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7/25/2019 TAREA DE MATE(EVALUACION 4 ).docx

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADOR.FACULTAD DE INFORMATICA Y CIENCIAS APLICADAS

TEMA:APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

PARA EL CALCULO DE AREAS.

ASIGNATURA:MATEMATICAS II

DOCENTE:ING. JUAN ANTONIO REYES MINA.

SECCION:“06”

INTEGRANTES Nº DE CARNET F

DAN ELISEO DIAZ TORRES 25!55"20#! $$$$$$$$$$

FEC%A DE PRESENTACION

SA&ADO #" DE MAYO DE 20#!

'()*+,.

INTRODUCCIÓN………………………………………………......... 1

OBJETIVOS GENERALES…………………………………………… 2



OBJETIVOS ESPECÍFICOS………………………………………….. 3

MARCO TEÓRICO CONCEPTUAL:………………………………… 4

CONCLUSION…………………………………………………………. 25

FUENTES DE CONSULTA…………………………………………… 2



INTRODUCCION.

La presente investigación nos permitirá saber más acerca de los problemas del cálculo empleando

integral definida en el desarrollo tcnicas de derivación para el cálculo de áreas! aclarando el concep

de integral definida surge "ntimamente ligado al de área el matemático Riemann introduce la integ

definida de una función continua en un intervalo a partir del l"mite de una suma de áreas de rectángulo

#or ello! una de las aplicaciones más inmediatas de la integral definida es el cálculo de áreas de recint

planos acotados $ definidos por curvas o gráficas de funciones! $ nosotros como futuros ingeniero

podamos comprender la potencia del cálculo integral $ a familiari%arse con aspectos prácticos del mism

&a de servir como introducción para otras aplicaciones de las integrales en los diferentes campos de

ciencia' ("sica! )iolog"a! Ingenier"a o *conom"a. *n ellas! la integral definida permitirá medir magnitud

a travs de la medida de áreas.

- P / * (



OBJETIVOS GENERALES.

Con el siguiente traba+o ,ueremos lograr ,ue nosotros como alumnos $ futuros ingenieros cono%camos

comprendamos la importancia del cálculo integral $ de sus aplicaciones $ la relación entre el concepto

integral definida $ el de área de un recinto plano pudiendo as" representar e identificar regiones del pla

delimitadas por la intersección de curvas $ rectas dadas.

! P / * (



OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Identificar e Interpretar la integral definida $ el valor $ el signo de la integral definida para obtener el áre

de un recinto definido por gráficas de funciones en los intervalos de integración! tanto si la función e

positiva como si es negativa para resolver problemas matemáticos.

MARCO TEÓRICO CONCEPTUAL:

5 P / * (



Con el siguiente traba+o elaborado por los estudiantes de la universidad tecnológica de el salvador e

diciembre del a-o /01! con la necesidad de reali%ar un traba+o ,ue contenga la información! formas

resolución! $ as" conocer la información general $ conceptos de la integral definida considerando to

esto como importante para soluciones de problemas del cálculo empleando la integral definida en

cálculo de áreas! $a ,ue este tema es esencial para resolución de problemas de diversas ramas como e

la ("sica! biolog"a! econom"a! *tc.

APLICACIÓN DE LAINTEGRAL DEFINIDA

6 P / * (



PARA EL CALCULO DEAREAS.

INTEGRAL DEFINIDA.

" P / * (



*l concepto de integral está asociado al concepto de área. Cuando una figura plana está acotada p

l"neas rectas es sencillo calcular su área. 2in embargo! áreas acotadas por curvas son más dif"ciles

calcular 3incluso! de definir4.

Uno de los momentos clave de la &istoria de las 5atemáticas fue cuando 6r,u"medes fue capa%

calcular el área de segmentos de una parábola usando el mtodo de e7a8ución de *udo7o.

Cavalieri 3alrededor de 09:/4 sab"a como integrar funciones potencia 3f374; 7<n4 desde n;0 8asta n;=. resultado general! para n arbitrario! fue obtenido por (ermat.

6un,ue Cavalieri no conoc"a el trmino >función> podemos decir ,ue una de sus contribuciones fue ,ue

consideró el problema de calcular el área limitada por la gráfica de una función positiva! el e+e ? $ d

rectas verticales 3un >trape%oide curvil"neo> o >el área ba+o una curva>4

@ueremos asignar un nAmero a esta región ,ue represente su área cuando la función sea positiv

Llamaremos a ese nAmero la integral definida de f entre a $ b.

