ) x2 e1xxa(x) +−=

L(x)xb(x) 3=

2x

3

e

xxc(x)

+=

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) x2x2xx2 exxe1xxe1x2(x)a'e1xxa(x) +=+−+−=⇒+−=

( )1L(x)3xxL(x)x3x1

xL(x)x3(x)b'L(x)xb(x) 222323 +=+=⋅+=⇒=

( ) ( ) ( ) ( ) x223x23x22x23x2

3

e1x2x3x2exx2e1x3exxe

xxc(x) −−−− +−+−=+−+⇒+=+=


xL(x)

a(x) =

+=3x

1xLb(x)

2

x5 exc(x) −⋅=

Solución:

22 x

L(x)1

x

L(x)xx1

(x)a'x

L(x)a(x)

−=−⋅

=⇒=

( ) ( )1xx

1xx1

1x

x2(x)b'L(x)L(3)1xL

x31x

Lb(x)2

2

22

2

+−=−

+=⇒−−+=

+=

( )54xx5x4x5 xx5eexex5(x)c'exc(x) −⋅=⋅−⋅=⇒⋅= −−−−

10 Halla, si es posible, en qué puntos de su dominio l a función:

xL(x)

f(x) =

tiene derivada nula. Determina la ecuación de la ta ngente a su gráfica por el punto de corte de la fun ción con el eje de abscisas. Solución:

El dominio de la función:

+= R es x

L(x)f(x)

Derivada de la función:

22 x

L(x)1(x)f'

x

L(x)xx1

(x)f'−=⇒

−⋅=

- Puntos de derivada nula:

⇒==⇒=⇒=−⇒=−

⇒=e1

e,Ae1

eL(e)

f(e)ex0L(x)10x

L(x)10(x)f'

2

- Punto de corte de la función con OX:

B(1,0)1x0L(x)0x

L(x)0f(x) ⇒=⇒=⇒=⇒=

Derivada en x = 1:

11L(1)1

(1)f' =−=

por tanto la ecuación de su tangente trazada por B(1,0) es:

y - f(0) = f'(1)(x - 1) ⇒ y = x - 1

11 Halla las derivadas de las siguientes funciones y s u valor en los puntos que se indican:

a)

2π

x en derivada la de valor sen(x)

1a(x)

sen(x)1

=

=

b)

0x en derivada la de valor x1

xarcsenb(x)

2=

−=

Solución: a) Tomando logaritmos neperianos, se tiene:

( ) ( )sen(x)

L(sen(x))a(x)L

sen(x)L(sen(x))L(1)

sen(x)1

Lsen(x)

1a(x)L −=⇒

−=

=

Derivando esta última expresión, se tiene:

( ) ( )

( )0

1

1L(1)012)(ππa'

(x)sen

1L(sen(x))cos(x)sen(x)

1(x)a'

(x)sen

1L(sen(x))cos(x)

(x)sen

L(sen(x))cos(x)sen(x)sen(x)cos(x)

a(x)(x)a'

21

2

sen(x)1

22

=

−⋅=

−

=⇒

−=⋅−⋅

−=

b)

( ) ( )1(0)b'

x21x1

1

x21

x1

x1x1

1

x1

x1

1

x1x12

x2xx1

(x)b'x1

xarcsenb(x)

222

2

22

2

22

2

2

2

=

−−=

−−⋅

−−=

−−

⋅−

−

−⋅−−=⇒

−=


2x

L(x)xa(x)

+=

x

x

ex

exb(x)

−+=

)L(xxc(x) 2 ⋅=

Solución:

( )34

2

2 x

L(x)2x1

x

L(x)xx2xx1

1(x)a'

x

L(x)xa(x)

−−=+−

+=⇒

+=

( )( ) ( )( )( )

( )( )2x

x

2x

xxxx

x

x

ex

1xe2

ex

e1exexe1(x)b'

ex

exb(x)

−

−=−

−+−−+=⇒−+=

( )1L(x)2xx1

xL(x)x2(x)c'L(x)xc(x) 22 +=⋅+⋅=⇒⋅=

13 Calcula y simplifica la derivada de la función:

++−+=x

xk1Lxkf(x)

22

siendo k una constante real. Solución: Aplicando cálculo logarítmico, se tiene:

L(x)xk1Lxkx

xk1Lxkf(x) 22

22 +

++−+=

++−+=

Derivando, tendremos:

++

+++=+++

=+++

+⋅+

=

=+

++−

+=+

+++

−+

=+++

+−+

=

2

22

22

2

2

222222

2

2

xk1x

xk1xx1

xk1

xx1

xk1

xk

xk

x

x1

xk1

11

xk

xx1

xk1xk

x

xk

xx1

xk1

xk2

x2

xk2

x2(x)f'


( )3xsenLa(x) =

( )xsenxb(x) =

( )senxsenxc(x) =

Solución:

-

( ) x3cotgx32

3

x3sen

x3cosx32

3

(x)a'x3senLa(x) ⋅=⋅

=⇒=

- ( ) ( ) ( )senxLxb(x)Lsenxb(x) x ⋅=⇒=

derivando esta última igualdad, se tiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )cotgxxsenxLsenx(x)b'cotgxxsenxLb(x)(x)b'senxcosx

xsenxLb(x)

(x)b' x ⋅+⋅=⇒⋅+⋅=⇒⋅+=

- ( ) ( ) ( )senxLsenxc(x)Lsenxc(x) senx ⋅=⇒=

derivando esta última igualdad, se tiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1senxLcosxsenx(x)c'1senxLcosxc(x)(x)c'senxcosx

senxsenxLcosxc(x)

(x)c' senx +⋅⋅=⇒+⋅⋅=⇒⋅+⋅=


1e

ea(x)

x

x

−=

x

L(x)2L(x)

x1

b(x) −+=

++=

12x3x

Lc(x)

Solución:

( )( ) ( )2x

x

2x

xxxx

x

x

1e

e

1e

ee1ee(x)a'

1e

ea(x)

−−=

−

−−=⇒−

=

222 x

L(x)1)2(x

x

L(x)1x2

x

1(x)b'

xL(x)

L(x)2x1

b(x)+−=

−−+−=⇒−+=

1)x3)(2(x5

1x22

3x1

(x)c'1)xL(23)L(x1x2

3xLc(x)

++−=

+−

+=⇒+−+=

++=


−+−−⋅= 4xx2L4x

2x

a(x) 22

x

3x)L(xb(x)

2 +=

4)L(3xc(x) −=

Solución:

4x4xx

4x2

x21

24x2

x22x

4x21

(x)a'4xxL24x2x

a(x) 2

2

2

2

222 −=−+

−+

−−

⋅+−⋅=⇒

−+−−⋅=

2

2

232

222

x

x)3L(x

x3x

3x2

x

x)3L(xxx3x

3x2

(x)b'x

x)3L(xb(x)

+−+

+=+−⋅

++

=⇒+=

4x33

4)xL(32

1(x)c'4)xL(3c(x)

−⋅

−=⇒−=


+++= 2x2kxxkLf(x)

siendo k una constante real. Solución: La derivada de la función:

+++= 2xkx2xkLf(x)

es:

22

2

2

2

2

2

2

xkx2

1(x)f'

xkx2xk

xkx2

xkx2xk

xkx2xk

xkx2

xk1

xkx2xk

xkx22

x2k21

(x)f'+

=⇒+++

+

+++

=+++

+

++

=+++

+

++

=


+−⋅+−=

kxkx

L2k1

2)kL(x

f(x)22

siendo k una constante real. Solución: La derivada de la función:

