DERIVADAS

DERIVADAS Pág. 2mjpmjp

Tasa se variación media

Llamamos tasa de variación media de una función f entre a y b con a < b al cociente entre la variación de f(x) y la de x en el intervalo [a, b].

ab

afbfMVT

)()(

...

Ejemplo:

14

1)( 2 xxf

ab

afbfMVT

)()(]4,2.[..

5.12

3

24

25

a

f(a)

b

f(b)

b – a

f(b) – f(a)

DERIVADAS Pág. 3mjpmjp

La tasa de variación media de una función f en el intervalo [a, b] coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Tasa se variación media. Interpretación geométrica.

mab

afbfMVT

)()(

...

5.12

3m

Así, la pendiente de la recta secante del ejemplo es:

b – a

f(b) – f(a)

Recta secante

(a, f(a))

(b, f(b))

DERIVADAS Pág. 4mjpmjp

Tasa se variación instantánea

ab

afbfMVT

)()(

...

h

afhafMVT

)()(...

Si hacemos b = a + h, también podemos expresar la T.V.M. como:

Cuando h 0 la Tasa de variación media tiende a la Tasa de variación instantánea:

h

afhafh

)()(lim

0

DERIVADAS Pág. 5mjpmjp

Tasa se variación instantánea. Interpretación geométrica.

Hemos visto que la T.V.M. de f en el intervalo [a, a+h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)).

Cuando h0, la recta secante se va aproximando a la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x = a.

Cuando h0 , a+ha

Recta tangente en x = a

DERIVADAS Pág. 6mjpmjp

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

Derivada de una función en un punto

Llamamos derivada de la función f en el punto x = a al límite, si existe:

ax

afxfax

)()(lim

Si hacemos b = a + h, la derivada de una función en un punto también se puede expresar:

Lo representamos por f(a) y decimos que la función f es derivable en x = a.

DERIVADAS Pág. 7mjpmjp

4)4(0

hlímh

La derivada de f(x) = x2 + 1 en x = 2 es:

h

hlímh

30

La derivada de f(x) = 3x – 2 en x = 1 es:

h

fhflímfh

)2()2()2('

0

h

hlímh

1212 22

0

h

hhlímh

14144 2

0

h

hhlímh

42

0

h

fhflímfh

)1()1()1('

0

h

hlímh

2132130

h

hlímh

232330

3)3(

0

hlím

EJEMPLOS

DERIVADAS Pág. 8mjpmjp

Interpretación geométrica de la derivada

La derivada de la función f en el punto x = a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f(a))

La ecuación punto-pendiente de una recta no vertical de pendiente m que pasa por el punto (x0, y0) es

y – y0 = m(x – x0).

La ecuación punto-pendiente de una recta no vertical de pendiente m que pasa por el punto (x0, y0) es

y – y0 = m(x – x0).

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) es:

y – f(a) = f’(a)(x – a)

tangente en (a, f(a))

DERIVADAS Pág. 9mjpmjp

y – 15 = 6(x – 3)

y = 6x – 18 + 15

Cálculo de la recta tangente en un punto.EJEMPLO

Halla la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = x2 + 6 en x = 3

Buscamos la ecuación de la recta que pasa por el punto (x =3, y =15) con m = f ’ (3) = 6

Solución: La pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada en ese punto

f ’(x) = 2x

Como x = 3, debemos hallar m= f’ (3) y f(3) :

x = 3 entonces m =f’ (3) = 2·3 = 6

x = 3 entonces f(3) = (3)2 + 6 = 15

La ecuación de la recta tangente en x = 3 es: y = 6x – 3

y – f(a) = f ’(a)(x – a)

DERIVADAS Pág. 10mjpmjp

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

Función derivada

El dominio de la función derivada está formado por todos los puntos para los que la función f es derivable.

Otras notaciones para la derivada:

'ydx

dy

dx

df)(xf

dx

d

La derivada de la función f(x) con respecto a la variable x es la función f (x)cuyo valor para x es

DERIVADAS Pág. 11mjpmjp

Derivadas de las principales funciones.

Derivada de una constante

Derivada de una función potencial

Derivadas de las funciones trigonométricas

Derivadas de las funciones logarítmicas

Derivada de las funciones exponenciales

xxf

1)(

axxf

ln

11)(

f (x) = k

f (x) = xn

f (x) = sen x

f (x) = cos x

f (x) = ln x

f (x) = loga x

f (x) = ex

f (x) = ax

f (x) = ex

f (x) = ax · lna

f (x) = cos x

f (x) = –sen x

f (x) = 0

f (x) = n · xn–1

Función Derivada

DERIVADAS Pág. 12mjpmjp

Reglas de derivación

Derivada de una constante por una función

Derivada de la suma (resta)

Derivada de un polinomio.

f (x) = c · g (x) f (x) = c · g (x)

EJEMPLOS

f (x) = g (x) h (x) f (x) = g (x) h (x)

f (x) = 4x3 f (x) = 4·3x2 = 12x2

f (x) = 2cos x f (x) = –2sen x

EJEMPLOS f (x) = x3 + ex f (x) = 3x2 + ex

f (x) = x – sen x f (x) = 1 – cos x

EJEMPLO f (x) = x4 + 2x3 – 5x2 + 4x – 7

f (x) = 4x3 + 6x2 – 5x + 4

DERIVADAS Pág. 13mjpmjp

F(x) es el producto de dos funciones: F(x) = 5x2 ·(x3 + 2)