La integral no siempre representa el área de un >trape%oide curvil"neo>. Bse es el caso si la función es n

negativa. Cuando f es negativa la integral va a ser menos el área. *n general! la integral es el área d

trapecio curvil"neo ,ue está por encima del e+e ? menos el área de las partes ,ue están ba+o el e+e ?.

P / * (



2i ,ueremos integrar funciones lineales el problema es simple.

*l problema es más dif"cil cuando la gráfica de la función no es una recta.

amos a seguir una idea de 6r,u"medes. *s apro7imar la función f por funciones 8ori%onta

3constantes4! $ el área ba+o f por la suma de rectángulos pe,ue-os. 3Lang4

*n estos casos ,ueremos construir la integral definida 3un nAmero4 como el resultado de algAn tipo d

proceso de l"mite. #odemos empe%ar dividiendo EaFbG en sub intervalos $ tomar la suma de las áreas

ciertos rectángulos ,ue apro7iman la función f en varios puntos del intervalo. *l área de estos rectángulo

apro7ima la integral. La integración es un proceso de suma.

Usamos esta notación'

*l s"mbolo 2 3una 2 alargada! por suma4 se llama signo de integral $ fue introducido por Leibni% en 09H

*l proceso ,ue produce el resultado se llama integración. Los nAmeros a $ b! ,ue se ponen +unto al sign

de integral! se llaman l"mite de integración inferior $ superior.

Leibni% usó este s"mbolo por,ue consideraba la integral como la suma de infinitos rectángulos con altu

f374 $ cu$as bases eran infinitamente pe,ue-as. (ue aceptado rápidamente por muc8os matemátic

por,ue les gustaba pensar ,ue la integración era un tipo de proceso de suma ,ue les permit"a sum

infinitas cantidades infinitesimales 3infinitamente pe,ue-as4.

# es una partición de Ea!bG.

Una partición define unos sub intervalos. La longitud de esos sub intervalos puede ser diferente'

3 P / * (



Dada una partición de EaFbG podemos a-adir más nAmeros a la partición $ obtenemos una nue

partición ,ue tiene sub intervalos más pe,ue-os. 2i a-adimos suficientes nAmer

intermedios entonces los intervalos se pueden 8acer arbitrariamen

pe,ue-os.

6 veces se consideran subdivisiones regulares del intervalo. *n este caso! las bases de los rectángul

son iguales'

#ara cada i tomamos un punto 7iJ en E7i! 7iK0G. *l valor f37iJ4 puede verse como la altura de

rectángulo.

La idea principal ,ue vamos a desarrollar es ,ue si 8acemos l

intervalos de nuestra partición más $ más pe,ue-os!

suma de las áreas de los rectángulos se apro7imarán

un l"mite! $ podemos usar ese l"mite para definir el área ba+o la curva. 3Lang4

#odemos tomar 7iJ como el punto medio del sub intervalo 3como en el mat8let $ en los e+emplos previos

Una elección popular es ,ue 7iJ se igual a 7i! el e7tremo i%,uierdo de cada subintervalo. *ntonces

altura del rectángulo será f37i4'

O tambin podemos tomar 7iJ igual a 7iK0! el e7tremo derec8o del intervalo. *ntonces la altura d

rectángulo será f37iK04'

La elección de estos 7iJ en E7i! 7iK0G es arbitraria.

#0 P / * (



Riemann consideró'

6 estas sumas se les llama sumas de Riemann de ( para la partición #.

Interpretación geomtrica' *s el área total de los n rectángulos ,ue están en parte por encima de

gráfica de f $ en parte por deba+o de ella. Debido al modo arbitrario de elección de las alturas de lo

rectángulos no podemos estar seguros de si una suma de Riemann en particular es menor o ma$or ,

la integral. #ero parece ,ue esta diferencia no debe importarnos demasiado. 2i las bases de todos l

rectángulos son suficientemente estrec8as entonces las sumas de Riemann tienen ,ue apro7imarse a

integral. 32piva4

2i aumentamos el nAmero de rectángulos nos acercaremos 3intuitivamente4 al valor de la integ

definida.