( )k)L(xk)L(xk2

12

)kL(xkxkx

Lk2

12

)kL(xf(x)

2222

+−−⋅+−=

+−⋅+−=

es:

22222222 kx

1x

kx

k2k2

1

kx

xkx

1kx

1k2

1

kx

x221

(x)f'−+=

−⋅+

−=

+−

−⋅+

−⋅=

19 Dadas las funciones:

( )2

2x

x1

1g(x) ytgxLèf(x)

+=+=

Se pide:

a) Calcula la derivada de la función f(x) en el pun to x = ππππ/4

b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x) en el punto de abscisa x = 1. Solución: a) La derivada de la función f(x) en cualquier punto de su dominio es:

cos(x)sen(x)1

è2tgx

xcos

1

è2(x)f' x22

x2 +=+=

El valor de la derivada en el punto x = π/4 es:

+=+=

+=

2π

2π

22π

e122è2

22

1è2

4π

f'

b) La derivada de la función g(x) en x = 1, es:

( ) 21

42

(1)g'x1

x2(x)g'

22−=−=⇒

+

−=

Ecuación de la tangente a la curva en x = 1: y - g(1) = g'(1)(x - 1), se tiene:

( ) 02y2x1x21

21

y =−+⇒−−=−

20 Dada la función.

1ae

1f(x)

x +=

Se pide:

a) ¿Para que valores del parámetro real a, la funci ón tiene derivada estrictamente positiva?

b) Para a = 1, determina la ecuación de la recta ta ngente a la gráfica en el punto de abscisa nula. Solución:

a) Derivada de

( ) 1xx

1ae1ae

1f(x)

−+=

+=

es

( ) ( )2x

x2xx

1ae

ae(x)f'1aeae(x)f'

+

−=⇒+−=−

Por tanto:

( ) 0a0a01ae

ae0(x)f'

2x

x

<⇒>−⇒>+

−⇒>

Para esos valores de a < 0, el dominio de la función, son los puntos que no anulan su denominador:

{ }a)L(RDom(f)a)L(a

1Lx

a1

e01ae xx −−−=⇒−−=

−=⇒

−=⇒=+

Por tanto la función tiene derivada positiva para a < 0 y para todo punto de abscisa x ≠ -L(-a)

b) Para a = 1, la función que se obtiene es:

R es dominio cuyo 1e

1f(x)

x +=

La ecuación de la tangente en x = 0, es y - f(0) = f'(0)(x - 0), siendo:

01xy2x21

21

y:es tangente la de ecuación la tanto por

21

(0)f'1e

ef´(x)

21

f(0)1e

1f(x)

x

x

x

=−+⇒−=−

−=⇒+

−=

=⇒+

=

21 Dadas las funciones:

( ) 5xxg(x) ycosxLxef(x) 2x ++=+=

Se pide:

a) Calcula la derivada de la función f(x) en el pun to de abscisa nula.

b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x), paralela a la recta y = 3x - 8. Solución:

a)

( ) ( ) tgxx1ecosxsenx

xee(x)f'cosxLxef(x) xxxx −+=−++=⇒+=

Substituyendo en la derivada el valor x = 0, se tiene: f'(0) = 1

b) El punto de tangencia T(a,g(a)), ha de verificar g'(a) = 3, pendiente de la recta dada, por tanto:

T(1,7)7511g(1)1a31a23(a)g' ⇒=++=⇒=⇒=+⇒=

La ecuación de la tangente a la gráfica de g, trazada por el punto T, es por tanto:

04yx31)3(x7y =+−⇒−=−

Crecimiento y decrecimiento 1 Dada la función:

1x3x

f(x)2

−+=

Halla sus extremos relativos:

a) Mediante el estudio del crecimiento y decrecimie nto de la función.

b) Comprueba los resultados obtenidos, utilizando e l criterio de la curvatura.

Solución: a) El dominio de la función es R-{1}

Primera derivada:

( )22

1x

3x2x(x)f'

−−−=

Puntos críticos:

( )3x1;x0

1x

3x2x0(x)f'

2

2

=−=⇒=−

−−⇒=

Intervalos de monotonía:

( ) ( )( ) { } ( ) { }( ) ( )

+∞>+∞∈−<−∈

−∞−>−∞−∈

3, en creciente es función la tanto por 0,(x)f' es 3, xSi

1-1,3 en edecrecient es función la tanto por 0,(x)f' es 1-1,3 xSi


La función presenta un máximo relativo en.

1x −=

ya que en dicho punto pasa de creciente a decreciente.

La función presenta un mínimo en:

3x =

ya que en dicho punto pasa de decreciente a creciente.

b) Comprobación:

Segunda derivada:

( )

=>−=<−

−=

relativo mínimohay 1 xen luego 0,(3)f"

relativo máximohay 1 xen luego 0,1)(f" :tiene se

1x

8(x)f"

3

2 Dada la función:

1x

3xf(x)

2

2

+−=



b) Comprueba los resultados obtenidos, utilizando e l criterio de la curvatura. Solución: c) El dominio de la función es R.

Primera derivada:

( )22 1x

x8(x)f'

+=

Puntos críticos:

( ) 0x01x

x80(x)f'

22=⇒=

+⇒=


( )( )

+∞>>∞−<<

0, en creciente es función la tanto por 0,(x)f' es 0 xSi

,0 en edecrecient es función la tanto por 0,(x)f' es 0 xSi

La función presenta un mínimo en x = 0 ya que en dicho punto pasa de decreciente a creciente.

d) Comprobación:

Segunda derivada:

( ) mínimo un presenta función la tanto por 0(0)f" :tiene se 1x

)x38(1(x)f"

32

2

>+

−=

3 Dada la función:

1x

xf(x)

2

3

−=

Halla sus intervalos de monotonía y extremos relati vos. Solución: El dominio de la función es R-{-1,1}

Primera derivada:

( )( )22

22

1x

3xx(x)f'

−

−=

Puntos críticos:

( )( ) ( ) 3x0;x;3x03xx0

1x

3xx0(x)f' 22

22

22

==−=⇒=−⇒=−

−⇒=


( ) ( )( ) { } ( ) { }( ) ( )

∞>+∞∈

±−−<±−−∈

−∞−>−∞−∈

,3 en creciente es función la tanto por 0,(x)f' es ,3 xSi

1,03,3 en edecrecient es función la tanto por 0,(x)f' es 1,03,3 xSi


La función presenta un máximo relativo en

3x −=

ya que en dicho punto pasa de creciente a decreciente.

La función presenta un mínimo relativo en:

3x =

ya que en dicho punto pasa de decreciente a creciente.

En x = 0, la función es decreciente. Se trata de un punto crítico que no es extremo relativo

4 Dada la función:

( )1x

1xf(x)

2

+−=



b) Comprueba los resultados obtenidos, utilizando e l criterio de la curvatura. Solución: e) El dominio de la función es R-{-1}.

Primera derivada:

( )22

1x

3x2x(x)f'

+−+=

Puntos críticos:

( )1x3;x03x2x0

1x

3x2x0(x)f' 2

2

2

=−=⇒=−+⇒=+

−+⇒=


( ) ( )( ) { } ( )( ) ( )

+∞>+∞∈−∞−<−∈

−∞−>−∞−∈


3, en edecrecient es función la tanto por 0,(x)f' es 1--3,1 xSi


La función presenta un máximo en x = -3 ya que en dicho punto pasa de creciente a decreciente.

