DÍA 41 * 1º BAD CT

DERIVADA

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

• Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente:

• f (b) - f(a)• TVM = ----------------- • b - a

• Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo.

• b – a es la variación o incremento de x, Δx.• f(b) – f(a) es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy.

• TVM = Δy / Δx = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)).

Incremento de una función (1)

• Sea la función f(x) = x Verde• Sea la función g(x) = x2 Rojo

• Ambas funciones presentan el mismo incremento de x:

• Δy = f(2) – f(0) = 2• Δy = g(2) – g(0) = 22 – 0 = 4

• TVM de f(x):• TVM = Δy / Δx = 2 / 2 = 1• TVM de g(x):• TVM = Δy / Δx = 4 / 2 = 2

• El crecimiento medio de g(x) es el doble que el de f(x).

a=0 1 b=2 x

y

4

Incremento de una función (2)

• Sea la función f(x) = x / 2 Verde• Sea la función g(x) = x2/ 8 Rojo• Sea la función h(x) = √x Azul• Ambas funciones presentan en el

intervalo cerrado [0, 4] el mismo incremento de la función:

• Δy = f(4) – f(0) = 2• Δy = g(4) – g(0) = 2• Δy = h(4) – h(0) = 2• Las TVM de ambas son:• TVM = Δy / Δx = 4 / 4 = 1

• Sin embargo está muy claro que su comportamiento en dicho intervalo en muy diferente. a=0 b=4 x

y

f(4)=g(4)=h(4)=2

• Ejercicio

• Sea la función f(x) = x3 – 4x

• Hallar la TVM de la función en:• [-4,-2], [0,2] y [-1, 1]

• En [-4,-2]• f (- 4) - f(-2) - 48 - 0• TVM = ----------------- = --------- = 24 • - 4 – (-2) - 2

• En [0, 2]• f (2) – f (0) 0 - 0• TVM = ----------------- = --------- = 0 • 2 – 0 2

• En [-1, 1]• f (1) – f (-1) - 3 - 3• TVM = ----------------- = --------- = - 3 • 1 – (-1) 2

-2 -1 0 1 2 x

y=f(x)

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA

• Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama:

• Tasa de variación INSTANTÁNEA

• de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños:

• f (a + Δx) – f (a)• TVI = lím ------------------------- • Δx 0 Δx

• a=0 4 x

y

2

f(x) = x / 2

g(x) = x2/ 8

h(x) = √x

• Tasa de variación INSTANTÁNEA • f (a + Δx) – f (a)• TVI = lím ------------------------- • Δx 0 Δx

• En las proximidades de a=0

• (0+ Δx )/2 – 0/2 • TVI [f(x)]= lim ---------------------- = ½• Δx 0 Δx • (0+ Δx)2/2 – 02/2 • TVI [g(x)]= lim ------------------- = h = 0• Δx 0 Δx • √(0+ Δx) – √0 • TVI [g(x)]= lim -------------------- = • Δx 0 Δx • √Δx √Δx √Δx 1 1• = lim ------- = lim -------------- = ------- = --- = oo • Δx 0 Δx Δx0 Δx √Δx √Δx 0

a=0 4 x

y

2

f(x) = x / 2

g(x) = x2/ 8

h(x) = √x

DERIVADA EN UN PUNTO DE UNA FUNCIÓN

• Sea la función y = f(x) que se muestra en el gráfico mediante una curva.

• Si tomamos los puntos Po y P1• y los unimos mediante una recta,

dicha recta será secante a la función que representa la curva trazada.

• La pendiente m de dicha recta será:

• Δ y y1 - yo • m1 = ------ = ------------ , • Δ x x1 - xo• es decir el incremento de la

ordenada entre el incremento de la abscisa

• Imaginemos que el punto P1 se traslada hasta el punto P2.

y1

yo

xo x1

P1

P2

Po

• Tanto la abscisa como la ordenada han cambiado, han disminuido de valor, y la recta secante también ha variado de posición.

• La pendiente m de la nueva secante será:

• Δ y y2 - yo • m2 = ------ = ------------- , • Δ x x2 - xo• es decir el incremento de la

ordenada entre el incremento de la abscisa.

• Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero.

y2

yo

xo x2

P2

P1

Po

y1

y2

yo

xo x2 x1

• La recta secante terminará convertida en una RECTA TANGENTE, pues será tangente a la función en el punto estudiado Po = (xo, yo)

• La pendiente de esa recta tangente será:

• yn - yo 0

• m = lím ------------- = [----]

• xxo xn - xo 0• f(xo+h) – f(xo) 0• m = lím ------------------- = ----• h0 h 0

• A ese límite concreto, si existe, es lo que llamamos DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( en Po )

• Se denota así: f ’(xo)

Po

• EJEMPLO 1

• Sea la función y = 3 x + 4• Hallar f ´(1)

• f(1+h) – f(1) 3(1+h) + 4 – ( 3.1+ 4)• f ’(1) = lím ----------------- = lím ------------------------------ =• h0 h h0 h

• 3 + 3.h + 4 – 3 – 4 3,h• = lím ----------------------------- = lim ------- = 3 • h0 h h0 h•