#odemos decir ,ue la integral definida es el l"mite de las sumas de Riemann cuando el nAmero

subdivisiones tiende a infinito $ la longitud de cada sub intervalo tiende a cero. M no importa el punto

,ue tomamos de cada sub intervalo.

La morale+a de esta 8istoria es ,ue algo ,ue parece una buena apro7imación a la integral realmente

es! siempre ,ue las longitudes de los sub intervalos de la partición sean suficientemente pe,ue-os

32piva4

*n el mat8let podemos modificar la función $ el nAmero de rectángulos. *n general! en cada s

intervalo! la altura del rectángulo puede ser cual,uier valor de la función en un punto del sub interval

a,u" sólo consideramos una posibilidad sencilla' 7iJ es el punto medio del sub intervalo.

Las integrales de muc8as funciones no se pueden determinar e7actamente 3aun,ue pueden calcular

con el grado de precisión ,ue se desee calculando sumas de Riemann4. 2in embargo! Ecomo verem

más adelante! por e+emplo! cuando estudiemos el Teorema (undamental del CálculoG! la integral

muc8as funciones puede calcularse con facilidad. 32piva4

*+emplos de aplicación de cálculo de áreas aplicando la integral definida en las diferentes ramas de la

ciencia $ le daremos un enfo,ue 8istórico $ veremos algunos e+emplos ,ue surgieron 8ace más de .//

## P / * (



a-os! cuando los griegos inventaron el mtodo de e78aución para calcular áreas de figuras planas.

eremos la relación ,ue 8a$ entre el área $ la integral definida $ la regla de )arro! cone7ión entre el

Cálculo Diferencial $ el Cálculo Integral.

El problem !el "#l"$lo !el #re.

Uno de los problemas ,ue más repercusión 8a tenido en la 8istoria de las matemáticas es el del estudio

del área encerrada ba+o una curva! pues tiene una aplicación inmediata en algunos problemas de f"sica.

*+emplo'

Consideremos un cuerpo ,ue se mueve con una velocidad constante de :ms. La gráfica velocidadF

tiempo del cuerpo es la representada en el dibu+o. Calcular el espacio recorrido por el cuerpo entre t ; /

t ; 9! con las fórmulas de f"sica conocidas. *studiar la relación ,ue e7iste entre este resultado $ el área

encerrada por las rectas t ; /! t ; 9! v ; / $ v ; :.

2olución'

*l 8ec8o de ,ue la velocidad sea constante nos indica ,ue estamos en un caso de 5RU! por lo ,u

deberemos usar la fórmula e ; vJt ,ue nos da el espacio recorrido por el cuerpo si conocemos

velocidad $ el tiempo transcurrido t. #or lo tanto! para calcular el espacio recorrido por el cuerpo desde t

#2 P / * (



/ 8asta t ; 9 8acemos e ; :J9 ; 0P! ,ue coincide con el área del rectángulo coloreado! $ ,ue es al mism

tiempo el área encerrada por las rectas'

t ; /! t ; 9! v ; O $ v ; :.

&asta a8ora 8emos calculado el área encerrada por funciones continuas pero Q,u 8ar"amos pa

calcular el área encerrada ba+o la función del dibu+o 0 entre 7 ; 0 $ 7 ; 1! Qes siempre posib

descomponer la figura encerrada ba+o una curva en figuras cu$a área conocemos#ara investigarlo! consideremos la gráfica velocidadFtiempo del dibu+o ! $ calculemos el espac

recorrido entre t ; / $ t ; 0. QCómo calcular"amos! apro7imadamente! el área encerrada ba+o esta funció

entre t ; / $ t ; 0. 6cotaremos dic8a área superior e inferiormente! utili%ando rectángulos. QCóm

podr"amos 8acer ,ue estas acotaciones fuesen cada ve% más e7actas

*s intuitivo ,ue el área encerrada por la función del dibu+o 0 se calcula sumando las áreas de l

rectángulos ,ue define la función entre dic8os puntos. *ste tipo de funciones cu$a gráfica en un intervason tramos de rectas paralelas al e+e de las 7! se llaman funciones escalonadas! $ las estudiaremos c

más detalle más adelante.