La función presenta un mínimo en x = 1 ya que en dicho punto pasa de decreciente a creciente.

f) Comprobación:

Segunda derivada:

( )

><−

+=

mínimo un presenta función la tanto por 0(1)f"

máximo un presenta función la tanto por 03)(f" :tiene se

1x

8(x)f"

3

5 Dada la función:

1x

xf(x)

2 +=

halla sus extremos relativos:


b) Comprueba los resultados obtenidos, utilizando e l criterio de la curvatura. Solución: g) El dominio de la función es R.

Primera derivada:

( )22

2

1x

x1(x)f'

+

−=

Puntos críticos:

( ) 1x1;x0x101x

x10(x)f' 2

22

2

=−=⇒=−⇒=+

−⇒=


( )( )

( )

+∞<>−><<−

−∞−<−<

1, en edecrecient es función la tanto por 0,(x)f' es 1 x Si

1,1 en creciente es función la tanto por 0,(x)f' es 1x1 Si

1, en edecrecient es función la tanto por 0,(x)f' es 1x Si

La función presenta un mínimo en 1−=x ya que en dicho punto pasa de decreciente a creciente.

La función presenta un máximo en 1=x ya que en dicho punto pasa de creciente a decreciente.

h) Comprobación:

Segunda derivada:

( )

=<−=>−

+

−=relativo máximohay 1 xen luego 0,(1)f"

relativo mínimohay 1 xen luego 0,1)(f" :tiene se

1x

3)x(x2(x)f"

32

2

6 Utilizando la derivada estudia los intervalos de mo notonía de las siguientes funciones:

a) 3xf(x) =

b) 7xf(x) =

Solución: a) Función derivada:

2x3(x)f' =

Para x < 0 es f'(x) > 0, luego f(x) es creciente en (-∞,0)

Para x > 0 es f'(x) > 0, luego f(x) es creciente en (0,+∞)

Para x = 0 es f'(x) = 0, caso dudoso. Los valores que toma la función a la izquierda son menores que los que

toma a la derecha, luego también es creciente en x = 0.

b) Función derivada:

6x7(x)f' =

Para x < 0 es f'(x) > 0, luego f(x) es creciente en (-∞,0)

Para x > 0 es f'(x) > 0, luego f(x) es creciente en (0,+∞)

Para x = 0 es f'(x) = 0, caso dudoso. Los valores que toma la función a la izquierda son menores que los que toma a la derecha, luego también es creciente en x = 0.

7 La producción en kgrs. de cierta hortaliza en un in vernadero, viene expresada según la temperatura T e n grados centígrados por:

T)(321)(TQ(T) 2 −+=

a) Calcula razonadamente la temperatura óptima a ma ntener en el invernadero.

b) ¿Cuál será, en tal caso, la producción de hortal iza? Solución: a) La función de producción de hortaliza:

32T63T30TQ(T) 23 +++−=

tiene como dominio [−273º,+∞)

Su derivada es:

T)1)(213(T(T)Q'63T60T3(T)Q' 2 −+=⇒++−=

Los puntos que anulan la derivada son T = -1º y T = 21º, por tanto:

⇒<⇒>⇒>⇒<<−⇒<⇒−<

edecrecient producción de Función 0(T)Q' 21T Si

creciente producción de Función 0(T)Q'21T1 Si

edecrecient producción de Función 0(T)Q' 1T Si

En T = -1 la función pasa de decreciente a creciente y la producción es mínima

En T = 21 la función pasa de creciente a decreciente y la producción es máxima

La temperatura óptima es 21º

b) Para T = 21º, la producción que se obtiene es Q(21) = 5324 kg.

8 El área (cm 2) ocupada por una infección cutánea se extiende a p artir del instante inicial del contagio, según la función

1t

t10S(t)

2 ++=

cuando t se mide en días. Se pide: a) La superficie ocupada por la infección en el mom ento inicial del contagio. b) ¿En qué instante adquiere mayor virulencia la in fección? c) Con el paso del tiempo ¿Llegará a desaparecer la infección? ¿Se estabiliza? Solución:

El dominio de la función es [0,+∞)

a) Para t = 0, se tiene un área infectada S(0) = 10 cm2.

b) Para ver en qué instante la infección es más virulenta, estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la función:

Función derivada:

( )22

2

1t

t1(t)S'

+

−=

que se anula para t = 1, por tanto

El signo de la derivada es:

<⇒>>⇒<

edecrecient es infectada superficie la 0(t)S'1t Si

creciente es infectada superficie la 0(t)S'1t Si

Por tanto la máxima virulencia de la infección se alcanza al transcurrir el primer día.

c) A medida que aumenta el tiempo, la superficie tiende a estabilizarse en el valor 10 cm2, dado que:

101t

t10limS(t)lim

2tt=

++=

∞→∞→

9 La cotización de las acciones de una determinada so ciedad, supuesto que la Bolsa funcione durante los 30 días de cada mes, en función del número d de días t ranscurridos, viene dada por

3002'43d0'45d0'01dC(d) 23 ++−=.

Se pide: a) Determina los días del mes de cotización máxima y mínima, determinando además para esos días los valores de la cotización. b) Períodos de tiempo en los que las acciones subie ron y bajaron. Solución: a) El dominio de la función:

300d2'43d0'45d0'01C(d) 23 ++−=

es [0,30]

La derivada de la función es:

27)3)(d(d100

3(d)C'2'43d0'9d0'03(d)C' 2 −−=⇒+−=

Puntos que anulan la derivada: d = 3 y d = 27, por tanto:

⇒>⇒>⇒<⇒<<⇒>⇒<

creciente cotización de Función 0(d)C' 27d Si

edecrecient cotización de Función 0(d)C'27d3 Si

creciente cotización de Función 0(d)C' 3d Si

Como en d = 3, la función pasa de creciente a decreciente, en el tercer día se produce un máximo relativo

Como en d = 27, la función pasa de decreciente a creciente, en el vigésimo séptimo día se produce un mínimo

La mínima cotización es el menor de los dos valores C(0) = 300 y C(27) = 234,39; por tanto C(27) = 234,39

La máxima cotización es el mayor de los dos valores C(3) = 303,51 y C(30) = 237,9; por tanto C(3) = 303,51

b) La cotización subió durante los tres primeros y los tres últimos días del mes y bajaron durante los demás días.

10 La curva de ecuación:

cbxxy 2 ++=

pasa por el punto P(-2,1) y alcanza un extremo rela tivo en el punto de abscisa x = -3. Halla los númer os b y c; y determina la naturaleza (máximo o mínimo) de é se punto extremo. Solución: Derivada de la función:

bx2(x)f' +=

De las condiciones del problema se tiene:

9c6;b0b6

1cb24

03)(f'

12)f(==⇒

=+−=+−

⇒

=−=−

Con esos valores, las expresiones de la función y su derivada son:

+=++=

6x2(x)f'

9x6xf(x) 2

- Para x < -3 es f'(x) < 0, luego la función es decreciente

- Para x > -3 es f'(x) > 0, luego la función es creciente

En x = -3 la función presenta un mínimo, ya que pasa de decreciente a creciente.

