1.1. halla la tasa de variación media de una función en un
TRANSCRIPT
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 1
Unidad 7: DERIVADAS
EJERCICIOS PROPUESTOS (15 EJERCICIOS OBLIGATORIOS PARA ENTREGAR JUNTO AL EXAMEN DE LA
SEGUNDA EVALUACIÓN O DE SU RECUPERACIÓN)
1.1. Halla la tasa de variación media de una función en un intervalo y la
interpreta.
Ejercicio 7 – 1 .-
Resuelve el ejercicio que aparece
en el siguiente video.
Video 7 – 1 – a : https://www.youtube.com/watch?v=2RBCifEcV7w
1.2. Calcula la derivada de una función en un punto hallando la pendiente de
la recta tangente trazada en ese punto.
La derivada de una función en un valor de x tiene un significado geométrico y es el siguiente: la
inclinación de la recta tangente. Lo encontrarás en tu libro de texto.
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 2
Observa que la curva de una función en cada valor de x, o punto de la curva, tiene una recta
tangente. Pues bien la inclinación de esa recta es el valor de la derivada.
¿Cuál crees que es el punto donde hay un valor de derivada mayor?
La respuesta es:
- En A la inclinación es 2 porque si observas atentamente la recta tangente dibujada en color
rojo en A es una recta creciente de tal manera que si avanzamos uno en x subimos dos en y.
- En B la inclinación es 1/7, un valor muy bajo. Efectivamente, si en B avanzamos siete en x,
subimos solo uno en y.
- En C la inclinación es negativa, es – 1. Comprueba que si en C avanzamos en la línea roja,
cuatro en x, bajamos también cuatro en y.
- En D la inclinación es negativa es – 2 / 4 = - 0,50. Se observa que en D si seguimos la línea
roja, avanzamos cuatro en x, y bajamos sólo dos en y.
- En E la inclinación es positiva, es 4/2 = 2. De la misma forma, siguiendo la línea roja, si
avanzamos dos en x, subimos cuatro en y.
El punto donde la derivada es mayor es A, pero también E.
El punto donde la derivada es menor (es más negativa) es el punto C.
(El cálculo de la inclinación de una recta que denominamos pendiente, lo estudiamos en la
unidad 4. Entonces tomábamos dos puntos y calculábamos el cociente de los incrementos de
las variables)
Ejercicio 7 – 2 .-
2.1. Halla la derivada de una función sencilla
Vamos a estudiar/repasar cómo se manejan las fórmulas anteriores con la ayuda de la página
web VITUTOR. Allí encontrarás muchos ejercicios resueltos y es bueno que practiques todo lo que
puedas pues coger agilidad en el cálculo de derivadas es complicado. En cualquier caso, ten
presente que el próximo curso volveremos a estudiar las derivadas.
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 3
Ejercicio 7 – 3 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 4
Ejercicio 7 – 4 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
Ejercicio 7 – 5 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 5
Ejercicio 7 – 6 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 6
Ejercicio 7 – 7 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
2.3. Halla la derivada de una función compuesta.
Ya hemos visto la derivación de funciones compuestas en el apartado anterior, pero vamos a
seguir con más ejemplos y ejercicios.
Ejercicio 7 – 8 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 7
Repasemos todas las reglas de derivación con un ejercicio resumen. Ejercicio 7 – 9 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 8
3.1. Halla la ecuación de la recta tangente a una curva.
Si queremos calcular la derivada de una función en un punto recurrimos a la función
derivada. Por ejemplo:
¿Cuánto vale la derivada de la función ( ) √ en el punto x = 2?
Obtenemos la función derivada: ( )
√ ( )
√
√
Calculamos la derivada en x = 2, ( )
√
√
Una de las aplicaciones geométricas de la derivada más interesantes es la ecuación de la
recta tangente. Encuentras la fórmula en tu libro de texto.
( )
( ) ( ) ( )
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 9
Ejercicio 7 – 10 .-
Resuelve el siguiente ejercicio que aparece en el video.
Video 7 – 7 – a: https://www.youtube.com/watch?v=YQ4R4RRr2dI
3.2. Localiza los puntos singulares de una función polinómica o racional , decide
si son máximos o mínimos y los representa.
La aplicación de la derivada que resulta más interesante es la obtención de máximos y
mínimos locales o relativos de una función.
Para ello se estudian los puntos singulares, aquellos donde la derivada se anula. Estos son
los candidatos a ser máximos o mínimos relativos. Lo veremos en el apartado siguiente.
Las funciones polinómicas de grado superior o igual a dos, son funciones continuas y su
curva presenta máximos y/o mínimos. Estos son los puntos más característicos de dichas funciones.
Para obtenerlos procedemos así:
Sea la función ( )
Paso 1.- Calculamos su derivada ( )
Paso 2.- Buscamos los puntos singulares de la derivada resolviendo la ecuación ( )
Los valores obtenidos son – 1 y 2.
Paso 3.- Calculamos una tabla de valores de la función ( )
Dando al menos siete valores a la x y entre ellos los puntos singulares.
Paso 4.- Representamos la función.
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 10
Apreciamos que el máximo local o relativo lo presenta en x = -1, y el mínimo local o
relativo lo presenta en x = 2.
Ejercicio 7 – 11 .-
En el siguiente video se calculan varias características de una función polinómica. Quiero
que prestes atención únicamente al cálculo de los máximos y los mínimos. Luego intenta
calcularlos tú en tu cuaderno.
Video 7 – 8 – a : https://www.youtube.com/watch?v=5PnzLrfz0Dg
3.3. Determina los tramos donde una función crece o decrece.
En VITUTOR tienes algunos ejercicios resueltos: https://www.vitutor.com/fun/5/a_2.html
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 11
Ejercicio 7 – 12 .-
Resuelve en tu cuaderno el ejercicio que aparece en este video (pero sólo la parte donde se
pide estudiar el crecimiento y los máximos y mínimos).
Video 7 – 9 – a : https://www.youtube.com/watch?v=2MgUEATf72Q
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 12
3.4. Regla de l´Hôpital. Resolución de límites indeterminados
Una aplicación de las derivadas es la resolución de indeterminaciones en límites. Como
hemos estudiado en la unidad anterior al intentar resolver un límite obteniamos una
indeterminación del tipo 0/0. Veamos cómo la resolvemos:
Ejercicio 7 – 13 .-
Resuelve en tu cuaderno el cálculo del límite que aparece en este video:
Video 7 – 9 – e: https://www.youtube.com/watch?v=Me9oHaEIY8M
4.1. Representa una función de la que se le dan todos los datos más relevantes
(ramas infinitas y puntos singulares).
A partir de los datos relevantes de una función podemos esbozar su gráfica.
Es muy importante que sepas “leer” una gráfica, es decir, que puedas visualizar los
elementos más característicos de la curva.
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 13
Presta atención a los siguientes ejemplos:
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 14
Ejercicio 7 – 14 .-
Indica las caracteristicas(crecimiento, asíntotas, corte con los ejes, etc) de cada una de estas
funciones:
4.2. Representa una función polinómica de grado superior a dos.
Ejercicio 7 – 15.-
Representa la función que aparece en el siguiente video. (Presta atención a todos los datos
que obtiene de la expresión algebraica de la función. En este curso no hace falta saber obtenerlos
todos. Limítate a estudiar el crecimiento y los máximos y mínimos. Con una tabla de valores
adecuada obtendrás la gráfica de la función) ( )
Video 7 – 12 – b : https://www.youtube.com/watch?v=-UDfG9DJ58Y
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 7: Derivadas.
Unidad 7 Página 15