Como se ve en el dibu+o ! no siempre es posible descomponer el área encerrada ba+o una curva!

figuras geomtricas simples. *n el caso del e+ercicio! dic8a área se encuentra comprendida entre

rectángulo de base 0 $ altura 0! $ un rectángulo de base 0 $ altura 0.! por lo tanto sabemos ,ue

#- P / * (



encuentra entre uno $ uno $ medio! pero no podemos decir con e7actitud cuál es su valor. #ara esto

casos precisamente es para los ,ue se ideó el mtodo de e78aución.

El m%&o!o !e E'($")*+.

*l mtodo de e78aución fue ideado por el matemático griego 6r,u"medes para determinar el área de

recinto. *ste mtodo consiste en inscribir $ circunscribir el recinto considerado en regiones poligonal

cada ve% más pró7imas a l! tendiendo a llenarlo $ cu$as áreas se pueden calcular fácilmente. 6s"

obtienen valores ma$ores $ menores ,ue el área ,ue deseamos calcular $ ,ue se apro7iman! tanto m

a dic8o valor! cuanto ma$or sea el nAmero de lados de regiones poligonales inscritas $ circunscritas.

2egAn el mtodo de e78aución! para apro7imar el área encerrada entre la función! el e+e O?! $ las rect

7 ; /! 7 ; ! tomamos poligonales ,ue inscriban $ circunscriban dic8o recinto. *n este caso dic8a

poligonales son rectángulos $ es evidente ,ue el área se conocerá con ma$or e7actitud cuanto men

sea la base de los rectángulos tomados.

Consideremos primero rectángulos inscritos en el recinto. *n este caso la suma de las áreas de lo

rectángulos es menor ,ue el área del recinto! pero se van apro7imando más a su valor segAn va$amo

tomando rectángulos de menor base! como podemos ver en las apro7imaciones de los dibu+os.

2i consideramos a8ora rectángulos ,ue circunscriban al recinto! es evidente ,ue la suma de las áreas d

dic8os rectángulos es ma$or ,ue el área ,ue encierra la función! pero a medida ,ue vamos toman

rectángulos cu$as bases sean menores! nuestra apro7imación será más e7acta. Integral Definida

6plicaciones

#! P / * (



Todo ello pone de manifiesto ,ue al dividir el intervalo E/!G en un nAmero infinitamente grande d

intervalos iguales! el área por defecto coincide con el área por e7ceso $ ambas con el área del recin

,ue se está calculando.

I+&e,rl !e R)em++.

amos a definir la integral de una función cual,uiera! f374! en un intervalo Ea! bG! con la Anica condición d

,ue est acotada. 2e toman todas las funciones escalonadas g374 por defecto! $ todas las funcion

escalonadas 8374 por e7ceso! es decir! g374 S f374 S 8374 cuando 7 4 Ea! bG.

*n estas condiciones! si e7iste un Anico nAmero I ,ue cumpla este nAmero

se le llama integral de f374 entre a $ b.

2e representa' $ se lee integral desde a 8asta b! de f374! diferencial de 7.

Teorem:

Toda función continua en un intervalo es integrable en dic8o intervalo.

Teorema (undamental del Cálculo

#5 P / * (



2i f374 es integrable en el intervalo Ea! bG! su función área! 63t4! se define de la siguiente forma'. *n est

condiciones! si f es continua en Ea! bG! la función 6 es una primitiva de

función f en Ea! bG.

Regla de )arro'

2i f374 es una función continua en Ea! bG! $ (374 una primitiva de f374! es decir! ( >374 ; f374 para cual,uier4 3a! b4! entonces'

La importancia de la regla de )arro es doble' #or una parte! es un mtodo de cálculo de integraldefinidas ,ue no e7ige 8allar funciones escalonadasV por otro lado! representa una cone7ión entre Cálculo Diferencial $ el Cálculo Integral.

*+emplo' Calcular la integral definida' e interpretar el resultado geomtricamente.

6plicando la regla de )arro! ,ueda'

donde u representa unidadesde area.