11 Estudia los intervalos de monotonía de las siguient es funciones:

a) x1

f(x) =

b)

2x

1f(x) =

c) xf(x) =

Solución: a) Dominio de la función: R - {0}

Función derivada:

2x

1f(x) −=

f'(x) < 0 para todos los puntos del dominio, por tanto la función es decreciente.

b) Dominio de la función: R - {0}

Función derivada:

3x

2f(x) −=

Para x < 0 es f'(x) > 0, la función es decreciente en (-∞,0)

Para x > 0 es f'(x) < 0, la función es creciente en (0,+∞)

c) Dominio de la función: [0,+∞)

Función derivada:

x2

1f(x) =

Para x > 0 es f'(x) > 0, la función es creciente en (0,+∞)

Para x = 0, la función no es derivable, pero a la derecha del punto, la función crece

La función es creciente en su dominio.

12 Se ha comprobado que las ganancias que proporciona cierto juego dependen del tiempo t en minutos según la función

400t

100tG(t)

2 +=

Se pide: a) ¿En qué momento del juego debe retirarse un juga dor? b) ¿Se pueden producir pérdidas (ganancias negativa s) en ese juego? Solución: a) El dominio de la función.

400t

t100G(t)

2 +=

es [0,+∞)

El jugador deberá retirarse cuando obtenga la mayor ganancia, así que debe estudiar el crecimiento de la

función.

La derivada es

( )22

2

400t

)t100(400(t)G'

+

−=

que se anula para t = 20.

El signo de la derivada es:

<⇒>>⇒<

edecrecient es ganancia función la 0(t)G'20t Si

creciente es ganancia función la 0(t)G'20t Si

Como en t = 20, la función pasa de creciente a decreciente para t = 20 minutos obtiene la mayor ganancia y es

el momento óptimo para retirarse del juego.

b) Resulta obvio que la variable tiempo es t ≥0, por tanto G(t)≥0, lo cual indica que en ése juego no hay pérdidas.


dcxbxaxf(x) 23 +++=

Calcula a,b,c,d para que presente un máximo relativ o en el punto (1,2) y un mínimo en (-1,-2). Con eso s valores estudia el crecimiento y decrecimiento de l a función. Solución: La función:

dcxbxaxf(x) 23 +++=

cuyo dominio es R y su derivada :

cbx2ax3(x)f' 2 ++=

verifican:

0d3;c0;b1;a

0cb2a3

2dcba

0cb2a3

2dcba

01)(f'

21)f( :P(-1,-2) punto el En

0(1)f'

2f(1) :P(1,2) punto el En

===−=⇒

=+−−=+−+−

=++=+++

⇒

=−−=−

==

La función resultante es:

dcxbxaxxf +++= 23)(

Resultan evidentes las siguientes conclusiones:

Para que en x = -1 haya mínimo: Si x < -1 la función ha de ser decreciente y para -1 < x < 1 la función ha de ser

creciente

Para que en x = 1 haya máximo: Si -1 < x < 1 la función ha de ser creciente y para x > 1 la función ha de ser

decreciente.

14 Estudia los intervalos de monotonía de las siguient es funciones:

a) 12xx 2

ef(x) +−= b)

( )4xxLf(x) 2 += c)

arctg(x)f(x) =

Solución: a) Dominio: R

Función derivada:

1x2x2

e2)x(2(x)f' +−−=

1x02x20e2)x(20(x)f' 1x2x2

=⇒=−⇒=−⇒= +−

Signo de la derivada:

( )( )

+∞⇒>>∞−⇒<<

1, en crece función la 0(x)f' es 1 x Para

,1 en decrece función la 0(x)f' es 1 x Para

En x = 1 la función presenta un mínimo, ya que pasa de decreciente a creciente.

b) Dominio:

( ) ( )+∞∪−∞− 0,4,

Función derivada:

4)x(x2)2(x

x4x

4x2(x)f'

2 ++=

++=

Dominio2x04)x(x2)2(x

0(x)f' ∉−=⇒=++

⇒=

Signo de la derivada:

( )( )

+∞⇒>>−∞−⇒<<

0, en crece función la 0(x)f' es 0 x Para

4, en decrece función la 0(x)f' es 4- x Para

La función no presenta extremos relativos.

c) Dominio: R

Función derivada:

2x1

1(x)f'

+=

Signo de la derivada: f'(x) > 0 en todos los puntos del dominio, por tanto la función es creciente

No presenta extremos relativos.


x4 exf(x) ⋅=

a) Estudia sus intervalos de crecimiento y decrecim iento y extremos relativos.

b) Estudia sus intervalos de concavidad y convexida d y puntos de inflexión.

Solución:

Dominio de la función R.

Función y derivadas:

( ) ( )12x8xex(x)f" ;4xex(x)f' ;exf(x) 2x2x3x4 ++⋅⋅=+⋅⋅=⋅=

a) Puntos críticos:

( ) ( ) 0x4;x04xx04xex0(x)f' 3x3 =−=⇒=+⋅⇒=+⋅⋅⇒=

Monotonía:

( )( )

( )

+∞>>−<<<

−∞−><

0, en creciente es función la tanto por 0,(x)f' es 0x Si

4,0 en edecrecient es función la tanto por 0,(x)f' es 0x4- Si

4, en creciente es función la tanto por 0,(x)f' es -4 xSi

En x = -4 la función tiene un máximo relativo porque en este punto pasa de creciente a decreciente.

En x = 0 la función tiene un mínimo relativo porque en este punto pasa de decreciente a creciente.

b) Curvatura:

( ) ( ) 0x2;x6;x012x8xx012x8xex0(x)f" 222x2 =−=−=⇒=++⋅⇒=++⋅⋅⇒=

( )( )( )( )

+∞>>−><<

−−<<<−∞−><

0, en convexa es función la tanto por 0,(x)f" es 0 xSi

2,0 en convexa es función la tanto por 0,(x)f" es 0x2- Si

26, en concava es función la tanto por 0,(x)f" es -2x6- Si

6, en convexa es función la tanto por 0,(x)f" es -6 xSi

La función presenta sólo dos inflexiones en x = -6 y en x = -2, puntos donde cambia la curvatura.


L(x)xf(x) 2=

a) Estudia sus intervalos de crecimiento y decrecim iento y extremos relativos.

b) Estudia sus intervalos de concavidad y convexida d y puntos de inflexión. Solución:

Dominio de la función: (0,+∞)


( ) 3L(x)2(x)f" ;1L(x)2x(x)f' L(x);xf(x) 2 +=+==

a) Puntos críticos:

( ) 2/1ex21/L(x)01L(x)201L(x)2x0(x)f' −=⇒−=⇒=+⇒=+⇒=

Monotonía:

( )( )

+∞>>

<<−−

−−

,e en creciente es función la luego 0,(x)f' es e xSi

e0, en edecrecient es función la luego 0,(x)f' es e xSi2/12/1

2/12/1

En:

2/1ex −=

la función tiene un mínimo ya que en dicho punto pasa de decreciente a creciente.

b) Curvatura:

2/3ex2/3L(x)03L(x)20(x)f" −=⇒−=⇒=+⇒=

( )( )

+∞>>

<<−−

−−

,e en convexa es función la luego 0,(x)f" es e xSi

e0, en cóncava es función la luego 0,(x)f" es e xSi2/32/3

2/32/3

En:

2/3ex −=

la función tiene un punto de inflexión, ya que en dicho punto cambia su curvatura.