Regla del Producto

F (x) = f (x)·g (x)

Halla la derivada de F(x) = 5x2 (x3 + 2)EJEMPLO

f (x) = 5x2

g (x) = x3 + 2

f (x) = 10x

g (x) = 3x2

F (x) = 10x ·(x3 + 2) + 5x2 · 3x2

= 10x4 + 20x + 15x4 = 25x4 + 20x

F (x) = f (x)·g (x) + f (x)·g(x)

DERIVADAS Pág. 14mjpmjp

F(x) es el cociente de dos funciones:

Regla del Cociente

f (x) = 3x

g (x) = 2x + 5

f (x) = 3

g (x) = 2

52

3)(

x

xxFyHalla la derivada deEJEMPLO

)(

)()(

xg

xfxF

2)]([

)()()()()(

xg

xgxfxgxfxF

3·(2x + 5) – 3x ·2

(2x + 5)2F’(x) =

15

(2x + 5)2=

DERIVADAS Pág. 15mjpmjp

Aplicando la regla de la cadena:

Sus derivadas son:

Regla de la cadena(Derivada de la función compuesta)

Derivada de 2x

Derivada del seno

EJEMPLO

F (x) = (f g) (x) = f (g(x))

F (x) = sen(2x)

f (x) = sen(x) g (x) = 2x

f (x) = cos(x) g (x) = 2

F (x) = cos(2x)·2 = 2 cos(2x)

F (x) = f (g (x))·g(x)

La función F(x) = sen(2x) es la composición de dos funciones:

DERIVADAS Pág. 16mjpmjp

Sus derivadas son:

Aplicando la regla de la cadena:

Ejemplo: Regla de la cadena

F (x) = (2x2 – x)3EJEMPLO

f (x) = (x)3 g (x) = 2x2 – x

f (x) = 3(x)2 g (x) = 4x – 1

F (x) = (g(x))3

F (x) = 3(g(x))2·g (x)

F (x) = 3(2x2 – x)2·(4x – 1)

La función F(x) = (2x2 – x)3 es la composición de dos funciones:

DERIVADAS Pág. 17mjpmjp

Ejemplos. Cálculo de derivadas de funciones.

2

1

)( xxf

1)( xxf

2

1

)(

xxf

3

2

)( xxf

45)( xxf

21)( xxf

2

1

2

1)(

xxf

2

3

2

1)(

xxf

3

1

3

2)(

xxf

11510)( 24 xxxf

2

1

x

x2

1

xx2

1

33

2

x

5)( xxf a)

xxf

1)( b)

xxf )(c)

xxf

1)( d)

3 2)( xxf e)

152)( 35 xxxxff)

DERIVADAS Pág. 18mjpmjp

xxxf ln)( 3

2

cos)(

x

xxf

23)( xexf

Ejemplos. Cálculo de derivadas de funciones.

g)

h)

i)

Es un producto de dos funciones:

Es un cociente de dos funciones:

Es una composición de dos funciones:

22 33 66)( xx xexexf

xxxxxf

1ln3)( 32 )1ln3(ln3 222 xxxxx

22

2

)(

2cossen)(

x

xxxxxf

3

cos2sen

x

xxx

Derivada de 3x2

Derivada de la exponencial

DERIVADAS Pág. 19mjpmjp

23 )12(

1)(

x

xxf

j) f(x) = (x + 1)·sen(5x)

k)

Ejemplos. Cálculo de derivadas de funciones.

Es un producto de funciones donde la segunda función es una composición de funciones:

Es un cociente de funciones donde el denominador es una composición de funciones:

43

2323

)12(

6)12(2)1()12(1)(

x

xxxxxf

Sus derivadas son:

Sus derivadas son:

g(x) = (x + 1) h(x) = sen(5x)

g (x) = 1 h (x) = cos(5x)·5

f (x) = 1·sen(5x) + (x + 1)·cos(5x)·5

g(x) = x + 1

g (x) = 1

h(x) = (2x3 + 1)2

h (x) = 2(2x3 + 1)·6x2

33

23

)12(

11210

x

xx

DERIVADAS Pág. 20mjpmjp

2

2

)(')(""dx

ydxf

dx

dxfy

4

4)4( )()(''''''''

dx

ydxfxfy

Derivadas de orden superior

f es también una función. En los puntos de su dominio en los que sea derivable, podemos obtener su derivada, que se llama derivada segunda, f.

3

3

)(''''''dx

ydxfy

.

.

.

.

Análogamente podremos obtener la derivada tercera, f , la derivada cuarta, f (4) , ......

DERIVADAS Pág. 21mjpmjp

Ejemplos. Derivadas de orden superior.

EJEMPLO

f (x) = x3 – 3x2 + 5x – 7

f (x) = 3x2 – 6x + 5

f’’(x) = 6x – 6

f’’’(x) = 6

f (4) (x) = 0 f (4) (x) = sen x

f (5) (x) = cos x

f (x) = sen x

f’’ (x) = – sen x

f (x) = cos x

f’’’ (x) = – cos x

EJEMPLO