Weometricamente es el Xarea representada en la figura'

-re !el re")+&o l)m)&!o por $+ $+")*+ e+ /0b1

Y Zrea del recinto limitado por una función positiva en Ea!bG 2abemos ,ue la integral de una funció

escalonada entre 7 ; a $ 7 ; b coincide con el área encerrada por dic8a función! el e+e $ ; /! $ las rect

7 ; a $ 7 ; b. eamos ,ue esta relación se cumple tambin con la integral definida de una funció

cual,uiera! para ello! plantearemos el cálculo de áreas encerradas por funciones no escalonadas! $ ,

#6 P / * (



se pueden calcular geomtricamente! $ la posterior comprobación de ,ue dic8a área coincide con el va

de la integral.

*+emplo' &allar el área del triángulo determinado por la bisectri% del primer cuadrante! el e+e O? $ la rec

7 ; 1. Calcular esta área geomtricamente! $ comprobar ,ue coincide con la integral entre 7 ; / $ 7 ;

de la función f374 ; 7 3bisectri%4.

La integral entre / $ 1 de la función f374 ; 7 vale'

Luego si una función positiva f374! definida en un intervalo Ea!bG! es integrable! la integral

Representa el área del recinto delimitado por la gráfica de la función! el e+e

de abscisas $ las rectas 7 ; a $ 7 ; b.

-re !el re")+&o l)m)&!o por $+ $+")*+ +e,&)2 e+ /0b1

eamos la relación ,ue 8a$ entre los recintos limitados por las gráficas de f374 3siendo sta negativa

Ff374! por medio de un e+emplo sencillo $ calcularemos! en este e+emplo! el área del recinto determina

por dic8a función negativa.

*+emplo' 2ea f374 ; F7 $ Ea!bG ; E/!1G. &emos calculado! en el apartado anterior! el área ,ue encierra f37

7 entre / $ 1.

#" P / * (



emos! claramente

,ue el área del recinto limitado por una función negativa f374 en Ea!bG es la misma ,ue la limitada por la

gráfica de Ff374! cu$a función es $a positiva $ podemos calcular el área mediante una integral como en eapartado anterior.

La integral entre / $ 1 de la función f374 ; F7 vale'

Comprobamos ,ue si cambiamos el signo de la función! la integral simplemente cambia de signo! pero e

valor absoluto es el mismo.

Luego! para funciones negativas'

Conviene tener presente lo anterior para ,ue los resultados sean correctosV esto pone de manifiesto ,

los conceptos de integral definida $ área de un recinto son distintos. *n definitiva! tanto para funcion

positivas como para las negativas! el área o superficie vendrá dada por'

Zrea del recinto limitado por una función ,ue cambia de signo en Ea!bG (inalmente! si la gráfica de u

función ,ueda parte por encima! $ parte por deba+o del e+e de abscisas! la integral se descompondrá

# P / * (



varios sumandos cuando se ,uiera calcular el área de la región ,ue delimita con el e+e de abscisas en

intervalo Ea! bG.

2abemos ,ue'

2i la función f se anula $ cambia de signo en más puntos! se procede de forma análoga! calculando lasáreas de cada uno de los recintos.

-re !el re")+&o l)m)&!o por !o3 $+")o+e3:

*n este apartado vamos a calcular el área de recintos planos más generales ,ue los estudiados en l

apartados anteriores.

Uno de los problemas ,ue suele plantearse es la determinación e7acta de la región cu$a área ,uerem

calcular. Como norma conviene! siempre ,ue sea posible! 8acer una representación lo más apro7imadposible de dic8a región o recinto.

#3 P / * (



2ean f $ g dos funciones continuas en Ea!bG. 2upongamos ,ue sus gráficas se cortan en Ea!bG para 7 ; a

7 ; a! ...! 7 ; an! con lo ,ue determinan nK0 regiones R0! R!...! RnK0.

*l área de cada región Ri es' luego el área limitada por las dos funciones en

intervalo Ea!bG vale'

20 P / * (



CONCLUSIÓN.

&emos visto en el estudio de este contenido lo Atil $ esencial ,ue será el empleo de los conocimient

de este tema a lo largo de nuestra carrera como es la ingenier"a en sistemas en las diversas materi

,ue cursaremos $ ,ue nosotros como estudiantes le prestemos la debida atención $ motivación $ a

despertemos la curiosidad matemática ,ue se encuentra en el desarrollo de la matemática pura podemdarnos cuenta ,ue todas las formulas en este contenido son esenciales para resolver problemas en

actualidad! siendo de vitalidad utilidad en todos los campos.

2# P / * (



FUENTES DE CONSULTA

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