17 El consumo de gasolina de un coche viene dado en fu nción de su velocidad media v por la función:

v3e

C(v)0,01v

=

medido en litros por hora, cuando la velocidad v se mide en kilómetros por hora, se pide:

a) ¿Cuál será la velocidad media más económica?

b) ¿Cuánta gasolina consumirá cada 100 kilómetros r ecorridos a esa velocidad? Solución: a) Se trata de minimizar la función

v

e3C(v)

v0,01

=

Derivadas:

( ) v0,013

2v0,01

2e3

v10000

20000v200v(v)C" ;e

v100

300v3(v)C' ⋅+−=⋅−=

Para que la función tenga un mínimo en algún punto debe anularse la primera derivada en dicho punto, por

tanto:

1003

300v0300v30e

v100

300v30(v)C' v0,01

2==⇒=−⇒=⋅−

⇒=

Para ( ) 0100C" tiene se 100v >=

se trata de un mínimo

La velocidad más económica es 100v =

km/h

b) A una velocidad de 100v = km/h tarda en recorrer 100 km un tiempo de 1 hora, por tanto:

El consumo de gasolina, viene dado por

( )100

e31100C

1

=⋅

litros

18 La siguiente figura indica la posición de tres ciud ades A, B y C. La distancia entre A y C es de 24 km y entre B y C de 8 km. Se desea hacer un tendido eléc trico entre las ciudades A y B. El tendido que sigu e la

línea CD cuesta 1 unidad monetaria por km, en tanto que el tendido que sigue la línea AD cuesta el tri ple

que el otro. Justifica que el costo del tendido ADB es x8x323 2 −++

, para determinar en qué punto D de la carretera CB hay que desviarse para que el coste total del tendido sea mínimo.

Solución: - Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ACD, se tiene:

( ) 22222 x32x24CDACAD +=+=+=

El coste por kilómetro del tendido ADB, es: C(x)=3⋅AD+1⋅DB, por tanto

x8x323C(x) 2 −++=

es la función que hay que minimizar.

- Derivadas:

( )322x32

96(x)C" 1;

x32

x3(x)C'

+=−

+=

Para que la función tenga un mínimo en algún punto, su primera derivada ha de anularse en dicho punto:

2xx32x9x32x301x32

x30(x)C' 222

2=⇒+=⇒+=⇒=−

+⇒=

Para x = 2, se tiene: C”(2) > 0, se trata de un mínimo

El punto D ha de estar situado a 2 km de la ciudad C.

19 En una oficina de correos sólo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la

anchura sea igual a la altura y además, la suma de ancho, alto y largo sea 72 cm. Halla las dimensione s del

paralelepípedo para que el volumen sea máximo.

Solución: Sean a el ancho, b el alto y c el largo. Las tres dimensiones del paralelepípedo.

El volumen del paralelepípedo es: V =abc

De las condiciones del problema, se tiene:

322 a2a72V(a)a)2(72aV(a)72cba

ba−=⇒−=⇒

=++=

Como V(a) es la función que queremos maximizar, se tiene:

Derivadas:

a12144(a) V";a6a144(a)V' 2 −=−=

La función V presenta un máximo, si su primera derivada es nula en algún punto de su dominio (a > 0), por tanto:

24aDominio;0a0a6a1440(a)V' 2 =∉=⇒=−⇒=

Para a = 24, se tiene V”(24) < 0, se trata de un máximo.

Las dimensiones del paralelepípedo son a = b = c = 24. Se trata de un cubo.


L(x)bxaxf(x) 2 ⋅++=

Encuentra los valores de a y b para los que la func ión en los puntos de abscisas x = 1 y x = 2 tiene d erivada nula. Para los anteriores valores, estudia en qué p untos del dominio la función tiene derivada estrict amente positiva (creciente) y en qué puntos es estrictamen te negativa (decreciente). Solución:

La función:

L(x)bxaxf(x) 2 ⋅++=

tiene como dominio el conjunto de números reales positivos.

- Cálculo de los parámetros a y b:

32

b;61

a0

2b

1a4

0b1a2

0(2)f'

0(1)f'

xb

1ax2(x)f' −=−=⇒

=++

=++⇒

==

⇒++=

- Para los valores anteriores, la expresión de la derivada de la función es:

x32)1)(x(x

(x)f'x3

21

3x

(x)f'−−−=⇒−+−=

2 xo 1x02)1)(x(x0x3

2)1)(x(x0(x)f'

2x102)1)(x(x0x3

2)1)(x(x0(x)f'

0x3

0x3

><⇒<−−−⇒<−−−⇒<

<<⇒>−−−⇒>−−−⇒>

>

>

Derivada 2ª, curvatura 1 Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación:

46x2xf(x) 23 +−=

en su punto de inflexión. Solución:

La función:

4x6x2f(x) 23 +−=

tiene como dominio R.

Derivadas sucesivas:

12x12(x)f" x;12x6(x)f' 2 −=−=

- Puntos de inflexión:

+∞⇒>⇒>−∞⇒<⇒<

=⇒=−=)(1, en convexa f(x)0(x)f"1 xSi

,1)( en cóncava f(x)0(x)f"1 xSi :tiene se 1,x012x12(x)f"

En x = 1, la función tiene un punto de inflexión

- Ecuación de la tangente:

El punto de tangencia es T(1,f(1)) = T(1,0)

Ecuación de la tangente: y - 0 = f'(1)(x - 1); siendo f'(1) = -6

La ecuación que resulta es: y = -6(x - 1) ⇒ 6x + y - 6 = 0

2 Estudia la curvatura de las siguientes funciones:

a) x1

f(x) =

b)

2x

1f(x) =

Solución: a) La función:

x1

f(x) =

tiene como dominio R-{0}


32 x

2(x)f" ;

x

1(x)f' =−=

Signo de la derivada segunda:

( )( )

+∞>>∞−<<

0, en convexa es función la luego 0,(x)f" es 0 xPara

,0 en cóncava es función la luego 0,(x)f" es 0 xPara

La función no presenta inflexiones.

b) La función:

2x

1f(x) =

tiene como dominio R-{0}


43 x

6(x)f" ;

x

2(x)f' =−=


( )( )

+∞>>∞−><


,0 en convexa es función la luego 0,(x)f" es 0 xPara

La función no presenta inflexiones.


a) xf(x) =

b) 3 xf(x) =

Solución: c) La función:

xf(x) =

tiene como dominio [0,+∞).


xx4

1(x)f" ;

x2

1(x)f' −==

Signo de la derivada segunda: Para x > 0 es f”(x) < 0, luego la función es cóncava en (0,+∞)

d) La función:

3 xf(x) =



3 23 2 xx9

2(x)f" ;

x3

1(x)f' −==


( )( )

+∞<>∞−><

0, en cóncava es función la luego 0,(x)f" es 0 xPara


En x = 0, la función cambia su curvatura, por tanto presenta un punto de inflexión en x = 0.


a) 4xf(x) =

b) 6xf(x) =

Solución: e) La función :

4xf(x) =



23 x12(x)f" ;x4(x)f' ==


( )( )

+∞>>∞−><



La función es convexa en su dominio. No presenta puntos de inflexión.

f) La función.

