La tasa de variación media tm de la función f(x) en el intervalo [x, x + h] viene dada por:

m

var iación de la función f (x h) f (x)t

var iación de la var iable independiente h

La tasa de variación media de una función da una idea de la rapidez con que creceo decrece la función en un intervalo por unidad de incremento de la variableindependiente.

1. Tasa de variación media

La tasa de variación instantánea ti es el límite de las tasas de variación mediacuando los intervalos de la variable independiente se hacen cada vez máspequeños.

ih 0

f (x h) f (x)t lim

h

2. Tasa de variación instantánea

La derivada de una función en un punto x es el límite, si existe, dado por:

h 0

f (x h) f (x)lim

h

Si una función f es derivable en un punto x = a, la derivada de la función en dichopunto viene dada por la expresión:

h 0

f (a h) f (a)Df (a) f '(a) lim

h

h 0

f (2 h) f (2)f '(2) lim

h

2 2

h 0

(2 h) 2lim

h

2

h 0

4 4h h 4lim

h

h 0lim(4 h)

4

3. Concepto de derivada de una función en un punto

La pendiente de la la recta P0P1, secante a la curva es:

2 2 2(2 h) 2 4 4h h 4m 4 h

2 h 2 h

A medida que h tiende a 0, el punto P1 va recorriendola curva aproximándose a P0. La rectas secantes P0P1, P0P2, P0P3, … P0Pn se aproximan a la rectatangente, t.

La pendiente de la recta tangente a la curva en elpunto P de coordenadas (x0, f(x0)) es m = f'(x0). La ecuación de la recta t es:y – f(x0) = f'(x0) (x – x0)

4. Interpretación geométrica de la derivada

• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:

Para obtener la derivada en el punto x:

• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:

Se dice que la función derivada (o simplemente derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x.

5. Función derivada

6. Derivada de algunas funciones elementales

Nombre de la Función Función Derivada

Potencial y = xn y'= nxn–1

Logarítmica y = Lx y'=

Exponencial y = ax y' = ax La

Seno y = sen x y' = cos x

Coseno y = cos x y' = – sen x

Operación Función Derivada

Derivada del producto de un número poruna función

y = a . f(x) y'= a . f'(x)

Derivada de la suma de funciones y = f(x) + g(x) y'= f'(x) + g'(x)

Derivada de la diferencia de funciones y = f(x) – g(x) y'= f'(x) – g'(x)

Derivada del producto de dos funciones y = f(x) . g(x) y' = f'(x) g(x) + g' (x) f(x)

Derivada del cociente de dos funciones y = f (x)

g(x)y' =

2

f'(x)g(x) g'(x)f(x)

g (x)

7. Derivadas de operaciones de funciones