• f ’(1) = 3

Ejemplos

• EJEMPLO 2

• Sea la función y = – 2.x + 3• Hallar f ´(3)

• f(3+h) – f(3) – 2 (3+h) + 3 – ( – 2.3+ 3)• f ’(3) = lím ----------------- = lím ------------------------------------- =• h0 h h0 h

• – 6 – 2h + 3 + 6 – 3 – 2.h • = lím --------------------------- = lim --------- = – 2 • h0 h h0 h•

• f ’(3) = – 2

Ejemplos

• EJEMPLO 3

• Sea la función y = - x2 + 4x• Hallar f ’(1)

• f(1+h) – f(1) – (1+h)2 + 4.(1+h) – (– 1+ 4)• f ’(1) = lím ----------------- = lím ---------------------------------------- =• h0 h h0 h

• – 1– 2.h – h2 + 4 + 4h + 1 – 4• = lím ----------------------------------------- =• h0 h• • 2h - h2 • = lím ---------- = 2 – h = 2 – 0 = 2 f ’(1) = 2 • h0 h

Ejemplos

• EJEMPLO 4

• Sea la función y = 3.x2 – 4• Hallar f ’(2)

• f(2+h) – f(2) 3(2+h)2 – 4 – (3.22 – 4)• f ’(2) = lím ----------------- = lím --------------------------------- =• h0 h h0 h

• 3.(4 + 4h + h2) – 4 – 12 + 4• = lím -------------------------------------- =• h0 h• • 12h + 3h2 • = lím ------------- = 12 + 3h = 12 + 3.0 = 12 f ’(2) = 12 • h0 h

Ejemplos

PENDIENTE Y DERIVADA

0 a b c

• Observar la gráfica de la función.• La tangente a la gráfica en x=b

será una recta horizontal y por tanto de pendiente m=0

• Conclusión: • Aquellos puntos de la función

cuya derivada valga cero, serán los Máximos (o los Mínimos) relativos de dicha función.

• La recta tangente a la gráfica en x=a tiene pendiente positiva.

• La recta tangente a la gráfica en x=c tiene pendiente negativa

• Conclusión: • En aquellos puntos cuya derivada

sea negativa (m<0), la función será DECRECIENTE.

• Y si su derivada es positiva (m>0), la función será CRECIENTE.

m>0

m=0

m<0

0 1

• EJEMPLO DE APLICACIÓN

• Sea la función y = - x2 + 4x• Hallar la recta tangente y la recta normal

en x=1• f(1+h) – f(1)• f ’(1) = lím ----------------- =• h0 h

• - (1+h)2 + 4.(1+h) – ( - 1+ 4)• = lím ----------------------------------- =• h0 h

• -1-2h-h2 + 4 + 4h + 1 - 4• = lím --------------------------------- =• h0 h• • 2h - h2 • = lím ---------- = 2 – 0 = 2• h0 h

• f ’(1) = m = 2 > 0 Creciente

• Sea la función y = - x2 + 4x• m(tangente) = 2 en x=1• f(1)= – 1 + 4 = 3• Por la ecuación punto-pendiente:• Recta tangente:• y – 3 = 2.(x – 1)• Recta normal:• y – 3 = (– ½) .(x – 1)

0 3

• … EJEMPLO DE APLICACIÓN

• Sea la función y = - x2 + 4x• Hallar la recta tangente y la recta

normal en x=3• f(3+h) – f(3)• f ’(3) = lím ----------------- =• h0 h

• - (3+h)2 + 4.(3+h) – (- 9+ 12)• = lím ----------------------------------- =• h0 h

• -9-6h-h2 + 12 + 4h + 9 - 12• = lím ----------------------------------- =• h0 h• • - 2h - h2 • = lím ---------- = - 2 – 0 = - 2• h0 h

• f ’(3) = m = - 2 < 0 Decreciente

• Sea la función y = - x2 + 4x• m(tangente) = -2 en x=3• f(3)= – 9 + 12 = 3• Por la ecuación punto-pendiente:• Recta tangente:• y – 3 = – 2.(x – 3)• Recta normal:• y – 3 = ( ½) .(x – 3)

0 2

• … EJEMPLO DE APLICACIÓN

• Sea la función y = - x2 + 4x• Hallar la recta tangente y la recta

normal en x=2• f(2+h) – f(2)• f ’(2) = lím ----------------- =• h0 h

• - (2+h)2 + 4.(2+h) – (- 4+ 8)• = lím ----------------------------------- =• h0 h

• - 4 - 4h -h2 + 8 + 4h + 4 - 8• = lím ----------------------------------- =• h0 h• • - h2 • = lím ---------- = - h = - 0• h0 h

• f ’(2) = m = 0 Máx o Mín

• Sea la función y = - x2 + 4x• m(tangente) = 0 en x = 2• f(2)= – 4 + 8 = 4• Por la ecuación punto-pendiente:• Recta tangente:• y – 3 = 0.(x – 2) ,, y – 3 = 0 ,, y = 3• Recta normal:• y – 3 = ( 1/0) .(x – 2) ,,0 = x – 2 ,, x=2