6xf(x) =



45 x30(x)f" ;x6(x)f' ==


( )( )

+∞>>∞−><



La función es convexa en su dominio. No presenta puntos de inflexión.


a) 5xf(x) =

b) 7xf(x) =

Solución: g) La función:

5xf(x) =



34 x20(x)f" ;x5(x)f' ==


( )( )

+∞>>∞−<<




h) La función:

7xf(x) =



56 x42(x)f" ;x7(x)f' ==


( )( )

+∞>>∞−<<





a)

x5f(x) = b)

(x)logf(x) 5=

Solución: i) La función:

x5f(x) =



(5)L5(x)f" 5;L5(x)f' 2xx ⋅=⋅=

Signo de la derivada segunda: Para x∈R es f”(x) > 0, luego la función es convexa en R.

No presenta puntos de inflexión.

j) La función.

(x)logf(x) 5=

tiene como dominio (0,+∞)


elogx

1(x)f" e;log

x1

(x)f' 525 ⋅−=⋅=

Signo de la derivada segunda: Para x∈(0,+∞) es f”(x) < 0, luego la función es cóncava en su dominio.

No presenta puntos de inflexión.

7 Estudia qué tipo de crecimiento cóncavo o convexo t ienen las siguientes funciones:

a) Lxf(x) =

b) xef(x) =

c) xf(x) =

Solución: a) La función:

Lxf(x) =

tiene como dominio (0,+∞)


2x

1(x)f" ;

x1

(x)f' −==

Para x > 0, se tiene f'(x) > 0 y f”(x) < 0, luego la función es creciente y cóncava.

b) La función:

xef(x) =

tiene como dominio R


xx e(x)f" ;e(x)f' ==

Para todo x∈R, se tiene f'(x) > 0 y f”(x) > 0, luego la función es creciente y convexa.

c) La función:

xf(x) =

tiene como dominio [0,+∞)


xx4

1(x)f" ;

x2

1(x)f' −==

Para todo x∈R+, se tiene f'(x) > 0 y f”(x) < 0, luego la función es creciente y cóncava.

8 ¿Cuál de estas dos gráficas corresponde a la deriva da segunda de una función cóncava en (a,b) y convex a

en (b,c)?

Solución:

Figura a)

- Para x < b es f”(x) < 0, luego la función es cóncava en (a,b)

- Para x > b es f”(x) > 0, luego la función es convexa en (b,c)

Figura b)

- Para x < b es f”(x) > 0, luego la función es convexa en (a,b)

- Para x > b es f”(x) < 0, luego la función es cóncava en (b,c)

La respuesta correcta es la gráfica de la figura a)

9 Estudia la curvatura de la función:

24 6xxf(x) −=

Solución:

La función:

24 x6xf(x) −=

tiene como dominio R


12x12(x)f" x;12x4(x)f' 23 −=−=

- Intervalos de curvatura:

1x1;x012x120(x)f" 2 =−=⇒=−⇒=

Estudiamos el signo de f”(x):

( )( )( )

+∞>>−<<<−

−∞−>−<


1,1 en cóncava es función la luego 0,(x)f" es 1x1 Para



En x = -1 hay un punto de inflexión, dado que en dicho punto cambia la curvatura

En x = 1 hay un punto de inflexión, dado que en dicho punto cambia la curvatura

10 Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión, s i los tiene, de la función:

9x

xf(x)

2

2

−=

. Solución:

El dominio de la función:

9x

xf(x)

2

2

−=

es R-{±3}


( ) ( )32

2

22 9x

162x54(x)f" ;

9x

x18(x)f'

−

+=−

−=

- Máximos y mínimos relativos:

( ) 0x09x

x180(x)f'

22=⇒=

−

−⇒=

( )0

9

162(0)f"

3<

−=

por tanto en x = 0, la función presenta un máximo relativo en el punto M(0,f(0)) = M(0,0)


( ) 0162x5409x

162x540(x)f" 2

32

2

=+⇒=−

+⇒=

la ecuación no tiene solución, por tanto la función no tiene inflexiones.

11 Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de l a función cuya derivada segunda está dada por la gr áfica

siguiente:

Solución: De la representación gráfica de la derivada segunda de la función, se deduce:

- Para x < - 1 es f”(x) < 0, luego la función es cóncava en (−∞,−1)

- Para x > - 1 es f”(x) > 0, luego la función es convexa en (−1,+∞)

En el punto de abscisa x = - 1, la función presenta una inflexión ya que cambia su curvatura.


cbxaxxf(x) 23 +++=

Calcula a, b y c para que pase por el punto (1,-5), presente un extremo relativo en x=2 y un punto de inflexión en x=0. Para los valores encontrados ante s, calcula todos sus extremos relativos y calcula además los valores máximo y mínimo de f(x) en el in tervalo [-3,5]. Solución: Función y derivadas:

a2x6(x)f" b;ax2x3(x)f' c;bxaxxf(x) 223 +=++=+++=

De las condiciones del enunciado, se tiene:

6c12;b0;a

0a2

0ba412

5cba1

0(0)f"

0(2)f'

5f(1)

=−==⇒

==++

−=+++⇒

==

−=

Con los valores calculados obtenemos las expresiones siguientes para la función y sus derivadas:

x6(x)f" 12;x3(x)f' 6;x12xf(x) 23 =−=+−=

- Extremos relativos:

cbxaxxxf +++= 23)(

- Máximos y mínimos de la función en [-3,5]:

Signo de f'(x):

cbxaxxxf +++= 23)(

Del estudio anterior podemos establecer gráficamente la evolución de la función en el intervalo considerado

Valor mínimo de f(x) en [-3,5] es el menor de los valores: f(-3) = 15 y f(2)=-10; por tanto -10

Valor máximo de f(x) en [-3,5] es el mayor de los valores: f(-2) = 22 y f(5)= 71; por tanto 71

Por tanto, se tiene:

[ ] 71f(x)10 :3,5x ≤≤−−∈∀

13 Dada la curva:

)L(xx2

y 2+=

Calcula: a) Un punto M de su gráfica cuya tangente sea paral ela al eje de abscisas b) El punto I de inflexión de su gráfica. c) Halla el punto J intersección del par de rectas tangentes trazadas a la curva por los puntos M e I. Solución:

El dominio de la función es R-{0}

Función y derivadas sucesivas:

322

x

x)2(2(x)f" ;

x

1)2(x(x)f' );L(x

x2

f(x)−=−=+=

a) Cálculo de M(a,f(a)) de tangencia horizontal:

( )1,2M2f(a)1a0a

1)2(a0(a)f'

2⇒=⇒=⇒=−

⇒=

b) Cálculo del punto I(b,f(b)) de inflexión:

( )( )( )

+∞<>><<

∞<<=⇒=−

⇒=2, en cóncava es función la luego 0,(x)f" es 2 xSi

0,2 en convexa es función la luego 0,(x)f" es 2x0 Si

,0- en cóncava es función la luego 0,(x)f" es 0 xSi

:tiene se 2,x0x

x)2(20(x)f"

3

El único punto de inflexión es I(2,f(2)) = I(2,1+L4)

c) Cálculo del punto J:

Tangente en M:

02y1)(1)(xf'2y =−⇒−=−

Tangente en I:

04L2y2x2)(2)(xf'4)L(1y =+−⇒−=+−

Las coordenadas de J son solución del sistema:

4,2)L2J(42y4;L24x04L2y2x

02y−⇒=−=⇒

=+−=−

14 En la figura se representa la gráfica de la derivad a f' de cierta función. Con este dato, determina si existen

máximos, mínimos (relativos) o puntos de inflexión de la función f en los puntos de abscisas x=1 y x= 2.

Solución: - Extremos relativos:

Observando la figura, se tiene:

Si x < 1, es f'(x) > 0, luego la función es creciente para x < 1

Si x > 1, es f'(x) < 0, luego la función es decreciente para x > 1

Si x = 1, f'(1) = 0, y como en este punto f(x) pasa de ser creciente a ser decreciente, en x = 1 hay máximo

relativo.

- Inflexiones:

En x = 2, la gráfica de la derivada admite tangente horizontal.

Las pendientes de las tangentes a la gráfica de f'(x), vienen dadas por m = f”(x), por tanto f”(2) = 0

En x = 2 puede haber inflexión.

Sea a < 2 una abscisa próxima a x = 2. Las tangentes en a, tienen pendientes negativas f”(a) < 0 ⇒ f(x) cóncava

Sea b > 2 una abscisa próxima a x = 2. Las tangentes en b, tienen pendientes positivas f”(b) > 0 ⇒ f(x) convexa

Evidentemente en x = 2 hay un punto de inflexión porque la curvatura de la curva f(x) cambia.

Representación gráfica de funciones 1 Representa la función:

1-x2x-xf(x) 23 +=.

Solución: Función y derivadas:

4x6(x)f" 1;x4x3(x)f' 1;x-x2-xf(x) 223 −=+−=+=

Dominio y puntos de corte: Dominio R.

Corte con OX: f(x) = 0, no tiene soluciones racionales.

Corte con OY: f(0) = -1⇒ (0,-1)

Monotonía y extremos relativos:

( )

−>=

−<

=⇒=+−⇒=

11, mínimo un de trata se 0(1)f" 1;x

2723

,31

máximo un de trata se 031

f";31

x01x4x30(x)f' 2

Intervalos de crecimiento:

( )+∞∪

∞− 1,31

,

Intervalos de decrecimiento:

,1

31

Curvatura e inflexiones:

+∞>⇒>

∞−<⇒<=⇒=−⇒=

,32

en convexa 0f"32

xSi

32

, en cóncava 0f"32

xSi

;32

x04x60(x)f"

Por tanto en x = 2/3 hay un punto de inflexión.

2 Representa la función:

910x-xf(x) 24 +=.

Solución:

Función y derivadas: 20x12(x)f" x;20x4(x)f' 9;x10-xf(x) 2324 −=−=+=

Dominio y puntos de corte: Dominio R.

Corte con OX:

⇒=⇒=

−⇒−=−⇒−=

⇒=

(3,0) 3x

(1,0) 1x

1,0)(1x

3,0)(3x

0f(x)

Con OY: f(0) = 9 ⇒ (0,9)

Monotonía y extremos relativos:

( )( )

( )

>=

<=>−−=

⇒=−⇒=

mínimo un de trata se 05f" ;5x

máximo un de trata se 00f" 0;x

mínimo un de trata se 05f" ;5x

0x20x40(x)f' 3

Intervalos de decrecimiento ( ) ( )50,5, ∪∞−

Intervalos de crecimiento ( ) ( )+∞∪− ,5,05

Curvatura y puntos de inflexión:

<

−∈

>

+∞∪

−∞−∈

⇒±=⇒=−⇒=

concava 0f" 35

,35

xSi

convexa 0f" ,35

35

, xSi

35

x020x120(x)f" 2

Por tanto en los puntos de abcisas

35

x ±=

hay inflexiones.

3 Averigua y representa una función cuadrática que pa sa por el punto (4,6) y tiene un mínimo en el punto 2 de valor - 2. Solución: - Cálculo de parámetros:


a2(x)f" b;ax2(x)f' c;bxaxf(x) 2 =+=++=

Condiciones del problema:

6c8;b2;a

0ba4

2cb2a4

6cb4a16

0(2)f'

2f(2)

6f(4)

=−==⇒

=+−=++

=++⇒

=−=

=

Con esos valores, se tiene:

4(x)f" 8;x4(x)f' 6;x8x2f(x) 2 =−=+−=

Curvatura: f” > 0, convexa (ramas hacia arriba)

Vértice, punto mínimo: f'(x) = 0 ⇒ 4x - 8 = 0

Resolviendo: x = 2: V(2,f(2)) = V(2,-2)

Cortes con los ejes:

( )( )

⇒=

⇒=⇒=

⇒=

(0,6)6f(0) :OY Con

3,03x

1,01x0f(x) :OX Con


1xxf(x) 2 ++=.

Solución:

La gráfica es una parábola.

Derivadas:

2(x)f" 1;x2(x)f' =+=

- Curvatura: f”(x) > 0; es convexa con las ramas hacia arriba

- Corte con OX:

01xx0f(x) 2 =++⇒=

no tiene solución, por tanto no corta a OX

- Corte con OY: f(0) = 1 ⇒ Corte en (0,1)

21

x01x20(x)f' −=⇒=+⇒=

Punto mínimo = Vértice

=

43

,21

-V21

-f,21

-V

- Intervalos de decrecimiento

−∞21

,-

- Intervalo de crecimiento

+∞− ,21

5 Dada la función:

>+≤+=

1x si 3ax

1x si 1xf(x)

2

.

Calcula a, para que la función sea continua en toda la recta real y representa la función obtenida. Solución: - Cálculo de a:

Cada una de las funciones parciales que definen la función son continuas en sus dominios.

Para que sea continua en x = 1, debe cumplir:

1a3a2f(x)limf(x)limf(1)1x1x

−=⇒+=⇒==+− →→

La función que resulta es:

>+−≤+=

1 xsi 3x

1 xsi 1 xf(x)

2

- Representación gráfica:

Para x ≤ 1, la función y sus derivadas son:

2(x)f" x;2(x)f' 1;xf(x) 2 ==+=

Curvatura: f” > 0, convexa (ramas hacia arriba)

Punto mínimo, vértice: f'(x) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ V(0,1)

Cortes con los ejes:

⇒==+⇒=

(0,1)1f(0) :OY Con

real solución tiene no 0,1x0f(x) :OX Con 2

Para x > 1, la función es una recta

Pendiente = -1


18x-2xf(x) 3 +=

Solución: Función y derivadas:

x12(x)f" 8;x6(x)f' 1;x8-x2f(x) 23 =−=+=

Dominio y Puntos de Corte: Dominio R.

Corte con OX: f(x) = 0, no hay soluciones racionales.

Corte con OY: f(0) = 1 ⇒ (0,1)

Monotonía y Extremos relativos:

( )( )

>=

<−−=⇒=−⇒=

mínimo un de trata se 03/4f" ;3/4x

máximo un de trata se 03/4f" ;3/4x08x60(x)f' 2

Intervalos de decrecimiento:

−

34

,34

Intervalos de crecimiento:

+∞∪

−∞− ,

34

34

,

Curvatura y Puntos de inflexión:

( )( )

+∞>>∞<<

=⇒=⇒==0, en convexa 0f" 0 xSi

,0- en cóncava 0f" 0 xSi0;x0x120x12(x)f"

Por tanto en x = 0 hay un punto de inflexión


1x

xf(x)

2

3

−=

. Solución:


( )( )

( )( )32

2

22

22

21x

3xx2(x)f" ;

1x

3xx(x)f' ;

1x

xxf(x)

−

+=−

−=−

+=

Dominio, cortes y asíntotas: Dominio R-{-1,1}

Punto de corte (0,0)

Asíntotas verticales: x = -1; x = 1

Posición de la curva:

+∞=−∞=

+∞=−∞=

+−

+−

→→

−→−→

f(x)lim ;f(x)lim

f(x)lim ;f(x)lim

1x1x

1x1x

Asíntota oblicua: y = x

Posición:

=−

=−

+

+∞→

−

−∞→

asíntota la de encima por curva 0xf(x)lim

asíntota la de debajo por curva 0xf(x)lim

x

x

La curva y la asíntota oblicua se cortan en (0,0)

Máximos, mínimos y monotonía: ( ) 3x;3x0;x03xx0(x)f' 22 =−==⇒=−⇒=

Para x = 0, f”(0) = 0, no es extremo relativo.


1x

1xf(x)

2

2

+−=

. Solución:


( )( )

( )32

2

2221x

1x34(x)f" ;

1x

x4(x)f' ;

1x

21f(x)

+

−−=+

=+

−=

Dominio, cortes y asíntotas: Dominio R

Punto de corte (0,-1); (-1,0); (1,0)

Asíntota horizontal: y = 1

Posición:

=−

=−

−

+∞→

−

−∞→

asíntota la de debajo por curva 01f(x)lim


x

x

Máximos, mínimos y monotonía: f'(x) = 0 ⇒ x = 0

Para x = 0, f”(0) > 0, se trata de un mínimo en el punto (0,-1)

Intervalos de crecimiento (0,+∞). Intervalos de decrecimiento (-∞,0)

Puntos de inflexión y curvatura: 33

x;33

x01x30(x)f" 2 =−=⇒=−⇒=

Intervalos de convexidad:

−

33

,33

. Intervalos de concavidad:

+∞∪

−∞− ,

33

33

,

9 Representar las siguientes funciones trigonométrica s: a) y = sen x + π b) y = sen(x + π ) Solución:

-6 -4 -2 2 4 62.5

3.5

4

b)

-6 -4 -2 2 4 6

-1-0.5

0.51


1x

xf(x)

2 −=

. Solución:


( )( )

( )32

2

22

2

21x

3xx2(x)f" ;

1x

1x(x)f' ;

1x

xf(x)

−

+=−

+−=−

=

Dominio, cortes y asíntotas: Dominio R -{-1,1}

Punto de corte (0,0)

Asíntotas verticales: x = -1; x = 1

Posición de la curva:

+∞=−∞=

+∞=−∞=

+−

+−

→→

−→−→

f(x)lim ;f(x)lim

f(x)lim ;f(x)lim

1x1x

1x1x

Asíntota horizontal: y = 0

Posición:

=

=

+

+∞→

−

−∞→

asíntota la de encima por curva 0f(x)lim


x

x

Máximos, mínimos y monotonía:

01x0(x)f' 2 =+⇒=

.

No tiene raíces reales. No hay extremos relativos.

f'(x) < 0 en su dominio. La función decrece en todos los puntos de su dominio.

Puntos de inflexión y curvatura: f”(x) se anula en x = 0, por lo que (0,0) es punto de inflexión.

Intervalos de convexidad: (-1,0)U(1,+∞). Intervalos de concavidad: (-∞,-1)U(0,1)


( )22

1x

xf(x)

−=

. Solución:


( ) ( )( )( )432

2

1x

1x22(x)f" ;

1x

x2(x)f' ;

1x

xf(x)

−+=

−=

−=

Dominio, cortes y asíntotas: Dominio R - {1}

Cortes (0,0)

Asíntota vertical x = 1: Posición

+∞=

+∞=

+

−

→

→

f(x)lim

f(x)lim

1x

1x

Asíntota horizontal y = 1: Posición

=−

=−

+

+∞→

−

−∞→

asíntota la de encima por está curva la 01f(x)lim

asíntota la de debajo por está curva la 01f(x)lim

x

x

Máximos y mínimos. Monotonía: f'(x) = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0

Para x = 0; f”(0) > 0, se trata de un mínimo en el punto (0,0)

Intervalos de crecimiento (0,1)

Intervalos de decrecimiento (-∞,0)∪(1,+∞)

Puntos de inflexión. Curvatura: f”(x) = 0 ⇒ 2x + 1 = 0 ⇒ x = -1/2

La función es cóncava en (-∞,-1/2)

La función es convexa en (-1/2,+∞)-{1}

12 Representar las siguientes funciones trigonométrica s: a) y = cos 2x b) y = 2cos x Solución:

-6 -4 -2 2 4 6

-1-0.5

0.51

b)

-6 -4 -2 2 4 6

-2

-1

1

2


( )4-xx

16f(x)

2=

. Solución:


( )( )( )

( )( )34

2

232 4xx

24x16x364(x)f" ;

4xx

8x316(x)f' ;

4xx

16f(x)

−+−=

−−−=

−=

Dominio, cortes y asíntotas: Dominio R-{0,4}.

Puntos de corte no hay.

Asíntotas verticales x = 0; x = 4. Posición:

+∞=−∞=

−∞=−∞=

+−

+−

→→

→→

f(x)lim ; f(x)lim

f(x)lim ; f(x)lim

4x4x

0x0x

.

Asíntota horizontal: y = 0. Posición:

=

=

+

+∞→

−

−∞→

asíntota la de encima por curva 0f(x)lim


x

x

Máximos, mínimos y monotonía: f'(x) = 0 ⇒ x =8/3

Para x = 8/3, f”(8/3) < 0, se trata de un máximo en el punto

−1627

,38

Intervalos de crecimiento

38

0,

. Intervalos de decrecimiento

( ) ( )+∞∪

∪∞− 4,,438

,0

Puntos de inflexión y curvatura: 024x16x30(x)f" 2 =+−⇒=

,

la ecuación no tiene raíces. No hay puntos de inflexión.

Intervalos de convexidad: ( )+∞4,

. Intervalos de concavidad: ( ) ( )0,4,0 ∪∞−

14 En las siguientes gráficas están dibujadas las func iones derivadas de dos funciones f(x) y g(x). Haz un

esbozo de las gráficas de esas funciones, a partir de la información que proporcionan las derivadas,

Solución:

Función f(x):

Por ser f'(x) una función lineal, es una parábola

Para todo x < 4 es f'(x) > 0, f(x) es creciente.

Para todo x > 4 es f'(x) < 0, f(x) es decreciente.

En x = 4, f(x) presenta un máximo.

La función f(x) es una parábola cóncava, de la forma: C4)(xf(x) 2 +−−=

Función g(x):

Por ser g'(x) una función lineal, es una parábola

Para todo x < -1 es g'(x) < 0, g(x) es decreciente.

Para todo x > -1 es g'(x) > 0, g(x) es creciente.

En x = -1, g(x) presenta un mínimo.

La función g(x) es una parábola convexa, de la forma: C1)(xg(x) 2 ++=

15 Representar y = sen 2x por el cambio de variable t = 2x. Solución: Es equivalente a representar la función y = sen t y después cambiar t por 2x, es decir, realizar un cambio de escala.

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

16 Representar la función y = e x + e-x. Solución:

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

17

Representar y = log 3x e

xlogy31=

y relacionarlas. Solución:

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-3

-2

-1

1

2

3

Son simétricas respecto al eje de abscisas.

· definición de derivada 1 dada la función: f(x) =x2 −ax se sabe que su tasa de variación...

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